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Aula 4 - GONIOMETRIA UNIDADES DE MEDIDAS TOPOGRÁFICAS ANGULARES: · sexagesimal: GRAU = 360ª parte da circunferência; · centesimal: GRADO = 400ª parte da circunferência. Tipos de ângulos Na topografia trabalha-se com ângulos horizontais e verticais. · Horizontais : azimutes; rumos; ângulos de flexão e ângulo de deflexão; · Verticais: zenith e inclinação. ÂNGULOS HORIZONTAIS Definição É o ângulo diedro entre dois planos verticais que contêm respectivamente as direções PA e PB. Sentido dos ângulos horizontais Em mensuração o sentido positivo do ângulo horizontal é o sentido horário (ou sentido universal, sentido azimutal, da esquerda à direita): AZIMUTE Definição: ângulo horizontal formado pela linha NS e uma direção SP qualquer, com o sentido positivo na direção horária e varia de 0 à 360. RUMO Definição: ângulo horizontal formado pela direção N/S ou S/N e uma direção SP qualquer, variando de 0 à 90. Sentido dos Rumos e Azimutes: Norte para direita: NE Sul para a direita: SE Norte para a esquerda: NW Sul para a esquerda: SW Transformação de Rumo em Azimute: Quadrante NE Rumo = Azimute Quadrante SE Rumo = 180º - Azimute Quadrante SW Rumo = Azimute – 180º Quadrante NW Rumo = 360º - Azimute Transformação de Azimute em Rumo: Quadrante NE Azimute = Rumo Quadrante SE Azimute = 180º - Rumo Quadrante SW Azimute = 180º + Rumo Quadrante NW Azimute = 360º - Rumo Exemplo Converter em azimute os seguintes rumos: a) 49º 56’ 33’’ NW Az = 360º - R 360º - 49º 56’ 33’’ = 310º 03’27’’ b) 36º 29’48’’ SE Az = 180º - R 180º - 36º 29’48’’ = 143º 30’12’’ c) 21º 19’38’’ SE Az = 180º + R 180º + 21º 19’38’’ = 201º 19’38’’ Converter em rumos os azimutes: Az = 310º 03’27’’ Az de 270º à 360º = Quadrante NW R = 360º - Az R = 360º - 310º 03’27’’ = 49º 56’33’’ NW Tipos de Azimutes De acordo com o norte utilizado nos trabalhos topográficos ou geodésicos tem-se os seguintes azimutes: AZIMUTE VERDADEIRO – NORTE VERDADEIRO AZIMUTE MAGNÉTICO – NORTE MAGNÉTICO AZIMUTE PLANO – NORTE DE QUADRÍCULA Norte Magnético O norte magnético corresponde a direção de uma agulha imantada de uma bússola O azimute magnético de um alinhamento é determinado através da bússola que, para topografia, pode ser: Bússola de azimute; Bússola declinatória. a1) Bússola de azimute: fornece o azimute do alinhamento a partir de um círculo graduado sob a agulha imantada. a2) Bússola declinatória: a bússola é acoplada ao teodolito e fornece apenas a direção do norte magnético. O azimute do alinhamento é medido a partir do norte com o círculo graduado do teodolito. Norte verdadeiro O norte verdadeiro corresponde a projeção no plano topográfico (plano do horizonte), da linha meridiana que liga o Polo Norte ao Polo Sul passando pelo local. Sentidos a Vante e a Ré na medida dos RUmos e Azimutes Sentido a Vante Sentido percorrido em um caminhamento de sucessão de linhas cujas estacas estão numeradas (Ex: 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc.) Ex: sentido 2 para 3, liga o ponto 2 ao ponto 3. Sentido a Ré O sentido contrário ao da numeração das estacas Ex: sentido 3 para 2, liga o ponto 3 ao ponto 2. Rumo de Vante de uma linha Ângulo que o alinhamento A-B forma com a linha N-S ou S-N. Rumo a Ré de um linha Azimute a Vante de uma linha Azimute a Ré de uma linha Os Azimutes Vante e Ré da mesma linha guardam entre si um diferença de 180º ou 200 grados EXEMPLO: Dados os Ramos vante das linhas