Matemática para Concursos Públicos.pdf

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1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
2 
 
 
 
 
 
Instituto Maximize Educação Ltda. 
Rua Tabajaras, 669 – Centro – Tupã – SP - CEP: 17601-120 – Tel.: (14) 
3441-1208 
 
 
Direção: Andréia Agostin e Márcio André Emídio. 
Capa: Mayke Valentin 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Akashi, Evelise Leiko Uyeda. 
Raciocínio Lógico para concursos. 
Teoria e Questões comentadas – Evelise Akashi – 1ª Edição 
Tupã – SP – Maxi Educa, 2014. 
344p. – 21x30cm. 
 
Inclui Bibliografia. 
 
ISBN: 978-85-68862-01-8 
 
1. Álgebra. 2. Aritmética. 3. Geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - É proibida a reprodução, salvo pequenos trechos, 
mencionando-se a fonte. A violação dos direitos autorais (Lei nº 9.610/98) é crime (art. 184 do Código 
Penal). Depósito legal na Biblioteca Nacional, conforme o Decreto nº 1.825, de 20/12/1907. 
 
 
O autor é seu professor; respeite-o: não faça cópia ilegal 
 
 
 
 
 
www.maxieduca.com.br
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Olá! 
 
Apresento o Resumo de Matemática para Concursos. 
Gostaria de agradecer imensamente a confiança depositada em nossa 
equipe, pois tudo foi feito com muita dedicação. 
Aqui estão as matérias mais pedidas nos concursos, com explicações de 
como proceder e muitos exercícios. 
As questões estão misturadas, com conteúdo de ensino fundamental, 
médio e superior. 
Para qualquer prova, qualquer obstáculo em nossa vida temos que ter 
dedicação, perseverança. Por isso, digo para você ter sempre foco nos estudos, 
não desista, você é capaz! 
Você tem dificuldade em matemática? 
Treine muito, adquira os conhecimentos, os “macetes” aqui passados e 
quanto mais exercício fizer, melhor será. 
As respostas são para auxiliar, caso não saiba, mas não se prenda a elas. 
Desejo que você alcance tudo aquilo que almejar. 
Nunca se esqueça dos 3F: força, foco e fé. 
 
“A persistência é o caminho do êxito.” 
Charles Chaplin 
 
 
“O insucesso é apenas uma oportunidade para recomeçar de novo com mais 
inteligência.” 
Henry Ford 
 
 
Bons estudos e Boa Sorte! 
 
 
Professora Evelise Akashi 
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Sumário 
 
 
 
 
Números Relativos Inteiros e Fracionários, Operações e Propriedades, Números Reais
 .................. 01 
Múltiplos e Divisores, Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum
 ......................................... 15 
Equações e Sistemas de Primeiro e Segundo Grau..................................................................... ....... 27 
Inequações............................................................... .......................................................................... 46 
Sistemas de Medida de Tempo e Sistema Métrico Decimal............................................................... . 50 
Princípios de Contagem, Análise Combinatória e Probabilidade........................................................ . 60 
Operação com Conjuntos
 .................................................................................................................. 71 
Números e Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais. .................................................. 86 
Regra de Três Simples e Composta................................................................................................... . 94 
Porcentagem.......................................................................... ........................................................... 104 
Taxas de Juros Simples e Compostas..................................................................................... .......... 113 
Progressões Aritméticas e Geométricas............................................................................................ 120 
Funções............................................................................................................................................. 140 
Matrizes. Sistemas Lineares ...................................................................................... ....................... 179 
Trigonometria...................................................................................... .............................................. 217 
Tabelas e Gráficos..................................................................................... ....................................... 232 
Médias, Mediana e Moda..................................................................................... ............................. 245 
Geometria Plana ..................................................................................... .......................................... 256 
Geometria Espacial..................................................................................... ...................................... 269 
 
 
 
 
 
 
 
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Números Relativos Inteiros e Fracionários, Operações e Propriedades, 
Números Reais 
 
 
O conjunto dos números inteiros é definido por: {...-3,-2,-1,0,1,2,3...} 
Subconjuntos do conjunto : 
 
1) * + 
 
2) * + 
 
3) * + 
 
Podemos perceber que quando tratamos dos conjuntos 2 e 3, não fala apenas positivos e negativos, 
pois o zero está incluso. 
 
Operações com números inteiros 
 
Adição 
 
Primeiramente, vamos nomear: 
1ªparcela + 2ª parcela=soma ou total 
Propriedades 
Elemento neutro: 0 (zero) 
Se adicionarmos qualquer número ao zero, a soma é o número 
Ex: a+0=a 
2+0=2 
Comutativa 
Ordem das parcelas não altera a soma. 
Ex: -3+(-2)=-2+(-3) 
 -5=-5 
 
Subtração 
 
Minuendo-subtraendo=diferença 
Lembrando que nessa operação, temos que prestar atenção, pois como pode ser visto nos exemplos 
a seguir, o sinal muda: 
9-(-5)=9+5=14 
9-5=4 
 
Multiplicação 
 
1º fator x 2ºfator= produto 
Se os sinais são iguais, o resultado é positivo. 
Se os sinais são diferentes, o resultado é negativo. 
Ex: 
-3x(-2)=6 
-3x2=-6 
O elemento neutro da multiplicação é o 1, pois qualquer número multiplicado por 1, resulta no próprio 
número. 
Ex: 15x1=15 
 
Divisão 
 
Em termos dos sinais, a divisão acontece a mesma coisa que a multiplicação: 
Ex.: 
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Números Fracionários 
 
Fração nada mais é que uma parte, um pedaço de algo. 
Um exemplo básico e clássico, e quando queremos 3 partes de água em 5. 
 
Para demonstrar em números: 
 
 
 
 
Operações 
 
Adição e Subtração 
 
A adição ou subtração de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo 
denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que 
realizemos a soma ou a diferença de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos agora este outro exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, devemos achar o MMC. 
 
O MMC(2,3,6)=6, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
1. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na 
escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qualfração representa 
os alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
Somando português e matemática: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O que resta gosta de ciências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA: ―B‖. 
 
Multiplicação 
 
Basta que multipliquemos os seus numeradores entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus 
denominadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para realizar essa divisão, basta inverter a segunda fração e multiplicar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (UFABC/SP – TECNÓLOGO-TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO – VUNESP/2013) Um 
jardineiro preencheu parcialmente, com água, 3 baldes com capacidade de 15 litros cada um. O 
primeiro balde foi preenchido com 2/3 de sua capacidade, o segundo com 3/5 da capacidade, e o 
terceiro, com um volume correspondente à média dos volumes dos outros dois baldes. A soma dos 
volumes de água nos três baldes, em litros, é: 
(A) 27. 
(B) 27,5. 
(C) 28. 
(D) 28,5. 
(E) 29. 
 
Primeiro balde: 
 
 
 
 
 
Segundo balde: 
 
 
 
 
 
Terceiro balde: 
 
 
 
 
 
A soma dos volumes é: 10+9+9,5=28,5 litros 
 
RESPOSTA: ―D‖. 
 
O conjunto dos números reais são todos os subconjuntos menos os irracionais. 
 
 
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Os números naturais são apenas os números não-negativos: {0,1,2,3,4,5,..} 
Os números inteiros já foram citados acima. 
Falaremos dos números racionais, já foi falado um pouco sobre fração e esse conjunto nada mais é 
que se você consegue colocar o número em fração, então pertence a ele. 
As dízimas periódicas são números racionais. 
Período são os números que se repetem. 
Exemplo 
1- 3,33333.... 
2- 2,43434343... 
3- 5,567567567... 
 
Veja que não importa se temos apenas um número ou mais. 
Vamos aprender a como colocar esses números em fração. 
 
1- 
X=3,333... 
 
Como apenas um número se repete: 
10x=33,333... 
 
 
 
 
 
9x=30 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- 
X=2,434343... 
São dois números no período. 
 
100x=243,4343... 
 
 
 
 
 
99x=241 
 
 
 
 
 
E por último 
 
3- 
X=5,567567... 
São três números: 1000x=5567,567567... 
 
 
 
 
 
999x=5562 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como podemos perceber números com vírgula (decimais) podem ser transformados em frações e 
vice-versa. 
 
Operações 
 
Multiplicação de números decimais 
 
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Para essa multiplicação, fazemos normal e depois contamos o número de casas após a vírgula dos 
dois números. 
 
Divisão 
 
 
Um número com vírgula e outro não, temos que colocar a vírgula nos dois e cortamos, ficando com 
números sem vírgula. 
 
 
 
Potenciação 
 
Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da 
multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a 
representação dessa multiplicação que é a potenciação. 
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. 
 
 
Casos 
 
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1. 
 
 
 
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número. 
 
