Raciocinio Lógico Quatitativo Analítico

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Conjunto 
Na matemática, um conjunto é uma coleção 
de elementos. 
A relação básica entre um objeto e o conjunto é a 
relação de pertinência: quando um objeto x é um 
dos elementos que compõem o conjunto A, dize-
mos que x pertence a A. 
Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes 
que os elementos estão listados na coleção não é 
relevante. Em contraste, uma coleção de elemen-
tos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é 
relevante, é chamada multiconjunto. 
Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e so-
mente se, cada elemento de um é também ele-
mento do outro. 
Operações Com Conjuntos 
Interseção 
Os elementos que fazem parte do conjunto inter-
seção são os elementos comuns aos conjuntos 
relacionados. 
Exemplo 1: 
Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = 
{0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles tere-
mos: 
A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5. 
 
 
 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -
8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos: 
B ∩ C = { } ou B ∩ C = , então B e C são con-
juntos distintos. 
 
 
 
Exemplo 3: 
Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. 
A interseção dos conjuntos ficaria assim: 
E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído 
também que E D. 
 
 
União 
Conjunto união são todos os elementos dos con-
juntos relacionados. 
Exemplo 1: 
Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 
2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é 
: 
A U B = {0,1,2,3,4} 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a 
união desses conjuntos é: 
A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer 
que A U B = B. 
Diferença entre dois conjuntos. 
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto 
diferença ou diferença entre A e B o conjunto 
formado pelos elementos de A que não perten-
cem a B. 
 
 2 
 
O conjunto diferença é representado por A – B. 
Exemplo 1: 
A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos 
conjuntos é: 
A – B = {1,2} 
 
 
 
Exemplo 2: 
A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos con-
juntos é: 
A – B = {1,2,3,4,5} 
Exemplo 3: 
A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos con-
juntos é: A – B = 
 
Exemplo 4: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, 
a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escre-
ver em forma de complementar: A – B = A B = 
{1,2,3,4}. 
Número Real 
O conjunto dos números reais é uma expan-
são do conjunto dos números racionais que en-
globa não só os inteiros e os fracionários, positi-
vos e negativos, mas também todos os números 
irracionais. 
Os números reais são números usados para re-
presentar uma quantidade contínua (incluindo 
o zero e os negativos). Pode-se pensar num nú-
mero real como uma fração decimal possivelmen-
te infinita, como 3,141592(...). Os números reais 
têm uma correspondência biunívoca com os pon-
tos de uma reta. 
Denomina-se corpo dos números reais a coleção 
dos elementos pertencentes à conclusão dos 
racionais, formado pelo corpo de frações associ-
ado aos inteiros (números racionais) e a norma 
associada ao infinito. 
1. Operações com números reais e conversão de 
expressões para o computador ou calculadora 
Operações Com Números Reais 
As cinco operações mais comuns no conjunto dos 
números Reais são a adição, a subtração, a mul-
tiplicação, a divisão e a potenciação ( esta como 
forma abreviada de multiplicação com factores 
iguais) por exemplo, 2
3
 = 2
.
2
.
2 = 8. 
Quando escrevemos uma expressão envolvendo 
duas ou mais operações, tais como: 
2(3  5) + 4 
.
 5, ou 
2 
.
 3
2
  5 
4  (1) 
, 
Temos que tomar cuidado com as prioridades de 
cada operação: 
Ordem de Prioridade das Operações 
1. Parentesis e traço de fracções -Calcula-se 
primeiro o valor de cada expressão incluida den-
tro de parentesis usando aí as prioridades que 
poderás consultar abaixo, e fazendo "desapare-
cer" esses parentesis . Quando se está a traba-
lhar com uma fracção, calculam-se o numerador e 
o denominador separadamente e só depois se 
efectua a divisão a que o traço de fracção corres-
ponde.. 
2. Potências- Calcula-se o seu valor (quando for 
conveniente). 
3. Multiplicação e Divisão- Entre estas duas não 
existe qualquer prioridade, fazem-se seguindo a 
ordem com que se apresentam da esquerda para 
a direita. 
4. Adição e Subtracçâo- São as últimas opera-
ções a serem efectuadas e entre elas também 
não existe prioridade . 
RN Raciocínio Numérico 
Este tipo de teste avalia a capacidade de racioci-
nar indutiva e dedutivamente com números em 
problemas quantitativos e o conhecimento de 
operações aritméticas básicas. 
 
 3 
 
Exemplos: 
 
Ex A: 1 3 5 7 9 ? ? 
Aqui é óbvio que a sequência são números indo 
de 2 em 2 a partir do 1. Portanto, os números que 
completam a sequência são 11 e 13. 
Ex B: 1 2 4 8 16 ? ? 
Também fácil. O próximo número é o dobro do 
anterior (ou são 2 elevado aos números naturais 
na ordem crescente). Os próximos são 32 e 64. 
Ex C: 4 7 6 10 8 13 10 ? ? 
Aqui temos duas sequências: 4 – 6 – 8 – 10 - ? 
e 7 – 10 – 13 - ?. O próximo número da se-
quência que inicia é 12 e o da outra é 16. Portan-
to, 16 e 12 é a resposta correta. 
Vamos agora ao que interessa. Lembre-se que na 
prova não é permitido escrever no caderno de 
testes 
1 ) 3 6 9 12 15 ? ? 
Os próximos números são 18 e 21. Essa é um 
tanto quanto fácil... Apenas temos números orde-
nados de 3 em 3 
2 ) 26 31 36 41 46 ? ? 
Aqui os números estão ordenados de 5 em 5. Os 
próximos são 51 e 56. 
3 ) 8 3 9 3 10 3 ? ? 
Temos duas sequências se alternando: 8, 9, 10, ? 
e 3,3,3,?. Os próximos são 11 e 3 
4 ) 96 48 24 12 ? ? 
O próximo número da sequência é a metade do 
número anterior. Completam a sequência 6 e 3. 
5 ) 5 50 10 40 15 30 20 ? ? 
Duas sequências alternadas: 5 – 15 – 15 – 20 - 
? e 50 – 40 – 30 - ?. Portanto, na ordem,os pró-
ximos são 20 e 25. 
6 ) 45 38 31 24 17 ? ? 
O próximo número é o anterior menos 7. Portan-
to, fecham a sequência 10 e 3 
7 ) 4 5 8 5 16 5 32 ? ? 
Duas sequências alternantes: 4 – 8 – 16 – 32 - ? 
e 5 – 5 – 5 - ?. Completam os números 5 e 64. 
8 ) 5 7 8 11 12 16 17 22 ? ? 
Os números crescem na ordem de +2, +1, +3, +1, 
+4, +1, +5. Logo, pela lógica o próximo número 
deve ser 22+1 e o posterior 23+6. Logo, os pró-
ximos são 23 e 29. 
9 ) 14 15 16 30 20 45 22 60 26 ? ? 
Temos duas sequências alternantes: 14 – 16 –
 20 – 22 – 26 - ? e 15 – 30 – 45 – 60 - ?. A 
primeira sequência é do tipo +2, +4, +2, +4. E a 
segunda é a soma do anterior mais 15. Portanto, 
os próximos números são 75 e 28. 
10 ) 26 27 29 30 33 34 38 39 ? ? 
A ordem de crescimento da sequência numérica é 
+1, +2, +1, +3, +1, +4, +1. Portanto,esperamos 
que a ordem continue como +5, +1, levando aos 
números 44 e 45. 
11 ) 7 7 9 10 12 13 16 16 21 ? ? 
A ordem de crescimento é +0,+2,+1, +2, +1, +3, 
+0, + 5. Não parece haver lógica.Porém, uma 
segunda análise mostra que podemos fazer duas 
sequências 7 – 9 – 12 – 16 – 21 e 7 10 – 13 –
 16. A primeira sequência é de crescimento +2, 
+3, +4, +5 e a segunda decrescimento contínuo 
em +3. Logo, os números que faltam são 19 e 27. 
12 ) 25 26 24 27 21 26 20 27 17 ? ? 
Temos duas sequência se alternando: 25 – 24 –
 21 – 20 – 17 - ? e 26 – 27 – 26 – 27 - ?. A 
primeira decresce pela lógica -3, -1, -3, -1, -3 e 
outra é apenas a alternância entre 26 e 27.Logo, 
os próximos na sequência são 26 e 16. 
13 ) 3 3 6 7 12 11 24 15 ? ? 
Novamente duas sequências alternantes: 3 –
 6 – 12 – 24 - ? e 3 – 7 – 11– 15 - ?. Na pri-
meira temos que o próximo é o dobro do anterior. 
E na outra o próximo cresce-se +4. Logo,os pró-
ximos são 48 e 19. 
14 ) 21 7 6 17 5 4 14 3 2 ? ? 
Temos três sequências envolvidas neste exercí-
cio: 21 – 17 – 14 - ?, 7 – 5 – 3 - ? e 6 – 4 – 2. 
Os próximos números são, portanto, 12 e 1 (a 
primeira sequência decresce por -4, -3, -2). 
15 ) 9 37 11 28 15 20 21 13 29 ? ? 
Temos duas sequências que se alternam: 9 –
 11 – 15 – 21 – 29 e 37 – 28 – 20 – 13. A pri-
meira cresce em +2, +4, +6, +8 e a segunda de-
cresce em -9, -8, -7. Portanto, os próximos são 7 
e 39. 
16 ) 17 18 19 21 23 26 29 33 ? ? 
 