da Tabela 1, encontrar os azimutes a vante e a ré, à direita. Linha Rumo a vante Azimute a direita Vante Ré AB 45º30’NW 314º30’ 175º30’ BC 30º 50’SW 210º50’ 30º50’ CD 22º20’SE 157º40’ 337º40’ DE 75º 10’SE 104º50’ 284º50’ EF 25º 15’NE 25º15’ 205º15’ EXEMPLO: O azimute à direita de AB é 288º 30’e o rumo de CB é 18º 40’NE. Calcular o ângulo ABC medido com sentido à direita (sentido horário). Ângulo ABC à direita = (360º -288º30’) + 18º 40’ Medição de um ângulo horizontal Procedimento da operação em campo: Coloca-se em ‘P’ o teodolito centrado sobre a estaca (centro ótico do aparelho na vertical do lugar); Sinaliza-se os pontos ‘A’ e ‘B’ com miras ou balizas colocadas na vertical das estacas; Nivela-se perfeitamente o teodolito ( para assegurar a vertical da estação); Visa-se os sinais ‘A’ e ‘B’. (Direção à ré = direção à esquerda do operador, e direção avante = direção à direita) Efetua-se a medição de ângulos horizontais Medição de ângulos horizontais Estando o teodolito estacionado em ‘P’ e as direções para os pontos ‘A’ e ‘B’ bem definidas, pode-se obter o ângulo horizontal (), por diversos métodos em função da orientação do aparelho: a) Aparelho não orientado (caso geral): onde = PB- PA, (se for negativo soma-se 360) b) Aparelho orientado pelo Norte Verdadeiro: onde = AzPB - AzPA c) Aparelho orientado pelo Norte Magnético (bússola): onde, = AzPB + AzPA d) Aparelho com origem em ré (ângulo interno): onde, PA = 0 e = PB e) Aparelho com origem em vante (ângulo externo): onde = PA, e + = 360 ÂNGULOS VERTICAIS Definição: É o ângulo situado em um plano vertical que contêm a direção medida Tipos de ângulos verticais: ângulo de altura (inclinação) () ; ângulo em relação à horizontal; ângulo zenital (z): ângulo em relação à vertical (direção N/S); ângulo nadiral (): ângulo em relação à vertical (direção S/N). Ângulo de altura (inclinação) (): Definição: É o ângulo vertical que uma direção espacial SP faz com a projeção dessa direção no plano horizontal. Sentido do ângulo de inclinação: positivo: quando contado para cima do plano horizontal; negativo: quando contado para baixo do plano horizontal. Ângulo zenital (z): Definição: Ë o ângulo vertical que uma direção SP faz com a direção da vertical no ponto, contado a partir do norte (direção do zenite). Ângulo nadiral (): Definição: É o ângulo vertical que a direção SP faz com a direção vertical do ponto, contado a partir do sul (direção do nadir). ERROS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS HORIZONTAIS Quando se trabalha com observações deve-se ter em mente que as medidas estão sujeitas a inevitáveis erros de observação. Causas do aparecimento dos erros: Imperfeições do instrumento de medida; Condições meteorológicas; Falhas humanas; e Causas não conhecidas (erros acidentais). Erros devidos a imperfeições do instrumento de medida: Os três eixos do teodolito devem ser ortogonais: eixo principal deve ser vertical quando o instrumento estivar calado (nivelado); eixo secundário (horizontal), em torno do qual gira a luneta, deve ser perpendicular ao eixo principal; eixo de colimação (linha de vista) passa pelo orifício da ocular, atravessa o cruzamento dos dois retículos e chega ao centro óptico da objetiva. Este eixo deve ser ortogonal ao eixo secundário. Outros erros de medição angular: Mesmo o teodolito esteja isento de erro referentes a sua regulagem (retificação), ainda existem outros tipos de erros que, se não forem