 
 
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em um número positivo. 
( ) 
( ) 
 
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, resulta em um número negativo. 
( ) 
( ) 
 
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o sinal para positivo e inverter o número 
que está na base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do expoente, o resultado será igual a 
zero. 
 
 
 
Propriedades 
 
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e adicionar-
se (soma) os expoentes. 
Exemplos: 
54 . 53 = 54+3= 57 
(5.5.5.5) .( 5.5.5)= 5.5.5.5.5.5.5 = 57 
 
2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. Conserva-se a base e subtraem os 
expoentes. 
Exemplos: 
96 : 92 = 96-2 = 94 
 
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
Exemplos: 
(52)3 = 52.3 = 56 
 
4) (a . b)n = an . bn Quando a base é um produto (multiplicação),ou quando (a : b)n = an : bn é um 
quociente (divisão). 
Exemplos: 
(3.5)2 = 32 . 52 = (15)2 
 
Radiciação 
 
Radiciação é a operação inversa a potenciação 
 
 
 
Casos 
 
1. Se m é par, todo número real positivo tem duas raízes: 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
2. Se m é ímpar, cada número tem apenas uma raiz: 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
3. n = 1 
Se n = 1, então 
1 a
= a 
 
1 10
= 10, porque 101 = 10 
 
4. n é par e a < 0 
Considere como exemplo a raiz quadrada de -36, onde a = -36 (negativo) e n = 2 (par). 
Não existe raiz quadrada real de -36, porque não existe número real que, elevado ao quadrado, dê -
36. 
Não existe a raiz real de índice par de um número real negativo. 
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Propriedade dos Radicais 
 
1ª Propriedade: 
 
Considere o radical 5555 1333 3  
 
De modo geral, se 
,,
*NnRa  
então: 
 
aan n 
 
 
O radical de índice n de uma potência com expoente também igual a n dá como resultado a base 
daquela potência. 
 
2ª Propriedade: 
 
Observe: 
  5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1

 
 
De modo geral, se 
,,,
*NnRbRa  
 então: 
 
nnn baba .. 
 
Radical de um produto Produto dos radicais 
 
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de 
mesmo índice dos fatores do radicando. 
 
3ª Propriedade: 
 
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1







 
 
De modo geral, se 
,,,
** NnRbRa 

então: 
 
n
n
n
b
a
b
a

 
 Radical de um quociente Quociente dos radicais 
 
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado é igual ao quociente dos radicais de 
mesmo índice dos termos do radicando. 
 
4ª Propriedade: 
 
Observe: 3 23212812 8 3333  
 
Então: 12 83 23 212 8 3333  e 
De modo geral, para 
,,,
*NnNmRa  
se p 
*N
, temos: pn pmn m aa . . 
 
Se p é divisor de m e n, temos: pn pmn m aa : : 
 
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Multiplicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural 
maior que zero, o valor do radical não se altera. 
 
Simplificação de Radicais 
 
1º Caso 
 
O índice do radical e o expoente do radicando têm fator comum. De acordo com a 4ª propriedade 
dos radicais podemos dividir o índice e o expoente pelo fator comum. 
 
Exemplo 
Dividindo o índice 9 e o expoente 3 e 6 por 3, temos: 
3 23:9 3:63:39 63 2.2.2 aaa 
 
 
2º Caso 
Os expoentes dos fatores do radicando são múltiplos do índice. Considere o radical 
,
.n pna
 com 
,Ra
*Nn
e 
.Zp
 Temos: pnpnn pn aaa  .. 
 
Assim, podemos dizer que, num radical, os fatores do radicando cujos expoentes são múltiplos do 
índice podem ser colocados fora do radical, tendo como novo expoente o quocienteentre o expoente e 
o índice. 
 
Exemplo 
44282482482 9..3..3..381 abbabababa 
 
 
Questões 
 
1. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que 
abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já 
entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
2. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Parque Estadual Serra do 
Conduru, localizado no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente 9.270 hectares. Dessa 
área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas. 
Qual é, em hectares, a área desse Parque NÃO ocupada por florestas? 
2.060 
(A) 2.640 
(B) 3.210 
(C) 5.100 
(D) 7.210 
 
3. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Multiplicando-se o maior 
número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado 
será: 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
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4. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – 
VUNESP/2013) O número de frações cujo valor está entre 1/4 e 5/9 e que possuem numerador inteiro 
positivo e denominador igual a 36, é: 
(A) 9. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 10. 
(E) 11. 
 
5. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDATEC/2013) Uma empresa foi multada por 
jogar resíduos tóxicos em um rio, cujo valor da multa foi de R$45.000,00 mais R$1.500,00 por dia até 
que a empresa se ajustasse às normas que regulamentam os índices de poluição. Sabendo que a 
empresa pagou R$79.500,00 de multa, o número de dias que levou para se ajustar às normas exigidas 
foi de: 
(A) 10. 
(B) 15. 
(C) 23. 
(D) 30. 
(E) 35. 
 
6. (SEAP – AGENTE DE ESCOLTA E VIGILÂNCIA PENITENCIÁRIA – VUNESP/2013) Para 
enfeitar os 14,76 metros de parede de um dos corredores de um colégio, foram pintados quadrados 
coloridos nas cores: azul (AZ), amarela (AM), verde (VD), laranja (L) e vermelha (VM), colados um ao 
lado do outro, sempre nessa mesma sequência de cores, conforme mostra a figura. 
 
 
Sabendo que cada quadrado tem 18 cm de lado e que a sequência foi iniciada com a cor azul, então 
a cor do último quadrado será: 
(A) amarela. 
(B) verde. 
(C) laranja. 
(D) azul. 
(E) vermelha. 
 
7. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE - 
UFT/2013) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. 
Durante uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse 
estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que havia 12 motos 
no estacionamento naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
8. (UFOP/MG – ADMINISTRADOR DE EDIFICIOS – UFOP/2013) Uma pessoa caminha 5 minutos 
em ritmo normal e, em seguida, 2 minutos em ritmo acelerado e, assim, sucessivamente, sempre 
intercalando os ritmos da caminhada (5 minutos normais e 2 minutos acelerados). A caminhada foi 
iniciada em ritmo normal, e foi interrompida após 55 minutos do início. 
O tempo que essa pessoa caminhou aceleradamente foi: 
(A) 6 minutos 
(B) 10 minutos 
(C) 15 minutos 
(D) 20 minutos 
 
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9. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ/2014) Sobre o conjunto dos números 
reais é CORRETO dizer: 
(A) O conjunto dos números reais reúne somente os números racionais. 
(B) R* é o conjunto dos números reais não negativos. 
(C) Sendo A = {-1,0}, os elementos do conjunto A não são números reais. 
(D) As dízimas não periódicas são números reais. 
 
10. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Analise as operações a seguir: 
I abac=ax 
 
II 
 
 
 
 
III ( ) 
De acordo com as propriedades da potenciação, temos que, respectivamente, nas operações I, II e 
III: 
(A) X=b-c, y=b+c e z=c/2. 
(B)X=b+c, y=b-c e z=2c. 
(C) X=2bc, y=-2bc e z=2c. 
(D) X=c-b, y=b-c e z=c-2. 
(E) X=2b, y=2c e z=c+2. 
 
11. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O resultado do produto: 
( √ ) (√ ) é: 
(A) √ 
(B) 2 
(C) √ 
(D) √ 
 
12. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO 
– EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Os números naturais eram inicialmente utilizados para facilitar a 
contagem. Identifique a alternativa que apresenta um número natural. 
(A) -4 
(B) 8 
(C)-7 
(D) -8/3 
(E) )5 
 
13. (COBRA TECNOLOGIA S-A (BB) – TÉCNICO ADMINISTRATIVO- ESPP/2013) Sejam as 
afirmações: 
I. A raiz quarta de um número inteiro não-negativo é um número inteiro não-negativo. 
II. Toda dízima é um número irracional. 
III. A notação científica do número 235000000 é igual a 23,5.107. 
IV. 
√ 
 √ . 
 
Pode-se dizer que são corretas: 
(A) I, II e IV, somente. 
(B) III e IV, somente. 
(C) Somente uma delas. 
(D) II e III, somente. 
 
14. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Uma operação λ é definida por: wλ = 1 − 6w, 
para todo inteiro w. 
Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma 2λ + (1λ) λ é igual a 
(A) −20. 
(B) −15. 
(C) −12. 
(D) 15. 
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(E) 20. 
 
15. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Considere as seguintes afirmações: 
I. Para todo número inteiro x, tem-se: 
 
 
 
 
II. . 
 
 / 
 
 
 
III. Efetuando-se .√ √ / (√ √ ) obtém-se um número maior que 5. 
 
Relativamente a essas afirmações, é certo que: 
 
(A) I,II, e III são verdadeiras. 
(B) Apenas I e II são verdadeiras. 
(C) Apenas II e III são verdadeiras. 
(D) Apenas uma é verdadeira. 
(E) I,II e III são falsas. 
 
