Fluidos e Ondas - prof. Maekawa

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Física I - Fluídos e Ondas
Claudio Maekawa
.
ii
Contents
1 Fluídos 1
1.1 Grandezas para o Fluído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Fluídos em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Medida da pressão atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Pressão relativa e Manômetro de tubo aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 O Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 O Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Fluídos ideais em Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Linhas de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Ondas 21
2.1 Concepções de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Onda Mecânica - Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Características Gerais - Onda Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Velocidade de propagação da onda numa corda esticada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Análise dimensional - onda e corda esticada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Dedução a partir da Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 A velocidade da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Energia e Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 O Príncípio da Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1 Interferência de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Ondas Estacionárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Onda Estacionária e Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Ondas esféricas - frente de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Ondas sonoras 47
3.1 Velocidade do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Dedução de v por analogia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iii
iv CONTENTS
3.1.2 Dedução baseado num modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Movimento do meio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Interferência e distâncias entre fontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Intensidade do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 O ouvido humano e a escala decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Detector em Movimento - Fonte em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Fonte em Movimento - Detector em Repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A The First Appendix 59
Afterword 61
Preface
Fluídos e ondas Cap 16, Cap 17-18
v
vi PREFACE
Chapter 1
Fluídos
Conceito de Fluído
Os ‡uídos é um outro tipo de sistema contínuo, mas ao contrário do corpo rígido onde as distâncias entre as
partículas eram mantidas …xas, no ‡uído as partículas possuem mobilidade e dessa forma as distâncias entre elas
variam. Nesse caso o vínculo de se manter essas distâncias constante não é mais respeitada, mas ainda há algum
vínculo entre as partículas que as mantém formando um sistema, porém esse vínculo é frágil e pode ser fácilmente
rompindo. Essa fragilidade no vínculo entre as partículas e a mobilidade delas é interpretado por nós como sendo
a propriedade de Fluidez.
Os ‡uídos desempenham um papel fundamental na natureza. Os líquidos e gases são os tipos de ‡uídos mais
conhecidos. Os ‡uídos mais ordinários se moldam aos recipientes que os contém. Isso acontece porque os ‡uídos
não oferecem resistência a uma força que seja tangencial a sua superfície. Uma exceção é o hélio líquido no seu
estado denominado de super‡uidez. Nesse estado se preenchermos até a metade um copo de aço com hélio líquido
e não fecharmos a parte de cima, o hélio sobe pelas laterais do copo e transborda.
A de…nição de Fluído
O ‡uído é um sistema que não oferece resistência à tensão de cisalhamento.
Lembrete: tensão de cisalhamento é a força por unidade de àrea com a força atuando na direção tangente à
superfície da àrea.
1.1 Grandezas para o Fluído
No caso do corpo rígido podemos escolher um ponto, o centro de massa, e associar toda a massa do corpo à esse
ponto e estudar o efeito das forças resultantes sobre esse ponto. Assim grandezas como a massa e a força são
su…cientes para o estudo da dinâmica do corpo rígido.
No caso do ‡uído temos um sistema onde as partículas tem mobilidade e, devido à essa mobilidade, a quantidade
de matéria num dado ponto dentro do ‡uído pode variar, ou seja, numa dada posição ~r dentro do ‡uído a massa
nessa posição pode variar. Sabemos que se aplicarmos uma força sobre um ponto do ‡uído o efeito dessa força não
se re‡ete em todo o ‡uído. Assim grandezas como massa e força não são muito úteis para o estudo dos ‡uídos.
Grandezas úteis para o estudo do ‡uído são a densidade e a pressão.
1
2 CHAPTER 1. FLUÍDOS
1.1.1 Densidade
É a quantidade de massa por unidade de volume
� =
m
V
Para uma pequena porção do ‡uído com um volume �V a quantidade elementar de massa dentro desse elemento
de volume é �m. Assim a densidade dentro dessa porção do ‡uído é dado por:
� =
�m
�V
: (1.1)
Essa porção pode ser tornada tão pequena quanto se queira, contudo ela ainda será su…cientemente maior que
as escalas moleculares e atômicas de forma que essa porção seja considerada um sistema liso e contínuo sem
granulosidades. Também vamos considerar que a densidade não varia de ponto a ponto dentro do ‡uído, ou
seja
� =
m
V
= const:
Ela é uma grandeza escalar.
Unidades: SI
[�] =
kg
m3
Exemplos:
sistema densidade
�
kg
m3
�
Espaço interestelar 10�20
Ar: 20oC e 1 atm 1; 21
20oC e 50 atm 60; 5
Água: 20oC e 1 atm 0; 998� 103
20oC e 50 atm 1; 000� 103
Água do Mar: 20oC e 1 atm 1; 024� 103
Gelo 0; 917� 103
Ferro 7; 9� 103
Sol: média 1; 4� 103
núcleo 1; 6� 103
Terra média 5; 5� 103
1.1.2 Pressão
Colocando um pequeno pistão preso a uma mola de constante K dentro do ‡uído. As partículas do ‡uído colidem
com a superfície do pistão empurrando o pistão contra a mola.
1.1. GRANDEZAS PARA O FLUÍDO 3
Seja �A a área da superfície do pistão e �F o módulo da força exercida pelo ‡uído sobre o pistão, a pressão
p do ‡uído sobre o pistão é de…nido por
p =
�F
�A
(1.2)
No caso de um ‡uído uniforme que exerce a mesma força de intensidade F em toda a extensão de uma área A
podemos de…nir para o ‡uídotodo a a pressão p por
p =
F
A
(1.3)
A pressão é uma grandeza escalar e não tem propriedades direcionais.
Unidades de pressão:
No SI ! Pascal = Newton por metro ao quadrado
Pa =
N
m2
Outras unidades comuns são: atmosfera (atm), torricelli (torr), libras por polegadas ao quadrado (lb=pol2):
a relação entre essas unidades são
1 atm = 1; 01� 105Pa = 760 torr = 14; 7 lb=pol2 (1.4)
1 atm é a pressão média exercida pelo ar medida no nível do mar.
O torricelli é em homenagem ao Evangelista Torricelli que inventou o barômetro de mercúrio. É a pressão do ar
no nível do mar que desloca uma coluna mercúrio em 760 mm. A libra/pol2 recebe a abreviação de ps 6 i:
Exemplos
pressão (Pa)
Pneu do carro 2� 105
Atmosfera no nível do mar 1; 01� 105
Som mais alto tolerável 30
A pressão sanguínea: as unidades estão em torr: A pressão sistólica considerada normal é 120 torr que pode
ser reescrita por 12� 10 torr. A pressão sistólica é a pressão no sangue quando o coração bombeia o sangue para
fora do coração. A pressão diastólica é a pressão no sangue quando o coração está cheio.
4 CHAPTER 1. FLUÍDOS
1.1.3 Fluídos em repouso
É um sistema mantido estático. Na Estática estuda-se a mecânica de corpos em repouso. O corpo é considerado
em repouso quando a força e o torque resultantes são nulos. Ou seja quando os efeitos das forças externas são
anuladas.
No caso de ‡uídos temos forças como a gravitacional que atua em todos os elementos do ‡uído e temos as forças
exercídas por corpos na vizinhança do ‡uído.
Exemplo: Num tanque com água, a força gravitacional atua sobre todas as porções da água, puxando a água
para baixo. Por outro lado as paredes do tanque (corpos na vizinhança do ‡uído) ao conter a água exerce forças
sobre o ‡uído. Também temos a força exercida pelo ar empurando a superfície superior.
Quando os efeitos de todas essas forças são anuladas podemos dizer que o ‡uído está estático ou em repouso
nesse referencial.
O ‡uído em repouso é considerado um sistema hidrostático e suas propriedades recebem o adjetivo de pro-
priedades hidrostáticas.
Assim temos a pressão e densidade hidrostática.
Pressão hidrostática em função da altura/profundidade
Um mergulhador sabe que a medida que ele desce na água a pressão aumenta. Vamos obter a expressão que
permite calcular essa variação da pressão a medida que se varia a profundidade.
De…ne-se o eixo y^ perpendicular à superfície e com o zero na interface entre a àgua e o ar.
Delimitamos uma região cilindrica dentro da água como mostrado na …gura. S1 e S2 indicam as superfícies da
região cilindrica. Seja A a área de S1 e S2. A profundidade de S1 e S2 são, respectivamente y1 e y2.
1.1. GRANDEZAS PARA O FLUÍDO 5
A poção de água dentro do cilindro está em equilíbrio, i.e., os efeitos das forças deve ser nulo.
As Forças.
Temos o peso de intensidade W do volume de água dentro do cilindro.
O líquido acima de S1 exerce uma pressão p1 para baixo. Essa pressão é relacionada á uma força de intensidade
F1 e apontada para baixo. Da de…nição de pressão, temos:.
p1 =
F1
A
! F1 = p1A: (1.5)
O líquido abaixo de S2 exerce uma pressão p2 para cima devido à uma força de intensidade F2.
p2 =
F2
A
! F2 = p2A: (1.6)
Colocando as forças em equilíbrio, temos
�F1 + F2 �W = 0! F2 = F1 +W
substituindo F1 e F2
p2A = p1A+W (1.7)
O peso W do volume V de água dentro do cilindro é
W = mg = �V g
onde � = densidade da água. V = (y1 � y2)A e temos:
W = � (y1 � y2)Ag
substituindo em (1.7)
p2A = p1A+ � (y1 � y2)Ag (1.8)
e obtemos
p2 = p1 + � (y1 � y2) g (1.9)
Pressão à uma profundidade h.
Com base nessa expressão, e usando o sistema de referência. Temos que a superfície da água está em y1 = 0 e
nessa superfície temos a pressão da atmosfera p0.
y1 = 0; p1 = p0: (1.10)
A profundidade y2 = �h e assim temos:
p2 = p0 + �hg: (1.11)
Análise da equação.
Se reduzirmos h! 0 devemos encontrar p2 = p0 e é o que obtemos dessa equação se …zermos h = 0.
O que a equação revela:
Ela revela que a pressão na profundidade h só depende da quantidade de líquido que está entre a superfície e a
profundidade h. Essa pressão não depende da quantidade de líquido no tanque.
6 CHAPTER 1. FLUÍDOS
Vermos mais adiante que o termo �hg é também chamado de pressão manométrica.
Na dedução dessa expressão não vemos nenhuma in‡uência da forma do recipiente.
A pressão na profundidade h, depende:
8>><>>:
da densidade do líquido �
da pressão atmosfera na superfície p0
da aceleração da gravidade g
A dependência da temperatura entra via dependência com a densidade, pois � depende da temperatura do
líquido.