evitados, irão afetar o valor do ângulo medido: Erro de estacionamento Este tipo de erro acontece quandoo operador comete as seguintes imprudências: Má instalação do tripé; Calagem imperfeita do teodolito; e Suposição de que toda a operação está ‘boa’: Têm-se: 0 = estação materializada pela tachinha sobre o piquete; 0’ = ponto do terreno por onde passa o eixo principal do teodolito (vertical), representado pelo fio de prumo ou prumo ótico; P = ponto visado L = comprimento da linha de visada 0P = linha a ser visada; 0’P = linha que é visada; dl = erro de deslocamento cometido; a = erro angular Pode-se escrever: a = muito pequeno, têm-se sena a então: Para dl = constante, a varia diretamente com o ângulo , até seu valor máximo de 90O: Se dl = 1 cm e L = 100m, e sabendo que 1” sen1” 0,485x10-5 rd, tem-se: que não pode ser desconsiderado em trabalhos de precisão. Erro de visada Este tipo de erro é resultante de duas causas: a) Falta de verticalidade da baliza: deve-se evitar o deslocamento lateral da baliza, mantendo-a rigorosamente na posição vertical. dl = erro devido à inclinação da baliza; a = erro angular correspondente ao deslocamento lateral dl; L = comprimento da linha de visada. Sendo a um ângulo muito pequeno, tem-se: Considerando o valor de dl constante, o valor de a será afetado somente pela extensão da linha de visada, uma vez admitido o mesmo grau de imperícia. Ou seja, quanto menor L, maior será o valor de a. Nos trabalhos topográficos as distâncias medidas são muitas vezes, inferiores a 100 m, o que pode resultar em um acúmulo de erro angular. b)Colimação imprecisa Resultante da imperícia dos operadores do teodolito e baliza, deve-se então assentar a baliza sobre o piquete e à correta colimação da baliza: fio colimador (retículo vertical) deve coincidir o mais rigorosamente possível com o eixo da baliza. Erro de excentricidade Os teodolitos possuem no limbo horizontal dois círculos graduados: limbo e vernier, cujos centros devem ser coincidentes. Um erro linear de excentricidade (e) produz um erro angular (a) em radianos, dado pela expressão: E topografia, o erro linear de excentricidade admissível é de 0,01 mm, o que resulta para um raio r = 100 mm, um erro angular máximo: amax 41” MÉTODOS PARA ELIMINAÇÃO DE ERROS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS Métodos usados para medir e conferir os ângulos em campo são: Fechamento em 360º; Repetição; Ângulo Duplo; Reiteração; FECHAMENTO EM 360º Consiste em medir o ângulo horário (ângulo à direita) e o seu respectivo replemento. Procedimento da operação em campo: Medida do ângulo ‘’: Instrumento em P, Zera-se o aparelho na direção em PA; Ler o ângulo em ‘’ na direção PB. Medida do ângulo ‘’ (replemento): Instrumento em P; Zera-se o aparelho na direção em PB; Ler o ângulo ‘’ na direção PA. Têm-se: ‘’ + ‘’ = 360º REPETIÇÃO Procedimentos da operação de campo: Observa-se o ponto PA e zera o aparelho. Desloca-se o aparelho para a direção do ponto PB e efetua a leitura PB, mede-se o ângulo (1); e Efetua-se o mesmo procedimento acima e efetua a leitura do ângulo 2. Repete este mesmo processo ‘n’ vezes. O valor final do ângulo será: Ângulo medido (’) = (1 + 2 + ...