16. (FESC – AGENTE DE APOIO SOCIOEDUCATIVO – VUNESP/2012) Para não esquecer a 
senha de seu cartão de crédito, que é formada por quatro algarismos, uma pessoa escreveu os 
números do seguinte modo: 
 
Sabendo-se que o valor de x é dado pela expressão √√ 
 
√ 
 , a senha dessa pessoa é: 
(A) 9756. 
(B) 7956. 
(C) 6759. 
(D) 6957. 
(E) 5679. 
 
17. (DPE/RS – ANALISTA ADMINISTRAÇÃO – FCC/2013) Em uma empresa, 2/3 dos funcionários 
são homens e 3/5 falam inglês. Sabendo que 1/12 dos funcionários são mulheres que não falam inglês, 
pode-se concluir que os homens que falam inglês representam, em relação ao total de funcionários, 
uma fração equivalente a: 
(A) 3/10 
(B) 7/20 
(C) 2/5 
(D) 9/20 
(E) 1/2 
 
18. (DPE/RS – ANALISTA ADMINISTRAÇÃO – FCC/2013) A soma S é dada por: 
 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 
Dessa forma, S é igual a: 
(A) √ 
(B) √ 
(C) √ 
(D) √ 
(E) √ 
 
19. (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC/2014) resultado dessa 
expressão numérica: 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
12 
 
é igual a 
(A) 256. 
(B) 128. 
(C) 64. 
(D) 512. 
(E) 1. 
 
20. (COPASA/MG – AGENTE INDUSTRIAL – GESTÃO DE CONCURSOS/2014) Pedro comprou 
um computador por R$ 3.200,00 e pagou à vista 2/5 desse valor. O restante ele vai pagar em 
prestações mensais de R$ 320,00. 
Assim sendo, é CORRETO afirmar que Pedro vai pagar um total de: 
(A) três prestações. 
(B) cinco prestações. 
(C) seis prestações. 
(D) sete prestações. 
 
Respostas 
 
1. RESPOSTA: ―A‖. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
2. RESPOSTA: ―A‖.3. RESPOSTA: ―D‖. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7. 
Menor inteiro maior que -8 é o -7. 
Portanto: 7(-7)=-49 
 
4. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O número de frações é: 
20-9-1=10 
 
5. RESPOSTA: ―C‖. 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
13 
 
79500-45000=34500 
 
 
 
 
 
6. RESPOSTA: ―A‖. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o último quadrado será igual a segunda cor: amarela 
 
7. RESPOSTA: ―B‖. 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
8. RESPOSTA: ―C‖. 
 
A caminhada sempre vai ser 5 minutos e depois 2 minutos, então 7 minutos ao total. 
Dividindo o total da caminhada pelo tempo, temos: 
 
 
 
 
 
 
Assim, sabemos que a pessoa caminhou 7. (5minutos +2 minutos) +6 minutos (5 minutos+1 minuto) 
Aceleradamente caminhou:14+1=15 minutos 
 
9. RESPOSTA: ―D‖. 
A) errada - O conjunto dos números reais tem os conjuntos: naturais, inteiros, racionais e irracionais. 
B) errada – R* são os reais sem o zero. 
C) errada - -1 e 0 são números reais. 
 
10. RESPOSTA: ―B‖. 
I da propriedade das potências, temos: 
II 
III 
 
11. RESPOSTA: ―D‖. 
 
( √ ) (√ ) (√ )
 
 √ √ 
 √ √ 
 
12. RESPOSTA: ―B‖. 
-4-inteiro 
-7-irracional 
-8/3-racional 
5-irracional 
 
13. RESPOSTA: ―C‖. 
 
√ 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
14 
 
 
II dízima pode ser racional, desde que seja periódica. 
 
III 
√ 
 
√ 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 
Somente a III está correta. 
 
14. RESPOSTA: ―E‖. 
Pela definição: 
 
Fazendo w=2 
 
 
 
( )
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
15. RESPOSTA: ―B‖. 
 
I 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II 
 
 
 √ 
 
 
10x=4,4444... 
-X=0,4444..... 
9x=4 
X=4/9 
 
 . 
 
 
/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III 
 √ 
 
 √ 
 
 
 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
16. RESPOSTA: ―C‖. 
 
 √
√ 
√ 
 √
 
 
 √ 
 
1º número 5+1=6 
2º número 5+2=7 
3º número 5 
4º número 10-1=9 
 
17. RESPOSTA: ―B‖. 
Mmc (3,5,12)=60 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 √ √ 
√ √ 
 √ √ √ 
 √ 
 
19. RESPOSTA: ―A‖. 
 
 
 
 
 
(( ) ) 
 
( ) 
 
 
 
( 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. RESPOSTA: ―C‖. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Múltiplos e Divisores, Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum 
 
Máximo Divisor Comum 
 
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores 
comuns desses números. 
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas: 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
16 
 
 Decompor o número em fatores primos 
 Tomar os fatores comuns com o menor expoente 
 Multiplicar os fatores entre si. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente. 
m.d.c( ) 
 
Mínimo Múltiplo Comum 
 
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero. 
Para calcular devemos seguir as etapas: 
 Decompor os números em fatores primos 
 Multiplicar os fatores entre si 
 
Exemplo: 
 
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos. 
Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão com algum dos números, não é 
necessário que os dois sejam divisíveis ao mesmo tempo. 
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua aparecendo. 
Assim, o mmc( ) 
 
ATENÇÃO 
Para saber qual dos dois você deve usar no exercício: 
-Para o mmc, normalmente o exercício mostra alguns números, e a pergunta é quando irão se 
encontrar novamente, daqui quantos dias o mesmo evento ocorrerá. 
 
Exemplo 
 
(SPTRANS – AJUDANTE GERAL – SERRVIÇOS GERAIS/ MENSAGEIRO – VUNESP/2012) Hoje, 
três pilotos se encontraram no saguão do aeroporto antes de os aviões decolarem. Sabe-se que o 1.º 
piloto decola desse aeroporto a cada 5 dias, o 2.º, a cada 8 dias, e, o 3.º, a cada 10 dias. 
Desse modo, esses três pilotos irão decolar desse aeroporto novamente, no mesmo dia, daqui a 
(A) 30 dias. 
(B) 40 dias. 
(C) 44 dias. 
(D) 48 dias. 
(E) 50 dias. 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
17 
 
 
 
Mmc(5,8,100=2³.5=40 dias 
 
RESPOSTA: ―B‖. 
 
-Para o mdc, normalmente a pergunta é no máximo quantos cabem em um pacote, qual o número 
máximo de tal coisa. 
 
Exemplo 
 
(FESC – AGENTE DE APOIO SOCIOEDUCATIVO – VUNESP/2012) Para fazer cocadas, uma 
senhora espalha a massa do doce sobre um tabuleiro retangular cujas medidas são 60 cm de 
comprimento por 68 cm de largura, de forma que essa massa preenche totalmente o tabuleiro. Sabe-se 
que as cocadas são cortadas em quadradinhos de maior tamanho possível e que não ocorre nenhuma 
sobra. Se forem consumidos 3/5 do total dessas cocadas, restarão ainda 
(A) 164. 
(B) 153. 
(C) 135. 
(D) 127. 
(E) 102. 
 
60x68=4080cm² 
 
 
MDC(60,68)=4 
A área do quadradinho deve ser de 4.4=16 cm² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
255-153=102 quadrados 
 
RESPOSTA: ―E‖. 
 
Questões 
 
1. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) O policiamento em uma praça da cidade é 
realizado por um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira: 
 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
18 
 
 
Toda vez que o grupo completo se encontra, troca informações sobre as ocorrências. O tempo 
mínimo em minutos, entre dois encontros desse grupo completo será: 
(A) 160 
(B) 200 
(C) 240 
(D) 150 
(E) 180 
 
2. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP/2013) Uma 
pizzaria funciona todos os dias da semana e sempre tem promoções para seus clientes. A cada 4 dias, 
o cliente tem desconto na compra da pizza de calabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas, 
ganha uma mini pizza doce, e uma vez por semana tem a promoção de refrigerantes. Se hoje estão as 
três promoções vigentes, esse ocorrido voltará a acontecer daqui a quantas semanas? 
(A) 40. 
(B) 12. 
(C) 84. 
(D) 22. 
(E) 7. 
 
