Play Calculo (Cálculo Zero)

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3 
 
 
 
 
1 
 
 
1 
 
MÓDULO 1 
FRAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 254 − 33 + 2 = ? (12 − 3)(10 − 8) ∙ (8 + 4)(5 − 3) = ? 
 
 
 
 
3 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 1 (ESTUDO DAS FRAÇÕES) 
 
1. FRAÇÕES 
Denomina-se fração um número inteiro dividido em finitas partes iguais, veja: 
ܽ
ܾ
 
Onde a parte ܽ é o numerador e ܾ é o denominador da fração. 
Exemplo 1: 62 35 −27 
2. REGRAS DE SINAL PARA FRAÇÕES 
A) −ܽ
ܾ
= ܽ
−ܾ
= −ܽ
ܾ
 
 
Exemplo 1: 
−73 = 7−3 = − 73 
B) −ܽ
−ܾ
= ܽ
ܾ
 
 
Exemplo 2: 
−2
−3 = 23 
 
 
3. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
A) DENOMINADORES IGUAIS 
Para trabalhar com frações cujo denominadores são iguais, basta somar ou subtrair o numerador, mantendo 
o mesmo denominador.Veja: 
Exemplo1: 12 + 52 = 1 + 52 = 62 = 3 
 
 
Teoria e Exemplos 
 
4 
 
Exemplo 2: 73 − 23 = 7 − 23 = 53 
Exemplo 3: 25 − 75 − 95 + 45 = 2 − 7 − 9 + 45 = −105 = −2 
 
B) DENOMINADORES DIFERENTES 
Caso os denominadores não sejam iguais, basta encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), transformar 
as frações para o mesmo denominador e, assim, efetuar a operação desejada (soma ou subtração). 
MMC é denominado como o menor múltiplo comum entre dois ou mais números diferentes de zero. 
Exemplo 1: 
 Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16 , … Múltiplos de 8: 0, 8, 16 , 24, 32, … 
Ou seja, para os números 4 e 8, o MMC entre eles é o 16. 
Exemplo 2: 76 + 53 
Primeiramente, encontrar o MMC entre 3 e 6: 
Múltiplos de 3: 0, 3, 6 , 9, 12, … Múltiplos de 6: 0, 6 , 12, 18, … 
MMC = 6 
Depois, transformar as frações com o mesmo MMC. Ou seja, o denominador de ambas deverá ser igual a 6: 
76 + 53 = 76 + 5 ∙ 23 ∙ 2 = 76 + 106 = 7 + 106 = 176 
Exemplo 3: 34 + 52 + 36 = 3 ∙ 3 + 6 ∙ 5 + 2 ∙ 312 = 9 + 30 + 612 = 4512 
Observe que 12/4 é igual a 3, 12/2 é igual a 6 e 12/6 é igual a 2. 
Exemplo 4: 
−
32 − 53 + 14 = 3 ∙ (−3) + 6 ∙ (−5) + 2 ∙ 112 = − 3712 
 
5 
 
4. PRODUTO E QUOCIENTE DE FRAÇÕES 
Para efetuar o produto entre frações, basta multiplicar numerador com numerador e denominador com 
denominador. A simplificação faz-se necessária para um melhor resultado. 
Exemplo 1: 56 ∙ 123 = 5 . 126 . 3 = 6018 = 60 ∶ 618 ∶ 6 = 103 
Nesse caso, poderíamos simplificar antes mesmo de realizar a operação, veja: 56 ∙ 123 = 56 . 123 = 5 . 23 = 103 
Para efetuar o quociente entre frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, veja: 
௔
௕
௖
ௗ
= ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
= ܽ ∙ ݀
ܾ ∙ ܿ
 
Exemplo 2: 
ସ
଻
ଵଵ
ଵସ
= 47 : 1114 = 47 . 1411 = 47 . 1411 = 4 . 211 = 811 
 
E1. Faça as operações seguintes: 
a) 16 + 46 b) 83 − 53 
 
c) 
−48 + −58 
 
 
d) 38 + 28 − 18 
 
 
e) 
−
32 − 182 − 42 
 
f) 1230 − 10(2 ∙ 15) 
 
g) 
−
17 − 53 h) 125 − 103 
 
i) 28 − 51 
 
j) 52 + 3125 − 55 
 
k) 254 − 33 + 2 
 
l) 26 + 162 − 3 
 
 
 
