Apostila Geometria Descritiva Para Engenharia Civil

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PREFÁCIO. 
 
A Geometria Descritiva teve um papel preponderante na formação de 
Engenheiros e Arquitetos como instrumento para desenvolver a visão e 
o raciocínio espacial. A partir do advento das novas diretrizes 
curriculares a Geometria Descritiva vem perdendo espaço, tornando-se 
em alguns cursos, disciplina eletiva. 
A Geometria Descritiva é uma das disciplinas fundadoras do curso de 
Engenharia da Escola Politécnica de Paris, e no Brasil já foi disciplina 
ensinada no ensino médio, antigo Segundo Grau. Nesta época as 
disciplinas de apoio à Geometria Descritiva: o Desenho de Observação 
e a Geometria Plana eram também disciplinas autônomas que 
posteriormente foram acopladas a Artes e à Matemática, diminuindo 
drasticamente o seu conteúdo. 
Atualmente na maioria dos cursos de Engenharia e Arquitetura, a 
Geometria Descritiva está inserida na disciplina Desenho Técnico em 
prejuízo de ambas. Nesses cursos os alunos perdem a oportunidade 
de desenvolver o pensamento tridimensional, a habilidade de ver com 
a mente o que ainda não existe materialmente e poder representá-lo 
de forma inequívoca. Isso não é apenas uma lacuna na formação de 
engenheiros e arquitetos, mas uma falha na formação de todas as 
pessoas, qualquer que seja a profissão. 
Nesta abordagem da Geometria Descritiva destinada aos alunos do 
Curso de Engenharia Civil optamos por privilegiar as soluções gráficas 
e o entendimento espacial de figuras e sólidos, lançando mão de 
explicações matemáticas somente quando estritamente necessário. 
Pelo mesmo motivo, procuramos apresentar exercícios com sólidos 
(prismas e pirâmides) para desenvolver o sentido de visão e raciocínio 
espacial e tornar o estudo menos árido. 
Dividimos a apostila em quatro momentos: após uma rápida 
introdução, o estudo do ponto com apresentação de vários desenhos 
em três dimensões, no segundo capítulo o estudo da reta, divididos em 
duas etapas, uma primeira abordagem com os aspectos 
tridimensionais e na seqüência um estudo mais aprofundado das 
épuras e seus corolários; da mesma forma no terceiro capítulo que 
trata dos planos, dividimos o estudo em duas partes como nas retas, 
inclusive porque a repetição ajuda na fixação; e finalmente nos 
métodos descritivos procuramos ilustrar cada um dos métodos com 
exercícios envolvendo sólidos. 
 
 
Palmeira dos Índios, 03 de Novembro de 2014. 
 
 
Claudio Bergamini 
Professor MsC. em Arquitetura 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE. 
 
Introdução à Geometria Descritiva 
1. Ponto 
1.1. Conceitos Primitivos 
1.2. Sistema Mongeano de projeção 
1.3. As projeções do ponto 
1.4. As coordenadas do ponto 
1.5. Notação 
1.6. Estudo do ponto 
1.7. Posições genéricas do ponto 
1.8. Simetria do ponto 
1.9. Projeção lateral do ponto 
2. Reta 
2.1. Estudo da reta 
2.2. O ABC da reta 
2.3. Traços da reta 
2.4. Regras de visibilidade em sólidos 
2.5. Posições particulares das retas 
2.6. Pertinência de ponto à reta 
2.7. Marcação de pontos em retas 
2.8. Percurso das retas 
2.9. Posições relativas entre retas 
3. Plano 
3.1. Estudo do plano 
3.2. Traço de um plano 
3.3. O ABC do plano 
3.4. Posições particulares do plano 
3.5. Traço lateral do plano 
3.6. Pertinência: ponto a plano – reta a plano 
3.7. Marcação de pontos em planos projetantes 
3.8. Marcação de pontos em planos não 
projetantes 
3.9. Retas em planos 
3.10. Principais de um plano 
3.11. Retas de máximo declive e de máxima 
inclinação 
4. Métodos Descritivos 
4.1. Introdução 
4.2. Método da mudança de planos 
4.3. Método das rotações 
4.4. Método dos rebatimentos 
5. Projeções cotadas 
5.1. Introdução 
5.2. Superfícies topográficas 
5.3. Taludes de corte e aterro 
6. Referências bibliográficas 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DESCRITIVA. 
 
O desenho como forma de conhecimento. 
O desenho considerado de uma forma mais ampla que o senso 
comum, ou como apresentado pelas definições dos dicionários, 
conforme a definição abaixo parece permanecer ainda um mistério que 
demanda pesquisas mais aprofundadas. 
 
Desenho s.m. (lat.tar. Designium) 1.Arte de representar visualmente, 
por meio de traços, a forma e eventualmente os valores de luz e 
sombra de um objeto ou figura. (LAROUSSE). 
 
De maneira geral o desenho é definido como um suporte artístico 
ligado à produção de obras bidimensionais, uma forma de expressão 
através de linhas, pontos e formas. 
Podemos dizer que essas definições não comportam tudo que o 
desenho representa para a ciência. 
Basicamente podemos verificar duas formas pelas quais o desenho se 
manifesta: como forma de expressão e como forma de informação, 
comunicação e registro. 
A escrita, a fala e o desenho representam idéias e pensamentos. 
O desenho além de idéias e pensamentos expressa realidades que 
não podem ser descritas por outras formas de comunicação, como o 
conceito de velocidade, estados de espírito, emoções, paradoxos. 
O desenho como forma de expressão, revela nuances que vão muito 
além da escrita e da fala, revela coisas que o próprio autor dos 
desenhos ignora. 
 
 
 Desenho de paradoxo: duas imagens em um só desenho 
 
 
 
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Arte rupestre: realismo e precisão. 
 
A arte rupestre que sempre nos surpreende pelo realismo e pela 
sensibilidade, que nos parece contemporânea, indica a necessidade 
de uma representação ritual da realidade. 
Nas civilizações antigas vemos os desenhos como forma de 
comunicação estilizada na escrita, mapas e estudos científicos. 
 
Hieróglifos egípcios Hieróglifos maias 
 
 
Mapa da América – sem data Desenho de anatomia – Leonardo da Vinci 
 
 
 
 
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Geometria - o desenho como representação precisa da forma e 
tamanho. 
A palavra Geometria de origem grega é formada por geo (terra) e 
metria (medida), a Geometria que parece tão antiga quanto a escrita 
apresenta o desenho como uma conjunção com a matemática, o 
desenho como representação da forma e tamanho, de maneira 
precisa. 
Há 5.000 anos era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e 
áreas, desenvolvida a partir da necessidade de medir terras, construir 
casas, templos monumentos, navegar, calcular distâncias. Os seus 
registros estão presentes nos legados de todas as civilizações: 
babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus, árabes 
utilizaram as formas geométricas no seu dia-a-dia. 
 
 
Papiro de Moscou 
Escrito em hierático (escrita sacerdotal do 
antigo Egito) de autor desconhecido por 
volta de 1850 a.C., as duas dimensões 
são, aproximadamente 8 cm de largura 
por 5 metros de comprimento. Contém 25 
problemas, sendo impossível interpretar 
muitos deles devido ao grau de 
degradação do manuscrito. Neste papiro 
é apresentada uma forma de cálculo do 
tronco de pirâmide quadrada. 
“Um tronco de pirâmide tem 6 cúbitos de 
altura, 4 cúbitos de base por 2 cúbitos de 
topo. Qual o volume?” 
 
Museu Pushkin - Moscou 
 
Os conceitos, propriedades e resultados apresentados na Geometria 
são muito antigos, começaram a adquirir a forma que os conhecemos 
hoje com as investigações de Tales, que viveu por volta do ano 600 
a.C., ganharam força nas escolas de Pitágoras, Aristóteles e Platão, e 
foi organizado, pela primeira vez, por Euclides, um matemático da 
escola de Alexandria que viveu por volta do ano 300 a.C.. 
Por essa razão, a Geometria é muito freqüentemente denominada de 
“Geometria Euclidiana“, foi aperfeiçoada pelos sucessores de Euclides 
e, até o ano 500 d.C., já tinha sua forma atual. 
 
 
 
 
“Sócrates – Os sofistas dão a esta linha o 
nome de diagonal e, por isso, usando 
esse nome, podemos dizer que a 
diagonal é o lado de um quadrado de 
área dupla, exatamente como tú, ó 
escravo de Mênon, o afirmaste.” 
(Diálogos, Mênon – Platão)7 
 
Os padrões da natureza e suas simetrias e muitos problemas práticos 
do nosso cotidiano podem ser traduzidos e transformados em 
diagramas geométricos. 
A análise e interpretação desse modelo trazem um melhor 
entendimento, novas informações ou respostas para o problema 
original, e constituem a rotina de trabalho quando estudamos 
Geometria. 
O desenvolvimento da Geometria se ampliou de várias formas, 
derivando em diversos campos de estudo como: Geometria Plana, 
Geometria Espacial, Geometria Analítica – estudo das figuras por meio 
da álgebra, com auxílio do sistema cartesiano, Geometria Descritiva – 
estudo das figuras no espaço, Geometria Esférica – trata da superfície 
bi-dimensional numa esfera, Geometria Fractal – ramo da matemática 
que estuda o comportamento dos “fractais”. 
Geometria e Projeto. 
Embora tenha ocorrido um grande avanço na construção de edifícios 
e máquinas que são parte importante do desenvolvimento 
tecnológico ainda não havia um método de representação de objetos 
tridimensionais de forma precisa e inequívoca. 
Em outras palavras, embora se construísse segundo algum tipo de 
projeto, este não era acessível a todos, permanecia um segredo dos 
construtores. Assim não temos registros de grandes construções 
ancestrais como os palácios da Babilônia ou as pirâmides do Egito. 
 
