Linhas de Influência em Vigas

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Linhas de Influência em 
Vigas Isostáticas
Prof. Me. André Sarkis Müller
Tópicos
� Introdução
� Classificação das Cargas
� Linha de Influência
� Envoltórias de Esforços
� Comentários Finais
� Referências Bibliográficas
� Lista de Exercícios
Introdução
� Análise estrutural de vigas
� Alternativas de análise de estruturas com carga móvel
� Aplicação prática de linha de influência
Classificação das Cargas
� Cargas Permanentes: 
Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo (Ex: peso
próprio, revestimentos, materiais de enchimento, embutidos, etc).
Fonte: www.inbec.com.br
Classificação das Cargas
� Cargas Acidentais: podem ou não ocorrer na estrutura.
� Cargas Acidentais Não-Móveis: 
Têm posição e valores conhecidos (Ex: ventos e empuxos, sobrecargas e etc).
Fonte: www.cesec.ufpa.br Fonte: http://engenharia-t1a.webnode.com.br/
Classificação das Cargas
� Cargas Acidentais: podem ou não ocorrer na estrutura.
� Cargas Acidentais Móveis (Cargas Móveis):
Têm seus valores conhecidos, mas as posições variam à medida que as cargas
atravessam ou se movimentam (Ex: veículos, pontes rolantes, etc).
Fonte: www.demagcranes.com Fonte: g1.globo.com
Representação de Cargas Móveis
B
a bb
A
A B
a bb
Linha de Influência
� Uma linha de influência (LI) descreve a variação de um 
determinado efeito (ex: esforços internos em uma seção) em
função da posição de uma força vertical unitária (orientada para 
baixo) que percorre uma estrutura.
Linha de Influência – Reação de Apoio
B
A B
a bb
a bb
A
RAV = (a+b)/a
B
A B
a bb
a bb
A
RAV = 1
Linha de Influência – Reação de Apoio
B
A B
a bb
a bb
A
RAV = 0,5
Linha de Influência – Reação de Apoio
B
A B
a bb
a bb
A
RAV = 0
Linha de Influência – Reação de Apoio
B
A B
a bb
a bb
A
RAV = -b/a
Linha de Influência – Reação de Apoio
B
a bb
A
-b/a
0,5
1,0
(b+a)/a
x
y
Linha de Influência – Reação de Apoio
+
-
B
a bb
A
-b/a
0,5
1,0
(b+a)/a
x
y
Linha de Influência – Reação de Apoio
+
-
B
a bb
A
x
y
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção entre apoios
S
c d
M� = −
��
�
V� =
�
�
B
a bb
A
x
y
M� = 0
V� = 0
S
c d
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção entre apoios
B
a bb
A
x
y
M� =
�
�
V���
 = −
�
S
c d
V���� =
�
�
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção entre apoios
B
a bb
A
x
y
S
c d
M� = 0
V� = 0
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção entre apoios
B
a bb
A
x
y
S
c d
M� = −
�
�
V� = −
�
�
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção entre apoios
B
a bb
A
x
y
c d
-bd/a -bc/a
cd/a
-
+
-
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção entre apoios
B
a bb
A
x
y
c d
b/a
-b/a
d/a
-c/a
+ +
- -
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção entre apoios
B
a db
A
x
y
-b -
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção em balanço
B
a db
A
x
y
- -d
B
a db
A
x
y
-1 -
Linha de Influência – Momento Fletor e 
Esforço Cortante – Seção em balanço
B
a db
A
x
y
+ 1
Envoltórias de Esforços
� São gráficos que expressam como variam os valores mínimos e 
máximos de um determinado esforço interno nas seções
transversais da estrutura;
� Não existem expressões analíticas;
� Busca de posições críticas para as cargas acidentais;
� As envoltórias são traçadas por interpolações de valores
claculados em seções transversais selecionadas.
Envoltórias de Esforços – Momento Fletor
B
a bb
A
x
y
c d
P1P2
e
� Dados:
P1 = P2 = 30 kN
e = 3,0 m
a = 20,0 m
b = 10,0 m
c = d = 10,0 m (seção central da viga)
Envoltórias de Esforços – Momento Fletor
Máximo – Seção central entre os apoios
B
a b10,0 m
A
x
y
c d
-5 -5
5
-
+
-
� Busca-se posicionar as cargas acidentais de forma que os esforços
causados pelas mesmas sejam máximos na seção em estudo.
20,0 m 10,0 m
10,0 m 10,0 m
Envoltórias de Esforços – Momento Fletor
Máximo – Seção central entre os apoios
P1P2
e
B
a bb
A
x
y
c d
-
+
-
� Busca-se posicionar as cargas acidentais de forma que os esforços
causados pelas memas sejam máximos na seção em estudo.
10,0 m
-5 -5
5
20,0 m 10,0 m
10,0 m 10,0 m
Envoltórias de Esforços – Momento Fletor
Mínimo – Seção central entre os apoios
B
a bb
A
x
y
c d
-
+
-
� Busca-se posicionar as cargas acidentais de forma que os esforços
causados pelas memas sejam mínimos na seção em estudo.
10,0 m
-5 -5
5
20,0 m 10,0 m
10,0 m 10,0 m
Envoltórias de Esforços – Momento Fletor
Mínimo – Seção central entre os apoios
P1P2
e
B
a bb
A
x
y
c d
-
+
-
� Busca-se posicionar as cargas acidentais de forma que os esforços
causados pelas memas sejam mínimos na seção em estudo.
10,0 m
-5 -5
5
20,0 m 10,0 m
10,0 m 10,0 m
Envoltórias de Esforços – Momento Fletor
Mínimo – Seção central entre os apoios
Comentários Finais
� Envoltórias de esforços cortantes;
� Carga móvel distribuída;
� Linha de Influência em estruturas hiperestáticas
Referências Bibliográficas
� Martha, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio 
de Janeiro, Editora Elsevier, 2010;
� Süssekind, J. C. Curso de análise estrutural. 6° edição, Porto Alegre, 
Editora Globo, 1981;
� Kalmus, S. S. Estabilidade das construções. 3° edição, São Paulo, 
Editora Nobel, 1984;
Lista de Exercício
OBRIGADO!