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MATEMÁTICA E 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
Professora: Caren Fulginiti 
caren@caren.mat.br 
 
Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 
1 
 
copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TÉCNICO – TRT 4ª 
 
Este material foi produzido com o intuito de viabilizar que o candidato consiga aprender técnicas 
de resolução de questões com a leitura deste texto. É muito importante seguir em ordem os sub-
capítulos e efetuar todos os exercícios propostos. 
 
Professora: Caren Fulginiti da Silva 
Contato: caren@caren.mat.br 
Licenciada em Matemática – UFRGS 
Mestre em Educação – UFRGS 
 
 
 
 
 
PROGRAMA MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO 
(último concurso TRT9ª-2010) 
 
MATEMÁTICA: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e 
operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes 
proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, 
lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as 
condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na 
prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam analisar as habilidades dos 
candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: 
raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação 
de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a 
capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de 
forma válida, a conclusões determinadas. 
 
PROGRAMA MATEMÁTICA (último concurso TRT4ª- 2006) 
 
MATEMÁTICA: Números inteiros: operações e propriedades, múltiplos e divisores; problemas. Números 
racionais: operações nas formas fracionária e decimal. Números e grandezas proporcionais; razões e 
proporções; divisão proporcional; regra de três simples e composta. Porcentagem; Juros simples. 
Funções de 1° e 2° Graus; problemas. Sistemas de medidas: decimais e não decimais. 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA 
 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS: 
SOMA MULTIPLICAÇÃO 
+ com + ou - com - Soma e mantém o sinal 
a) (+10) + (+8) = +18 b) (-10) + (-8) =-18 
Mesmo sinal: + 
e) (+10) (+8) = +80 
f) (-10) (-8) = +80 
+ com - Diferença e sinal do maior. 
c) (+10) + (-8) = +2 d) (-10) + (+8) = -2 
Sinal diferente: - 
g) (+10) (-8) = -80 
 
Prioridade das Operações : 
 
Prioridade dos Parênteses : 
1º Raiz e Potência 1º Parênteses ( ) 
2º Divisão e Multiplicação 2º Colchetes [ ] 
3º Subtração e Soma 3º Chaves { } 
ATENÇÃO: ENTRE PARÊNTESES E OPERAÇÕES PREVALECEM OS PARÊNTESES. 
 
Observe a diferença: 
( ) ( )[ ] ( ) 36136594324 ×−+÷×−+÷− = 
 
SOLUÇÃO LENTA: 
( )[ ] ( )
[ ]
191867
364247
36464428
36136594)324(
−=−+−
=×−÷+−
=×−÷×+÷−
=×−+÷×−+÷−
 
SOLUÇÃORÁPIDA: 
( ) ( )[ ] ( )
[ ]
191867
18464428
36136594324
−=−+−
=−÷×+÷−
=×−+÷×−+÷−
 
Agora sem parênteses... 
2218110984
181330984
36136594324
−=−+−+−
=−+÷−+−
=×−+÷×−+÷−
 
 
 
TABUADA: 
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 45 
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
 
01. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas: 
a) 31 + (- 40) : (+ 2) = b) – 10 – 20 : (+ 4) = 
c) (+ 30) : (- 6) + (- 18) : (+ 3) = d) (- 91) : 7 + 15 = 
e) 7 : (- 7) + 2 . (- 6) + 11 = f) (- 36) : (- 4) + 3 . (- 3) = 
g) 35 – 6 . (+ 6) + (+ 54) : (- 6) = h) 81 : (- 9) – 3 . (- 3) + (- 9) = 
i) 2 + (- 75) : (- 5) – 4 . (-1) = j) 46 : (- 23) + 7 – 4 . (+ 2) = 
l) 8 . (- 11) + 200 : (+ 2) – 12 = m) 63 – 84 : (- 21) – 3 . (+ 23) = 
 
 
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MÚLTIPLOS 
No conjunto dos NATURAIS, chamamos múltiplo de um número, todos os números obtidos 
multiplicando o número dado por todos os outros números naturais. 
 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
 
Exemplo: Múltiplos de 12 →→→→ 0, 12, 24, 36, ... 
Construindo outros conjuntos: Múltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, ... Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, ... 
A grande questão em multiplicidade é saber se dado um número ele é ou não múltiplo de outro... 
Temos várias maneiras de determinar isso e comentarei algumas delas: 
1ª) Podemos dizer que um número é múltiplo de outro se construindo o conjunto de seus 
múltiplos ele pertencer ao conjunto, por exemplo: Sabemos que 14 é múltiplo de 7 porque ele está no 
conjunto dos múltiplos de 7, como construímos acima, e sabemos também que 10 não é múltiplo de 7 
porque ele não está. Porém esse método é muito primitivo visto que se o número fosse muito grande 
teríamos que construir o conjunto até lá... 
2ª) Outra maneira, bastante intuitiva seria fazer a divisão. Sabemos que se ao dividirmos dois 
números o resto der zero então o maior é múltiplo do menor, observe: 
14 7 10 7 
-14 2 -7 1 
0 é 3 não é 
 
De qualquer forma esse método normalmente não é o mais rápido, por isso para os números mais comuns 
descobriu-se regras de divisibilidade, que com o uso freqüente se tornam as melhores ferramentas: 
 
Nº É divisível por ... se ... Exemplo 
2 for par 132, 42 
3 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3 183, pois 1+8+3=12 
4 
os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou 
forem 00 
97636, pois 36 é divisível por 4 
5 terminar em zero ou em 5 80, 655 
6 for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo 120, é par e a soma é 3 
7 Regra muito difícil melhor dividir 
8 
os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou 
forem 000 
9480, pois 480 é divisível por 8 
9 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 9 819, pois 8 + 1 + 9 = 18 
10 terminar em zero 90, 120 
11 
a soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos 
algarismos de ordem ímpar der um múltiplo de 11 
291588, pois 9+ 5+ 8 =22, 2+1+8=11 
e 22-11=11 
DICA IMPORTANTE: 
Uma outra maneira de entender multiplicidade é pensar que se um número N é múltiplo de K, então K 
é um número que está dentro de N. Veja um exemplo claro: 
• 60 é múltiplo de 20 pois encontramos o 20 dentro do 60 = 20 × 3 
• 60 é múltiplo de 15 pois encontramos o 15 dentro do 60 = 15 × 4 
• 60 é múltiplo de 30 pois encontramos o 30 dentro do 60 = 30 × 2 
• 60 é múltiplo de 12 pois encontramos o 12 dentro do 60 = 12 × 5 
Daqui podemos dizer por exemplo que se um número é múltiplo de 12, então com certeza ele é 
múltiplo de 1, 2, 3, 4 e 6 também! 
Agora cuidado pois se um número for múltiplo de 3, não significa que é múltiplo de 9 ! 
 
 
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Pensemos agora a respeito do número 1500 ... 
Casais: 1 e 1500; 2 e 750 e filho deste 20 e 75; 3 e 500e filho deste 30 e 50 e mais 5 e 300; 4 e 375; 
6 e 250 e filho deste 60 e 25 e mais 12 e 125; 10 e 150 e filho deste 15 e 100. 
 
Considerações Importantes: 
• Qualquer número é múltiplo de 1 
Construindo o conjunto dos 
múltiplos de 1: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
x1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
 
• Zero é múltiplo de qualquer 
número 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
x2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... } 
x3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... } 
x5 = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... } 
• Só o zero é múltiplo de zero 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
x0 = {0, 0, 0, 0, 0, 0, ...} 
 
Múltiplo, divisor e divisível???? 
• 16 é múltiplo de 4 
• 16 é divisível por 4 
• 4 é divisor de 16 
Então múltiplo ≈≈≈≈ divisível 
 
OS NÚMEROS NATURAIS: 
Os números naturais se dividem em 4 grupos: O zero, o um, os números primos e os números compostos. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
Um número é dito primo quando ele admite apenas dois divisores distintos. Um número primo só é 
múltiplo de si mesmo e de 1. 
 
O NÚMERO 1 (UM) NÃO É PRIMO! 
 
 
ALGUNS PRIMOS: (saiba esses de cor...): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... 
 
NÚMEROS COMPOSTOS 
São todos os números que são obtidos de produtos de primos, por exemplo: Pense no 20 ele é 2 x 2 
x 5 ou seja produto de 3 números primos. 
 
Observação: Todos os conceitos podem ser estendidos ao conjunto dos Números Inteiros: 
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} e o zero e o um não são primos nem compostos. 
 
MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
O MMC é um número, basicamente o menor número que é múltiplo de dois ou mais números dados. 
Para encontrá-lo usamos dois métodos o da fatoração (barrinha) ou pela visualização da fatoração dos 
números dados. Uma observação importante sobre fatoração é que ela deve ser feita utilizando somente 
números primos ! 
182, 49 2 12 2 
91, 49 7 6 2 
13, 7 7 3 3 
13, 1 13 1 Fatoração: 
1, 1 MMC:1274 1232 
 
 
 
 
 
 
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MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM 
O MDC é um número, basicamente o maior número que divide dois ou mais números dados. Para 
encontrá-lo usamos o mesmo método do MMC só que a procura de outra coisa. 
Vamos ver um exemplo de como encontrar o MMC e MDC de dois números dados: 120 e 80 ... 
Usando o MMC, observe - Qual o MDC entre 120 e 80? 
 
120 , 80 2(♣) 
Marque onde ambos os 
números sofreram 
modificação (♣), esses 
fatores multiplicados 
geram o MDC, no caso: 
2 × 2 × 2 × 5 = 40. 
Como calcular o MDC de 3 ou 
mais números? 
É igual porém devemos marcar 
apenas os números aonde os três 
sofreram modificação ao mesmo 
tempo. e assim por diante. 
60 , 40 2(♣) 
30 , 20 2(♣) 
15 , 10 2 
15 , 5 3 
5 , 5 5(♣) 
1 , 1 
 
 
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO 
PASSOS: 
1º Fatore o número 
2º Escreva-o em potências 
3º Some 1 a cada potência 
4º Multiplique-as 
 
50 2 
 
2 × 5 × 5 = 2 × 52 
( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) è 
2 × 3 = 6 
6 divisores que são: 
1, 2, 5, 10, 25, 50 
25 5 
5 5 
1 // 
Façamos agora com 25, 60, 500... 
25 = 52 à 3(2+1) divisores que são: 1, 5 e 25. 
60 = 21⋅ 31⋅ 51 à 2(1+1) 2(1+1) 2(1+1) = 2⋅2⋅2 = 8 divisores que são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 e 60. 
500 = 22 53 à 3(2+1) 4 (3+1) = 3⋅4 = 12 divisores que são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250 e 500. 
 