Piscina representada no túmulo do Escriba Nebamon – XVIII Dinastia 
(1550 a 1307 a.C.) – Museu Britânico de Londres. 
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Desenho de Brunelleschi 
 
Na ilustração da página anterior vemos projeto egípcio que apresentam 
plantas e vistas que provavelmente só eram entendidos pelos próprios 
projetistas. Mais abaixo desenhos de Brunelleschi de uma estrutura de 
madeira para apoio de uma cúpula, desenhos de Leonardo da Vinci 
ilustrando máquinas, parecem desenho técnico, mas ainda não existia 
o método de se representar objetos tridimensionais de forma precisa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho visionário de Albretch Dürer 
(Pintor, gravador e matemático alemão - 
1471-1528), produzido quase três 
séculos antes do surgimento da 
linguagem da Geometria Descritiva de 
Gaspar Monge. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho de Leonardo da Vinci 
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Geometria Descritiva - representação precisa e não ambígua de 
objetos, mecanismos e construções. 
 
A Geometria descritiva elaborada pelo matemático Gaspard Monge 
(Beaune - França – 10 de maio de 1746 – 28 de julho de 1818) 
constitui-se em um método simples de representar com precisão as 
características geométricas de um produto, mecanismo, construção, 
etc.. 
 
Inicialmente utilizada para fins militares, e em seguida ensinada na 
École Polytechnique, uma das mais antigas, célebres e prestigiosas 
universidades de engenharia francesa, fundada em 1794 durante a 
Revolução Francesa, é a responsável direta pelo florescimento 
industrial e pelo rápido desenvolvimento tecnológico do mundo 
contemporâneo. 
 
O Sistema Mongeano utiliza projeções cilíndricas ortogonais em que 
através das projeções sobre o plano horizontal, o plano vertical e 
posteriormente o plano lateral introduzido pelo matemático italiano 
Gino Loria, consegue-se representar qualquer objeto tridimensional de 
forma precisa e inequívoca. É a ciência que estuda os métodos de 
representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. 
 
 
 
Projeção é o conjunto de operações geométricas que permite obter a 
figura formada pelos pontos de interseção dos raios projetantes que 
partem de um centro projetivo e incidem sobre uma figura do espaço, 
com uma superfície. 
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Por meio de uma operação denominada REBATIMENTO, gira-se o 
plano horizontal sobre o vertical gerando desenhos em duas projeções: 
Horizontal e Vertical. 
O resultado do rebatimento é denominado ÉPURA, e às projeções 
obtidas desse modo dá-se o nome de Projeções Ortográficas. 
O desmembramento das projeções do Plano Horizontal gera a Planta 
Baixa e das projeções no Plano Vertical, as Elevações e Cortes 
utilizadas nos desenhos de Arquitetura e Engenharia. 
O Desenho Técnico nada mais é do que a representação de objetos, 
máquinas, edifícios, etc. utilizando os princípios da Geometria 
Descritiva, acrescido de outras informações normatizadas 
internacionalmente. 
Como resultado dessa conjunção foi elaborada uma linguagem 
universal para todos os tipos de projetos o que representou um enorme 
impulso para o desenvolvimento de novas máquinas, acelerou o 
processo construtivo e propiciou o surgimento de novas tecnologias. 
 
 
 
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PONTO 
 
Sumário 
 
1. Conceitos Primitivos 
2. Sistema Mongeano de projeção 
3. As projeções do ponto 
4. As coordenadas do ponto 
5. Notação 
6. Estudo do ponto 
7. Posições genéricas do ponto 
8. Simetria do ponto 
9. Projeção lateral do ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Conceitos primitivos. 
 
- forma e dimensão 
- ponto, reta e plano (elementos fundamentais) 
- linha e superfície 
- espaço 
 
Proposições Básicas 
 
1º) Há no espaço um número infinito de pontos, retas e planos. 
2º) Um ponto pertence a um número infinito de retas e a um número 
infinito de planos. 
3º) Uma reta contém um número infinito de pontos e pertence a um 
número infinito de planos. 
4º) Um plano contém um número infinito de pontos e um número infinito 
de retas. 
São também considerados postulados básicos as seguintes afirmações: 
5º) Dois pontos são suficientes para determinar uma reta. 
6º) Três pontos não colineares são suficientes para determinar um 
plano. 
7º) Dois planos determinam uma reta que pertence, simultaneamente, a 
ambos. 
8º) Três planos, que não contém uma mesma reta, determinam um 
ponto comum. 
9º) Um plano e uma reta que não lhe pertence, determinam um ponto 
comum. 
 
 
 Proposições Decorrentes 
 
Se uma reta define uma determinada direção, a 5ª proposição básica 
permite afirmar que: 
 
1º) Duas retas distintas (portanto, não coincidentes) são paralelas 
quando têm a mesma direção. 
 
Do 5ª e da 6ª proposição básica pode-se deduzir de imediato que: 
2º) Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano. 
 
3º) Duas retas coplanares (portanto, que pertencem a um mesmo 
plano) determinam um ponto comum. 
 
4º) Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus 
pontos pertencem ao plano. 
 
5º) Para que uma reta seja paralela a um plano, basta que seja paralela 
a uma reta desse plano. 
 
 
 
 
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2. Sistema Mongeano de Projeção. 
 
O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-
ortogonal, onde dois planos, um horizontal e um vertical, se 
interceptam no espaço, sendo, portanto, em função de suas posições, 
perpendiculares entre si. A intersecção desses planos determina uma 
linha chamada Linha de Terra (LT). Esses planos determinam no 
espaço quatro diedros numerados no sentido anti-horário. 
 
Após Monge ter sistematizado a Geometria Descritiva, foi 
acrescentado por Gino Loria um terceiro plano de projeção para 
melhor localização de objetos no espaço. 
Este terceiro plano de projeção, denominado plano Lateral, forma com 
o diedro conhecido um triedro trirretângulo, sendo, portanto, 
perpendicular aos planos Horizontal e Vertical de projeção. 
O plano lateral fornecerá uma terceira projeção do objeto. 
Até agora representamos os objetos no espaço. Para representarmos 
esses objetos no plano bidimensional do papel, é necessário que o 
plano horizontal e vertical coincidamem uma única superfície plana. 
Monge utiliza um artifício, rotaciona o plano horizontal em 90°, fazendo 
com que o plano horizontal coincida com o vertical. Esse procedimento 
chama-se rebatimento. 
 
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Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto 
pertencem a uma mesma reta perpendicular à L.T. esta reta é 
denominada linha de chamada. 
 
A distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH) é denominada 
COTA do ponto; que em projeção é representada em épura pela 
distância de sua projeção vertical até a linha de terra. 
 
A distância de um ponto ao Plano Vertical (PV) é denominada 
AFASTAMENTO do ponto; que em projeção é representada em épura 
pela distância de sua projeção horizontal até a linha de terra. 
 
 
 
DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um 
horizontal, um vertical. 
 
LINHA DE TERRA - reta determinada pela intersecção dos planos 
Horizontal e Vertical de projeção. 
 
REBATIMENTO – rotação do PH em 90° para obtenção da épura. 
 
ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, por suas 
projeções. 
 
LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga 
as projeções horizontais e verticais de pontos. 
 
COTA – distância de um ponto ao PH. 
 
AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV. 
 
VERDADEIRA GRANDEZA - VG - diz-se que uma projeção está em 
VG quando o objeto está paralelo ao plano de projeção, projetando o 
mesmo com sua real superfície. 
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Planos de Projeção 
Plano Vertical ou Plano Frontal de Projeção (PV ou PF), o outro é 
horizontal e designa-se por Plano Horizontal de Projeção (PH). Esses 
planos cruzam-se numa reta que se designa por Linha de Terra ou LT. 
Utilizaremos a nomenclatura PH e PV para os planos de projeção. 
 
 
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Planos bissetores 
Os planos bissetores dividem os diedros em espaços iguais, 
chamados octantes. Como se pode verificar, planos de projeção e 
planos bissetores cruzam-se na LT. 
Chama-se β1/3 ao bissetor dos diedros ímpares e β2/4 ao bissetor 
dos diedros pares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. As projeções do ponto. 
Na Geometria Descritiva trabalha-se com projeções ortogonais, o que 
significa que as figuras geométricas são projetadas do espaço para os 
planos de projeção através de retas que lhes são perpendiculares. 
 
 
Os pontos são projetados do espaço 
para os planos de projeção através de 
retas que são perpendiculares aos 
planos, designadas por projetantes. 
 Rodando em torno da LT, os planos de 
projeção ficam coincidentes, esse 
movimento é designado por 
rebatimento. 
 
Depois de projetados os pontos e de efetuado o rebatimento, as 
representações finais dos pontos ficam como mostra esta imagem. 
Note-se que os pontos A, B, C e D se situam nos diedros I, II, III e IV, 
respectivamente. 
 
 
 
 
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4. As coordenadas do ponto. 
 
Para representar pontos (e as outras figuras geométricas) consideram-
se três coordenadas: abscissa, afastamento e cota. Aqui se explica em 
que consistem o afastamento e a cota. O valor da abscissa serve para 
situar o ponto ao longo do eixo x. 
 
 
 
 
 
Os pontos dados pelas suas coordenadas estão representados nos 
planos de projeção vistos de lado, na primeira imagem; nesta estão 
representados pelas suas projeções. Como se pode verificar, cotas 
positivas e afastamentos negativos originam projeções para cima da 
LT; afastamentos positivos e cotas negativas originam projeções para 
baixo da LT. 
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Coordenadas dos pontos representados: 
A(5;3;1) B(2;-1;4) C(-2,5;2;2) D(-1;-3;-3) E(4;0;2) 
F(0;2;1,5) G(-4;-1;0) H(3;3;-1) I(-5;-2;2) J(6;-3;-1) 
 
O plano de referência para a abscissa é o plano lateral de projeção. 
 
À esquerda desse plano as abscissas têm valores positivos, à direita 
têm valores negativos. 
 
Nas projeções é a reta y≡z que serve de referência para a marcação 
das abscissas. 
 
O valor da abscissa serve para situar o ponto ao longo do eixo x, à 
esquerda ou à direita de y≡z, ou de um ponto de referência marcado 
na LT. 
 
 
Exercício. 
Representar os pontos acima individualmente em épura e na caixa em 
três dimensões. 
 
 
 
 
 
 
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5. Notação. 
 
