MECANICA GERAL 01

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Universidade FEEVALE 
Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Disciplina de Mecânica Geral – 3N 
 
 
 
 
 
CRONOGRAMA 2016/01 
 
Encontro Data Previsão conteúdo 
1 23/fev 
Apresentação da disciplina: plano de ensino, revisão de conteúdos - 
Forças: notação vetorial, operações com vetores 
2 1/mar Equilíbrio de partícula: bi e tridimensional 
3 8/mar Momento: bi e tridimensional; momento de binário 
4 15/mar Momento: bi e tridimensional; momento de binário 
5 22/mar Momento: bi e tridimensional; momento de binário 
6 29/mar Prova 1 
7 5/abr feriado 
8 12/abr Centróide e centro de massa 
9 19/abr Centróide e centro de massa 
10 26/abr Estruturas - Equilíbrio de corpo rígido 
11 3/mai Estruturas - Equilíbrio de corpo rígido 
12 10/mai Prova 2 
13 17/mai Estruturas - Treliças 
14 24/mai Estruturas - Treliças 
15 31/mai Momento de inércia geométrico 
16 7/jun Momento de inércia geométrico 
17 14/jun Prova 3 
18 21/jun 
Devolução de avalições/revisão de conteúdos/fechamento de 
disciplina 
19 28/jun Prova substituição 
20 5/jul Avaliação complementar 
 
 
Média final: média aritmética simples de três notas (N1, N2 e N3). 
As notas (N1, N2 e N3) serão compostas: 
 N1 = soma Prova 1 (nota A) e trabalhos com resolução de exercícios 
propostos (nota B) que abranjam os conteúdos da Prova 1. 
 N2 = soma Prova 2 (nota C) e trabalhos com resolução de exercícios 
propostos (nota D) que abranjam os conteúdos da Prova 2. 
 N3 = soma Prova 3 (nota E) e trabalhos com resolução de exercícios 
propostos (nota F) que abranjam os conteúdos da Prova 3. 
Aula 1 - Introdução: apresentação e conceitos gerais 
Nesta etapa, faremos uma revisão dos conteúdos relevantes para o desenvolvimento da nossa disciplina. 
Aula 2 - Equilíbrio de partícula 
" A Estática é o capítulo da Mecânica que estuda corpos que não se movem, estáticos. A ausência de movimento é um caso especial de 
aceleração nula, ou seja, pelas Leis de Newton, uma situação em que todas as forças que atuam sobre um corpo se equilibram. Portanto, a 
soma vetorial de todas as forças que agem sobre o corpo deve ser nula. 
 
Por exemplo, um edifício de apartamentos está sujeito à força peso de sua massa e dos móveis e utensílios em seu interior, além da força peso 
da massa de todos os seus ocupantes. Existem também outras forças: a carga do vento, da chuva e eventualmente, em países frios, a carga da 
neve acumulada em seu teto. Todas essas forças devem ser absorvidas pelo solo e pelas fundações do prédio, que exercem reações sobre ele 
de modo a sustentá-lo, mantê-lo de pé e parado. A soma vetorial de todas essas forças deverá ser nula. 
Define-se como ponto material todo corpo cujas dimensões, para o estudo em questão, não são importantes, não interferem no resultado final. 
Por exemplo, o estudo da trajetória de um atleta de saltos ornamentais na piscina a partir de uma plataforma de 10 m. Se o estudo está 
focalizado na trajetória do atleta da plataforma até a piscina, e não nos seus movimentos em torno de si mesmo, pode-se adotar o centro de 
massa do atleta, ignorar seu tamanho e desenvolver o estudo. 
 
Na Estática consideramos o ponto material como um corpo suficientemente pequeno (partícula) para podermos admitir que todas as forças 
que agem sobre o corpo se cruzem num mesmo. Para que este ponto material esteja em equilíbrio a somatória vetorial das forças que nele 
atuam tem necessariamente de ser nula." 
 
Aula 3 - Momento 
Momento ou Torque é uma força que tende a rodar ou virar objetos. Gera-se um momento toda vez que aplica a força usando uma chave de boca, ou umachave 
de rodas. Quando você usa uma chave de roda, aplica determinada força para manejá-la. Essa força cria um torque sobre o eixo da porca, que tende a girar 
este eixo. 
Um motor de carro cria torque e o usa para girar o virabrequim. Esse torque é criado exatamente da mesma maneira: uma força é aplicada à uma distância. 
Nesta parte do nosso conteúdo, iremos analisar as relações que geram momento, momento em relação a um eixo e momento de binário. 
 
Aula 4 - Propriedades geométricas do corpo rígido 
Para podermos analisar corpos rígidos em equilíbrio, basta considerarmos apenas um ponto em especial: o centro de gravidade. Este é um 
ponto muitíssimo especial para a Estática: qualquer objeto, independente de sua geometria, se comporta como se todo o seu peso estivesse 
concentrado sobre ele. 
Esse conceito é importante, por exemplo, na Biomecânica - explica e ajuda a entender as condições de equilíbrio do corpo humano as diversas 
posições posturais que podemos assumir - e no comportamento dinâmico do automóvel, para garantir-lhe estabilidade em seu trajeto de 
deslocamento. 
Aula 5 - Introdução à Análise Estrutural: equilíbrio dos corpos rígidos 
"As Estruturas são sistemas físicos constituídos de corpos ou componentes interligados, capazes de receber e transmitir esforços. Aqui, se 
consideram as estruturas estacionárias, diferentemente das máquinas que tem componentes móveis prjetados para alterar o efeito das forças." 
(Soriano) 
O dimensionamento de qualquer estrutura depende, inicialmente, do conhecimento dos esforços solicitantes que poderá receber. Entender 
como determinar essess esforços é o que faremos nessa disciplina. 
Aula 6 - Introdução à Análise Estrutural: Treliças Planas 
As treliças planas são importantes sistemas estruturais, utilizados principalmente (mas não apenas) pela Engenharia Civil. Sua construção, 
através de barras delgadas conectadas entre si, permite vencer grandes vãos livres com uma grande economia de material. Menos material 
significa menos massa, menos força peso, e consequentemente maior desempenho. 
Esses sistemas são comuns em passarelas, coberturas e estruturas de guindastes. A organização estrutural do sistema treliçado 
permite que haja nas suas barras apenas esforços axiais (tração e compressão), fazendo com que a capacidade do 
material empregado seja explorada ao máximo. 
O estudo da treliça plana inicia com a determinação do esfrço máximo a que cada barra estará propensa a receber, e é idealizado como um 
sistema de estática de partícula com centro no nó de ligação entre os componentes. Este é o objetivo de nossa disciplina para esta estrutura: 
determinar a que tipo e qual a dimensão de esforço, se tração ou compressão, está sujeito cada elemento da treliça. 
 
