Capítulo 04- Aproximações de funções

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Aproximações de funções
introdução
Dois casos podem ser considerados em paralelo:
Quando a função é tabelada – domínio discreto
Quando a função é dada pela sua forma analítica – domínio contínuo 
É comum em aplicações técnicas práticas que se deseje substituir um conjunto de dados tabelados através de uma função aproximadora que se ajuste bem a esses dados. 
Abordaremos o problema de aproximar uma função  por uma outra função g de uma família previamente escolhida 
Começaremos estudando o caso particular de ajuste de uma reta (Regressão Linear) a uma tabela e depois generalizando o raciocínio para aproximar uma função  por uma g da família G das funções que são combinação linear de funções conhecidas, não nulas, gk, 
K = 0,1,...,m
Generalidades
Perguntas: Por que aproximar? Qual família de funções escolher? Como aproximar? 
 
Por que aproximar?
1o. Caso: 
Experimento: Determinação da aceleração a partir de medidas da velocidade em função do tempo 
Normalmente conhecemos a família da função que descreve o fenômeno envolvido;
Em geral, os valores obtidos já são afetados de erros e, portanto, a função desejada não necessita fornecer exatamente os valores medidos. 
Basta achar, entre os diversos elementos da família, aquele que “melhor aproxima” o fenômeno medido.
Generalidades
2o. Caso: 
experimento
A forma analítica da função que descreve um fenômeno é conhecida.
É necessário substituir esta função por uma outra função que “se aproxime razoavelmente” da função original  para facilitar o tratamento matemático do modelo.
Generalidades
A escolha da família aproximadora não será tratada aqui. O método dos mínimos quadrados assume que a família G foi escolhida a contento.
Qual família de funções escolher? 
Fatores que devem ser levados em conta:
As características que a função aproximadora deve ter para facilitar os cálculos 
Polinômios são facilmente deriváveis e integráveis;
Adições, subtrações, multiplicações e translações de polinômios resultam em polinômios.
O comportamento das funções da família G deve aproximar, o mais possível, do comportamento da função , porém, com forma analítica conveniente
Periodicidade da função pode ser obtida com funções trigonométricas
Generalidades
Como aproximar? 
Ao aproximar uma função  por uma função g de uma família G estaremos introduzindo um erro r que será chamado de resíduo
Uma “boa” aproximação será obtida fazendo
Ou seja, exigindo que a soma dos resíduos, ao quadrado, seja mínimo.
Método dos Mínimos Quadrados!
Valor fornecido em cada ponto
Função aproximadora
Regressão Linear
Objetivo: aproximar uma função  por uma função g da família ax + b pelo método dos mínimos quadrados. 
Reta!
Significa determinar os parâmetros a e b da reta de modo que a soma 
dos quadrados dos erros em cada ponto seja mínima!
Vamos somente nos preocupar em aproximar uma função  tabelada nos pontos xi, i = 1,2, ..., n (n  2), por uma reta.
Regressão Linear
Vamos à teoria!
O resíduo em cada ponto (xi , (xi)) é dado por: 
xi
x1
x2
...
xn
(xi)
(x1)
(x2)
...
(xn)
Queremos determinar a e b que minimizam: 
Para isto é necessário que: 
n = número de pontos
Regressão Linear
Ou seja:
Portanto:
Usando notação matricial:
Sistema Normal
e
e
Regressão Linear
Ou seja, devemos resolver o sistema abaixo para encontrar os valores de a e b.
Solução!
Regressão Linear
Exemplo 1
Como resultado de um experimento, suponha que obtivemos os seguintes valores para a função :
xi
0
1
2
3
4
(xi)
0
1
1
4
4
Vamos determinar a reta que melhor se ajusta a esta função segundo o método de mínimos quadrados.
n = 5
1+1+1+1+1
0+1+2+3+4
0+1+1+4+4
0+1+2+3+4
02+12+22+32+42
0*0+1*1+1*2+4*3+4*4
5
10
10
30
10
31
Regressão Linear
Resolvendo o sistema linear abaixo – por Gauss -, temos:
Reta Aproximada
Regressão Linear
Graficamente:
Caso geral
Aproximação de uma função  por uma função g da família:
Linear nos parâmetros ak e gk(x)
A escolha da funções gk deve ter sido feita, a priori, baseada tanto no comportamento da função  quanto nas propriedades desejadas para a função aproximadora.
Vamos considerar somente problemas quando a função  é tabelada, ou seja, o domínio da função que se quer aproximar é discreto.
Caso geral – Domínio Discreto
Seja a função  tabelada em n pontos distintos x1, x2, ..., xn . Vamos aproximá-la por uma função g da forma:
Precisamos determinar a0, a1, ..., am que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, M(a0, a1, ..., am), nos pontos xi, i = 1, 2, ..., n.
Domínio discreto
Precisamos determinar os coeficientes ak, tais que:
Domínio discreto
Ou seja, devemos resolver o sistema abaixo para encontrar os valores de ak, tais que:
Domínio discreto
g0
g1
...
gm
f(xi)
g0
g1
...
gm
Domínio discreto
Exemplo 2
Observando um sinal no osciloscópio, verifica-se que ele corresponde à superposição de dois efeitos, um oscilatório e outro crescente. Nestas condições vamos aproximá-lo por uma função g da família
ax + bcosx = a0g0(x) + a1g1(x). 
	Medindo alguns valores deste sinal, obtemos a tabela:
x
0
1,5
3,0
4,5
6,0
(x)
1,00
1,57
2,00
4,30
7,00
Temos então:
g0(x) = x 
g1(x) = cosx
x em radianos
	Temos que encontrar os valores de ao e a1.
Domínio discreto
Ou seja, devemos resolver o sistema abaixo para encontrar os valores de ao e a1, tais que:
Vamos calcular os termos das matrizes:
Domínio discreto
x
0
1,5
3,0
4,5
6,0
(x)
1,00
1,57
2,00
4,30
7,00
g0(x) =x
g1(x) =cosx
g0(x)g0(x)
g0(x)g1(x)
g1(x)g1(x)
(x)g0(x)
(x)g1(x)
0,00
1,50
3,00
4,50
6,00
1,00
0,07
-0,99
-0,21
0,96
0,00
2,25
9,00
20,25
36,00
0,00
0,11
-2,97
-0,95
5,76
1,00
0,005
0,98
0,04
0,92
0,00
2,36
6,00
19,35
42,00
1,00
0,11
-1,98
-0,91
6,72
67,50
1,95
2,95
69,71
4,95
67,50
1,95
1,95
2,95
69,71
4,95
Domínio discreto
Portanto:
e
Função Aproximada
Domínio discreto
Vamos verificar os valores de (x) obtidos pela função aproximadora:
X
0
1,5
3,0
4,5
6,0
(x)
1,00
1,57
2,00
4,30
7,00
g(x)
|f(x) - g(x)|
1,01
1,58
2,00
4,30
6,99
0,01
0,01
0,00
0,00
0,01
Domínio discreto
Graficamente:
Domínio discreto
Exemplo 3
Através de medições experimentais relacionou-s a velocidade  com que um pára-quedas caia no ar com pressão P em sua superfície. Foram feitas 5 medições; os dados experimentais são os da tabela abaixo, sendo que a velocidade  está em (m/s) e a pressão P em (Kg/cm2).

