Física C - Capitulo 8 – Fluxo Magnético, Força Eletromotriz Induzida, Lei de Faraday, Lei de Lenz, Corrente Parasita, Corrente de Foucault, Indutância, Energia Magnética, Circuito RL

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Capítulo 8 – Lei de Faraday 
e Indução Magnética
Prof. Dr. Julio César Ugucioni
Introdução
Descoberta da Lei de Faraday.
Fonte: http://faradayclubaward.org/michael-faraday/
https://www.ingles200h.com/pontos-turisticos-da-inglaterra/
https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henry
Michael Faraday.
Joseph Henry.
Descobriram (por 
volta de 1830) 
impendentemente de 
forma experimental 
que o fluxo magnético 
variável com tempo 
sobre uma superfície 
limitada por um fio 
fechado produz força 
eletromotriz (fem) e 
corrente.
Relembrando:
• Correntes elétricas constantes no 
tempo geram campo magnético 
constante no tempo.
• Para que a corrente exista é 
necessário uma fem
Introdução
Será possível gerar fem
por meio
de campos magnéticos?
Experimento 1 – Experiência de Michael 
Faraday ( i=0).
Analisando evidencias experimentais
Experimento 2
– Não se notava corrente
– No entanto, no processo de 
ligar e desligar a fonte ligada ao 
solenoide, notava-se uma 
deflexão na agulha do 
galvanômetro.
Introdução
Assim se variamos a 
corrente também variamos 
o campo magnético sobre o 
fio 
Lei de Ampère
Como tudo o que 
entra na superfície S 
FECHADA sai dela, o 
fluxo é igual a zero. 
Lei de Gauss do 
Magnetismo
Fluxo Magnético
 
S
dAnB 0ˆ.

 
dt
di
ld
dt
Bd
dt
id
dt
ldBd
ildB
C
C
C
0
0
0
.
)(.
.












Fonte:http://ensinoadistancia.pro.br/ead/Eletromagneti
smo/LeiGauss-B/LeiGauss-B.html
Exemplo 1: Determine o fluxo magnético através de um solenoide 
que tem 40 cm de comprimento, 2,5 cm de raio, 600 voltas e 
conduz uma corrente de 7,5A.
A unidade SI do fluxo magnético chama-se weber (Wb)
Fluxo Magnético
Fonte: http://fisicacemarizinhogpi.blogspot.com.br/p/3-serie.html
211 mTWb 

A
B dAnB ˆ.


Comprovação experimental – Fluxo magnético variável no tempo 
gera força eletromotriz induzida.
Essa equação é chamada LEI DE FARADAY.
O sinal negativo indica o sentido da fem induzida (horário ou anti-
horário) que será discutido posteriormente.
dt
d B 
Fem induzida e a lei de Faraday
Fonte: https://www.electrical4u.com/lenz-law-of-electromagnetic-induction/
Lembrando: Assim:  ldEV

. ldEind

.
O fluxo magnético:
Assim:
Fem induzida e a lei de Faraday
Lei de Faraday na forma integral.
 dAnBB ˆ.

 dt
d
dAnB
dt
d
ldE B
C
ind
   ˆ.

Exemplo 2: Um campo magnético uniforme faz um ângulo de 30°
com o eixo de uma bobina circular que tem 300 voltas e raio igual a 
4 cm. A intensidade do campo magnético aumenta a uma taxa de 
85 T/s, enquanto sua direção e sentidos permanecem fixos.
(a) Determine a intensidade da fem induzida na bobina
(b) Se a resistência da bobina for 200Ω, qual será a corrente 
elétrica induzida?
O fluxo magnético:
Assim:
Fem induzida e a lei de Faraday
Lei de Faraday na forma integral.
 dAnBB ˆ.

 dt
d
dAnB
dt
d
ldE B
C
ind
   ˆ.