 
CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO 
Sabendo quantos são fica mais fácil - Exemplos: 6 , 30 e 1000 
6 2 2 × 3 
( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) è 2 × 2 = 4 
4 divisores que são: 1, 2, 3, 6 
3 3 
1 // 
 
30 2 2 × 3 × 5 
( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) è 
2 × 2 × 2 = 8 
8 divisores que são: 
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 
15 3 
5 5 
 1 // 
 
 
Ou ainda podemos pensar em casais (divisão): Se pensarmos no 12, sabemos que é múltiplo de 6 e de 2 
isso porque se efetuarmos a divisão: 
12 6 quando o divisor ( 6 ) é fator o quociente também é, daí 
voltando ao 30 temos 8 divisores que vem aos pares: 
1 com 30 ; 2 com 15 ; 3 com 10 ; 5 com 6 
-12 2 
0 
 
 
 
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Então para 1000: 
1000 2 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 23 × 53 
( 3 + 1 ) ( 3 + 1 ) è 4 × 4 =16 
16 divisores que são: 
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 
100, 125, 200, 250, 500, 1000 
Aos pares temos: 
1/1000, 2/500, 4/250, 5/200, 
8/125, 10/100, 20/ 50, 25/40 
500 2 
250 2 
125 5 
25 5 
5 5 
1 // 
 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI: 
Dizemos que dois números são primos entre si quando o MDC entre eles é 1, ou seja, que o maior e 
portanto único número que divide ambos é o 1. De um modo mais vulgar poderíamos dizer que olhando 
para os fatores primos do números não veríamos nenhum fator comum. 
Exemplo: 4 = 22 e 9 = 32 não há fatores comuns 
 30 = 2 × 3 × 5 e 49 = 72 não há fatores comuns 
 
Detalhe importante: PRIMOS ≠≠≠≠ PRIMOS ENTRE SI 
4 e 9 são primos entre si e não são primos. 
2 e 9 são primos entre si e só o 2 é primo. 
2 e 3 são primos entre si e ambos são primos. 
 
Primos entre si , como já diz o nome é uma relação que se estabelece na presença de pelo menos 
dois números. 
ALGUMAS DICAS... 
 
01. PAR & IMPAR - Alguns comentários... 
Dizemos que um número é par se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 e impar se terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9. 
De um modo geral dizemos que todo número par pode ser representado pela forma 2n (onde n ∈ Z) 
este fato pode também ser entendido porque bem ou mal todos os pares são múltiplos de 2. E como os 
pares e os impares são intercalados temos que os impares de uma forma geral são representados pela 
expressão : 
2n + 1 ou 2n – 1. 
 
Também é bastante interessante pensarmos a respeito das operações feitas com esses números. O que 
acontece se... 
PAR + PAR = PAR 
PAR + IMPAR = IMPAR 
IMPAR + IMPAR = PAR 
PAR × PAR = PAR 
PAR × IMPAR = PAR 
IMPAR × IMPAR = IMPAR 
 Agora cuidado com a divisão: 
PAR ÷ IMPAR = PAR 
IMPAR ÷ IMPAR = IMPAR 
 
PAR ÷÷÷÷ PAR = PAR OU IMPAR!!!! 
 ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ 
 
02. POTÊNCIAS PERFEITAS: 
 Γ QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... 
Ou podemos pensar em 25 = 52 , 16 = 42 mas não é necessário que a potência seja 2, observe que 16 = 24 
e por isso de um modo geral para que um número seja um quadrado perfeito é preciso que seus fatores 
primos tomem sempre potências múltiplas de dois. 
Dessa forma: 210 × 518 é quadrado perfeito 29 × 54 não é quadrado perfeito 
e da mesma forma estendemos essa noção para outras potências... 
 
 
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 Γ CUBOS PERFEITOS: 1, 8, 27, 64, ... 
Podemos pensar em 8 = 23 , 27 = 33 mas não é necessário que a potência seja 3, observe que 64 = 46 e 
por isso de um modo geral para que um número seja um cubo perfeito é preciso que seus fatores primos 
tomem sempre potências múltiplas de três. E assim por diante... 
Dessa forma: 23 × 518 é cubo perfeito 
29 × 54 não é cubo perfeito 
 
É bom saber de cor a lista dos primeiros quadrados perfeitos e também a lista dos primeiros cubos 
perfeitos, esses são números que aparecem corriqueiramente em questões de raciocínio lógico. Bem 
como as potências de 2 e de 3., Seguem as listas abaixo: 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
quadrado 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 
cubo 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 
 
 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 
quadrado 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625 900 
 
potências 0 1 2 3 4 5 6 7 89 10 
base 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 
base 3 1 3 9 27 81 243 729 x x x x 
 
03. MMC X MDC = PRODUTO DE DOIS NOS: 
 
1ª Pergunta: Qual o MMC entre 12 e 30? è 60 
2ª Pergunta: Qual o MDC entre 12 e 30 ? è 6 
 
 
30 , 12 2(♣) 
MMC = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 
MDC = 2 × 3 = 6 
15 , 6 2 
15 , 3 3(♣) 
5 , 1 5 
1 , 1 // 
3ª Pergunta: Será que existe alguma relação possível de ser estabelecida entre o MMC, o MDC e os 
números que os geraram? 
A resposta é sim, vamos observar atentamente os números: 12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 5 
comum entre eles temos o 2 e o 3 (MDC) 
O MMC = 60 = 2 × 2 × 3 × 5, se multiplicarmos 12 × 30 = 22 × 3 × 2 × 3 × 5. Se multiplicarmos MMC 
× MDC = 2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3 
 
MMC × MDC 
2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3 
12 × 30 
 
Sempre: o produto de dois números é igual ao 
produto do MMC pelo MDC, formulando: N1 × N2 = MMC × MDC 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS DE QUESTÕES ENVOLVENDO MULTIPLICIDADE: 
01. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 33 para se obter um múltiplo de 12 ? 
Veja 33 = 3 × 11 e 12 = 2² × 3. O que falta ao 33 para ter o 12 dentro dele é o 2² ou seja o 4, então o 
número 33 × 4 é um múltiplo de 12. 
 
02. Determinar todos os números compreendidos entre 200 e 600 que sejam divisíveis ao mesmo 
tempo por 12, 33. 
12 , 33 2 
6 , 33 2 
3 , 33 3 
1 , 11 11 
1 , 1 // è MMC = 132 
O primeiro número que contém o 12 e o 33 dentro dele é o 132, todos os números que forem múltiplos 
do 132 terão também o 12 e o 33 dentro de si. Construindo os múltiplos de 132 è 0, 132, 264, 396, 
528, 660 ... Os que estão em negrito são a resposta da questão. 
 
03. Três lâmpadas piscam cada uma com a sua freqüência. A primeira a cada 6 segundos, a segunda a 
cada 8 segundos e a terceira a cada 9 segundos. Se essas lâmpadas inicialmente acenderam juntas, 
pergunta-se depois de quanto tempo voltaram a piscar juntas novamente ? 
Lâmpada 1 è 6 s Lâmpada 2 è 8 s 
Lâmpada 3 è 9 s 
Considere o momento 0 como o momento em que elas piscaram juntas. 
Em que momentos a lâmpada A pisca: 
Nos momentos 0, 6, 12, 18, 24, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 6. 
Em que momentos a lâmpada B pisca: 
Nos momentos 0, 8, 16, 24, 32, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 8 
Em que momentos a lâmpada C pisca: 
Nos momentos 0, 9, 18, 27, 36, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 9 
Quando as três lâmpadas piscarão juntas? Quando o momento for múltiplo de 6, 8 e 9, ou seja o 
primeiro dia que isso acontece é no dia que coincide com o MMC de 6, 8 e 9 ... Daí 72s. Sempre em 
problemas desse tipo deve-se fazer o MMC dos números, não é necessário pensar sempre todo o 
processo novamente. Só aplique o conhecimento. 
Respondendo as perguntas temos: a) 72 s 
 
04. Que nº “n” transforma o produto 1620 × n num cubo perfeito ? 
1620 = 2²34 5 para que se torne um cubo é preciso multiplicar por 2 3² 5² = 450 
 
05. Qual é o produto de dois números, se o seu MDC é 8 e o seu MMC é 48? Simplesmente sabemos 
que N1 × N2 = MMC × MDC, então: 
Produto = 8 x 48 = 384 
 
06. A gerente de uma loja de tecidos quer dividir três peças de fazenda em partes iguais e de maior 
tamanho possível. Sabendo que as peças medem 75m, 90m e 150m, determine o número de partes em 
que será dividida cada peça e o comprimento dessas partes. 
O MDC entre 75, 90 e 150 é 15, ou seja esse é o maior nº que divide os três em respectivamente 5, 6 e 
10 peças. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA E 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
Professora: Caren Fulginiti 
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Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 
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copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren. 
 