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Temos duas sequências: 17 – 19 – 23 – 29 e 
18 – 21 – 26 – 33. A primeira é do tipo +2,+4, 
+6 e a segunda do tipo +3, +5, +7. Logo, os pró-
ximos são 37 e 42. 
17 ) 15 20 30 45 50 60 75 80 90 ? ? 
Aqui temos 3 sequências que se alternam: 15 –
 45 – 75 - ?, 20 – 50 – 80 - ? e 30 – 60 –90. Na 
primeira sequência temos crescimento por +30 e 
na segunda idem. Portanto, os próximos são 105 
e 110. 
18 ) 17 18 20 15 16 18 13 14 16 ? ? 
Novamente temos 3 sequências: 17 – 15 – 13 - 
?, 18 – 16 – 14 - ? e 20 – 18 – 16. Todas elas 
decrescem por -2. Os próximos são 11 e 12. 
19 ) 18 6 9 27 9 12 36 ? ? 
Novamente temos 3 sequências: 18 – 27 – 36, 
6 – 9 - ? e 9 – 12 - ?. As duas que completam as 
interrogações são de crescimento +3. Portanto, 
os próximos são 12 e 15. 20 ) 1 1 2 6 24 ? ? 
A lógica nesse final é um pouco mais complexa. 
O número em seguida é igual ao anterior x1, x2, 
x3, x4. Portanto, os próximos são 24x5 =120 e 
120x6 = 720. Só por curiosidade,entendo que há 
outra possibilidade: temos que é 2 é igual a 
(1+1).1. Além disso, 6 =(2+1).(1+1). E além disso 
ainda, 24 = (2+6).(2+1). Portanto, seguindo esta 
lógica, o próximo número seria (24+6).(6+2) = 240 
e o posterior seria (240+24).(24+6) = 7920. 
Lógica Matemática 
Lógica Matemática é uma sub-área 
da matemática que explora as aplicações da 
lógica formal para a matemática. 
Basicamente, tem ligações fortes 
com Matemática, os fundamentos da 
matemática eciência da computação teórica. 
Os temas unificadores na lógica matemática 
incluem o estudo do poder expressivo 
de sistemas formais e o poder dedutivo de 
sistemas de prova matemática formal. 
A lógica matemática é muitas vezes dividida em 
campos da teoria dos conjuntos, teoria de 
modelos, teoria da recursão e teoria da prova. 
Estas áreas compartilham resultados básicos 
sobre lógica, particularmente lógica de primeira 
ordem, e definibilidade. 
Na ciência da computação, especialmente na 
classificação ACM, onde ACM vem do inglês 
(Association for Computing Machinery) , lógica 
matemática engloba tópicos adicionais não 
descritos neste artigo; ver lógica em ciência da 
computação para este tópico anterior. 
Desde o seu surgimento, a lógica matemática tem 
contribuído e motivado pelo estudo 
dos fundamentos da matemática. Este estudo foi 
iniciado no final do século XIX, com o 
desenvolvimento de arcabouço 
axiomático para geometria, aritmética e análise. 
No início do século XX a lógica matemática foi 
moldada pelo programa de David Hilbert para 
provar a consistência das teorias fundamentais. 
Os resultados de Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, e 
outros, desde resolução parcial do programa, e 
esclareceu as questões envolvidas em provar a 
consistência. O trabalho na teoria dos conjuntos 
mostrou que quase toda a matemática ordinária 
pode ser formalizada em termos de conjuntos, 
embora existam alguns teoremas que não podem 
ser demonstrados em sistemas axiomáticos 
comuns para a teoria dos conjuntos. 
O trabalho contemporâneo nos fundamentos da 
matemática, muitas vezes se concentra em 
estabelecer quais as partes da matemática que 
podem ser formalizadas, em particular, sistemas 
formais (como em matemática reversa) ao invés 
de tentar encontrar as teorias em que toda a 
matemática pode ser desenvolvida. 
Sub-áreas e escopo O manual de lógica 
matemática divide a matemática contemporânea 
em quarto áreas: 
1. Teoria dos conjuntos 
2. Teoria dos modelos 
3. Teoria da recursão 
4. Teoria da prova e da matemática 
construtiva consideradas partes de uma única 
área. 
Cada área tem um foco distinto, apesar de ter 
várias técnicas e resultados comuns entre si. A 
divisão das referidas áreas e os limites que 
separam a lógica matemática de outros campos 
de estudo não são bem definidas. 
A teoria da incompletude de Gödel representa 
não só um marco na teoria da recursão e teoria 
da prova, mas também contribuiu para o teorema 
de Löb da teoria dos modelos. O método do 
forçamento ("forcing") é aplicada na teoria dos 
conjuntos, na teoria dos modelos, na teoria da 
recursão, assim como no estudos da matemática 
intuiticionística. 
O campo matemático conhecido como o da teoria 
das categorias usa muitos métodos axiomáticos 
 
 5 
 
formais nos quais se inclui o estudo da lógica 
categórica, mas essa teoria não é comumente 
considerada um sub-ramo da lógica. 
Por causa da sua aplicabilidade em diversos 
campos da lógica, matemáticos como Saunders 
Mac Lane propuseram usar a teoria das 
categorias como fundamentos da matemática, 
independentemente da teoria dos conjuntos. 
Essas fundamentações usam tópicos que em 
muito se parecem com modelos generalizados 
das teorias dos conjuntos, e empregam lógica 
clássica ou não-clássica. 
História 
A lógica matemática surgiu em meados do século 
XIX como um sub-ramo da Matemática e inde-
pendente do estudo tradicional da (Ferreirós 
2001, p. 443), (Ferreirós 2001, p. 443). Antes do 
seu surgimento independente, a lógica foi estu-
dada com a retórica, através do silogismo e 
a filosofia. Na primeira metade do século XX hou-
ve uma explosão de resultados fundamentais, 
acompanhados por debates vigorosos sobre as 
bases da matemática. 
Os estudos sobre o raciocínio foram inicialmente 
desenvolvidos por filósofos como Parméni-
des e Platão, mas foi Aristóteles quem o elaborou 
mais detalhadamente e definiu a lógica como se 
estuda hoje em dia (como se estudava até 
o século XIX). 
Para mostrar que os sofistas (mestres 
da retórica e da oratória) podiam enganar os ci-
dadãos utilizando argumentos incorretos, Aristóte-
les estudou a estrutura lógica da argumentação. 
Revelando, assim, que alguns argumentos podem 
ser convincentes, embora não sejam corretos. A 
lógica, segundo Aristóteles, é um instrumento 
para atingir o conhecimento científico, baseando-
se no silogismo. 
Seguidores de Aristóteles reuniram seus princí-
pios sobre lógica em um livro intitulado 
“Organon”, que significa “Instrumento da Ciência”. 
História Moderna 
Teorias lógicas foram desenvolvidas em diversas 
culturas na história, China, Índia, Grécia e no 
mundo Islâmico. 
Na Europa do século XVIII, filósofos matemáticos, 
como Leibniz e Lambert tentaram representar as 
operações da lógica formal através de símbolos, 
de forma algébrica mas seus esforços e trabalhos 
permaneceram isolados e pouco reconhecidos. 
Século XIX 
Em meados do século XIX, George Boole e pos-
teriormente Augustus De Morgan apresentaram 
tratamentos matemáticos sistemáticos. Seus tra-
balhos, alicerçados em trabalhos de algebristas 
comoGeorge Peacock, transformaram a doutrina 
tradicional de Aristóteles de forma que se encai-
xasse no estudo dos foundations of mathema-
tics (Katz 1998, p. 686). 
Charles Sanders Peirce construiu sobre os estu-
dos de Boole almejando desenvolver uma siste-
ma de relações lógica e quantificadores o qual ele 
publicou diversas vezes entre 1870 e 1885. 
Gottlob Frege apresentou um desenvolvimento 
independente da lógica com quantificadores no 
seu Begriffsschrift,publicado em 1879, um traba-
lho por muitos considerado como uma reviravolta 
na histórica da lógica. 
O trabalho de Frege's permaneceu incerto,pelo 
menos até Bertrand Russell começar a promovê-
lo no início da virada do século. As notações bi-
dimensionais desenvolvidas por Frege nunca 
foram vastamente adotadas e caiu em desuso 
nos artigos e textos contemporâneos. 
De 1890 a 1905, Ernst Schröder publicou 
o Vorlesungen über die Algebra der Logik em três 
volumes. Esse trabalho compactava e desenvol-
via os trabalhos de Boole, De Morgan, e Peirce e 
se tornou uma grande referência para lógica sim-
bólica, como era conhecida no fim do século XIX. 
Fundamentos Teóricos 
Preocupações com a possível ausência de fun-
damentos matemáticos acarretaram o desenvol-
vimento de sistemas axiomáticos para áreas da 
matemática fundamental como a aritmética, análi-
se e geometria. 
Em lógica o termo aritmético se refere à teoria 
dos números naturais. Giuseppe Peano (1889) 
publicou uma série de axiomas para serem usa-
dos pela aritmética que hoje carregam seu nome 
(Axiomas de Peano), usando variações do siste-
ma lógico de Boole e Schröder, porém adicionan-
do quantificadores. 
Peano não tinha conhecimento do trabalho de 
Frege. Contemporaneamente Richard Dedekind 
mostrou que os números naturais são unicamente 
caracterizados por suas propriedades da indução. 
Dedekind (1888) propôs a diferente caracteriza-
ção na qual não existia a essência da lógica for-
mal dos axiomas de Peano. 
Todavia, o trabalho de Dedekind's provou teore-
mas inacessíveis ao sistema desenvolvido por 
 
 6 
 
Peano, como por exemplo a inclusão da indivi-
dualidade dos conjuntos de números naturais (até 
o isomorfismo) e as definições recursivas de adi-
ção e multiplicação da função sucessor e indução 
matemática. 
No meio do século XIX, foram descobertas falhas 
nos axiomas de Euclides para geometria (Katz 
1998, p. 774). Além da independência 
do postulado paralelo, estabelecido por Nikolai 
Lobachevsky em 1826 (Lobachevsky 1840), ma-
temáticos descobriram que certos teoremas to-
mados como certo por Euclides não eram de fato 
demonstrável a partir de seus axiomas. 
Entre eles está o teorema que diz que uma linha 
contem pelo menos dois pontos, ou que círculos 
de mesmo raio cujo centro é separado pelo raio 
devem intersectar. Hilbert (1899) desenvolveu um 
conjunto completo dos axiomas para geometria, 
construindo nos [axiomas de Pasch] pelo Pasch 
(1882). 
O sucesso axiomatização da geometria motivou 
Hilbert a encontrar axiomatições completas de 
outras áreas da matemática, assim como os nú-
meros naturais e da linha real. Isto proveria a 
maior área de pesquisa na primeira metade do 
século XX. 
Lógica Proposicional 
Proposições 
As proposições são determinadas por sentenças 
declarativas, pertencentes a uma certa lingua-
gem, que formam um conjunto de palavras ou 
símbolos e expressam uma ideia. As sentenças 
declarativas são afirmações que podem receber 
apenas dois valores, Verdadeiro ou Falso. As 
proposições devem seguir os seguintes princí-
pios: 
1. Princípio da identidade: garante que uma 
proposição é igual a ela mesma. 
2. Princípio da não-contradição: uma proposi-
ção não pode ser verdadeira e falsa. 
3. Princípio do terceiro excluído: uma proposi-
ção é verdadeira ou falsa. 
Exemplos: 
O cachorro é um animal. - Verdadeiro 
2 + 2 = 7 - Falso 
Qualquer sentença que não puder receber a atri-
buição de verdadeira ou falsa não é uma proposi-
ção. Sentenças interrogativas, exclamativas e 
imperativas não são proposições, pois não é pos-
sível dizer se são verdadeiras ou falsas. 
Exemplos de sentenças que não são proposi-
ções: 
 Como foi a aula? 
 O pior atentado nos EUA ocorreu em se-
tembro de 2011? 
 Limpe a cozinha. 
 Que local de trabalho horroroso! 
 Esta sentença não é verdadeira. 
Proposições Compostas 
Proposição composta é a união de proposições 
simples por meio de um conector lógico. Este 
conector irá ser decisivo para o valor lógico da 
expressão. 
Precedência de Operadores 
Em expressões que utilizam vários operadores 
não é possível saber qual proposição deve-se 
resolver primeiro. 
Exemplo: P Λ Q V R. 
Com isso, usar parênteses é fundamental. A ex-
pressão do exemplo poderia ficar assim: (P Λ Q) 
V R ou P Λ (Q V R). 
A ordem da precedência de operadores é: 
1. (),, {} 
2. ¬ 
3. V, Λ, V 
4. → 
5. ↔ 
Tabela Verdade 
A tabela verdade é construída para determinar o 
valor lógico de uma proposição composta. Segue 
uma excelente estratégia para a construção des-
ta. 
Exemplo de construção da tabela verdade da 
proposição composta: p Λ q 
Primeiramente verifica-se quantas “variáveis”, ou 
proposições simples que temos na proposição 
composta do exercício. Neste caso existem du-
as: p e q. 
 