+ n) n Exemplo: Estação Ré PV Ângulo Lido P A B 123º 18’22’’ (1) P A B 123º 18’16’’ (2) Ângulo medido (’) = (123º 18’22’’ + 123º 18’16’’) = 123º 18’19’’ 2 ÂNGULO DUPLO Consiste em medir o ângulo, repetindo a leitura com o valor do ângulo lido registrado no limbo do instrumento na visada de RÉ. 1 = L0 + L1 = 0º + L1 = L1 2 = L2 - L1 Ângulo medido (’) = (1 + 2) 2 Exemplo: L0 = 0º L1 =123º18’16’’ L2 = 246º 36’38’’ Então, 1 = L1 + L0 = 123º18’16’’ 2 = L2 - L1 = 246º 36’38’’ - 123º18’16’’ = 123º 18’22’’ Ângulo medido (’) = (1 + 2) = 123º 18’19’’ 2 REITERAÇÃO Consiste em medir o ângulo em posições diferentes do limbo (simétricas), a certos intervalos regulares, denominados intervalos de reiteração. A Reiteração permite afetuar, simultaneamente, as medições relativas a todos os ângulos com vértice na mesma estação, mudando-se a orientação do limbo (leitura inicial) em cada ângulo medido. Com isto em todas as partes do círculo horizontal será medido um ângulo o que elimina os erros de divisão do limbo. Procedimento da operação de campo: Faz-se as leituras, em posição direta da luneta, sobre os pontos A e B, e calcula-se o ângulo horizontal ( 1 = PB – PA); Não zera o limbo e inverte-se o aparelho com um giro da luneta sobre o eixo, passando a apontar para a direção PB’ (simétrica a B). Observa-se que essa operação de inversão da luneta não altera o valor de PB; Efetua um giro horizontal na luneta até focalizar novamente o ponto A . O limbo registra o valor IA; Reaponta a luneta para o ponto B e anota-se a leitura IB; Anota o ângulo horizontal (2 = IB – IA); Ângulo horizontal será: Ângulo resultante (’) = (1 + 2) = (PB + IB) – (PA + IA) 2 2 onde, (1) = PB - PA (2) = IB - IA PB, PA = posição direta da luneta IB, IA = posição inversa da luneta REITERAÇÃO SIMPLES Quando a reiteração é efetuada numa única posição do limbo em apenas uma série de leituras. Exemplo: Estação PV Posição Ângulo lido P A PA 123º 18’20’’ A IA 303º 18’12’’ B PB 236º 36’38’’ B IB 56º 36’34’’ (1) = PB PA = 236º 36’38’’ - 123º 18’20’’ = 113º 18’18’’ (2) = IB - IA = 56º 36’34’’ - 303º 18’12’’ = - 246º 41’46’’ = - 246º 41’46’’ + 360º = 113º 18’22’’ Ângulo medido (’) = (1 + 2) = 113º 18’20’’ 2 REITERAÇÃO MÚLTIPLA Em trabalhos de maior precisão recomenda-se a execução de cinco reiterações, sempre utilizando diferentes regiões do limbo. O ângulo ‘’ a ser usado nos cálculos será a média dos valores obtidos em cada reiteração. Deflexão (processo em estradas): Chama-se deflexão o ângulo que a linha a vante faz com o prolongamento da linha a ré medido a partir desta linha para a direita ou à esquerda. Deflexão à direita (dd) = ângulo lido – 180º Deflexão à esquerda (de) = 180º - ângulo lido onde, D = PB, (+) à direita e (-) à esquerda Procedimento da operação no campo: Estaciona e nivela o aparelho no centro da estaca; Gira o aparelho e posiciona na direção da visada de ré, fixando o movimento horizontal; Inverte a luneta fazendo-a girar cerca de 180º em torno do eixo horizontal (prolongamento da visada de ré); Abre o giro horizontal e leva a luneta na direção PB (visada avante); Efetua a leitura (círculo do limbo está a direita da luneta). Exemplo: Ângulo lido = 210º 18’36’’ ( deflexão à direita o ângulo lido é maior que 180º) Deflexão = ângulo lido – 180º = 210º 18’36’’ – 180º = 30º 18’36’’ Ângulo lido = 162º 42’15’’ (deflexão à esquerda o ângulo lido é menor que 180º) Deflexão = 180º - ângulo lido = 180º - 162º 42’15’’ = 17º 17’45’’ DECLINAÇÃO MAGNÉTICA Definição: É o ângulo azimutal formado entre as linhas N/S verdadeira e magnética. Tal declinação varia no tempo e no espaço, devendo ser corigida,para o mesmo local, com o passar dos naos. Os observatórios formam mapas das diversos regiões em que aparecem as CURVAS ISOPÓRICAS e ISOGÔNICAS CURVAS ISOGÔNICAS: são os lugares geométricos dos pontos de mesma declinação magnética (pontos onde a bússola apresenta a mesma inclinação de direção para o norte magnético); CURVAS ISOPÓRICAS:são lugares geométricos dos pontos que têm , por ano, a mesma variação da declinação magnética. 