A notação em Geometria Descritiva é variável, e tende a tornar o 
estudo mais complexo, optamos por utilizar a notação proposta por 
Cremona (Luigi Cremona – 1830-1903) que nos parece, para o 
iniciante, a que gera menos equívocos com o avanço no estudo da 
disciplina. 
Pontos retas e planos são designados por letras maiúsculas latinas, 
minúsculas latinas e minúsculas gregas respectivamente. 
Elementos objetivos, isto é, individualizados no espaço, são 
representados entre parênteses. 
A distinção entre as duas projeções do mesmo ponto, cota e 
afastamento é feita colocando-se plicas (linhas) à letra que se refere à 
projeção da cota. 
Os traços de um plano designam-se pela letra que o individualiza 
antecedida pelo plano de projeção considerado. 
A congruência de dois pontos, retas ou planos é traduzida pelo sinal 
de identidade. 
As projeções no plano lateral são acrescidas do índice º e a Linha de 
Terra é representada com traços nas extremidades. 
 
NOTAÇÃO 
Elemento Convenção Exemplos 
 Objetivo Projeção 
horizontal 
Projeção 
vertical 
Projeção 
lateral 
Ponto Letra latina maiúscula (P) P P’ Pº 
Reta Letra latina minúscula (r) r r’ rº 
 
Plano 
Horizontal 
 PH 
Plano Vertical 
ou Frontal 
 PV ou PF 
Plano Lateral PL 
Planos Letra grega minúscula (α) hα fα lα 
Linha de Terra 
ou LT 
Linha com traço curto 
nas extremidades 
 
 
 
 
 
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6. Estudo do Ponto. 
 
Para determinarmos a posição de um ponto no espaço, é necessário 
projetá-lo sobre os dois planos de projeção ortogonais – plano de 
projeção horizontal (X,Y) e plano de projeção vertical (X,Z). O ponto é 
representado por suas coordenadas descritivas. 
P (x, y, z) 
 
 
 
 
P (x, y) – projeção de P no plano horizontal 
P’ (x, z) – projeção de P no plano vertical 
Pº (y, z) – projeção de P no plano auxiliar 
 
LINHA DE TERRA – interseção do plano horizontal e frontal de 
projeção 
 
PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE P: P, P’ e Pº 
 
PROJETANTE - é a perpendicular traçada do ponto do espaço à sua 
projeção ortogonal (PP, PP’, PPº) 
 
LINHA DE PROJEÇÃO OU LINHA DE CHAMADA - é toda linha 
perpendicular a linha de terra, que une as projeções de um mesmo 
ponto, ou seja, é a projeção das projetantes. 
 
 
 
 
 
 
 
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Coordenadas descritivas do ponto: A (x,y,z) 
 
 
Abscissa (x) Afastamento (y) Cota (z) 
É a distância do ponto 
(objetivo) ao plano lateral de 
projeção, ou seja, o quanto o 
ponto se afasta da origem do 
sistema 
É a distância do ponto 
(objetivo) ao plano vertical de 
projeção, ou seja, o quanto o 
ponto se afasta do PV. 
É a distância do ponto 
(objetivo) ao plano horizontal 
de projeção, ou seja, é a altura 
em relação ao PH. 
 
7. Posições genéricas do ponto. 
 
 
 
 
As coordenadas 
destes pontos são: 
 
A(3;1), B(2;2), 
C(1;3), D(0;4), 
E(-1;3), F(-2;2), 
G(-3;1), H(-4,0) 
I(-3;-1), J(-2;-2), 
K(-1;-3), L(0;-4), 
M(1;-3), N(2;-2), 
O(3;-1), P(4;0) 
Q(0;0) 
 
 
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8. Simetria do Ponto. 
 
 
Determinação de pontos simétricos 
Os pontos de referência utilizados nesta imagem são os seguintes: 
A(1;3) P(-4;2) 
 
Os simétricos de A são: 
B(1;-3) - simétrico em relação ao PHP 
C(-1;3) - simétrico em relação ao PFP 
D(3;1) - simétrico em relação ao β1/3 
E(-3;-1) - simétrico em relação ao β2/4 
F(-1;-3) - simétrico em relação ao eixo xOs simétricos de P são: 
Q(-4;-2) - simétrico em relação ao PHP 
R(4;2) - simétrico em relação ao PFP 
S(-2;4) - simétrico em relação ao β2/4 
T(2;-4) - simétrico em relação ao β1/3 
U(4;-2) - simétrico em relação ao eixo x 
 
As coordenadas dos pontos simétricos mantêm os valores absolutos 
dos do ponto de referência. 
 
 
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9. Projeção lateral do ponto. 
 
 
 
 
 
As três projeções de um ponto em perspectiva 
O ponto (P) é projetado no PH em P, no PV em P’ e no PL em Pº. 
Depois de feitas as projeções, os planos rebatem conforme mostram 
as setas. 
O primeiro rebatimento a considerar é o do PH, só depois de faz o 
rebatimento do PL. 
Do primeiro rebatimento resulta a coincidência dos eixos y e z. 
 
A projeção lateral de um ponto 
A projeção lateral obtém-se com linhas de chamada paralelas à LT e 
com uma rotação feita com o compasso colocado no ponto de 
cruzamento dos eixos. 
A rotação do compasso faz-se sempre no sentido inverso ao dos 
ponteiros do relógio. 
O ponto P corresponde ao que está representado em perspectiva. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios de fixação. 
(Representar as três projeções) 
 
1. Representar a épura das projeções dos seguintes pontos: 
A (2;-1;3) B (4;2;2) C (-3;5;3) 
D (-4;-2;3) E (0;3;4) F (3;0;5) 
E fazer a sua análise no espaço. 
 
2. Representar em épura as projeções dos seguintes pontos 
G (0;0;4) H (-1;2;0) e I (2;-1;0) 
E indicar a sua posição em relação aos planos de projeção. 
 
3. Determine o ponto J, simétrico de K (2;3;-2) em relação ao plano 
Vertical. 
 
4. Determine o ponto L, simétrico de M (1;2;3) em relação ao plano 
Horizontal. 
 
5. Determinar as coordenadas de um ponto N simétrico de O (1;4;6) 
em relação à Linha de Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
RETA 
 
Sumário 
 
1. Estudo da reta 
2. O ABC da reta 
3. Traços da reta 
4. Regras de visibilidade em sólidos 
5. Posições particulares das retas 
6. Pertinência de ponto à reta 
7. Marcação de pontos em retas 
8. Percurso das retas 
9. Posições relativas entre retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
1. ESTUDO DA RETA. 
 
Uma reta é determinada pelo deslocamento de um ponto em uma 
determinada direção. 
 
Pode-se representá-la por dois pontos e é identificada por letras latinas 
minúsculas. 
 
 
 
 
 
As duas projeções do segmento de reta 
 
Para obter as projeções do segmento de reta basta unir as projeções de 
mesmo nome. (A-B e A’-B’) 
 
Veremos que o segmento pode ter diferentes posições em relação aos 
planos de projeção, o que leva a que as suas projeções apresentem 
aspetos diferentes. 
 
Aqui vemos um segmento de reta oblíquo. 
 
 
 
 
 
 
30 
 
As três projeções do segmento de reta. 
 
 
 
 
Para obter a projeção lateral de um segmento de reta basta unir as 
projeções laterais dos seus extremos. 
 
Conforme a posição do segmento de reta, assim será o aspecto da sua 
projeção lateral. 
 
Exemplifica-se aqui com um segmento de reta de perfil. 
 
Uma reta no espaço pode ocupar três posições distintas em relação a 
um plano de projeção, sendo que cada uma delas resulta em um tipo 
de projeção particular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Posições de retas em relação a um plano de projeção. 
 
Reta paralela ao Plano de 
Projeção 
Reta perpendicular ao Plano 
de Projeção 
Reta obliqua ao Plano de 
Projeção 
 
 
 
Projeção em Verdadeira 
Grandeza (VG) 
A projeção é igual à reta. 
Projeção Acumulada (PA) 
A projeção da reta é um 
ponto. 
Projeção Reduzida (PR) 
A projeção é menor que a 
reta. 
 
Reta paralela ao Plano de Projeção. 
 
 
O segmento de reta [AB] é paralelo a ambos os planos de projeção; 
essa posição designa-se por fronto-horizontal. 
O segmento [CD] é paralelo ao PH e oblíquo ao PV; designa-se por 
horizontal. 
O segmento [EF] é paralelo ao PV e oblíquo ao PH; a sua posição é 
frontal. 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Reta perpendicular ao Plano de Projeção. 
 
 
Estes segmentos de reta também são paralelos a um plano de 
projeção, mas aquilo que aqui se salienta é a sua relação de 
perpendicularidade com os planos de projeção. 
O primeiro segmento é perpendicular ao PH e designa-se por vertical. 
O segundo é perpendicular ao PV, sendo de topo. 
De notar a coincidência que acontece numa das projeções dos 
extremos dos segmentos. 
 
Reta oblíqua ao Plano de Projeção. 
 
 
Estes segmentos de reta são ambos oblíquos aos planos de projeção. 
O [KL] é também oblíquo ao eixo x; designa-se por oblíquo. 
O [MN] é também perpendicular ao eixo x; a sua posição é de perfil. 
 
 
33 
 
Projeção lateral das retas. 
 
Reta oblíqua ao plano lateral de projeção 
Aqui se mostra como obter a projeção lateral de um segmento de reta 
oblíquo e de outro horizontal. 
O processo é o mesmo para qualquer segmento de reta. 
 
Reta paralela ao plano lateral de projeção 
 
Normalmente é com segmentos de reta paralelos ao plano lateral de 
projeção que há interesse em saber da sua projeção lateral. 
Aqui se mostra um segmento de reta vertical e outro de perfil. 
 
 
 
34 
 
Exercícios de Fixação 
1. Representar, em dupla projeção, os segmentos de reta [IJ] e [KL] 
cujos extremos são: 
I(8;2;2) K(2;1;2) 
J(4;4;0) L(-3;4;-2) 
 
2. Representar, em dupla projeção, os seguintes segmentos de reta: 
[MN], vertical, com 3 cm de tamanho, sendo M(4;3;2) o ponto de menor 
cota. 
[OP], de topo, com 4 cm de tamanho, tendo P(-3;0;3) menor 
afastamento. 
 
3. Representar, em tripla projeção, o segmento de reta cujos extremos 
são Q(-4;2;1) e R(-4;5;4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
2. O ABC da reta. 
 
De acordo com o método mongeano, determina-se a posição de uma 
reta no espaço através de suas projeções sobre dois planos de 
projeção ortogonais: plano de projeção horizontal, plano de projeção 
frontal. 
 