 7 
 
Em seguida elevamos 2 ao número de variáveis, 
ou seja, 2². Nossa base do expoente é 2 pelo fato 
de possuir-se apenas 2 valores lógicos possíveis 
nas proposições (Verdadeiro ou Falso). O resul-
tado de 2² é 4. Então nossa tabela terá 4 linhas, 
nessas linhas estarão todos os valores lógicos 
possíveis da nossa proposição composta. 
p q p Λ q 
- - - 
- - - 
- - - 
- - - 
Esta é a estrutura da tabela, agora para a preen-
cher com os devidos valores lógicos utiliza-se a 
seguinte técnica: até a metade da primeira coluna 
coloca-se Verdadeiro, na outra metade Falso. Já 
na segunda coluna, intercala-se V e F. Desta 
forma adquira-se a seguinte tabela: 
p q p Λ q 
V V Resultado 
V F Resultado 
F V Resultado 
F F Resultado 
Esta é uma das melhores estratégias para a mon-
tagem de uma tabela verdade. 
Conectivos Lógicos 
Proposições podem ser ligadas entre si por meio 
de conectivos lógicos. Conectores que criam no-
vas sentenças mudando ou não seu valor lógico 
(Verdadeiro ou Falso). Exemplos dos principais 
conectores lógicos: 
 “¬” ou “~” (negação); 
 “Λ” (conectivo “e”); 
 “V” (conectivo “ou”); 
 “→” (conectivo “se, então”); 
 “↔” (conectivo “se, e somente se”); 
 “V” (conectivo “ou exclusivo”); 
 “↓” (conectivo “negação conjunta”); 
 “↑” (conectivo “negação disjunta”). 
Exemplos de sentenças formadas com conecto-
res e proposições: 
(2 + 2 = 4) V (1 < 4) - Valor lógico da sentença: 
Verdadeiro V (ou) Verdadeiro = Verdadeiro 
Cachorro é um felino Λ (1 > 0) - Valor lógico da 
sentença: Falso Λ (e) Verdadeiro = Falso 
Conector de Negação (~) 
O conectivo de negação (~), nega o valor lógico 
de uma proposição. Considera-se p como uma 
proposição de valor lógico igual a verdadeiro, 
então sua negação é igual a falso. O mesmo seria 
se a proposição tivesse valor lógico inicial igual a 
falso, sua negação seria igual a verdadeiro. De 
acordo com esses conceitos podemos montar a 
seguinte tabela verdade: 
p ~p 
V F 
F V 
Exemplo: 
Considere p com o valor da seguinte proposição: 
2 é um número par. p = Verdadeiro, portanto sua 
negação: ~p = Falso. 
Conector e (Λ) 
O conectivo e, também conhecido como AND e 
representado pelo símbolo “^” junta proposições 
as quais somente resultarão em Verdadeiro se 
todos os valores forem Verdadeiros. 
Exemplo: Considere as proposi-
ções p e q (Conjunção). 
p q p Λ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Observação: Veja que nesta tabela consideramos 
todos os valores lógicos possíveis para p e q, em 
outras palavras: temos 2 proposições e estamos 
 
 8 
 
em uma base binária (0 ou 1, verdadeiro ou falso) 
então para se saber o número das possibilidades 
para essas proposições realiza-se o seguinte 
cálculo 2
n
, onde n é o número de proposições. 
Conector ou (V)O conectivo ou, também conhecido como OR e 
representado pelo símbolo “V” une proposições 
que, apenas uma sendo Verdadeiro é suficiente 
que a expressão inteira também seja. 
Exemplo: 
Considere as proposições p e q (Disjunção). 
p q p V q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Conector Condicional (→) 
O conectivo condicional, também conhecido como 
implica e representado pelo símbolo “→” une 
proposições criando uma estrutura condicional 
onde apenas uma das possibilidades resulta em F 
o valor lógico da expressão. 
Exemplo: 
Considere as proposições p e q (Condição). 
“Se p então q” 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Conector Bi-Condicional (↔) 
O conectivo bi-condicional, é lido como “se, e 
somente se” e é representado pelo símbolo “↔”, 
ele une proposições onde o resultado lógico da 
expressão é verdadeiro apenas se os valores 
lógicos forem iguais. 
Exemplo: 
Considere as proposições p e q (Bi-condicional). 
“Se p, e somente se q” 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Ou Exclusivo (V) 
O conectivo ou exclusivo, chamado também de 
disjunção exclusiva, é representado pelo símbolo 
“V”. Podemos dizer que ele significa: um ou outro, 
mas não ambos. Exemplo: Ou o gato é macho ou 
o gato é fêmea, mas não ambos. A tabela verda-
de do ou exclusivo esta representada abaixo. 
p q p V q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Negação Conjunta e Negação Disjunta 
A negação conjunta é representada pelo conector 
↑, significa a negação de duas proposições envol-
vendo o conector AND (NAND). 
Exemplo: p ↑ q ⇔ ¬(p Λ q) ⇔ ¬p v ¬q. 
A negação disjunta é representada pelo conector 
↓, significa a negação de duas proposições envol-
vendo o conector OR (NOR). 
Exemplo: p ↓ q ⇔ ¬(p v q) ⇔ ¬p Λ ¬q. 
Abaixo estão representadas as tabelas verdades 
das duas negações. 
 Tabela Verdade equivalente ao circui-
to NAND 
p q p ↑ q 
 
 9 
 
V V F 
V F V 
F V V 
F F V 
 Tabela Verdade equivalente ao circui-
to NOR 
p q p ↓ q 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
Tautologia, Contradição e Contingência 
Ao montarmos uma tabela verdade contendo 
todos os valores lógicos possíveis de uma ex-
pressão a poderíamos classificar em tautologia, 
contradição e contingência. 
 Tautologia: é uma proposição cujo resulta-
do final é sempre verdadeiro. 
Exemplo: 
p v ~p (p OU não p) 
p ~p p V ~p 
V F V 
F V V 
Veja que independente do valor de p a expressão 
sempre resulta em Verdadeiro, pois para o conec-
tor OU possuir um verdadeiro já é suficiente para 
resultar em Verdadeiro, além disso sempre tere-
mos V em todas as combinações da expressão. 
Por isso a classificamos como uma tautologia. 
Vejamos outro exemplo: 
F → p (F então p) 
Valor lógico constante p F → p 
F F V 
F V V 
Neste outro caso também se obteve uma tautolo-
gia, devido ao fato da última coluna da tabela 
(resultado da expressão) ter somente Verdadeiro. 
 Contradição: é uma proposição que resulta 
somente em falso, em outras palavras, a última 
coluna da sua tabela só possui o valor lógico fal-
so. 
Exemplo: 
p ^ ~p 
p ~p p ^ ~p 
V F F 
F V F 
 Contingência: determinamos uma proposi-
ção de contingente quando ela não é tautológica 
nem contraditória, ou seja, ela é indeterminada. 
Exemplo: 
p V q (p OU q) 
p q p V q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Percebe-se que a última coluna não possui ape-
nas um valor lógico, por isso a determinamos 
uma proposição contingente, ou indeterminada. 
Implicação Lógica ou Inferência 
Sejam P e Q duas proposições. Diremos que P 
implica logicamente a proposição Q, se Q for 
verdadeiro sempre que P for verdadeiro. Quando 
isso ocorre, dizemos que temos uma implicação 
lógica ou inferência e denotamos: P => Q (lemos: 
“P implica Q”). 
Exemplo: P Λ Q implica P V Q? 
p q p Λ q p V q 
V V V V 
 
