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1 IBGE Recenseador 1 Números reais. 1.1 Operações e problemas. .................................................................... 1 2 Porcentagens. 2.1 Problemas que envolvem cálculo de percentuais. ............................... 7 3 Função do 1º grau. 3.1 Representações algébrica e gráfica. .......................................... 14 4 Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. ........... 30 5 Resolução de equações do 2º grau. ............................................................................... 38 6 Unidades de medida (de comprimento, volume, capacidade, tempo, massa, temperatura e área) e resolução de problemas envolvendo grandezas (comprimento, volume, capacidade, tempo, massa, temperatura e área). ....................................................................................... 45 7 Problemas envolvendo o cálculo de área e perímetro de figuras planas e volume. ......... 54 8 Leitura de mapas e plantas baixas. 9 Localização e movimentação utilizando mapas e plantas baixas. ....................................................................................................................... 77 10 Leitura e interpretação de tabelas e gráficos. ................................................................ 88 Olá Concurseiro, tudo bem? Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 01. Apostila (concurso e cargo); 02. Disciplina (matéria); 03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 04. Qual a dúvida. Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até três dias úteis para respondê-lo (a). Não esqueça de mandar um feedback e nos contar quando for aprovado! Bons estudos e conte sempre conosco! 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 1 O conjunto dos números reais1 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Assim temos: R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa). Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: - Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} - Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} - Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} - Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} - Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} Representação Geométrica dos números reais Ordenação dos números reais A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0 Intervalos reais O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. Em termos gerais temos: - A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: > ;< ou ] ; [ 1IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 1 Números reais. 1.1 Operações e problemas. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 2 - A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: ≥ ; ≤ ou [ ; ] Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o sinal. Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. Operações com números relativos 1) Adição e subtração de números relativos a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do maior numeral. Exemplos: 3 + 5 = 8 4 - 8 = - 4 - 6 - 4 = - 10 - 2 + 7 = 5 2) Multiplicação e divisão de números relativos a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. Exemplos: - 3 x 8 = - 24 - 20 (-4) = + 5 - 6 x (-7) = + 42 28 2 = 14 Questões 01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 3 (A) 4. (B) 5. (C) 7. (D) 8. (E) 10. 02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: I- (20 – m) é um número menor que 20. II- (20 m) é um número maior que 20. III- (20 m) é um número menor que 20. É correto afirmar que: (A) I, II e III são verdadeiras. (B) apenas I e II são verdadeiras. (C) I, II e III são falsas. (D) apenas II e III são falsas. 03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto que melhor representa a diferença 3 4 − 1 2 na reta dos números reais é: (A) P. (B) Q. (C) R. (D) S. 04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá- las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas. (A) 36. (B) 57. (C) 78. (D) 92. 05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, Zeca percorre uma distância igual a 3 4 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 75 de um quilômetro, então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a (A) 2 3 (B) 3 4 (C) 1 2 (D) 4 5 (E) 3 5 06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 4 (A) 1,111. (B) 2,003. (C) 2,893. (D) 1,003. (E) 2,561. 07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a (A) 5/16. (B) 1/6. (C) 8/24. (D)1/ 4. (E) 2/5. 08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: (A) 145. (B) 133. (C) 127. (D) 118. 09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a (A) 87. (B) 59. (C) 28. (D) 65. (E) 63. 10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu (A) R$ 74.000,00. (B) R$ 93.000,00. (C) R$ 98.000,00. (D) R$ 102.000,00. (E) R$ 106.000,00. Comentários 01. Alternativa: D. Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 * 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 2.x = 3791 + 15 x = 3806 / 2 x = 1903 * 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 2.x = 1903 + 15 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 5 x = 1918 / 2 x = 959 * 2ª partida: 959 = 2.x – 15 2.x = 959 + 15 x = 974 / 2 x = 487 * 1ª partida: 487 = 2.x – 15 2.x = 487 + 15 x = 502 / 2 x = 251 Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 02. Alternativa: C. I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 03. Alternativa: A. 3 4 − 1 2 = 3 − 2 4 = 1 4 = 0,25 04. Alternativa: D. Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva nas três equações abaixo: De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 05. Alternativa: E. Ida + volta = 7/5 . 1 3 4 . 𝑥 + 𝑥 = 7 5 5.3𝑥+ 20𝑥=7.4 20 15𝑥 + 20𝑥 = 28 35𝑥 = 28 𝑥 = 28 35 (: 7/7) 𝑥 = 4 5 (volta) Ida: 3 4 . 4 5 = 3 5 06. Alternativa: C. 1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 99 – 10 + 1 = 90. OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml De 100 a 999 999 – 100 + 1 = 900 números 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 6 9000,003 = 2,7 ml 1000 = 0,004ml Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 07. Alternativa: B. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 2 semana: 1 3 ∙ 3 8 𝑥 = 1 8 𝑥 1ª e 2ª semana: 3 8 𝑥 + 1 8 𝑥 = 4 8 𝑥 = 1 2 𝑥 Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 2𝑦 + 𝑦 = 1 2 𝑥 3𝑦 = 1 2 𝑥 𝑦 = 1 6 𝑥 08. Alternativa: B. Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: D = d.Q + R Sabemos que o R = 5 O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 09. Alternativa: B. * número 40: é par. 40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 * número 35: é ímpar. Seu maior divisor é 35. 35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 * número 66: é par. 66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 * número 27: é ímpar. Seu maior divisor é 27. 27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 * Por fim, vamos somar os resultados: 37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 10. Alternativa: B. Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: * Breno: 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟑 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟔 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 x = 62000 . 6 x = R$ 372000,00 * Carlos: 𝟏 𝟒 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 7 Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou simplesmente de porcentagem2. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" se está referenciando. Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 𝒙% = 𝒙 𝟏𝟎𝟎 Exemplos: 01. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 02/02/2013 e 02/02/2014. Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 50 500 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 50 400 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. Quem obteve melhor rentabilidade? Resolução: Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), para isso, vamos simplificar as frações acima: 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒ 50 500 = 10 100 , = 10% 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒ 50 400 = 12,5 100 , = 12,5% Com isso podemos concluir que Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. Uma outra maneira de expressar será apenas dividir o numerador pelo denominador, ou seja: 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒ 50 500 = 0,10 = 10% 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒ 50 400 = 0,125 = 12,5% 02. Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes na classe? Resolução: 2IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único http://www.porcentagem.org http://www.infoescola.com 2 Porcentagens. 2.1 Problemas que envolvem cálculo de percentuais. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 8 A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 18 30 . Devemos expressar essa razão na forma centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 18 30 = 𝑥 100 ⟹ 𝑥 = 60 E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 18 30 = 0,60(. 100%) = 60% Lucro e PrejuízoÉ a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). Podemos ainda escrever: C + L = V ou L = V - C P = C – V ou V = C - P A forma percentual é: Exemplos: 01. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. Resolução: Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 𝑎) 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 . 100% ≅ 33,33% 𝑏) 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎 . 100% = 25% 02. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: A) R$ 25,00 B) R$ 70,50 C) R$ 75,00 D) R$ 80,00 E) R$ 125,00 Resolução: 𝐿 𝐶 . 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 Resposta D Aumento e Desconto Percentuais A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 + 𝒑 𝟏𝟎𝟎 ).V . Logo: VA = (𝟏 + 𝒑 𝟏𝟎𝟎 ).V 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 9 Exemplos: 01. Aumentar um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: (1 + 20 100 ).V = (1+0,20).V = 1,20.V 02. Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: (1 + 200 100 ).V = (1+2).V = 3.V 03. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo é aumentada de: (A)35% (B)30% (C)3,5% (D)3,8% (E) 38% Resolução: Área inicial: a.b Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. Logo, alternativa E. B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 − 𝒑 𝟏𝟎𝟎 ).V. Logo: V D = (𝟏 − 𝒑 𝟏𝟎𝟎 ).V Exemplos: 01. Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: (1 − 20 100 ). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 02. Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: (1 − 40 100 ). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 03. O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era o seu valor antes do desconto? Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. V D = (1 − 𝑝 100 ). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 O valor antes do desconto é de R$ 125,00. A esse valor final de (𝟏 + 𝒑 𝟏𝟎𝟎 ) ou (𝟏 − 𝒑 𝟏𝟎𝟎 ), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto. Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: Aumentos e Descontos Sucessivos São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 10 Vejamos alguns exemplos: 01. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? Utilizando VA = (1 + 𝑝 100 ).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único aumento de 21%. Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 02. Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: Utilizando VD = (1 − 𝑝 100 ).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 100% - 64% = 36% Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 03. Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? Utilizando VA = (1 + 𝑝 100 ).V para o aumento e VD = (1 − 𝑝 100 ).V, temos: VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo em uma única equação: 5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 Questões 01. (MPE/GO – Auxiliar Administrativo – MPE/GO/2018) João e Miguel são filhos de Pedro e recebem pensão alimentícia do pai no percentual de 20% sobre o seu salário, cada um. Considerando que os rendimentos de Pedro são de R$ 2.400,00 mensais, quantos reais sobram para Pedro no final do mês? (A) R$ 1.510,00 (B) R$ 1.920,00 (C) R$ 960,00 (D) R$ 1.440,00 (E) R$ 480,00 02. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE/GO/2018) Joana foi trazer compras. Encontrou um vestido de 150 reais. Descobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de muito pensar, Joana pagou à vista o tal vestido. Quanto ela pagou? (A) 120,00 reais; (B) 112,50 reais (C) 127,50 reais. (D) 97,50 reais. (E) 95,00 reais. 03. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2018) O preço de um automóvel, à vista, é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo automóvel seja pago em 18 parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a compra do automóvel, o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em (A) 20%. (B) 12%. (C) 10%. (D) 15%. (E) 22%. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 11 04. (SANEAGO/GO – Agente de Saneamento – UFG/2018) As vendas de Natal em 2017 nos shopping centers cresceram 6% em relação a 2016, movimentando R$ 51,2 bilhões [O Estado de S. Paulo, 27/12/2017, p. B1]. De acordo com essas informações, o valor movimentado, em bilhões, pelos shopping centers com as compras de Natal em 2016 foi, aproximadamente, de (A) R$ 45,13 (B) R$ 48,20 (C) R$ 48,30 (D) R$ 50,14 05. (SEAD/AP – Assistente Administrativo – FCC/2018) Em uma empresa, o departamento de recursos humanos fez um levantamento a respeito do número de dependentes de cada funcionário e organizou os resultados na seguinte tabela: A porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente é igual a (A) 60%. (B) 40%. (C) 50%. (D) 33%. (E) 66%. 06. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO/2018) Um comerciante comprou algumas geladeiras, ao preço unitário de R$ 1.550,00, e conseguiu vender apenas algumas delas. Em cada geladeira vendida, o comerciante obteve um lucro de 16% sobre o preço de compra, e o lucro total obtido com todas as geladeiras vendidas foi de R$ 26.040,00. Quantas geladeiras o comerciante vendeu? (A) 15 (B) 45 (C) 75 (D) 105 (E) 150 07. (Câm. de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: (A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. (B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. (C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. (D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 35%. Qual o preço do televisor na liquidação? (A) R$ 1.300,00 (B) R$ 1.315,00 (C) R$ 1.330,00 (D) R$ 1.345,00 (E) R$ 1.365,00 09. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16%que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra? (A) 67%. (B) 61%. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 12 (C) 65%. (D) 63%. (E) 69%. 10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a seguinte promoção: Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda embalagem. Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: (A) R$ 33,60 (B) R$ 28,60 (C) R$ 26,40 (D) R$ 40,80 (E) R$ 43,20 11. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do valor, que possuía é de: (A) 58% (B) 68% (C) 65% (D) 77,5% Comentários 01. Resposta: D Para resolver esta questão devemos encontrar 20% do salário de Pedro, ou seja: 2.400,00 x 20% = 2400 x 0,20 = 480,00 que é o valor que ele paga de pensão, mas como são 2 filhos será 480 + 480 = 960,00, portanto o valor que ele recebe será de 2400 – 960 = 1440,00. 02. Resposta: D Vamos calcular quanto representa 35% de 150 reais. 150 x 0,35 = 52,50 (é o valor do desconto) Logo o valor do vestido à vista será de: 150,00 – 52,50 = 97,50. 03. Resposta: C Primeiramente vamos encontrar o valor o automóvel financiado em 18 parcelas de 2.200: 18 x 2.200 = 39.600. Agora basta fazermos uma regra de três simples onde o valor à vista de 36.000,00 será os 100% e do resultado o que aumentar além dos 100% será o valor da porcentagem de acréscimo. 36000 ---- 100 39600 ---- x 36000x = 39600 . 100 36000x = 3960000 x = 3960000 36000 = 110 Assim o valor financiado passou a ser 110%, logo o aumento foi de 110 – 100 = 10% 04. Resposta: C Primeiramente devemos saber que 51,2 bilhões já está com o aumento de 6% então ele representa 106%, agora basta descobrir o valor ante do aumento, através de uma regra de três simples. 51,2 ---- 106 x ---- 100 106x = 51,2 . 100 106x = 5120 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 13 x = 5120 106 = 48,30 aproximadamente. 05. Resposta: B Aqui devemos ficar atentos pois existe uma pegadinha, observe que o número de funcionários que têm um ou mais dependentes é de 15, e na outra coluna o número de funcionários que têm dois ou mais dependentes é de 5, assim estes 5 já estão inclusos nos 5, portanto o total de funcionários será 10 + 15 = 25 e também temos que o número de funcionários que terão apenas 1 dependente será 15 – 5 = 10 funcionários. Vamos agora encontrar a porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente: 10 25 = 0,40 = 40% 06. Resposta: D O primeiro passo é saber quanto que o comerciante lucra por geladeira, com ele lucra 16%, basta encontrar 16% de 1550. 0,16 x 1550 = 248 Assim o valor que ele lucra por geladeira será 248, mas 26040 foi o valor total de lucro, portanto para saber quantas geladeiras ele vendeu devemos dividir o lucro total pelo lucro de uma geladeira. 26040 248 = 105 Vendeu 105 geladeiras no total. 07. Resposta: B Vamos encontrar o valor pago pelo sofá e pelo tapete em cada uma das formas de pagamento: Cartão de crédito: 10 100 (750 + 380) = 0,10 . 1130 = 113 1130 – 113 = R$ 1017,00 Boleto: 8 100 . (750 + 380) = 0,08 . 1130 = 90,4 1130 – 90,4 = R$ 1039,60 08. Resposta: E Vamos encontrar o preço que ele revende e depois dar o desconto sob esse preço de revenda. Preço de revenda: 1500 + 40% = 1500 + 1500 x 0,40 = 1500 + 600 = 2100 Preço com desconto: 2100 – 35% =2100 – 0,35 x 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 09. Resposta: A Preço de venda: V Preço de compra: C V – 0,16V = 1,4C 0,84V = 1,4C 𝑉 𝐶 = 1,4 0,84 = 1,67 O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 10. Resposta: A Vamos encontrar o valor da primeira embalagem: 2,40 . 