1.1.4 Medida da pressão atmosférica
Torricelli construi o seguinte barômetro simples:
E podemos aplicar a expressão
p2 = p1 + � (y1 � y2) g (1.12)
Temos:
p2 = 0; p1 = p0
onde p0 = pressão atmosférica, p2 = 0 pois dentro do bulbo temos o vácuo.
y1 = 0; y2 = h
aplicando esses valôres temos a relação entre pressão e altura da coluna de ‡uído
0 = p0 + � (0� h) g
e obtemos
p0 = �gh (1.13)
Análise da expressão
A dependência em � (densidade do líquido). Líquidos com densidades diferentes fornece alturas diferentes para
a mesma medida de pressão atmosférica p0.
Observe que esse manômetro também depende do valor local g da aceleração da gravidade.
Devido à essas características o valor da pressão atmosférica de 760 mm de Hg, só é obtido se o valor de g for
g = 9; 80665m/s2 e temperatura de T = 00C.
1.1. GRANDEZAS PARA O FLUÍDO 7
1.1.5 Pressão relativa e Manômetro de tubo aberto
Pressão manométrica � Pressão absoluta
A pressão total (real) é também chamada de pressão absoluta.
A pressão manométrica pm é a diferença de pressão entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica.
A pressão manométrica é mais utilizada nos casos cotidianos, e.g.: a medida da pressão do pneu do carro. Nesse
caso se o pneu estiver vazio ele perde a forma e …ca achatado, pois a pressão atmosférica comprime o pneu. O
mesmo ocorre com o balão de borracha. Quando in‡amos o pneu ou o balão de borracha, o ar dentro deles trabalha
contra a pressão atmosférica externa. Essa pressão é a pressão absoluta e deve ser maior para que possa vencer a
pressão exercida pela atmosfera. O quanto essa pressão é maior é a pressão manométrica. Ela é positiva e é também
chamada de sobrepressão.
Quando pegamos um saco plástico, fechamos e com um canudo aspiramos o ar de dentro do saco plástico,
a pressão absoluta nos pulmões é menor que a pressão atmosférica e nesse caso a pressão manométrica se torna
negativa.
A pressão manométrica é medido por meio do manômetro de tubo aberto que tem a seguinte con…guração:
Ele é simplesmente um tubo em forma de U com um líquido dentro. Uma das extremidades é ligada ao sistema
no qual se queira medir a pressão, No caso da …gura temos um tanque com gás. a outra extremidade permanece
aberta. O gás dentro do tanque se tiver pressão absoluta p maior do que a pressão atmosférica p0 empurra o líquido
e produz o desnível h.
Usamos esses dados na equação
p2 = p1 + � (y1 � y2) g
onde se faz:
y1 = 0; p1 = p0; y2 = �h; p2 = p;
e obtemos
p = p0 + �hg
que é reescrito por
pg = p� p0 = �gh
8 CHAPTER 1. FLUÍDOS
Assim pg a diferença de pressão do gás (p� p0) medida é a pressão manométrica positiva.
1.1.6 O Princípio de Pascal
Blaise Pascal em 1652 propôs o seguinte princípio:
Uma mudança na pressão aplicada à um ‡uido con…nado num recipiente é transmitida integral-
mente para todas as partes do ‡uído e para as paredes do recipiente que o contém.
Exemplo: Quando apertamos um tubo de pasta de dente, observamos a ação deste princípio.
Demonstração do princípio:
Considere o seguinte sistema:
Temos um ‡uído incompressível dentro de um cilindro. O cilindro é fechado por um pistão deslizante. Sobreo
pistão há uma caixa com bolas de chumbo. A atmosfera , a caixa com bolas de chumbo exercem uma pressão pext
no pistão que transmite essa pressão para o ‡uído.
A pressão p em qualquer ponto P do ‡uído é dado por:
p = pext + �gh (1.14)
onde � é a densidade do líquido, g a aceleração da gravidade e h a profundidade do ponto P em relação à superfície
do ‡uído.
A seguir acrescenta-se mais algumas bolas de chumbo na caixa. Isso faz com que a pressão que o pistão faz
cresça de �pext. Por outro lado �, g e h permanecem constantes. Assim a variação de pressão �p no ponto P é:
�p = �pext: (1.15)
Dessa expressão pode-se notar que a variação de pressão num ponto do ‡uído �p não depende de �, g e
principalmente não depende de h. Assim esse ponto P pode estar em qualquer parte do ‡uído que a variação de
pressão �p é a mesma. Isso é o que a…rma o princípio de Pascal.
1.1. GRANDEZAS PARA O FLUÍDO 9
Aplicação tecnológica do Princípio de Pascal
Graças ao princípio de Pascal, hoje podemos "multiplicar" o efeito da força. São os sistemas hidráulicos, como
por exemplo o freio hidráulico dos carros. Note que fazemos muito pouca força no pedal do freio e somos capazes
de frear um carro ou um caminhão.
Vamos entender como isso é possível.
Na …gura acima temos um ‡uido incompressível. Nas extremidades temos dois pistões(entrada e saída): Na
entrada a área transversal do pistão é Ae e na saída o pistão tem área transversal As.
Na entrada a força ~Fe empurra o pistão para baixo por uma distância de.
Na saída o ‡uído empurra para cima com uma força ~Fs o pistão por uma distância ds.
A força na entrada produz uma variação de pressão �p
�p =
Fe
Ae
(1.16)
A variação de pressão �p é a mesma em qualquer ponto do ‡uído, segundo o princípio de Pascal.
Na saída a variação de pressão é traduzida na força ~Fs, assim, na saída, temos:
�p =
Fs
As
(1.17)
Reunindo essas duas equações, temos:
Fs
As
=
Fe
Ae
! Fs = FeAs
Ae
(1.18)
Analisando essa expressão:
Temos que As > Ae assim o resultado AsAe > 1 e o efeito dessa razão é ampli…car o efeito de Fe, ou seja,
Fs > Fe: (1.19)
As distâncias de e ds.
Na entrada o movimento do pistão para baixo, desloca um volume de ‡uído V dado por
V = deAe:
10 CHAPTER 1. FLUÍDOS
Como o ‡uído é incompressível ( o ‡uído não pode ser comprimido) ou seja, o ‡uído mantém o mesmo volume.
Na saída o pistão é deslocado por uma distância ds. Mas o volume deslocado é o mesmo volume V deslocado
na entrada e temos:
V = dsAs
Reunindo as duas equações, temos
dsAs = deAe ! ds = deAe
As
(1.20)
Analisando a equação.
Como Ae < As então AeAs < 1 e o efeito é reduzir de. Assim
ds < de: (1.21)
Os trabalhos na saída e na entrada.
Usando
W = ~F � ~d
Na entrada temos
We = Fede
Na saída :
Ws = Fsds
mas vimos que ds = de AeAs e Fs = Fe
As
Ae
, substituindo esses resultados em Ws temos
Ws = Fe
As
Ae
de
Ae
As
= Fede = We: (1.22)
Analise da equação:
Note que a expressão mostra que o trabalho realizado na entrada é o mesmo na saída. Isso era de se esperar
pois não se consegue obter trabalho extra de graça na natureza.
Isso está associado à lei de conservação de energia.
Se trabalho extra fosse produzido, poderíamos usar esse trabalho extra para armazenar energia na forma de
Energia Potencial e assim estaríamos gerando energia do nada. O que viola a lei de conservação de energia.
1.1.7 O Princípio de Arquimedes
O princípio de arquimedes nos diz que:
Um corpo que esteja parcialmente ou completamente imerso num ‡uido recebe a ação de uma
força (Empuxo) que atua para cima e com o módulo igual ao peso do ‡uido que o corpo desloca.
O peso do ‡uido deslocado ~Pliq
1.1. GRANDEZAS PARA O FLUÍDO 11
Inicialmente temos um recipiente cheio de um ‡uido até borda.
A seguir um corpo de massa m e volume V é imerso no ‡uído. O ‡uído transborda e o ‡uído derramado é
coletado em um segundo recipiente.
O volume do ‡uído derramado V é igual ao volume do corpo V imerso no ‡uído.
O peso ~Pliq é o peso do volume do ‡uído derramado.
O Empuxo
O líquido aplica sobre o corpo de volume V uma força ~Fe, denomidado de empuxo. O módulo do empuxo,
segundo o princípio de Arquimedes, é igual ao peso do ‡uído deslocado:���~Fe��� = ���~Pliq��� (1.23)
O módulo
���~Pliq��� depende da densidade do ‡uído �.
~Pliq = mfluido~g
onde mfluido é a massa do ‡uído derramado. Como sabemos o volume V derramado e a densidade � do ‡uído,
temos que
mfluido = �V
assim
~Pliq = �V ~g
Obtemos para o módulo do empuxo a seguinte expressão���~Fe��� = �V g (1.24)
onde � = densidade do ‡uído, V = volume de ‡uído deslocado pelo corpo e g = módulo da aceleração da gravidade
local.
O Empuxo é visto como a resultante das forças aplicadas pelo líquido sobre o corpo.
A ‡utuação
12 CHAPTER 1. FLUÍDOS
Seja dado um corpo de massa m e volume V . O peso do corpo e densidade do corpo são:
~Pcorpo = m~g; � =
m
V
Coloca-se esse corpo num recipiente com um ‡uído. Suponha que o corpo …que todo imerso no ‡uído. Então o
volume do ‡uído deslocado Vliq é o mesmo V do corpo:
Vliq = V
Vamos adotar o eixo z^ apontado para cima.
Seja �fluido a densidade do ‡uído. Pelo princípio de Arquimedes esse ‡uído exerce um empuxo para cima
~Fe = �fluidoV gz^
Nesse referencial o peso do corpo é : ~P = �mgz^.
Somando as forças temos
~Fe + ~P = �fluidoV gz^ �mgz^ =
���~Fe��� z^ � ���~P ��� z^:
Analisando essa equação.
Se
���~P ��� > ���~Fe��� a resultante é para baixo e o corpo afunda.
Se
���~P ��� = ���~Fe��� a resultante é nula e isso signi…ca que o corpo …ca em equilíbrio na posição que for colocado.
Se
���~P ��� < ���~Fe��� a resultante é para cima e o corpo sobe até a superfície. Ele para na superfície pois além da
superfície em geral temos um segundo ‡uído com uma densidade mais leve que o primeiro.
Flutuação e densidade de corpos.
Podemos reescrever a massa m do corpo em função de sua densidade �corpo e volume V .
m = �corpoV
substituindo na expressão acima, temos
~Fe + ~P = �fluidoV gz^ � �corpoV gz^
= (�fluido � �corpo)V gz^ = ~R
Veja agora o sinal da resultante ela é determinada pela diferença das densidades (�fluido � �corpo).