EXERCÍCIOS: 
01. Consultando a tabela de divisibilidade de 2 
até 11, os números abaixo são múltiplos de quem? 
a) 778 b) 1128 c) 579 
d) 663 e) 1320 f) 252 
g) 23870 h) 156 i) 504 
02. Qual o MMC entre : 
a) 33 e 80 b) 12 e 64 
c) 100 e 250 d) 96 e 150 
03. Qual o MDC entre : 
a) 240 e 780 b) 65 e 156 
c) 126 e 147 d) 98 e 441 
e) 426 e 213 f) 165 e 385 
04. Quantos e quais são os divisores de: 
a) 900 b) 160 c) 252 
d) 308 e) 120 f) 60 
 
 
PERGUNTAS: 
01. Qual o maior múltiplo de 18 menor que 300? 
02. Calcular o número de divisores de 7000. 
03. Qual o menor número pelo qual se deve 
multiplicar 480 para se obter um múltiplo de 112? 
04. Qual o menor número pelo qual se deve 
multiplicar 56 para se obter um múltiplo de 88? 
05. Determinar o MDC entre os números 132, 
60 e 84. 
06. Determinar os dois números menores 
possíveis pelos quais devemos multiplicar os 
números 24 e 36, a fim de obtermos produtos 
iguais. 
07. Determinar todos os números 
compreendidos entre 1000 e 3000 que sejam 
divisíveis ao mesmo tempo por 48, 60 e 72. 
08. Três navios fazem viagens entre dois 
portos. O primeiro cada 4 dias, o segundo cada 6 
dias e o terceiro cada 9 dias. Tendo esses navios 
partido juntos, depois de quantos dias voltaram a 
sair juntos novamente do mesmo local? 
09. Qual a diferença entre o MMC e o MDC dos 
números 121 e 330? 
10. Duas rodas de uma engrenagem têm 
respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada roda tem 
um dente estragado. Se num dado instante estão 
em contato os dois dentes quebrados, depois de 
quantas voltas esse encontro se repetirá? 
11. Dois ciclistas percorrem uma pista circular 
no mesmo sentido. O primeiro percorre-a em 36 
segundos e o segundo, em 30 segundos. Tendo 
partido juntos, depois de quantos segundos se 
encontrarão novamente no ponto de partida? 
12. O MMC de dois números é 11352 e o MDC é 
6. Se um dos números é 264, qual é o outro? 
13. Para a confecção de uma tela, dois rolos de 
arame de 40m e 16m vão ser divididos em pedaços 
de mesma medida e a maior possível, sem sobras. 
Quantos pedaços serão obtidos em cada rolo? 
14. O produto de dois números naturais é 875 e 
o mdc entre eles é 5. Determine o mmc dos 
números. 
15. Numa certa República, o Presidente deve 
permanecer em seu cargo durante 4 anos, os 
Senadores, 6 anos e os Deputados, 3 anos. Se em 
1929 houve eleições para os três cargos, em que 
ano se realizarão novamente juntas as eleições 
para esses cargos? 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS: 
 
01. (FUVEST 96) Qual dos cinco números 
relacionados abaixo, não é um divisor de 1510 
a) 25 b) 50 c) 64 d) 75 e) 250 
 
02. (UFRGS 92) João corre em uma pista 
circular, dando uma volta completa a cada 36s. 
Pedro corre em sentido oposto, e encontra João a 
cada 12s. O tempo que Pedro leva para dar uma 
volta completa é 
a) 72s b) 36s c) 18s d) 12s e) 6s 
 
03. (UFRGS 98) Se P é o produto de todos os 
números primos menores que 1000, o dígito que 
ocupa a casa das unidades de P é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 9 
 
04. (UFRGS 99) O algarismo das unidades de 
(610 +1) é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7 
 
05. (UFRGS 00) Se 1010n 7 −= , então n não é 
múltiplo de 
a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 
 
06. (FUVEST 00) Se x e y são dois nos inteiros, 
estritamente positivos e consecutivos, qual dos 
nos abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? 
a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 
e) x + y + 1 
 
07. (FUVEST 05) O menor número natural que 
devemos adicionar a 987 para que a soma seja o 
quadrado de um número natural é: 
a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 33 
 
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08. (FUVEST 91) No alto de uma torre de uma 
emissora de televisão duas luzes “piscam” com 
freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 
vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por 
minuto. Se num certo instante as luzes piscam 
simultaneamente, após quantos segundos elas 
voltaram a piscar simultaneamente? 
a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 
 
09. (FUVEST 95) O produto de dois números 
inteiros positivos, que não são primos entre si, é 
igual a 825. Então o mdc desses dois números é 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 11 e) 15 
 
10. (UFRGS 01) O resto da divisão do produto 
123456 × 654321 por 6 é: 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 
 
11. (FUVEST 97) O menor número natural n, 
diferente de zero, que torna o produto de 3888 
por n um cubo perfeito é 
a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 
 
12. (FUVEST 01) Uma senhora tinha entre trinta 
e quarenta ações de uma empresa para dividir 
igualmente entre todos os seus netos. Num ano, 
quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, 
deixaria uma ação sobrando. No ano seguinte, 
nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente 
entre os quatro netos o mesmo número de ações, 
ela observou que sobra-riam 3 ações. Nesta 
última situação, quantas ações receberá cada 
neto? 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
13. O menor nº natural, não nulo, que é divisível 
por 400, 500 e 1250 é 
a) 10² b) 10³ c) 3105 ⋅ d) 410 e) 510 
14. (PUCRS 96) Se x e y são números inteiros 
e 1
y
x
= , então x + y necessariamente é 
a) positivo b) negativo c) ímpar 
d) par e) menor do que 1 
 
 
 
 
15. (FCC – 2003) No almoxarifado de certa 
empresa havia dois tipos de canetas 
esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com 
tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de 
empacotar todas essas canetas de modo que cada 
pacote contenha apenas canetas com tinta de uma 
mesma cor. Se todos os pacotes devem conter 
igual número de canetas, a menor quantidade de 
pacotes que ele poderá obter é 
a) 8 b) 10 c)) 12 d) 14 e) 16 
 
16. (FCC – 2003) O chefe de uma seção de certa 
empresa dispunha de 60 ingressos para um 
espetáculo, que pretendia dividir igualmente 
entre seus funcionários. Como no dia da 
distribuição dos ingressos faltaram 3 
funcionários, coube a cada um dos outros receber 
1 ingresso a mais do que o previsto. O número de 
ingressos entregues a cada funcionário presente 
foi 
a) 3 b) 4 c))5 d) 6 e) 7 
 
17. (FCC – 2001) A tabela abaixo apresenta as 
dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e 
B2. 
 comprimento (m) largura (m) espessura 
(mm) 
B1 23,10 0,18 1,5 
B2 18 0,18 1,5 
Todo o papel das bobinas será cortado de modo 
que, tanto o corte feito em B1 como em B2, 
resulte em folhas retangulares, todas com a 
mesma largura do papel. Nessas condições, o 
menor número de folhas que se poderá obter é 
a) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 149 
 
18. (FCC – 2001) Uma pessoa sabe que, para o 
transporte de 720 caixas iguais, sua caminhonete 
teria que fazer no mínimo X viagens, levando em 
cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto, 
ela preferiu usar sua caminhonete duas vezes 
mais e, assim, a cada viagem ela transportou 18 
caixas a menos. Nessas condições, o valor de X é 
a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e)30 
Obs.: (questão original com problema, texto alterado para ter 
solução) 
 
19. (FCC – 2004) Sabe-se que um número inteiro 
e positivo N é composto de três algarismos. Se o 
produto de N por 9 termina à direita por 824, a 
soma dos algarismos de N é 
a) 11 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18 
20. (FCC – 2007) No esquema abaixo tem-se o 
algoritmo da adição de dois números naturais, em 
que alguns algarismos foram substituídos pelas 
letras A, B, C, D e E. 
A 1 4 B 6 
+ 1 0 C 8 D 
6 E 8 6 5 
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Determinando-se corretamente o valor dessas 
letras, então, A + B – C + D – E é igual a 
a) 25 b) 19 c) 17 d) 10 e) 7 
 
21. (FCC – 2007) Um técnico judiciário foi 
incumbido da montagem de um manual referente 
aos Princípios Fundamentais da Constituição 
Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a 
contra-capa, a numeração das páginas foi feita a 
partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se 
que foram usados 225 algarismos, o total de 
páginas que foram numeradas é 
a) 97 b) 99 c) 111 d) 117 e) 126 
 
22. (FCC – 2008) O diagrama abaixo apresenta o 
algoritmo da adição de dois números inteiros, no 
qual alguns algarismos foram substituídos pelas 
letras A, B, C, D e E. 
7 B 2 5 A 
+ D C B 5 
E 8 A 8 6 
Determinando-se corretamente esses algarismos, 
verifica-se que 
a) A + C = 2 . D b) B + D = E c) B – A = D 
d) C = 2 . B e) C – E = A 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
São todas as frações cujo numerador e denominador são números inteiros e o denominador não é zero. 
NUMERADOR 
DENOMINADOR 
 
OPERANDO FRAÇÕES: 
10
19
10
514
2
1
5
7
=
+
=+ MMC 
21
10
3
2
7
5
=× EM LINHA 
422
10
6
3
20
6
10
3
20
=⋅=⋅=÷ 
 
INVERTE O SEGUNDO E 
MULTIPLICA 
422
10
6
3
20
6
10
3
20
=⋅=⋅= 
INVERTE O DEBAIXO 
E MULTIPLICA 
 
Use sempre que possível o cancelamento ! 
Um de cima com um debaixo... 
2
15
2
5
3
2
5
7
21
12
25
35
126
=⋅=⋅=⋅ 
126 e 12 dão por 2 è 63 e 6 ambos dão por 3 è 21 e 2 
e 35 e 25 dão por 5 è 7 e 5 e ainda 21 dá por 7 è 3 
 
Comparação: Qual dos números é o maior? 
1º 
9
1 & 
9
2 ? O maior é 
9
2 2º 
8
1 & 
6
1 ? O maior é 
6
1 
3º 
10
9 & 
9
8 ? 
Faça: 
90
81 e 
90
80 e compare que 
90
81 é o maior e então como 
90
81 e equivalente a 
10
9 este é o maior. 
1º Se os denominadores forem iguais a maior fração é aquela que tem MAIOR NUMERADOR. 
2º Se os numeradores forem iguais a maior fração é aquela que tem MENOR DENOMINADOR. 
3º Se tudo for diferente, a primeira coisa é IGUALAR OS DENOMINADORES e depois usar a 1ª regra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS : 
 
01. Calcule o valor das seguintes expressões numéricas: 
a) 
5
6
x
3
1
2
3
+ = b) 4x
7
1
7
4
− = 
c) 
4
9
x
3
2
4
3
x2 + = d) 
2
5
x
5
2
4
3
x
9
20
6
1
−+ = 
e) 





+ 2
5
1
x
11
3 = f) 





+





−
4
1
12
5
x
8
3
4
9 = 
g) 
2
1
5
4
:
3
2
+ = h) 
5
7
:
10
7
5
9
− = i) 
12
5
6:
2
1
+ = 
j) 





−
14
5
1:
7
3 = k) 





+





+
10
1
3
1
:
5
2
4
1 = 
l) 
14
1
2
1
7
3
x
3
2
+
= m) 





+





−
6
1
3
1
:
2
1
4
3 = n) 
12
5
6
1
8
3
+
= 
o) 





+
2
3
x
5
1
5
6
x
25
4 = p) 
3
1
10
3
6
1
15
4
+−+ = 
q) 
6
1
5
11
10
3
5
4
−+− = r) 





+





5
6
4
1
x
3
20
x
2
3 = 
 
NÚMEROS RACIONAIS COM VÍRGULA 
Correndo vírgulas 
3,11
10
113
= 13,1
100
113
= 
113,0
1000
113
= 
nº de zeros igual 
ao nº de casas. 
Somando 
6,9 + 13,72 + 8,785 = 
Montando vírgula 
embaixo de vírgula 
 6,9 
+ 13,72 
 8,785 
 29,405 
Subtraindo 
13,2 – 6,96 = 
É bom completar com zeros! 
Vírgula embaixo de vírgula . 
 