3. (PGE/BA – ASSISTENTE DE PROCURADORIA – FCC/2013) O número de times que 
compõem a liga de futebol amador de um bairro, que é menor do que 50, permite que as equipes sejam 
divididas em grupos de 4,6 ou 8 componentes, sem que sobrem times sem grupo. Tendo apenas essas 
informações, é possível concluir que a liga é composta por x ou por y times. A soma x+y é igual a: 
(A) 96 
(B) 72 
(C) 60 
(D) 120 
(E) 80 
 
4. (IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP/2013) Uma concessionária 
pretende implantar torres de transmissão de energia em dois trechos distintos, tendo um deles 1200 m e 
o outro, 1680 m, observando-se as seguintes condições: 
• Deverá haver uma torre no inícioe outra no final de cada trecho; 
• A distância entre duas torres vizinhas deverá ser sempre a mesma nos dois trechos; 
• O número de torres a serem implantadas deverá ser o menor possível. 
Nessas condições, o número total de torres nesses dois trechos deverá ser igual a 
(A) 18. 
(B) 16. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
5. (COREN/SP – AGENTE ADMINISTRATIVO – VUNESP/2013)Uma clínica recebeu 840 
seringas de 5 mL, 1 440 seringas de 10 mL e 600 seringas de 20 mL, e quer distribuí-las em pacotes, 
sem misturar tamanhos, de modo que não haja sobras. Todos os pacotes devem ter a mesma 
quantidade de seringas, e essa quantidade deve ser a maior possível. Nessas condições, o número de 
pacotes formados será igual a: 
(A) 12. 
(B) 16. 
(C) 18. 
(D) 24. 
(E) 28. 
 
6. (COREN/SP – ADMINISTRADOR DE BANCO DE DADOS – VUNESP/2013) Duzentas pessoas 
inscreveram-se em um curso sobre hotelaria. Da região Norte, inscreveram-se 48 pessoas; da região 
Centro-Oeste, 88; e, da região Sul, 64 pessoas. Para a realização de uma atividade prática, a 
organização do curso decidiu montar grupos com esses inscritos de modo que os grupos tivessem o 
mesmo número de pessoas e também cada grupo tivesse pessoas somente de uma mesma região. 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
19 
 
Como cada grupo terá um instrutor, o menor número de instrutores que devem ser contratados para 
essa atividade prática é: 
(A) 8. 
(B) 12. 
(C) 21. 
(D) 25. 
(E) 32. 
 
7. (SESC/BA – CHEFE DE PRAÇA – PATISSARIA – FUNCAB/2013) Determine a soma do 
M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) com o M.D.C. (Máximo Divisor Comum) dos números 60 e 72. 
(A) 210 
(B) 182 
(C) 132 
(D) 360 
(E) 372 
 
8. (PREF. SERTÃOZINHO/SP – AGENTE DE TRÂNSITO – VUNESP/2012) Um navio tem 3 
sistemas independentes que enviam automaticamente pedidos de socorro (SOS) em casos de 
emergência. 
Um envia mensagens a cada 15 segundos, o outro, a cada 25 segundos e o terceiro, a cada 40 
segundos. Assim, é correto afirmar que o menor intervalo de tempo decorrido entre dois envios 
simultâneos de mensagens pelos três sistemas é, em minutos, igual a: 
(A) 8. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 15. 
(E) 18. 
 
9. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC/2014) Na linha 1 de um sistema de Metrô, 
os trens partem 2,4 em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 
minutos. Se dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse 
dia em que partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, 
(A) 10 minutos e 48 segundos. 
(B) 7 minutos e 12 segundos. 
(C) 6 minutos e 30 segundos. 
(D) 7 minutos e 20 segundos. 
(E) 6 minutos e 48 segundos. 
 
10. (COREN/SP – ADMINISTRADOR DE BANCO DE DADOS – VUNESP/2013) Duzentas pessoas 
inscreveram-se em um curso sobre hotelaria. Da região Norte, inscreveram-se 48 pessoas; da região 
Centro-Oeste, 88; e, da região Sul, 64 pessoas. Para a realização de uma atividade prática, a 
organização do curso decidiu montar grupos com esses inscritos de modo que os grupos tivessem o 
mesmo número de pessoas e também cada grupo tivesse pessoas somente de uma mesma região. 
Como cada grupo terá um instrutor, o menor número de instrutores que devem ser contratados para 
essa atividade prática é: 
(A) 8. 
(B) 12. 
(C) 21. 
(D) 25. 
(E) 32. 
 
11. (PROCON/SP – ANALISTA DE SUPORTE ADMINISTRATIVO I – VUNESP/2013) Uma 
costureira tem quatro carreteis de fitas com, respectivamente, 164 m, 136 m, 112 m e 84 m. Ela precisa 
cortar essas fitas em pedaços de mesmo comprimento, sendo cada pedaço o maior possível. O número 
máximo de pedaços obtidos e o comprimento, em metros de cada pedaço, serão, respectivamente, 
(A) 124 e 6. 
(B) 124 e 4. 
(C) 132 e 4. 
(D) 132 e 6. 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
20 
 
(E) 184 e 8. 
 
12. (FAPESP – ANALISTA ADMINISTRATIVO – VUNESP/2012) Suponha que de dois em dois 
anos uma fundação publique edital para bolsas em uma área A, de três em três anos para uma área B 
e, de 18 em 18 meses, para uma área C. Se em janeiro de 2012, essa fundação publicou, ao mesmo 
tempo, edital para essas três áreas, então o próximo ano previsto para que ela novamente publique 
edital para essas três áreas, ao mesmo tempo, será em: 
(A) 2015. 
(B) 2016. 
(C) 2017. 
(D) 2018. 
(E) 2019. 
 
13. (SAP/SP – AGENTE DE ESCOLTA E VIGILÂNCIA PENITENCIÁRIA – VUNESP/2012) Um 
ciclista ‗A‘ completa cada volta em uma pista circular em 12 minutos, outro ciclista ‗B‘ completa cada 
volta em 15 minutos, e um ciclista ‗C‘, em 20 minutos. Se os ciclistas A, B e C partem do mesmo ponto, 
no mesmo sentido e no mesmo instante, então os três ciclistas irão passar novamente juntos, no 
mesmo ponto, após: 
(A) 50 min. 
(B) 1 h. 
(C) 1 h e 5 min. 
(D) 1 h e 10 min. 
(E) 1 h e 15 min. 
 
14. (CAM. MUNICIPAL DE SÃO CAETANO DO SUL – AGENTE ADMINISTRATIVO – 
CAIPIMES/2012) Considere M o menor múltiplo comum e D o maior divisor comum dos números 30 e 
70. O quociente da divisão de M por D é: 
(A) 32. 
(B) 10. 
(C) 50. 
(D) 21. 
 
15. (PREF. HORIZONTE/CE – AGENTE DE ADMINISTRAÇÃO – SERCTAM/2012) Num país, as 
eleições para presidente acontecem de cinco em cinco anos e para governador acontecem de quatro 
em quatro anos. Se elas coincidirem neste ano 2012, a próxima vez que voltarão a coincidir será em? 
(A) 2020. 
(B) 2025. 
(C) 2042. 
(D) 2032. 
(E) 2035. 
 
16. (SPTRANS – AGENTE DE INFORMAÇÕES – VUNESP/2012) Uma pessoa está empacotando 
livros destinados a doações e percebeu que poderia fazer pacotes com 4, 5 ou 6 livros cada um e que 
sempre sobrariam 2 livros. Sabendo que todos os pacotes deverão conter o mesmo número de livros, 
pode-se concluir que o menor número de livros que essa pessoa irá doar será: 
(A) 74. 
(B) 70. 
(C) 68. 
(D) 62. 
(E) 58. 
 
17. (PREF. SERTÃOZINHO/SP – AGENTE DE TRÂNSITO – VUNESP/2012) Um navio tem 3 
sistemas independentes que enviam automaticamente pedidos de socorro (SOS) em casos de 
emergência. 
Um envia mensagens a cada 15 segundos, o outro, a cada 25 segundos e o terceiro, a cada 40 
segundos. Assim, é correto afirmar que o menor intervalo de tempo decorrido entre dois envios 
simultâneos de mensagens pelos três sistemas é, em minutos, igual a: 
(A) 8. 
(B) 10. 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
21 
 
(C) 12. 
(D) 15. 
(E) 18. 
 
18. (CRO/PR – AUXILIAR DE DEPARTAMENTO – QUADRIX/2012) Dados valores 81, 125, 225, 
250 e 405, qual deles não é divisor de 158? 
(A) 81 
(B) 125 
(C) 225 
(D) 250 
(E) 405 
 
19. (CRH/UNESP - AGENTE DE VIGILÂNCIA E RECEPÇÃO – VUNESP/2012) No pátio de uma 
empresa, há três terminais de carga: A, B e C de onde partem caminhões, sem interrupções, a cada 30 
minutos, 50 minutos e 40 minutos, respectivamente. Se às 8h da manhã havia um caminhão partindo de 
cada terminal, isso irá ocorrer novamente às: 
(A) 12 h. 
(B) 14 h. 
(C) 16 h. 
(D) 18 h. 
(E) 20 h. 
 