Se �corpo > �fluido a resultante tem sinal negativo (aponta para baixo). Corpo afunda
Se �corpo = �fluido a resultante se anula. corpo parado dentro do líquido
Se �corpo < �fluido a resultante tem sinal positivo (aponta para cima). O corpo sobe.
Aplicação: Separação de líquidos.
No caso de líquidos imissíveis (que não se misturam) os líquidos de maior densidade afundam em líquidos de
menor densidade.
1.2 Fluídos ideais em Movimento
Nas seções anteriores, vimos conceitos elementares para o caso de ‡uídos ideais estáticos.
1.2. FLUÍDOS IDEAIS EM MOVIMENTO 13
O estudo de ‡uídos reais está além do escopo dessa disciplina. Estamos estudando o caso mais simples e
aproximado de ‡uído ideal. Esse estudo do ‡uído ideal em movimento permite a introdução de conceitos elementares
usados nos casos reais.
Considerações
1) Escoamento uniforme ou laminar.
Para medirmos a velocidade de um ‡uído escolhe-se um ponto …xo qualquer na região por onde o ‡uído passa
e se mede a velocidade com que o ‡uído passa por esse ponto …xo.
Quando em qualquer ponto …xo escolhido a velocidade com que o ‡uído passa é a mesma, denomina-se que o
escoamento é uniforme ou laminar.
2) Escoamento incompressível.
No caso em repouso. Já foi admitido a hipótese de que o ‡uído não pode ser comprimido, isso signi…ca que a
sua densidade é mantida constante. Aqui o mesmo ocorre enquanto o ‡uído escorre.
3) Escoamento não-viscoso.
Grosseiramente a viscosidade é a medida da resistência do ‡uído ao escoamento.
Exemplo: O mel é mais viscoso do que a água.
Situação curiosa.
Lorde Rayleigh obsevou que um navioparado sobre um ‡uido ideal, permanece parado mesmo quando os motores
forem ligados. Por outro lado um navio em movimento num ‡uído ideal, permanece em movimento mesmo quando
os seus motores estejam parados.
4) Escoamento irrotacional.
Nesse tipo de escoamento se colocarmos um corpo no ‡uído ele não irá girar entorno do seu centro de massa.
1.2.1 Linhas de Corrente
Conceito: Partícula de Fluído
Denomina-se por Partícula de Fluído um pequeno elemento do ‡uído cujo volume tende a zero.
De…nição: Linha de Corrente.
A Linha de Corrente é o caminho traçado pela partícula (elemento) de ‡uído.
14 CHAPTER 1. FLUÍDOS
O vetor velocidade ~v da partícula de ‡uído sempre tangencia a linha de corrente.
As linhas de corrente nunca se cruzam. Se isso fosse possível a partícula de ‡uído poderia ter duas velocidades
simultâneamente no ponto de cruzamento.
Tubo de Corrente
Um conjunto de linhas de correntes podem ser delimitadas formando um tubo de corrente.
obs: As paredes do tubo são feitas de linhas de correntes.
Quando uma partícula de ‡uído está dentro de um tubo de corrente a partícula não consegue sair desse tubo,
pois as paredes do tubo são formadas por linhas de corrente e uma linha não pode atravessar outra linha de corrente.
O fenômeno de formação desses tubos explica a existências dos "rios" ou correntes nos oceanos. Esses rios tem
muita in‡uência nos climas. Por exemplo: Existe uma grande corrente que vem do oceano Indico passa pelo oceano
Atlântico e sobe até o Atlântico norte. Essa corrente possui salinidade mais baixa do que as águas ao seu redor e
quando ela se aproxima da Inglaterra ela aquece o clima da região. Essas correntes são conhecidas por velejadores,
pois a velocidade da água nessas correntes é diferente da velocidade da água ao seu redor.
Taxa de escoamento volumétrica (Vazão) R
Esta taxa é o volume de ‡uído por unidade de tempo que atravessa uma área A transversal ao ‡uído.
No desenho temos duas áreas transversais: A1 e A2
Observação na área A1:
As partículas de ‡uído que estão do lado de fora do tubo próximas da area A1 possuem todas velocidade com
módulo v1.
Num intervalo de tempo �t pequeno elas atravessam transversalmente a área A1 e percorrem uma distância
�s1 dada por:
�s1 = v1�t: (1.25)
Essa distância também é a distância necessária para que as partículas atravessem a área A1.
1.2. FLUÍDOS IDEAIS EM MOVIMENTO 15
O volume �V em torno da área A1. Esse volume é obtido por
�V1 = A1�s1 = A1v1�t:
A vazão R no ponto B é então expressa por
R1 =
�V1
�t
= A1v1:
No ponto C.
Da mesma forma podemos calcular a vazão nesse ponto.
Seja v2 o módulo da velocidade das partículas de ‡uído próximas a área A2. Num intervalo �t elas percorrem
a distância
�s2 = v2�t (1.26)
o volume de ‡uído �V2 que atravessa a área A2 no intervalo de tempo �t é então:
�V2 = A2�s2 = A2v2�t (1.27)
A vazão nesse ponto é então
R2 =
�V2
�t
= A2v2: (1.28)
No caso do ‡uído ideal: Equação da continuidade
Nesse caso o ‡uído é incompressível. Isso signi…ca que se no ponto B um volume �V1 entra no tubo, no ponto
C o mesmo volume �V1 deve sair do tubo. Ou seja
�V1 = �V2 (1.29)
isso implica que
�V1
�t
=
�V2
�t
! R1 = R2 = R (1.30)
ou
A1v1 = A2v2 (1.31)
Podemos sintetizar que
R = Av = const: (1.32)
Essa é a equação da continuidade.
Análise de caso
Para R = constante, mas áreas diferentes: A1, A2 a velocidade v do escoamento é maior onde a área A é menor,
i.e:
A1 < A2 =) v1 > v2: (1.33)
16 CHAPTER 1. FLUÍDOS
1.2.2 Equação de Bernoulli
Ela é o resultado da lei de conservação de energia aplicada aos ‡uídos.
Um ‡uído ideal escoa a uma vazão constante através de um tubo de corrente (as paredes laterais são formadas
por linhas de corrente). Durante um intervalo de tempo �t, a quantidade de ‡uído na entrada do tubo (…gura a)
é transferida para a saída do tubo (…gura b). A quantidade de ‡uído entre a entrada e a saída (distância L) não é
alterada no processo.
O teorema trabalho energia é dado por
W = �K (1.34)
Onde W é o trabalho realizado pelo/sobre o sistema e �K é a variação de energia cinética do sistema.
Cálculo de �K.
No nosso caso o sistema é a quantidade de volume �V que entra e a mesma quantidade de volume que sai, pois
o ‡uído é incompressível.
A densidade do ‡uído é constante � então a quantidade de massa �m dentro de �V é
�m = ��V
Na entrada o ‡uído possui velocidade com módulo v1. A energia cinética na entrada é então
K1 =
1
2
�mv21 :
1.2. FLUÍDOS IDEAIS EM MOVIMENTO 17
Na saída a velocidade do ‡uído tem módulo v2 e a energia cinética na saída é:
K2 =
1
2
�mv22 :
Assim a variação da energia cinética �K é dada por:
�K = K2 �K1 = 1
2
�mv22 �
1
2
�mv21
=
1
2
�m
�
v22 � v21
�
substituindo �m obtemos para a variação �K:
�K =
1
2
��V
�
v22 � v21
�
: (1.35)
Cálculo de W .
Temos duas forças:
1) A força devido ao peso do ‡uído.
2a) A força que na entrada empurra o elemento de ‡uído de volume �V para dentro do ‡uído.
2b) Na saída a mesma força é "aplicada" pelo ‡uído para retirar o elemento de ‡uído de volume �V para fora
do ‡uído.
Assim temos o trabalho do caso 1) W1 e o trabalho do caso 2) W2
Caso 1)
Nesse caso o elemento de ‡uído sobe, vai do nível y1 para o nível y2. Esse trabalho é negativo pois a força peso
~P está em sentido oposto ao deslocamento.
W1 = ~P � ~h = Ph cos� = �Ph
onde P = �mg e h = y2 � y1. Temos que
W1 = ��mg (y2 � y1) : (1.36)
Caso 2)
Na entrada
O sistema recebe trabalho.
Seja F o módulo da força aplicada ao sistema que empurra o elemento de ‡uído de volume �V para dentro do
tubo.O elemento de ‡uído se desloca por uma distância �x.
W2 = F�x
da de…nição de pressão, temos que
F = pA
então
We = p1A1�x = p1 (A1�x1) = p1�V
Na saída
18 CHAPTER 1. FLUÍDOS
O sistema realiza W
Ws = �F�x = �p2 (A2�x2) = �p2�V
o trabalho total desse caso é
W2 = We +Ws = �p2�V + p1�V
= � (p2 � p1)�V
Somando os trabalhos W1 e W2
W = W1 +W2 = ��mg (y2 � y1)� (p2 � p1)�V (1.37)
Substituindo no teorema trabalho energia
��mg (y2 � y1)� (p2 � p1)�V = 1
2
��V
�
v22 � v21
�
: (1.38)
como a densidade é constante, temos que �m = ��V
���V g (y2 � y1)� (p2 � p1)�V = 1
2
��V
�
v22 � v21
�
: (1.39)
elimina �V
��g (y2 � y1)� (p2 � p1) = 1
2
�
�
v22 � v21
�
: (1.40)
expande os parênteses:
��gy2 + �gy1 � p2 + p1 = 1
2
�v22 �
1
2
�v21 : (1.41)
e separa por grandezas da entrada e saída
p1 +
1
2
�v21 + �gy1 = p2 +
1
2
�v22 + �gy2 (1.42)
Essa é a equação de Bernoulli.
Análise da equação:
Observe que no lado esquerdo da igualdade só depende das variáveis de entrada (p1; v1; y1) e no lado direito
só depende das variáveis da saída do tubo (p2; v2; y2). Isso só é possível se a igualdade for uma constante, ou seja:
p1 +
1
2
�v21 + �gy1 = p2 +
1
2
�v22 + �gy2 = const: (1.43)
ou mais genéricamente
p+
1
2
�v2 + �gy = const: (1.44)
Estudos de casos:
Caso v1 = v2 = 0. ou seja, ‡uído em repouso. Da equação de Bernoulli, temos
p1 + 0 + �gy1 = p2 + 0 + �gy2
reescreve
p1 + �gy1 � �gy2 = p2
1.2. FLUÍDOS IDEAIS EM MOVIMENTO 19
e obtemos
p2 = p1 + �g (y1 � y2)
que é a equação que já obtemos (1.9) para o caso do ‡uído em repouso que fornece a pressão num ponto 2 que está
a uma profundidade (y1 � y2) do nível y1.
