lista 1 segundo semestre 2014

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Lista 1 – Vibrações Mecânicas 
1) Uma montagem roda, pneu e suspensão de um veículo pode ser modelada grosseiramente como um sistema 
massa-mola de um grau de liberdade. A massa da montagem é aproximadamente 30Kg. Foi observado que sua 
freqüência de oscilação é de 10Hz. Qual é a rigidez aproximada da montagem da suspensão? 
 
2) Considere uma pequena mola com 30mm de comprimento, uma de suas extremidades está soldada a uma 
mesa fixa, a outra extremidade está soldada a um parafuso e está livre para mover. A massa do sistema é 
aproximadamente 0,0492Kg. Sabendo que a rigidez da mola é 857,8N/m, calcule a máxima amplitude da 
resposta se a mola é inicialmente deslocada de 10 mm. 
 
3) Um pêndulo em Bruxelas (g=9,81m/s²) oscila com um período de 3 segundos. Calcule o comprimento do 
pendulo. Em outro local, um pêndulo de 2m de comprimento oscila com um período de 2,839 segundos, qual é 
a aceleração da gravidade nesse local? 
 
4) Massa e mola são usualmente medidas de forma direta. Contudo, existem certas circunstâncias em que o 
procedimento direto não pode ser aplicado. Nesses casos medidas de freqüência de oscilação, antes e depois de 
uma massa conhecida ser adicionada ao sistema, podem ser utilizadas para determinar a massa e a rigidez do 
sistema original. Suponha que a freqüência de oscilação na figura 1.33(a) seja de 2rad/s e a freqüência da figura 
1.33(b) com uma massa adicional de 1kg seja de 1rad/s, Calcule m e k. 
 
 
5) Uma massa de 0,5Kg é conectada a uma mola linear de rigidez de 0,1N/m. Determine a freqüência natural em 
Hz. Repita o cálculo para uma massa de 50 Kg e uma rigidez de 10N/m e compare os resultados. 
 
6) Um automóvel é modelado como uma massa de 1000Kg suportada por uma mola de rigidez de 400000N/m. 
Quando ele oscila, o máximo deslocamento é de 10cm. Quando ocupado com passageiros, a massa passa a ser 
1300Kg. Calcule a mudança de freqüência, amplitude de velocidade e amplitude de aceleração se o 
deslocamento máximo de oscilação permanece em 10cm. 
 
7) Um automóvel apresenta uma oscilação vertical com amplitude máxima de 5cm e máxima aceleração de 2000 
cm/s². Assumindo que o automóvel possa ser modelado como um sistema livre de um grau de liberdade na 
direção vertical, calcule a freqüência natural do automóvel. 
 
8) Calcule a freqüência natural e o coeficiente de amortecimento para o sistema da figura P1.72 dados os valores 
m=10Kg,c=100Kg/s, K1=4000M/m, k2=200N/m e K3=1000N/m. Despreze o atrito de fricção nos rolamentos. O 
sistema é sub,super ou criticamente amortecido? 
 
9) Um sistema massa-mola-amortecedor possui 100Kg, rigidez de 3000N/m e amortecimento de 300kg/s. Calcule o 
coeficiente de amortecimento e a freqüência natural amortecida. O sistema oscilará livremente? 
 
10) Considere um sistema massa-mola com 10kg e 1000N/m. Especifique o valor do amortecedor para que a 
freqüência de oscilação livre passe para 9 rad/s. 
 
11) Em um teste de vibração, um acelerômetro mediu uma aceleração máxima de 14,5 m/s² e um osciloscópio 
mediu o período da vibração em 16,6 ms. Determinar a amplitude da vibração, assumindo movimento 
harmônico. 
 
12) Durante um teste, a velocidade máxima e a aceleração máxima da vibração de uma máquina foram medidas 
como vmáx = 0,01 m/s e amáx = 0,2 g. Assumindo que ocorre um movimento harmônico, determinar a 
freqüência da vibração. 
 
13) Para localizar a fonte de uma vibração, foram medidas suas amplitude e velocidade máxima, sendo iguais a 
xmáx= 0,002 m e vmáx = 0,75 m/s. Existem duas máquinas operando no mesmo setor: uma a 3580 rpm e outra 
a 1720 rpm. A vibração medida é compatível com uma destas duas máquinas? Justifique. 
 
14) O comprimento de um pêndulo é l = 0,5m mas devido a defeitos de fabricação o mesmo pode variar 3 % (para 
mais e para menos). Determinar qual será a variação correspondente no seu período de oscilação(desprezar a 
massa do pêndulo). 
 
