Aula_Teorica_13_e_14

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30/10/2013
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Circuitos de Corrente alternada:
Fasores e análise fasorial
(Análise Fasorial, Diagrama Fasorial, Impedância e Admitância – Série e Paralelo)
Universidade Estadual de Feira de Santana
Departamento de Tecnologia 
Área de Eletrônica e Sistemas
Prof. João Bosco Gertrudes
e-mail: jbosco@ecomp.uefs.br; jbosco@dsce.fee.unicamp.br
Atendimento em sala: terças e quintas das 14:30h as 15:30h
TEC 500 – Circuitos Elétricos e Eletrônicos 2013.2 
� Introdução
� Revisão de Números Complexos
� Fasores (Tensão e Corrente) 
� Relações Tensão/Corrente em Circuitos CA (Impedância e Admitância)
� Análise Fasorial para a solução de problemas envolvendo circuitos CA. 
Análise Fasorial
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� Números Complexos
� Sistema de números complexos pode ser aplicado a formas de ondas senoidais, para 
facilitar as operações algébricas das formas de ondas envolvidas na análise de circuitos.
� O número complexo pode ser representado por um ponto em um plano, referido a um 
sistema de eixos cartesianos.
� O ponto também determina um raio vetor a partir da origem.
� O eixo horizontal é o eixo real e o vertical, eixo imaginário.
� O símbolo j (ou i) é utilizado para denotar a parte imaginária.
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 1
� Representações de Números Complexos
� Forma Retangular: 
� Números com magnitude e fase.
� X é a projeção do vetor no eixo real.
� Y é a projeção do vetor no eixo imaginário.
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 2
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� Representações de Números Complexos
� Forma Polar: 
� Z indica módulo.
� � ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo. 
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 3
� Representações de Números Complexos
� Forma Polar:
� O sinal negativo em um número complexo na forma polar resulta em um número complexo oposto ao 
número complexo com sinal positivo:
Análise fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 4
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� Conversão entre as duas formas
� Retangular para Polar:
� Polar para Retangular:
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 3
Figura 2
� Operações Matemáticas com Números Complexos
� Complexo conjugado: troca-se o sinal da parte imaginária na forma retangular, ou o sinal 
do ângulo na forma polar.
� Adição: Sejam e , adicionar as partes reais e 
imaginárias separadamente:
� Subtração: As partes reais e imaginárias são consideradas separadamente:
� A adição e a subtração não podem ser realizadas na forma polar.
Análise Fasorial
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� Operações Matemáticas com Números Complexos
� Multiplicação: multiplicar as partes real e imaginária de um pelas partes correspondentes 
do outro.
� Se os números estão na forma polar: C1 = Z1 ∠ θ1 e C2 = Z2 ∠ θ2
� Multiplicar os módulos e somar algebricamente os ângulos.
Análise Fasorial
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� Operações Matemáticas com Números Complexos
� Divisão: Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
� Na forma polar: dividir o módulo do numerador pelo módulo do denominador, e subtrair 
os respectivos ângulos:
Análise Fasorial
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� Fasores
� Operações Algébricas de tensões e correntes senoidais são necessárias quando 
analisamos circuitos CA.
� Um método seria traçar as duas formas de onda senoidais no mesmo gráfico e somar
algebricamente as ordenadas de cada ponto.
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 5
� Fasores
� Um método mais prático seria usar um vetor radial que tem um módulo (comprimento) 
constante e com uma extremidade fixa na origem.
� Este vetor é denominado fasor quando usado na análise de circuitos.
� No instante t = 0, o fasor estará nas posições da figura 6.
� Usando álgebra vetorial:
� Convertendo v1 e v2 para a forma de Fasores,
� Obtemos vT com a álgebra dos números complexos.
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 6
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� Fasores
� A figura (6a) que mostra os módulos e posições relativas dos Fasores envolvidos e é 
denominada diagrama de Fasores.
