APOSTILA CORPO NEGRO VASCONCELLOS 2004

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE FÍSICA
Departamento de Física
1º semestre de 2004
DISCIPLINA: A Física do Século XX-A 
TURMA B
Prof. César Augusto Zen Vasconcellos
LISTA DE PROBLEMAS No. 3
A lei de Planck e a teoria de Einstein dos fótons
Teoria de Max Planck: Em 1900, Max Planck encontrou uma formulação matemática para a função que descreve a distribuição de densidade de energia da radiação de corpo negro, u((,T), que reproduz os resultados experimentais. Max Planck observou que, uma vez que o número de ondas estacionárias em uma cavidade (na realidade o número de modos de oscilação por unidade de volume), n, depende do comprimento de onda de uma radiação na forma n(() = 
8((-4, quanto menor o comprimento de onda, maior o número de ondas estacionárias contidas na cavidade. Assim, quando ((0, o número de modos de oscilação tende ao infinito. Convém lembrar que, da lei de Rayleigh-Jeans, 
u((,T) =
 n(()Emédia = 8((-4 Emédia = = 8( kT (-4 ( ( quando ((0. 
Percebeu ele então que, para que a função distribuição de densidade de energia u((,T) tendesse a zero quando (( 0, ao invés de tender ao infinito, como mostram os resultados experimentais, seria necessário que a energia média por modo de oscilação dependesse do comprimento de onda (, devendo também esta quantidade tender a zero quando ( ( 0.
 u((,T)
Assim, Max Planck intuiu que o procedimento de cálculo da energia média dos modos de oscilação deveria ser diferente daquele convencionalmente adotado no qual se considerava a função distribuição de Boltzmann, como vimos na lista anterior. Segundo Max Planck, o valor da energia média deveria depender então do comprimento de onda da radiação ao invés de ser igual a kT para todos os comprimentos de onda confinados na cavidade, como predito pela teoria clássica. Como vimos anteriormente, do ponto de vista clássico, as ondas eletromagnéticas no interior de uma cavidade são produzidas por cargas elétricas que vibram de uma maneira similar à vibração de um oscilador harmônico simples (exemplo de oscilador harmônico simples: um sistema massa-mola). A energia média das vibrações pode ser calculada a partir da função distribuição de energia que, no caso clássico corresponde, como vimos, à distribuição de Boltzmann
.
Usando esta função, o cálculo da energia média é dado por
Max Planck descobriu, no cálculo da energia média dos modos de oscilação em uma cavidade (radiação de corpo negro) que, se ao invés de utilizar a fórmula de distribuição de Boltzmann, que depende da variável contínua E, ele utilizasse neste cálculo uma expressão ligeiramente modificada que depende de En, uma variável discreta, onde n é um número inteiro positivo, ele seria capaz de obter uma expressão empírica para a distribuição espectral que melhor se ajustava aos resultados experimentais. Esta concepção implicava entretanto em supor que a energia das cargas oscilantes nas paredes de um corpo negro fosse representada por uma variável discreta ao invés de uma variável continua, isto é, uma variável que assumisse valores discretos 0, (, 2(, 3(.... e assim por diante. Desta forma, o que Max Planck fez foi substituir, no cálculo da energia média das ondas eletromagnéticas contidas em uma cavidade, integrais por somas e escrever a fórmula da energia na forma En = n( sendo n um número inteiro positivo, n=0,1,2,3.... Ademais, uma vez que a energia de uma radiação é proporcional à sua freqüência, ele expressou a grandeza ( na forma ( = h(, onde a constante de proporcionalidade h é conhecida hoje como constante de Planck. Assim, a fórmula da energia da radiação de cavidade é dada, na formulação de Planck, para o modo n, como 
En = n( = nh( , n=0,1,2,3....
Nesta formulação, a distribuição de Boltzmann dá lugar à expressão 
.
Analogamente ao caso anterior (distribuição contínua), a energia média das ondas eletromagnéticas contidas em uma cavidade é dada, na teoria de Planck por
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 =
Multiplicando este resultado pelo número de modos de oscilação por unidade de volume, no intervalo de comprimentos de onda compreendidos entre ( e (+d(, n(() = 8((-4, obtemos
que representa a lei de Planck, lei esta que está em excelente acordo com os resultados experimentais. O valor de h, a constante de Planck, pode ser ajustado de acordo com os resultados experimentais. Conta a história que Planck tentou, sem sucesso, pelo resto de sua vida, reconciliar os resultados da lei por ele descoberta com os princípios da física clássica. 