 13,20 
- 6,96 
 6,24 
Multiplicando 
23,46 × 3,2 = 
Multiplica normalmente e no 
final conta as casas depois da 
vírgula. 
 23,46 
 × 3,2 
 4692 
 70380 
 75072 è 75,072 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
01. Lembrando que, por exemplo, 01,0
100
1
= ; 
qual é a representação decimal das frações: 
a) 
10
4 = b) 
1000
9 = c) 
100
8 = d) 
10
9 = 
e) 
10000
5 = f) 
100
6 = 
 
02. Você deve escrever na forma decimal cada 
uma das seguintes frações decimais: 
a) 
10
76 = b) 
100
76 = c) 
1000
76 = d) 
10
376 = 
e) 
100
376 = f) 
1000
376 = g)
10000
376 = 
h) 
10
1265 = i) 
100
3048 = j) 
1000
2107 = 
l) 
100
7 = m) 
10
83 = 
 
03. Calcule: 
a) 6,9 + 3,078 + 12,45 = 
b) 0,326 + 1,78 + 0,095 = 
c) 0,945 + 6 + 21,49 = 
d) 42,776 + 37,224 = 
e) 8,01 + 4,995 + 10,005 = 
f) 0,706 + 15 + 2,71 + 13,8 = 
 
04. Calcule: 
a) 13,1 – 9,86 = b) 27 – 15,083 = 
c) 9,2 – 5,4207 = 
d) 20 – 19,5983 = e) 0,76 – 0,705 = 
f) 41,3 – 39,682 = 
 
05. Calcule o valor das expressões abaixo: 
a) 2 – 0,447 + 3,36 = 
b) 30,8 + 22,36 – 10,904 = 
c) 18,1 – (43 – 29,85) = 
d) (10 – 3,6) + (1,41 – 0,98) = 
e) 47 – (72,3 – 58,92) = 
f) (51,7 + 8,36) – (16,125 + 7,88) = 
 
06. Calcule: 
a) 1,003 x 10 = b) 2,015 x 100 = 
c) 12,0092 x 1000 = d) 12,5 x 3,2 = 
e) 4,23 x 3,1 = f) 4,25 x 0,36 = 
g) 18 x 0,54 = h) 72,8 x 0,01 = 
i) 32,5 x 0,041 = j) 4,83 x 5 = 
l) 4,83 x 0,5 = m) (1,03)²= 
n) (1,07)³= o) (1,24)² = 
p) (1,17)³= q) (1,031)²= 
r) (0,11)²= s) (0,07)³ = 
 
 
 CONTAS DE DIVISÃO - ALGORITMO 
DA DIVISÃO (NOME DAS PARTES): 
 
DIVIDENDO DIVISOR 
M QUOCIENTE 
RESTO 
 
Tenha sempre em mente, antes de fazer a 
conta, mais ou menos o tamanho da 
resposta !!! 
 
Estimando: 
4545 ÷ 15 = podemos pensar que certamente dará 
mais de 100! 
7 ÷ 4 = podemos pensar que é mais que 1 menos 
que 2, e que não é um número exato. 
4 ÷ 7 = podemos pensar que mais que 0,5 porque 4 
passa da metade de 7. 
45 ÷ 3,2 = podemos esquecer a vírgula e pensar 
em 45 ÷ 3 = 15. Porém será menos que 15, porque 
3 é menor que 3,2. 
33,4 ÷ 0,22 = podemos dizer que esta conta 
equivale a conta 334 ÷ 2,2 que se aproxima do 
resultado de 300 ÷ 2 que é 150. Portanto a 
resposta deve estar próxima a 150. 
260,1 ÷ 260 = esta dará muito pouca coisa mais 
que 1. 
 
REGRAS PARA EFETUAR DIVISÕES: 
1) Na primeira vez, baixe (indicando com um 
apóstrofe) o suficiente para efetuar a divisão, 
limitando-se a baixar o máximo que se tenha 
originalmente no dividendo. 
2) Responda e coloque o número no quociente, se 
não der escreva zero. 
3) A partir do segundo “baixar”, só poderá ser 
baixado um número de cada vez. E 
obrigatoriamente ele deverá ter sua resposta 
posta no quociente E caso não dê ponha zero. 
4) Siga assim até que terminem os números no 
dividendo. 
5) Quando o dividendo acabar, chame a vírgula. 
6) Baixe o primeiro zero emprestado e responda! 
7) Repita o procedimento até atingir o número de 
casas desejado no resultado. (Lembre-se que para 
cada zero baixado é obrigatória a colocação de 
resposta no quociente) 
 
 
 
 
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FAZENDO AS CONTAS: 
 45’4’5’ 15 7’ 4 
-45 303 - 4 1,75 
 045 30’ 
 -45 -28 
 0 20’ 
 -20 
 4’0’ 7 0 
-35 0,57 
 50’ 45,0 3,2 
 -49 45’0’ 32 
 1 - 32 14,06 
 130 
33,40 0,22 -128 
 33’4’0’ 22 20’0’ 
- 22 151,81 - 192 
 114 8 
 -110 
 40 260,1 260,0 
 -22 2601’ 2600 
 180’ - 2600 1,0003 
 -176 10’0’0’0’ 
 40’ - 7 8 0 0 
 - 22 2 2 0 0 
 18 
 
Atenção para as seguintes dificuldades: 
 ▪ Zero no meio do número 
▪ Chamando a virgula 
 ▪ Acertando as casas 
▪ Zero – Vírgula 
 
TTiippoo 0011 
a) 2718 : 3 = b) 64096 : 32 = 
c) 9292 : 23 = d) 7474 : 74 = 
e) 4298 : 14 = f) 221166 : 11 = 
TTiippoo 0022 
a) 386 : 12 = b) 645 : 42 = 
c) 847 : 66 = d) 1052 : 333 = 
e) 4123 : 903 = f) 12 : 386 = 
g) 420 : 645 = h) 668 : 847 = 
i) 333 : 4123 = j) 1 : 7= 
 
 
 
TTiippoo 0033 
a) 3,095 : 7 = b) 43,74 : 34 = 
c) 5,03 : 6 = d) 50 : 0,31 = 
e) 73 : 3,52 = f) 10 : 31,7 = 
TTiippoo 0044 
a) 3,15 : 4,655 = b) 0,788 : 1,28 = 
c) 31,7 : 15,357 = d) 3,52 : 2 = 
e) 73 : 0,087 = f) 32,16 : 161,7 = 
AAvvaannççaaddooss 
a) 5604 ÷ 56 b) 603121,8 ÷ 60 
c) 1417,22 ÷ 14 d) 0,6 ÷ 23 
e) 540,275 ÷ 5,4 f) 197,9 ÷ 9,86 
g) 1071200 ÷ 52 h) 0,047 ÷ 230 
i) 98300 ÷ 98,2 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS: 
 
23. (FCC – 2006) Ao dividir o número 762 por um 
número inteiro de dois algarismos, Natanael 
enganou-se e inverteu a ordem dos dois 
algarismos. Assim, como resultado, obteve o 
quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se 
enganado e efetuasse corretamente a divisão, o 
quociente e o resto que ele obteria seriam, 
respectivamente, iguais a 
a) 1 e 12 b) 8 e 11 c) 10 e 12 d) 11 e 15 
e) 12 e 11 
 
24. (FUVEST 03) Num bolão, sete amigos 
ganharão vinte e um milhões, sessenta e três mil e 
quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em 
sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu, 
em reais, foi: 
a) 3.009.006,00 b) 3.009.006,50 
c) 3.090.006,00 d) 3.090.006,50 
e) 3.900.060,50 
 
25. (UFRGS 02) Na promoção de venda de um 
produto cujo custo unitário é de R$ 5,75 se lê: 
“Leve 3 , pague 2”. Usando as condições da 
promoção, a economia máxima que poderá ser 
feita na compra de 188 itens deste produto é de 
a) R$ 336,50 b) R$ 348,00 c) R$ 356,50 
d) R$ 366,50 e) R$ 368,00 
 
26. (FUVEST 95) Dividir um nº por 0,0125 
equivale a multiplicá-lo por 
a) 
125
1 b) 
8
1 c) 8 d) 12, 5 e) 80 
 
 
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REGRAS DE POTÊNCIA 
 
 
01. EXPOENTE ZERO 
Todo nº elevado a zero é igual a 
um. 
( ) 13 0 =− ( ) 12 0 = 
1
3
1
0
=




 
 
ATENÇÃO!! 130 −=− 
 
02. EXPOENTE UM 
Todo nº elevado a um, 
é igual a ele mesmo. 
( ) 33 1 = ( ) 33 1 −=− 
2
1
2
1
1
=




 
( ) xx 1 = 
 
03. EXPOENTE PAR 
TRÊS CASOS 
(1) ( ) 93 2 +=+ 
(2) ( ) 93 2 +=− 
(3) 932 −=− 
↓ 
sem parênteses somente o nº é 
elevado ao expoente. 
04. EXPOENTE ÍMPAR 
MANTÉM O SINAL! 
( ) 82 3 = ( ) 82 3 −=− 
 
05. EXPOENTE DE FRAÇÕES 
16
9
4
3
2
=




− 
8
1
2
1
3
−=




− 
06. EXPOENTE NEGATIVO 
Deve-se inverter o nº. 
2
1
2 1 =− 
9
1
3 2 =− 
3
3
1
1
=





−
 
4
9
3
2
2
=





−
 
 
07. EXPOENTE DE EXPOENTE 
COM PARÊNTESES 
( ) 822
4
2 =


 + 
MULTIPLICA OS EXPOENTES 
 
08. EXPOENTE DE EXPOENTE 
SEM PARÊNTESES 
162
422 = 
09. BASES IGUAIS 
MULTIPLICAÇÃO 
Soma os expoentes nmnm aa.a += 
DIVISÃO 
Subtrai os expoentes 
nmnm aaa −=÷ 
 