Exemplo 3: Um campo magnético B é perpendicular ao plano da 
página. B é uniforme através de uma região circular que tem raio R, 
Fora dessa região, B é igual a zero. A direção de B permanece fixa e 
a taxa de variação é dB/dt. Quais são a magnitude, a direção e o 
sentido do campo elétrico induzido no plano da página 
(a) A uma distância r < R do centro da região circular e 
(b) a uma distância r > R do centro, onde B = 0.
Aproximando um imã 
permanente de uma espira 
(a). Corrente induzida –
sentido horário
Imã permanente parado 
em relação a espira (b). 
Não observa-se corrente 
induzida
Imã permanente afastando 
em relação a espira (c).
Corrente induzida –
sentido anti-horário
Lei de Lenz
0
dt
d B
Observação Experimental: 0
dt
d B
0
dt
d B
• Vamos considerar:
Explicação da Lei de Lenz
N S extB

i
indB

Campo externo não é modificado 
pelo campo induzido
0B
0dtd m
v
1 2
N S 
extB

N S 
3
• Vamos considerar:
Explicação da Lei de Lenz
N S extB

i
Campo externo é modificado pelo 
campo induzido
0B

0

dt
d m
v
1 2
N S 
indext BB

N S 
3
• Vamos considerar:
Explicação da Lei de Lenz
extB

i
Campo externo é não 
modificado pelo campo 
induzido
0B
v

1 2
NS 
indB
3 NS 
NS 
extB

• Definimos a lei de Lenz
“O sentido da corrente 
induzida é aquele que 
tende a se opor à variação 
do fluxo através da 
espira.”
Lei de Lenz
Heinrich F.E. Lenz – físico alemão.
Exemplo 4: Um solenóide longo possui 220 espiras/cm e tem 
diâmetro igual a 3,2cm. Nesse solenóide é percorrido uma 
corrente 1,5 A. No centro desse solenóide é colocado uma bobina 
com 130 espiras e diâmetro igual a 2,1cm. Sabendo que a corrente 
se reduz a zero em 2,5 ms, qual será o valor da força eletromotriz 
induzida na bobina?
Exemplo 5: Uma espira quadrada é submetida a um campo magnético variável 
com o tempo e invariável com a posição, obedecendo a relação :
Sabendo que essa espira tem área 
e a é o lado da espira, obtenha:
a) O fluxo magnético dentro da espira
b) A força eletromotriz induzida. 
nAtB ˆ4

2aA 
FEM induzida por movimento
•Analisando um experimento
y
R
l
B A
DC
x
extF

v
 



R
l
B A
DC
x+dx
Z
x
extF

v
 



lxA 1
1A 2A
 dxxlA 2
FEM induzida por movimento
•Analisando um experimento
Rl
B A
DC
.
.
x
extF

v

y
x
z
BlxBA
dAB
dAnnB
m
S
m
S
m







 ˆˆ
 
S
m dAnB ˆ


x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
O fluxo magnético
FEM induzida por movimento
•Analisando um experimento
Rl
B A
DC
.
.
x
extF

v

y
x
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
FEM induzida
Blv
dt
dx
Bl
dt
d m





O sinal negativo é 
explicado pela lei de 
Lens.
i
FEM induzida por movimento
•Analisando um experimento
Rl
B A
DC
.
.
x
extF

v

y
x
z
BlxBA
dAB
dAnnB
m
S
m
S
m







 ˆˆ
 
S
m dAnB ˆ


x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
O fluxo magnético
FEM induzida por movimento
•Analisando um experimento
Rl
B A
DC
.
.
x
extF

v

y
x
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
FEM induzida
Blv
dt
dx
Bl
dt
d m





O sinal negativo é 
explicado pela lei de 
Lenz.
i
FEM induzida por movimento
•Outra forma de analisar
R
B A
DC
.
.
v

y
x
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Força Magnética
Isso acontece até o 
campo elétrico devido a 
separação de cargas, 
gerar uma força elétrica 
contrária. Quando isso 
ocorre:
BvpoisqvBFB

 ,
+++
+++
- -
- -
+
BvqF


vBE
qEqvBFB


FEM induzida por movimento
•Outra forma de analisar
R
B A
DC
.
.
v

y
x
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Como a ddp é igual:
Se houver uma corrente 
i no bastão:
Onde r é a resistência 
do bastão.
vBllEV  .
i
+++
+++
- -
- -
+
BvqF


irvBlV 
FEM induzida por movimento
Exemplo 6: Um bastão com massa m 
desliza sobre trilhos condutores sem 
atrito em uma região que tem um 
campo magnético uniformee estático 
B dirigido para dentro da página. Um 
agente externo está empurrando o 
bastão, mantendo seu movimento 
para a direta a uma velocidade 
constante v0 . No instante t=0, o 
agente para abruptamente de 
empurrar e o bastão continua se 
movendo para frente enquanto é 
desacelerado pela força magnética. 
Determine a velocidade v do bastão 
como função do tempo.
R
B A
DC
.
.
v

y
x
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
l
FEM induzida por movimento
B