Aula 7 - Momento de Inércia Geométrico 
O momento de inércia geométrico é uma importante propriedade geométrica dos corpos rígidos. Ele pode ser entendido com a resitência ao 
giro que apresenta um corpo, ao contrário do momento de rotação (torque), que é, este último, a tendência ao giro. Diferentemente do 
momento de inércia de massa, que á afetado obviamente pela massa, o momento de inércia geométrico é afetado pelas características 
dimensionais do corpo. Assim,um mesmo corpo pode apresentar dois ou mais momentos de inércia geométricos, dependendo do seu 
posicionamento em relação a um eixo de referência. 
Mecânica Geral 
PARTE 1: INTRODUÇÃO, CONCEITOS FUNDAMENTAIS, FORÇA 
RESULTANTE, REGRA DO PARALELOGRAMO, DECOMPOSIÇÃO DE 
FORÇAS, VETOR UNITÁRIO, VETOR POSIÇÃO 
 
Prof.ª Luciane Taís Führ 
Uma introdução 
• A MECÂNICA GERAL – ou vetorial, estrutural - ocupa-se em 
estudar a ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS 
– Estudo das forças que atuam numa partícula 
– Estudo das forças que atuam num corpo rígido 
– Estudo das propriedades geométricas de áreas planas 
 
ESTRUTURAS: são sistemas 
físicos constituídos de corpos ou 
componentes interligados, 
capazes de receber e transmitir 
esforços. 
• MECÂNICA: ciência física que se concentra no estudo do comportamento 
dos corpos sob ação de perturbações mecânicas, como as forças. 
 
Dois conceitos importantes: 
• Uma partícula possui massa, mas 
seu tamanho pode ser 
desprezado.• Quando um corpo é modelado 
como uma partícula, os 
princípios da mecânica são 
aplicados de uma forma muito 
mais simplificada, uma vez que 
sua geometria não está 
envolvida. 
• Constituído do continuum, que 
teoricamente não sofre qualquer 
alteração (deformação) com a ação de 
uma força. 
• Combinação de um grande número de 
partículas que permanecem numa 
distância fixa umas das outras, antes e 
depois da aplicação da carga. 
Corpo deformável = situação real 
Idealização do corpo rígido 
PARTÍCULA CORPO RÍGIDO 
AS LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO 
– que baseiam a Mecânica Geral - 
• Primeira Lei: Inércia 
Uma partícula originalmente 
em repouso ou movendo-se 
em linha reta, com velocidade 
constante, tende a 
permanecer neste estado. 
Equilíbrio = 
estado do qual 
a ESTÁTICA se 
ocupa 
• Terceira Lei: Ação e reação 
– Para toda a ação existe uma reação 
igual e contrária, ou seja, as ações 
mútuas entre dois corpos são 
sempre iguais e direcionadas em 
sentidos opostos. 
 
 
 
 
– Em resumo: forças mútuas de 
ação e reação entre duas 
partículas são iguais, opostas e 
colineares. 
Revendo: o que é força? 
• Força(F) 
– Perturbação mecânica exercida por um corpo sobre o 
outro. 
– A interação pode ocorrer: 
• Por contato direto 
• Por influência indireta, como a ação da gravidade ou 
eletromagnetismo 
– Caracterizada por suas 
• Intensidade 
• Direção e sentido 
• Ponto de aplicação 
– Unidade fundamental: 
SI – Newton (N= kg.m/s2) 
GRANDEZA VETORIAL 
VETOR: NOTAÇÃO/DECOMPOSIÇÃO 
• Notação impressa ou manuscrita: F = [Fx, Fy, Fz] N 
Bidimensional 
y 
x 

F

Fx 
Fy 
 
)(.
)cos(.


senFF
FF
y
x


)cos(.
)cos(.


FF
FF
y
x


Ou ainda: 
Resultante de forças pelo método da 
decomposição cartesiana 
 Usando a notação vetorial cartesiana (vetor unitário), é possível chegar a 
resultante de um sistema de forças coplanares. 
1) 
4) 
3) 
2) 
Exemplo 1 – mais de duas forças 
concorrentes num mesmo ponto 
Força resultante: REGRA DO 
PARALELOGRAMO 
• Duas forças atuantes sobre um ponto material 
podem ser substituídas por uma única força 
(resultante), obtida pela diagonal do 
paralelogramo 
Força resultante: REGRA DO 
PARALELOGRAMO 
• Partindo da Regra do Paralelogramo, podemos 
determinar o módulo da força resultante através das leis 
dos senos e dos cossenos. 
Lei dos senos 
Lei dos cossenos 
Exemplo 2 – resolvendo a regra do 
paralelogramo pela lei dos senos 
• Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças 
exercidas pelo rebocador é de 5 kN, e tem a direção do eixo da barcaça, 
determine a tração em cada corda. 
Exemplo 3 – resolvendo a regra do 
paralelogramo pela lei dos cossenos 
• Se  = 45°, F1= 5kN e a força resultante é de 
6kN, orientada ao longo do eixo y positivo, 
determine a intensidade necessária de F2 e 
sua direção . 
Decomposição tridimensional 
A direção das componentes é dada pelos 
cossenos diretores : 
)cos(.
)cos(.
)cos(.



FF
FF
FF
z
y
x



Relação fundamental 
kFjFiFF zyx ... 
F 
F 
F 
F 
Exemplo 4 
• Expresse a força F como um vetor cartesiano 
tridimensional. 
Exemplo 5 
• Expresse a força como vetor cartesiano. 
Exemplo 6 
• Duas forças atuam sobre um gancho. Especifique a intensidade de F2 e 
seus ângulos coordenados , de modo que a força resultante atue ao longo 
do eixo y positivo e tenha intensidade de 800 N. 
Módulo de um vetor 
• O módulo ou intensidade de um vetor F, representado por |F| 
ou por F, é definido como a raiz quadrada da soma dos 
quadrados das componentes, ou seja, 
 
 
 
 
 
• Geometricamente: 
– Bidimensional: o modulo de um vetor é seu comprimento, isto e, o 
comprimento da diagonal do retângulo cujos lados são Fx e Fy. 
– Tridimensional: diagonal maior do paralelepípedo retângulo cujos lados são 
Fx e Fy e Fz. 
Bidimensional 
Tridimensional 
22 )()( yx FFFF 

222 )()()( zyx FFFFF 

Vetor unitário 
• Também é possível representar as componentes x e y de uma 
força em termos dos seus vetores cartesianos unitários i , j e k 
• Os vetores i , j e k são adimensionais, com intensidade igual a 
1, sendo então utilizados para designar as proporções das 
componentes nas direções dos eixos coordenados 
kFjFiFF zyx ... 
F
F
Fu 
Módulo de F kjiFu .cos.cos.cos  
Vetor unitário e cossenos diretores 
Relação importante dos cossenos diretores 
em termos de vetor unitário 
Vetor posição 
• O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação 
a outro = cada ponto no espaço tem um vetor posição que determina sua localização no 
espaço. 
•O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana. 
• quando se deseja determinar a distância entre dois pontos, essa distância pode ser descrita 
em termos do vetor posição que discrimina o posicionamento relativo entre estes dois 
pontos. 
• VETOR POSIÇÃO = COMPRIMENTO (não confundir com força) 
kPjPiPr zyxP ... 