 
Exercícios 
 
6 
 
E2. Faça as operações seguintes: 
a) 825 ∙ 51 
 
b) 13(3 + 5) ∙ 68 
 
c) 1510 ∙ 10100 
 
d) (12 − 3)(10 − 8) ∙ (8 + 4)(5 − 3) 
 
e) 34 ∙ (12 + 1)(12 − 1) 
 
f) 
൬
210 ∙ 212 − 2൰ 
 
g) 14 ∙ 7(2 − 1) . 3 
 
h) (−8)(−1) ∙ 10010 i) −൬2212 . 61൰ 
 
j) 
଼
଺
଼
ଵ
 
 
 
 
E1. 
a) ହ
଺
 
 
b) 1 
 
c) ିଽ
଼
 
 
 
d) ଵ
ଶ
 
 
 
e) − ଶହ
ଶ
 
 
 
f) ଵ
ଵହ
 
 
g) − ଷ଼
ଶଵ
 
 
 
h) − ଵସ
ଵହ
 
 
 
 
i) − ଵଽ
ସ
 
 
j) ଷ଼ଵ
ଶହ଴
 
 
k) ଶଽ
ସ
 
 
l) ଵ଺
ଷ
 
 
 
E2. 
a) ଼
ହ
 
 
b) ଷଽ
ଷଶ
 
 
c) ଷ
ଶ଴
 
 
 
d) 27 
 
e) ଷଽ
ସସ
 
 
f) ଵ
ଶହ
 
 
g) ଶଵ
ସ
 
 
h) 80 
 
i) −11 
 
j) ଵ
଺
 
Gabarito 
 
7 
 
MÓDULO 2 
POTENCIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 9଼9ହ ∙ 9଻9ହ = ? 7ହ ∙ 77ହ ∙ (7଼)ସ = ? 
[(ݔ ∙ ݕହ)ସ]ଶ ∙ (ݕ ∙ ݔ଻)ହ ∙ ݔଶ
ݔହ
 = ? 
 
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9 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 2 (POTENCIAÇÃO) 
 
1. POTENCIAÇÃO 
A potenciação ܽ௡ (݊ = 1, 2, 3 … ) é calculada assim: 
ܽ௡ = ܽ ∙ ܽ ∙ ܽ…ܽ ∙ ܽ ∙ ܽ , 
 
onde a parte ܽ é chamada de base e ݊ é o expoente. 
Exemplo: 5ସ = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 
2. REGRAS E PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
A) ܽଵ = ܽ 
 
Exemplo 1: 7ଵ = 7 
B) ܽ଴ = 1, onde ܽ ≠ 0 
 
Exemplo 2: 5଴ = 1 
C) ܽ௠ ∙ ܽ௡ = ܽ௠ା௡ 
 
Exemplo 3: 3ହ ∙ 3଻ = 3ହା଻ = 3ଵଶ 
D) 
ܽି௡ = 1ܽ௡ ݋݊݀݁ ܽ ≠ 0 
 
Exemplo 4: 
2ିଷ = 12ଷ = 18 
E) ܽ௠
ܽ௡
= ܽ௠ି௡, ݋݊݀݁ ܽ ≠ 0 
 
Exemplo 5: 3଻3ହ = 3଻ିହ = 3ଶ = 9 
 
Teoria e Exemplos 
n vezes 
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10 
 
Exemplo 6: 5ଷ5ହ = 5ଷିହ = 5ିଶ = 15ଶ = 125 
F) (ܽ௠)௡ = ܽ௠∙௡ 
 
Exemplo 7: (2ଷ)ସ = 2ଷ∙ସ = 2ଵଶ 
G) (ܽ ∙ ܾ)௡ = ܽ௡ ∙ ܾ௡ 
 
Exemplo 8: (2 ∙ 3)ହ = 2ହ ∙ 3ହ 
H) 
ቀ
ܽ
ܾ
ቁ
௡ = ܽ௡
ܾ௡
 
 
Exemplo 9: 
൬
35൰ଶ = 3ଶ5ଶ = 925 
 
E1. Dê a resposta em potenciação: 
a) 2ସ ∙ 2଼ ∙ 2ଵ 
 
b) 4ସ4ଶ 
 
c) 5଴ ∙ 5ଶ ∙ 5଼ ∙ 5 
 
d) 2ళమ2ହ ∙ 162ଶ 
 
e) 9ଷ3ଶ ∙ 27ଷ9ହ f) 5 ∙ 25 ∙ 5ଵ଴ 
g) 9଼9ହ ∙ 9଻9ହ h) 5 ∙ 25 ∙ 5 ∙ 625 i) 8 ∙ 4 ∙ 16 ∙ 32 
j) 3 ∙ 9 ∙ 3 ∙ 27 ∙ 9 
 