7.1) Determinação da Declinação Magnética Atual; A declinação magnética atual pode ser determinada atravês da formula: d = do + v ( t - to ) (I) onde, do = declinação magnética na data to (anos) encontrada nas cartas isogônicas; v = variação anual da declinação para o local em questão, obtida, nas cartas isopóricas; t = ano em questão (ano e fração); Procedimendtos de cálculo: a) identificar a latitude e longitude do local em questão, trazendo-as para as cartas; b) localozar o local na carta das isogônicas e interpolar para calcular (por aproximação) a declinação magnética local no ano da execução da carta (to); c) utilizando a carta das isopóricas, determina-se a variação anual da declinação do local em questão; d) usando a formula (I), tem-se a declinação magnética do local em questão na data atual. DECLINAÇÃO MAGNÉTICA Definição É o ângulo azimutal formado pelas projeções dos meridianos verdadeiros e magnéticos no plano do horizonte. Tipos de declinação Declinação Ocidental: declinação contada a partir do extremo norte da direção NV para o oeste (W); Declinação Oriental: declinação contada a partir do extremo norte da direção NV para o leste (E); Variação da declinação A declinação não é constante, variando no tempo e no espaço, devendo ser corrigida, para o mesmo local, com o passar dos anos. Histórico: Primeira constatação da variação declinação magnética em 1492 por Cristóvão Colombo: “Ao transpor o meridiano 3º 30’, verificou que a bússola da embarcação, que vinha acusando declinação nordeste, subitamente passou a indicar declinação noroeste.” O estudo da declinação magnética em pontos de uma região, durante um longo período permite constatar as variações: No espaço: variações geográficas No tempo: variações diurnas, mensais, anuais e seculares Outras: locais e acidentais. Variações geográficas A determinação da declinação magnética em diferentes pontos de uma região encontra-se: Pontos distintos com valores diferentes de declinação; Pontos distintos com a mesma declinação; Pontos distintos com declinação nula. Os pontos de uma região que em determinada época, que apresentam a mesma declinação magnética são chamados de linha isogônica. Os pontos que apresentam declinação nula são chamados de linha agônica. Variações anuais Como a direção do meridiano geográfico é imutável, as variações no valor do azimute são por conta da variação da declinação magnética. Estas variações podem ser: Diárias: variações ao longo do dia; Mensais: variações diárias determinadas durante o período de um mês; Anual: variações ao longo do ano. Os pontos de uma região que em determinada época apresentam a mesma variação anual da declinação magnética, dá-se o nome de linha isopórica. Mapas Magnéticos Os observatórios formam mapas das diversas regiões em que aparecem as CURVAS ISOPÓRICAS e ISOGÔNICAS CURVAS ISOGÔNICAS: são os lugares geométricos dos pontos de mesma declinação magnética (pontos onde a bússola apresenta a mesma inclinação de direção para o norte magnético); CURVAS ISOPÓRICAS: são lugares geométricos dos pontos que têm , por ano, a mesma variação da declinação magnética. Determinação da Declinação Magnética A declinação magnética atual pode ser determinada através da formula: = 0 + (AC + Fa) . 