)..()..()..( kOkPjOjPiOiPr zzyyxxOP 

Exemplo 7 
• A corda mostrada na figura está presa aos 
pontos A e B, determine seu comprimento e 
sua direção, medidos de A para B. 
Exemplo 8 
• A cobertura engastada do prédio é sustentada por dois cabos, como 
mostrado na foto. Se os cabos AB e AC suportam 100 N e 120 N, 
respectivamente, determine a força resultante no suporte em A devido a 
esses dois cabos. 
Referências utilizadas 
• Irwin: Estática para Engenharia. Volume 1. 
4ed, 2002. 
• Hibbeler: Estática – Mecânica para 
Engenharia. 12ed, 2011. 
• Beer e Johnston: Mecânica Vetorial para 
Engenheiros – Estática. 5ed, 2012. 
• Soriano: Estática das Estruturas.,2007. 
UNIVERSIDADE FEEVALE 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – Vetores e forças 
 
Parte A – resultante de forças pelo regra do paralelogramo 
 
1) Duas forças atuam sobre o gancho. 
Determine a intensidade da 
resultante.(R: FR=665,74 N) 
 
2) Determine a intensidade da força 
resultante esua direção, medida no 
sentido horário a partir do eixo x 
positivo. (R: FR=721,11 N; =43,90°) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A caminhonete precisa ser rebocada 
usando duas cordas. Determine as 
intensidades de FA e FB para produzir 
uma resultante de 950 N, orientada ao 
longo do eixo x positivo. Considere = 
50°. (R: FA = 774,45 N; FB = 345,77 N) 
 
 
4) O cabo de um jipe é conectado à 
extremidade de uma estrutura inclina A, 
e sofre a ação de uma força de 450 N ao 
longo de seu comprimento. Um tronco 
de madeira de 1000 kg é suspenso por 
um segundo cabo, que está amarrado À 
extremidade da estrutura A. Qual a força 
total exercida pelos cabos sobre a 
estrutura A? (R: FR = 10,2 kN) 
 
 
Parte B – Decomposição de forças; forças resultantes pelo método da decomposição 
 
 
5) Decomponha cada força que atua sobre 
o poste em suas componentes no eixo x 
e y. Depois, determine a resultante. (R: 
FR = 1099 N; = 87,8°) 
 
6) Determine os ângulos de direção 
coordenados da força, e reescreva-a 
como vetor cartesiano. (R: =52,2°; =52,2°; 
 = 120°; F = (45,97i + 45,97j – 37,5k)
 
 
7) Expresse a força como vetor cartesiano. 
(R: FAB= {182,7i + 270,9j-541,8k} N) 
 
 
 
 
8) Determine a força resultante em A. (R: 
FR = 5,13 kN) 
 
 
Mecânica Geral 
Parte 2: Equilíbrio de partícula 
 
Equilíbrio de um Ponto Material 
0FR
Condição de Equilíbrio 
 Dizemos que uma partícula está em 
equilíbriotoda vez em que ela se 
encontra com a sua velocidade vetorial 
constante, ou seja, quando a partícula 
está em repouso (estático) ou em 
movimento retilíneo uniforme. Desta 
maneira podemos concluir que uma 
partícula está em equilíbrio quando 
satisfizer a primeira lei de Newton; para 
manter um equilíbrio a força resultante 
sobre a partícula é nula: 
 F
 F
FF
FF
y
X
yX
yX
0
0
 nulas.ser 
 devemy e x scomponente as
 ,satisfeita seja seja vetorial
 equação a que para Portanto,
0j i ou 
 0ji 
:scartesiana scomponente
 suas em F força a Decompondo
Exemplo 1 
Para a construção de um pavilhão, vigas de aço foram utilizadas para formar a estrutura. 
Para dispô-las no teto, formando a sustentação, um guindaste foi utilizado. Se os cabos 
BD pode suportar uma força de tração máxima de 20 kN, determine a massa máxima da 
viga que pode ser suportada nesse arranjo de cabeamento, erguida pelo cabo AB, de 
modo que nenhum cabo se rompa. 
Exemplo 2 
Se a corda AB de 1,5 m pode suportar uma força máxima de 3500 N, determine 
a força na corda BC e a distância y, de modo que a caixa de 200 kg possa ser 
suportada. 
Exemplo 3 
• O palete de lenha precisa ser levado ao sótão. Enquanto todos 
almoçam, no entanto, o palete deve esperar no telhado, amarrado à 
chaminé por um cabo. Sabendo que a massa do palete é de 150 kg, e 
que há uma força normal do telhado sobre o palete, determine a 
tensão no cabo. 
Equilíbrio de um ponto material no 
espaço 
• Tal qual as premissas para um ponto material no plano, um ponto 
material no espaço estará em equilíbrio se a resultante das forças 
atuantes for nula. 
 
• Tem-se, então, que as resultantes cartesianas tridimensionais 
também são iguais a zero. 
0
0
0
z
y
x
F
F
F
Exemplo 5 
• Determine a intensidade da tensão que o cabo AB deve exercer para 
suportar a portinhola de 25 kg. 
Exemplo 6 
• Um vaso está suspenso por três cabos, como ilustrado. 
Determine o peso P do recipiente sabendo que a tração no 
cabo AB é de 400 N. 
Referências utilizadas 
• Irwin: Estática para Engenharia. Volume 1. 
4ed, 2002. 
• Hibbeler: Estática – Mecânica para 
Engenharia. 12ed, 2011. 
• Beer e Johnston: Mecânica Vetorial para 
Engenheiros – Estática. 5ed, 2012. 
UNIVERSIDADE FEEVALE 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – Equilíbrio de partícula 
 
 
1) Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada 
uma carga. Sabendo que P=400N e =75°, 
determine as trações em AC e BC. (R: TAC 326,04 
N; TBC = 368,6 N). 
 
 
 
2) Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada 
uma carga. Sabendo que e =25°, determine as 
trações em AC e BC. (R: TAC ~461 N; TBC = 290,7 
N). 
 
 
3) Uma caixa e seu conteúdo pesam 480kg. 
Determine o menor tamanho da corrente, ABC, 
que pode ser utilizada para levantar a caixa e 
seu conteúdo se a tração em cada lado da 
corrente não pode exceder 3650N. (R: comp 
total = 908 mm) 
 
 
 
4) A força P é aplicada a uma pequena roda 
que se desloca sobre o cabo ABC. Sabendo que 
a tração nas duas partes do cabo é de 750N, 
determine o módulo e a direção de P.(R: P 
=913,14 N; 277,5°) 
 
 
5) O pendente de reboque AB está submetido 
à força de 50 kN exercida por um rebocador. 
Determine a força em cada um dos cabos de 
amarração, se o navio está se movendo para 
frente em velocidade constante. FBC =22,2 kN; 
FBD = 32,64 kN) 
 
 
 
6) Determine a massa máxima que o vaso 
pode ter sendo que cabo BC pode 
exceder uma força máxima de tração de 
50 kN.( R: m = 7,66 kg). 
 