A reta pode ocupar sete posições distintas com relação aos planos 
horizontal e frontal de projeção. 
 
• Reta horizontal 
• Reta frontal 
• Reta fronto-horizontal 
• Reta vertical 
• Reta de topo 
• Reta de perfil 
• Reta oblíqua ou qualquer 
 
O ABC da reta abordará o estudo da reta em duas etapas, numa 
primeira aproximação apresentaremos o segmento de reta no primeiro 
diedro com suas características principais, na segunda abordagem 
consideraremos os quatro diedros e aprofundaremos os estudos com 
algumas proposições decorrentes. 
 
Podemos observar que as sete posições da reta podem ser agrupadas 
em três categorias: 
 
Retas paralelas aos planos de projeção: Horizontal 
 Frontal 
 Fronto-horizontal 
 
Retas perpendiculares aos planos de projeção: Vertical 
 Topo 
 
Retas obliquas aos planos de projeção: Perfil 
 Obliqua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
RETA HORIZONTAL 
 
 
 
 
Características da reta Horizontal: 
 
O segmento AB tem mesma cota em todos os seus pontos, 
portanto é paralela ao PH. 
 
Por ser paralela ao PH, porém oblíqua ao PV, sua projeção 
horizontal está em VG e é oblíqua à LT. 
 
Tem afastamentos diferentes em seus pontos, é oblíquo ao PV, e 
também obliqua ao PL, fazendo ângulos com estes planos tendo 
portanto projeçãoreduzida (PR). 
 
Possui cotas (z) iguais e afastamentos (y) diferentes. 
 
Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, sua projeção vertical é 
paralela à LT. 
 
 
 
 
 
 
37 
 
RETA FRONTAL 
 
 
 
 
Características da reta Frontal: 
 
O segmento CD tem mesmo afastamento em todos os seus pontos, 
portanto é paralelo ao PV. 
 
Sendo paralelo ao PV, sua projeção vertical estará em VG e é oblíqua 
à LT. 
 
Tem cotas diferentes em seus pontos e, é oblíquo ao PH, sendo 
também obliqua ao PL, fazendo ângulos com estes planos tendo, 
portanto projeção reduzida (PR). 
 
Possui cotas (z) diferentes e afastamentos (y) iguais. 
 
Por ser oblíqua ao PH, mas paralela ao PV, sua projeção horizontal 
será paralela à LT. 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
RETA FRONTO-HORIZONTAL 
 
 
 
 
 Características da reta Fronto-horizontal: 
 
O segmento EF tem mesma cota – distância do ponto ao PH - 
em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. 
 
Tem também, mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - 
em todos os seus pontos e, portanto é paralela ao PV. 
 
Por ser paralela ao PH e ao PV, suas projeções horizontal e 
vertical estão em VG – Verdadeira Grandeza 
 
Sendo paralela ao PV e PH também o será à LT. 
 
É perpendicular ao PL tendo, portanto projeção acumulada (PA). 
 
Possui cotas (z) e afastamentos (y) iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
RETA VERTICAL 
 
 
 
 
 
Características da reta Vertical: 
 
O segmento GH tem mesmo afastamento em todos os seus pontos, 
portanto é paralelo ao PV. 
 
Sendo paralelo ao PV, sua projeção vertical estará em VG e é 
perpendicular à LT. 
 
Tem cotas diferentes em seus pontos e, é perpendicular ao PH, tendo 
portanto projeção acumulada (PA) 
. 
Possui cotas (z) diferentes e afastamentos (Y) iguais. 
 
Sendo paralelo ao PV, sua projeção lateral também estará em VG. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
RETA DE TOPO 
 
 
 
 
 
Características da reta de Topo: 
 
O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, 
portanto é paralela ao PH. 
 
 Por ser paralela ao PH, sua projeção horizontal está em VG e é 
perpendicular à LT. 
 
Tem afastamentos diferentes em seus pontos e, é perpendicular 
ao PV, tendo portanto projeção acumulada (PA). 
 
Possui cotas (z) iguais e afastamentos (y) diferentes. 
 
Sendo perpendicular ao PV, sua projeção lateral também estará 
em VG. 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
RETA DE PERFIL 
 
 
 
 
 
Características da reta de Perfil: 
 
O segmento KL é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH, porém é paralelo 
ao Plano Auxiliar de Projeção (PL). 
 
Suas projeções horizontal e vertical estão em PR, porém sua projeção 
no PL está em VG. 
 
As cotas (z) e os afastamentos (y) são diferentes ao longo do 
segmento. 
 
As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. 
 
No espaço, ela pode ser concorrente à LT. 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
RETA OBLÍQUA 
 
 
 
 
Características da reta Oblíqua: 
 
O segmento MN é oblíquo em relação ao PV, ao PH e ao PL. 
 
Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do 
segmento. 
 
Nenhuma de suas projeções está em VG estão todas em PR. 
 
As projeções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à 
LT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Resumo das características principais das retas. 
 
 
Horizontal - VG no PH Frontal - VG no PV Fronto-Horizontal - VG no PH 
e no PV 
 
Vertical - VG 
no PV 
Topo - VG no PH Perfil - VG no PL Oblíqua - não apresenta VG 
 
 
 
 
 
 
44 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
Coordenadas:A (7;0;0) - B (3;0;0) - C (7;2;0) - D (3;2;0) - E (7;2;6) 
F (3;2;6) - G (7;0;6) - H (3;0;6) 
 
1. Desenhar e identificar as seguintes retas: 
a) Que tipo de retas passam pelas arestas EF, EC, EG (mostrar a VG) 
b) Que tipo de retas passam pelas diagonais ED, FG, GC 
(mostrar a VG) 
c) Que tipo de retas passam pelas diagonais HC, GD, AF, BE 
 
2. Desenhar a épura da pirâmide obliqua de base hexagonal 
regular inscrita em um círculo de raio=4 cm, dados: 
 Centro O (10;8;3) 
Vértice da pirâmide V (1;8;13) 
A base encontra-se em plano paralelo ao PH. 
Lados da base fronto-horizontais. 
 
3. Desenhar á épura de um prisma obliquo cuja base é um 
triângulo eqüilátero com 4 cm de lado, paralelo à LT, dados: 
Vértice esquerdo do triângulo inferior – A (15;8;3) 
Vértice direito do triângulo superior – B (3;8;13) 
A base e o topo são paralelos ao PH. 
 
 
 
45 
 
 3. Traços da reta. 
 
Quando uma reta intercepta uma outra reta, ou mesmo um plano, 
chama-se traço da reta ao ponto de interseção dessa reta com outra, 
ou ainda, dessa reta com o plano. 
Quando uma reta intercepta o plano horizontal de projeção, o traço 
horizontal da reta é o seu ponto que tem cota nula. 
Quando a reta intercepta o plano vertical de projeção, o traço vertical 
da reta é o seu ponto que tem afastamento nulo. 
Em épura, o traço horizontal de uma reta - designado por (H) - tem 
sua projeção vertical H' sobre a linha de terra. 
O traço vertical - designado por (V) - tem sua projeção horizontal V 
sobre a linha de terra. 
 
 
 
 4. Regras de visibilidade em sólidos. 
 
 1- Contorno aparente visível (em ambas as projeções); 
 
 2- Em projeção horizontal são vistos os pontos de maior cota; 
 
 3- Em projeção vertical são vistos os pontos de maior afastamento; 
 
 4- Quando duas retas se cortam, uma é vista, a outra não; 
 
 5- Dois pontos visíveis determinam, geralmente, uma reta visível; 
 
 6- Basta que um ponto seja invisível para que a reta o seja; 
 
 7- Basta uma reta ser invisível para que a face o seja. 
 
 
46 
 
5. Posições particulares das retas. 
 
RETA HORIZONTAL 
 
Definição: Chama-se reta horizontal ou de nível a toda reta paralela ao 
plano horizontal e obliqua ao plano vertical. 
 
 
 
 
Teorema: 
 
Toda reta horizontal tem projeção vertical paralela à linha de 
terra. 
 
Recíproca: 
 
Toda reta que tem projeção vertical paralela à linha de terra é 
horizontal. 
1-Todo segmento de reta horizontal tem projeção horizontal em 
VG. 
2-O ângulo que uma horizontal faz com o PV é igual ao ângulo 
que sua projeção horizontal faz com a LT. 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 Épura da reta horizontal. 
 
 
 
Projeção lateral da reta horizontal. 
 
 
 
 
As projeções laterais das retas horizontais tenham cota positiva ou 
negativa, são coincidentes com as frontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
RETA FRONTAL 
 
Definição: Chama-se reta frontal ou de frente a toda reta paralela ao 
plano vertical e obliqua ao plano horizontal. 
 
 
 
 
 
Teorema: 
 
 Toda reta frontal tem projeção horizontal paralela à linha de 
terra. 
 
Recíproca: 
 
Toda reta que tem projeção horizontal paralela à linha de terra é 
frontal. 
1-Todo segmento de reta frontal tem projeção vertical em VG. 
2-O ângulo que uma frontal faz com o PH é igual ao ângulo que 
sua projeção vertical faz com a LT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
 
 
Projeção lateral da reta frontal. 
 
 
 
As projeções laterais das retas frontais tenham 
afastamento positivo ou negativo, são 
perpendiculares à LT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
RETA FRONTO-HORIZONTAL 
 
Definição: Chama-se reta fronto-horizontal ou horizontal de frente a 
toda reta paralela à Linha de Terra. 
 
 
 
 
Teorema: 
 
Toda reta frontal tem ambas as projeções paralelas à linha de 
terra. 
 
Recíproca: 
 
Toda reta cujas projeções são, ambas paralelas à linha de terra é 
fronto-horizontal.1-Todo segmento de reta fronto-horizontal tem ambas as 
projeções em VG. 
2-A fronto-horizontal é perpendicular ao Plano de Perfil, isto 
significa que sua projeção lateral é um ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
Posições particulares da reta fronto-horizontal 
A reta fronto-horizontal apresenta algumas 
posições particulares quando está contida nos 
planos bissetores. 
 