20. (SPTRANS – AJUDANTE GERAL – SERRVIÇOS GERAIS/ MENSAGEIRO – VUNESP/2012) 
Hoje, três pilotos se encontraram no saguão do aeroporto antes de os aviões decolarem. Sabe-se que o 
1.º piloto decola desse aeroporto a cada 5 dias, o 2.º, a cada 8 dias, e, o 3.º, a cada 10 dias. 
Desse modo, esses três pilotos irão decolar desse aeroporto novamente, no mesmo dia, daqui a: 
(A) 30 dias. 
(B) 40 dias. 
(C) 44 dias. 
(D) 48 dias. 
(E) 50 dias. 
 
Respostas 
 
1. RESPOSTA: ―C‖. 
Devemos achar o mmc(40,60,80) 
 
 
 ( ) 
 
2. RESPOSTA: ―B‖. 
 
Para saber quantas semanas, temos que achar o mmc(3,4,7) 
 
Mmc(3,4,7)=2.2.3.7=84 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
22 
 
A promoção volta a acontecer 84 dias 
1 semana—7 dias 
x-----------84 
x=12 semanas 
 
3. RESPOSTA: ―B‖.O mmc(4,6,8)=24 
Depois do 24, o número 48 é o próximo múltiplo e menor que 50 
X+y=24+48=72 
 
4. RESPOSTA: ―E‖. 
 
 
Mdc(1200,1680)=240 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como tem postes no começo e fim, devemos acrescentar 1 a cada. 
5+1=6 
7+1=8 
6+8=14 
 
5. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 
 
MDC(600,840, 1440)= 2³.3.5=120 
840/120=7 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
23 
 
1440/120=12 
600/120=5 
O número de pacotes formados será de : 7+12+5=24 
 
6. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 
Mdc(48,64,88)=2³=8 
88/8=11 
48/8=6 
64/8=8 
O número mínimo de instrutores é 11+6+8=25 
 
7. RESPOSTA: ―E‖. 
 
 
Mmc(60,72)=2³.3².5=360 
 
Mdc(60,72) =2².3=12 
 
360+12=372 
 
8. RESPOSTA: ―B‖. 
 
 
2³.3.5²=600s 
1min---60s 
x------600 
x=10 min 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
24 
 
 
9. RESPOSTA: ―B‖. 
 
Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o mmc(18,24) e dividir por 10, assim 
acharemos os minutos 
 
Mmc(18,24)=72 
Portanto, será 7,2 minutos 
1 minuto---60s 
0,2--------x 
X=12 segundos 
Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos 
 
10. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 
Mdc(48,64,88)=2³=8 
 
88/8=11 
48/8=6 
64/8=8 
 
O número mínimo de instrutores é 11+6+8=25 
 
11.RESPOSTA: ―B‖. 
 
 
Mdc(164,136,112,84)=2²=4 
 
164/4=41 
136/4=34 
112/4=28 
84/4=21 
 
41+34+28+21=124 
 
12. RESPOSTA: ―D‖. 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
25 
 
2 anos=24 meses 
3 anos=36 meses 
 
Mmc(18, 24, 36)=72 meses 
72 meses=6 anos 
2012+6=2018 
 
13. RESPOSTA: ―B‖. 
 
MMC(12,15,20)=2².3.5=60 minutos=1h 
 
14. RESPOSTA: ―D‖. 
 
Mmc(30,70)=2.3.5.7=210 
 
MDC(30,70)=2.5=10 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. RESPOSTA: ―D‖. 
Mmc(4,5)=20 
 
Portanto, se em 2012 coincidiu, acontecerá de novo em 2012+20=2032 
 
16. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 
Mmc(4, 5, 6)=2.2.3.5=60 
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26 
 
 
Se fosse 60 livros, não sobraria nenhum, como sobraram 2, são 62. 
Pois 62 é o menor número que sobraria 2 para 4, 5 ou 6. 
 
17. RESPOSTA: ―B‖. 
 
2³.3.5²=600s 
1min---60s 
x------600 
x=10 min 
 
18. RESPOSTA: ―D‖. 
158=38.58 
Qualquer número que tiver as mesmas bases será divisor. 
Fatorando os números: 
81=34 
125=5³ 
225=3².5² 
250=2.5³ 
405=34.5 
 
O único que tem uma base 2 é o 250. 
 
19. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 
 
Mmc(30,40,50) = 2³.3.5² = 600minutos = 10 horas 
 
8h+10h=18h 
 
RESPOSTA: ―D‖. 
 
20. RESPOSTA: ―B‖. 
 
 
Mmc(5,8,100=2³.5=40 dias. 
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27 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita: 
 
3x – 2 = 16 (equação de 1º grau) 
 
2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau) 
 
1 – 3x + 
5
2 = x + 
2
1 (equação de 1º grau)
 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos: 
- inverter operações; 
- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
 
Exemplo1 
 
Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 
3). 
 
Registro 
 
3x – 2 = 16 
 3x = 16 + 2 
 3x = 18 
 x = 
3
18 
 x = 6 
 
Exemplo 2 
Resolução da equação 1 – 3x + 
5
2 = x + 
2
1 , efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade. 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação por mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e 
isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as 
operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. 
 
Registro 
 
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2 
10 – 30x + 4 = 10 x + 5 
-30x -10x = 5 – 10 – 4 
-40x = -9 (-1) 
40x = 9 
x = 9/40 
x = 0,225 
 
Equações e Sistemas de Primeiro e Segundo Grau 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
28 
 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de 
um padrão visual. 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b. 
 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0. 
 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os 
demais termos do outro lado. 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Exemplo 
 
Resolução da equação 
 
2
25 x =   
33
3.2 2xxx


, usando o processo prático. 
 
Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, multiplicando os dois lados pelo m.m.c. 
(2;3) = 6. A seguir, passamos a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o processo 
prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e números à direita, invertendo operações. 
 
Registro 
 
    
33
3.2
2
25 2xxxx




 
    
3
.6
3
3.2
.6
2
25
.6
2xxxx




 
15(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2 
15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2 
15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2 
15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2 
17x – 2x2 + 42 = – 2x2 
17x – 2x2 + 2x2 = – 42 
17x = – 42 
x = 
17
42

 
Note que, de início, essa última equação aparentava ser de 2º grau por causa do termo 
3
2x

 no seu 
lado direito. Entretanto, depois das simplificações, vimos que foi reduzida a uma equação de 1º grau 
(17x = – 42). 
 
SISTEMA DO 1º GRAU 
 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava do 
preço unitário de dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou 
caderno com as informações que temos? 
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29 
 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é 
aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
Observações gerais 
 
Em tutoriais anteriores, já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas incógnitas, como 
exemplo: X + y = 7 x – y = 30 x + 2y = 9 x – 3y = 15 
Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções: 
X + y = 6 x – y = 7 
 
 
 
Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 
4 e y = 2, é a solução para as duas equações. 
 
Assim, é possível dizer que as equações 
X + y = 6 
X – y = 7 
 
Formam um sistema de equações do 1º grau.Exemplos de sistemas: 
 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
Resolução de sistemas 
 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
Exemplos: 
a) O par (4,3) pode ser a solução do sistema 
x – y = 2 
x + y = 6 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as 
equações: 
x - y = 2 x + y = 6 
4 – 3 = 1 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
30 
 
 
b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema 
x – y = 2 
x + y = 8 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as 
equações: 
x - y = 2 x + y = 8 
5 – 3 = 2 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro) 8 = 8 (verdadeiro) 
 
A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
Métodos para solução de sistemas do 1º grau. 
 
- Método de substituição 
 
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que ―extrair‖ o valor de uma 
incógnita é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
x – y = 2 
x + y = 4 
 
Vamos escolher uma das equações para ―extrair‖ o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 → x = 2 + y 
 
Agora iremos substituir o ―X‖ encontrado acima, na ―X‖ da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y) + y = 4 
2 + 2y = 4 → 2y = 4 -2 → 2y = 2 → y = 1 
 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
 
Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
- Método da adição 
 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das 
equações fornecidas. 
 
Observe: 
x – y = -2 
3x + y = 5 
 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
x – y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo ―Y‖ se anula. Isto tem que 
ocorrer para que possamos achar o valor de ―X‖. 
 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de ―x‖ ou ―y‖ não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
 
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31 
 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
3x + 2y = 4 
2x + 3y = 1 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o ―x‖ e encontramos o valor de ―y‖, fazemos o seguinte: 
- multiplica-se a 1ª equação por +2 
- multiplica-se a 2ª equação por – 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 ( x +2) 
2x + 3y = 1 ( x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
Questões 
 
01- (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Um funcionário de 
uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a 
semana. Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, 
o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia 
executado na 4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª 
semana é igual a 
A) 5/16. 
B) 1/6. 
C) 8/24. 
D) 1/ 4. 
E) 2/5. 
 
02- (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Bia tem 10 anos a 
mais que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
A) 3 anos. 
B) 7 anos. 
C) 5 anos. 
D) 10 anos. 
E) 17 anos. 
 