k) 8ଶ8ହ ∙ 64ଶ64ଷ l) ݕହ ∙ ݕି଻ ∙ ݕଷ ∙ ݕଽ 
m) 1
ݔ
∙
ݔ଼
ݔ
∙
ݔ
ݔହ
 
n) 7ିଷ7ଷ ∙ 1ଶ଴ଽ7ିଽ o) 77ଷ ∙ 7଻7ଶ ∙ 7଺ ∙ 7ିଷ 
 
 
Exercícios 
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11 
 
E2. Dê a resposta em potenciação: 
a) 6ଽ ∙ 6଼ ∙ 36ଶ6ଵଶ ∙ 6଻6ହ ∙ 36଺ ∙ 6 
 
b) ݖ
ݖ௞
∙
ݖ௞ ∙ ݖ 
ݖହ ∙ ݖ
∙
1
ݖ
 
 
c) 23ିହ23 ∙ 23 ∙ 23ଵହ(23ଶ)଺ 
d) 4ଵଶ ∙ 18 ∙ 2ି଻ 
 
e) ݕ௫ ∙ ݕ ∙ (ݕ௞)ହ 
 
f) ܽଶ௡ ∙ ܽଷ ∙ (ܽ௡)ହ 
 
g) 7ହ ∙ 77ହ ∙ (7଼)ସ 
 
h) 
ݕଶ ∙ ݔହ ∙ ݕଷ ∙
ݕ଻
ݕହ
∙
ݔ଼
ݔଽ
 
i) [(ݔ ∙ ݕହ)ସ]ଶ ∙ (ݕ ∙ ݔ଻)ହ ∙ ݔଶ
ݔହ
 
 
 
j) 55యఱ ∙ 5
య
ఱ5ଶ 
 
k) 
௫మ∙(௫య)ర
௫
∙
௫ఱ
௫∙௫ఴ
ݔହ
∙
1
ݔି଼
 
l) 9భల ∙ 3యఴ 
 
 
m) 8యళ2భయ 
n) 16యఱ ∙ 4మయ ∙ 2 భభఱ o) 2ସ ∙ 2మయ4భల ∙ 8ଷ 
 
 
 
E1. 
a) 2ଵଷ b) 4ଶ c) 5ଵଵ 
 
d) 2భమ 
 
e) 3଼ f) 5ଵଷ 
g) 9ହ 
 
h) 5଼ 
 
i) 2ଵସ 
 
j) 3ଽ 
 
k) 8ିହ 
 
l) ݕଵ଴ 
m) ݔଶ n) 7ଷ 
 
o) 7ି଺ 
 
E2. 
a) 6ସ 
 
b) ݖିହ 
 
c) 23ିଶ 
 
d) 2ଵସ 
 
e) ݕହ௞ା௫ାଵ 
 
f) ܽ଻௡ାଷ 
g) 7ଵ଻ h) ݕଵଵ i) ݔସ଴ ∙ ݕଶହ 
 
j) 5ିଵ 
 
k) ݔଵଶ l) 3ళఴ 
 
m) 2మబమభ n) 2ఱళభఱ o) 2షభరయ 
Gabarito 
 
13 
 
MÓDULO 3 
RADICIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 
√45
√15 = ? 
ඨ൬
342 . 417൰రయ = ? 1
൫√3య − √2య ൯ = ? 32ିభమ(2భమ + 7) + 4(2భమ)ହ − 4 = ? 
 
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15 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 3 (RADICIAÇÃO) 
 
1. RADICIAÇÃO 
A radiciação é um caso particular da exponenciação com expoente fracionário, veja: 
ܽ
௠
௡⁄ = √ܽ௠೙ ,݋݊݀݁ ܽ > 0. 
Exemplo 1: 2ଵ ଶൗ = ඥ2ଵ = √2 
Exemplo 2: 
7ଷ ହൗ = ඥ7ଷఱ 
2. REGRAS E PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 
A) ൫√ܽ൯
௡ = √ܽ௡,ܽ > 0 
Exemplo 1: 
൫√2൯ଷ = ඥ2ଷ 
Exemplo 2: 
ቆ
√73ర
√49య ቇଷ = ൫√73ర ൯ଷ൫√49య ൯ଷ = ඥ(73)ଷర 49 
B) √ܽ ∙ √ܾ = √ܽ ∙ ܾ 
Exemplo 3: 
√3 ∙ √2 = √3 ∙ 2 = √6 
C) √ܽ
√ܾ
= ටܽ
ܾ
 