Retas situadas nos planos bissetores e no 
eixo x 
As retas a e b situam-se no β1/3 porque as suas 
projeções se apresentam uma para cada lado da 
LT e com cotas e afastamentos iguais. As retas d 
e e têm projeções coincidentes, pelo que se 
situam no β2/4. Estas situações de pertinência 
aos planos bissetores são idênticas às que 
encontramos nos pontos. A reta c coincide com a 
LT. 
52 
 
 
A projeção lateral da reta fronto-horizontal. 
 
Para obter a projeção lateral desta reta roda-se para a LT a 
medida correspondente ao seu afastamento. Uma vez que a reta 
é perpendicular ao PL, a sua projeção lateral fica reduzida a um 
ponto, coincidente com a projeção lateral do traço da reta, o 
ponto L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
RETA VERTICAL 
Definição: Chama-se reta vertical a toda reta perpendicular ao plano 
horizontal. 
 
 
 
 
Teorema: 
 
Toda reta vertical tem projeção horizontal reduzida a um ponto. 
 
Recíproca: 
 
Toda reta cuja projeção horizontal reduz-se a um ponto é vertical. 
1- A projeção vertical de uma vertical é perpendicular à LT. 
2- Todo segmento de reta vertical tem projeção vertical em VG. 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
A projeção lateral da reta vertical. 
 
 
A projeção lateral da reta vertical fica perpendicular à LT, 
contendo a projeção lateral do seu traço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
RETA DE TOPO 
 
Definição: Chama-se reta de topo a toda reta perpendicular ao plano 
vertical. 
 
 
 
Teorema: 
 
Toda reta de topo tem projeção vertical reduzida a um ponto. 
 
Recíproca: 
 
 Toda reta cuja projeção vertical reduz-se a um ponto é de topo. 
1- A projeção horizontal de uma reta de topo é perpendicular à LT. 
2- Todo segmento de reta de topo tem projeção horizontal em VG. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
A projeção lateral da reta de topo. 
 
 
A projeção lateral da reta de topo fica paralela à LT 
e passa pela projeção lateral do seu traço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
RETA DE PERFIL 
 
Definição: Chama-se reta de perfil a toda reta ortogonal à linha de 
terra e obliqua a ambos os planos de projeção. 
 
 
 
 
Teorema: 
 
Toda reta de perfil tem ambas as projeções perpendiculares à LT, no 
mesmo ponto. 
 
Recíproca: 
 
Toda reta cujas projeções são perpendiculares à LT, no mesmo ponto, 
é de perfil. 
1- Os ângulos que uma reta de perfil faz com os planos de projeção 
são complementares, porque o triângulo formado pela reta com suas 
projeções é retângulo. 
2- A reta de perfil é paralela ao PL, por isso sua projeção está em VG. 
58 
 
 
 
Posições particulares da reta de perfil 
As posições particulares da reta de perfil são idênticas às da reta 
oblíqua. 
Por serem mais difíceis de visualizar a partir das suas projeções, 
mostram-se representações dessas retas nos planos de projeção 
vistos de lado. 
 
 
 
 
59 
 
 
Posições particulares da reta de perfil, representadas nas 
projeções e vistas de lado. 
 
Os traços da reta a têm medidas iguais, cada um representado para 
um lado da LT, o que faz com que essa reta seja paralela ao β2/4 e 
simultaneamente perpendicular ao β1/3. 
 
Os traços da reta b são coincidentes, o que faz com que seja paralela 
ao β1/3 e perpendicular ao β2/4. 
 
A reta c situa-se no β1/3, cruza o eixo x e contém o ponto P, que 
também se situa nesse bissetor. 
 
A reta d situa-se no β2/4, cruza o eixo x e contém o ponto Q, que se 
situa nesse bissetor. 
 
A reta e cruza a LT e contém o ponto R que é um ponto qualquer. 
 
As retas c, d e e são passantes, isto é, cruzam a LT, por que é aí que 
se situam ambos os seus traços. Para ficarem devidamente definidas 
há que acrescentar outro ponto que as situe no espaço. 
 
 
 
 
 
60 
 
A projeção lateral da reta de perfil 
Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e 
Perpendicularidades determinam-se recorrendo à projeção lateral 
da reta. 
A reta de perfil é aquela que mais uso faz da projeção lateral. 
 
 
 
A projeção lateral de uma reta de perfil em perspectiva 
 
Aqui se mostram as três projeções de uma reta de perfil. 
Tal como acontece com o PV e o PH, a projeção no PL é feita na 
perpendicular a este plano. 
Uma vez obtida a projeção lateral, o PL rebate sobre o PV, 
ficando a projeção lateral da reta como se mostra na imagem 
seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
A projeção lateral da reta de perfil. 
 
 
A projeção lateral da reta de perfil obtém-se 
unindo as projeções laterais dos pontos que a 
definem. Neste caso a reta está definida pelos 
seus traços, mas quando está definida por outros 
pontos procede-se do mesmo modo. 
A projeção Hº obtém-se rodando a medida de H 
no sentido inverso dos ponteiros do relógio. 
 
Reta de perfil com traços acima da LT 
A projeção Hº surge à esquerda de y≡z 
em virtude de o rebatimento do PH se 
efetuar no sentido inverso dos ponteiros 
do relógio. 
Reta de perfil com traços abaixo da LT 
A projeção lateral do ponto F está 
sempre em y≡z, obtém-se através de 
uma linha paralela à LT. 
62 
 
RETA OBLIQUA PARALELA DO BISSETOR ÍMPAR. 
Definição: Uma reta paralela ao BI é genérica. 
 
Teorema: 
Toda reta paralela ao BI tem projeções fazendo ângulos iguais 
com a LT. 
Recíproca: 
Toda reta cujas projeções (concorrentes) fazem ângulos iguais 
com a LT é paralela ao BI. 
1- Se uma reta pertencer ao BI, suas projeções serão simétricas 
em relação à LT. 
 
63 
 
RETA OBLIQUA PARALELA AO BISSETOR PAR. 
Definição: Uma reta paralela ao BP é genérica 
 
 
 
Teorema: 
Toda reta paralela ao BP tem em épura projeções paralelas. 
 
Recíproca: 
Toda reta cujas projeções são paralelas é paralela ao BP. 
1- Se uma reta pertencer ao BP, suas projeções serão coincidentes. 
 
 
64 
 
Posições particulares da reta oblíqua 
Retas passantes são as que cruzam a LT 
 
 
A reta a tem projeções coincidentes situa-se no β2/4; a reta b tem 
projeções com ângulos simétricos, situa-se no β1/3. 
Qualquer ponto da reta a tem projeções coincidentes, por isso 
pertence ao β2/4; qualquer ponto da reta b tem projeções 
simétricas, pelo que pertence β1/3. 
A reta c é uma reta passante qualquer, uma vez que as suas 
projeções têm ângulos diferentes. 
 
Reta oblíqua 
Projeção lateral da reta obliqua. 
 
 
Para determinar as projeções laterais das retas oblíquas é 
necessário determinar as projeções laterais de dois dos seus 
pontos. 
Aqui se utilizam os seus traços, mas podem ser utilizados outros 
pontos. 
 
 
65 
 
6. Pertinência de ponto à reta. 
 
No método da dupla projeção ortogonal, quando um ponto pertence a 
uma reta, as projeções do ponto estão situadas sobre as projeções de 
mesmo nome da reta. 
Em outras palavras: a projeção vertical do ponto pertencerá à projeção 
vertical da reta e a projeção horizontal do ponto, à projeção horizontal 
da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
7. Marcação de pontos em retas. 
 
Marcação de pontos nas retas fronto-horizontal, de topo e vertical. 
Para que um ponto pertença a uma reta é necessário que as suas 
projeções sesituem nas projeções homônimas dessa reta. Como 
veremos, basta dar uma das coordenadas de um ponto para que este 
pertença às retas fronto-horizontal, de topo e vertical. 
 
Marcação de pontos na reta fronto-horizontal. 
Todos os pontos que se marquem numa reta fronto-horizontal terão 
sempre o mesmo afastamento e a mesma cota (que são os da reta). 
Por isso, basta dar a medida da abscissa de cada um dos pontos. Aqui 
são dados os seguintes pontos: A, com 3cm de abscissa; B, com -2cm 
de abscissa; C, com 0cm de abscissas. 
 
Marcação de pontos nas retas de topo e vertical. 
Uma reta de topo mantém os mesmos valores de abscissas e de cota. 
Para marcar pontos nessa reta basta dar o valor do afastamento. Uma 
reta vertical mantém os valores de abscissas e de afastamento. Para 
marcar pontos nessa reta basta dar o valor da cota. J, com 2cm de 
afastamento; K, com -1cm de afastamento. L, com 2cm de cota; M, com 
-3cm de cota. 
 
 
 
 
 
67 
 
Marcação de pontos nas retas horizontal e frontal 
Também para traçar pontos situados nestas retas basta dar uma de 
duas coordenadas, já que a outra mantém o mesmo valor. 
 
Marcação de pontos na reta horizontal 
Todos os pontos que se marquem numa reta horizontal terão sempre a 
mesma cota (que é a da própria reta). Para marcar pontos nessa reta 
basta dar a medida da abscissa ou do afastamento. São dados os 
seguintes pontos, a título de exemplo: A, com 1,5cm de abscissa; B, 
com -1cm de afastamento; C, com 2,5cm de afastamento. 
 
 
 
 Marcação de pontos na reta frontal 
Os pontos de uma reta frontal terão sempre o mesmo afastamento 
(que é o da própria reta). Para se marcar pontos nessa reta basta dar 
o seu valor de cota ou de abscissa. A título de exemplo são dados os 
seguintes pontos: J, com 3cm de cota; K, com 1cm de abscissa; L, 
com -2,5cm de cota. 
 
 
 
 
 
 
68 
 
Marcação de pontos nas retas oblíqua e de perfil 
Para marcar pontos na reta oblíqua basta dar uma das suas 
coordenadas, qualquer que ela seja. Para marcar pontos na reta de 
perfil dá-se o valor do afastamento ou da cota, já que o da abscissa é 
sempre o mesmo. Aqui recorre-se à projeção lateral para marcar 
pontos na reta de perfil. 
 