03- (SABESP – TÉCNICO EM SISTEMAS DE SANEAMENTO-QUÍMICA – FCC/2014) Uma 
empresa resolveu doar a seus funcionários uma determinada quantia. Essa quantia seria dividida 
igualmente entre 3, ou 5, ou 7 funcionários. Se fosse dividida entre 3 funcionários, cada um deles 
receberia 4 mil reais a mais do que se a quantia fosse dividida entre 7 funcionários. A diretoria da 
empresa resolveu dividir para 5 funcionários. Sendo assim, a quantia que cada um desses 5 
funcionários recebeu é, em reais, igual a: 
A) 4.600,00. 
B) 4.200,00. 
C) 4.800,00. 
D) 5.200,00. 
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32 
 
E) 3.900,00. 
 
04- (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Um técnico precisava arquivar x processos em 
seu dia de trabalho. Outro técnico precisava arquivar y processos, diferente de x, em seu dia de 
trabalho. O primeiro técnico arquivou, no período da manhã, 2/3 dos processos que precisava arquivar 
naquele dia. No período da tarde, esse técnico arquivou 3/8 dos processos que arquivara pela manhã e 
ainda restaram 14 processos para serem arquivados. O segundo técnico arquivou, no período da 
manhã, 3/5 dos processos que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, o segundo técnico 
arquivou 5/18 dos processos que arquivara pela manhã e ainda restaram 42 processos para serem 
arquivados. 
Dessa forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou mais processos no período da tarde 
superou o que o outro arquivou, também no período da tarde, em um número de processos igual a: 
A) 4. 
B) 18. 
C) 12. 
D) 30. 
E) 15. 
 
05- (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Os cidadãos que aderem voluntariamente à 
Campanha Nacional de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de 
acordo com o tipo e calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 
armas e pagou indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. 
A) 20 
B) 25 
C) 22 
D) 24 
E) 18 
 
06- (PETROBRAS - TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – 
CESGRANRIO/2013) Maria vende salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, 
R$1,50. Ontem ela faturou R$95,00 vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades. Quantos 
doces Maria vendeu? 
A) 20 
B) 25 
C) 30 
D) 35 
E) 40 
 
07- (BANCO DO BRASIL – ESCRITURÁRIO – FCC/2013) Dos 56 funcionários de uma agência 
bancária, alguns decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3 mulheres, e 1 
a cada 4 homens, totalizando 24 pessoas. A razão do número de funcionárias mulheres para o número 
de funcionários homens dessa agência é de: 
A) 3 para 4. 
B) 2 para 3. 
C) 1 para 2. 
D) 3 para 2. 
E) 4 para 5. 
 
08- (SABESP/SP – AGENTE DE SANEAMENTO AMBIENTAL – FCC/2014) Somando-se certo 
número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 
obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a: 
A) 52/25. 
B) 13/6. 
C) 7/3. 
D) 5/2. 
E) 47/23. 
 
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33 
 
09- (SABESP – TÉCNICO EM SISTEMAS DE SANEAMENTO-QUÍMICA – FCC/2014) Uma 
empresa resolveu doar a seus funcionários uma determinada quantia. Essa quantia seria dividida 
igualmente entre 3, ou 5, ou 7 funcionários. Se fosse dividida entre 3 funcionários, cada um deles 
receberia 4 mil reais a mais do que se a quantia fosse dividida entre 7 funcionários. A diretoria da 
empresa resolveu dividir para 5 funcionários. Sendo assim, a quantia que cada um desses 5 
funcionários recebeu é, em reais, igual a: 
A) 4.600,00. 
B) 4.200,00. 
C) 4.800,00. 
D) 5.200,00. 
E) 3.900,00. 
 
10- (TRF 3ª – ANALISTA JUDICIÁRIO-INFORMÁTICA – FCC/2014) O dinheiro de Antônio é a 
quarta parte do de Bianca que, por sua vez, é 80% do dinheiro de Cláudia.Mexendo apenas no dinheiro 
de Antônio, um aumento de x% fará com que ele fique com o mesmo dinheiro que Cláudia tem. Nas 
condições dadas, x é igual a: 
A) 500. 
B) 800. 
C) 900. 
D) 400. 
E) 300. 
 
11. (PARANAEDUCAÇÃO – MOTORISTA – UEL/COPS/2013) Um secretário consegue digitar um 
relatório técnico em 10 horas de trabalho. Outro secretário, colega seu, faz o mesmo trabalho em 8 
horas. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a quantidade de horas que ambos os 
secretários levariam para digitar o relatório técnico se trabalhassem juntos. 
(A) 4 h 22 min 50 s 
(B) 4 h e 24 min 
(C) 4 h 24 min e 6 s 
(D) 4 h 26 min e 4 s 
(E) 4 h 26 min e 40 s 
 
12. (DPE/SP – AGENTE DE DEFENSORIA PÚBLICA – FCC/2013) Carlos e Alberto disputam um 
jogo, um contra o outro, sendo que a cada jogada o dinheiro que um perde é equivalente ao que o outro 
ganha. De início, Carlos tem o dobro do dinheiro de Alberto para apostar. Depois de algumas partidas, 
Carlos perdeu R$ 400,00 e, nessa nova situação, Alberto passou a ter o dobro do dinheiro de Carlos. 
No início desse jogo, Carlos e Alberto tinham, juntos, para apostar um total de: 
A) R$ 1.200,00. 
B) R$ 1.100,00. 
C) R$ 1.250,00. 
D) R$ 1.150,00. 
E) R$ 1.050,00. 
 
13. (TRF 3ª – ANALISTA JUDICIÁRIO-INFORMÁTICA – FCC/2014) Um cofrinho possui apenas 
moedas de 25 centavos e moedas de 1 real, em um total de 50 moedas. Sabe-se que a diferença entre 
o total de moedas de 25 centavos e de 1 real do cofrinho, nessa ordem, é igual a 24 moedas. O total de 
moedas de maior valor monetário em relação ao total de moedas de menor valor monetário nesse 
cofrinho corresponde, em %, a, aproximadamente: 
(A) 35. 
(B) 42. 
(C) 28. 
(D) 32. 
(E) 44. 
 
14. (TRT 6ª – ANALISTA JUDICIÁRIO –ADMINISTRATIVA – FCC/2012) Para fazer um trabalho, 
um professor vai dividir os seus 86 alunos em 15 grupos, alguns formados por cinco, outros formados 
por seis alunos. Dessa forma, sendo C o número de grupos formados por cinco e S o número de grupos 
formados por seis alunos, o produto C⋅S será igual a: 
(A) 56. 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
34 
 
(B) 54. 
(C) 50. 
(D) 44. 
(E) 36. 
 
15. (SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC/2012) Em um campeonato de 
futebol, as equipes recebem, em cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e 
nenhum ponto se forem derrotadas. Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato 
havia perdido apenas dois jogos e acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe 
conquistou, nessas 30 partidas, é igual a: 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
 
16. (TJ/SP – CONTADOR JUDICIÁRIO – VUNESP/2013) Um ―cofrinho de economias‖ contém 
apenas x moedas de 10 centavos e y moedas de 25 centavos. Acrescentando-se nesse cofrinho mais x 
moedas de 50 centavos e y moedas de 1 real, o cofrinho ficará com 82 moedas, totalizando R$ 36,30. O 
total de dinheiro desse cofrinho, proveniente apenas das moedas de 25 centavos, é de: 
(A) R$ 4,25. 
(B) R$ 4,50. 
(C) R$ 3,75. 
(D) R$ 4,00. 
(E) R$ 5,75. 
 
17. (CODEMIG – ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO – GESTÃO DE CONCURSOS/2013) Paulinho 
participa de um jogo que é disputado em rodadas. Se uma rodada não lhe parece favorável, ele não 
entra; se parece favorável, entra. Quando acerta, ganha um ponto, mas perde 2 se erra. Paulinho 
entrou em 20 rodadas e fez onze pontos. 
Quantas rodadas ele acertou? 
(A) 3. 
(B) 14. 
(C) 17. 
(D) 20 
 
18. (COREN/SP – AGENTE ADMINISTRATIVO – VUNESP/2013) Antes do início da última rodada 
de certo jogo, a diferença entre o número de fichas de Mônica e o de Lívia era igual a 20. Na última 
rodada, ambas perderam 6 fichas cada, e assim, Mônica ficou com o triplo do número de fichas de 
Lívia. Desse modo, é correto afirmar que o número de fichas de Mônica, no final desse jogo, era igual a: 
(A) 15. 
(B) 18. 
(C) 24. 
(D) 30. 
(E) 33. 
 