Geradores e Motores
NBAB 
S
N
S
N
A
nˆ B

 cosNBAB 
S
N
S
N
nˆ
 B

0B
S
N
S
N
nˆ
Bobina
FEM induzida por movimento
Fluxo magnético por 
uma bobina com N 
espiras bobina:
Sendo:
Assim:
 cosNBAB t 
Geradores e 
Motores
R tNBAB  cos
A força eletromotriz segundo a lei de Faraday seria:
 t
dt
d
NBA
dt
d B  cos
FEM induzida por movimento
Finalmente:
Ou seja:
Onde:
Geradores e 
Motores
R
O mesmo modelo 
serve para o motor 
de corrente 
alternada (ac). 
tNBAsen 
tsen max NBA max
Corrente Parasita e corrente de Foucault
Corrente induzidas em sólidos. As circulares são ditas 
correntes de Foucault.
• Consideremos as seguintes espiras
Indutância
 O circuito C1 é percorrido por uma 
corrente i1 e gera um campo .
 Esse campo atravessa área do circuito 
C2.
 Se o campo magnético for constante, 
não teremos corrente em C2.
 Se i1 for variável, o campo também o 
será, e uma fem induzida surgirá em 
C2.
 Corrente na espira 2 gera um campo 
magnético . Esse campo pode ser 
variável com tempo e assim induzira 
uma corrente na espira 1.
 Esse processos seria eterno na teoria.
1B

1B

2B

2B

Indutância
Número de espiras por 
comprimento:
1
1
1
l
N
n 
R
r 2
2
2
l
N
n 
• Auto-indutância(L) e indutância mutua (M)
z
y
x
Vamos calcular o fluxo magnético gerado por uma 
corrente i1 no solenoide 1.
O campo é dado por: iiniBB ˆˆ 1011 

Indutância
O fluxo gerado no solenoide 1 gerado pela corrente que 
passa por ele. 11
2
0
2
11110
2
11
110
2
11
101111
1111
1
1
1
ˆˆ
ˆ
ilrnlAin
dAlin
dAiiinln
dAnBln
B
S
B
S
B
S
B












11
2
0
2
11 ilrnB  
111 iLB 
110
2
11
1
2
0
2
11
lAnL
lrnL




Auto-indutância
 Sendo: e 
assim:
 Desse modo:
 Essa constante L1 é 
chamada de auto-
indutância. 
11 iB 
11 iB 
111 iLB 
Unidade de L: 
Herry (H)
Indutância
O fluxo gerado no solenoide 2 gerado pela corrente que 
passa pelo solenoide 1. 12
2
02121102112
2102112
1012212
12212
1
1
1
ˆˆ
ˆ
ilrnnlAinn
dAlinn
dAiiinln
dAnBln
B
S
B
S
B
S
B












12
2
02112 ilrnnB  
11212 iMB 
2102112
2
2
02112
lAnnM
lrnnM




Indutância 
Mutua
 Desse modo:
 Essa constante M12 é 
chamada de indutância 
mutua é dado por: 
11212 iMB 
Indutância
Se o solenoide 2 for percorrido por uma corrente i2 (fica 
como exercício para casa):
222 iLB  220
2
22
2
2
0
2
22
lAnL
lRnL




22121 iMB  2102121
2
2
02121
lAnnM
lrnnM




121
2
02121 MlrnnM  MMM  1221Assim o fluxo 1 e 2 total poderia ser reescrito: 2111 MiiLB 
1222 MiiLB Podemos abandonar os índices 
quando falamos de indutância 
mutua se l1 = l2.
Indutância
Exemplo 7: Duas espiras concêntricas, uma de raio r = 2 cm e outra 
de raio R = 10 cm são dispostas como na figura. A espira de raio 
maior é percorrida por uma corrente igual a 3 A. Determine:
a) O fluxo magnético na espira de raio menor
b) O fluxo magnético na espira de raio maior
c) A auto-indutância
d) A indutância mutua. o30
nˆ
Indutores
Já estudamos:
• Capacitores (C)
• Resistores (R)
Indutores (L): simbolos.
São dispositivos usados para produzir 
campo magnético e para armazenar energia 
pela auto-indutância.
Os indutores são importantes quando temos 
circuitos com corrente alternada.
São confeccionados em forma de bobinas.
Como são formados por fio que apresentam 
uma resistência – todo indutor apresenta 
uma resistência RL associada (muito mais 
complicado de fazer associações que os 
capacitores e resistores).
LiB  L
B V
dt
di
L
dt
d