Marcação de pontos na reta oblíqua 
A reta oblíqua não mantém constante nenhuma coordenada, mas para 
se traçarem pontos nela basta que seja dada uma das suas 
coordenadas, seja ela qual for. São dados os seguintes pontos, a título 
de exemplo: A, com -1,5cm de afastamento; B, com 1cm de cota; C, 
com -2,5cm de abscissa 
 
Marcação de pontos na reta de perfil 
Uma reta de perfil mantém o mesmo valor de abscissa. Para se marcar 
pontos nessa reta recorre-se à projeção lateral, bastando saber o valor 
da cota ou do afastamento desses pontos. A título de exemplo são 
dados os seguintes pontos: M, com 1cm de afastamento; N, com -
1,5cm de cota. 
 
 
 
 
 
69 
 
8. Percurso das retas. 
 
Percurso das retas horizontal e frontal 
Determinamos os pontos notáveis e indicamos os diedros e os 
octantes por onde cada uma destas retas passa. É nisso que consiste 
a determinação do percurso de uma reta. 
Pontos notáveis de uma reta são os seus traços nos planos de 
projeção e nos planos bissetores. 
 Percurso da reta horizontal 
Abaixo mostramos o percurso de uma reta horizontal com cota positiva 
e abertura para a direita. A reta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no 
ponto Q. Para obter o ponto Q traçou-se, a partir da LT, uma linha 
simétrica à projeção n; deste modo, esse ponto terá cota e afastamento 
iguais. Aplica-se este processo quando o ângulo da projeção da reta é 
um valor inteiro e conhecido. 
 
 
 
Percurso da reta frontal 
Esta reta tem afastamento positivo e abertura para a esquerda. Cruza 
o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. O ponto Q foi obtido traçando 
uma paralela à LT com medida igual à do afastamento da reta. 
É possível aplicar este processo apenas nas retas frontal e horizontal. 
 
 
 
70 
 
Percurso das retas oblíqua e de perfil 
Determinamos os pontos notáveis destas retas e indicamos os seus 
percursos. 
 
Percurso da reta oblíqua 
Abaixo indicamos o percurso de uma reta oblíqua com o traço frontal 
com cota positiva e o horizontal com afastamento positivo. A reta cruza 
o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q pode 
marcar-se um ponto qualquer numa das projeções (não é necessário 
dar-lhe nome) e transpor, com o compasso, essa medida para o lado 
oposto da LT. Com uma linha simétrica à da projeção utilizada 
determina-se o ponto. 
 
 
Percurso da reta de perfil 
Como as projeções frontal e horizontal são coincidentes, o percurso da 
reta de perfil indica-se na projeção lateral. 
Para determinar os pontos I e Q utilizam-se os traços laterais dos 
planos bissetores, que fazem 45º com os eixos. 
Esta reta estava, de início, definida pelos seus traços, mas se estiver 
definida por outros pontos procede-se de forma idêntica. 
 
 
 
 
71 
 
Percurso das retas de topo e vertical 
Neste caso os pontos notáveis determinam-se diretamente. Contudo, 
como uma das projeções destas retas fica reduzida a um ponto, 
sugere-se a indicação do seu percurso na projeção lateral. 
Percurso da reta de topo 
Os pontos Q e I, respectivamente do β1/3 e do β2/4, determinam-se 
diretamente, uma vez que o ponto Q tem uma projeção para cada lado 
da LT e o ponto I tem projeções coincidentes. 
Com recurso aos traços laterais dos planos bissetores, fica evidente o 
percurso da reta. 
 
 
Percurso da reta vertical 
Tal como na reta anterior, também aqui os pontos Q e I se determinam 
diretamente e se indica o percurso da reta na sua projeção lateral. 
 
 
 
 
72 
 
Exercícios de Fixação 
 
1. Representar a reta fronto-horizontal h, que contém o ponto 
P(1;3;-1). Nela marcar os pontos: A, com 2cm de abscissa 
 B, com 4cm de abscissa 
 C, com -3cm de abscissa 
 
2. Representar a reta horizontal n, com 2cm de cota, fazendo 
40ºad, sendo o seu traço o ponto F com 2cm de abscissa. Nela 
marcar os pontos: 
 D, com 4cm de afastamento 
 E, com -1cm de abscissa 
 G, com -1cm de afastamento 
 I, com 6cm de abscissa 
 
3. Representar a reta frontal f, que contém o ponto R(4;-3;6). 
Nela marcar os pontos: 
 H, traço da reta, com -3cm de abscissa 
 K, com 4cm de cota 
 L, com -2cm de abscissa 
 M, com -4cm de cota 
 
4. Representar as retas h e n dos exercícios 1 e 2. Determinar as 
suas projeções laterais. 
 
5. Representar a épura da pirâmide reta de base hexagonal, 
dados: 
(A) (9;4;?) 
(B) (6;4;?) 
(C) (5;5;?) 
(D) (6;6;?) 
(E) (9;6;?) 
(F) (10;5;?) 
(V) (7,5;0;2) 
O eixo da pirâmide é uma reta de perfil com inclinação 45º ad 
com PV 
Qual a altura da pirâmide? 
 
6. Representar a épura do prisma obliquo de base hexagonal 
inscrita em um círculo 
de raio 2,5cm. Base I paralela ao PV com afastamento 3cm, 
inclinação 45ºad 
com PV, dados: 
Raio da Base I - RI (8,5;?;3,5) 
Raio da Base II - RII (3,5;9;?) 
Lados da base paralelos à LT. 
Qual a altura do prisma? 
 
 
 
 
 
73 
 
9. Posições relativas entre retas. 
 
Duas retas no espaço podem estar contidas em um mesmo plano, 
sendo chamadas de coplanares, ou podem estar contidas em planos 
diferentes, sendo chamadas de não coplanares. 
As retas coplanares podem ser: coincidentes, paralelas ou 
concorrentes. 
E as retas não coplanares são chamadas reversas. 
 
RETAS COINCIDENTES 
São coplanares, possuem mesma direção 
São retas de mesmo nome (horizontal, frontal,...) 
Possuem dois ou mais pontos em comum 
 
 
RETAS PARALELAS 
 São coplanares. 
 Possuem mesma direção 
 São retas de mesmo nome (horizontal, topo,...) 
 Não possuem ponto em comum 
 Mantêm distância constanteentre sí. 
 
 Quando duas - ou mais - retas são ditas paralelas, o ponto de 
concurso entre ambas é necessariamente impróprio. 
 Isto significa dizer que tais retas têm a mesma direção. 
 Podemos concluir então que, quando duas ou mais retas são 
paralelas, suas projeções de mesmo nome são, também, paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
RETAS PARALELAS 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 Retas Paralelas 
 Na figura abaixo, as retas representadas pelos pares, (r) e (s), (o) e (p) 
e (t) e (u), são paralelas. 
 
 
 
Por outro lado, podemos constatar que as retas (x) e (z) não são 
paralelas, porque as projeções de mesmo nome das retas não são 
paralelas. 
 
 
 
 
 
76 
 
RETAS CONCORRENTES 
 
 São coplanares. 
 Podem ou não serem retas de mesmo nome. 
 Possuem ponto em comum. 
 Poderão ser perpendiculares ou oblíquas. 
 Vimos que, para que um ponto pertença a uma reta, basta que 
as 
projeções do ponto pertençam às projeções de mesmo nome da 
reta. 
Obviamente, se duas retas são concorrentes, o ponto de 
concorrência (ou de concurso) deverá ser comum às duas retas 
em questão, ou seja, as projeções do ponto deverão pertencer, 
simultaneamente, às projeções de mesmo nome da reta. 
Assim sendo, os pontos de concurso de ambas as projeções 
das retas deverão estar numa mesma linha de chamada. 
 
 
 
 
77 
 
 Retas Concorrentes 
 Nas épuras abaixo as retas representadas pelos pares (a) e (b), (r) e 
(s) e (t) e (w) são concorrentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
RETAS REVERSAS 
 
Não são coplanares. 
Fazem entre si um ângulo qualquer. 
Não possuem ponto em comum (ponto de concorrência). 
Não mantêm distância constante entre si. 
Poderão ser ortogonais ou oblíquas (jamais serão 
perpendiculares). 
 
 
 
 
Retas Reversas 
Abaixo, os pontos de concurso de (v) e (u) não estão numa 
mesma linha de chamada, o que significa dizer que são retas 
reversas. 
 
 
 
 
 
79 
 
 RETAS ORTOGONAIS 
 
 São retas reversas que fazem entre si um ângulo de 90º. 
 
 
 
 
 RETAS PERPENDICULARES 
 
 São retas concorrentes que fazem um ângulo de 90º entre si. 
 
 
 
 
80 
 
Exercícios de Fixação 
 
1. Representar a reta vertical v, com -2cm de afastamento e 3cm 
de abscissa. Nela marcar os pontos: H, traço horizontal Q, com 
4cm de cota R, com -3cm de cota 
 
2. Representar a reta oblíqua r, cujos traços são os pontos 
H(2;2;0) e F(4;0;5). Nela marcar os pontos: S, com 4cm de 
abscissa T, com 2cm de cota U, com 1cm de afastamento V, com 
-1cm de afastamento 
 
3. Representar a reta c, que contém o ponto C(3;2;4) e é 
passante no ponto P com -2cm de abscissa. Determinar o 
percurso dessa reta. 
 
4. Representar a reta de perfil p, cujos traços são os pontos 
H(3;2;0) e F(3;0;5). Determinar, recorrendo à projeção lateral, os 
seus pontos: 
X, com -1cm de afastamento Y, com 2cm de cota 
 
5. Representar a reta a, definida pelos pontos R(4;1:3) e 
S(4;4;1).Determinar os pontos notáveis e o seu percurso. 
 
6. Representar as três projeções, em épura da pirâmide oblíqua 
de base quadrada paralela ao PH, dados: 
(A) (21;4;4) 
(B) (18;1;4) 
(C) (15;?;?) 
(V) (2;9;14) 
 E do prisma reto de base hexagonal paralelo ao PH, com altura 
de 14cm dados: 
 (O) (10;7;2), raio = 2,5cm, lados paralelos à LT. 
 