 
 
 
7) Três cabos estão atados em A, onde são 
aplicadas as forças P e Q, conforme 
figura. Determine a tração em cada cabo 
sabendo que P=5,60 kN e Q=0 
(R: TAB=TAC=2,70 kN; TAD = 4 kN) 
. 
 
 
8) A caixa de 75kg é sustentada pelos cabos 
AB, AC e AD. Determine a tração nesses 
cabos. 
(R: TAB = 804,9 N; TTAC = 1201, 34 N; 
TAD = 1725,37 N). 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral 
Parte 3: momento e momento de binário 
 
Momento de uma Força em relação 
a um Ponto Material 
Definição 
•O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo, 
fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de 
um corpo em torno do ponto ou do eixo; 
 
•Quanto maior a força ou a distância (braço de momento, braço de 
alavanca), maior é o efeito da rotação. 
 
• A tendência de rotação também é chamada de torque, momento de 
uma força ou simplesmente momento. 
 
• A tendência à rotação somente se converterá em movimento de 
rotação se houver liberdade do corpo para isso. 
Exemplos de momento 
Cálculo do momento 
• O momento é calculado multiplicando-se o módulo da força 
aplicada pela distância perpendicular entre a linha de aplicação 
da força e o ponto de referência para o cálculo (ponto de apoio). 
P.Ex.: porta 
 
 Formulação escalar do momento 
• Momento é uma grandeza vetorial, possui 
intensidade, sentido e direção. 
N.m) (em
.dFMO
Convenção de sinais: 
Segue a regra da mão direita 
Rotação no sentido horário – Momento negativo 
Rotação no sentido anti-horário – Momento positivo 
Exemplo 1 
• Determine o momento da força em relação ao 
ponto O em cada uma das barras mostradas. 
Exemplo 2 
• Determine os 
momentos da força 
de 800N em 
relação aos pontos 
A, B, C e D. 
Exemplo 3 
• Determine o momento produzido pela força em relação ao 
ponto A, se = 60°. 
Momento Resultante de um Sistema 
de Forças Coplanares 
dFM RO .
 Teorema de Varignon: 
 O momento em relação a um dado ponto da resultante de diversas forças 
concorrentes é igual à soma dos momentos das várias forças em relação 
a este ponto. 
 
Exemplo 4 
• As forças totais representando a ação da gravidade e da 
pressão d’água sobre uma barragem estão ilustradas na figura 
a seguir. Calcule o momento total gerado por essas forças em 
relação ao canto direito da base da barragem. 
Exemplo 5 
• A força no tendão de Aquiles Ft é mobilizada 
quando a pessoa tenta ficar na ponta dos pés. 
Quando isso é feito, cada um dos seus pés fica 
sujeito a uma força reativa Nt = 400N. Se o 
momento resultante produzido pelas forças Ft e 
Nt em relação à articulação do tornozelo (ponto 
A)precisa ser nula para evitar lesões, determine 
qual a intensidade de Ft. 
 
Exemplo 6 
• Supondo que a penas a mão do operário posiciona em AB faça força para 
segurar o barrote, qual é a intensidade dessa força para que o barrote não 
gire sobre o pino? E se fosse as duas mãos que fizessem força? 
Formulação vetorial do momento 
• O momento de uma força em relação a um ponto pode ser 
determinado através da aplicação das regras de produto 
vetorial. 
• A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos 
geralmente é aplicada para sistemas em três dimensões. 
Formulação vetorial do momento 
 
Exemplo 7 
• Determine o momento gerado pela força AB no ponto O. 
Considere a intensidade de FAB como 3,5 kN. 
Exemplo 8 
• O poste mostrado está sujeito a uma força de 60N na direção 
de C para B. Determine a intensidade do momento criado por 
essa força em relação ao suporte no ponto A. 
Momento de uma Força em relação a um Eixo 
•Define-se como momento de uma força em relação a um eixo a projeção do 
momento de um força em relação a um ponto sobre o eixo coordenado 
considerado. 
 
• Os momentos Mx, My e Mz de F em relação aos eixos coordenados medem a 
tendência dessa força em produzir no corpo rígido um movimento de rotação 
ao redor dos eixos x, y e z, respectivamente. 
 
Formulação matemática 
•Determina-se o momento da forçaem relação a um ponto do sistema 
e depois se realiza a projeção sobre 
o eixo que se deseja a partir do 
produto escalar. 
 
• A solução contempla duas etapas, 
um produto vetorial seguido de um 
produto escalar 
Exemplo 9 
• A força F atua no ponto A 
mostrado na figura. Determine 
o momento dessa força em 
relação ao eixo x. 
Momento de um binário de forças 
• Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma 
intensidade, sentidos opostos e separadas por um distância d. 
• O único efeito de um binário é proporcionar rotação ou tendência 
de rotação em um determinado sentido. 
 
Momento de um binário de forças 
• A determinação quantitativa do binário é dada pelo momento gerado. 
 
 
 
• Binários são considerados equivalentes quando produzem o mesmo 
momento (mesma direção e módulo). 
 
 
dFM .
Neste caso, a distância 
considerada é a que separa o par 
de forças. 
Exemplo 10 
• Um binário atua nos dentes da engrenagem 
mostrada na figura. Substitua esse binário por 
um equivalente, composto por um par de 
forças que atuam nos pontos A e B. 
Momento de um binário 
• Binário resultante: 
– Se mais de dois momentos de binário 
agem sobre o corpo, pode-se generalizar 
esse conceito e escrever a resultante 
vetorial como: 
 
 
).( dFM R
Exemplo 11 
• Determine o momento binário resultante dos três binários 
atuantes sobre a chapa da figura 
Exemplo 12 
• O piso gera um momento de binário de MA = 40 N.m e MB = 30 N.m sobre 
as escovas da enceradeira. Determine: a) a intensidade das forças do 
binário que deve ser desenvolvido pelo operador sobre os punhos de 
modo que o momento de binário resultante sobre a enceradeira seja nulo; 
b) qual a intensidade da força F se a escova B parar repentinamente 
(MB=0)? 
 
Exemplo 13 
• Determine a tendência de rotação das chaves sobre o centro 
em O. 
 