POTÊNCIAS DE 10 (dez) 
1000 = 310 100 = 210 10= 110 1 = 010 
0,1 = 110− 0,01 = 210− 0,001 = 310− 0,0001 = 410− 
 
QUANDO É MAIOR QUE 1 
è A potência é igual ao número de zeros 
 
QUANDO É MENOR QUE 1 
è A potência é igual ao número de casas depois da vírgula (inclui o 1) 
 
EXERCÍCIOS: 
01. Calcule: 
a) ( )29+ = b) ( )29− = c) ( )39+ = d) ( )39− = e) ( )52+= 
f) ( )52− = g) ( )62− = h) ( )62+ = i) ( )101− = j) ( )43− = 
l) ( )37− = m) ( )0100− = n) ( )1011− = o) ( )225− = p) ( )610+ = 
q) ( )91− = r) ( )2001− = s) ( )030+ = t) ( )991+ = u) 1001− = 
02. Calcule o valor das expressões: 
a) ( ) ( ) ( )1659 2 +⋅+−− = b) ( ) ( ) ( )74 1162 −⋅+÷− = 
c) ( ) ( ) 022 1376 +−−− = d) ( ) ( )232 435 −+−− = 
e) ( ) ( )23 2054 −+−⋅ = f) ( ) 022 105411 +−⋅− = 
g) ( ) ( ) ( )722 162317 −⋅−−−⋅− = h) ( ) ( )202 22064341 −÷−+−⋅− = 
i) ( ) ( ) 232 102527 −−⋅−−⋅ = j) ( ) ( ) ( ) 132253 23 −−⋅+−⋅−− = 
03. Calcule o valor das seguintes expressões: 
a) 
32
2
1
4
1





+




 = b) 
23
3
2
3
1





÷




 = c) 
32
10
1
10
1
2
3






÷





+ = d) 
024
4
3
4
1
2
1





−




÷




 = 
 
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04. Vamos calcular: 
a) 23− = b) 310− = c) 62− = d) 28− = e) ( ) 34 −− = 
f) ( ) 210 −− = g) ( ) 19 −− = h) 
1
5
2
−





+ = i) 
2
4
3
−





− = j) 
3
2
3
−





− = 
l) 
5
2
1
−





− = m) 
2
4
5
−





+ = 
05. Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo: 
a) 0,01 b) 0,00001 c) 0,001 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS: 
 
27. O valor de 
100
](0,1)2.[0,02 2− é: 
a) 0,0002 b) 0,002 c) 0,02 d) 0,2 e) 2 
 
28. O valor numérico da expressão 
n
nmn 2− para 
m = 0,2 e n = -0,6 é: 
a) 
5
2 b) 
5
4
− c) 
5
2
− d) 
5
4 e) 
2
5 
 
29. (UFRGS) O valor de n na igualdade 
n
3
33)(
0
22
=
+− é : 
a) 0 b) 1 c) 4 d) 12 e) 18 
 
30. Se n é um número inteiro positivo a expressão 
1nn 1)(1)( +−+− tem por valor numérico: 
a) –2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
31. Considerando as expressões 
108642 x.x.x.x.xA = e 97531 x.x.x.x.xB = e fazendo x 
= -1 em ambas, então BA − é igual a 
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 
 
32. A representação decimal de 3)01,0( é : 
a) 0,03 b) 0,001 c) 0,0001 d) 
0,000001 e) 0,0000001 
 
33. (UCS) O valor de 35 105104y −×××= é: 
a) 202 b) 220 c) 3102× d) 151020 −× e) 4102× 
 
34. A expressão 
936
754
1.)1.(1
)1.(3)1.()1(
−−
−−−− vale: 
a) 2 b) -1 c) 0 d ) 1 e) 3 
 
35. O valor da expressão 3
2
)2(
3
2 −
−
−+




 é: 
a)
8
17 b)
17
8 c)
9
76 d)
76
9 e)
3
2 
 
36. A expressão 
110.5
5
4
3
2
3
0
+
+





−
−
 equivale a 
a) 25 b) 
25
24 c) 24 d) 
25
1 e) 
24
25 
 
37. O valor da expressão
1
1
022
2
1
)4(
3)2(2
−
− 





+−
+−−− é 
a) -
4
7 b) -4 c) 
4
7 d) 4 e) 0 
 
38. (PUC) A expressão é igual a 
3/2
02222
8
18)3.(22.2 ++− 
a) 164 b) 83 c) 82 d) 45 e) 41 
 
39. A metade de 444 é 
a) 224 b) 222 c) 434 d) 442 e) 872 
 
40. Substituindo x por -1 na expressão 
1003210 x.....xxxx +++++ , a mesma equivale a 
a) -100 b) -1 c) 0 d) 1 e) 100 
 
41. (FUVEST 98) Qual desses números é igual a 
0,064? 
a) 
2
80
1





 b) 
2
8
1





 c) 
3
5
2





 d) 
2
800
1





 e) 
3
10
8





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
� SIGA AS REGRAS ESTUDADAS E APENAS ISOLE O X 
 
01. No conjunto R, vamos resolver as seguintes equações do 1º grau com uma incógnita: 
a) 2013x11 =− b) x750x17 =+ c) 20x58x9 +=− 
d) 16x1021x12 +=+ e) ( ) ( ) 131x322x5 =−−+ f) ( )[ ] t21ttt −=−−−− 
g) ( ) ( ) ( )5x1x21x3 +−=−−+ h) 
20
y3
4
3
5
y2
=− i) 
2
x
12x
3
1
−=+− 
j) 
2
7
3
1x
4
3x
=
−
−
+ l) 
4
x1
5
1
2
10
1x2 +
−=−
− 
 
02. Resolva as equações: 
a) 0
3
4x
4x =
+
−− b) x4
2
8x
=−
− c) 
3
4x
8
2x −
=
− 
d) 
3
3x
2
3
3
x4 −
=− e) 
6
y
1
2
4y
y +=
+
− f) 
3
x
4
1x
8
x3
−
+
=
− 
g) 
12
14t3
3
t
3
1
2
5t +
−=−
− h) 
4
3m13
2
1m
8
5m2 +
=
−
+
− i) 
3
1x3
12
1x6
5
1x +
=
+
+
+
 
j) 
4
a4
4
5
a4
a
−
−=
−
− l) ( ) ( )
4
2x35
3
1x2
3
1x4 +⋅
=
+⋅
+
+ m) ( )
2
y
4
3y
12
3y5
3
y
=
−
+
−⋅
+ 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
 
Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo equações do 1º grau. 
 
ex 01. Somando 20 kg ao dobro da massa de Marli obtemos 136 kg. Qual é a massa de Marli? 
Solução: Considere x a massa de Marli, montando temos: 
2x + 20 = 136 è 2x = 136 – 20 è 2x = 116 =è x = 58 
 
ex 02. Na sucessão de números pares positivos: 2, 4, 6, 8, ... ache os números vizinhos de modo que 
a soma deles seja 606. 
Pense no primeiro número como x como o outro é o próximo par temos que ele será x + 2 e sabemos 
que x + x + 2 = 606 è 2x + 2 = 606 è 2x = 604 è x = 302 è que o outro que é x + 2 = 304. 
ex 03. Três irmãos receberam uma herança. O mais velho recebeu 
3
1 da herança, o mais jovem 
4
3 
do resto, ficando $150.000 para o terceiro irmão. Qual o valor da herança? 
Seja x toda a herança. Para o mais velho coube 
3
x . Resta então x
3
2 . Destes x
3
2 , o mais jovem fica 
com 
4
3 , ou seja 
4
3 de x
3
2 = 
2
x (“de” = ●). O do meio ficou com $150.000. O que sabemos é que somando 
as três partes teremos a herança toda, ou seja x. Então: 
3
x + 
2
x + 150.000 = x è 
6
x6
6
000.900x3x2
=
++ è x = 900.000. Herança igual a $900.000. 
 
ex 04. Repartir 54 balas entre três meninos sendo que A recebe 8 balas a mais que B, e B recebe 5 
balas a mais do que C. Quantas balas A recebe? 
Começamos pelo último... C recebe x balas, então B recebe x + 5 e A, x + 5 + 8. Somando os três tem 
que dar 54, então x + x + 5 + x + 5 + 8 = 54 è 3x = 36 à x = 12. Então C recebe 12; B,17 e A, 25. 
 
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ex 05. Vamos repartir 125 balas em 3 caixas. A primeira deve conter 
7
3 da quantidade de balas da 
segunda caixa e a segunda caixa deve conter 11 balas a mais do que a terceira caixa. Quantas balas 
devem ser colocadas em cada caixa? 
 
 
Como a 1ª depende da 2ª e a 2ª depende da 3ª podemos concluir que todos depende da 3ª . Sendo 
assim escreveremos x na 3ª. Na Segunda teremos x + 11 e na 1ª )11x(
7
3
+ . Sabemos que )11x(
7
3
+ + x + 
11 + x = 125 è
7
7125
7
x7)11x(7)11x(3 ⋅
=
++++
 è 3x + 33 + 7x + 77 + 7x = 875 è 17 x + 110 = 875 
è 17 x = 875 – 110 = 765 è x = 45 
Voltando temos: 3ª : 45 2ª 45 + 11 = 56 e 3ª 248356
7
3
=⋅=⋅ 
 
ex 06. (FCC – 2001) Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um 
único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). 
Sabe-se que o número de funcionários do setor (2) é igual a 
5
2 do número dos de (3). Se os funcionários 
do setor (1) são numericamente iguais a 
8
3 do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a 
quantidade de funcionários do setor 
a) (1) é 284 b) (2) é 150 c) (2) é 180 d)) (3) é 350 e) (3) é 380 
(2) depende de (3), tome que em (3) existem x pessoas, então em (2) existem 
5
2 de x. Já em (1) existem 
8
3 de 784 que são 294 pessoas. Somando(1) + (2) + (3) = 784. Então: 
5
2 x + x + 294 = 784 è 7x = 2450 
è x = 350. Temos em (1) 294; em (2), 140 e em (3), 350. LETRA D 
ex 07. (FCC – 2008) Observe o diagrama. 
 
Usando a mesma idéia, é possível determinar os números do interior de cada um dos 4 círculos do 
diagrama a seguir. 
 