19. (MPE/AC – ANALISTA ADMINISTRATIVO – FMP/2013) Considere as seguintes equações: 
2x + 3y =13 
e 
3x + 2y = 12 
Os valores de x e y que satisfazem as duas equações são, respectivamente: 
(A) 1 e 2. 
(B) 1 e 3. 
(C) 2 e 1. 
(D) 2 e 3. 
(E) 3 e 1. 
 
20. (COREN/SP – ADMINISTRADOR DE BANCO DE DADOS – VUNESP/2013) Uma equipe de 
instalação de internet e televisão a cabo consegue fazer 5 instalações por dia em casas que solicitam 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
35 
 
apenas a televisão, e 3 instalações por dia em casas que solicitam internet e televisão. Para otimizar o 
material a ser levado em um mesmo dia, essa equipe ou faz a instalação apenas de televisão ou faz a 
instalação dos dois produtos. 
Se essa equipe fez 50 instalações em 14 dias, o número de dias em que a equipe realizou instalação 
de televisão e internet supera o número de dias em que instalou apenas televisão em: 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
(E) 12. 
 
Respostas 
 
1. RESPOSTA: ―B‖. 
Tarefa: x 
Primeira semana:3/8x 
 
2 semana: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª e 2ª semana: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ª semana: 2y 
4ª semana: y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. RESPOSTA: ―A‖. 
Luana: x 
Bia: x+10 
Felícia: x+7 
Bia – Felícia = x+10-x-7=3 
 
3. RESPOSTA: ―B‖. 
 
Quantia: x 
 
 
 
 
 
 
 
m.m.c.(3,7)=21 
 
 
 
 
 
A quantia que vai ser dividida é de R$21.000,00 
 
 
 
 
 
4. RESPOSTA: ―C‖. 
Primeiro técnico 
Processos: x 
Manhã: 2/3x 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
36 
 
Tarde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarde: 
 
 
 
Segundo técnico 
Processos: y 
Manhã: 3/5y 
 
Tarde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. RESPOSTA: ―A‖. 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
 
 {
 
 
 
 
x=30-y 
 
Substituindo na 1ªequação: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
O total de indenizações foi de 20. 
 
6. RESPOSTA: ―C‖. 
Doces: x 
Salgados: y 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
37 
 
{
 ( )
 
 
 
{
 
 
 
 
Somando as duas equações: 
 
 
 
Ela vendeu 30 doces. 
 
7. RESPOSTA: ―A‖. 
Mulheres: x 
Homens: y 
 
{
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somando as duas equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m.m.c.(3,4)=12 
 
 
-5y=-160 
y=32 
x=24 
 
Razão de mulheres pra homens: 
 
 
 
 
 
 
 
8. RESPOSTA: ―B‖. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. RESPOSTA: ―B‖. 
Quantia: x 
 
 
 
 
 
 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
38 
 
 
m.m.c.(3,7)=21 
 
 
 
 
 
A quantia que vai ser dividida é de R$21.000,00. 
 
 
 
 
 
10. RESPOSTA: ―D‖. 
 
Cláudia: y 
 
Bianca: 0,8y 
 
Antônio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. RESPOSTA: ―E‖. 
 
() 
 
 
 
 
 
9h=40 
 
H=4,445 
 
1hora---60 minutos 
0,445-----x 
 
X=26,7 minutos 
 
1 minuto---60s 
0,7-----y 
 
Y=42s 
 
4h 26min 42s 
 
12. RESPOSTA: ―A‖. 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
39 
 
Carlos: C 
Alberto: A 
 
Início 
C=2A 
 
Depois de algumas partidas 
Carlos perdeu 400: 2A-400 
Alberto ganhou esses 400 e ficou com o dobro de Carlos 
 
A+400=2(2A-400) 
A+400=4A-800 
A+400=4A-800 
3A=1200 
A=400 
C=2A=800 
A+C=400+800=1200 
 
13. RESPOSTA: ―A‖. 
 
Moedas de 25 centavos: x 
Moedas de 1 real: y 
 
 {
 
 
 
 
Somando as duas equações: 
2x=74 
x=37 
y=13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. RESPOSTA: ―D‖. 
 
{
 
 
 
 
C=15-S 
 
Substituindo na primeira equação: 
 
5(15-S)+6S=86 
 
75-5S+6S=86 
 
S=11 
 
C=15-11=4 
 
 
 
15. RESPOSTA: ―E‖. 
Vitórias: x 
empate: y 
derrotas: 2 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
40 
 
 {
 ( )
 
 
 {
 
 
 
 
2x=30 
x=15 
 
16. RESPOSTA: ―B‖. 
 
2x+2y=82 
0,1x+0,25y+0,5x+y=36,30 
0,6x+1,25y=36,30 
 
 {
 ( )
 
 
 
 {
 ( )
 
 
 
 {
 
 
 
 
Somando as duas equações 
O,65y=11,7 
y=18 
 
x=41-18=23 
moedas de 25 centavos: 180,25=4,50 
 
17. RESPOSTA: ―C‖. 
Acertos: x 
Erros: y 
 
{
 
 
 
 
Subtraindo as duas equações 
3y=9 
Y=3 
X=20-3=17 
 
18. RESPOSTA: ―D‖. 
 
Mônica:x 
Lívia : y 
 
x-y=20 
x-6=3(y-6) 
x-6=3y-18 
x-3y=-12 
 
{
 
 
 
{
 ( )
 
 
{
 
 
 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
41 
 
Somando as duas equações: 
 
 
 
Final do jogo Mônica tinha 6 fichas a menos, então: 36-6=30 
 
19. RESPOSTA: ―D‖. 
 
 {
 ( )
 ( )
 
 
 {
 
 
 
 
Somando as duas equações 
-5y=-15 
Y=3 
2x+9=13 
2x=4 
X=2 
 
20. RESPOSTA: ―B‖. 
 
Instalações de televisão:x 
Instalações de internet e televisão: y 
 
{
 
 ( )
 
 
{
 
 
 
 
Somando as duas equações 
-2y=-20 
Y=10 
X=14-y 
X=14-10=4 
10-4=6 dias 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, 
b, c são números reais e a ≠ 0. 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação: 
- a é sempre o coeficiente do termo em x2. 
- b é sempre o coeficiente do termo em x. 
- c é sempre o coeficiente ou termo independente. 
 
Equação completa e incompleta: 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
5x2 – 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = – 8, c = 3). 
y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12, c = 20). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
42 
 
x2 – 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = – 81). 
10t2 +2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0). 
5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos 
reduzi-las a essa forma. 
 
Exemplo: Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo: Pelo princípio multiplicativo. 
42
12


x
x
x
 
 
   
   42
2
42
44.4 2




xx
x
xx
xxx
 
 
4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2 
4x – 16 – x2 + 4x = 2x2 
– x2 + 8x – 16 = 2x2 
– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0 
– 3x2 + 8x – 16 = 0 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. 
- A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
 
x2 + 9 = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 
 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
- A equação é da forma ax2 + c = 0. 
 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0 
 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Fórmula de Bhaskara 
 
Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º 
grau de maneira mais simples. Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara. 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
43 
 
a
b
x
.2


 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante ; temos então, 
três casos a estudar. 
 
1º caso:  é um número real positivo ( > 0). 
Neste caso, 

 é um número real, e existem dois valores reais diferentes para a incógnita x, sendo 
costume representar esses valores por x‘ e x‖, que constituem as raízes da equação. 
 
a
b
x
.2


 
a
b
x
.2
'


 
 
a
b
x
.2
''


 
 
2º caso:  é zero ( = 0). 
 
Neste caso, 

 é igual a zero e ocorre: 
 
a
b
x
.2


= 
a
b
x
.2
0

= 
a
b
.2
0 = 
a
b
2

 
 
Observamos, então, a existência de um único valor real para a incógnita x, embora seja costume 
dizer que a equação tem duas raízes reais e iguais, ou seja: 
 
x‘ = x‖ = 
a
b
2

 
 
3º caso:  é um número real negativo ( < 0). 
Neste caso, 

 não é um número real, pois não há no conjunto dos números reais a raiz quadrada 
de um número negativo. 
Dizemos então, que não há valores reais para a incógnita x, ou seja, a equação não tem raízes reais. 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante  = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Na equação ax2 + bx + c = 0 
-  = b2 – 4.a.c 
- Quando  ≥ 0, a equação tem raízes reais. 
- Quando  < 0, a equação não tem raízes reais. 
-  > 0 (duas raízes diferentes). 
-  = 0 (uma única raiz). 
 
Exemplo: Resolver a equação x2 + 2x – 8 = 0 no conjunto R. 
 
Temos: a = 1, b = 2 e c = – 8 
 
 = b2 – 4.a.c = (2)2 – 4 . (1) . (–8) = 4 + 32 = 36 > 0 
 
Como  > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por: 
 
 
a
b
x
.2


=  
  2
62
1.2
362 

 
 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
44 
 
x‘ = 
2
2
4
2
62


 x‖ = 
4
2
8
2
62




 
 
Então: S = {-4, 2}. 
 