Teoria de Einstein - Interpretação quântica da radiação eletromagnética: Albert Einstein formulou, em 1905, uma hipótese audaciosa, de que a luz se comportava, às vezes, como se toda a sua energia estivesse concentrada em pequenos pacotes discretos que ele denominou de quanta de luz, quanta é o plural de quantum. Nascia assim a mecânica quântica. Assim, segundo Einstein, a radiação eletromagnética consiste de pacotes discretos de energia denominados hoje de fótons ou quanta, os quais possuem natureza similar à de uma partícula. Cada fóton tem uma energia 
, sendo h a constante de Planck, ( a freqüência da radiação e ( o seu comprimento de onda. Como os fótons viajam à velocidade da luz, c, devem ter, de acordo com a teoria da relatividade especial, massa de repouso nula tendo portanto apenas energia cinética. A energia de cada fóton é portanto 
, onde p representa o momentum linear do fóton. Este momentum linear se relaciona com o comprimento de onda da radiação na forma 
. Do ponto de vista da mecânica quântica, um feixe de energia eletromagnética é composto de fótons viajando à velocidade da luz, sendo a intensidade do feixe, I, proporcional ao número de fótons que atravessam uma unidade de área por unidade de tempo. Se o feixe é monocromático, é dado por I = (energia de um fóton) ( (número de fótons) / (área ( tempo). 
Dados: 
h = 6,626 ( 10-34 J.s = 4,136 ( 10-15 eV.s ; hc = 12,4 keV. Ǻ ; 1 Ǻ = 10-10 m ; 1eV = 10-3 keV = 1.602( 10-19 J 
Relatividade especial: Na relatividade especial a massa de um corpo, m, varia com sua velocidade v de acordo com a relação 
onde m0 representa sua massa de repouso, isto é, a massa medida quando ele está em repouso em relação a um observador. A energia cinética, K, de um corpo relativístico é dada pela diferença 
,i.é., como uma extensão das leis de Newton da mecânica clássica. A energia cinética de um corpo, --- sendo definida como o trabalho realizado por uma força externa F que modifica a sua condição de repouso, 
,usando-se 
---, tem como resultado a expressão acima, 
, se utilizarmos 
. Ademais, de 
, ao tomar o quadrado desta expressão e multiplicar ambos os lados da expressão resultante por 
obtemos 
Usando então as relações 
encontramos 
ou 
.
Problemas:
Mostre que, de acordo com a lei de distribuição de Planck, dado um oscilador harmônico simples, sua energia média é 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 =
.
De acordo com a lei de Planck, qual é a energia média de um oscilador cuja energia é kT e cuja freqüência é portanto (=kT/h?
Use a lei de Planck para mostrar que a densidade de energia de um corpo negro é proporcional a T4 como afirma a lei de Stefan-Boltzmann. 
Encontre o comprimento de onda e a freqüência de um fóton cuja energia cinética seja igual a 1,54 keV. 
Encontre o momentum linear de um fóton de energia cinética igual a 12,56 MeV. 
Calcule a freqüência do fóton produzido no processo em que um elétron, de energia cinética inicial igual a 20 keV, atinge o repouso ao colidir com um núcleo pesado. Mostre que o momentum linear do sistema não é conservado neste processo. 
Encontre o comprimento de onda máximo de um fóton que tem energia cinética suficiente para separar uma molécula cuja energia de ligação é 15 eV. 
Se o comprimento de onda máximo de um fótonque pode separar uma molécula diatômica for igual a 3050 Ǻ, qual é a energia de ligação molecular?
Que energia tem um fóton se seu momentum linear for igual ao momentum linear correspondente de um elétron com energia cinética igual a 3 MeV?
Qual é o momentum linear de um fóton que tem o mesmo valor da energia cinética de uma partícula ( emitida por um núcleo de Be?.
( (nm)
Lei de
Rayleigh-Jeans
Catástrofe ultravioleta
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_1141833173.unknown
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_1141833291.unknown
_1141833304.unknown
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