Caso y1 = y2
A entrada e saída do tubo estão no mesmo nível. Esse é o caso do ‡uxo laminar reto
temos da equação de Bernoulli
p1 +
1
2
�v21 = p2 +
1
2
�v22 (1.45)
que podemos reescrever por
p1 � p2 = 1
2
�
�
v22 � v21
�
: (1.46)
Interpretação
Se ocorrer
v2 > v1 =)
�
v22 � v21
�
> 0
temos que
p1 � p2 > 0 =) p1 > p2:
assim quando a velocidade de uma partículade ‡uído aumenta, enquanto desloca ao longo da linha de corrente, a
pressão do ‡uído diminui e vice-versa.
Efeitos e aplicações
Pre…l da asa do avião
20 CHAPTER 1. FLUÍDOS
Da …gura: �S1 comprimento da superfície superior, �S2 comprimento da superfície inferior.
A parte do ‡uído que passa por cima precisa percorrer um caminho mais longo do que a parte que passa por
baixo.
então
v1 > v2
Da equação de Bernoulli para o ‡uxo laminar reto, essa condição resulta em
p1 < p2
ou seja a pressão na parte de cima da asa é menor do que na parte de baixo, assim a asa sobe pois o excesso de
pressão embaixo empura a asa para cima.
Ventos Paralelos aos telhados:
A velocidade do vento paralelo ao telhado sendo maior que o movimento de ar dentro do telhado. Isto faz com
que a pressão fora seja menor do que a pressão dentro do telhado. Se a diferença for su…ciente para superar o peso
do telhado, ele é levantado pelo vento.
Chapter 2
Ondas
Com desenvolvimento da Física várias concepções de ondas surgiram. Na Mecânica Clássica as ondas mecânicas
são um tipo de movimento oscilatório. No Electromagnetismo Clássico surge o conceito de campo e as ondas
electromagnéticas é um tipo de campo electromagnético oscilante.
A Física Quântica revela os limites de validade da Física Clássica e também revela um aspecto completamente
novo da natureza: a incerteza mínima. Na Física Clássica, a incerteza é atribuída à limitação tecnológica na
construção de instrumentos de medidas, uma vez que, por princípio, assume-se que a Natureza não possui incertezas.
Mas a Física Quântica revela que a incerteza �x na medida da posição e a incerteza �px na medida da quantidade
de movimento devem satisfazer a seguinte condição:
�x�px < ~ (2.1)
onde ~ é denominada de constante de Planck. Essa relação é chamada de princípio de incerteza de Heisenberg.
Assim a hipótese inicial da Física Clássica não tem mais validade quando for necessário trabalhar com valôres muito
precisos da posição e quantidade de movimento.
Assim a Física Quântica requer uma mudança total da forma como abordamos a natureza e é dentro dessa nova
abordagem que surgiu o conceito de ondas de matéria.
2.1 Concepções de Ondas
As Ondas Mecânicas. século XVIII
Vimos que Isaac Newton (1642 - 1727) com suas tres leis estabeleceu a base para o estudo dos movimentos
dos sistemas de partículas em referênciais inercias, mostrando-nos que a Força Externa Resultante pode ser
tomada como sendo a causa da mudança do estado de movimento do sistema. Essa é a síntese da Mecânica Clássica
que se desenvolveu durante o século XVIII.
Assim dentro da Mecânica Clássica, as ondas mecânicas são vistas como uma outra classe de movimento
oscilatório de um sistema de partículas. Exemplo: O movimento oscilatório do sistema massa-mola.
Observe que o objeto físico concreto da Mecânica Clássica é a partícula.
A partícula é considerado um objeto material …nito e localizado no espaço.
21
22 CHAPTER 2. ONDAS
Temos vários tipos de ondas mecânicas cada tipo depende do sistema onde elas se propagam:
tipo de onda sistema/meio
ondas sonoras ar
ondas sísmicas terra
ondas do mar água
Ondas Electromagnéticas. século XIX
No …nal do século XVIII em 1785 Charles Augustus Coulomb começa a estabelecer as bases do Electromag-
netismo Clássico e surge o conceito de campo elétrico e magnético. Em 1873 James Clerk Maxwell corrige a Lei
de Ampere e estabelece a base completa do Electromagnetismo Clássico na forma de quatro equações diferenciais
vetoriais. A partir dessas quatro equações todo o Electromagnetismo é deduzido. Mas ao contrário do que é feito
da Mecânica Clássica, em vez de se basear na partícula, Maxwell utiliza o novo objeto físico concreto: O campo
eletromagnético.
O campo é um objeto extenso in…nito e, ao contrário da partícula, ele não está localizado num ponto especí…co do
espaço .
Por ser extenso o campo está ocupando várias posições no espaço.
Por exemplo. Um campo elétrico do tipo estático con…nado numa região 2D, ocupa todo o plano bidimensional
in…nito:
A forma desse campo é um plano in…nito.
Outra forma para o campo é a forma de uma onda plana
2.1. CONCEPÇÕES DE ONDAS 23
Toda a região verde é a forma do campo electromagnético. Nesse caso temos uma onda …nita que também é
conhecida como pulso.
Assim dentro do Electromagnetismo uma onda não precisa ser o movimento de oscilação de um sistema de
partículas, a onda é uma das formas que o campo electromagnético pode assumir.
A luz é uma forma de onda elétromagnética.
Ondas de Matéria século XX
Exatamente em 14 de dezembro de 1900 Max Planck inicia a era da física quântica. No …nal do século XIX
havia dois experimentos que a Física clássica (Mecânica, Electromagnetismo e Termodinâmica e Estatística) não
conseguiam explicar: Violando princípios da Física Clássica Max Planck encontrou uma explicação para um desses
experimentos: a radiação de corpo negro. Einstein seguindo as idéias de Planck explicou o outro experimento: o
efeito foto-elétrico.
A Física Quântica estabelece os limites de validade da Física Clássica e revela uma natureza muito diferente da
que se pode perceber utilizando apenas os nossos sentidos. A Física Quântica trouxe grandes revoluções tecnológicas:
Os computadores, o laser, a máquina de xerox.
A Física Quantica requer que se abandone um dos princípios fundamentais da Física Clássica:
de que na Natureza não há incertezas.
A Física Quântica mostra exatamente o contrário:
Há um incerteza mínima natural.
Devido a esse princípio de incerteza se descobriu que partículas podem se comportar como se fossem ondas.
Essas ondas são denominadas de ondas de matéria.
Por sua vez, também se descobriu que as ondas se comportam como partículas. Assim a Luz que é descrita
como uma onda eletromagnética dentro do Electromagnetismo Clássico, na Física Quântica ela também pode ser
interpretada como um sistema de partículas. Essas partículas são denominadas de partículas de luz: o fóton.
Aqui vamos nos restringir as ondas mecânicas. Estudaremos propriedades elementares que tem validade para as
tres concepções de ondas.
24 CHAPTER 2. ONDAS
2.1.1 Onda Mecânica - Corda
Vimos que na Mecânica Clássica a onda é um tipo de movimento oscilatório de um sistema composto de partículas.
Um sistema simples é a corda ideal in…nita. A idealização da corda permite que os efeitos do atrito entre as secções
da corda não amorteçam o movimento e a distribuição da massa ao longo da corda é homogênea.
Sentido de propagação e direção de propagação
Na …gura vemos uma onda na forma de um pulso se deslocando para direita (sentido de propagação) com
velocidade escalar v na direção de propagação paralelo ao eixo x^. Durante o deslocamento o pulso mantém a
sua forma. Isso se deve ao fato de que a corda é ideal.
Movimento transversal.
Vamos focalizar um elemento dx de massa elementar dm da corda.
O elemento dx da corda não se desloca para direita quando o pulso passa por ele. Ele permanece na mesma
posição x1:
A posição y1 do elemento dx é que muda quando o pulso passa por ele.
Nesse caso o elemento dx da corda tem movimento ondulatório transversal à direção de propagação do pulso.
2.1. CONCEPÇÕES DE ONDAS 25
Movimento Longitudinal
No caso de um sistema linear de massas e molas ligados. Podemos empurrar rapidamente uma das extremidades
e gerar um pulso que comprime e extende a medida que passa pelas molas.
O movimento do elemento dx agora é paralelo à direção de propagação. Esse é o movimento longitudinal.
Aplicação:
Funcionamento do alto-falante.
O som convertido em pulsos elétricos passa pela bobina que gera um campo magnético oscilante. O campo
oscilante faz o ímã oscilar. assim a superfície do cone oscila comprimindo e descomprimindo o ar (deslocamentolongitudinal) gerando a onda mecânica: o som.
2.1.2 Características Gerais - Onda Senoidal
Para estudar as características gerais das ondas, escolhemos como exemplo simples de ondas in…nitas a onda senoidal.
Esse tipo de onda é descrito por funções seno ou cosseno.
Um elemento da corda dx possui coordenadas (y; x), onde y é a posição transversal do elemento de corda e x
a posição longitudinal do elemento da corda em relação à direção de propagação da onda. Para uma onda que se
propaga na direção x^, a posição transversal y de um elemento dx da corda obedece uma relação do tipo
y = h (x; t)
onde t é o instante.
Observe que a posição x e o tempo t são variáveis independentes. A variável dependente de x e de t é a variável
y.
26 CHAPTER 2. ONDAS
Escolhendo a função seno, h (x; t) = sin (x; t) a onda senoidal é descrita por
y (x; t) = ym sin (kx� !t) : (2.2)
Para perceber as características gerais da onda vamos evidenciá-las estudando casos especí…cos.
Caso t = 0
Para um instante …xo t = 0 a forma de uma onda senoidal em função da posição longitudinal é mostrada na
…gura.
109876543210
x
y
x
y
sin(kx)
Amplitude da onda: ym.
Ele fornece o valor máximo e mínimo da posição transversal y. No exemplo ym = 1.
Comprimento de onda: �
É a distância ao longo do eixo x em que a forma da onda começa a se repetir.
Observe que a distância entre dois topos é a mesma entre dois vales. Ou pegue dois pontos com o mesmo
valor y , mas com valôres diferentes de x e que estejam, por exemplo, subindo o topo. A distância entre esses dois
pontos também é igual à distância entre dois topos. Essa distância é o comprimento de onda �.
Número de onda angular.