 7. Representar as três projeções, em épura da pirâmide reta de 
base hexagonal 
 (A) (9;4;?) 
 (B) (6;4;?) 
 (C) (5;5;2) 
 (D) (6;6;?) 
 (E) (9;6;?) 
 (F) (10;5;2) 
 (V) (7,5;0;7) o eixo é uma reta de perfil. 
 E do prisma de base quadrada, paralela ao plano de perfil, a base 
mais afastada 
 do plano de perfil é formada por: 
(A) (12,5;4;6) 
(B) (12,5;3;5) – ponto mais próximo ao PV 
 Altura do prisma 7cm 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
PLANO 
 
1. Estudo do plano 
2. Traço de um plano 
3. O ABC do plano 
4. Posições particulares do plano 
5. Traço lateral do plano 
6. Pertinência: ponto e plano – reta e plano 
7. Marcação de pontos em planos projetantes 
8. Marcação de pontos em planos não projetantes 
9. Retas em planos 
10. Principais de um plano 
11. Retas de máximo declive e de máxima inclinação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
1. Estudo do Plano. 
 
Um plano é gerado a partir do deslocamento de uma reta em uma 
determinada direção e é representado por letras gregas minúsculas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
Um plano pode ser definido através dos seguintes elementos: 
 
 
 
 
85 
 
Um plano no espaço pode ocupar três posições distintas em relação a 
um plano de projeção, sendo que cada uma delas resulta em um tipo de 
projeção particular: 
 
 
 
2. Traço de um plano 
 
Traço de um plano: 
Traço de um plano são as interseções deste plano com os planos 
horizontal e frontal de projeção. 
O traço de um plano é uma reta e é designado por uma letra do 
alfabeto grego que caracteriza o plano considerado e o índice do plano 
de projeção em que o mesmo se projeta (h- horizontal e f-frontal). 
 
 
86 
 
3. O ABC do plano. 
 
O plano pode ocupar sete posições distintas com relação aos planos 
horizontal e frontal de projeção. 
. 
 Plano Horizontal 
 Plano Frontal 
 Plano de Topo 
 Plano Vertical 
 Plano de Perfil 
 Plano de Rampa 
 Plano Oblíquo ou qualquer 
 
 
 
 
 
 
PLANOS PROJETANTES E NÃO PROJETANTES. 
 
Podemos classificar os planos em projetantes e não projetantes. 
Projetantes são aqueles perpendiculares à pelo menos um plano de 
projeção. Neste caso, o ponto ou conjunto geométrico a eles 
pertencente terá conseqüentemente uma das projeções sobre o traço 
onde o plano é perpendicular. 
São planos projetantes: Horizontal, Frontal, Vertical, Topo e, de Perfil. 
São planos não projetantes: Obliquo ou qualquer, que contém a LT e, 
de Rampa ou // à LT. 
 
 
 
 
87 
 
PLANO HORIZONTAL (OU DE NÍVEL) 
• paralelo ao plano horizontal de projeção - VG 
• perpendicular aos planos vertical e auxiliar de projeção - PA 
As retas que podem estar contidas em um plano horizontal são: 
- fronto–horizontal; 
- horizontal; 
- de topo. 
 
 
 
Representação do plano horizontal:
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
Plano horizontal (ou de nível) 
O plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção e 
perpendicular ao plano frontal de projeção. Tem apenas traço frontal. 
Este plano é projetante frontal, uma vez que as figuras que ele pode 
conter ficam projetadas frontalmente no seu traço, ou seja, (fα) é o 
lugar geométrico das projeções verticais de todos os pontos do plano. 
O plano α, por ser paralelo ao PHP, cruza apenas o PFP numa reta que 
é 
o seu traço frontal, designado por (fα). 
Por se tratar de um plano projetante apenas com um traço, este indica-
se entre parêntesis. 
 
 
 
 
 
O plano horizontal representado pelo seu traço 
O plano α tem cota positiva e corresponde àquele que é mostrado em 
perspectiva. 
O plano θ tem cota negativa e está apenas representado nesta 
imagem. 
Um plano com cota nula ficará com o seu traço coincidente com a LT. 
 
89 
 
PLANO FRONTAL (OU DE FRENTE) 
 
• paralelo ao plano frontal de projeção - VG 
• perpendicular aos planos horizontal e auxiliar de projeção - PA 
As retas que podem estar contidas em um plano frontal são:- vertical; 
- fronto–horizontal; 
- frontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
PLANO FRONTAL 
 
O plano frontal é paralelo ao plano frontal de projeção e perpendicular 
ao plano horizontal de projeção. Tem apenas traço horizontal. Este 
plano é projetante horizontal, dado que as figuras que ele pode conter 
ficam projetadas horizontalmente no seu traço. 
O plano β, por ser paralelo ao PF, cruza apenas o PH, numa reta que é 
o seu traço horizontal, designado por (h β). 
Por ser um plano projetante apenas com um traço, este se indica entre 
parênteses. 
 
 
 
 
O plano frontal representado pelo seu traço 
O plano β tem afastamento positivo e corresponde àquele que é 
mostrado em perspectiva. 
O plano ρ tem afastamento negativo e está apenas representado nesta 
imagem. 
Um plano com afastamento nulo ficará com o seu traço coincidente 
com a LT. 
 
 
91 
 
PLANO DE PERFIL 
 
• perpendicular aos planos horizontal e frontal de projeção - PA 
• paralelo ao auxiliar de projeção - VG 
As retas que podem estar contidas em um plano de perfil são: 
- perfil; 
- vertical; 
- topo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
PLANO DE PERFIL 
 
O plano de perfil é perpendicular aos dois planos de projeção. Tem dois 
traços. Este plano é duplamente projetante, o que significa que todas 
as figuras que nele estiverem contidas ficam projetadas em ambos os 
seus traços. 
O plano ω cruza o PH em hω e o PF em fω. Esses são os seus traços 
horizontal e frontal, respectivamente. 
 
 
 
 
Representado pelos traços, o plano de perfil apresenta apenas esta 
possibilidade: os seus traços são sempre coincidentes e 
perpendiculares à LT. Nota-se que a coincidência entre os traços não 
existe no espaço, mas passa a existir após o rebatimento dos planos de 
projeção. 
93 
 
PLANO DE TOPO 
 
• perpendicular ao plano frontal de projeção - PA 
• oblíquo aos planos horizontal e auxiliar de projeção - PR 
As retas que podem estar contidas em um plano de topo são: 
- frontal; 
- topo; 
- oblíqua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
Plano de Topo 
 
O plano de topo é perpendicular ao plano frontal de projeção e oblíquo 
ao plano horizontal de projeção. Tem dois traços. Este plano é 
projetante frontal, pois todas as figuras que nele existam ficam 
projetadas frontalmente no seu traço frontal. O plano γ cruza o PF em f 
γ e o PH em h γ. São esses os seus traços 
 
 
 
O plano β tem abertura para a direita e corresponde àquele que está 
representado em perspectiva. 
O plano δ tem abertura para a esquerda. São estas as duas variantes 
de um plano de topo. 
O traço frontal do plano de topo é oblíquo à LT, o horizontal é 
perpendicular. 
 
95 
 
PLANO VERTICAL 
 
• perpendicular ao plano horizontal de projeção - PA 
• oblíquo aos planos frontal e auxiliar de projeção - PR 
As retas que podem estar contidas em um plano vertical são: 
- vertical; 
- horizontal; 
- oblíqua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
 
Plano Vertical 
 
O plano vertical é oblíquo ao plano frontal de projeção e perpendicular 
ao plano horizontal de projeção. Tem dois traços. Este plano é 
projetante horizontal, já que todas as figuras que ele pode conter ficam 
projetadas horizontalmente no seu traço horizontal. O plano π cruza o 
PH em hπ e o PF em fπ. Essas retas são os seus traços 
 
 
. 
 
O plano vertical representado pelos seus traços 
O plano π tem abertura para a direita e corresponde àquele que está 
representado em perspectiva. O plano θ tem abertura para a esquerda. 
Estas são as duas variantes que um plano vertical pode ter. O traço 
frontal do plano vertical é perpendicular à LT, o horizontal é oblíquo. 
97 
 
PLANO DE RAMPA 
 
• oblíquo aos planos horizontal e frontal de projeção - PR 
• perpendicular ao plano auxiliar de projeção - PA 
As retas que podem estar contidas em um plano de rampa são: 
- perfil; 
- fronto - horizontal; 
- oblíqua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
 
Plano de Rampa 
 
O plano de rampa é oblíquo aos dois planos de projeção e paralelo à 
LT. Tem dois traços. Este plano não é projetante. O plano θ cruza o PH 
em hθ e o PF em fθ. São esses os seus traços, paralelos à LT. 
 
 
 
 
 
 
 
O plano de rampa representado pelos seus traços 
Os traços do plano θ correspondem ao plano representado em 
perspectiva; o seu traço horizontal tem afastamento positivo e o frontal 
tem cota positiva. Esse plano passa pelos diedros II, I e IV. 
O plano φ está numa posição diferente, passando pelos diedros I, IV e 
III. 
 
99 
 
PLANO OBLIQUO 
 
• oblíquo aos planos horizontal, frontal e auxiliar de projeção - PR 
As retas que podem estar contidas em um plano oblíquo são: 
- perfil; 
- horizontal; 
- frontal; 
- oblíqua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
 
Plano Oblíquo 
 
O plano oblíquo é oblíquo aos dois planos de projeção e oblíquo a LT. 
Tem dois traços. Este plano não é projetante. O plano σ cruza o PH em 
 hσ e o PF em fσ. São esses os seus traços, oblíquos a LT. 
 
 
 
 
O plano oblíquo representado pelos seus traços 
Os traços do plano σ, ambos com abertura para a direita, 
correspondem ao plano representado em perspectiva. 
O plano β apresenta traços com aberturas para lados contrários. 
Os traços do plano oblíquo são ambos oblíquos a LT, podendo 
apresentar aberturas para lados iguais ou diferentes. 
 
101 
 
PLANOS PARTICULARES 
 
Planos que ocupem posições especiais (paralelo ou perpendicular) 
a um dos planos de projeção, a um dos bissetores, ou a linha de terra. 
1. Como os planos de projeção são ortogonais e os bissetores 
também, conclui-se que: 
- Todo plano paralelo a um dos planos de projeção é perpendicular ao 
outro (mas não reciprocamente); e 
2. Como os planos de projeção são ortogonais e os bissetores 
também, conclui-se que: 
- Todo plano paralelo a um dos bissetores é perpendicular ao outro 
(mas não reciprocamente); 
3. Do que foi dito anteriormente decorre que um plano particular pode 
constituir-se em caso especial. Assim, um plano perpendicular o BI 
pode não ter posição particular em relação ao PH, PV, BP ou PL; 
entretanto, um plano paralelo ao BI é paralelo à LT e necessariamente 
perpendicular ao BP. 
4. Finalmente, um plano que não é paralelo, nem perpendicular a 
plano de projeção, a bissetor ou à linha de terra diz-se plano qualquer. 
 