0 (I) onde, 0 = declinação magnética do local encontrada nas cartas isogônicas; 0 = variação anual da declinação magnética para o local em questão, obtida nas cartas isopóricas; AC = número de anos entre a data da carta e a determinação; Fa = ano em questão (ano e fração); Roteiro de cálculos Obter as coordenadas geográficas (latitude e longitude) do local onde se deseja determinar a declinação magnética (extraída da melhor carta disponível da região ou com uso do GPS portátil); Localizar na carta das isogônicas o local e interpolar linear para calcular (por aproximação) a declinação magnética local no ano da execução da carta; Localizar na carta das isopóricas o local e determina-se a variação anual da declinação por interpolação linear; Usando a formula (I), calcula-se a declinação magnética do local em questão na data atual. Exemplo Determinar a declinação magnética no dia 30/01/1989 no ponto de coordenadas geográficas: Latitude = 28º 37’05’’ S Longitude = 49º 15’42’’ W Locação do ponto na carta isogônica e cálculo da declinação magnética A locação das coordenadas geográficas do ponto (A) é feita através da interpolação linear, conforme croquis esquemático: Determinação de ‘X’: 5º .................40,5 mm 4º 15’42’’ ......X Determinação de ‘Y’: 5º .................47,0 mm 1º 22’55’’ ......Y Determinação da declinação magnética do local ‘A’ na carta isogônica. Lança-se o ponto na carta isogônica, conforme croquis: 9 mm ...........1º 6,5 mm ........X A declinação magnética do ponto em 1980 será: 0 = -13º 00’- 0,722º = - 13º 43’20’’ A declinação da variação anual da declinação Com o ponto lançado na carta isopórica, obtém-se o seguinte traçado das curvas: 58 mm ...... 0,5´ 13 mm ........ X A variação anual da declinação será: 0 = - 8´ - 6,724’’ = - 8,112´ Diferença de datas entre 31 de janeiro de 1989 e 1980: Para se obter esta diferença transforma-se 31/01/89 em fração de ano: 1 Mês = 30 dias 1 ano = 365 dias 365 .......1,0 30..........X Número de anos entre a determinação e a data da carta: (AC + Fa) = [(1988 + 0,08) –1980] = 8,08 anos Variação anual da declinação magnética para o local em questão 0 (AC + Fa) = 8,08 x (-8,112’) = - 65,5455’ = - 1º 05’33’’ A declinação magnética em 31/01/89 será: = 0 + (AC + Fa) . 0 = -13º 43’20’’ -1º 05’33’’ = -14º 48’53’’ ERROS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS HORIZONTAIS Quando se trabalha com observações deve-se ter em mente que as medidas estão sujeitas a inevitáveis erros de observação. Causas do aparecimento dos erros: Imperfeições do instrumento de medida; Condições meteorológicas; Falhas humanas; e Causas não conhecidas (erros acidentais). Erros devidos a imperfeições do instrumento de medida: Os três eixos do teodolito devem ser ortogonais: eixo principal deve ser vertical quando o instrumento estivar calado (nivelado); eixo secundário (horizontal), em torno do qual gira a luneta, deve ser perpendicular ao eixo principal; eixo de colimação (linha de vista) passa pelo orifício da ocular, atravessa o cruzamento dos dois retículos e chega ao centro óptico da objetiva. Este eixo deve ser ortogonal ao eixo secundário. Outros erros de medição angular: Mesmo o teodolito esteja isento de erro referentes a sua regulagem (retificação), ainda existem outros tipos