 10 
 
V F F V 
F V F V 
F F F F 
Neste exemplo podemos dizer que P Λ Q => P V 
Q, pois onde P Λ Q é verdadeiro P V Q também 
é. 
Exemplo: P V Q implica P → Q? 
p q p V q p → q 
V V V V 
V F V F 
F V V V 
F F F V 
Neste exemplo não podemos dizer que P V Q => 
P → Q, pois temos na segunda linha que onde P 
V Q é verdadeiro P → Q é falso. 
Equivalência Lógica 
Diremos que P é equivalente a Q, se as duas 
tabelas verdade foram idênticas. Quando isso 
ocorre, dizemos que temos uma equivalência 
lógica ou bi-implicação e denotamos P ⇔ Q (le-
mos: “P é equivalente a Q”). 
Exemplo: ¬(P Λ Q) é equivalente a (¬P V ¬Q)? 
P Q ¬P ¬Q P Λ Q ¬(P Λ Q) ¬P V ¬Q 
V V F F V F F 
V F F V F V V 
F V V F F V V 
F F V V F V V 
Neste exemplo podemos dizermos que ¬(P Λ Q) 
⇔ (¬P V ¬Q), pois o resultado da tabela verdade 
das duas expressões é o mesmo. 
Exemplo: P → Q é equivalente a Q → P? 
P Q P → Q Q → P 
V V V V 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
Neste exemplo não podemos dizer que P → Q ⇔ 
Q → P, pois o resultado das tabelas verdades das 
expressões são diferentes, nas linhas 2 e 3. 
Condições Necessárias e Suficientes 
Temos uma condição suficiente se quando ela 
ocorrer temos a garantia de que a outra condição 
ocorrerá. Por exemplo: 
“Se o cavalo corre então ele está vivo.” 
O cavalo correr é condição suficiente para ele 
estar vivo,ou seja, se o cavalo corre podemos 
garantir que ele está vivo. 
Por outro lado o cavalo estar vivo não garante 
que o cavalo corra, pois ele pode estar por exem-
plo vivo mas descansando, a este tipo de condi-
ção dá se o nome de condição necessária. Uma 
condição é necessária quanto não podemos ga-
rantir que a outra condição é valida. 
Esta relação entre condição suficiente e condição 
necessária é encontrada quando utilizamos um 
conector condicional, ou seja, quando temos uma 
estrutura condicional. 
O primeiro argumento(que vem antes do →), 
chamado de antecedente é uma condição sufici-
ente. O segundo argumento,chamado de conse-
quente é uma condição necessária. 
Entretanto em uma estrutura bi-condicional temos 
uma proposição necessária e suficiente,. 
Proposições Associadas a uma Condicional 
Pegamos uma condicional qualquer como p → q, 
existem três tipos de proposições associadas a 
ela que são: 
 Recíproca: a proposição recíproca de p → 
q é a proposição q → p. Como podemos ver foi 
feito uma troca entre a antecedente (p) e a con-
sequente (q) para obter-se a recíproca cuja tabela 
esta abaixo: 
p q p → q q → p 
V V V V 
V F F V 
 
 11 
 
F V V F 
F F V V 
Exemplo: “Se a Maria é feia então todos são fei-
os.” 
A recíproca seria: “Se todos são feios então Maria 
é feia.” 
 Contrária: a proposição contrária de p → q 
é a proposição ~p → ~q.Basta negar a antece-
dente(p) e a consequente(q) para obtermos a 
proposição contrária. 
p q ~p ~q p → q ~p → ~q 
V V F F V V 
V F F V F V 
F V V F V F 
F F V V V V 
Exemplo: “Se a Maria é feia então todos são fei-
os.” 
A contrária seria: “Se Maria não é feia então to-
dos não são feios.” 
 Contra Positiva: a contra positiva da prepo-
sição p → q é ~q → ~p. Para encontramos a con-
tra positiva basta juntar os passos da recíproca e 
da contrária,ou seja, deve se inverter os lugares 
do antecedente e do consequente e negar am-
bos. A proposição contra positiva tem o mesmo 
resultado que a proposição original. 
p q ~p ~q p → q ~q → ~p 
V V F F V V 
V F F V F F 
F V V F V V 
F F V V V V 
Exemplo: “Se a Maria é feia então todos são fei-
os.” 
A contra positiva seria: “Se todos não são feios 
então Maria não é feia.” 
Diagramas Lógicos 
Os diagramas são utilizados como uma represen-
tação gráfica de proposições relacionadas a uma 
questão de raciocínio lógico. 
Conjunto: Um conjunto constitui-se em um núme-
ro de objetos ou números comcaracterísticas 
semelhantes. Podem ser classificados assim: 
Conjunto finito: possui uma quantidade determi-
nada de elementos; 
Conjunto infinito: como o próprio nome diz nesse 
caso temos um número infinito de elementos; 
Conjunto unitário: apenas um elemento; 
Conjunto Vazio: sem elemento no conjunto; 
Conjunto Universo: esse caso tem todos os ele-
mentos de uma situação. 
Esses elementos podem ser demonstrados da 
seguinte forma: 
Extensão: Os elementos são separados por cha-
ves; {1,2,3,4...} 
Compreensão: Escreve-se a caraterística em 
questão do conjunto mencionado. 
Diagrama de Venn: Os elementos são inseridos 
em uma figura fechada e aparecem apenas uma 
vez. 
Todo A é B: Nesse caso o conjunto A é um sub-
conjunto do B, sendo que A está contido em B. 
 
Nenhum A é B: Nesse caso os dois conjuntos não 
tem elementos comuns. 
 
Algum A é B: Esse diagrama representa a situa-
ção em que pelo menos um elemento de A é co-
mum ao elemento de B. 
 
 12 
 
 
Inclusão 
Todo, toda, todos, todas. 
Interseção 
Algum, alguns, alguma, algumas. 
Ex: Todos brasileiros são bons motoristas 
Negação lógica: Algum brasileiro não é bom mo-
torista. 
Disjunção 
Nenhum A é B. 
Ex: Algum brasileiro não é bom motorista. 
Negação lógica: Nenhum brasileiro é bom moto-
rista. 
Quantificadores 
Os quantificadores são símbolos empregados 
tanto no estudo da álgebra quanto no estudo da 
lógica matemática. 
Na Matemática, utilizamos símbolos que são ca-
pazes de quantificar elementos. Esses símbolos, 
chamados de quantificadores, são empregados 
tanto no estudo da álgebra quanto no estudo da 
lógica matemática. 
Os quantificadores possuem a função de nos 
informar a respeito de determinada quantidade de 
elementos em uma situação. Esses quantificado-
res podem ser classificados em dois tipos “Quan-
tificador Universal” ou “Quantificador Existencial”. 
 O quantificador universal é utilizado 
quando queremos nos referir a todos os elemen-
tos de um conjunto. Por exemplo, se afirmamos 
que “todo número natural par é múltiplo de 2”, 
podemos reescrever essa afirmação de outra 
forma, veja: seja aum número natural par, esse 
número natural pode ser escrito na forma 2n, 
sendo que n é natural, isto é, para to-
do a pertencente aos naturais, a = 2n. Para sim-
plificar a notação, podemos substituir o ter-
mo para todo por ?, o qual possui o mesmo signi-
ficado, podendo ainda ser lido como “qualquer 
que seja” ou “para cada”. Vejamos outro exemplo: 
seja n um número natural qualquer, podemos 
afirmar que: 
 
Portanto, independentemente do número natural 
que escolhermos, o seu produto com zero resulta-
rá em zero. 
 O quantificador existencial diferencia-se 
do universal porque não se refere a todos os ele-
mentos de um conjunto. Ele faz referência a pelo 
menos um elemento pertencente ao conjunto. Por 
exemplo, posso afirmar que um ônibus escolar só 
faz determinado trajeto se houver pelo menos um 
aluno que se dirigirá à escola “Educar o Educan-
do”. Não importa se há mais alunos que irão para 
essa escola ou mesmo se todos os alunos estu-
dam nessa escola. O fato de haver pelo menos 
um aluno da escola “Educar o Educando” já é 
razão suficiente para o motorista fazer o trajeto 
que o leva à escola. Para expressarmos o quanti-
ficador existencial, utilizamos o símbolo ?, que 
pode ser lido como “existe um”, “existe pelo me-
nos um”, “algum” ou “existe”. 
Vejamos um novo exemplo: existe pelo menos 
um número natural n que, subtraído de seu qua-
drado, resulta em 0, isto é: 
 
Essa afirmação é válida para qualquer valor 
de n? Se escolhermos o valor de 2 para n, tere-
mos 2² – 2 = 4 – 2 = 2. A igualdade não resultará 
em zero. Os únicos valores básicos para que a 
igualdade seja verdadeira são n = 1 e n = 0. 
 Há ainda um quantificador de existência e 
unicidade. Esse quantificador refere-se à existên-
cia de um único elemento. Para representar o 
quantificador de existência, utilizamos o símbo-
lo ?! e lemos “existe um e um só” ou “existe um 
único”. Por exemplo, podemos afirmar que existe 
um único número natural n que, somado 
com 5, resulte em 6. Podemos escrever: 
 
Existe um único valor para n que possibilita que 
essa igualdade seja verdadeira. Esse valor é n = 
1 e não há qualquer outro número natural que 
valide essa equação. 
Combinatória 
A combinatória é um ramo da matemática que 
estuda coleções finitas de objetos que satisfazem 
critérios específicos determinados, e se preocupa, 
 
 13 
 
em particular, com a "contagem" de objetos nes-
sas coleções (combinatória enumerativa) e com a 
decisão de certo objeto "ótimo" existe (combinató-
ria extremal) e com estruturas "algébricas" que 
esses objetos possam ter (combinatória algébri-
ca). 
O assunto ganhou notoriedade após a publicação 
de "Análise Combinatória" por Percy Alexander 
MacMahon em 1915. Um dos destacados combi-
natorialistas foi Gian-Carlo Rota, que ajudou a 
formalizar o assunto a partir da década de 1960. 
E, o engenhoso Paul Erdős trabalhou principal-
mente em problemas extremais. O estudo de 
como contar os objetos é algumas vezes conside-
rado separadamente como um campo 
da enumeração. 
Um exemplo de problema combinatório é o se-
guinte: Quantas ordenações é possível fazer com 
um baralho de 52 cartas? 
O número é igual a 52! (ou seja, "cinquenta e 
dois fatorial"), que é o produto de todos os núme-
ros naturais de 1 até 52. Pode parecer surpreen-
dente o quão enorme é esse número, cerca de 
8,065817517094 × 10
67
. Comparando este núme-
ro com alguns outros números grandes, ele é 
maior que o quadrado do Número de Avogadro, 
6,022 × 10
23
, quantidade equivalente a um mol" 
Princípios Aditivos e Multiplicativos 
Princípio aditivo: Dados os conjun-
tos , dois a dois disjuntos, em 
que tem exatamente elementos, então o 
número de elementos da uni-
ão é dado 
por . 
Princípio multiplicativo: Se um evento pode 
ocorrer de maneiras diferentes, então o nú-
mero de maneiras de ocorrer os even-
tos de forma sucessiva é da-
do por . 
Permutações Simples 
Definimos permutações simples como sendo o 
número de maneiras de arrumar n elementos 
em n posições em que cada maneira se diferen-
cia pela ordem em que os elementos aparecem. 
Aplicando oprincípio da multiplicação obtemos a 
seguinte equação para permutações simples: 
 
Arranjos 
Em arranjos, a ordem dos objetos é importante. 
Arranjo com Repetição 
O arranjo com repetição é usado quando a ordem 
dos elementos importa e cada elemento pode ser 
contado mais de uma vez. 
 
