Estatística Aplicada à Engenharia - Lista 6

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
GES 104 - Estatística Aplicada à Engenharia
Profs. Izabela R. C. de Oliveira e Tales J. Fernandes
LISTA DE EXERCÍCIOS 6: Distribuições de Probabilidade Contínuas: Exponencial, Gama e
Weibull.
1- Seja X o tempo entre duas chegadas sucessivas no guichê de atendimento rápido de um banco
local. Se X possui distribuição exponencial com λ = 1 calcule os itens a seguir:
a) O tempo esperado entre duas chegadas sucessivas.
b) O desvio padrão do tempo entre chegadas sucessivas.
c) P (X ≤ 4)
d) P (2 ≤ X ≤ 5)
2- Diversas experiências com determinado tipo de ventilador, usados em motores a diesel, indicam
que a distribuição exponencial sugere um bom modelo para cálculo do tempo até uma falha. Suponha
que o tempo médio seja 25.000 horas. Qual é a probabilidade de:
a) um ventilador selecionado aleatoriamente durar pelo menos 20.000 horas? No máximo 30.000
horas? Entre 20.000 e 30.000 horas?
b) o tempo de vida de um ventilador exceder o valor médio em mais de 2 desvios padrão? Mais de 3
desvios padrão?
c) Qual a mediana do tempo de vida destes ventiladores?
3- Seja X uma variável aleatória contínua, exponencialmente distribuída, com função de densidade
de probabilidade dada por:
f(x) =
(
c+ 44
6
)
e−2cx, x > 0
a) Determine o valor da constante c e o valor de λ.
b) Calcule P (8µ− 3σ < X < 10µ+ 6σ), onde µ = E[X] e σ =√V AR[X].
4- Quinze minutos é o tempo médio entre as chamadas telefônicas para um consultório médico. Po-
demos considerar o tempo entre as chamadas telefônicas como uma variável aleatória exponencialmente
distribuída.
a) Qual é a probabilidade de a primeira chamada ocorrer entre 5 a 10 minutos depois de você chegar
ao consultório?
b) Qual é a probabilidade de não haver chamadas para este consultório dentro de um intervalo de 30
minutos?
5- O tempo entre a chegada de ônibus em certo ponto de uma avenida é representado por uma variável
aleatória exponencial de média 10 minutos.
a) Determine a probabilidade de uma pessoa ter de esperar mais de uma hora por um ônibus.
b) Qual é a probabilidade de passar pelo menos 2 ônibus nesse ponto em 30 minutos?
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6- Suponha que um sistema contém certo tipo de componente cujo tempo, em anos até a falha é dado
pela variável aleatória T. Esta variável é muito bem modelada pela distribuição exponencial, com tempo
médio até a falha de 5 anos. Se cinco destes componentes são instalados em sistemas diferentes, qual é a
probabilidade de que pelo menos dois sistemas estejam funcionando ao final de 8 anos?
7- O tempo de resposta de computadores é uma importante aplicação das distribuições gama e expo-
nencial. Suponha que um estudo sobre certo sistema de computador revele que o tempo de resposta, em
segundos, tem uma distribuição exponencial com média de 3 segundos.
a) Qual a probabilidade de que o tempo de resposta exceda 5 segundos?
b) Qual a probabilidade de que o tempo de resposta exceda 10 segundos?
c) Qual a probabilidade de que o tempo de resposta esteja entre 5 e 10 segundos?
8- A vida útil em horas, de uma broca de perfuração, em uma operação mecânica tem distribuição
Weibull com α = 2 e β = 0, 5. Determine a probabilidade de que a broca falhará em menos de 5 horas de
uso. Explique porque a natureza desta variável aleatória não combina com uma distribuição exponencial.
9- Nos últimos anos, a distribuição de Weibull tem sido usada para modelar emissões de poluentes
de vários motores. Seja X o valor da emissão de NOx (g/gal) a partir de certo tipo de motor de quatro
tempos selecionado aleatoriamente e suponha que X possua uma distribuição de Weibull com α = 0, 1
e β = 1, 2. Calcule a probabilidade de o valor de emissão de NOx deste motor ser inferior a 10 (g/gal).
Qual a probabilidade do valor de emissão de NOx deste motor estar entre 10 e 25 (g/gal)?
10- Seja X o limite de resistência à tração (ksi) de um corpo de prova de aço selecionado aleatoria-
mente que apresenta “fragilidade ao frio” em baixas temperaturas. Suponha que X tenha distribuição de
Weibull com α = 0, 01 e β = 1, 3.
a) Qual a probabilidade de X ser no máximo 15 ksi?
b) Qual a probabilidade de X estar entre 10 e 15 ksi?
c) Qual é o valor da mediana da distribuição da resistência?
Respostas:
1: a) 1 b) 1 c) 0,982 d) 0,129
2: a) 0,449; 0,699 0,148 b) 0,05 0,018 c) aproximadamente 17329 horas
3: a) c=4, λ = 8 b) 0,0067
4: a) 0,2031 b) 0,1353
5: a) 0,0025 b) 0,8008
6: 0,2664
7: a) 0,1889 b) 0,0357 c) 0,1532
8: 0,9886
9: 0,7950 e 0,1964
10: a) 0,2868 b) 0,1059 c) 26,0627
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