Desses quatro números, o 
a) menor é 3. b) menor é 4. c) maior é 6. 
d) maior é 9. e) maior é 12. 
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Por um lado, chamando de x o número embaixo à direita, podemos escrever que o próximo será x + 4, e 
que o anterior é x + 1. Pelo diagrama podemos dizer que 2 · (x + 1) = x + 4 e resolvendo a equação 
obtemos x = 2 e colocando os nos no diagrama temos: 2, 6, 9, 3. 
 
PERGUNTAS: 
 
01. Tirar 3 do triplo da idade de Marcelo é a mesma coisa que adicionar cinco a sua idade. Qual é a 
idade de Marcelo? 
02. A quinta parte de um número inteiro somada com 19 dá 82. Qual é o número? 
03. Qual é o salário de Flávio se com a metade ele compra uma bicicleta por R$ 93,26 e ainda 
restam R$ 17,61? 
04. Em um determinado dia, 
5
3 dos alunos da 5ª série A foram participar de uma gincana cultural, 
enquanto 
3
1 dos alunos dessa série participava de uma olimpíada esportiva. Sabendo que 42 alunos da 
5ª série A participavam de um dos dois eventos, determine: 
a) a fração dos alunos da 5ª série A que participaram dos eventos. 
b) quantos alunos há na 5ª série A 
c) a fração de alunos da 5ª série A não participam dos eventos. 
05. Para pintar 
9
4 de uma parede em um dia e 
6
1 da mesma parede em um segundo dia, um pintor 
gastou 11 litros de tinta. Nessas condições, calcule: 
a) a fração da parede que ele pintou nesses dois dias. 
b) quantos litros de tinta ele gastará para pintar a parede toda 
c) quantas latas ele gastará para pintar a parede toda, se uma lata contém 6 litros de tinta. 
06. Durante a disputa de um torneio de futebol, um quadro venceu 
3
2 dos jogos que disputou e 
empatou 
9
1 dos jogos. Sabendo que o quadro não perdeu 14 dos jogos que disputou, calcule : 
a) quantos jogos o quadro disputou nesse torneio. 
b) quantos jogos o quadro venceu 
c) quantos jogos o quadro empatou. 
d) quantos jogos o quadro perdeu. 
07. Uma pesquisa foi feita com um certo número de pessoas e constatou-se o seguinte: 
• 
3
1 das pessoas praticavam somente basquete 
• 
5
2 das pessoas praticavam somente voleibol 
• 
10
1 das pessoas praticavam somente futebol 
• as 20 pessoas restantes não praticavam esportes 
Nessas condições, determine: 
a) a fração das pessoas pesquisadas que praticavam esportes 
b) a fração das pessoas pesquisadas que não praticavam esportes 
c) o total de pessoas pesquisadas 
d) o número de pessoas pesquisadas que praticavam basquete 
e) o número de pessoas pesquisadas que praticavam voleibol. 
08. A idade de César é o quíntuplo da idade de Cleópatra e a soma das idades dos dois é 78 anos. 
Quais são as idades? 
09. Um tijolo pesa um quilo e meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? 
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10. A soma de dois números impares e consecutivos é 404. Achar o produto dos dois números. 
11. Cinco números consecutivos ímpares somam 105. O segundo número vale? 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS: 
 
42. (FGV) A soma de 3 números inteiros e 
consecutivos é 60. Assinale a afirmação 
verdadeira: 
a) O quociente do maior pelo menor é 2. 
b) O produto dos 3 números é 8000. 
c) Não existem números nesta condição. 
d) Faltam informações para achar os números. 
e) O produto dos três números é 7980. 
 
43. A solução da equação 10
2
1x
x5 =
+
− é: 
a) 
7
3 b) 
3
7 c) 3 d) 7 e) 0 
 
44. (UFMG) De um recipiente cheio de água 
tiram-se 
3
2 do seu conteúdo. Recolocando-se 30l 
de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do 
volume inicial. A capacidade do recipiente é: 
a) 45l b) 75l c) 120l d) 150l e) 180l 
 
45. (ULBRA) Um tanque de gasolina de um carro 
tem capacidade para 50 litros. O marcador 
de gasolina mostra que o combustível ocupa a 
quarta parte do tanque. Se o litro de gasolina 
custa R$ 0,476, o motorista gastará para 
completar o tanque: 
a) R$ 5,93 b) R$ 6,50 c) R$ 16,00 
d) R$ 17,85 e) R$ 23,75 
 
46. (FUVEST) O dobro de um número mais a sua 
terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. 
Determinando o número, teremos: 
a) 24 b) 12 c) 10 d) 8 e) 31 
 
47. O número que somado aos seus 
3
2 resulta 30 
é : 
a) impar b) múltiplo de 9 c) divisor de 30 
d) primo e) quadrado perfeito 
 
48. (UFRGS) De um total de 40 questões 
planejadas para uma prova, eliminaram-se 2x 
delas e do resto, ainda tirou--nse a metade do 
que havia sobrado. Qual a tradução algébrica do 
número de questões que restaram? 
a) (40-2x) - 20 +x b) (40-2x)-20 
c) 
2
x
)x240( −− d) (40-2x)-x 
e) (40-2x)-20-x 
 
49. (UFRGS 93) Com A cruzeiros compram-se 
uma dúzia de laranjas e meia dúzia de limões. Com 
B cruzeiros compram-se meia dúzia de laranjas e 
uma dúzia de limões. A quantia , em cruzeiros, 
para se comprar meia dúzia de laranjas e meia 
dúzia de limões é 
a) 3 ( A + B ) b) 2 ( A + B ) c) A + B 
d) 
2
BA +
 e) 
3
BA +
 
 
50. (UFRGS 97) Um grupo de estudantes 
dedicado à confecção de produtos de artesanato 
gasta R$ 15,00 em material, por unidade 
produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 
600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. 
Quantas unidades terão de vender para obterem 
um lucro de 800,00? 
a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 
 
51. (UFRGS 97) Uma pessoa gasta 
4
1 do dinheiro 
que tem e, em seguida 
3
2 do que lhe resta, 
ficando com R$ 350,00. Quanto tinha 
inicialmente ? 
a) R$ 400,00 b) R$ 700,00 c) R$ 1400,00 
d) R$ 2100,00 e) R$ 2800,00 
 
52. (FCC – 2001) No almoxarifado de certa 
empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos 
em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes 
em cada prateleira correspondem a 4 números 
pares sucessivos, então, dos números seguintes, o 
que representa uma dessas quantidades é o 
a) 8 b) 12 c)) 18 d) 22 e) 24 
 
53. (FCC – 2008) Um lote de 9 000 disquetes foi 
colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de 
forma que o número de disquetes colocados em 
cada uma correspondia a 
3
1 da quantidade 
colocada na anterior. O número de disquetes 
colocados na 
a) primeira foi 4 075. b) segunda foi 2 025. 
c) terceira foi 850. d) quarta foi 500. 
e) quarta foi 255. 
 
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54. (FCC – 2008) Das 182 páginas de um 
relatório, digitadas por Adilson, Benilson e 
Cevilson, sabe-se que: o número das digitadas por 
Adilson correspondia a 
3
2 do número das 
digitadas por Benilson; o número das digitadas por 
Benilson, a 
12
11 das digitadas por Cevilson. 
Quantas páginas Cevilson digitou a mais do que 
Benilson? 
a) 28 b) 22 c) 12 d) 8 e) 6 
 
55. (FCC – 2006) Certo dia, um técnico judiciário 
foi incumbido de digitar um certo número de 
páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 
45 minutos, adotando o seguinte procedimento: 
– nos primeiros 15 minutos, digitou a metade 
do total das páginas e mais meia página;– nos 15 minutos seguintes, a metade do 
número de páginas restantes e mais meia página; 
– nos últimos 15 minutos, a metade do número 
de páginas restantes e mais meia página. 
Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o 
total de páginas do texto era um número 
compreendido entre 
a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 
d) 14 e 17 e) 17 e 20 
 
56. (FCC – 2004) Hoje, dois técnicos judiciários, 
Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480 
processos para arquivar, respectivamente. Se 
Marilza arquivar 20 processos por dia e Ricardo 
arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias, 
contados de hoje, Marilza terá menos processos 
para arquivar do que Ricardo? 
a) 12 b) 14 c))16 d) 18 e) 20 
 
57. (FCC – 2007) De acordo com um relatório 
estatístico de 2006, um setor de certa empresa 
expediu em agosto um total de 1347 documentos. 
Se a soma dos documentos expedidos em 
setembro e outubro foi o triplo do de agosto e o 
número dos expedidos em setembro ultrapassou o 
de outubro em 853 unidades, a diferença entre a 
quantidade de documentos expedidos em 
setembro e a de agosto foi 
a) 165 b) 247 c) 426 d) 427 e) 1 100 
 
 
 
 
58. (FCC – 2007) Pelo controle de entrada e 
saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal 
Regional Federal, verificou-se em certa semana 
que o número de visitantes na segunda-feira cor-
respondeu a
4
3 do da terça-feira e este correspon-
deu a 
3
2 do da quarta-feira. Na quinta-feira e na 
sexta-feira houve igual número de visitantes, cada 
um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se 
nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total 
de visitantes foi 750, o número de visitantes na 
a) segunda-feira foi 120. 
b) terça-feira foi 150. 
c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. 
d) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. 
e) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira. 
 
59. (FCC – 2007) Certo dia, Veridiana saiu às 
compras com uma certa quantia em dinheiro e foi 
a apenas três lojas. Em cada loja ela gastou a 
quarta parte da quantia que possuía na carteira e, 
em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o 
estacionamento onde deixou seu carro. Se após 
todas essas atividades ainda lhe restaram R$ 
49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente 
na carteira estava compreendida entre 
a) R$ 20,00 e R$ 50,00. 
b) R$ 50,00 e R$ 80,00. 
c) R$ 80,00 e R$ 110,00. 
d) R$ 110,00 e R$ 140,00. 
e) R$ 140,00 e R$ 170,00. 
 