Referências 
• Hibbeler: Estática – Mecânica para 
Engenharia. 12ed, 2011. 
• Beer – Mecânica Vetorial para Engenheiros. 
V.1 – Estática. 5ed, 1994. 
• Shames – Estática: Mecânica para Engenharia. 
V.1, 4ed, 2001. 
UNIVERSIDADE FEEVALE 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 – Momento 
 
1) Determine o momento da força em 
relação ao ponto O. (R: -460 N.m) 
 
 
2) Se =45°, determine o momento 
produzido pela força de 4 kN em A. (R: 
7,22 N.m) 
 
 
3) Se o homem em B exerce uma força de 
150 N sobre sua corda, determine a 
intensidade da força F que o homem em 
C precisa exercer para impedir que o 
poste gire, ou seja, para que o momento 
resultante em relação a A devido às duas 
forças seja igual a zero. (R: 198,9 N) 
 
 
 
 
 
4) Um guindaste montado em um 
caminhão possui uma estrutura 
articulada de suporte de 20m de 
comprimento inclinada de 60º em 
relação à horizontal. Qual é o momento 
em relação ao pivô da estrutura 
provocado pelo peso de 30 kN?(R: -300 
kN.m) 
 
 
 
5) Determine o momento, em N.m, em relação à 
origem O da força, em N, F=4i-3j+ 5k aplicada ao 
ponto A, supondo que o vetor posição em A é, 
em m: 
 a) r = 3i – 6j +5k (R: {-15i +5j+15k} N.m}) 
 b) r = -8i + 6j -10k (R: 0) 
 c) r = 8i – 6j +5k (R: {-15i -20j} N.m) 
 
 
6) Uma força de 200N é aplicada ao suporte ABC 
como ilustrado. Determine o momento da força 
em relação a A. (R: M = {7,5i -6j – 10,4k} N.m) 
 
 
 
 
7) Determine o momento resultante 
produzido pelas forças em relação ao ponto O, 
se F1 = (100i – 120j + 75k) N e F2 = (-200i+250j + 
100k)N. Expresse o resultado como vetor 
cartesiano. (R: MR = {97i -200j+204k} N.m) 
 
 
 
 
 
 
8) Sérios danos ao pescoço podem ocorrer quando um jogador de futebol americano é atingido na 
proteção de rosto do seu capacete, da maneira mostrada, causando um mecanismo de guilhotina. 
Determine: a) o momento da força gerada pelo joelho do adversário em relação ao ponto A; b) qual seria 
a intensidade da força F que o pescoço deve fazer para fornecer momento que evite a rotação da cabeça? 
(R: a) -15,40 N.m; b) F ~118,55N) 
 
 
 
9) Um motorista de caminhão, quando troca um pneu furado, deve apertar as porcas da roda usando um 
torque de 100N.m . a) Considerando que a chave de roda tenha certo comprimento, de modo que a 
distância entre as forças aplicadas por suas mãos seja de 560mm, quanto será a força exercida por cada 
uma das mãos do caminhoneiro? b) Se para a retirada das porcas o caminhoneiro exerceu uma força de 
300N em cada mão, qual foi o torque aplicado neste caso? (R: a)179N; b)168N.m) 
 
10) Trabalhadores de uma indústria petrolífera podem exercer uma força entre 220 e 560N com cada mão 
no volante de uma válvula, com uma mão de cada lado. Considerando que o momento de 140N.m é 
necessário, qual será o diâmetro d do volante? (R: 636mm) 
 
11) Um instrumento de escavação manual possui uma barra transversal de 0,6m de comprimento e um 
eixo vertical de 1,5m de comprimento fixo à base. Testes efetuados no instrumento mostram que um 
momento de 140 N.m é requerido para cavar um buraco no barro, mas apenas 90N.m são necessários 
para cavar em solo arenoso. Qual deve ser a força F aplicada em cada caso considerando que a distância 
entre as forças exercidas pelas mãos do operador é de 500mm? (R: barro: 280N; areia: 180N) 
 
12) O rodízio está sujeito a dois binários. Determine a intensidade da força F que age sobre o eixo, 
exercida pelos rolamentos, de modo que o momento de binário resultante seja zero. (R: F = 62,5 N). 
 
 
Mecânica Geral 
Parte 4 
Propriedades geométricas 
do corpo rígido: 
Centróide, baricentro e centro de gravidade 
 
Centro geométrico ou centróide 
Centro geométrico ou centróide 
• Se considerar-se o corpo rígido como um material de 
densidade constante, constituído de pequenas áreas A de 
distância L, então as coordenadas x e y representam o 
centróide do corpo. 
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
A
zA
A
yA
y
A
xA
x
1
1
1
1
1
1 z 
Centróide de uma linha 
O centróide de uma linha, por definição, 
coincide com o seu baricentro. 
 . .
ii
LyLyLxLx ii
Eixo de simetria 
Um eixo de simetria decompõe a superfície em duas superfícies de 
mesma área simetricamente dispostas. 
-Quando uma superfície tem um eixo 
de simetria, o seu centróide deve 
ser situado sobre este eixo; 
 
-Se há dois eixos de simetria , o 
centróide estará na interseção entre 
eles. 
 
Exemplo 1 
Determinar o centróide da placa recortada ilustrada na figura. 
Exemplo 2 
O triângulo da figura é formado por um arame fino e homogêneo. 
Determinar seu baricentro. 
Exemplo 3 
Localize o centróide em y da viga construída representada na figura a seguir: 
 
Exemplo 4 
Um arame fino, homogêneo, é utilizado para formar o perímetro da figura i. 
Localize o centro de gravidade. 
Centro de massa 
• centro de massa de um corpo é o ponto que representa onde 
toda a massa do corpo está concentrada para o cálculo de 
vários efeitos. O centro de massa não precisa coincidir com o 
centróide. 
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
m
zm
m
ym
y
m
xm
x
1
1
1
1
1
1 z 
Centro de gravidade (Baricentro) 
• Corpo rígido = infinitas partículas sólidas 
• Centro de gravidade: 
– a resultando do somatório da ação da gravidade sobre cada 
uma das partículas do corpo. Esta resultante está aplicada 
sobre um ponto específico do corpo 
– Ou seja: é a posição onde pode ser considerada a aplicação 
da força de gravidade resultante equivalente de todo o 
corpo.Determinação do centro de gravidade 
 
z
z
 
i
dP
P
dP
Py
y
dP
dPx
x
i
i
As coordenadas do centro de 
gravidade são dadas por: 
Onde P =força peso do 
corpo rígido. 
 
Se considerar-se o corpo rígido 
imerso um campo gravitacional 
constante, então, P=m.g, e o centro 
de gravidade passa a representar o 
centro de massa. 
 
Resumo das equações - linearizadas 
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
m
zm
m
ym
y
m
xm
x
1
1
1
1
1
1 z 
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
P
zP
P
yP
y
P
xP
x
1
1
1
1
1
1 z 
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
A
zA
A
yA
y
A
xA
x
1
1
1
1
1
1 z 
Centróide 
Centro de massa 
Centro de gravidade 
(baricentro) 
Exemplo 5 
• Determinar a posição do centro de massa deste corpo, sabendo que a aba 
vertical é uma chapa metálica com massa específica de 25(kg/m^2), 
enquanto que o material da base possui uma massa específica de 40 
(kg/m^2). A haste de comprimento 150 (mm), possui uma massa 
específica de 7,83 (g/cm^3) 
50
50
25
75
150
150
150
100
Exemplo 6 
• Calcule as coordenadas do centróide da estrutura em plástico 
transparente. (Para a resposta, apresente o eixo de referência que 
usaste). 
 
Considerações 
• O centróide coincide com o centro de massa e o centro de gravidade 
se o material for uniforme ou homogêneo. 
 