 
 
 
102 
 
PLANO HORIZONTAL (OU DE NÍVEL) 
 
Chama-se plano horizontal a todo plano paralelo ao plano horizontal de 
projeção. 
Todo plano de nível é perpendicular ao plano vertical, vale dizer, é de 
topo. 
Como não corta o PH, atravessa apenas dois diedros, em particular é o 
próprio PH. 
 
Teorema: 
Todo plano horizontal tem traço vertical (único) paralelo à linha de terra. 
Recíproca: 
Todo plano cujo traço vertical é único e paralelo à linha de terra é 
horizontal. 
 
 
 
Observações 
1. Por ser paralelo ao PH, a partir do qual se medem as cotas, então: 
Cada plano de nível é o lugar geométrico dos pontos que tem a mesma 
cota. 
2. Por ser um plano perpendicular ao PV, tem-se que: 
O traço vertical de um plano horizontal é o lugar geométrico das 
projeções verticais dos pontos do plano. 
3. Como o plano (α) é paralelo a um plano horizontal, conclui-se que 
qualquer ponto de um plano de nível determina-o. 
4. As retas de um plano de nível são todas paralelas ao PH: fronto-
horizontais, horizontais e de topo. 
5. Toda figura contida num plano de nível tem projeção horizontal em 
VG. 
 
103 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
PLANO FRONTAL (OU DE FRENTE) 
 
Chama-se plano frontal a todoplano paralelo ao plano vertical de 
projeção. 
Todo plano frontal é perpendicular ao plano horizontal de projeção, vale 
dizer, é vertical. 
Como não corta o PV, atravessa apenas dois diedros, em particular é o 
próprio PV. 
 
Teorema: 
Todo plano frontal tem traço horizontal (único) paralelo à linha de terra. 
Recíproca: 
Todo plano cujo traço horizontal é único e paralelo a linha de terra é 
frontal. 
 
 
Observações 
1. Por ser paralelo ao PV, a partir do qual se medem os afastamentos, 
então: 
Cada plano frontal é o lugar geométrico dos pontos que tem o mesmo 
afastamento. 
2. Por ser um plano perpendicular ao PH, tem-se que: 
O traço horizontal de um plano frontal é o lugar geométrico das 
projeções horizontais dos pontos do plano. 
3. Como, por um ponto (A) só se pode traçar um plano (β) paralelo a 
um plano vertical, conclui-se que qualquer ponto de um plano frontal 
determina-o. 
4. As retas de um plano de nível são todas paralelas ao PV: frontais, 
fronto-horizontais e verticais. 
5. Toda figura contida num plano frontal tem projeção vertical em VG. 
105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
PLANO DE PERFIL 
 
Chama-se plano de perfil a todo plano perpendicular à linha de terra. 
O plano de perfil é perpendicular ao PH e ao PV, isto é, é 
simultaneamente vertical e de topo. 
Todo plano de perfil corta a linha de terra atravessando os quatro 
diedros. 
 
Teorema: 
Todo plano de perfil tem ambos os traços perpendiculares à linha de 
terra. 
Recíproca: 
Todo plano cujos traços são, ambos, perpendiculares à linha de terra é 
de perfil. 
 
 
 
Observações 
1. Por ser paralelo ao plano lateral, a partir do qual se medem as 
abscissas, dar a abscissa de um ponto equivale a situá-lo num plano de 
perfil. 
2. Todo ponto contido num plano de perfil tem ambas as projeções 
situadas no traço de mesmo nome do plano, então – cada traço de um 
plano vertical é o lugar geométrico das projeções de mesmo nome dos 
pontos do plano. 
3. Como o plano perpendicular a uma reta de perfil é único, qualquer 
ponto de um plano de perfil determina-o. 
4. As retas de um plano vertical são: de perfil, verticais e de topo. 
5. O plano de perfil é paralelo ao plano lateral. 
 
107 
 
 
 
 
 
 
108 
 
PLANO DE TOPO 
 
Chama-se plano de topo a todo plano perpendicular ao plano vertical 
de projeção e oblíquo ao plano horizontal. 
Todo plano de topo corta a linha de terra, tem traços concorrentes, 
atravessando os quatro diedros. 
 
Teorema: 
Todo plano de topo tem traço horizontal perpendicular à linha de terra. 
Recíproca: 
Todo plano cujo traço horizontal é perpendicular à linha de terra é de 
topo. 
 
 
 
Observações 
1. Como o traço horizontal de um plano de topo é sempre perpendicular 
à linha de terra, dizemos que – um plano de topo fica individualizado 
pelo seu traço vertical. 
2. Todo ponto contido num plano de topo tem projeção vertical no traço 
de mesmo nome do plano, então – o traço vertical de um plano de topo 
é o lugar geométrico das projeções verticais dos pontos do plano. Em 
conseqüência, o plano de duas retas cujas projeções verticais 
coincidem é de topo. 
3. O plano projetante de topo de uma reta, isto é o plano que a projeta 
no PV, fica determinado pela projeção vertical da reta, isto é, qualquer 
reta (não de topo) de um plano de topo determina-o. 
4. As retas de um plano de topo são: frontais, topo e oblíquas. 
5. O ângulo que um plano de topo forma com o PH está em VG. 
 
109 
 
 
 
 
 
 
 
110 
 
PLANO VERTICAL 
 
Chama-se plano vertical a todo plano perpendicular ao plano horizontal 
de projeção e oblíquo ao plano vertical. 
Todo plano vertical corta a linha de terra, tem traços concorrentes, 
atravessando os quatro diedros. 
 
Teorema: 
Todo plano vertical tem traço vertical perpendicular à linha de terra. 
Recíproca: 
Todo plano cujo traço vertical é perpendicular à linha de terra é vertical. 
 
 
 
Observações 
1. Como o traço vertical de um plano vertical é sempre perpendicular à 
linha de terra, dizemos que – um plano vertical fica individualizado pelo 
seu traço horizontal. 
2. Todo ponto contido num plano vertical tem projeção horizontal no 
traço de mesmo nome do plano, então – o traço horizontal de um plano 
vertical é o lugar geométrico das projeções horizontais dos pontos do 
plano. Em conseqüência, o plano de duas retas cujas projeções 
horizontais coincidem é vertical. 
3. O plano projetante vertical de uma reta, isto é o plano que a projeta 
no PH, fica determinado pela projeção horizontal da reta, isto é, 
qualquer reta (não vertical) de um plano vertical determina-o. 
4. As retas de um plano vertical são: horizontais, verticais e oblíquas. 
5. O ângulo que um plano vertical forma com o PV está em VG. 
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112 
 
PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA 
 
Restringimos a denominação de plano paralelo à linha de terra a todo 
plano que satisfaça a esta condição e que seja oblíquo a ambos os 
planos de projeção. 
 
Teorema: 
Todo plano paralelo à linha de terra tem traços paralelos à linha de 
terra. 
Recíproca: 
Todo plano cujos traços são paralelos à linha de terra é paralelo à linha 
de terra. 
 
 
 
Observações 
1. Por ser paralelo a reta da linha de terra, qualquer reta (não fronto-
horizontal) de um plano paralelo à LT, determina-o. Para obtê-lo 
determinar os traços da reta. 
2. Os traços horizontais de todas as retas do plano paralelo à LT 
eqüidistam desta reta, assim também os traços verticais, daí decorre 
que: - é constante a razão do afastamento do traço horizontal para a 
cota do traço vertical de todas as retas do plano paralelo à LT. 
3. O terceiro plano de projeção, por ser perpendicular à LT, é 
perpendicular ao PH e ao PV, assim sendo estão em VG o traço lateral 
e os ângulos do plano com os planos de projeção. 
4.O plano que contem a LT pode ser considerado como caso limite de 
plano paralelo à LT. 
 
113 
 
 
 
 
 
 
114 
 
PLANO PERPENDICULAR AO BISSETOR ÍMPAR 
Restringimos esta denominação a todo plano perpendicular ao B1/3, 
que não seja paralelo ao B2/4. 
Teorema: 
Os traços de um plano perpendicular ao B1/3 são, em épura, simétricos 
em relação à LT. 
Recíproca: 
Todo plano cujos traços são, em épura, simétricos em relação à LT é 
perpendicular ao B1/3. 
 
 
Observações 
1. Por ser perpendicular ao B1/3 por uma reta única, qualquer reta de 
um plano perpendicular ao B1/3, determina-o. Para obtê-lo determinar 
os traços da reta. 
2.Em particular, qualquer dos traços de um plano perpendicular ao 
B1/3, determina-o, o outro será simétrico deste em relação à LT. 
 
 
115 
 
PLANO PERPENDICULAR AO BISSETOR PAR 
 
Restringimos esta denominação a todo plano perpendicular ao B2/4, 
que não seja paralelo ao B1/3. 
 
Teorema: 
Os traços (distintos) de um plano perpendicular ao B2/4 são 
coincidentes, em épura. 
Recíproca: 
Todo plano cujos traços (distintos) são, em épura, coincidentes, é 
perpendicular ao B2/4. 
 
Observações 
1. Por ser perpendicular ao B2/4 por uma reta única, qualquer reta de 
um plano perpendicular ao B2/4, determina-o. Para obtê-lo 
determinar os traços da reta. 
2. Em particular, qualquer dos traços de um plano perpendicular ao 
B2/4, determina-o: o outro será coincidente. 
 
 
 
116 
 
PLANO PARALELO AO BISSETOR ÍMPAR 
 
O plano paralelo ao B1/3 é paralelo à LT, pois a LT é uma reta do B1/3 
Atravessa três diedros, sendo seus traços fronto-horizontais. 
 
Teorema: 
Todo plano paralelo ao B1/3 tem, em épura traços coincidentes, 
segundo uma paralela à LT. 
Recíproca: 
Todo plano cujos traços são, em épura, coincidentes segundo uma