15) Quatro passageiros com massa total igual a 250kg comprimem 4.00 cm as molas de um carro com 
amortecedores gastos. Modele o carro e os passageiros como um único corpo sobre uma única mola ideal. 
Sabendo que o período da oscilação do carro com os passageiros é igual a 1,08 s, qual é o período da oscilação 
do carro vazio? 
 
16) A figura esquemática é de um canhão. Quando a arma é disparada, gases a alta pressão aceleram o projétil 
dentro do tubo até o mesmo atingir uma alta velocidade. A conservação da quantidade de movimento faz com 
que o corpo do canhão se mova em sentido oposto ao do projétil. Para retornar o corpo do canhão a sua 
posição de equilíbrio no menor tempo possível e sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor no 
mecanismo de recuo. No caso particular, o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de 
500 kg com uma mola de rigidez 10.000 N/m. Determinar: 
 
a) O valor do amortecedor (em kg/s) 
b) Calcule a velocidade inicial de retorno do canhão após o disparo sabendo que o recuo é de 0,4metro e a 
equação do movimento do canhão após o disparo é ( ) tnetvxtx ω−+= 00)( onde x é a posição do canhão 
medida em relação à posição de equilíbrio, 0x e 0v são respectivamente a posição inicial(nesse caso nula) e 
a velocidade inicial(incógnita a ser encontrada), nω é a freqüência natural do sistema e t é o tempo 
decorrido após o disparo. 
 
17) Um isolador de choque é projetado para uma máquina de massa “m” igual a 200 kg (vide figura). Quando a 
massa é submetida a uma velocidade inicial devido a uma perturbação, a curva resultante do deslocamento da 
vibração livre é como a mostrada na figura. Determinar a constante de rigidez “k” e o amortecimento “c” 
necessário para o isolador se o período de vibração amortecida é 2 segundos e, em um ciclo, a amplitude deve 
ser reduzida para 
16
1
de seu valor, ou seja, 
16
1
2
x
x = . 
 
18) Considere um sistema composto por uma massa “m” de 20kg e duas molas de rigidez 1k e 2k , quando as molas 
são montadas conforme a figura (a) o sistema oscila livremente na vertical com 0,975Hz; na configuração da 
figura (b) o sistema oscila livremente na vertical com 2,25Hz. Calcule os valores das rigidez das molas. 
 
19) Considere que o conjunto de suspensão de um microônibus possa ser modelado como um sistema massa-mola-
amortecedor de 1 grau de liberdade. A massa do microônibus é 2 toneladas e sob seu próprio peso a suspensão 
deflete 40mm. 
a) Especifique o valor do amortecedor para que vazio o microônibus seja criticamente amortecido. 
b) Considerando que cada passageiro possua uma massa média de 75 kg, escreva uma expressão que relacione a 
razão de amortecimento com o número “N” de passageiros. 
c) Calcule a razão de amortecimento quando o microônibus está ocupado por 20 passageiros. 
 
20) O modelo de oscilação livre de um sistema de um grau de liberdade é representado pela seguinte equação: 
 
Calcule o fator de amortecimento desse sistema e diga se o mesmo é subamortecido, criticamente amortecido 
ou superamortecido. 
Dados: 
c=200Kg/s 
l=15cm 
m=600g 
J=0,005kg.m² 
K=1000N/m 
21) O gráfico seguinte mostra a resposta livre de um sistema massa-mola-amortecedor. Estime a frequência natural 
amortecida, o fator de amortecimento e a freqüência natural do sistema. 
 
 
 
22) A figura mostra o desenho esquemático de uma mola helicoidal de compressão típica utilizada em suspensões 
automotivas. A constante elástica K (em N/m) dessa mola é calculada pela expressão: 
ND
GdK 3
4
8
= ; onde: 
d é diâmetro do fio(m) 
G é o módulo de elasticidade transversal do material(Pa) 
D é o diâmetro médio da mola(m) 
N é o número de espiras(adimensional) 
 
Para rebaixar um veículo, foi feita a retirada (corte) de espiras de suasmolas. Deseja-se que o carro rebaixado 
tenha o mesmo fator de amortecimento do carro original. Com base no apresentado e considerando que a 
constante do amortecedor(kg/s) é proporcional à viscosidade do fluido, responda e justifique apresentando 
fórmulas: o que deve ser feito com o fluido do amortecedor no carro rebaixado (manter o mesmo fluido no 
amortecedor, trocar o fluido do amortecedor por um menos viscoso ou trocar o fluido do amortecedor por um 
mais viscoso)? 
 
23) Indique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira(V) ou falsa(F): 
 
( ) Durante a oscilação livre, a amplitude de um sistema não amortecido não mudará ao longo do tempo. 
 
( ) Um sistema que vibra no ar pode ser considerado um sistema amortecido. 
 