 
 
 
 
 
 
• Em alguns casos, tal qual o CM, o centróide pode localizar-se fora do 
corpo, como num anel, onde o centróide estará no seu centro. 
• O centróide normalmente se localiza sobre o eixo de simetria do 
corpo. 
Referências 
• Hibbeler: Estática – Mecânica para 
Engenharia. 12ed, 2011. 
• Beer – Mecânica Vetorial para Engenheiros. 
V.1 – Estática. 5ed, 1994. 
• Shames – Estática: Mecânica para Engenharia. 
V.1, 4ed, 2001. 
UNIVERSIDADE FEEVALE 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – Centróide centro de gravidade e centro de massa 
 
 
1) Um paralelogramo e uma elipse são cortados 
e retirados de uma placa retangular. Quais são 
as coordenadas do centróide desta placa? 
(X=181,4 mm; Y=63,8 mm) 
 
2) Localize as coordenadas x e y do centróide da 
chapa plana recortada representada abaixo: (X= 
4,83 m; Y=2,56 m) 
 
 
 
3) Determine o centróide do sistema basculante 
usado em transporte de cargas ilustrado na 
figura abaixo. Atente para a localização da 
origem do sistema de coordenadas. (X= 366,25 
mm; Y= 142,5 mm) 
 
 
4) Um arame fino, homogêneo, é utilizado para 
formar o perímetro da figura abaixo. Localize seu 
centro de gravidade. (X=32,22 mm; Y= 35,13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule as coordenadas do centróide da placa 
plana recortada a seguir. (Para a resposta, use 
como referência a origem dos eixos conforme 
demonstrada). (X = 40,02mm; Y ~19,6mm). 
 
 
6) Qual a coordenada horizontal onde o gancho 
deve puxar a viga de concreto não-prismática, de 
modo que a viga permaneça na horizontal 
quando erguida? (R: 2,57m). 
 
 
 
20 
Mecânica Geral 
Parte 5: Estruturas 
– equilíbrio de corpo rígido – 
 
 
Introdução à análise estrutural 
• Estrutura: denomina-se estrutura o conjunto de 
elementos de construção, composto com a finalidade 
de receber e transmitir esforços. 
– Vigas: elemento estrutural projetado para 
suportar cargas aplicadas em vários pontos de sua 
extensão. 
 
Introdução à análise estrutural 
• Forças atuantes num corpo rígido: 
• Forças internas: 
– São as forças que mantém unidas as partículas do corpo 
rígido. 
• Forças externas: 
– representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido 
considerado, sendo inteiramente responsáveis pelo 
comportamento externo que este assume. Causarão 
movimento ou assegurarão a permanência em repouso. 
 
Sistema de forças equivalentes 
(condição não estática) 
• Num corpo rígido onde atuam forças, e 
conseqüentemente seus momentos, o sistema 
de forças pode ser substituído pela resultante 
das forças e resultante dos momentos. 
• Esse sistema equivalente é chamado de 
sistema força-binário, e é definido pelas 
equações abaixo: 
O
R
O MM
FR
Equilíbrio de um corpo rígido 
• Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é 
necessário que a soma vetorial de todas as forças 
externas, assim como a soma vetorial dos 
correspondentes momentos, sejam nulos. 
 
Vínculos e Reações 
• A função dos vínculos (apoios) é a de restringir os 
movimentos do corpo, provocando reações nas 
direções dos movimentos impedidos. 
 
• 1 - Apoio Móvel (rolete): é um apoio de 1ª 
classe pois impede 1 movimento. 
Representação: 
R 
2 - Apoio fixo: é um apoio de 2ª classe pois impede 2 
movimentos. 
 
V 
H 
Representação: 
3 - Engaste: é um apoio de 3ª classe pois impede 3 
movimentos. 
 
V 
H 
M 
Representação: 
Vínculos e Reações 
Exemplos de vínculos 
Exemplo 1: Reações nos apoios (condição estática) 
• Três cargas pontuais são aplicadas sobre uma viga, que está 
apoiada em um rolete (apoio simples) em B e uma articulação 
em A. Desprezando o peso da viga, determine as reações em 
A e B quando F=75kN. 
1,5 
m 
1,5 
m 
2,5 m 0,75 
m 
• Determine a tração T no cabo que suporta a viga e a força 
sobre o pino em A, sabendo que viga tem peso de 4,66kN. 
Exemplo 2: Reações nos apoios (condição estática) 
• Determine as reações nos apoios. Despreze a 
espessura da viga. 
Exemplo 3: Reações nos apoios (condição estática) 
• Determine as reações no apoio A. 
Exemplo 4: Reações nos apoios (condição estática) 
Cargas distribuídas sobre vigas 
• Consideremos uma viga que suporta materiais (outros corpos 
rígidos) que estão apoiados sobre ela, ou mesmo a ação do 
vento ou a pressão hidrostática sobre uma comporta. 
• Esta carga, chamada de distribuída, pode ser representada 
pelo diagrama de uma carga w suportada por unidade de 
comprimento (N.m), sendo seu módulo: 
L
wdxW
0
Cargas distribuídas sobre vigas 
• Uma carga distribuída sobre uma viga pode ser substituída 
por uma carga concentrada, que a representa em intensidade, 
aplicada num ponto conveniente a provocar reação 
semelhante do que na sua forma distribuída. 
L
wdxW
0
= 
Cargas distribuídas sobre vigas 
• A carga pontual concentrada que representa a resultante da carga 
distribuída pode ser determinada pela área total da superfície, pois: 
 
 
 
• A resultante da carga distribuída atuará sempre no centróide da superfície 
considerada: 
 
 
AdAwdxW
L
0
= 
W
wxdx
x
A
0
Exemplo 5: carregamento distribuído 
em vigas 
• Determine as reações nos apoios dos seguintes 
sistemas: 
a) 
b) 
Exemplo 6: carregamento distribuído 
em vigas 
• Calcular as reações nos apoios na viga abaixo: 
Referências 
• Hibbeler: Estática – Mecânica para 
Engenharia. 12ed, 2011. 
• Beer – Mecânica Vetorial para Engenheiros. 
V.1 – Estática. 5ed, 1994. 
UNIVERSIDADE FEEVALE 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5 – Estruturas: equilíbrio de corpo rígido 
 
 
Determine as reações nos apoios das estruturas abaixo: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
7) Compare a força exercida sobre a ponta dopé e sobre o calcanhar de uma mulher de 600N 
quando ela está usando sapatos comuns e sapatos de salto alto. Assuma que todo o seu peso está 
sobre um único pé e as reações ocorrem nos pontos A e B, como mostrado. 
 
 
8) O transformador elétrico de 1500 N com centro de gravidade em G é sustentado por um pino em 
A e por uma sapata lisa em B. Determine as reações vertical e horizontal em A e a reação em B. 
 
9) Se a carga e o antebraço possuem massa de 2 kg e 1,2 kg respectivamente, e seus centros de 
massa estão em G1 e G2, e o bíceps (CD) desenvolve no instante mostrado uma força de 131 N, 
determine as reações desenvolvidas no cotovelo em B. O diagrama esquelético mostrado pode 
ser substituído pelo sistema estrutural na sequencia. 
 