Onde é o total de elementos e o número de 
elementos escolhidos. 
Arranjo Simples 
Arranjo simples de elementos tomados a , 
onde e é um número natural, é 
qualquer ordenação de elementos dentre 
os elementos, em que cada maneira de tomar 
os elementos se diferenciam pela ordem e natu-
reza dos elementos. 
A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada 
por: 
 
Onde é o total de elementos e o número de 
elementos escolhidos. 
Combinação 
Na combinação, a ordem em que os elementos 
são tomados não é importante. 
Combinação Simples 
Quando a ordem não importa, mas cada elemen-
to pode ser contado apenas uma vez, o número 
de combinações é o coeficiente binomial: 
 
Onde é o total de elementos e o número de 
elementos escolhidos. 
 
Quando a ordem não importa, mas cada objeto 
pode ser escolhido mais de uma vez, o número 
de combinações é 
Onde é o total de elementos e o número de 
elementos escolhidos. 
 
 14 
 
Contagem 
A utilização da contagem para a resolução de 
situações problema e os métodos aplicados para 
sua realização. 
A análise combinatória é a matéria que desenvol-ve métodos para fazer a contagem com eficiên-
cia. 
Os problemas de contagem estão presentes no 
cotidiano, por exemplo, no planejamento de pra-
tos em um cardápio, a combinação de números 
em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, 
entre inúmeras outras situações. 
A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 3 
calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber 
quantas são as combinações possíveis utilizando 
essas peças. Para isso basta efetuar a multiplica-
ção, assim: 5. 3. 2 = 30 possibilidades de combi-
nações. Esse é chamado de princípio multiplicati-
vo. 
Exemplo 1. Quanto número de dois algarismos 
distintos pode formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6? 
Então são 4 possibilidades para as dezenas, são 
quatro dígitos diferentes, e para as unidades se-
rão 3, pois não queremos repetidos, portanto: 
4. 3 = 12 números de dois algarismos distintos. 
Muitos problemas de Análise combinatória podem 
ser resolvidos utilizando o fatorial (n!), que é a 
multiplicação de números consecutivos: 4!= 
4.3.2.1= 24. 
Exemplo 2. Calcule o valor de: 5! 
5.4.3.2.1 
5.4 
20 . 3 . 2 . 1 
120 
Essa propriedade utilizada na análise combinató-
ria é a permutação, significa mudar a ordem, pen-
se: De quantas maneiras distintas sete pessoas 
podem sentar em sete poltronas? 
Temos uma permutação de sete elementos, en-
tão: 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras. 
Outras propriedades são: combinação e arranjo. 
A combinação é a formação de um grupo não 
ordenado. Vamos pensar dentro da contagem: 
Em uma turma de 30 alunos, 6 serão sorteados 
para uma viagem. Quantas possibilidades possí-
veis para esse sorteio? 
Lembre-se que a ordem do sorteio não importa. 
 
Já arranjo forma grupos específicos, vejamos 
uma situação: Na formação de senhas para clien-
tes, um banco disponibiliza oito dígitos entre: 0, 2, 
3, 4, 5, 7, 9, 8. Sabendo que cada senha é forma-
da por três dígitos distintos, qual o número de 
senha? 
Lembre-se, aqui é importante a ordem dos ele-
mentos: 
A8,3= 8! 
8!- 3! 
8! 
5! 
8.7.6.5! 
5! 
8 . 7 . 6 
336 senhas. 
Probabilidade 
A palavra probabilidade deriva 
do Latim probare (provar ou testar). Informalmen-
te, provável é uma das muitas palavras utilizadas 
para eventos incertos ou conhecidos, sendo tam-
bém substituída por algumas palavras como “sor-
te”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, depen-
dendo do contexto. 
Tal como acontece com a teoria da mecânica, 
que atribui definições precisas a termos de uso 
diário, como trabalho e força, também a teoria 
das probabilidadestenta quantificar a noção 
de provável. 
Em essência, existe um conjunto de regras ma-
temáticas para manipular a probabilidade, listado 
no tópico "Formalização da probabilidade" abaixo. 
Existem outras regras para quantificar a incerte-
za, como a teoria de Dempster-Shafer e a lógica 
difusa (em inglês, fuzzy logic), mas estas são, em 
essência, diferentes e incompatíveis com as leis 
da probabilidade tal como são geralmente enten-
didas. No entanto, está em curso um debate so-
bre a que, exatamente, se aplicam as regras; a 
este tópico chama-se interpretações da probabili-
dade. 
 
 15 
 
Conceitos De Probabilidade 
A ideia geral da probabilidade é frequentemente 
dividida em dois conceitos relacionados: 
 Probabilidade de frequência ou probabili-
dade aleatória, que representa uma série de e-
ventos futuros cuja ocorrência é definida por al-
guns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito 
pode ser dividido em fenômenos físicos que são 
previsíveis através de informação suficiente e 
fenômenos que são essencialmente imprevisí-
veis. Um exemplo para o primeiro tipo é uma role-
ta, e um exemplo para o segundo tipo é 
um decaimento radioativo. 
 Probabilidade epistemológica ou probabili-
dade Bayesiana, que representa nossas incerte-
zas sobre proposições quando não se tem co-
nhecimento completo das circunstâncias causati-
vas. Tais proposições podem ser sobre eventos 
passados ou futuros, mas não precisam ser. Al-
guns exemplos de probabilidade epistemológica 
são designar uma probabilidade à proposição de 
que uma lei da Física proposta seja verdadeira, e 
determinar o quão "provável" é que um suspeito 
cometeu um crime, baseado nas provas apresen-
tadas. 
É uma questão aberta se a probabilidade aleató-
ria é redutível à probabilidade epistemológica 
baseado na nossa inabilidade de predizer com 
precisão cada força que poderia afetar o rolar de 
um dado, ou se tais incertezas existem na nature-
za da própria realidade, particularmente em fe-
nômenos quânticos governados pelo princípio da 
incerteza de Heisenberg. Embora as mesmas 
regras matemáticas se apliquem não importando 
qual interpretação seja escolhida, a escolha tem 
grandes implicações pelo modo em que a proba-
bilidade é usada para modelar o mundo real. 
Marcos Históricos 
O estudo científico da probabilidade é um desen-
volvimento moderno. Os jogos de apostas mos-
tram que o interesse em quantificar as ideias da 
probabilidade tem existido por milênios, mas as 
descrições matemáticas de uso nesses proble-
mas só apareceram muito mais tarde. 
Cardano, no livro Liber de Ludo Aleae, estudou as 
probabilidades associadas ao arremesso de da-
dos, concluindo que a distribuição de 2 dados 
deve ser obtida dos 36 pares ordenados de resul-
tados, e não apenas dos 21 pares (não-
ordenados).
1
 
A doutrina das probabilidades vêm desde a cor-
respondência entre Pierre de Fermat e Blaise 
Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) deu o 
primeiro tratamento científico ao assunto. A Arte 
da Conjectura de Jakob Bernoulli (póstumo, 1713) 
e a Doutrina da Probabilidade de Abraham de 
Moivre (1718) trataram o assunto como um ramo 
da matemática. 
A teoria dos erros pode ser originada do Opera 
Miscellanea de Roger Cotes (póstumo, 1722), 
mas um ensaio preparado por Thomas Simp-
son em 1755 (impresso em 1756) foi o primeiro a 
aplicar a teoria na discussão de erros de obser-
vação. A reimpressão (1757) desse ensaio esta-
belece os axiomas que erros positivos e negati-
vos são igualmente prováveis, e que há certos 
limites que se podem associar em que pode se 
supôr que todos os erros vão cair; erros contínuos 
são discutidos e uma curva de probabilidade é 
dada. 
Pierre-Simon Laplace (1774) fez a primeira tenta-
tiva de deduzir uma regra para a combinação de 
observações dos princípios da teoria das probabi-
lidades. Ele apresentou a lei da probabilidade dos 
erros por uma curva , sendo qual-
quer erro e sua probabilidades, e estabeleceu 
três propriedades dessa curva: (1) Ela é simétrica 
no eixo ; (2) ao eixo , é assintótico; a probabi-
lidade do erro quando é 0; (3) a área 
abaixo da curva da função é 1, sendo certo de 
que um erro existe. Ele deduziu uma fórmula para 
o significado das três observações. Ele também 
deu (1781) uma fórmula para a lei da facilidade 
de erros (um termo devido a Lagrange, 1774), 
mas que levava a equações não gerenciá-
veis. Daniel Bernoulli (1778) introduziu o princípio 
do produto máximo das probabilidades de um 
sistema de erros concorrentes. 
O método dos mínimos quadrados deve-se 
ao matemático alemão Johann Carl Friedrich 
Gauss (1777-1855). Gauss descreveu o método 
aos dezoito anos (1795), que hoje é indispensá-
veis nas mais diversas pesquisas. Adrien-Marie 
Legendre (1805), introduziu contribuições ao mé-
todo em seu Nouvelles méthodes pour la déter-
mination des orbites des comètes. 
Por ignorar o trabalho de Legendre, um escritor 
Americano-Irlandês, Robert Adrain, editor de "The 
Analyst" (1808), primeiro deduziu a lei da facilida-
de do erro, 
 
 e sendo constantes dependendo da precisão 
da observação. Ele deu duas provas, sendo a 
segunda essencialmente a mesma de John Hers-
chel (1850). Carl FriedrichGauß deu a primeira 
prova que parece ser conhecida na Europa (a 
terceira após a de Adrain) em 1809. Provas pos-
 
 16 
 
teriores foram dadas por Laplace (1810, 1812), 
Gauß (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen 
(1837), Friedrich Bessel(1838), Donkin (1844, 
1856), e Morgan Crofton (1870). Outros que con-
tribuíram foram Ellis (1844), De Mor-
gan (1864), Glaisher (1872), e Giovanni Schiapa-
relli (1875). A fórmula de Peters (1856) para , o 
erro provável de uma observação simples, é bem 
conhecida. 
No século XIX, os autores da teoria geral incluíam 
Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), 
Adolphe Quetelet (1853), Richard Dede-
kind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent 
(1873), Liagre, Didion, e Karl Pearson. Augustus 
De Morgan e George Boole melhoraram a exibi-
ção da teoria. 
No lado geométricos, (veja geometria integral), os 
contribuidores da The Educational Times foram 
influentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, 
Watson, e Artemas Martin). 
Formalização Da Probabilidade 
 