 
 
Exemplo 1: 
√60
√30 = ඨ6030 = √2 
 
 
Teoria e Exemplos 
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16 
 
2. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
A racionalização consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir 
aquela com denominador irracional. 
A) QUANDO O DENOMINADOR É UMA RAIZ QUADRADA 
No caso de um radical √ܽ no denominador, fazemos amultiplicação por √ܽ/√ܽ. 
Exemplo 1: 1
√5 = 1√5 .√5√5 = √5√5ଶ = √55 
B) QUANDO O DENOMINADOR É UMA RAIZ NÃO QUADRADA 
No caso de um radical √ܽ೘ no denominador, fazemos a multiplicação por √ܽ௠ିଵ೘ / √ܽ௠ିଵ೘ . 
Exemplo 2: 2
√5య = 2√5య ∙ √5ଶయ√5ଶయ = 2√5ଶయ√5ଷయ = 2√5య5 
C) QUANDO O DENOMINADOR É UMA SOMA OU DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 
No caso de um radical √ܽ೘ no denominador, fazemos a multiplicação por √ܽ௠ିଵ೘ / √ܽ௠ିଵ೘ . 
Exemplo 3: 1
√5 + √2 = 1√5 + √2 .√5 −√2√5 −√2 = √5 − √23 
 
 
E1. Faça as operações a seguir: 
a) √8య + √49 
 
b) √32ర . √2ర 
 
c) √45
√15 
 
d) ඥ3ହళ . ඥ3ସభర 
 
e) 
 ට7మయభయ
√5ଷ .√5 
 
f) ඨටඥ2ଵ଻ర 
 
g) ඥ32ିଶ 
 
h) ටඥ3ହయఱ 
 
i) ඥ7଺ళ .ට7మళ 
 
Exercícios 
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17 
 
j) 
√45 + 83ళ
√7య 
 
k) 
 ඨ൬342 . 417൰రయ 
 
l) 
ඥ5ଵସ. 7ଶ . 10ଷయ 
 
E2. Transforme os expoentes em raízes, simplifique as operações e, se necessário, efetue a racionalização 
a) (12 − 4)ି భమ3ିଶ 
 
b) (12భమ + 4భమ)ିଵ2ିଷ 
 
c) (2 + 5భమ)ିଵ. 3 
 
d) (3భమ − 4భమ)ିଵ. 4భయ 
 
e) 12 భమ + 3 ∙ 3 − 2
భ
మ1 − 4 భర + 4 + 2
భ
మ7(1 − 2భమ) 
 
f) 12భమ − (2ళయ + 5యఱ) 
 
g) 144భమ − (√8య .√81) 
 
h) 32ିభమ(2భమ + 7) + 4(2భమ)ହ − 4 
i) 
 ቀ2మఱቁ଺ + 22లఱ − 8 − 66. 2ିଶቀ2ି మఱቁଶ − 2 
 
j) 
ቀ√16 + 12భమቁିభమ 
k) 
 2 − 2భమ ∙ ቆ−2 ∙ ቀ−2భయ. 2మయቁቇ4 
l) 1
൫√3య − √2య ൯ 
 
 
E1. 
a) 9 
 
b) 2√2 
 
c) √3 
 
 
d)3 
 
 
e) ଻²
ଶହ
 
 
 
f) 2 √2భల 
 
g) ଵ
ଷଶ
 
 
 
h) √3య 
 
i) 7 
 
j) 2√7య 
 
k) 2రయ 
 
l) 5ସ√25య . √49య . 10 
 
 
E2. 
a) 9 √ଶ
ସ
 
 
b) 2√3 − 2 
 
c) 3(√5 − 2) 
 
 
Gabarito 
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18 
 
d) −√4య (√3 + 2) 
 
 
e) 1 
 
 
f) 2√3 − 4√2య + √5ଷఱ 
 
g) -6 
 
 
h) ଷ√ଶ(√ଶି ଻)
ିସ଻
+ √2 + 1 
 
i) 2లఱ + 8 
 
j) 
൫ସି √ଵଶ൯ඥସା√ଵଶ
ସ
 
 
k) ଵିଶ√ଶ
ଶ
 
 
l) √4య + √6య + √9య 
 
 
 
 
19 
 
MÓDULO 4 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 
−14 + {−[4(−2) + (−5039)]} = ? 3 ∙ {2ଶ ∙ [(3 + 2 ∙ 3) ∙ (3ଷ + 3) − 4ଶ ∙ (5 ∙ 2ଶ)]} = ? 
 