 
Questões 
 
1. Se x2 = – 4x, então: 
A) x = 2 ou x = 1 
B) x = 3 ou x = – 1 
C) x = 0 ou x = 2 
D) x = 0 ou x = – 4 
E) x = 4 ou x = – 1 
 
2. As raízes reais da equação 1,5x2 + 0,1x = 0,6 são: 
A) 
5
2 e 1B) 
3
2
5
3
e
 
C)
5
2
5
3
 e
 
D) 
3
2
5
2
e
 
E) 
3
2
5
3
e
 
 
3. As raízes da equação x3 – 2x2 – 3x = 0 são: 
A) –2, 0 e 1 
B) –1, 2 e 3 
C) – 3, 0 e 1 
D) – 1, 0 e 3 
E) – 3, 0 e 2 
 
4. Verifique se o número 5 é raiz da equação x2 + 6x = 0. 
 
5. Determine o valor de m na equação x2 + (m + 1)x – 12 = 0 para que as raízes sejam simétricas. 
 
6. Determine o valor de p na equação x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 para que as raízes sejam simétricas. 
 
7. (U. Caxias do Sul-RS) Se uma das raízes da equação 2x2 – 3px + 40 = 0 é 8, então o valor de p 
é: 
A) 5 
B) 
3
13 
C) 7 
D) – 5 
E) – 7 
 
8. O número de soluções reais da equação: 
4
32
46
2
32



xx
xx
, com x ≠ 0 e x ≠ 
2
3 é: 
A) 0 
B) 1 
C) -2 
D) 3 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
45 
 
E) 4 
 
9. O(s) valor(es) de B na equação x2 – Bx + 4 = 0 para que o discriminante seja igual a 65 é(são): 
A) 0 
B) 9 
C) –9 
D) –9 ou 9 
E) 16 
 
10. Um valor de b, para que a equação 2x2 + bx + 2 = 0 tenha duas raízes reais e iguais é: 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
E) 6 
 
Respostas 
1- Resposta ―D‖. 
 
Solução: 
x2 = – 4x 
x2 + 4x = 0 
x (x + 4) = 0 
x = 0 x + 4 = 0 
x = -4 
 
2- Resposta ―E‖. 
 
Solução: 
1,5x2 + 0,1x = 0,6 
1,5x2 + 0,1x - 0,6 = 0 (x10) 
15x2 +1x - 6 = 0 
 = b2 – 4.a.c 
 = 12 – 4 . 15 . – 6 
 = 1 + 360 
 = 361 
 
15.2
3611
x
= 
30
191
 
3
2
30
20
5
3
30
18


 ou
 
 
3- Resposta ―D‖. 
 
Solução:
 
x3 – 2x2 – 3x = 0 
x (x2 – 2x – 3) = 0 
x = 0 x2 – 2x – 3 = 0 
 
 = b2 – 4.a.c 
 = -22 – 4 . 1 . – 3 
 = 4 + 12 
 = 16 
 
1.2
16)2( 
x
= 
2
42 
 
1
2
23
2
6


 ou
 
 
4- Resposta ―Não‖. 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
46 
 
 
Solução: 
S=
6
1
6




a
b
 
P=
0
1
0

a
c
 
Raízes: {-6,0} 
 
Ou x2 + 6x = 0 
 x (x + 6) = 0 
 x=0 ou x+6=0 
 x=-6 
 
5- Resposta ―-1‖. 
 
Solução: 
S=
1
1
)1(




m
m
a
b
 
P=
12
1
12



a
c
 
 
-m-1=0 
m=-1 
 
6- Resposta ―-5/2‖. 
 
Solução: 
x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 (-1) 
-x2 +(2p + 5)x + 1 = 0 
 
S=
52
1
)52(




 pp
a
b
 
P=
1
1
1



a
c
 
2p + 5 = 0 
2p = -5 
p = - 5/2 
 
7- Resposta ―C‖. 
 
Solução: 
2x2 – 3px + 40 = 0 
282 – 3p8 + 40 = 0 
2.64 – 24p + 40 = 0 
128 – 24p + 40 = 0 
-24p = - 168 (-1) 
p = 168/24 
p = 7 
 
8- Resposta ―C‖. 
 
Solução: 
4)32(
)46(
32
46 2
2
32






xx
xxx
xx
xx
 
-8x + 12 = -6x + 4x2 
4x2 + 2x - 12 = 0 
 = b2 – 4.a.c 
 = 22 – 4 . 4 . -12 
 = 4 + 192 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
47 
 
 = 196 
4.2
1962
x
= 
8
142
 
2
8
16
2
3
8
12


 ou
 
 
9- Resposta ―D‖. 
 
Solução:
 
x2 – Bx + 4 = 0 
b2 – 4.a.c 
b2 – 4 . 1 . 4 
b2 – 16 = 65 
b2= 65 + 16 
b =√ 
b = 9 
b = -B 
B = ±9 
 
10- Resposta ―C‖. 
 
Solução: 
2x2 + bx + 2 = 0 
b2 – 4.a.c 
b2 – 4 . 2 . 2 
b2 - 16 
b2 = 16 
b =√ 
b = 4 
 
 
 
INEQUAÇÃO DO 1˚ GRAU 
 
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. As inequações 
 
x + 5 > 12 e 2x – 4

 x + 2 
 
são do 1º grau, isto é, aquelas em que a variável x aparece com expoente 1. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. Na inequação x 
+ 5 > 12, por exemplo, observamos que: 
 
A variável é x; 
O primeiro membro é x + 5; 
O segundo membro é 12. 
 
Na inequação 2x – 4

 x + 2: 
 
A variável é x; 
O primeiro membro é 2x – 4; 
O segundo membro é x + 2. 
 
Propriedades da desigualdade 
Inequações 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
48 
 
 
Propriedade Aditiva: 
 
 Mesmo sentido 
 
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 + 2 > 3 + 2, isto é: 10 > 5. 
 
 Somamos +2 aos dois membros da desigualdade 
 
Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos 
seus dois membros. 
 
Propriedade Multiplicativa: 
 
 Mesmo sentido 
 
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . 2 > 3 . 2, isto é: 16 > 6. 
 
 Multiplicamos os dois membros por 2 
 
Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por 
um mesmo número positivo. 
 
 Mudou de sentido 
 
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . (–2) < 3 . (–2), isto é: –16 < –6 
 
 Multiplicamos os dois membros por –2 
 
Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
Resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade a partir de um conjunto universo dado. 
Vejamos, através do exemplo, a resolução de inequações do 1º grau. 
 
a) x < 5, sendo U = N 
 
 
Os números naturais que tornam a desigualdade verdadeira são: 0, 1, 2, 3 ou 4. Então V = {0, 1, 2, 3, 
4}. 
 
b) x < 5, sendo U = Z 
 
 
Todo número inteiro menor que 5 satisfaz a desigualdade. Logo, V = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}. 
 
c) x < 5, sendo U = Q 
 
Todo número racional menor que 5 é solução da inequação dada. Como não é possível representar 
os infinitos números racionais menores que 5 nomeando seus elementos, nós o faremos por meio da 
propriedade que caracteriza seus elementos. Assim: V = {x 

 Q / x <5} 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: 
 
A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo de maneira semelhante à resolução de 
equações, ou seja, transformando cada inequação em outra inequação equivalente mais simples, até se 
obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo 
1187253 E-book gerado especialmente para MAGNO SILVA
 
49 
 
 
Resolver a inequação 4(x – 2) 

 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
 
4(x – 2) 

 2 (3x + 1) + 5 
4x – 8 

 6x + 2 + 5 aplicamos a propriedade distributiva 
4x – 6x 

 2 + 5 + 8 aplicamos a propriedade aditiva 
–2x 

 15 reduzimos os termos semelhantes 
 
Multiplicando os dois membros por –1, devemos mudar o sentido da desigualdade. 
 
2x 

 –15 
 
Dividindo os dois membros por 2, obtemos: 
 
2
15
2
15
2
2
 x
x
 
Logo, V = 







2
15| xQx
. 
 
Vamos determinar o conjunto verdade caso tivéssemos U = Z. 
Sendo 
5,7
2
15

, vamos indicá-lo na reta numerada: 
 
 
 
 
 
 
Logo, V = {–7, –6, –5, –4, ...} ou V = {x 

 Z| x 

 –7}. 
 
INEQUAÇÕES DO 2˚ GRAU 
 
Chamamos inequação do 2º grau às sentenças: 
 
ax2 + bx + c > 0 
ax2 + bx + c 

 0 
ax2 + bx + c < 0 
ax2 + bx + c 

 0 
 
Onde a, b, c são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é a incógnita. 
 
Estudo da variação de sinal da função do 2º grau: 
 
- Não é necessário que tenhamos a posição exata do vértice, basta que ele esteja