60.(FCC – 2003) Do total de processos 
arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que: 
8
3 foram arquivados numa primeira etapa e 
4
1 
numa segunda. Se os 9 processos restantes foram 
arquivados numa terceira etapa, o total de 
processos era 
a) 18 b)) 24 c) 27 d) 30 e) 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMAS DE 1º GRAU 
Exemplos: 
 
Adição 01 
01)



=−
=+
5yx8
5yx2
 
 10x = 10 è x = 1 
Voltando: 
2 . 1 + y = 5 è 
y = 5 – 2 = 3 
Solução: ( 1 , 3 ) 
Adição 02 
02)



=+
=−
8y2x3
3yx2 
ê 



=+
=−
8y2x3
6y2x4
 
 7x = 14 è x = 2 
Voltando: 2 . 2 – y = 3 è 
y = 4 – 3 = 1 Solução: ( 2 , 1 ) 
Substituição 01 
03)



−=−
+=
4yx2
2x3y 
2x – ( 3x + 2 ) = -4 è 
2x – 3x – 2 = -4 è 
-x = -2 è x = 2 
y = 3 . 2 + 2 = 8 
Solução: ( 2 , 8 ) 
Usando qualquer um dos métodos, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas: 
04) 



=+
=−
19yx2
15y5x 05) 



=+
−=+
6y2x
2yx3 06) 



=−
=
3y5x2
y2x 07) 






+=
−
=
+
2y
2
x
3
yx
5
yx
 
08) 



−=−
−=
21yx4
y5x 09) 



=+
=−
40y3x4
20y3x6 10) 



=+
=
50yx
y3x2 11) 





=+
=−
6
2
y
3
x
12yx2
 
12) 



=+
=+
21y6x5
23y6x7 13) 



=−−
−=−
10y4x
4y2x 14) 



=+
=+
3y5x4
11y5x8 15) 



=+
=−
1y7x2
11y3x2 
16) 



+=
=+
2yx
6yx 17) 



−=−
−=+
4y2x3
24y5x 18) 





=−
+=
29yx
2
y
10
5
x
 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DO 1º GRAU 
 
O Objetivo nesse tipo de problema é que você traduza o texto da questão em um sistema, inventando 
para isso duas letras diferentes, cada uma representando um dos dois objetos do problema. 
Preferencialmente escolha letras que tenham relação com o problema, por exemplo se forem vacas e 
galinhas escolha V e G e não x e y. 
 
Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. 
 
EX 01. No fim de um dia de trabalho, o caixa de um banco consegue juntar 160 notas de R$ 10,00 e 
de R$ 50,00, num total de R$ 6.240,00. Quantas notas há de cada espécie? 
Considere D = nº de notas de R$ 10 e C = nº de notas de R$ 50 
Sabemos que D + C = 160 e que 10D + 50C = 6240 
Montando o sistema: 



=+
=+
6240C50D10
160CD
è



=+
−=−−
6240C50D10
1600C10D10
 
 40C = 4640 è C =116 
10D + 10 ( 116 ) = 1600 è 10D = 1600 – 1160 = 440 è D = 44 
ex 02. Quando trabalho ganho R$ 32,00 por dia. Quando falto pago multa de R$ 25,00. Em 45 dias 
recebi um total de R$ 528,00, quantos dias eu faltei? 
Considere T = dias trabalhados e F = dias com falta 
Sabemos que T + F = 45 e que ganha 32T e perde 25F e que isso è 32T – 25F = 528. 
Montando o sistema: 



=−
=+
528F25T32
45FT 
Temos que F = 45 – T por substituição: 32T – 25( 45 – T ) = 528 è 32T – 1125 + 25T = 528 
è 57T = 1653 è T = 29. Voltando temos que F = 45 – 29 = 16. 
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ex 03. (FCC – 2003) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 
está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6800,00, qual é 
a diferença positiva entre os salários dos dois? 
a) R$ 200 b) R$ 250 c) R$ 300 d) R$ 350 e)) R$ 400 
Montando o sistema temos: 




=
=+
4
3
B
A
6800B2A3
, sabemos que 4A = 3B, remontando o sistema temos: 



=−
=+
0B3A4
6800B2A3 , para a adição transformamos em 



=+−
=+
0B9A12
27200B8A12 à 17 B = 27200 à B = 1600 e A = 
1200 (pela razão). A diferença entre os salários é de R$ 400,00. LETRA E 
 
 
PERGUNTAS: 
01. Determine uma fração equivalente a 
5
3 em que a soma dos seus termos é 152. 
02. Em uma revendedora há x carros e y motos, num total de 22 veículos. Esses veículos apresentam 
um total de 74 rodas. Determine quantos carros e quantas motos há nessa revendedora . 
03. Em um jogo de basquete, a equipe A venceu a equipe B por uma diferença de 3 pontos. O número 
x de pontos que a equipe A marcou é igual a 
40
41 do número y de pontos que a equipe B marcou. Qual foi 
o resultado dessa partida? 
04. Um sorvete custa x reais e um doce custa y reais. A diferença entre o preço de um sorvete e o 
preço de um doce é 4 reais. Karina tomou um sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo R$ 52. 
Qual é o preço do sorvete? 
05. O preço de uma lapiseira é o triplo do preço de uma caneta esferográfica. Se as duas juntas 
custam R$ 32,00, qual é o preço de cada uma? 
06. Uma tábua com 2,85m de comprimento foi dividida em duas partes. O comprimento x da pri-
meira parte tem 0,93m a mais que o comprimento y da segunda. Qual é o comprimento de cada parte? 
07. Um livro tem 160 páginas e eu já li uma parte dele. O número x de páginas que já li do livro 
corresponde a 
3
5 do número y de páginas que falta para eu terminar de ler este livro. Quantas páginas 
eu já li? 
08. Um colégio tem 30 professores. O número x de professoresque ensinam outras matérias é igual 
a quatro vezes o número y de professores que ensinam Matemática. Quantos professores ensinam 
Matemática nesse colégio ? 
09. Um time de futebol marca em média, 2 gols para cada gol que toma. Neste campeonato, até 
agora, o seu saldo de gols é 38. Quantos gols o time sofreu neste campeonato? Quantos marcou? 
10. Vou repartir minha coleção de 520 moedas antigas entre meus dois primos: Fábio e Cristina. 
Para Fábio eu vou dar 
25
1 do que eu der para Cristina. Quantas moedas devo dar a cada primo? 
11. Um número dividido por quatro dá um quociente exato que lhe é inferior em 48 unidades, qual é 
o número? 
12. Certos sacos precisam ser transportado, para isso, dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois 
sacos em cada jumento, sobram treze sacos. Se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três 
jumentos. Quantos são os sacos e os jumentos? 
13. Comprou-se vinho a R$ 4,85 o litro e chope a R$ 2,50 o litro. O número de litros de chope 
ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de R$ 19,75 a mais do que a paga pelo chope. A 
quantidade de litros de vinho e chope comprada foi ? 
 
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QUESTÕES DE CONCURSOS: 
 
61. Somando-se 13 ao numerador de uma fração 
esta se torna igual a 1; somando-se 14 ao 
denominador da fração dada, esta se torna igual a 
2
1 . Então a diferença entre o denominador e o 
numerador da fração dada é: 
a) 12 b) 5 c) 7 d) 1 e) 13 
 
62. (PUCRS) Uma escola tem 960 alunos e 30 
turmas entre primeiro e segundo graus. Cada 
turma do primeiro grau tem 30 alunos e, do 
segundo grau , 40 alunos. Definindo como x o 
número de turmas do primeiro grau e y o número 
de turmas do segundo grau, o problema para 
determinar o número de turmas de cada nível 
pode ser resolvido pelo sistema: 
a)



=+
=+
70yx
960yx b) 



=
=+
960xy10
30yx c) 



=
=+
960xy70
30yx 
 d) 



=+
=+
960y40x30
30yx e) 



=+
=+
30y40x30
960yx 
 
63. (UFRGS 94) O denominador de uma fração 
excede o numerador em 3 unidades. Adicionando-
se 11 unidades ao denominador , a fração torna-se 
equivalente a 
4
3 . A fração original é 
a) 
57
54 b) 
33
30 c) 
36
33 d) 
45
42 e) 
21
18 
 
64. (FUVEST 05) Um supermercado adquiriu 
detergentes nos aromas limão e coco. A compra 
foi entregue embalada em 10 caixas, com 24 
frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa 
continha 2 frascos de detergente a mais no aroma 
limão do que no aroma coco, o número de frascos 
entregue no aroma limão foi: 
a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 
 
65. (FUVEST 94) Um casal tem filhos e filhas. 
Cada filho tem um número de irmão igual ao 
número de irmãs. Cada filha tem o número de 
irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é 
o total de filhos e filhas do casal? 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
 
 
 
 
 
 
66. (FCC – 2003) Bento e Caio tinham, juntos, R$ 
96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e 
restou-lhe a metade da quantia com que Caio 
ficou. Originalmente, Bento tinha 
a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00 
d))R$ 52,00 e) R$ 50,00 
 
67. (FCC – 2008) Certo ano, três técnicos em 
segurança registraram um total de 1 080 
ocorrências não rotineiras. Sabe-se que o 
primeiro registrou 547 delas, enquanto que as 
registradas pelos outros dois diferiam entre si de 
53 unidades. Nessas condições, a maior 
quantidade de ocorrências registradas por um 
desses dois técnicos é um número 
a) primo. b) par. c) divisível por 3. 
d) múltiplo de 4. e) divisível por 5. 
 
68. (FCC – 2008) A razão entre as idades de 
dois técnicos é igual a 
9
5 . Se a soma dessas 
idades é igual a 70 anos, quantos anos o mais 
jovem tem a menos do que o mais velho? 
a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 
 
69. (FCC – 2001) O esquema abaixo mostra, 
passo a passo, a seqüência de 
operações a serem efetuadas a partir de um certo 
número, a fim de obter o resultado final 10,4. 
 
O número que deve ser considerado como ponto 
de partida está compreendido entre 
a) 1 000 e 1 050 b) 1 050 e 1 100 
c) 1 100 e 1 150 d) 1 150 e 1 200 
e) 1 250 e 1 300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 Chama-se RAZÃO entre a e b , o quociente entre a e b ou seja 
b
a . 
Chama-se PROPORÇÃO a igualdade entre duas razões : 
d
c
b
a
=
 
lê-se: a está para b assim como c está para d 
 
PERGUNTAS: 
 
01. Calcule a razão entre os números: 
a) 28 e 14 b) 3 e 
2
1 c) 
5
4 e 
5
2 d) 3 e 9 e) – 5 e -
2
1 f) –0,75 e 0,15 
02. Sendo a e b números positivos e 
b
a é igual a 0,6. Qual é maior a ou b? Quantas vezes é maior? 
03. A razão de um número x para um número y é 4. Qual é a razão de y para x ? 
04. Uma foto de dimensões 3cm X 4cm foi ampliada passando o seu comprimento de 4cm para 
28cm. Quanto passou a medir sua largura? 
05. Qual razão é igual a 
8
3 , se a soma de seus termos é 2387? 
06. Qual razão é igual a 
11
3 , se a diferença dos termos for 448? 
07. Em duas caixas d’águas há 6.600 litros de água. Determine as capacidades das caixas, sabendo 
que as suas capacidades estão entre si, como três está para cinco. 
08.A é 
17
13 de B. C é a metade de B. O total é 1232. Então A vale? 
 