( ) O princípio da conservação de energia pode ser usado na obtenção da equação de movimento de sistemas de um 
grau de liberdade tanto amortecidos quanto não amortecidos. 
 
( ) A equação de movimento livre de um sistema massa-mola com um grau de liberdade será a mesma quer esse 
esteja em um plano horizontal ou em um plano inclinado. 
 
( ) Em alguns casos, a frequência natural amortecida pode ser maior que a frequência natural não amortecida. 
 
( ) Para se aumentar a frequência natural amortecida de um sistema massa-mola-amortecedor, pode-se adicionar uma 
mola associada em série no mesmo. 
 
( ) Para um sistema de um grau de liberdade, conhecendo-se apenas o valor do decremento logarítmico é possível 
determinar o fator de amortecimento de um sistema. 
 
( ) Um sistema de um grau de liberdade e criticamente amortecido, quando oscila livremente apresenta um movimento 
periódico com período igual a 1 segundo. 
 
( ) Para um sistema de um grau de liberdade, quanto maior o valor do fator de amortecimento maior é a dissipação de 
energia e consequentemente ele precisa de menos tempo para voltar ao repouso. 
 
( ) O movimento de oscilação livre de um sistema massa-mola é um movimento harmônico cuja amplitude de 
deslocamento e ângulo de fase dependem dos valores da massa e da rigidez da mola e também da posição inicial e 
velocidade inicial do sistema. 
 
24) Durante parte do Campeonato Mundial de Fórmula 1 de 2006, a Equipe Renault utilizou em seus carros 
absorvedores de vibração na dianteira e na traseira, com o objetivo de minimizar as oscilações do chassi 
provocadas pela passagem sobre as “zebras” e, conseqüentemente, melhorar seu desempenho. No detalhe está 
mostrado o dispositivo empregado na dianteira, que consiste basicamente em um sistema massa-mola-
amortecedor de 1 grau de liberdade, com uma massa de 7 kg (1) apoiada sobre molas (2 e 3) de diferente 
rigidez, com relação 1:3, inseridas em uma carcaça (4) de fibra de carbono, e com um amortecedor regulável (5) 
contendo um fluido viscoso. 
 
Sabendo que a freqüência natural não amortecida do absorvedor de vibração utilizado na dianteira é de 
2
2
Hz, 
determine a faixa de valores do amortecedor para que os sistema possua um fator de amortecimento na faixa de 0,9 a 
1,1. 
 
25) Alguns tipos de balança utilizam, em seu funcionamento, a relação entre o peso P e a deformação elástica δ
que ele provoca em uma mola de constante elástica K, ou seja, P=K x δ (Lei de Hooke). Ao se colocar certa mercadoria 
no prato de uma balança desse tipo, a deformação não ocorre instantaneamente. Existe um movimento transiente que 
depende de outro parâmetro: o nível de amortecimento no mecanismo da balança, dado pelo parâmetro adimensional ζ
, denominado fator de amortecimento. O movimento transiente, a partir do instante em que a mercadoria é colocada no 
prato da balança, pode ser descrito por 3 equações diferentes (e tem comportamentos diferentes), conforme o valor de 
ζ e ilustradas nos quadros a seguir: 
 
Baseado no apresentado, das três situações acima qual seria a mais adequada para uma balança que será instalada em 
uma linha de produção? Justifique. 
 
26) Uma barra rígida e uniforme de massa “m” e comprimento “l” está pivotada no ponto “O” e é suportada por 
uma mola de constante elástica “K” e conectada a um amortecedor viscoso de constante “c” conforme ilustra a 
figura a seguir. Medindo o ângulo θ a partir da posição de equilíbrio estático e considerando pequenos ângulos, 
determine: 
a) A equação diferencial do movimento (literal) 
b) A equação da freqüência natural do sistema (literal) 
c) O valor do fator de amortecimento para k=100000N/m; c=50kg/s; m=45kg; l=0,5m e a=0,2m. O sistema 
apresentará oscilação em resposta livre? Justifique. 
 
27) Uma parte de uma máquina é modelada como um pêndulo conectado a uma mola como mostrado na figura 
P1.16. Ignore a massa da haste do pêndulo e obtenha a equação diferencial do movimento, linearize a equação 
e determine a freqüência natural. Considere que a rotação é pequena, de modo que a mola se deforma apenas 
horizontalmente. 
 
 
28) O esboço de uma válvula e o sistema de balancim para um motor de combustão interna é mostrado na figura 
P1.45. Modele o sistema como um pêndulo conectado a uma mola e massa e assuma que o óleo promova um 
amortecimento viscoso linear. Determine a equação diferencial do movimento e obtenha uma expressão para a 
freqüência natural. Aqui “J” é o momento polar de inércia do balancim em torno de seu pivô, “k” é a rigidez da 
mola da válvula e “m” é a massa da válvula e da haste. Ignore a massa da mola. 
 