� Isto é um valor instantâneo dos vetores girantes em t = 0s
� Portanto, para trabalharmos com funções senoidais, devemos convertê-las para Fasores, 
calcular o resultado com álgebra dos números complexos e depois transformar de volta 
para o domínio do tempo.
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 6
� Fasores 
� Usamos quase que exclusivamente os valores rms, e não os valores de pico, na análise de 
circuitos c.a.. Assim, o fasor pode ser definido, por razões práticas e de uniformidade, 
como tendo um módulo igual ao valor rms da função senoidal que a representa.
� A fase continua a mesma.
� Em geral, nas análises, a forma fasorial de uma tensão ou corrente senoidal será:
V = V∠θ e I = I∠θ
� Onde V e I são os valores rms e θ é o ângulo de fase.
� A álgebra dos Fasores só pode ser aplicada a formas de onda senoidais de mesma 
freqüência.
Análise Fasorial
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� Exemplo1
� As ordenadas das funções vistas na figura 7b em t = 0s são determinadas pelas posições 
angulares dos Fasores vistos na figura 7a.
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 7
� Impedância e o Diagrama de Fasores
� Elementos resistivos
� Para um circuito puramente resistivo vimos que v e i estão em fase e suas amplitudes são 
dadas por:
� Em forma fasorial:
� Aplicando a lei de Ohm por meio da utilização da álgebra dos Fasores, temos:
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 7
ou
onde
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� Impedância e o Diagrama de Fasores
� Como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deve ser também 0o. Logo, θθθθR = 0o
� No domínio do tempo, 
� O fato de que θθθθR = 0o é empregado na forma polar a seguir para garantir uma relação 
de fase adequada entre a tensão e a corrente em um resistor:
� A grandeza ZR, que tem um ângulo e módulo associado, é denominada impedância do 
elemento resistivo. Ela é medida em ohms e indica quanto o elemento ‘impede’ a 
passagem de corrente no circuito.
� ZR não é um fasor. O termo fasor é reservado para grandezas que variam no tempo, sendo R e o seu 
ângulo associado de 0o grandezas fixas.
Análise Fasorial
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 7
� Exemplo 2: 
� Usando a álgebra dos números complexos, determine a corrente i no circuito da figura 8. 
Faça um esboço das formas de ondas de v e i.
Análise Fasorial
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Figura 8 Figura 9
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� O Diagrama de Fasores para o exemplo 2. 
Análise Fasorial
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Figura 12 Figura 13
� Exemplo 3: 
� Usando a álgebra dos números complexos, determine a tensão v no circuito da figura 10. 
Faça um esboço das formas de ondas de v e i.
Análise Fasorial
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Figura 10 Figura 11
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� O Diagrama de Fasores para o exemplo 3. 
Análise Fasorial
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Figura 12 Figura 13
� Reatância Indutiva
� Vimos que um indutor puro faz com que a corrente seja atrasada em 90o da tensão. E que 
a reatância do indutor, XL é dada por ωL.
� Pela lei de Ohm� Como i está atrasada em relação a v, a corrente deve ter um ângulo de -90o. Para isto, θL
tem de ser igual a +90o. Logo,
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� Reatância Indutiva
� No domínio do tempo
� A impedância do indutor é então
� É medida em ohms e indica o quanto o indutor ‘impede’ a passagem de corrente.
Análise Fasorial
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� Exemplo 4: 
� Usando a álgebra dos números complexos, determine a corrente i no circuito da figura 14. 
Faça um esboço das formas de ondas de v e i.
Análise Fasorial
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Figura 14 Figura 15
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� O Diagrama de Fasores para o exemplo 4
Análise Fasorial
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Figura 17 Figura 18
� Exemplo 5: Determine a tensão num indutor com reatância indutiva de 4Ω, cuja corrente vale 
i =5sen(ωωωωt+30º). Faça um esboço das formas de ondas de v e i.
Análise Fasorial
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Figura 16
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� O Diagrama de Fasores para o exemplo 5
Análise Fasorial
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Figura 17 Figura 18
� Reatância Capacitiva
� Vimos que um capacitor puro faz com que a corrente seja adiantada em 90o da tensão. E 
que a reatância do capacitor, XC é dada por 1/(ωωωωC).
� Pela lei de Ohm
� Como i está adiantada em relação a v, a corrente deve ter um ângulo de 90o. Para isto, 
θθθθC tem de ser igual a -90o. Logo,
Análise Fasorial
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�
� No domínio do tempo
� A impedância do capacitor é então
� É medida em ohms e indica o quanto o capacitor ‘impede’ a passagem de corrente.
Análise Fasorial
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� Exemplo 6: 
� Usando a álgebra dos números complexos, determine a corrente i no circuito da figura 19. 
Faça um esboço das formas de ondas de v e i.
Análise Fasorial
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Figura 19 Figura 20
5,3A ∠ 90°
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� O Diagrama de Fasores para o exemplo 6
Análise Fasorial
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Figura 23 Figura 24
� Exemplo 7: 
� Usando a álgebra dos números complexos, determine a tensão v no circuito da figura 21. 
Faça um esboço das formas de ondas de v e i.
Análise Fasorial
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Figura 21 Figura 22
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� O Diagrama de Fasores para o exemplo 7
Análise Fasorial
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Figura 23 Figura 24
� Diagrama de Impedâncias
� Os ângulos de fase foram associados à resistência, reatância capacitiva e indutiva.
� Cada uma destas grandezas pode ser representada no plano complexo.
� A resistência sempre está na parte positiva do eixo real, a reatância indutiva na parte 
positiva do eixo imaginário, e a capacitiva na parte negativa deste eixo.
� O resultado é um diagrama de impedâncias que pode representar o valor total da 
impedância de qualquer circuito CA.
� Se o ângulo da impedância total é igual a 0o, dizemos que o circuito é resistivo.
� Se o ângulo for positivo, dizemos que o circuito é indutivo.
� Se o ângulo for negativo, dizemos que o circuito é capacitivo.
� Importante: A impedância não é um fasor, e sim uma ferramenta na 
determinação do módulo e do ângulo de fase de 
grandezas associadas com circuitos alternados senoidais.
Análise Fasorial
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Figura 25
XC ∠-90°
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� Circuitos CA em Série
� As propriedades gerais dos circuitos CA em série são as mesmas que as dos circuitos CC.
� A impedância é a soma das impedâncias individuais.
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� Circuitos CA em Série
� Exemplo 8: Construa o diagrama de impedâncias para o circuito visto na figura 26. E 
determine a impedância total.
Análise Fasorial
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Figura 26 Figura 27
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Figura 28 Figura 29
� Circuitos CA em Série
� Exemplo 9: Construa o diagrama de impedâncias para o circuito visto na figura 28. E 
determine a impedância total.
Análise Fasorial
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� Circuitos CA em Série
� A corrente é dada por (Lei de Ohm):
� A tensão em cada elemento é dada por
� A regra dos divisores de tensão é a mesma que para circuitos CC
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Lembre-se que as grandezas agora 
possuem um módulo e uma fase 
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� Circuitos CA em Paralelo
� Admitância e Susceptância
� No caso de circuitos CC, a condutância foi definida como sendo igual a 1/R.
� Em CA, definimos a admitância Y como sendo igual a 1/Z.
� A unidade é siemens (S) e é uma medida de quanto o circuito admite a passagem da corrente.
� Admitâncias em paralelo podem ser somadas.
� O inverso da reatância (1/X) é a susceptância (B), medida em siemens. 
� Indica o quanto um componente é suscetível à passagem de corrente
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� Circuitos CA em Paralelo
� Relação Tensão-Corrente:
� Lei de Kirchhoff para correntes:
� Regra dos divisores de corrente
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ou
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� Exemplo :
� Para o circuito da figura, calcule: ZT, Is, IC e VL. A frequência da rede é de 60 Hz
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