Desconsiderando a indutância 
Mutua (M)
E pela lei de Faraday:
Unidade de L: 
Herry (H)
Energia Magnética
Definição de fem induzida:
A potência elétrica é definida como:
Desse modo:
dt
d B  i
dt
dW
P 
dt
di
Li
dt
dW
Li
dt
d
i
dt
dW
B
B

 

L é a auto-
indutância.
Nesse caso só 
vamos ter um 
indutor somente
Ignorando as perdas por efeito Joule 
(resistência desprezível) a energia armazenada 
decorrente a auto-indutância.
Se tivermos um circuito, essa é a energia total 
armazenada.
UW 
Energia Magnética
Assim: Energia 
Armazenada em 
um indutor
O livro texto dessa disciplina (Tipler) apresenta outra forma de dedução dessa 
relação. Confira!
2
0
00
2
1
''
''
LidiiLU
diLidWU
i
iW




Se tivermos dois circuitos, necessitamos considerar ainda a energia armazenada devido 
a indutância mútua. Em um circuito 2, temos uma corrente induzida e a potência será:









dt
di
M
dt
di
Li
dt
d
i
dt
dW
P 1222
2
2
2
2 21
2
222
0
1
2
0
2
222
2
1
2
1
12
iMiiLU
td
td
di
Mitd
td
di
iLU
ii

 
A energia total do sistema:
21
2
222
2
1
2
1
iMiiLU 
2
11
2
1
LiU 
21
2
22
2
1
21
2
1
2
1
2
1
iMiiLLiU
UUU


Energia Magnética
Considerando um solenoide:
A energia armazenada:
uB é definida como a densidade de energia magnética armazenada. Essa 
relação é válida sempre, apesar de ter sido deduzida de um caso especial.
n
B
iniB
0
0 
 
AlnL 20Campo magnético devido a uma corrente i.
Indutância do solenoide.
0
2
0
2
22
0
2
2
0
2
222
1
2
1

B
Al
U
uAl
B
n
B
AlnLiU BBB 






Lembrando: 
densidade de 
energia 
eletrostática: 2
2
0EuE


Exemplo 8: Certa região do espaço tem um campo magnético de 
0,02T e um campo elétrico uniforme 2,5 x106N/C. Determine:
a) A densidade de energia eletromagnética
b) A energia em uma esfera de raio 12 cm. 
Circuito RL
i) fem ligada
Da primeira lei de Kirchhoff
0 LR VV
0
dt
di
LRi
L
i
L
R
dt
di
LRi
dt
di
L




Solução:








L
Rt
e
L
ti 1)(

i(t
)
t
Circuito RL
Observe:
   
s
A
sV
V
A
R
L
A
sV
A
Wb
HL
A
V
R







.
.
Assim:
Note que esses resultados seriam dados em 
unidades de tempo. Essas constantes são 
chamadas de constante de tempo capacitiva (τc) e 
constante de tempo indutiva (τL). Esses tempos 
resultam nos transientes de carga e corrente. 
  s
R
L
sCR 





.
Circuito RL
ii) fem desligada
Da primeira lei de Kirchhoff
0 i
L
R
dt
di L
Rt
e
R
V
ti

 0)(
i(t
)
t0 RL VViExemplo 9: Para o circuito mostrado na figura, 
determine as correntes i1, i2 e i3. Considere a 
resistência no indutor muito menor que R1.
a) Imediatamente depois que a chave S é fechada
b) Um longo tempo após a chave ter sido fechada
c) Após um longo tempo fechada, a chave é aberta. 
Determine as correntes.
d) Determine as quedas de tensão no resistor 20Ω. 
e) Determine todas as corrente após um longo 
tempo 
Solução:
V150
101R
 202R
HL 2