 
29) Use o método da energia para obter a equação diferencial do movimento em “x” e a freqüência natural de um 
mecanismo de direção da roda dianteira do trem de pouso de um avião. O mecanismo é modelado como um 
sistema livre de um grau de liberdade como mostrado na figura P1.54. Para o cálculo considere que o volante 
(steering wheel) está fixado. A cremalheira é modelada como um sistema massa-mola (m,k2) e oscila na direção 
“x”. A barra de direção e o pinhão são modelados como um disco de inércia “J” e rigidez torcional k1. Obtenha a 
equação diferencial do movimento na direção “x” e determine sua freqüência natural. 
 
 
30) No sistema mostrado o cabo arrasta o disco sem deslizamento. Determinar o modelo matemático(equação 
diferencial) do movimento na direção “x” e explicitar sua freqüência natural em termos das variáveis 
apresentadas e sabendo que o momento de inércia do disco é 
2
2
1
rmd , sendo dm a massa do disco. 
 
31) Uma haste rígida em forma de “L”,de momento de inércia 0J , está pivotada no ponto “O” e conectada a uma 
esfera de massa sm e a um bloco de massa “m. A esfera e o bloco estão conectados a molas de rigidez 1K e 
2K conforme é mostrado na figura. A esfera rola sem deslizamento sobre a superfície. Medindo o “x” a partir 
da posição de equilíbrio estático e considerando pequenos ângulos, determine a expressão para a freqüência 
natural do sistema. 
Dado: momento de inércia de uma esfera de massa “m” e raio “r”: 
2
10
4
mrJ = 
 
32) Na figura seguinte as hastes rígidas (haste 1 = link 1 e haste 2 = link 2) possuem massa desprezível e são 
articuladas na junta que as conecta. A haste 1 é solidária à polia que está pivotada no ponto “O”. A haste 2 está 
conectada por uma articulação ao cilindro de massa cm . A polia está conectada a um bloco de massa “m”. O 
cilindro e o bloco estão conectados a molas de rigidez 1K e 2K conforme é mostrado na figura. O cilindro rola 
sem deslizamento sobre a superfície. Medindo o “x” a partir da posição de equilíbrio estático e considerando 
pequenos ângulos, determine a expressão para a freqüência natural do sistema. 
Dado: momento de inércia de um cilindro de massa “m” e raio “r”: 
2
2
1
mrJ = 
 
33) A figura seguinte mostra uma polia de raio “ r ” e massa “ m ”. A polia é mostrada em sua posição de equilíbrio, 
pode rotacionar em torno do mancal “ O ” e éconectada a molas (de rigidez “ k ” cada) e a um amortecedor de 
valor “ c ” conforme mostrado. 
 
a) Sendo dado o momento de inércia da barra igual a 
2
2mr
 
e considerando pequenos ângulos de vibração, mostre 
que a freqüência natural do sistema é 
m
k2 . 
b) Sabendo que o amortecedor “ c ” é montado ao lado esquerdo do mancal “ O ” e na sua montagem ele pode ter 
sua posição ajustada entre r
4
1
 a r
2
1
 (distâncias medidas a partir do mancal “ O ”) , determine uma expressão 
em função da massa “ m ” e da rigidez “ k ” para calcular o menor valor possível do amortecedor que ainda assim 
permita ao técnico a possibilidade de regular o fator de amortecimento em 1,5 na montagem. 
34) O desenho esquemático mostra um medidor analógico de vibração. O ponteiro é pivotado no ponto “I” e possui 
um momento de inércia “ PJ ” em relação a esse ponto. O bloco suspenso possui massa “m”. As molas possuem 
a mesma rigidez “k”, “a” e “b” são cotas (distâncias). A posição mostrada (indicador na vertical) é a posição de 
equilíbrio. Considerando que a faixa do ângulo de operação do ponteiro é de -10 a 10°(pequenos ângulos) e 
levando em consideração o contexto da disciplina de vibrações mecânicas pede-se: 
a. A equação diferencial do movimento livre tendo como variável o deslocamento vertical “x” da massa a 
partir da posição de equilíbrio. 
Obs.: Além da inércia do ponteiro, considerar o momento de inércia do bloco como massa concentrada 
(produto da massa pelo quadrado da distância em relação ao centro de giro). 
b. A expressão da freqüência natural do sistema. 
 
35) O desenho seguinte mostra uma haste de momento de inércia 0J conectada a duas massas. Considerando 
pequenos ângulos, modele o sistema e encontre a equação diferencial para a vibração livre. 
 
 
θ
x