Dados, símbolos da probabilidade. 
Como outras teorias, a teoria das probabilida-
des é uma representação dos conceitos probabi-
lísticos em termos formais – isso é, em termos 
que podem ser considerados separadamente de 
seus significados. Esses termos formais são ma-
nipulados pelas regras da matemática e da lógica, 
e quaisquer resultados são então interpretados ou 
traduzidos de volta ao domínio do problema. 
Houve pelo menos duas tentativas com sucesso 
de formalizar a probabilidade, que foram as for-
mulações de Kolmogorov e a de Cox. Na formu-
lação de Kolmogorov,conjuntos são interpretados 
como eventos e a probabilidade propriamente dita 
como uma medida numa classe de conjuntos. 
Na de Cox, a probabilidade é entendida como 
uma primitiva (isto é, não analisada posteriormen-
te) e a ênfase está em construir uma associação 
consistente de valores de probabilidade a propo-
sições. Em ambos os casos, as leis da probabili-
dade são as mesmas, exceto por detalhes técni-
cos: 
1. Uma probabilidade é um número entre 0 e 
1; 
2. A probabilidade de um evento ou proposi-
ção e seu complemento, se somados, valem até 
1; e 
3. A probabilidade condicionada ou conjun-
ta de dois eventos ou proposições é o produto da 
probabilidade de um deles e a probabilidade do 
segundo, condicionado na primeira. 
O leitor vai encontrar uma exposição da formula-
ção de Kolmogorov no artigo sobre teoria das 
probabilidades, e no artigo sobre o teorema de 
Cox a formulação de Cox. Veja também o artigo 
sobre os axiomas da probabilidade. 
Representação E Interpretação De Valores De 
Probabilidade 
A probabilidade de um evento geralmente é re-
presentada como um número real entre 0 e 1. um 
evento impossível tem uma probabilidade de exa-
tamente 0, e um evento certo de acontecer tem 
uma probabilidade de 1, mas a recíproca não é 
sempre verdadeira: eventos de probabilidade 0 
não são sempre impossíveis, nem os de probabi-
lidade 1 certos. A distinção bastante sutil entre 
"evento certo" e "probabilidade 1" é tratado em 
maior detalhe no artigo sobre "quase-verdade". 
A maior parte das probabilidades que ocorrem na 
prática são números entre 0 e 1, que indica a 
posição do evento no contínuo entre impossibili-
dade e certeza. Quanto mais próxima de 1 seja a 
probabilidade de um evento, mais provável é que 
o evento ocorra. 
Por exemplo, se dois eventos forem ditos igual-
mente prováveis, como por exemplo em um jogo 
de cara ou coroa, podemos exprimir a probabili-
dade de cada evento - cara ou coroa - como "1 
em 2", ou, de forma equivalente, "50%", ou ainda 
"1/2". 
Probabilidades também podem ser expressas 
como chances (odds). Chance é a razão entre a 
probabilidade de um evento e à probabilidade de 
todos os demais eventos. A chance de obtermos 
cara, ao lançarmos uma moeda, é dada por 
(1/2)/(1 - 1/2), que é igual a 1/1. Isto é expresso 
como uma "chance de 1 para 1" e é frequente-
mente escrito como "1:1". Assim, a chan-
ce a:b para um certo evento é equivalente à pro-
babilidade a/(a+b). 
Por exemplo, a chance 1:1 é equivalente à pro-
babilidade 1/2 e 3:2 é equivalente à probabilidade 
3/5. 
 
 17 
 
Ainda fica a questão de a quê exatamente pode 
ser atribuído uma probabilidade, e como os nú-
meros atribuídos podem ser usados; isto é uma 
questão de interpretações de probabilidade. 
Há alguns que alegam que pode-se atribuir uma 
probabilidade a qualquer tipo de proposição lógi-
ca incerta; esta é a interpretação bayesiana. Há 
outros que argumentam que a probabilidade só é 
aplicada apropriadamente a proposições que 
relacionam-se com sequências de experimentos 
repetidos, ou da amostragem de uma população 
grande; esta é a interpretação frequentista. Há 
ainda diversas outras interpretações que são 
variações de um ou de outro tipo. 
Distribuições 
A distribuição de probabilidade é uma função que 
determina probabilidades para eventos ou propo-
sições. Para qualquer conjunto de eventos ou 
proposições existem muitas maneiras de determi-
nar probabilidades, de forma que a escolha de 
uma ou outra distribuição é equivalente a criar 
diferentes hipóteses sobre os eventos ou proposi-
ções em questão. 
Há várias formas equivalentes de se especificar 
uma distribuição de probabilidade. Talvez a mais 
comum é especificar uma função densidade da 
probabilidade. Daí, a probabilidade de um evento 
ou proposição é obtida pela integração da função 
densidade. 
A função distribuição pode ser também especifi-
cada diretamente. Em uma dimensão, a função 
distribuição é chamada de função distribuição 
cumulativa. As distribuições de probabilidade 
também podem ser especificadas vi-
a momentos ou por funções características, ou 
por outras formas. 
Uma distribuição é chamada de distribuição dis-
creta se for definida em um conjunto contável e 
discreto, tal como o subconjunto dos números 
inteiros; ou é chamada de distribuição contínua se 
tiver uma função distribuição contínua tal como 
uma função polinomial ou exponencial. A maior 
parte das distribuições de importância prática é 
ou discretas ou contínuas, porém há exemplos de 
distribuições que não são de nenhum desses 
tipos. 
Dentre as distribuições discretas importantes, 
pode-se citar a distribuição uniforme discreta, 
a distribuição de Poisson, a distribuição binomial, 
a distribuição binomial negativa e a distribuição 
de Maxwell-Boltzmann. Dentre as distribuições 
contínuas, a distribuição normal, a distribuição 
gama, a distribuição t de Student e a distribuição 
exponencial. 
Probabilidade Na Matemática 
Os axiomas da probabilidade formam a base para 
a teoria da probabilidade matemática. O cálculo 
de probabilidades pode ser frequentemente de-
terminado pelo uso da análise combinatória ou 
pela aplicação direta dos axiomas. As aplicações 
da probabilidade vão muito além da estatística, 
que é geralmente baseada na ideia de distribui-
ções de probabilidade e do teorema do limite 
central. 
Para dar um significado matemático à probabili-
dade, considere um jogo de cara ou coroa. Intuiti-
vamente, a probabilidade de dar cara, qualquer 
que seja a moeda, é "obviamente 50%"; porém, 
esta afirmação por si só deixa a desejar quanto 
ao rigor matemático - certamente, enquanto se 
pode esperar que, ao jogar essa moeda 10 vezes, 
teremos 5 caras e 5 coroas, não há garantias de 
que isso ocorrerá; é possível, por exemplo, con-
seguir 10 caras sucessivas. O que então o núme-
ro "50%" significaria nesse contexto? 
Uma proposta é usar a lei dos grandes números. 
Neste caso, assumimos que é exequível fazer 
qualquer número de arremessos da moeda, com 
cada resultadosendo independente - isto é, o 
resultado de cada jogada não é afetado pelas 
jogadas anteriores. Se executarmos N jogadas, e 
seja NH o número de vezes que a moeda deu 
cara, então pode-se considerar, para qualquer N, 
a razão NH/N. 
Quando N se tornar cada vez maior, pode-se 
esperar que, em nosso exemplo, a ra-
zão NH/N chegará cada vez mais perto de 1/2. 
Isto nos permite "definir" a probabilidade Pr(H) 
das caras como o limite matemático, 
com N tendendo ao infinito, desta sequência de 
quocientes: 
 
Na prática, obviamente, não se pode arremessar 
uma moeda uma infinidade de vezes; por isso, 
em geral, esta fórmula se aplica melhor a situa-
ções nas quais já se tem fixada uma probabilida-
de a prioripara um resultado particular (no nosso 
caso, nossa convenção é a de que a moeda é 
uma moeda "honesta"). A lei dos grandes núme-
ros diz que, dado Pr(H) e qualquer número arbi-
trariamente pequeno ε, existe um número n tal 
que para todo N > n, 
 
 
 18 
 
Em outras palavras, ao dizer que "a probabilidade 
de caras é 1/2", queremos dizer que, se jogarmos 
nossa moeda tantas vezes o bastan-
te, eventualmente o número de caras em relação 
ao número total de jogadas tornar-se-á arbitrari-
amente próximo de 1/2; e permanecerá ao me-
nos tão próximo de 1/2 enquanto se continuar a 
arremessar a moeda. 
Observe que uma definição apropriada requer 
a teoria da medida, que provê meios de cancelar 
aqueles casos nos quais o limite superior não dá 
o resultado "certo", ou é indefinido pelo fato de 
terem uma medida zero. 
O aspecto a priori desta proposta à probabilidade 
é algumas vezes problemática quando aplicado a 
situações do mundo real. Por exemplo, na pe-
ça Rosencrantz e Guildenstern estão mortos, 
de Tom Stoppard, uma personagem arremessa 
uma moeda que sempre dá caras, uma centena 
de vezes. Ele não pode decidir se isto é apenas 
um evento aleatório - além do mais, é possível, 
porém improvável, que uma moeda honesta pu-
desse dar tal resultado - ou se a hipótese de que 
a moeda é honesta seja falsa. 
Notas Sobre Cálculos De Probabilidade 
A dificuldade nos cálculos de probabilidade se 
relaciona com determinar o número de eventos 
possíveis, contar as ocorrências de cada evento, 
contar o número total de eventos. O que é espe-
cialmente difícil é chegar a conclusões que te-
nham algum significado, a partir das probabilida-
des calculadas. Uma piada sobre probabilidade, 
o problema de Monty Hall, demonstra as armadi-
lhas muito bem. 
Aplicações Da Teoria Da Probabilidade No 
Cotidiano 
Um efeito maior da teoria da probabilidade no 
cotidiano está na avaliação de riscos e no comér-
cio nos mercado de matérias-primas. Governos 
geralmente aplicam métodos de probabilidade 
na regulação ambiental onde é chamada de 
"análise de caminho", e estão frequentemente 
medindo o bem-estar usando métodos que são 
estocásticos por natureza, e escolhendo projectos 
com os quais se comprometer baseados no seu 
efeito provável na população como um todo, esta-
tisticamente. 
De fato, não é correto dizer 
que estatísticas estejam envolvidas na modela-
gem em si, dado que, normalmente, estimativas 
de risco são únicas (one-time) e, portanto, neces-
sitam de modelos mais fundamentais como, por 
exemplo, para determinar "a probabilidade de 
ocorrência de outro atentado terrorista como o de 
11 de setembro em Nova York". Uma lei de nú-
meros pequenos tende a se aplicar a todas estas 
situações e à percepção dos efeitos relacionados 
a tais situações, o que faz de medidas de proba-
bilidade uma questão política. 
Um bom exemplo é o efeito nos preços do petró-
leo da probabilidade percebida de qualquer confli-
to mais abrangente no Oriente Médio - o que con-
tagia a economia como um todo. 
A estimativa feita por um comerciante de comodi-
dades de que uma guerra é mais (ou menos) 
provável leva a um aumento (ou diminuição) de 
preços e sinaliza a outros comerciantes aquela 
opinião. 
Da mesma forma, as probabilidades não são es-
timadas de forma independente nem, necessari-
amente, racional. A teoria de finança comporta-
mental surgiu para descrever o efeito de 
tal pensamento de grupo (groupthink) na defini-
ção de preços, política, paz e conflito. 
Uma aplicação importante da teoria das probabili-
dades no dia a dia é a questão da confiabilidade. 
No desenvolvimento de muitos produtos de con-
sumo, tais como automóveis e eletro - eletrônicos, 
a teoria da confiabilidade é utilizada com o intuito 
de se reduzir a probabilidade de falha que, por 
sua vez, está estritamente relacionada à garantia 
do produto. 
Outro bom exemplo é a aplicação da teoria dos 
jogos, uma teoria rigorosamente baseada na teo-
ria das probabilidades, à Guerra Fria e à doutrina 
de destruição mútua assegurada. 
Em suma, é razoável pensar que a descoberta de 
métodos rigorosos para estimar e combinar pro-
babilidades tem tido um impacto profundo na 
sociedade moderna. Assim, pode ser de extrema 
importância para muitos cidadãos compreender 
como estimativas de chance e probabilidades são 
feitas e como elas contribuem para reputações e 
decisões, especialmente em uma democracia. 
Probabilidade Condicionada 
Na matemática, a probabilidade condiciona-
da refere-se à probabilidade de um evento sa-
bendo que ocorreu um outro evento B e represen-
ta-se porP(A|B), lida "probabilidade condicional de 
A dado B" ou ainda "probabilidade de A depen-
dente da condição B". 
Definição 
A probabilidade de A condicionada por B (ou da-
do B, ou sabendo que B) é definida por: 
 