de erros que, se não forem evitados, irão afetar o valor do ângulo medido: Erro de estacionamento Este tipo de erro acontece quando o operador comete as seguintes imprudências: Má instalação do tripé; Calagem imperfeita do teodolito; e Suposição de que toda a operação está ‘boa’: Têm-se: 0 = estação materializada pela tachinha sobre o piquete; 0’ = ponto do terreno por onde pasa o eixo principal do teodolito (vertical), representado pelo fio de prumo ou prumo ótico; P = ponto visado L = comprimento da linha de visada 0P = linha a ser visada; 0’P = linha que é visada; dl = erro de deslocamento cometido; a = erro angular Pode-se escrever: a = muito pequeno, têm-se sena a então:Para dl = constante, a varia diretamente com o ângulo , até seu valor máximo de 90O: Se dl = 1 cm e L = 100m, e sabendo que 1” sen1” 0,485x10-5 rd, tem-se: que não pode ser desconsiderado em trabalhos de precisão. Erro de visada Este tipo de erro é resultante de duas causas: a) Falta de verticalidade da baliza: deve-se evitar o deslocamento lateral da baliza, mantendo-a rigorosamente na posição vertical. dl = erro devido à inclinação da baliza; a = erro angular correspondente ao deslocamento lateral dl; L = comprimento da linha de visada. Sendo a um ângulo muito pequeno, tem-se: Considerando o valor de dl constante, o valor de a será afetado somente pela extensão da linha de visada, uma vez admitido o mesmo grau de imperícia. Ou seja, quanto menor L, maior será o valor de a. Nos trabalhos topográficos as distâncias medidas são muitas vezes, inferiores a 100 m, o que pode resultar em um acúmulo de erro angular. Colimação imprecisa Resultante da imperícia dos operadores do teodolito e baliza, deve-se então assentar a baliza sobre o piquete e à correta colimação da baliza: fio colimador (retículo vertical) deve coincidir o mais rigorosamente possível com o eixo da baliza. Erro de excentricidade Os teodolitos possuem no limbo horizontal dois círculos graduados: limbo e vernier, cujos centros devem ser coincidentes. Um erro linear de excentricidade (e) produz um erro angular (a) em radianos, dado pela expressão: E topografia, o erro linear de excentricidade admis sível é de 0,01 mm, o que resulta para um raio r = 100 mm, um erro angular máximo: amax 41” A B P z v S� P Nv S E W A P B AzPA AzPB Nv S E W A P B AzPA AzPB Nm A B P A B P N S E W Az P S A P B A P B 1 22 P1 P2 P3 2 12 L1 L2 L0 L1 A 180º - B PA PB IB IA 180º - A’ B’ 0º P N S E W P S A B P X X A B P A P B Prolongamento da linha AP A P B Prolongamento da linha AP a dl� 0’ 0 L P P 0 dl P’ L a Legenda Azimute Rumo N NE E SE S SW W NW AzOD D A B C ROA AzOA AzOB AzOC ROB ROC ROD W E NM NV NM Declinação Oriental Declinação Ocidental 50º W 45º W 47 mm 25 S 30 S 40,5 mm A X Y X = 34,5 mm mm Y = 12,9 mm mm A -14º -13º 9 mm 6,5 mm -8,5º´ -8,0º´ A 45 mm 13 mm X = 0,112’= 6,724’’ X = 0,08 ano a dl� 0’ 0 L P P 0 dl P’ L a N N S W 60º NE A E W S E B E W S E 50º SE B N S W 60º A N N N S W 60º SW A E W S E B E W S E 50ºNW B N S W 60º A N N N S W 60º A E W S E B E W S E B N S W 120º A N N N S W 240º A E W S E B E W S E B N S W 300º A N A E� D C B F 45º 30’ 30º 50’ 22º 20’ 75º 10’ 25º 15’ A B C � _152354036.unknown _152354356.unknown _152494200.unknown _152495800.unknown _261146628.unknown _261146948.unknown _261147908.unknown _261147588.unknown _155970172.unknown _261146308.unknown _152495160.unknown _152353396.unknown
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