De…nimos que � = distância xf � xi em que a forma da onda começa a se repetir.
A posição y entre dois topos é a mesma.
yi = yf (2.3)
Temos que
yi = sin (kxi) ; yf = sin (kxf )
xf = xi + �! yf = sin (k (xi + �)) = sin (kxi + k�)
2.1. CONCEPÇÕES DE ONDAS 27
Aplica em
yi = yf ; (2.4)
sin (kxi) = sin (kxi + k�) (2.5)
Para que a equação (2.5) seja satisfeita é preciso que k� seja:
k� = 2�: (2.6)
De onde obtemos o número de onda angular
k =
2�
�
(2.7)
Unidades de k. No Sistema Internacional: radianos/metro.
Número de onda
O número de onda � (kappa) é de…nido por
� =
1
�
: (2.8)
Caso x = 0
Vamos agora …xar a posição x.
Para um elemento de corda dx …xo na posição x = 0.
y = sin (�!t) = � sin (!t) : (2.9)
109876543210
tt
sin(�!t)
Frequência da onda: f
É o número oscilações completas que um elemento de corda realiza por unidade de tempo.
Vimos no estudo do movimento harmônico simples que a frequência f está relacionada com a frequência angular
por
f =
!
2�
: (2.10)
28 CHAPTER 2. ONDAS
Período T
É o intervalo de tempo T = tf � ti após o qual o movimento do elemento da corda começa a se repetir.
Quando ele se repete ocore
yi = yf ; (2.11)
yi = � sin (!ti)
yf = � sin (!tf ) = � sin (! (ti + T )) = � sin (!ti + !T )
substituindo em yi = yf obtemos
sin (!ti) = sin (!ti + !T ) : (2.12)
Isso ocorre quando
!T = 2�
Assim a frequência angular ! pode ser dada por:
! =
2�
T
(2.13)
A frequência f é então
f =
!
2�
=
1
2�
2�
T
(2.14)
ou seja
f =
1
T
: (2.15)
A fase da onda
Caso t = 0
54.543.532.521.510.50
y ( x )y ( x )
Acompanhando o per…l da onda no caso x = 0, temos
� x = [0; 0:5] a onda sobe - fase ascendente, y = [0; 1],
� x = 0:5 a onda está no topo - fase máximo, y = 1
� x = [0:5; 1:5] a onda desce - fase descendente, y = [1;�1]
2.1. CONCEPÇÕES DE ONDAS 29
� x = 1:5 a onda está no vale - fase mínimo, y = �1
Assim dependendo do valor do argumento da função a onda está em diferentes fases.
Caso x = 0
543210
t
y ( t )
t
y ( t )
O mesmo ocorre nesse caso.
Assim denomina-se de fase da onda o argumento:
kx� !t: (2.16)
Velocidade escalar de propagação de uma onda
No caso de um pulso de onda, é fácil de se observar que ele possui uma velocidade de propagação.
No caso das ondas in…nitas, essa velocidade de propagação é menos evidente.
Na …gura temos a mesma onda em tempos diferentes: t = 0 (linha vermelha) e t = t+�t (linha preta). A onda
está se propagando para direita no sentido positivo do eixo x^, ou seja
30 CHAPTER 2. ONDAS
Observe que a forma geral da onda não se modi…ca, ela se desloca para a direita como um todo.
Se nos …xarmos numa fase da onda, por exemplo o topo, vemos que a parte em x mudou, mas a fase (o topo)
permaneceu a mesma.
Assim para determinarmos a velocidade escalar da onda, precisamos manter a fase constante, ou seja:
kx� !t = fase const: (2.17)
Nesse deslocamento temos que x mudou para x+�x e t mudou para t+�t
k (x+�x)� ! (t+�t) = fase const: (2.18)
como a fase é a mesma, temos:
kx� !t = k (x+�x)� ! (t+�t)
ou seja
kx� !t = kx+ k�x� !t� !�t;
0 = k�x� !�t;
divide por �t
k
�x
�t
� ! = 0
e isola �x=�t
�x
�t
=
!
k
(2.19)
No limite em que �t! 0, temos
v = lim
�t!0
�x
�t
=
dx
dt
=
!
k
: (2.20)
assim vemos que a velocidade escalar de propagação da onda é
v =
!
k
: (2.21)
2.1. CONCEPÇÕES DE ONDAS 31
Podemos obter essa mesma expressão de uma forma mais direta.
A partir da condição
kx� !t = const:
podemos obter a seguinte função x (t):
x = const+
!
k
t (2.22)
e derivando com relação à t, temos
v =
d
dt
x =
d
dt
�
const+
!
k
t
�
=
!
k
(2.23)
Análise de
v =
!
k
: (2.24)
Veja que o resultado dessa expressão é positivo. Isso é consistente com o fato de que a onda se propaga para a
direita.
Exercício:
Encontre a velocidade de propagação da seguinte onda
y (x; t) = sin (kx+ !t) : (2.25)
Para que sentido a onda se propaga?
Ondas de forma geral
Uma onda não precisa ter apenas a forma senoidal, ele pode ter uma forma geral descrita por uma função h de duas
variáveis , mas que tenha a seguinte forma para o argumento da função
y (x; t) = h (kx� !t) : (2.26)
Apesar de não sabermos a expressão matemática de h (kx� !t), já podemos saber que a direção de propagação
é o eixo x^ e que as possíveis velocidades escalares (v) de propagação são:
v = �!
k
: (2.27)
As ondas descritas por funções h (kx� !t) satisfazem a equação diferencial de Helmholtz que é usada para
descrever as ondas em geral. Por essa razão é que se sabe que essas funções com esse tipo de argumento (kx� !t)
descrevem as ondas.
Exemplo:
Uma onda se propagando ao longo de uma corda ideal é descrita pela seguinte expressão:
y (x; t) = A sin (k1x� !0t) . (2.28)
a) Determine a velocidade escalar e o sentido de propagação da onda
(k1x� !0t) = 0
k1
d
dt
x� !0 = 0;
d
dt
x =
!0
k1
;
32 CHAPTER 2. ONDAS
e temos o sentido de propagação é na direção positivo do eixo e a velocidade escalar de propagação é:
v =
!0
k1
(2.29)
2.2 Velocidade de propagação da onda numa corda esticada.
Veremos aqui como as propriedades do meio mecânico in‡uencia na velocidade escalar v da propagação da onda.
Experimentalmente temos as seguintes medidas da velocidade de propagação de uma onda em diferentes meios
de propagação:
meio velocidade do som
ar (0o) 331 m/s
Água (0o) 1.402 m/s
Alumínio 6.420 m/s
Desses dados vemos que a propagação de uma onda mecânica depende das características do meio. Observe que
quanto mais rígido é o meio maior é a velocidade escalar v.
Construção da expressão de v.
Para se determinar a relação da velocidade de propagação v com as grandezas que de…nem as características do
meio, se realiza vários experimentos, nos quais se muda apenas uma das características para veri…car como v depende
da grandeza. A partir desses experimentos se infere a expressão matemática dessa relação que denominamosde
resultado experimental:
vExp / grandezas características do meio de propagação.
Depois se constroi um modelo físico do meio. A partir das leis físicas e do modelo se deduz teoricamente essa
expressão. Obtemos a expressão teórica:
vTeor = grandezas características do meio de propagação.
Para veri…car se o modelo físico está bom deve ocorrer:
vTeor = vExp: (2.30)
Mas o mais comum é ocorrer
vTeor ' vExp: (2.31)
Para melhorar se tenta inferir melhorias no modelo físico de tal forma que as melhorias apenas realize correções
vtotalTeor = vTeor + vcorr: (2.32)
e procura-se ver se ocorre
vtotalTeor � vExp < vTeor � vExp: (2.33)
2.2. VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA ONDA NUMA CORDA ESTICADA. 33
ou seja, se as correções melhoram o resultado teórico.
Como se ve, esse é um processo complexo. Mas um tipo de análise que permite facilitar esse processo é a análise
dimensional. Por meio dela se pode construir aproximadamente a expressão de v. Além disso ela fornece dicas para
se fazer um modelo teórico que permita construir de forma mais precisa essa expressão de v. Veremos, então, a
análise dimensional para o caso da corda esticada e depois um modelo teórico mais formal.
2.2.1 Análise dimensional - onda e corda esticada
A análise dimensional rudimentar é baseada em dois ingredientes:
1) As dimensões das grandezas físicas que estão expressas pelas unidades.
2) Inferência física a respeito de quais elementos físicos são importantes para se obter a grandeza desejada.
Neste caso a grandeza física desejada é a velocidade de propagação no meio v.
As dimensões de velocidade [v] são:
[v] =comprimento L por ( tempo )�1 1T [v] = L
1
T
grandezas características do meio de propagação.
O meio físico: Uma corda esticada de comprimento l
O fenômeno: Propagação da Onda na corda
A onda faz com que cada pedaço dx da corda oscile na direção transversal.
Essa oscilação deve depender:
a) da inércia do pedaço da corda.
b) A corda está esticada: em cada lado do pedaço dx há uma força de tensão � . então a
oscilação deve depender dessa tensão.
As dimensões:
a) A inércia do pedaço da corda deve depender da densidade linear � da corda.
As dimensões da densidade são massa/comprimento:
[�] =
M
L
34 CHAPTER 2. ONDAS
b) A tensão é uma força. A força (F = ma) tem dimensão de massa � comprimento/tempo2
[� ] = ML
1
T 2
O passo seguinte é combinar as dimensões da densidade [�] e da tensão [� ] para resultar na dimensão de
velocidade [v].
Observe que [v] não tem dimensão de massa M .
Podemos tentar
[�]
[� ]
=
M
L
ML 1T 2
=
T 2
L2
(2.34)
Mas precisamos de LT .
Assim, podemos fazer
[� ]
[�]
=
L2
T 2
Temos agora que eliminar as potências: s
[� ]
[�]
=
L
T
= [v] (2.35)
e obtemos as dimensões corretas para a velocidade.
Essa análise sugere que a expressão de v seja do tipo:
v = C
r
�
�
: (2.36)
C é uma constante numérica desconhecida que não pode ser determinada por meio dessa análise.
2.2.2 Dedução a partir da Segunda Lei de Newton
Vamos agora construir um modelo teórico. Considere um pulso simétrico da seguinte …gura:
2.2. VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA ONDA NUMA CORDA ESTICADA. 35
Tomemos um pedaço do pulso formando um arco de circunferência de comprimento �L.
O ângulo � se relaciona com �L e R por:
2� =
�L
R
As tensões de intensidades iguais j~�1j = j~�2j = � atuam em cada lado de �L.
Considere o eixo x^ passando tangente ao topo do circulo. O eixo y^ passa pelo centro do circulo e aponta para
baixo.
Na direção x^: As componentes x das tensões se anulam
~�x1 + ~�
x
2 = 0: (2.37)
Na direção y^:
~�2y = � cos�y^: (2.38)
O ângulo �:
� = 90o � � ! cos� = sin �
Componente �2y = � sin �;
Tensão total na direção y^
� toty = 2� sin �: (2.39)
para o caso em que � é muito pequeno, temos
sin � � �: (2.40)
substituindo em � toty , temos
� toty = 2��
Usando o valor de 2� = �L=R:
� toty = �
�L
R
: (2.41)
A massa do pedaço da corda de comprimento �L é
�m = ��l: (2.42)
36 CHAPTER 2. ONDAS
onde � = densidade linear da corda.
No instante que vemos o pedaço da corda ela tem a forma de um arco de circulo. Assim é como se as partículas do
pedaço da corda estivessem descrevendo uma trajetórica circular. A aceleração nesse caso é a aceleração centrípeta
a =
v2
R
(2.43)
Substituimos (2.41), (2.42) e (2.43) na segunda Lei de Newton:
F = ma
temos
Fz }| {
�
�L
R
=
mz}|{
��l
az}|{
v2
R
: (2.44)
Agora isolamos v:
v =
r
�
�
: (2.45)
E obtemos a velocidade escalar de propagação na corda esticada.
Análise da expressão.
Essa expressão nos mostra que a velocidade de propagação aumenta se a tensão � na corda aumentar e é menor
nas cordas mais densas
2.2.3 A velocidade da Luz
A velocidade dos corpos na Mecânica depende do sistema de referencial. No caso das ondas o referencial usado para
medir a velocidade de propagação da onda é o referencial do meio.
A Luz é uma onda Electromagnética e nesse caso a sua velocidade é estabelecida pelo postulado formulado por
Einstein em 1905:
Proposition 1 A velocidade escalar da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas as direções e em todos os
referenciais inerciais.
Esse postulado tem um papel importante na Teoria da Relatividade Restrita.
Esse postulado não se aplica as ondas mecânicas que estamos estudando.
Embora pareça ser contrário a nossa percepção, esse postulado revelou outro limite de validade da Mecânica
Clássica. A Mecânica que começamos a estudar é válida para fenômenos com velocidades abaixo da velocidade da
Luz.
O "bom senso".
Esse bom senso é formado a partir das nossas observações cotidianas, cujos fenômenos ocorrem a uma velocidade
muito abaixo de c.
Nossos sentidos não são capazes de perceber a velocidade c. Somente a partir da descrição teórica é que os
fenômenos com velocidades próximos de c são revelados.
2.3. ENERGIA E POTÊNCIA 37
2.3 Energia e Potência
A Energia Cinética
No caso do movimento transversal de um elemento de corda dx. A posição transversal é dada por:
y (x; t) = ym sin (kx� !t) (2.46)
A expressão da velocidade u (x; t) desse elemento de corda na direção y^ é obtido derivando-se essa expressão
com relação ao tempo:
u (x; t) =
d
dt
y (x; t) = �ym! cos (kx� !t) : (2.47)
obs: essa velocidade é do elemento de corda na direção transversal.
A massa dentro do elemento de corda de comprimento dx é
dm = �dx (2.48)
onde � = densidade linear.
Assim a energia cinética do elemento de corda de comprimento dx é dada por
dK =
1
2
dmu2 =
1
2
�dx (ym! cos (kx� !t) )2 :
dK =
1
2
�dx y2m!
2 cos2 (kx� !t) (2.49)
Quando y (x; t) = ym ou y (x; t) = �ym
Nesses pontos o elemento dx, atingiu sua posição transversal máxima e pára. Logo nesse caso u = 0, assim
dK = 0.
Quando y (x; t) = 0.
Nesse caso temos que
ym sin (kx� !t) = 0! kx� !t = 0 + 2�
por outro lado
kx� !t = 0 + 2� ! cos (kx� !t) = 1! juj = ym! (2.50)
como o valor máximo da função cosseno é 1, temos que o módulo máximo da velocidad u é
umax = juj = ym!
e portanto o elemento dx tem sua energia cinética máxima quando passa por y = 0 e dada por
dKmax =
1
2
�dx y2m!
2: (2.51)
Energia Potencial
Vamos observar dois elementos de onda com tamanho �x na direção x^, mas em fases diferentes.
38 CHAPTER 2. ONDAS
O primeiro elemento está na fase no topo em torno de y = ymax. O segundo elemento está na fase descendente
em torno de y = 0.
Observe que o comprimento total �L desses elementos são diferentes.
No primeiro �L é menor do que no segundo.
Isso signi…ca que quando o elemento de corda está nas extremidades y = ymax ele estica menos. Enquanto que
quando o elemento está em y = 0 ele estica mais.
Assim a energiapotencial armazenada no primeiro caso (y = ymax) é menor do que a energia potencial do
segundo caso (y = 0).
Potência Transmitida
A taxa de variação temporal da energia cinética dK de um elemento de corda é obtida dividindo dK por dt.
dK
dt
=
1
2
�
dx
dt
y2m!
2 cos2 (kx� !t) : (2.52)
Vimos que a velocidade escalar de propagação da onda é
v =
dx
dt
substituindo, reescreve-se dKdt
dK
dt
=
1
2
�vy2m!
2 cos2 (kx� !t) : (2.53)
A taxa média da energia cinética é
dK
dt
=
1
2
�vy2m!
2cos2 (kx� !t): (2.54)
O valor médio cos2 (kx� !t) calculado sobre um número inteiro de comprimento de onda é
cos2 (kx� !t) = 1
2
substituindo:
dK
dt
=
1
4
�vy2m!
2: (2.55)
Vimos no estudo de movimentos harmônicos que a taxa temporal média da energia cinética média é igual a taxa
temporal média da energia potencial
dK
dt
=
dU
dt
: (2.56)
2.4. O PRÍNCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 39
A Potencia média é
�P =
dK
dt
+
dU
dt
= 2
dK
dt
=
1
2
�vy2m!
2: (2.57)
2.4 O Príncípio da Superposição
Vimos esse princípio determina a expressão da resultante das força externas como uma soma vetorial
~R =
X
i
~F exti : (2.58)
Esse mesmo princípio é aplicado também para ondas.
No caso das ondas, temos que duas ou mais ondas podem passar pelo mesmo ponto no mesmo instante. No caso
da corda pode-se ter a situação em que duas pessoas seguram, cada uma, a extremidade da corda.
Ao mesmo tempo as duas pontas são agitadas.
Os dois pulsos irão se encontrar no meio. Qual será o efeito?
O princípio da superposição permite que o efeito seja calculado. O princípio estabelece que a onda resultante é
a soma linear das ondas individuais.
ytotal (x; t) = y1 (x; t) + y2 (x; t) : (2.59)
No caso em que houver mais de N ondas:
ytotal (x; t) =
NX
i=1
yi (x; t) = y1 (x; t) + y2 (x; t) + y3 (x; t) + :::+ yN (x; t) : (2.60)
2.4.1 Interferência de ondas
Com base no princípio podemos computar a interferência entre ondas. Destaca-se dois tipos de interferência: a
construtiva e a destrutiva.
Um exemplo de interferência construtiva é quando a amplitude é ampli…cada.
40 CHAPTER 2. ONDAS
Na interferência destrutiva o efeito de uma é anulada pela outra.
Quando um tipo ocorre e outra não?
Isso depende das fases de cada onda.
2.4. O PRÍNCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 41
Em A as ondas individuais tem a mesma fase. Em B as fases são opostas e se anulam.
A diferença de fase
Seja dada duas ondas
y1 (x; t) = ym sin (kx� !t+ �) ; (2.61)
y2 (x; t) = ym sin (kx� !t) ;
Elas se propagam na mesma corda. Elas tem o mesmo número de onda k e a mesma frequência angular !. O
que muda é o ângulo �.
Esse ângulo é a diferença de fase, pois é este termo que torna a fase de y1 (x; t) diferente da fase de y2 (x; t).
(kx� !t+ �)� (kx� !t) = � (2.62)
Aplicando o princípio de superposição:
y (x; t) = y1 (x; t) + y2 (x; t) (2.63)
temos
y (x; t) = ym sin (kx� !t+ �) + ym sin (kx� !t)
= ym [sin (kx� !t+ �) + sin (kx� !t)]
da identidade trigonométrica:
sin�+ sin� = 2 sin
1
2
(�+ �) cos
1
2
(�� �)
obtemos:
y (x; t) =
�
2ym cos
1
2
�
�
sin
�
kx� !t+ 1
2
�
�
(2.64)
42 CHAPTER 2. ONDAS
Esse resultado também é uma onda senoidal. As diferenças é a fase 12� e a amplitude 2ym cos
1
2�.
Dependendo do valor da diferença de fase � teremos que:
1) a amplitude se anula - �
2ym cos
1
2
�
�
= 0! cos 1
2
� = 0! 1
2
� =
�
2
! � = � (2.65)
e para isso ocorrer, vemos que a diferença de fase (defasagem) � = �
2) a amplitude é máxima �
2ym cos
1
2
�
�
= 2ym ! cos 1
2
� = 1! 1
2
� = 0! � = 0 (2.66)
temos que a diferença de fase é � = 0, ou seja as duas ondas estão na mesma fase.
2.5 Ondas Estacionárias.
Elas são ondas que possuem pontos …xos ou seja pontos que não se propagam, permanecem imóveis.
Podemos obter essas ondas superpondo duas ondas com o mesmo k e ! que se propagam em direções opostas.
No instante t = 0.
A ultima onda é a resultante da superposição das outras duas. Ela é a onda estacionária que não se propaga.
Características:
1) Nós: são os pontos …xos ao longo do eixo.
2) antinós: são os pontos nos extremos.
2.5. ONDAS ESTACIONÁRIAS. 43
No instante t = T=4
O resultado é a anulação do movimento ondulatório.
y1 (x; t) = ym sin (kx� !t) :
y2 (x; t) = ym sin (kx+ !t) :
A soma:
y (x; t) = y1 (x; t) + y2 (x; t)
= ym [sin (kx� !t) + sin (kx+ !t)]
da identidade trigonométrica:
sin (a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b
sin (a� b) = sin a cos b� cos a sin b
)
= 2 sin a cos b
e a = kx e b = !t, obtemos
y (x; t) = [2ym sin kx] cos!t: (2.67)
Essa é a expressão da onda estacionária. O termo [2ym sin kx] é a amplitude da onda.
Observe que a onda tem a forma geral de
y (x; t) = f (kx)h (!t) (2.68)
que é muito diferente da forma
y (x; t) = h (kx+ !t) (2.69)
Assim não podemos aplicar a condição de fase constante: kx+ !t = const:e calcular: v = dx=dt.
Outra diferença:
44 CHAPTER 2. ONDAS
Amplitude
Onda senoidal ym é a mesma para todos os elementos da corda
Onda estacionária [2ym sin kx] muda com a posição x.
Exemplo: A amplitude da onda estacionária para certas posições x é nula
sin kx = 0! kx = n�; n = 0; 1; 2::: (2.70)
Usando k = 2�=� temos
x =
n�
k
=
�
2
n (2.71)
Essas são as posições onde a amplitude é nula, ou seja, as posições dos nós.Vemos que a posição de um nó é um
multiplo da metade do comprimento � da onda
Nós adjacentes ou vizinhos:
Para uma escolha do nó: n = N , nó adjacentes são n = N � 1 ou n = N + 1, onde N = inteiro
n = N ! xN = �
2
N; n = N � 1! xN�1 = �
2
(N � 1) (2.72)
A distância entre dois nós adjacentes:
xN � xN�1 = �
2
N � �
2
(N � 1) = �
2
(N �N + 1) = �
2
: (2.73)
Os antinós.
A posição deles corresponde ao valor máximo do jsin kxj = 1. Eles ocorrem para
kx =
1
2
�;
3
2
�; ::: = n+
1
2
�; n = 0; 1; 2; :::
usando k = 2�=� obtemos:
x =
�
n+
1
2
�
�
2
; n = 0; 1; 2; ::: (2.74)
2.5.1 Onda Estacionária e Ressonância
Nas …guras abaixo vemos dois padrões de ondas estacionárias. O comprimento total no eixo x^ é x = l = 6:5
Padrão 1
65 .554 .543 .532 .521 .510 .50
x
y
x
y
2.5. ONDAS ESTACIONÁRIAS. 45
Padrão 2
65 .554 .543 .532 .521 .510 .50
x
y
x
y
Esses padrões de vibração podem ser vistos numa corda de violão. A corda está esticada e as duas pontas estão
presas. Esses padrões só ocorrem em frequências de…nidas. Essas frequências são chamadas de frequências de
ressonância.
Observe que no Padrão 1, temos um comprimento de onda � dentro do comprimento l :
� = l
No Padrão 2, temos um e meio comprimento de onda � dentro do comprimento l.�
1 +
1
2
�
� = l
Se prosseguirmos veremos que as ressonâncias ocorrem quando múltiplos de �=2 couberem dentro do compri-
mento l, isto é
�
2
n = l; n = 1; 2; 3; ::: (2.75)
Dessa expressão obtemos:
� =
2l
n
(2.76)
e a frequência de ressonância é obtida por
f =
v
�
=
v
2l
n; n = 1; 2; 3; ::: (2.77)
A menor frequência de ressonância é para n = 1:
f =
v
2l
: (2.78)
Essa frequência é chamada de fundamental ou 1o¯ harmônico
O segundo harmônico é para n = 2 e assim sucessivamente. A série é chamada de série harmônica e n é
denominado de número harmônico.
Uma outra forma de obter esses padrões é prender uma das pontas da corda num gerador de oscilações. O
gerador transfere energia para a corda. Se o gerador oscilar a corda numa frequência diferente das frequências de
ressonância não será possível transferir energia de maneira e…ciente do gerador para a corda. Fora da frequência de
ressonância hora o gerador realiza trabalho sobre a corda hora a corda realizatrabalho sobre o gerador.
46 CHAPTER 2. ONDAS
Na frequência de ressonância o ‡uxo de energia vai todo para a corda.
A formação dessas ondas sonoras nesse caso se dá da seguinte maneira.
1) O gerador envia um primeiro pulso.
2) O pulso vai até a outra extremidade da corda e é re‡etida de volta.
3) O gerador envia um segundo pulso.
4) Os dois pulsos se encontram e se somam-se.
O mesmo fenômeno pode ser observado nas cordas do violão.
Nesse caso ao tocar na corda temos um pulso que vai para um lado e outro para o outro lado. Esses dois pulsos
se re‡etem nas extremidades presas da corda e retornam para sobreporem-se.
2.6 Ondas esféricas - frente de onda
As ondas esféricas são tridimensionais. A representação dessas ondas, são feitas como superfícies esféricas que se
expandem.
A fonte da onda está no centro. Essas superfícies esféricas são chamadas de frentes de onda.
Chapter 3
Ondas sonoras
De…nição: São ondas que se propagam em meios mecânicos.
Os meios mecânicos são sistemas de partículas. No caso das ondas sonoras os meios são contínuos.
Exemplo de meios mecânicos: Gases, Líquidos ou Sólidos.
Tipos de ondas:
(
transversais,
longitudinais.
As propriedades dos meios determinam os tipos de ondas que podem propagar-se neles.
Sólidos.
Os dois tipos de ondas propagam-se nos sólidos.
Gáses e Líquidos
Apenas as ondas longitudinais se propagam nos ‡uídos.
As ondas transversais requerem uma força restauradora transversal à direção de propagação, essa força
aparece em meios elásticos por meio da tensão de cisalhamento. Mas ‡uídos não possuem tensões de cisalhamento
devida à propriedade de ‡uidez.
3.1 Velocidade do Som
3.1.1 Dedução de v por analogia.
Vimos que a velocidade de propagação de uma onda mecânica na corda é dada por
v =
r
�
�
: (3.1)
Nessa expressão � descreve a propriedade elástica do meio e � (densidade linear) é a propriedade inercial.
v =
r
�
�
 � prop:elastica
 � prop: inercial : (3.2)
No caso do ar.
A propriedade inercial é a densidade volumétrica �
47
48 CHAPTER 3. ONDAS SONORAS
A propriedade elástica é o módulo de elasticidade volumétrica B
B = � �p
�V=V
(3.3)
onde �p é a variação de pressão e �V=V é a variação fracional em volume produzida pela variação de pressão.(
Assim a velocidade de propagação do som no ar pode ser dado por
v =
s
B
�
 � prop:elastica
 � prop: inercial : (3.4)
3.1.2 Dedução baseado num modelo
Dedução da equação (3.4)
A dedução se baseia na segunda lei de Newton
F = ma: (3.5)
Sistema: Um tubo longo com ar de secção transversal de área A.
Um pulso de compressão se propaga da direita para esquerda com velocidade v dentro do tubo.
O referencial.
Escolhe-se o referencial no qual o pulso de compressão está em repouso. Nesse referencial o ar se move com
velocidade v da esquerda para direita.
p! pressão do ar fora do pulso.
p+�p! pressão do ar dentro do pulso. �p > 0 devido à compressão.
O elemento do meio: Considere uma fatia de ar de espessura �x.
O volume dessa fatia é �V = �xA. Essa fatia se move com velocidade v em direção ao pulso. Quando a face
frontal da fatia chega ao pulso temos:
Na face frontal temos a pressão: p+�p. A velocidade da face frontal diminui para v +�v (�v < 0) devido à
essa pressão mais alta.
3.1. VELOCIDADE DO SOM 49
A redução da velocidade se completa quando a face posterior alcança o pulso. O intervalo de tempo que isso
ocorre é
�t =
�x
v
: (3.6)
Durante esse intervalo de tempo a força sobre a face posterior é
pA;
dirigida para direita, pois face posterior temos a pressão: p.
Na face frontal a força média é
� (p+�p)A
dirigida para a esquerda.
A força resultante é
F = pA� (p+�p)A = ��pA: (3.7)
A massa dentro da fatia.
Como a densidade é constante �, temos
�m = ��xA: (3.8)
como �t = �xv , substitui essa expressão reescreve-se
�m = �v�tA: (3.9)
A aceleração média da fatia é
a =
�v
�t
: (3.10)
Substituindo (3.7), (3.9) e (3.10) na segunda lei
��pA = �v�tA�v
�t
;
��p = �v�v;
no lado direito da eq. multiplico por v=v pois faz aparecer v2 e o termo �v=v vai ser relacionado coma variação
fracional de volume, mais a frente.
��p = �v2�v
v
;
�v2 =
��p
�v
v
; (3.11)
Quando a fatia está fora do pulso o ar na fatia ocupa um volume V = Av�t.
Dentro do pulso o volume é reduzido de �V = A�v�t.
A variação fracional de volume é então
�V
V
=
A�v�t
Av�t
=
�v
v
(3.12)
50 CHAPTER 3. ONDAS SONORAS
Substitui �vv em (3.11)
�v2 =
��p
�v
v
=
��p
�V
V
= B
ou seja
�v2 = B ! v =
s
B
�
: (3.13)
3.2 Movimento do meio
Veremos que o efeito do movimento ondulatório em um meio é produzir uma variação de pressão �p oscilante.
Vamos estudar o comportamento de um elemento de ar, isto é: uma fatia bem …na
A onda sonora é descrita por uma onda senoidal. Seja s0 uma posição ao longo do eixo x^. Assim uma fatia …na
�x oscila em torno da posição de equilíbrio s0 de forma senoidal.
Aqui escolhe-se a função cosseno
s (x; t) = sm cos (kx� !t) : (3.14)
A posição s é na direção do eixo x^. A amplitude máxima é sm e por hipótese escolhemos sm < �, (� =
comprimento da onda)
Vimos que na parte clara a pressão é p e dentro da fatia a pressão é maior: p+�p.
Vamos mostrar que variação da pressão �p é
�p = �pm sin (kx� !t) ; (3.15)
onde a variação máxima da pressão �pm é dada por
�pm = v�!sm: (3.16)
Dedução de (3.15) e (3.16).
3.2. MOVIMENTO DO MEIO 51
Vimos que a variação da pressão se relaciona com a variação fracional em volume �V=V por
�p = �B�V
V
: (3.17)
O volume do elemento de ar de comprimento �x dentro do tubo com secção transversal de área A é
V = A�x: (3.18)
A variação de volume �V é causada pela diferença de deslocamento �s entre as duas faces do elemento de ar.
�V = A�s: (3.19)
Substitui essas dua equações em �p, temos
�p = �BA�s
A�x
= �B�s
�x
: (3.20)
Toma-se o limite em que o elemento de ar é o mais …no possível, i.e., �x! 0
�p = lim
�x!0
�B�s
�x
= �B lim
�x!0
�s
�x
= �B @s
@x
: (3.21)
Como s = s (x; t) é uma função de duas variáveis e se quer a derivada em relação à sòmente uma delas se usa o
símbolo @ que indica uma diferenciação parcial.