7,87
11,50
16,40
22,60
32,80
P
0,014
0,028
0,056
0,112
0,225
Deseja-se ajustar estes dados através de uma função aproximadora p() que nos permita, mesmo sem conhecer a lei física que rege o fenômeno, calcular a pressão presumível que corresponde a um valor medido qualquer para .
Domínio discreto
Vamos esboçar rapidamente o gráfico a partir dos dados tabelados:
Sugestão:
P()

Domínio discreto
Devemos determinar os parâmetros a e b para que a função 
 p() = a + b2 se aproxime (ou se ajuste) aos dados tabelados da melhor forma possível.
Pelo o método de mínimos quadrados devemos resolver o sistema abaixo para encontrar os valores de a e b, tais que: 
onde:
Domínio discreto

7,87
11,50
16,40
22,60
32,80
P()
0,014
0,028
0,056
0,112
0,225
g0() =1
g1() =2
g0()g0()
g0()g1()
g1()g1()
P()g0()
P()g1()
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
61,94
132,25
268,96
510,76
1075,84
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
61,94
132,25
268,96
510,76
1075,84
3836,18
17490,06
72339,48
260875,78
1157431,71
0,014
0,028
0,056
0,112
0,225
0,867
3,703
15,062
57,205
242,064
5,00
2049,75
1511973,21
0,435
318,90
5,00
2049,75
2049,75
1511973,21
0,435
318,90
Domínio discreto
Portanto:
e
Função Aproximada
Domínio discreto
Vamos verificar os valores obtidos pela função aproximadora:

7,87
11,50
16,40
22,60
32,80
P()
0,014
0,028
0,056
0,112
0,225
p()
|P() - p()|
0,014
0,029
0,057
0,108
0,226
0,000
0,001
0,001
0,004
0,001
Domínio discreto
Graficamente:
