Lista+2 - Econometria III Séries Temporais

Prévia do material em texto

Econometria 3 - Lista 2: Fundamentos
estatísticos e modelos estacionários I
2018
Exercise 1 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 1)
Considere verdadeura a seguinte a…rmação: seja fZtg uma sequência de
variáveis aleatórias i.i.d N(0; 1), então fZtg é estacionária.
a) Qual a hipótese básica do resultado acima?
b) Pode-se a…rmar que a estacionaridade é um reforço à hipótese de dis-
tribuição idêntica?
c) A hipótese de estacionaridade sobre uma série qualquer é mais fraca
que a hipótese i.i.d? Por quê?
Exercise 2 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 2)
De…na processo estocástico e ilustre gra…camente. Explique o que é real-
ização de um processo estocástico e por que as séries econômicas podem ser
entendidas como geradas por processos estocásticos.
Exercise 3 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 3)
Por que se impõem restrições sobre a heterogeneidade temporal e sobre a
memória de um processo estocástico?
Exercise 4 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 5)
1
Responda:
a) Mostre algebricamente como um processo AR(2) com raízes dentro (se
for usado Hamilton (1994) as raízes estão fora) do círculo unitário (processo
estacionário) é expresso como um MA(1)
b) Escreva um MA(1) como um AR(1)
Exercise 5 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 6)
Considere um modelo MA(1)
yt = �+ "t + �"t�1; j�j > 1
Inverta-o e mostre ser um AR(�1) do tipo
yt � � = �
1X
j=1
(��)�j(yt+j � �) + �"t�1
Interprete.
Exercise 6 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 7)
Considere o seguinte modelo ARMA(1,1)
yt = �yt�1 + "t � �"t�1
"t � i:i:d(0; �2)
Determine as condições de estacionaridade e invertibilidade.
Exercise 7 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 8)
Considere o seguinte modelo ARMA(1,1)
yt = �yt�1 + "t � �"t�1
"t � i:i:d(0; �2)
Se � = � e j�j > 1, então yt é instável ou não estacionário. Explique.
2
Exercise 8 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 9)
Veri…que se os modelos a seguir são estacionários e/ou inversíveis em que
L é o operador defasagem
a) (1� L)yt = (1� 0; 5L)"t
b) (1 + 0; 8L)yt = (1� 1; 2L)"t
c) (1� 0; 7L+ 0; 4L2)yt = (1� 0; 5L)"t
d) (1� 0; 7L� 0; 4L2)yt = (1� 1; 6L+ 0; 7L2)"t
e) (1 + 0; 9L)yt = (1 + 0; 5L+ 0; 4L2 + 0; 3L3)"t
Exercise 9 Yule-Walker
Para que servem as equações de Yule-Walker? Derive-as para um AR(2).
Exercise 10 (De Losso Bueno, 2012 - Capítulo 2/ Questão 10)
Determine as condições de estacionaridade e calcule as autocorrelações
dos modelos MA(2), AR(2) (DICA: use Yule-Walker) e ARMA(1,1).
Exercise 11 AR MA ARMA
Determine as condições de estacionaridade e calcule as autocorrelações
dos modelos MA(3), MA(q), AR(3), AR(p) e ARMA(2,1).
Exercise 12 ARMA
Quais são as condições de estacionariedade para um modelo ARMA(p,q)?
Exercise 13 FAC e FACP
Explique o que é a Função de Autocorrelação e a Função de Autocorre-
lação Parcial.
3
Exercise 14 FAC e FACP
Qual o formato esperado das FACs e FACPs dos seguintes modelos
a) AR(1)
b) AR(2)
c) MA(3)
d) ARMA(1,1)
e) ARMA(2,1)
f) ARMA(2,2)
g) AR(p)
h) ARMA(p,q)
MA(q)
Exercise 15 (Enders, 2010 - Capítulo 2/Questão 5
Considere a seguinte equação em diferenças
yt = c+ 0; 75yt�1 � 0; 125yt�2 + "t
a) Encontre as soluções homogênea e particular. Discuta o formato da
função de resposta ao impulso (como vimos em sala, aquela que mostra a
resposta da variável yt ao choque "t ao longo do tempo)
b) Encontre os valores das condições iniciais que garantem que yt é esta-
cionária.
c) Derive o correlograma da sequência yt:
Exercise 16 (Enders, 2010 - Capítulo 2/Questão 6)
4
Considere a equação a diferenças estocástica de segunda ordem
yt = 1:5yt�1 � 0:5yt�2 + "t
a) Encontre as raízes da equação característica
b) Mostre que as raízes de 1 � 1:5L + 0:5L2 são os recíprocos da sua
resposta na parte (a).
c) Dadas as condições iniciais para y0 e y1 encontre a solução para yt em
termos dos valores correntes e passados da sequência "t.
d) Encontre Eyt; Eyt+1; var(yt); var(yt+1); e cov(yt+1; yt).
5