Aplicando a derivação parcial em s (x; t), temos
@s (x; t)
@x
=
@
@x
sm cos (kx� !t) = �ksm sin (kx� !t) : (3.22)
Substituindo em �p, temos
�p = Bksm sin (kx� !t) = �pm sin (kx� !t) ; (3.23)
�pm � Bksm (3.24)
Podemos relacionar �pm com a velocidade de propagação do som v =
p
B=�
Reescreve v =
p
B=� na seguinte forma:
B = �v2: (3.25)
e substitui em �pm,
�pm = �v
2ksm: (3.26)
agora só falta eliminar k e reduzir v2 ! v.
Do estudo do capítulo anterior a velocidade v se relaciona com a frequência da onda da seguinte forma:
v =
!
k
! k = !
v
e se pode reescrever �pm por:
�pm = �v
2!
v
sm = v�!sm: (3.27)
Temos que a variação da pressão máxima �pm depende da densidade do ar e da amplitude sm.
Comentários
�p = �pm sin (kx� !t) ; (3.28)
Observe que a propagação do som no ar se constitui numa propagação da variação de pressão. Essa variação de
pressão ao atingir corpos sólidos produz vibrações mecânicas.
52 CHAPTER 3. ONDAS SONORAS
3.2.1 Interferência e distâncias entre fontes
Duas ondas com o mesmo �. Cada onda possui um ponto de partida s1 e s2. Elas são produzidas com as mesmas
fases (kx� !t).
Caso s1 = s2.
Nesse caso os pontos de máximos e mínimos de cada onda se sobrepõe e se somam.
Caso s1 6= s2
Nesse caso �d = s1 � s2 e cada onda percorre distâncias diferentes até atingir um dado ponto escolhido P .
No ponto P .
Pode ocorrer que
(
a onda que parte de s1 chegue no ponto P na fase ascendente
a onda que parte de s2 chegue no ponto P na fasedescendente
.
Temos uma interferência destrutiva
Vimos que uma diferença de fase de 2� (se � = 2�) corresponde ao comprimento �
2� $ �: (3.29)
Por outro lado, uma diferença de fase de � corresponde à um comprimento �d.
�$ �d:
Assim usando a regra de três, temos
�
2�
=
�d
�
! � = 2��d
�
: (3.30)
Essa expressão, também é válida para as ondas longitudinais.
A interferência é construtiva quando a defasagem � é um multiplo inteiro de 2�
� = m2�; m = 0; 1; 2; ::: (3.31)
3.3. INTENSIDADE DO SOM 53
A interferência é destrutiva quando a defasagem � é um múltiplo semi-inteiro de 2�
� =
�
m+
1
2
�
2�; m = 0; 1; 2; ::: (3.32)
Aplicando em (3.30), temos:
Interferência construtiva
m2� = 2�
�d
�
! �d = m�: (3.33)
Interferência destrutiva �
m+
1
2
�
2� = 2�
�d
�
! �d =
�
m+
1
2
�
�: (3.34)
3.3 Intensidade do Som
A intensidade de uma onda I é a taxa média de transmissão de energia por unidade de área. No SI a unidade de I
é Watt = m2.
I =
E
A
; E = energia; A = area (3.35)
A energia de uma onda está na sua amplitude. A relação de I com sm para a onda sonora que estamos estudando
é dada por
I =
1
2
�v!2s2m (3.36)
Dedução de I
Considere o elemento de ar (fatia) de espessura dx e área transversal A. Seja dm a quantidade elementar de
massa dentro desse elemento de ar e vs a velocidade de oscilação do elemento de ar. (Lembrete: escolhemos o elemento
de ar pois vamos usar a física que conhecemos anteriormente que é a física para descrever uma partícula e assim deduzir a
física para todo o sistema de partículas).
Assim o elemento de energia cinética dK é
dK =
1
2
dmv2s
temos que
vs =
ds
dt
= �!sm sin (kx� !t) :
Para obter dm, temos
dm = �dxA:
Assim a energia cinética é reescrita por:
dK =
1
2
�dxA!2s2m sin
2 (kx� !t) (3.37)
A taxa temporal de variação da energia dK=dt é
dK
dt
=
1
2
�
dx
dt
A!2s2m sin
2 (kx� !t)
e vimos que v = dx=dt velocidade escalar de propagação.
dK
dt
=
1
2
�vA!2s2m sin
2 (kx� !t) : (3.38)
54 CHAPTER 3. ONDAS SONORAS
A taxa média é então dada por
dK
dt
=
1
2
�vA!2s2msin
2 (kx� !t)
=
1
4
�vA!2s2m
onde se usou: sin2 (kx� !t) = 1=2:
Novamente o movimento é do tipo harmônico, nesses casos dKdt =
dU
dt .
A intensidade é a taxa média de energia por unidade de área e temos:
I =
1
A
2
dK
dt
=
1
2
�v!2s2m: (3.39)
Análise da equação:
A intensidade da onda depende diretamente da:
1) densidade do meio (�). Quanto mais denso o meio maior é a intensidade.
2) Velocidade de propagação (v). A velocidade é maior em meios mais rígidos.
3) Frequência da onda (!). O som agudo irrita mais aos ouvidos.
4) da amplitude da onda.
3.3.1 O ouvido humano e a escala decibel
Os limites que o ouvido humano tolera para a amplitude de oscilação são:
Máx sm = 10�5m, Mín sm = 10�11m
Temos uma larga faixa de tolerância. A razão entre esses dois limites é
rsm =
10�5
10�11
= 106
elevado ao quadrado temos 1012.
Na física para trabalhar com números tão grandes é conveniente utilizar o logarítmo
y = log x
propriedades
log 10 = 1; log 104 = 4 log 10 = 4: (3.40)
A escala decibel de nível sonoro �.
De…nição
� = 10dB log
I
I0
: (3.41)
I0 = 10
�12W=m2 é a intensidade de referência padrão escolhida pois está próxima do limite inferior da
sensibilidade humana.
Assim quando não ouvimos quase nada
� = 10dB log
10�12
10�12
= 10db log 1 = 0dB (3.42)
3.4. EFEITO DOPPLER 55
3.4 Efeito Doppler
Quando estamos parado ao lado de uma rua e escutamos um carro em movimento se aproximando de nós. Ouvimos
um som mais agudo do barulho do motor. Quando o carro está se afastando ouvimos um som mais grave. Esse é o
efeito Doppler. Ele é a alteração da frequência devido à velocidade relativa entre a fonte do som e o detector.
Esse é um meio de se detectar a velocidade dos carros. Nesse caso é preciso que o radar esteja alinhado com a
direção de movimento do carro.
No estudo de astrofísica. Esse efeito afeta o comprimento de onda da luz emitida pelas estrelas alterando a cor
detectada. Se a luz …ca azulada signi…ca que a estrela está se aproximando da Terra. Se a luz …car avermelhada
signi…ca que a estrela está se afastando da Terra. É dessa forma que se consegue medir a velocidade relativa das
estrelas em relação à Terra.
3.4.1 Detector em Movimento - Fonte em repouso
Num referêncial …xo no solo, coloca-se a fonte sonora F em repouso na origem do referencial. A fonte emite ondas
de frequência f e comprimento de onda �. Um detector D se movimenta com velocidade vD em direção à origem
do referencial.
Se o detector D estivesse parado. As frentes de onda chegariam a D (intercepta D) com uma frequência f .
Como o detector está em movimento a frequência com que as frentes de onda intercepta D é f 0.
1) f sem efeito Doppler. Considerando D em repouso.
No instante t as frentes de onda se movimentam com velocidade v e percorrem uma distância vt.
O número de comprimentos de onda � que cabem dentro dessa distância é
num de � =
vt
�
O número de ondas detectadas por D durante o intervalo t é a frequência
f =
num de �
t
=
vt
�
t
=
v
�
: (3.43)
2) D em movimento se aproximando de O
As ondas propagam-se com velocidade v. O detector D move-se em direção oposta com velocida vD
O que ocorre no detector no intervalo de tempo t.
a) As frentes de onda percorrem a distância s = vt para direita. Essas são as frentes de onda que o detector
capta se ele estivesse parado.
b) O detector percorre a distância sD = vDt para esquerda. Mais frentes de onda são captadas.
56 CHAPTER 3. ONDAS SONORAS
No intervalo de tempo t o número de frentes de onda que atingiram o detector D percorreram a distância s+ sD
s+ sD = vt+ vDt: (3.44)
O número de frentes de onda que cabem dentro dessa distância é
n =
vt+ vDt
�
(3.45)
a frequência f 0 é o número de frentes de onda por unidade de tempo.
f 0 =
vt+ vDt
�t
=
v + vD
�
(3.46)
Quando o detector está em repouso a frequência f é: f = v=�! � = v=f substitui � em f 0, temos
f 0 = f
v + vD
v
(3.47)
v+vD
v é o fator de quanto a frequência f
0 é maior do que a frequência f medida quando o detector está em
repouso.
c) O detector se afasta da origem e percorre uma distância sD = vDt.
3.4. EFEITO DOPPLER 57
O número de frentes de ondas captadas pelo detector percorreram a distância
s� sD = vt� vDt
O número de ondas que cabem nessa distância é
n =
vt� vDt
�
A frequencia f 0 é o número de frentes de onda que são captadas pelo detector por unidade de tempo
f 0 =
vt� vDt
�t
=
v � vD
�
e usando � = v=f
f 0 =
v � vD
v=f
= f
v � vD
v
: (3.48)
Temos a frequência quando o detector se afasta da fonte de onda.
Reunindo os dois resultados, temos
f 0 = f
v � vD
v
: (3.49)
O sinal + é para o detector se aproximando da fonte, o sinal � é para o detector se afastando da fonte.
3.4.2 Fonte em Movimento - Detector em Repouso
1) A fonte se move em direção ao detector
Para esse problema utilizamos o período T = 1=f em vez do intervalo de tempo t.
O período T é o intervalo de tempo decorrido entre duas frentes de onda W1 e W2. Seja vF a velocidade da
fonte.
58 CHAPTER 3. ONDAS SONORAS
Durante o período T a frente de onda W1 percorre uma distância d1 = vT na direção de x positivo. A fonte da
onda percorre uma distância dF = vFT na direção de x positivo. Depois que passou o período T a segunda frente
de onda é emitida.
O comprimento de onda �0 é a distância entre as duas frentes de onda na direção de x positivo. Esse comprimento
é
�0 = d1 � dF = vT � vFT
como T = 1=f
�0 =
1
f
(v � vF )
A frequência medida