12 = 28,80 Agora como tem desconto de 25% na segunda embalagem, vamos encontrar seu valor (100% - 25% = 75%): 28,80. 0,75 = 21,60 O total que ele gastou foi de 28,80 + 21,60 = 50,40 Como ele revendeu cada lata por 3,50 ele terá recebido um total de: 3,50 x 24 = 84,00 O lucro então foi de: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 14 11. Resposta: B De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 85% - 17% = 68%. RELAÇÃO Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 1 - Horizontal denominado eixo das abscissas; e 2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um espaço. Além do mais, o plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação ao par ordenado (x, y) ou (a, b). Par Ordenado Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem destes elementos. Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. Exemplos: 1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. Gráfico Cartesiano do Par Ordenado Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 3 Função do 1º grau. 3.1 Representações algébrica e gráfica. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 15 Temos que: - P é o ponto de coordenadas a e b; - o número a é chamado de abscissa de P; - o número b é chamado ordenada de P; - a origem do sistema é o ponto O (0,0). Vejamos a representação dos pontos abaixo: A (4,3) B (1,2) C (-2,4) D (-3,-4) E (3,-3) F (-4,0) G (0,-2) Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B). 𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. Exemplo Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. Listagem dos Elementos Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais. Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) . n(B). No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) . n (B) = 3 . 2 = 6 Diagrama de Flechas Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um dosconjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas: 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 16 Plano Cartesiano Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). Noção de Relação Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B Noção de Função Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A e y ϵ B. Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 17 Analisemos através dos diagramas de Venn. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 18 Analisemos agora através dos gráficos: Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. Elementos da Função Como já vimos nos conceitos acima, temos que, dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, conhecida também como função de A em B. Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. Pelo diagrama de Venn: Representado no gráfico: - Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. Logo, D(f) = A. - Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 19 - A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). (Lê-se: y é igual a f de x). - Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. A notação para representar função é dada por: Exemplo Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = x+3. Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem deste conjunto. F(-2) = -2 + 3 = 1 F(-1) = -1 + 3 = 2 F(0) = 0 + 3 = 3 F(1) = 1 + 3 = 4 F(2) = 2 + 3 = 5 Domínio de uma Função Real de Variável Real Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. Exemplos 1) y = x2 + 3x Vamos substituir x por qualquer número real e obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 2) 𝑦 = 1 𝑥 Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 3) 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒙−𝟐 Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0 x ≠ 2. D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} Questão 01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto imagem desta função será? (A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} (B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} (C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} (D) Im = {5, 7, 9,11} (E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 20 Comentário 01. Resposta: A Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. Então: f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição3: Toda função f: R → R, definida por: Com a ϵ R* e b ϵ R. O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o contradomínio, Im = R. Quando b = 0, chamamos de função linear. Gráfico de uma Função Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. x y (x,y) 0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) -2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) -1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) Construção do gráfico no plano cartesiano: Observe que a reta de uma função afim é sempre uma reta. E como a > 0 ela é função crescente, que veremos mais à frente 3BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 21 Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: Observe que a < 0, logo é uma função decrescente Tipos de Função Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. Observe os gráficos abaixo da função constante A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou sobre o eixo (igual ao eixo das abscissas). Função Identidade Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta os quadrantes pares. A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 22 Função Injetora Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio. Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfico da função, uma única vez. Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo x, notaremos que o mesmocortará a reta formada pela função em um único ponto (o que representa uma imagem distinta), logo concluímos que se trata de uma função injetora. Função Sobrejetora Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. Observe que todos os elementos do contradomínio tem um correspondente em x. Logo é sobrejetora. Im(f) = B 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 23 Observe que nem todos os elementos do contradomínio tem um correspondente em x. Logo não é sobrejetora. Im(f) ≠ B Função Bijetora uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Exemplo: A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. Função Ímpar e Função Par Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor compreensão observe o diagrama abaixo: A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 24 Função crescente e decrescente A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma reta. Observe que medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) também aumentam. Observe que medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem. Através do gráfico da função notamos que: - Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e - Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). Zero ou Raiz da Função Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y ou f(x) seja igual à zero. Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos uma equação do 1º grau, ax + b = 0. Exemplo: Determinar o zero da função: f(x) = x + 3 Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 Graficamente temos: No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 25 Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 = −𝒃 𝒂 Podemos expressar a fórmula acima graficamente: Estudo do sinal da Função Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: - A função se anule (y = 0); - A função seja positiva (y > 0); - A função seja negativa (y < 0). Vejamos abaixo o estudo do sinal: Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 1) Qual o valor de x que anula a função? y = 0 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2 4 x = 2 A função se anula para x = 2. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 26 2) Quais valores de x tornam positiva a função? y > 0 2x – 4 > 0 2x > 4 x > 2 4 x > 2 A função é positiva para todo x real maior que 2. 3) Quais valores de x tornam negativa a função? y < 0 2x – 4 < 0 2x < 4 x < 2 4 x < 2 A função é negativa para todo x real menor que 2. Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: - Para x = 2 temos y = 0; - Para x > 2 temos y > 0; - Para x < 2 temos y < 0. Questões 01. (MPE/SP - Geógrafo - VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: (A) 8 900. (B) 8 950. (C) 9 000. (D) 9 050. (E) 9 150. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 27 02. (Pref. Jundiaí/SP - Eletricista - MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T: (A) T = 3t (B) T = 3t + 2,50 (C) T = 3t + 2.50t (D) T = 3t + 7,50 (E) T = 7,50t + 3 03. (PM/SP - Sargento CFS - CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então (A) x = 5. (B) x = 6. (C) x = -6. (D) x = -5. 04. (BNDES - Técnico Administrativo - CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática de natação? (A) 50,0 (B) 52,5 (C) 55,0 (D) 57,5 (E) 60,0 05. (PETROBRAS - Técnico Ambiental Júnior - CESGRANRIO) de domínio real, então, m − p é igual a (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64 (E) 7 06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é (A) 2. (B) 9. (C) 12. (D) 15. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 28 07. (BRDE/RS - Técnico Administrativo) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 𝑥 2 + 10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 2 3 𝑥. Para que a firma não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: (A) R$ 20.000,00 (B) R$ 33.000,00 (C) R$ 35.000,00 (D) R$ 38.000,00 (E) R$ 40.000,00 08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? (A) Q(3, 3) e R(5, 5). (B) N(0, –2) e P(2, 0). (C) S(–1, 1) e T(1, –1). (D) L(–2, –3) e M(2, 3). 09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é (A) –4. (B) –2. (C) 1. (D) 2. 10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT - Oficial Bombeiro Militar - UNEMAT) O planeta Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo ainda está incandescente. Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina num ponto a 1200 metros da superfície? (A) 15º C (B) 38º C (C) 53º C (D) 30º C (E) 61º C Comentários 01. Resposta: E Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida: 𝑅 = ∆𝐿 ∆𝑄 → 𝑅 = 7000 − (−1000)80 − 0 → 𝑅 = 8000 80 → 𝑅 = 100 Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo menos 90.500,00 Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 𝑅 = ∆𝐿 ∆𝑄 → 100 = 91500 ∆𝑄 → 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 = 91500 100 → ∆𝑄 = 915 Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 29 02. Resposta: B Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de tempo, e acrescentado 2,50 fixo T = 3t + 2,50 03. Resposta: D 35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 04. Resposta: E A proporção de oxigênio/tempo: 10,5 2 = 21,0 4 = 𝑥 10 4x = 210 x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 52,5litros----70kg x-------------80kg x = 60 litros 05. Resposta: C Aplicando segundo as condições mencionadas: x = 1 f(1) = 2.1 - p f(1) = m - 1 x = 6 f(6) = 6m - 1 𝑓(6) = 7.6+4 2 = 42+4 2 = 23 ; igualando as duas equações: 23 = 6m - 1 m = 4 Como queremos m – p , temos: 2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 06. Resposta: D Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. * a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: ( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) ( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: y = a.x + b 0 = – 5.3 + b b = 15 Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: x = – 5.y + 15 5.y = – x +15 y = – x / 5 + 15/5 y = – x / 5 + 3 (função inversa) Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 07. Resposta: E C(x) = 𝑥 2 + 10000 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 30 F(x) = 2 3 𝑥 F(x) ≥ C(x) 2 3 𝑥 ≥ 𝑥 2 + 10000 2 3 𝑥 − 𝑥 2 ≥ 10000 4𝑥−3𝑥 6 ≥ 10000 4𝑥−3𝑥 6 ≥ 10000 x = 10000 1 6 x ≥ 60000, como ele quer o menor valor. Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: F(x) = 2 3 60000 = 40.000 Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 08. Resposta: C Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma posição “mais alta” do que o 2º ponto. Vamos analisar as alternativas: ( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, e, assim, a função é crescente. ( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. ( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. ( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 09. Resposta: A Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. * a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: ( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 ( V ) 3 = a.( – 1) + b a = 4 – 3 = 1 Portanto, a função fica: y = x + 4 Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 10. Resposta: C Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes Assim: 15 . 2 = 30º C Assim: 23º C + 30º C = 53º C RAZÃO Razão4 é o quociente (divisão) entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 𝑎 𝑏 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 4IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único http://educacao.globo.com 4 Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 31 Onde: Você tem que ficar atento ao fato da frase que estiver o contexto, pois depende da ordem em que for expressa. Exemplos 01. Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 = 150 3600 = 1 24 Lemos a fração como: Um vinte e quatro avos ( pronuncia-se “ávos”). 02. Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: − Alana resolveu 11 testes e acertou 5 − Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 − Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 − Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 − Edson resolveu 21 testes e acertou 9 O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎: 5 11 = 0,45 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧: 6 14 = 0,42 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒: 7 15 = 0,46 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙: 8 17 = 0,47 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛: 9 21 = 0,42 Daniel teve o melhor desempenho pois 0,47 foi o maior número. - Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma unidade. Razões Especiais Escala Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 𝐸 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 Velocidade Média É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 𝑉 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 32 Densidade É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, kg/m³, entre outras. 𝐷 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 PROPORÇÃO É uma igualdade entre duas razões. Dada as razões 𝑎 𝑏 e 𝑐 𝑑 , à setença de igualdade 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 chama-se proporção5. Onde: Exemplo 1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 2 1 = 2 ; 4 2 = 2 ; 6 3 = 2 ; 8 4 = 2 Então: 2 1 = 4 2 = 6 3 = 8 4 Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da sucessão (1,2,3,3, 4, ...). Propriedades da Proporção 1 - Propriedade Fundamental O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c Exemplo Na proporção 45 30 = 9 6 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 2 - A soma dos dois primeiros termos está parao primeiro (ou para o segundo termo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 + 𝑏 𝑎 = 𝑐 + 𝑑 𝑐 𝑜𝑢 𝑎 + 𝑏 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 𝑑 Exemplo 2 3 = 6 9 → 2 + 3 2 = 6 + 9 6 → 5 2 = 15 6 = 30 𝑜𝑢 2 + 3 3 = 6 + 9 9 → 5 3 = 15 9 = 45 5IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único http://educacao.globo.com 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 33 3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 − 𝑏 𝑎 = 𝑐 − 𝑑 𝑐 𝑜𝑢 𝑎 − 𝑏 𝑏 = 𝑐 − 𝑑 𝑑 Exemplo 2 3 = 6 9 → 2 − 3 2 = 6 − 9 6 → −1 2 = −3 6 = −6 𝑜𝑢 2 − 3 3 = 6 − 9 9 → −1 3 = −3 9 = −9 4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑 = 𝑎 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 𝑑 Exemplo 2 3 = 6 9 → 2 + 6 3 + 9 = 2 3 → 8 12 = 2 3 = 24 𝑜𝑢 2 + 6 3 + 9 = 6 9 → 8 12 = 6 9 = 72 5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 − 𝑐 𝑏 − 𝑑 = 𝑎 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 − 𝑐 𝑏 − 𝑑 = 𝑐 𝑑 Exemplo 6 9 = 2 3 → 6 − 2 9 − 3 = 6 9 → 4 6 = 6 9 = 36 𝑜𝑢 6 − 2 9 − 3 = 2 3 → 4 6 = 2 3 = 12 Problemas envolvendo razão e proporção 01. Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, o número de usuários atendidos foi: A) 84 B) 100 C) 217 D) 280 E) 350 Resolução: Usuários internos: i Usuários externos: e Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → e = 140 𝑖 𝑖+𝑒 = 3 5 = 𝑖 𝑖+140 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 5i = 3(i + 140) → 5i = 3i + 420 → 5i – 3i = 420 → 2i = 420 → i = 420 2 → i = 210 i + e = 210 + 140 = 350 Resposta “E” 02. Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: A) 2/3 B) 3/5 C) 5/10 D) 2/7 E) 6/7 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 34 Resolução: Resposta “B” 03. Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa ordem, foi de: A) 2:3 B) 1:3 C) 1:6 D) 3:4 E) 2:5 Resolução: Se 2 5 chegaram atrasados 1 − 2 5 = 3 5 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 2 5 ∙ 1 4 = 1 10 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 = 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 min 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 = 1 10 3 5 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 = 1 10 ∙ 5 3 = 1 6 𝑜𝑢 1: 6 Resposta “C” Questões 01. (Pref. de Cerquilho/SP – Professor de Ensino Fundamental I – Metro Capital Soluções/2018) Durante um campeonato de tiro ao alvo, José disparou 12 vezes. Sabendo que a razão do número de acertos para o total de disparos foi de 3/4 (três quartos), quantos disparos José acertou? (A) 7. (B) 10. (C) 4. (D) 7. (E) 9. 02. (Colégio Pedro II – Professor – Colégio Pedro II/2018) O trabalho infantil é um dos mais graves problemas do país. De acordo com a Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílio (PNAD 2015), mais de 2,7 milhões de crianças e adolescentes, de 5 a 17 anos, estão em situação de trabalho no Brasil – no mundo, são 152 milhões que estão no trabalho precoce. Disponível em: http://www.chegadetrabalhoinfantil.org.br. Acesso em: 30 jul. 2018 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 35 De acordo com os dados apresentados, a fração que representa o número de meninas em situação de trabalho infantil no Brasil é: (A) 2/3 (B) 5/10 (C) 9/27 (D) 94/100 03. (FUNCABES – Escriturário – PROMUN/2018) Em um concurso público em que participaram 3000 candidatos, 1800 foram aprovados. A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: (A) 2/3 (B) 3/5 (C) 5/10 (D) 2/7 04. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de livros doados para a biblioteca de física será (A) 16. (B) 22. (C) 20. (D) 24. (E)18. 05. (EBSERH/HUPA – Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? (A) 71 km/h (B) 76 km/h (C) 78 km/h (D) 81 km/h (E) 86 km/h. 06. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou (A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. (B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. (C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. (D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. (E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a régua menor é quantos por cento da régua maior? (A) 90% (B) 75% (C) 80% (D) 85% 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 36 08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, é (A) 119 km. (B) 121 km. (C) 123 km. (D) 125 km. (E) 127 km. 09. (FINEP – Assistente – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca. Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? (A) 75 (B) 125 (C) 175 (D) 375 (E) 675 10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – VUNESP) A medida do comprimento de um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, foram colocadossomente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a (A) 588. (B) 350. (C) 454. (D) 476. (E) 382. Comentários 01. Resposta: E A razão do número de acertos para o total é de 3 4 e o total de disparos foi 12, assim a proporção fica da seguinte forma: 3 4 = 𝑥 12 4x = 3.12 4x = 36 x = 36 4 x = 9 02. Resposta: C Vamos resolver este pela forma mais simples, nos dados apresentados temos que 2 em cada 3 crianças em situação de trabalho infantil são do sexo masculino, assim sobra apenas 1 em cada 3 para o sexo feminino, em fração seria 1 3 , mas não temos esta resposta, porém temos 9 27 que nada mais é que 1 3 porém não está simplificado, assim 1 3 = 9 27 . 03. Resposta: B De acordo com a ordem que foi expressa devemos ter 1800 no numerador e 3000 será o denominador, ficando assim: 1800 3000 , simplificando: 18 30 = 3 5 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 37 04. Resposta: E X = total de livros Matemática = ¾ x, restou ¼ de x Física = 1 3 . 1 4 = 1/12 Química = 36 livros Logo o número de livros é: 3𝑥 4 + 1𝑥 12 + 36 = x Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 Logo: 9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥 12 → 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 = 432 2 → 𝑥 = 216 Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 1 12 . 216 = 216 12 = 18 05. Resposta: C 5h30min = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 430 5,5 = 78,18 𝑘𝑚/ℎ 06. Resposta: C O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras ervas. Podemos escrever em forma de razão 2 5 , logo: 2 5 . 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 07. Resposta: C Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100 = 80% 08. Resposta: A A razão da cidade A será: 51 120 A da cidade B será: 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 280 Como seguem a mesma proporção teremos a seguinte proporção: 51 120 = 𝑥 280 120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 09. Resposta: A Como temos duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca a fração ficará 2 3 temos ainda que ela utilizou 450ml de tinta vermelha, então vamos encontrar o quanto ela utilizou de tinta branca e depois descobrir o quanto sobrou do total (750ml) 2 3 = 450 𝑥 2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca foram utilizadas. Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 10. Resposta: A Chamando de C o comprimento e de L a largura, teremos a seguinte proporção 𝐶 𝐿 = 4 3 Como no comprimento foram utilizados 28 ladrilhos, teremos C = 28 e substituindo na proporção, ficará: 28 𝐿 = 4 3 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 38 4L = 28. 3 L = 84 4 L = 21 ladrilhos Como teremos 28 ladrilhos no comprimento e 21 na largura, a quantidade total será dada pela área dessa região retangular, ou seja, o produto do comprimento pela largura. Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588. Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. Nas equações de 2º grau com uma incógnita6, os números reais expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação. Equação completa e incompleta - Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. Exemplos x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). - 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). - Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. Exemplos x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi- las a essa forma. Exemplo Pelo princípio aditivo. 2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 3x2 – 7x + 3 = 0 6somatematica.com.br IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 5 Resolução de equações do 2º grau. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 39 Exemplo Pelo princípio multiplicativo. Raízes de uma equação do 2º grau Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso conjunto Universo. 