 19 
 
 
Dado 
Assim, a probabilidade de A muda após o evento 
B ter acontecido. Isso porque o resultado de A é 
uma das possibilidades de B. Precisamos calcular 
os eventos que são comuns a B e também a A, 
ou seja . 
Exemplo 
Considere-se um baralho de 52 cartas. A probabi-
lidade de ao retirar uma carta sair um rei é 4/52, 
ou 1/13. No entanto, se alguém retira uma carta e 
nos diz que é uma figura, então a probabilidade 
de a carta retirada ser um rei é 4/12=1/3, ou se-
ja, P(sair um rei|sair uma figura)=1/3. 
Acontecimentos Independentes 
Dois acontecimentos dizem-se independentes 
se . Isto sig-
nifica 
que 
, 
ou seja, que a ocorrência de B não tem qualquer 
efeito sobre a de acontecer A. 
Teorema de Bayes 
O teorema de Bayes relaciona as probabilidades 
de A e B com as respectivas probabilidades con-
dicionadas mútuas. Este teorema afirma que: 
 
Falácia da Probabilidade Condicionada 
A falácia da probabilidade condicionada consiste 
em supor que P(A|B) é igual a P(B|A). No entanto, 
pelo teorema de Bayes, estas probabilidades 
condicionadas só são iguais se, e somente 
se, A e B tiverem a mesma probabilidade. 
Axioma 
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é 
uma sentença ou proposição que não é provada 
ou demonstrada e é considerada como óbvia ou 
como um consenso inicial necessário para a 
construção ou aceitação de uma teoria. Por essa 
razão, é aceito como verdade e serve como ponto 
inicial para dedução e inferências de outras ver-
dades (dependentes de teoria). 
Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial 
de qual outros enunciados são logicamente deri-
vados. Pode ser uma sentença, uma proposição, 
um enunciado ou uma regra que permite a cons-
trução de um sistema formal. 
Diferentemente de teoremas, axiomas não podem 
ser derivados por princípios de dedução e nem 
são demonstráveis por derivações formais, sim-
plesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto 
é, não há mais nada a partir do que eles seguem 
logicamente (em caso contrário eles seriam cha-
mados teoremas). Em muitos contextos, "axio-
ma", "postulado" e "hipótese" são usados como 
sinônimos.Uma possível diferença entre postulado e axioma 
é a possibilidade de se provar um axioma, logo 
um axioma passaria a ser um teorema. Enquanto 
que os postulados são verdades evidentes que 
não requerem demonstrações. 
Como foi visto na definição, um axioma não é 
necessariamente uma verdade autoevidente, mas 
apenas uma expressão lógica formal usada em 
uma dedução, visando obter resultados mais fa-
cilmente. 
Axiomatizar um sistema é mostrar que suas infe-
rências podem ser derivadas a partir de um pe-
queno e bem-definido conjunto de sentenças. Isto 
não significa que elas possam ser conhecidas 
independentemente, e tipicamente existem múlti-
plos meios para axiomatizar um dado sistema 
(como a aritmética). A matemática distingue dois 
tipos de axiomas: axiomas lógicos e axiomas não-
lógicos. 
Nas teorias das ciências naturais, um axioma é 
considerado uma verdade evidente que e é aceita 
como tal, mas que ao rigor da palavra não pode 
ser demonstrado ou provado uma verdade abso-
luta dentro do domínio de sua aplicação; é geral-
mente derivado de intuição ou de conhecimento 
empírico, os quais apoiam-se em todos os fatos 
científicos até então conhecidos e relevantes à 
área em estudo. 
A viabilidade ou utilidade de tais teorias, e a clas-
sificação das mesmas como teorias científicas 
válidas ou já aprimoradas, todas sempre logica-
mente derivadas de forma correta de suas pre-
missas (dos axiomas), dependem das escolhas 
acuradas de seus axiomas e da corroboração dos 
mesmos frente aos fatos científicos conhecidos 
na época em que foram propostos, e frente aos 
que forem gradualmente descobertos em épocas 
futuras às suas proposições. 
 
 20 
 
Fatos novos, ao serem descobertos, podem levar 
à evolução das teorias mediante necessidade 
explicita de modificações em seus axiomas, que, 
conforme propostos no paradigma científico evo-
luído e ora válido, devem manter-se sempre cor-
roborados pela íntegra dos fatos científicos co-
nhecidos até a data em questão. 
Na engenharia, axiomas são aceitos sem provas 
formais e suas escolhas são negociadas a partir 
do ponto de vista utilitário e econômico. Podem 
também ser considerados como hipóteses na 
modelagem e mudados depois da validação do 
modelo. 
Declarações explícitas de axiomas é uma condi-
ção necessária para a computabilidade de uma 
teoria, modelo ou método. Neste caso, o axioma 
pode ser visto como um conceito relativo depen-
dente de domínio, por exemplo, em cada progra-
ma de software, declarações iniciais podem ser 
consideradas como seus axiomas locais. 
Etimologia 
A palavra "axioma" vem da palavra grega ἀξίωμα 
(axioma), um substantivo verbal
1
 do verbo ἀξιόειν 
(axioein), que significa "considerar valido", mas 
também "requerer", que por sua vez vem da pala-
vra ἄξιος (axios), que significa "estar em equilí-
brio", e portanto "ter (o mesmo) valor (de)", "vali-
do", "apropriado". Entre os filósofos da Grécia 
Antiga um axioma era uma afirmação que poderia 
ser vista como verdade sem nenhuma necessida-
de de provas. 
O significado raíz da palavra "postular" é "exigir"; 
por exemplo, Euclides exige que nós concorde-
mos que certas coisas podem ser feitas, ex: 
quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma 
linha reta, etc.
2
 
Os antigos geométricos mantiveram alguma dis-
tinção entre axiomas e postulados. Ao comentar 
os livros de Euclides, Proclo adverte que 
"Geminus
3
 considerou que este [4º] Postulado 
não deve ser classificado como um postulado e 
sim como um axioma, já que, diferente dos três 
primeiros Postulados, ele não declara a possibili-
dade de alguma construção mas sim expressa 
uma propriedade essencial". 
Boécio traduziu "postulado" como petitio e cha-
mou os axiomas de notiones communes, mas em 
manuscritos posteriores esse uso nem sempre foi 
estritamente mantido. 
Desenvolvimento Histórico 
Visão Clássica 
O método lógico-dedutivo clássico consistia em 
sistemas a partir dos quais premissas eram se-
guidas de conclusões através da aplicação de 
argumentos (silogismos, regras de inferência). 
Com exceção das tautologias, nada pode ser 
deduzido se nada é assumido. Axiomas e postu-
lados são hipóteses básicas subjacentes a um 
corpo de conhecimento dedutivo. São aceitos 
sem demonstração. 
Todas as outras asserções (teoremas, se esti-
vermos falando sobre matemática) devem ser 
demonstradas com o auxílio de hipóteses bási-
cas. 
No entanto, a interpretação do conhecimento 
matemático mudou dos tempos antigos para o 
moderno, e consequentemente os termos axioma 
e postulado tiveram uma leve diferença de signifi-
cado para os matemáticos atuais, em contraste 
com o significado original destes termos pa-
ra Aristóteles e Euclides. 
Os antigos gregos consideraram 
a geometria como uma das diversas ciências, e 
consideraram os teoremas de geometria tão im-
portantes quanto fatos científicos. 
Dessa forma, eles desenvolveram e usaram o 
método lógico-dedutivo como um meio de evitar 
erros, e para conhecimento estrutural e comuni-
cativo. Os analíticos posteriores de Aristóteles é 
uma exposição definitiva da visão clássica. 
Um "axioma", na terminologia clássica, refere-se 
a uma hipótese auto-evidente comum a vários 
ramos de ciência. Um bom exemplo seria a as-
serção que 
Quando é retirada uma de duas quantias iguais, 
sobra uma quantia igual a que foi retirada. 
Na fundação de várias ciências são impostas 
certas hipóteses adicionais que são aceitas sem 
demonstração. Estas eram denomina-
das postulados. 
Enquanto os axiomas eram comuns a várias ci-
ências, os postulados para cada ciência particular 
eram diferentes. Sua validade tinha que ser esta-
belecida por meio de experiências reais. 
De fato, Aristóteles alertou que a satisfabilidade 
de uma ciência não pode ser transmitida com 
sucesso, se o aprendiz estiver em dúvida sobre a 
veracidade dos postulados. 
 