 
 
 
Respostas: 
1) Rax = 0; Ray = 36,25kN; Rby = 28,75kN 
2) Rax = 0; Ray = 1,76kN; Rby = 3,84 kN 
3) Rax = 0; Ray = 0,2kN; Rby = 0,7 kN 
4) Rax = 0; Ray = -1,17kN; Rdy = 32,2 kN 
5) Rax = 0; Ray = 11,25kN; Rby = 6,75kN 
6) Rbx = 0; Ray = 22,5kN; Rby = 4,5 kN 
7) sapato normal: Ray=492,86N e Rby=107,14N; sapato salto: Ray=500N e Rby=100N 
8) Rax=Ray=750N; Rb=750N 
9) Rbx=34N; Rby = 95,4N 
 
 
Mecânica Geral 
Parte 6: Estruturas – treliças Planas 
 
Treliças 
• Uma treliças é uma estrutura de barras 
interconectadas em suas extremidades capaz 
de suportar cargas estáticas e dinâmicas. 
 
Treliças planas 
• As treliças planas são aquelas que se distribuem em um plano e geralmente 
são utilizadas em estruturas de telhados e pontes; 
• Geralmente são unidos por solda, parafusos ou rebites; 
• As barras utilizadas nas treliças tem seção transversal I, H ou L. 
Treliças planas 
 Para o suporte à aplicação de 
cargas distribuídas, torna-se 
necessário o acréscimo de um 
“piso” à estrutura da treliça, 
que transmite a carga às juntas. 
 
Análise de treliças: hipóteses 
simplificadoras 
• 1) Todas as cargas são aplicadas aos nós, 
normalmente o peso próprio é desprezado 
pois a carga suportada é bem maior que o 
peso do elemento. 
 
• 2) Os elementos são ligados entre si por 
superfícies lisas. 
Análise de treliças: hipóteses 
simplificadoras 
• Devido as hipóteses 
simplificadoras, os elementos de 
uma treliça atuam como barras 
de duas forças. 
• Se uma força tende a alongar o 
elemento, é chamada de força de 
tração. 
• Se uma força tende a encurtar o 
elemento, é chamada de força de 
compressão. 
Análise de treliças: método dos nós 
• A análise é realizada a partir do diagrama de corpo livre de 
cada nó (as juntas - conexões) que compõe a treliça, avaliando 
as forças que atuam em cada elemento (barra) 
• São válidas as equações de equilíbrio da estática. 
 
 
- Avaliar cada nó separadamente 
- Avaliar se cada força comprime ou 
traciona 
 
D
C
L 
Exemplo 1 
• Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça 
mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou 
compressão. 
Exemplo 2 
• Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça 
mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou 
compressão. 
Treliças – método das seções 
• Também conhecido como Método de Ritter; 
 
• Baseia-se no princípio de que se um corpo está em 
equilíbrio, qualquer parte dele também está; 
 
• O método consiste em seccionar o elemento que se 
deseja analisar na treliça e aplicar as equações de 
equilíbrio na região seccionada. 
Procedimento 
• 1 - Escolher cortes (ou seções de Ritter) que interceptam até três barras, não paralelas nem 
concorrentes no mesmo ponto, para determinar seus esforços pelas equações da Estática. Podem, 
ocorrer casos que o corte na estrutura original intercepta mais do que três barras, mas, neste caso uma 
delas já deve ter seu valor conhecido; 
 
– Os cortes podem ter formas quaisquer (não precisam ser retas), desde que sejam contínuas, pois sua única 
obrigação é atravessar a treliça. 
 
• 2 - adota-se uma das partes para verificar o equilíbrio, ignorando-se a outra parte até o próximo corte. 
– Ao cortar a treliça deve-se observar que o corte a intercepte de tal forma, que se apresentem no máximo 3 
incógnitas, para que possa haver solução, através das equações de equilíbrio. É importante ressaltar que 
entrarão nos cálculos somente as barras da treliça que forem cortadas, as forças ativas e reativas da parte 
adotada para a verificação de equilíbrio. 
• 3 -Repetir o procedimento, até que todas as barras da treliça estejam calculadas. 
 
• Neste método, pode-se considerar inicialmente todas as barras tracionadas, ou seja, barras que 
“puxam” os nós, as barras que apresentarem sinal negativo nos cálculos, estarão comprimidas. 
– Sinal positivo no cálculo da força = barra tracionada 
– Sinal negativo no cálculo da força = barra comprimida 
Exemplo 3 
Determinar as forças atuantes nas barras da treliça a seguir: 
Exemplo 3 
• Determinar as seções de Ritter a serem avaliadas – sugestão: 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
• Na treliça de suporte parcial de um telhado, também são fixas as luminárias. 
Determine a tensão em cada barra da treliça, considerando que os vínculos em I e 
J sejam articulações. 
G 
H 
i 
J 
Referências 
• Hibbeler: Estática – Mecânica para 
Engenharia. 12ed, 2011. 
• Beer – Mecânica Vetorial para Engenheiros. 
V.1 – Estática. 5ed, 1994. 
 
UNIVERSIDADE FEEVALE 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 6 – Estruturas: Treliças planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: vide resolução 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
3 e 4 
5 
Mecânica Geral 
Parte 7: 
Momento de inércia 
 
Momento estático 
(ou de primeira ordem) 
• A determinação do centroide em corpos tridimensionais também pode ser 
feita através do volume, com as expressões a seguir: 
 
 
 
 
• A integral ∫x ⋅ dV e conhecida como Momento Estatico ou Momento de 
Primeira Ordem de Volume em relacao ao plano yz. Analogamente, ∫ y ⋅ 
dV com em relacao a xz e ∫z ⋅dV em relacao a xy. 
Momento estático de primeira ordem 
de superfícies e curvas 
• O momento de primeira ordem é definido como sendo o produto entra a 
área do corpo e a distância dele a um eixo coordenado referencial. 
• Representa o momento da distribuição de forças paralelas (força peso) 
orientadas paralelamente ao corpo. 
• Também chamado de momento estático. 
AxxdAQ
AyydAQ
y
x
 :y eixo No
 : xeixo No
Em uma superfície: 
Momento de inércia 
 (ou momento de segunda ordem de volume) 
• Momento de Inércia é uma grandeza que mede a resistência 
que uma determinada área oferece quando solicitada ao giro 
em torno de um determinado eixo. 
Momento de inércia 
 (ou momento de segunda ordem de volume) 
A pressão varia 
com a 
profundidade 
 
 
Se pressão pode ser definida 
por: 
A
F
P
yP .
Pode-se escrever a força como 
AyF
APF
..
.
Neste sistema, a força resultante da pressão total 
pode ser aplicada no centróide da seção, 
gerando um momento de rotação: 
).(
)...(
.
2 AyM
yAyM
dFM
x
x
x
dAyI x
2
Considerando toda a 
superfície: 
Momento de inércia geométrico 
• O momento de inércia, diferente do momento puro (torque), representa a 
resistência ao giro oferecida por um corpo rígido. 
- Considere-se a laje sustentada por duas vigas de perfil retangular de dimensões 
idênticas e diferentes posições de apoio; 
-na primeira posição a viga resistiria um maior momento (M1) do que se estivesse na 
posição P2, onde resistiria a um momento inferior (M2); 
- quanto maior o momento de inércia, maior será a resistênciada estrutura. 
 
Momento de inércia em relação a x e y 
• Por definição, os momentos de inércia geométricos 
de uma área diferencial são dados por: 
-O momento de inércia é dado em unidades de comprimento na quarta 
potência = mm4, cm4, m4 
 
- Também é indicado por I 
A
y
A
x
dAxJ
dAyJ
2
2
Momento de inércia polar 
• Pode-se formular momento de 
inércia em relação não ao eixo x e 
y, mas ao centro de giro O (o 
sentido de giro, nesse caso, será 
em torno do eixo z); 
• Esse momento é definido como 
momento de inércia polar 
yx
A
o JJdArJ
2
Sendo r o vetor que liga o eixo de giro ao centróide 
Momento de inércia de superfícies 
complexas 
• Segue procedimento de cálculo do centróide 
Teorema de Steiner 
• O teorema de Steiner para eixos paralelos pode ser 
usado para determinar o momento de inércia de 
qualquer área em relação a um eixo que seja paralelo 
ao eixo do centróide. 
2
2
.
.
'
'
xyy
yxx
dAJJ
dAJJ
Raio de giração (i) 
• O raio de giração de 
uma superfície plana em 
relação a um eixo 
constitui-se numa 
medida particular entre 
a superfície e o eixo 
baricêntrico, ou ao eixo 
de giro o. 
A
J
i
A
J
i
A
J
i
o
o
y
y
x
x
Módulo de resistência 
• É a relação entre o 
momento de inércia 
e a distância da 
coordenada mais 
afastada relativo ao 
eixo baricêntrico 
(unidade: mm^3, 
cm^3, m^3) 
maxx
J
W
y
J
W
y
y
máx
x
x
Para superfícies conhecidas, tanto 
o raio de giração quanto o módulo 
de resistência obedecem fórmulas 
tabeladas. 
Exemplo 1 
Determinar 
a) o momento de inércia , o raio de giração e o 
módulo de resistência do perfil representado na 
figura 
Exemplo 2 
Determinar o momento de inércia do corpo 
rígido abaixo, em relação ao eixo x, 
considerando que o eixo principal é o que passa 
pelo centróide do corpo rígido 
Exemplo 3 
Determinar os momentos de inércia 
para a área da seção transversal da 
estrutura mostrada na figura, em 
relação aos eixos do centróide da 
estrutura. 
Exemplo 4 
Determine os momentos de inércia da seção transversal da viga em relação aos eixos 
coordenados x e y. Perceba que o eixo auxiliar x’ representa apenas o eixo longitudinal 
do centróide em x da viga. 
 
Referências 
• Hibbeler: Estática – Mecânica para 
Engenharia. 12ed, 2011. 
• Beer – Mecânica Vetorial para Engenheiros. 
V.1 – Estática. 5ed, 1994. 
• Shames – Estática: Mecânica para Engenharia. 
V.1, 4ed, 2001. 
UNIVERSIDADE FEEVALE 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 7 – Momento de inércia 
 
1) Determine o momento de inércia da 
área composta em relação ao eixo y. (Jy 
= 10,35 . 109 mm4) 
 
 
 
 
2) Determine o momento de inércia da 
área da seção transversal em relação ao 
eixo y. (Jy = 5,47 . 105 mm4) 
 
 
3) Determine o momento de inércia em 
relação ao eixo x da viga I representada abaixo. 
(Jx= 5,27.10
7 mm4) 
 
 
4) Determine o momento de inércia da 
área da seção transversal da viga em relação ao 
eixo y. (Jy = 1,219 . 108 mm4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine o momento de inércia em 
relação aos eixos x e y da seção 
transversal da viga.( Jy = 1,98 . 107 mm4 
Jx = 2,51 . 106 mm4 ) 
6) Determine o momento de inércia em relação 
aos eixos x e y da seção transversal da estrutura.( 
Jy = 1,53 . 108 mm4 Jx = 1,15 . 108 mm4 ) 
Universidade FEEVALE
Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas
Disciplina de Mecânica Geral
Tabela de momento de inércia e outras propriedades de figuras planas
 . h 
b 
 x 
y 
 . 
 D 
 x 
 y 
 D 
 . 
R 
 x 
y 
Centróides de Áreas 
 
 Triângulo 
 
 
 
2
b
X 
 
3
h
Y 
 
2
hb
A


 
 Triângulo Isósceles/Eqüilátero 
 
 
 
 
2
b
X 
 
3
h
Y 
 
2
hb
A


 
 Triângulo Retângulo 
 
 
 
 
3
b
X 
 
3
h
Y 
 
2
hb
A


 
 Círculo 
 
 
 
2
D
X 
 
2
D
Y 
 
2RA 
 
 Semicírculo 
 
 
 
0X
 
3
4 R
Y


 
2
2R
A


 
. h 
b/2 b/2 
b 
h . 
y 
 x 
 . b 
 x 
y 
a 
 . 
R 
 x 
y 
 . 
 x 
y 
 b 
a 
 . 
 h 
 x 
y 
 a 
 . 
h 
a 
y 
x 
y 
 . 
Y=kx² 
h 
a 
x 
 Quarto de Círculo 
 
 
 
3
4 R
X


 
3
4 R
Y


 
4
2R
A


 
 
 Semi-elipse 
 
 
0X
 
3
4 b
Y


 
2
ab
A



 
 Quarto de elipse 
 
 
3
4 a
X


 
3
4 b
Y


 
4
ab
A



 
 Parábola 
 
 
 
0X
 
5
3h
Y 
 
3
4 ah
A


 
 Semiparábola 
 
 
8
3a
X 
 
5
3h
Y 
 
3
2 ah
A


 
 Arco de Parábola do 2º grau 
 
 
 
4
3a
X 
 
10
3h
Y 
 
3
ah
A 
 
 . 
R 
 x 
y 
 . 
R 
 x 
y 
 Arco de Parábola do grau n 
 
 
a
n
n
X 



2
1
 
h
n
n
Y 



24
1
 
1

n
ah
A
 
 Setor Circular 
 
 


3
sen2r
X 
 
0Y
 
2rA 
 
 
Centróides de Linhas 
 
 Semi-circunferência 
 
 
 
0X
 

r
Y


2
 
Rc  
 
 Quarto de Circunferência 
 
 

R
X


2
 

r
Y


2
 
2
r
c



 
 Arco de circunferência 
 
 

senr
X 
 
0Y
 
rA  2
 
 
 
 
 
y 


x 
r 
y 
 . 
Y=kxn 
h 
a 
x 
y 


x 
r