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21 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 4 (EXPRESSÕES NUMÉRICAS) 
 
1.EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Expressão numérica é uma sequência de operações que devem obedecer as seguintes ordens de operação: 
1: Potenciacão, radiciação e outras funções; 
2: Multiplicação e divisão; 
3: Adição e subtração. 
Exemplo 1: 3 + 3 ∗ 5 = 3 + 15 = 18 
Exemplo 2: 1 + 2 ∗ 3 ∗ 3ଶ − 1 + 3ଶ ∗ 2ଶ = 6 ∗ 9 + 9 ∗ 4 = 54 + 36 = 90 
Expressões numéricas que possuam parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, resolvemos de dentro para fora, 
ou seja, efetuamos primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por último, as chaves respeitando as 
prioridades de operações. Veja: 
Exemplo 3: (3² + 5²) ∙ 5 + 7ଶ ∙ 2 = (9 + 25) ∙ 5 + 49 ∙ 2 = 34 ∙ 5 + 98 = 170 + 98 = 268 
Exemplo 4: 3 ∙ {2ଶ ∙ [(3 + 2 ∙ 3) ∙ (3ଷ + 3) − 4ଶ ∙ (5 ∙ 2ଶ)]} = 3 ∙ {4 ∙ [(3 + 6) ∙ (30) − 16(5 ∙ 4)]} = = 3 ∙ {4[270 − 360]} = 3 ∙ {4[−90] = 3 ∙ {−360} = 1080 
 
E1. Resolva as expressões seguintes: 
a) −14 + {−[4(−2) + (−5039)]} b) 41 + {5 − [14 + (−17 + 28)] − 1} 
 
c) [−20 ∙ (4 − 9)]: (−5) 
 
d) 16 + 18 ∶ (−9) e) −(−5) + (12)– (−22) 
 
f) 12 + (+22)– (13)– (−12) 
 
g) 45 − [−(2 − 5) − (−4 − 5 − 6) h) 13 − ൬14 − 23൰ 
 
i) – (− 25) . (−13) + (−20) 
 
j) (2ଶ + 5)ଵ3 k) (2ଶ − 2³) l) [−2ଶ(3 ∙ 3)](−1) 
Teoria e Exemplos 
Exercícios 
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22 
 
m) [(2 ∙ 3)(−3ଶ)](−1) + 5² 
 
n) 2 ∙ [4 ∙ 5(−4)]ଵ2 
 
o) (−5)ଶ ∙ ൬ 125൰ − (3 + 2 + 4²) 
 
 
 
E1. 
a) 5045 b) 20 c) −20 
d) 14 e) −29 f) 33 
g) 27 h) 34 i) −305 
j) 3 k) −4 l) 36 
 
m) 79 n) −80 o) −21 
 
Gabarito 
 
23 
 
MÓDULO 5 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 (60ݔ଼଴ݕ଼) ∙ (2ݔଷݕ) = ? 
Solução da inequação: ݔ3 − ݔ + 12 < 1 − ݔ4 Solução do sistema de inequações: 3 ≤ ݔଶ − 2ݔ + 8 < 8 
 
 
 
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25 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 5 (EXPRESSÕES ALGÉBRICAS) 
 
 
1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Expressões algébricas são expressões que contém letras e números: 
 
Exemplo 1: 
ܽ = 4ܾ + 3ܾ + 7ܿ 
 
 
Do mesmo modo que vimos no Módulo 4 para as expressões numéricas, nas expressões algébricas 
devemos obedecer a uma ordem para as operações: 
1: Potenciacão, radiciação e outras funções; 
2: Multiplicação e divisão; 
3: Adição e subtração. 
E também devemos seguir a uma ordem para os sinais de associação: 
1: Parênteses ( ); 
2: Colchetes [ ]; 
3: Chaves { }. 
 