 21 
 
A visão clássica é bem ilustrada pelos elementos 
de Euclides, onde uma lista de axiomas (muito 
básicas, asserções auto-evidentes) e postulados 
(fatos geométricos do senso-comum obtidos de 
nossa experiência), são dados. 
 Axioma 1: Duas coisas iguais a uma tercei-
ra, são iguais entre si. 
 Axioma 2: Se parcelas iguais forem adicio-
nadas a quantias iguais, os resultados continua-
rão sendo iguais. 
 Axioma 3: Se quantias iguais forem subtra-
ídas das mesmas quantias, os restos serão i-
guais. 
 Axioma 4: O todo é maior que a parte. 
 Postulado 1: Uma reta pode ser traçada de 
um ponto para outro qualquer. 
 Postulado 2: Qualquer segmento finito de 
reta pode ser prolongado indefinidamente no sen-
tido da reta. 
 Postulado 3: Dados um ponto qualquer e 
uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo 
de centro naquele ponto e raio igual à dada dis-
tância. 
 Postulado 4: Todos os ângulos retos são 
iguais entre si. 
 Postulado 5: Se uma reta cortar duas ou-
tras retas de modo que a soma dos dois ângulos 
interiores, de um mesmo lado, seja menor que 
dois ângulos retos, então as duas outras retas se 
cruzam, quando suficientemente prolongadas, do 
lado da primeira reta em que se acham os dois 
ângulos. 
Visão Moderna 
Uma lição aprendida pela matemática nos últimos 
150 anos é que é útil decifrar o significado das 
asserções matemáticas (axiomas, postula-
dos, proposições, teoremas) e definições. 
Esta abstração, que poderia até ser chamada de 
formalização, faz o conhecimento matemático 
mais genérico, capaz de múltiplos diferentes sig-
nificados e, portanto, útil em múltiplos contextos. 
O estruturalismo matemático vai mais adiante, e 
desenvolve teorias e axiomas sem uma aplicação 
particular em mente. A distinção entre um "axio-
ma" e um "postulado" desaparece.Os postulados 
de Euclides são provavelmente considerados por 
fornecerem uma rica coleção de fatos geométri-
cos. 
A verdade desses fatos complicados está na acei-
tação de hipóteses básicas. Entretanto, excluindo 
o quinto postulado de Euclides, obtemos que 
estes possuem significados em diversos contex-
tos (geometria hiperbólica, por exemplo). Deve-
mos simplesmente estar preparados para usar 
nomes como "linha" e "paralelo" com uma maior 
flexibilidade. 
O desenvolvimento da geometria hiperbólica en-
sinou aos matemáticos que postulados podem ser 
considerados como hipóteses puramente formais, 
e não como fatos baseados na experiência. 
Quando matemáticos empregam os axiomas de 
um campo, as intenções são mais abstratas. As 
proposições da teoria de campos não interessam 
a alguma outra aplicação em particular. Os ma-
temáticos agora trabalham em completa abstra-
ção. Há muitos exemplos de campos. A teoria de 
campos garante que o conhecimento sobre eles é 
correto. 
Não é correto dizer que os axiomas ou a teoria de 
campos são "proposições que são consideradas 
como verdade sem nenhuma derivação". O cam-
po de axiomas é um conjunto de restrições. Se 
um dado sistema de adição e multiplicação satis-
faz estas restrições, então o campo está pronto 
para nos dar informações extras sobre esse sis-
tema. 
A matemática moderna formaliza seus fundamen-
tos de tal modo que as teorias podem ser consi-
deradas objetos matemáticos, e a lógica por si só 
pode ser considerada como um ramo 
da matemática.Frege, Russell, Poincaré, Hilbert e
 Gödel são personagens-chave nesse desenvol-
vimento. 
Na visão moderna, um conjunto de axiomas é 
uma coleção de asserções formalmente estáveis 
das quais se seguem outras asserções formais 
estáveis pela aplicação de certas regras bem-
definidas. Nesta visão, a lógica se torna apenas 
um outro sistema formal. 
Um conjunto de axiomas deve ser consistente, ou 
seja, deve ser impossível derivar uma contradição 
de um axioma. Um conjunto de axiomas não deve 
ser redundante, isto é, uma asserção que pode 
ser deduzida de outros axiomas não precisa ser 
considerada um axioma. 
A esperança dos lógicos modernos era que vários 
ramos da matemática, senão todos, pudessem 
ser derivados de uma coleção consistente de 
axiomas básicos. Um sucesso do programa for-
malista foi a formalização de Hilbert da Geometria 
Euclidiana e a demonstração da consistência 
destes axiomas. 
 
 22 
 
Ampliando o contexto, houve uma tentativa de 
basear toda a matemática na teoria dos conjun-
tos de Georg Cantor. 
Neste ponto, levando em consideração 
o Paradoxo de Russell e a teoria ingênua dos 
conjuntos viu-se a possibilidade de algum sistema 
poder se tornar inconsistente. 
O projeto formalista sofreu uma derrota decisiva, 
quando em 1931 Gödel mostrou que é possível, 
para um suficientemente grande conjunto de axi-
omas (Axiomas de Peano, por exemplo), construir 
uma hipótese que seja verdadeira independente-
mente deste conjunto de axiomas. 
Como corolário, Gödel provou que a consistência 
de uma teoria como a Aritmética de Peano é uma 
asserção improvável dentro do escopo desta teo-
ria. 
É razoável acreditar na consistência da Aritmética 
de Peano porque ela é satisfeita pelo sistema de 
números naturais, um infinito, mas intuitivamente 
acessível sistema formal. 
Entretanto, até hoje, não há um modo conhecido 
de demonstrar a consistência dos modernos axi-
omas de Zermelo-Frankel para a teoria dos con-
juntos. 
O axioma da escolha, uma hipótese-chave desta 
teoria, permanece uma hipótese muito controver-
sa. Além disso, usando técnicas de forçar 
(Cohen), pode-se mostrar que as hipóteses contí-
nuas (Cantor) é independente dos axiomas de 
Zermelo-Fraenkel. Desta forma, mesmo este con-
junto genérico de axiomas não pode ser conside-
rado como uma base definitiva para a matemáti-
ca. 
Lógica Matemática 
Axiomas Lógicos 
Axiomas Lógicos são fórmulas em uma lingua-
gem que é universalmente válida, ou seja, são 
fórmulas satisfeitas por toda a estrutura sob toda 
função de tarefa de variáveis. 
Em outros termos, axiomas lógicos são estados 
que são verdadeiros em algum possível universo, 
para alguma possível interpretação e com alguma 
tarefa de valor. Normalmente eles usam axiomas 
lógicos para um mínimo conjunto de tautologias 
que é suficiente para provar todas as tautologias 
na linguagem; na lógica de primeira ordem o axi-
oma lógico é necessário para provar verdades 
lógicas que não são tautologias no sentido rígido. 
Exemplos 
Lógica Proposicional 
Na lógica proposicional é comum considerar co-
mo axiomas lógicos as fórmulas a seguir, onde 
, e podem ser qualquer fórmula de lingua-
gem e os conectivos permitidos são apenas " " 
paranegação e " " pa-
ra implicação (antecedente para consequente): 
1. 
2. 
3. 
Cada um desses exemplos é um axioma esque-
mático, uma regra para generalizar uns infinitos 
números de axiomas. por exemplo, se ,
 e são variáveis proposicionais, en-
tão e 
 sã
o ambos instâncias do primeiro axioma esquemá-
tico, e portanto são axiomas. Podemos mostrar 
que com apenas esses três axiomas esquemáti-
cos e modus ponens, pode-se provar todas as 
tautologias do cálculo proposicional. E pode mos-
trar também que sem unir esses axiomas não 
será suficiente para provar todas as tautologias 
com modus ponens. 
Estes axiomas esquemáticos são também usados 
no cálculo de predicados, mas adicionar axiomas 
lógicos é necessário. 
Axioma de Igualdade. Supondo uma lingua-
gem de primeira ordem. para cada variável , a 
fórmula é universalmente válida. 
Isto quer dizer que, para algum simbolo de variá-
vel , a fórmula pode ser dita como um 
axioma. Além disso, neste exemplo, para que não 
haja imprecisão do que nós entendemos 
por (ou, em outras palavras, "é igual a") 
deve estar puramente formal e sintaticamente 
usável pelo simbolo que deve estar bem refor-
çado, a respeito deles como uma sequência e 
como uma sequência de símbolos, a lógica ma-
temática faz de fato isto. 
Vale lembrar que o mais interessante exemplo de 
axioma esquemático, é aquele que nos determina 
o que conhecemos como instanciação universal: 
Axioma esquemático para instanciação univer-
sal. Dado uma fórmula na linguagem de pri-
meira ordem , uma variável e um 
 
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mo que é substituível para em , a fórmula
 é universalmente válida. 
Onde o simbolo significa a fórmula com o 
termo substituído por . Em termos formais, 
este exemplo nos permite dizer que para este 
estado, se nós sabermos que uma certa proprie-
dade possui para todo e que estar para 
um objeto particular na nossa estrutura, então nós 
estariamos capazes para afirmar . Mais 
uma vez, nós podemos afirmar que a fórmu-
la é válida, isto é, nós podemos 
ser capazes de ter uma prova deste fato, ou me-
lhor falando, uma meta prova. atualmente, estes 
exemplos são meta teoremas da nossa teoria da 
lógica matemática desde que estejamos relacio-
nados com o mais conceitos de auto prova. A 
partir disto, nós podemos ter a generalização do 
existencial: 
Axioma esquemático para generalização do exis-
tencial. Dada um fórmula na linguagem de 
primeira ordem , uma variável e um 
mo que é substituível para em , a fórmula 
 é universalmente válida. 
Axiomas Não-Lógicos 
Axiomas não-lógicos são fórmulas que usam a 
função de hipóteses de teorias especificadas. Em 
razão sobre duas diferentes estruturas, por e-
xemplo os números naturais e os integrais, po-
dem envolver o mesmo axioma lógico; os axio-
mas não-lógicos visam capturar o que é especial 
sobre uma estrutura particular r(ou conjunto de 
estruturas, como os grupos). Desse modo os 
axiomas não-lógicos,