DIVISÕES PROPORCIONAIS E REGRA DE SOCIEDADE 
 
Nos diretamente proporcionais: 
Observe as sucessões de nos: 
• 2, 6, 10, 18 
• 1, 3, 5, 9 
Fator de proporcionalidade: 2 
Então: duas seqüências numéricas 
são diretamente proporcionais se 
houver um único nº que 
multiplicando ou dividindo leve de 
uma para a outra. 
Nos inversamente proporcionais: 
Observe as sucessões de nos: 
• 2, 3, 4, 6 
• 12, 8, 6, 4 Observe: 
2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 6 × 4 = 24 
Fator de proporcionalidade : 24 
Então: duas seqüências numéricas são 
inversamente proporcionais se o pro-
duto dos nos em posições equivalente 
for sempre um mesmo nº fixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1: Dada a sucessão com moldura, decida, quais das sucessões seguintes são diretamente 
proporcionais a da moldura: 
1º 
 
a) 6, 8, 10, 12, 14 
b) 9, 12, 15, 18, 21 
c) 7, 6, 5, 4, 3 
d)
3
1 , 
4
1 , 
5
1 , 
6
1 , 
7
1 
e) –3, -4, -5, -6, -7 
f) 3², 4², 5², 6², 7² 
S N O cara é 2 
S N O cara é 3 
3, 4, 5, 6, 7 
S N 
S N 
 
S N O cara é -1 
S N 
2º 1, 2, 6, 10 
a) 1, 4, 36, 100 
b) 0,1 ; 0,2 ; 0,6 ; 1 
c) 5, 10, 30, 50 
S N 
S N O cara é 10 
S N O cara é 5 
 
Exemplo 2: Dada a sucessão com moldura, decida quais das sucessões seguintes são inversamente 
proporcionais a da moldura: 
3º 
 
a) 60, 20, 12, 6 
b) 10, 5, 3, 1 
c) 30, 10, 6, 3 
d) 1, 
3
1 , 
5
1 , 
10
1 
e) –1, -3, -5, -10 
f) 1², 3², 5², 10² 
S N O cara é 60 – Valor fixo! 
S N 
1, 3, 5, 10 
S N O cara é 30 – Valor fixo! 
S N O cara é 1 – Valor fixo! 
 
S N 
S N 
4º 2, 4, 7 
a) –2, -4, -7 
b) 
2
1 , 
4
1 , 
7
1 
c) 0,2; 0,4; 0,7 
S N 
S N O cara é 1 – Valor fixo! 
S N 
 
TTééccnniiccaa ppaarraa eeffeettuuaarr ddiivviissõõeess pprrooppoorrcciioonnaaiiss:: 
 
Exemplo 3. Divida 420 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 6 : 
Quantas são aspartes? 3 + 5 + 6 = 14 
Tenho 420 para dividir entre elas è 30
14
420
= 
30 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. 
Construindo a proporção temos: 
3 5 6 
 × 30 
90 150 180 
Fazendo a prova real temos: 90 + 150 + 180 = 420. 
 
Exemplo 4. Divida 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 : 
Dividir 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 é a mesma coisa que dividir 80 em partes 
diretamente proporcionais a 
2
1 , 
5
1 e 
10
1 , daqui repetimos o raciocínio anterior. Quantas são as partes? 
2
1 + 
5
1 + 
10
1 = 
5
4
10
8
10
125
==
++ 
 Tenho 80 para dividir entre elas è 100
4
5
80
5
4
80
=⋅= 
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100 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. 
Construindo a proporção temos: 
2
1 
5
1 
10
1 
 × 100 
50 20 10 
 
Montando a tabela de inversamente proporcional (curiosidade): 
2 5 10 
= 100 
50 20 10 
Fazendo a prova real temos: 50 + 20 + 10 = 80. 
 
Exemplo 5. Divida 3720 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 5 e ao mesmo tempo a 5, 2 
e 1. A maior parte obtida é? 
Crie a seqüência guia, que é o produto das seqüências apresentadas no enunciado è (4x5), (3x2) e 
(5x1) è 20, 6, 5 
Quantas são as partes? 20 + 6 + 5 = 31 
Tenho 3720 para dividir entre elas è 120
31
3720
= 
120 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. 
Construindo a proporção temos: 
20 6 5 
 × 120 
2400 720 600 
Fazendo a prova real temos: 2400 + 720 + 600 = 3720. 
 
Exemplo 6. Divida 620 em partes diretamente proporcionais a 7, 3 e 2 e inversamente 
proporcionais a 1, 5 e 3. A segunda parte é? 
Crie a seqüência guia, que é o divisão da 1ª seqüência (DP) pela 2ª (IP) apresentadas no enunciado 
è 7, 
5
3 e 
3
2 . 
Quantas são as partes? 7 + 
5
3 + 
3
2 = 
15
124 
Tenho 620 para dividir entre elas è 75
124
15
620
15
124
620
=⋅= 
75 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. 
Construindo a proporção temos: 
7 
5
3 
3
2 
 × 75 
525 45 50 
Fazendo a prova real temos: 525 + 45 + 50 = 620. 
 
Exemplo 7. Sobre REGRA DE SOCIEDADE, é uma divisão proporcional onde o lucro ou prejuízo é 
dividido de maneira diretamente proporcional aos capitais iniciais de investimento e ao tempo de 
permanência na sociedade de cada uma das partes. Resolve-se do mesmo modo que o exemplo 5. 
Problema: Três sócios tiveram de lucro $540.000. O 1º entrou na empresa com $6.000, por 3 
meses; o 2º com $5.000 por 5 meses; o 3º $6.400 por 7 meses. Faça-se a distribuição dos lucros em 
conformidade com o tempo e com as entradas. 
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Para resolver crie a seqüência guia: 18.000, 25.000, 44.800. Depois é só proceder como já 
estudado. Resulta aproximadamente: $110.710, $153.760 e $275.530. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
01. Divida: 
a) 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. 
b) 63 em partes diretamente proporcionais a 9 e 12. 
c) 1650 em partes diretamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7. 
02. Precisamos repartir R$ 5.000,00 entre Marcelo (7 anos), Luciano (8 anos) e Alexandre (10 
anos), de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a 
divisão? 
03. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 
30.000,00. Se ao fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um? 
04. Divida: 
a) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. 
b) 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9. 
05. Calcule x e y, sabendo que os números da sucessão 2, x, y são inversamente proporcionais aos 
da sucessão 15, 6, 5. 
06. Dividir 15.000 em três partes tais que a 1ª esteja para a 2ª assim como 2 está para 5; e a 2ª 
esteja para a 3ª assim como 5 para 3. 
07. Repartir 1420 entre três pessoas de forma que a parte da 1ª esteja para a 2ª assim como 4 
está para 5; e a parte da 2ª esteja para a 3ª assim como 4 está para 7. (Dica: lembre que 
5
4 =
20
16 e 
7
4 =
35
20 ) 
08. Lucro de uma empresa foi $ 68.000. Tempos de cada sócio na empresa: 4, 8 e 5 meses. Qual o 
lucro de cada um? 
09. Dividir 26390 em partes inversamente proporcionais a 
5
1 , 
7
1 e 1. 
10. Dividir 94000 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. 
11. Divida 372 em 5 partes, sendo cada uma, metade da anterior. A segunda parte vale? 
12. (TRT) Três números são proporcionais a 3, 4 e 5. Determine o maior deles, sabendo que a 
diferença entre o triplo do menor e o número médio é 60. 
13. (TTN) Dividir o número 570 em, três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 4 
está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 para 12. 
14. (TTN) Divida 305 em três partes de modo que a 1ª esteja para a 2ª como 2 está para 5 e a 2ª 
esteja para a 3ª como 3 está para 8. 
15. O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobra com 3 de zinco. Quantos gramas de cobre e de 
zinco são necessários para produzir 150g de latão? 
16. Três números são proporcionais a 5, 7 e 9. O dobro do último menos a soma dos dois primeiros 
é 66. Qual o menor deles? 
17. Dividir 840 em partes proporcionais aos números 
3
2 , 
2
1 e
6
5 . 
18. Divida uma herança em partes inversamente às idades; 20, 8 e 12 anos. Se a parte do mais novo 
é $ 243.000, qual o do mais velho? 
19. Três associados tendo formado uma empresa com o capital de $ 32.000, tiveram de lucro, ao 
fim de certo tempo: um, $2.400; outro, $3.000 e o 3º $4.200, calcular a entrada de cada um. 
 
 
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QUESTÕES DE CONCURSOS: 
 
70. (UFRGS 92) Uma estrada de 315 km foi 
asfaltada por 3 equipes; A, B e C, cada uma delas 
atuando, respectivamente, em um trecho 
proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que 
coube à equipe C foi de 
a) 70 km b) 96 km c) 105 km d) 
126 km e) 140 km 
 
71. (FCC-2004) Num dado momento, no 
almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos 
de impressos: A e B. Após a retirada de 80 
unidades de A, observou-se que o número de 
impressos B estava para o de A na proporção de 9 
para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades 
de B e a proporção passou a ser de 7 de B para 
cada 5 de A. Inicialmente, o total de impressos 
dos dois tipos era 
a)) 780 b) 800 c) 840 d) 860 e) 920 
 
72. (FCC-2007) Dos 343 funcionários de uma 
Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que 
o número de homens está para o de mulheres 
assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa 
Unidade, a diferença entre o número de homens e 
o de mulheres é 
a) 245 b) 147 c) 125 d) 109 e) 98 
 
73. (FCC-2007) Dois técnicos judiciários 
deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir 
esta quantidade em partes inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades. Se o 
primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a 
idade do segundo, em anos, é 
a) 35 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74. (FCC-2001) Dois funcionários de uma 
Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 
164 processos e dividiram esse total na razão 
direta de suas respectivas idades e inversa de 
seus respectivos tempos