1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. x2 – 9x = 0 colocamos x em evidência x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: x = 0 ou x – 9 = 0 x = 9 Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. x2 – 16 = 0 Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. (x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: x + 4 = 0 x – 4 = 0 x = – 4 x = 4 ou x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). Logo, S = {–4, 4}. Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau de maneira mais simples. Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 40 Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três casos a estudar. A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. Exemplos 1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 𝑥 = −7 ± √−59 6 Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. Então: S = ᴓ 2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. Aplicando na fórmula de Bháskara: 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4 2.5 = 12 ± √144 − 80 10 = 12 ± √64 10 Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 𝑥 = 12 ± 8 10 → 𝑥′ = 12 + 8 10 = 20 10 = 2 𝑒 𝑥′′ = 12 − 8 10 = 4: 2 10: 2 = 2 5 S= {2/5, 2} Relação entre os coeficientes e as raízes As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝒃 𝒂 2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝒄 𝒂 Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: x2 – Sx + P = 0 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 41 Exemplos 1) Determine uma equaçãodo 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. Resolução: Pela relação acima temos: S = 2+7 = 9 P = 2.7 = 14 Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e multiplicados obtemos 12. S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} Questões 01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 0. (E) 9. 02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 1 e 3/2? (A) x²-3x+4=0 (B) -3x²-5x+1=0 (C) 3x²+5x+2=0 (D) 2x²-5x+3=0 03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau dada por x²-6x=-8 é: (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que x = (1-x) / x, usando 5=2,24. (A) 0,62 (B) 0,38 (C) 1,62 (D) 0,5 (E) 1/ 𝜋 05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: (A) 48 anos. (B) 46 anos. (C) 38 anos. (D) 36 anos. (E) 32 anos. 06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: (A) 15 (B) 7 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 42 (C) 10 (D) 8 (E) 5 07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a (A) 196. (B) 225. (C) 256. (D) 289. 08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era (A) 12. (B) 14. (C) 16. (D) 18. (E) 20. 09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 1 𝑥2 - 1 𝑥1 é: (A) 1 27 . (B) 1 13 . (C) 1. (D) 1 182 . (E) 1 14 . 10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: (A) k = 1/2. (B) k = 3/2. (C) k = 1/3. (D) k = 2/3. (E) k = -2. Comentários 01. Resposta: C Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 02. Resposta: D Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 𝑆 = 1 + 3 2 = 5 2 = 𝑏 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 43 𝑃 = 1 ∙ 3 2 = 3 2 = 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑥2 − 5 2 𝑥 + 3 2 = 0 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 03. Resposta: B x²-6x+8=0 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 𝑥 = −(−6)±√4 2.1 ⇒ 𝑥 = 6±2 2 𝑥1 = 6+2 2 = 4 𝑥2 = 6−2 2 = 2 Dobro da menor raiz: 22=4 04. Resposta: A 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑥 x² = 1-x x² + x -1 =0 ∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 𝑥 = −1 ± √5 2 𝑥1 = (−1 + 2,24) 2 = 0,62 𝑥2 = −1 − 2,24 2 = −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 05. Resposta: B Hoje: J = IR + 8 ( I ) J . IR = 153 ( II ) Substituir ( I ) em ( II ): (IR + 8). IR = 153 IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 𝛥 = 64 + 612 𝛥 = 676 𝑥 = −𝑏±√𝛥 2𝑎 𝑥 = −8±√676 2.1 = −8±26 2 𝑥1 = −8+26 2 = 18 2 = 9 𝑥2 = −8−26 2 = −34 2 = −17 (Não Convém) 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 44 Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 06. Resposta: B Lembrando que a fórmula pode ser escrita como: x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das raízes é 6, a outra é 1. Então a soma é 6+1=7 S=m=7 07. Resposta: C O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Antes, precisamos calcular a, b e c. * Soma das raízes = – b / a – b / a = 6 + (– 10) – b / a = – 4 . (– 1) b = 4 . a Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 5.a = 5 e a = 1 * b = 4 . 1 = 4 Falta calcular o valor de c: * Produto das raízes = c / a c / 1 = 6 . (– 10) c = – 60 Por fim, vamos calcular o discriminante: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 08. Resposta: B Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: c = 2.p (I) p.c = 98 (II) Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: p.2p = 98 2.p² = 98 p² = 98 / 2 p = √49 p = 7 pilhas Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 09. Resposta: D Primeiro temos que resolver a equação: a = 1, b = - 27 e c = 182 ∆ = b2 – 4.a.c ∆ = (-27)2 – 4.1.182 ∆ = 729 – 728 ∆ = 1 𝑥 = −𝑏±√∆ 2𝑎 = −(−27)±√1 2.1 = 27±1 2 → x1 = 14 ou x2 = 13 O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 1 𝑥2 − 1 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑥2. 𝑥1 = 14 − 13 14.13 = 1 182 10. Resposta: C Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = −𝑏 𝑎 e P = 𝑐 𝑎 . (k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 1696229 E-book gerado especialmente para FRANCIEL HENRIQUE BRIXNER 45 S = P −𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑎 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais. Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. Por isso, o sistema é chamado decimal. E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro. As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102. Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 1 polegada = 25 milímetros 1 milha = 1 609 metros 1 légua = 5 555 metros 1 pé = 30 centímetros A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema
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