Exemplo 2: 8ܽ ∙ (2 + 8) − 3ܽ = 8ܽ ∙ (10)− 3ܽ = 80ܽ − 3ܽ = 77ܽ 
 
A) POTENCIAÇÃO 
Para resolver potências literais, devemos aplicar as mesmas regras estudadas no Módulo 2, contudo, 
devemos simplificar os expoentes numéricos. Veja 
Exemplo 1: (4ݔଶݕ)³ = 4ଷ(ݔଶ)ଷ(ݕ)ଷ = 4³ݔଶ∙ଷݕଷ = 256ݔ଺ݕ³ 
Exemplo 2: (−2ݔଷݕସ)³ = (−2)³(ݔଷ)ଷ(ݕସ)ଷ = −8ݔଽݕଵଶ 
 
Teoria e Exemplos 
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26 
 
B) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Para efetuarmos multiplicações em expressões algébricas, devemos multiplicar os valores numéricos, 
observando os sinais, e multiplicar as variáveis de mesma base somando seus expoentes. 
Exemplo 1: 
−(4ݔଶݕ) ∙ (−2ݔݕ) = 8ݔ³ݕ² 
Já a divisão, devemos dividir os valores numéricos, observando os sinais, e dividir as variáveis conservando a 
base e subtraindo os expoentes. 
Exemplo 2: 4ݔଶݕଷ2ݔݕ = 2ݔݕଶ 
Exemplo 3: 
−4ݔ²ݕଷ6ݔହݕ = −23 ݔଶିହݕଷିଵ = − 23 ݔିଷݕଶ ou − 2ݕଶ3ݔଷ 
C) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Para somar ou subtrair os integrantes de expressões algébricas, devemos identificar parcelas que possuem o 
mesmo produto de potência de variáveis e realizar as operações, isto é, 7ݔ pode ser somado com 3ݔ; 4ݔଶ 
pode ser somado com 3ݔଶ; 2ݔହݕଶ pode ser somado com 6ݔହݕଶ; mas, 2ݔݕଶ não pode ser somado com 3ݔଶݕଶ. Veja: 
Exemplo 1: 7ݔ + 3ݔ + 5ݕ = (7 + 3)ݔ + 5ݕ = 10ݔ + 5ݕ 
Exemplo 2: 2ݔ − 4ݔଶ + ݕ + 2ݔݕ + ݔ + 1 + ݔଶ + 3ݕ + 5ݔݕ − 7 (2 + 1)ݔ + (−4 + 1)ݔଶ + (1 + 3)ݕ + (2 + 5)ݔݕ + (1 − 7) 3ݔ − 3ݔଶ + 4ݕ + 7ݔݕ − 6 
2. INEQUAÇÕES 
As inequações são desigualdades que utilizam os seguintes sinais em sua estrutura: ≠, >, <, ≥, ≤. As 
técnicas de resolução são muito parecidas com as utilizadas nas equações, contudo, é importante 
ressaltar que as inequações respeitam as restrições de acordo com o sinal utilizado. 
Os intervalos das soluções podem ser abertos, semi-abertos ou fechados, dependendo do sinal da 
inequação. 
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27 
 
Exemplo 1: 4ݔ + 12 > 2ݔ − 2 → 4ݔ − 2ݔ > −2 − 12 
2ݔ > −14 → ݔ > −142 
ݔ > −7 
Logo, na reta real a inequação é representada por um intervalo aberto: 
 
Ou seja, todos os números maiores que -7 são soluções da inequação, excluindo o -7. 
Exemplo 2: 5 ≤ ݔ + 3 ≤ 7 5 − 3 ≤ ݔ ≤ 7 − 3 2 ≤ ݔ ≤ 4 
Logo, 
 
A solução da inequação é ܵ = {ݔ߳ℝ/2 ≤ ݔ ≤ 4}, o que representa um intervalo fechado. 
 
E1. Encontre a forma mais simples das expressões algébricas: 
a) 2ݔ + 3ݔ + 8ݔ = 
 
b) 10ݔ³ + 5ݔ² + 5ݔ² − 10ݔଷ = 
 
c) 4ݔ²ݔଷ + 5ݔହ = 
d) 2ݔ ∙ (5ݔଷ + 9ݔ) = 
 
e) (60ݔ଼଴ݕ଼) ∙ (2ݔଷݕ) = 
 
f) 
ݔݕ
భ
మ ∙ (2ݔݕସ + ݕଶ) = 
 
g) (2ݔଶ)ଷ + 2ݔݕ ∙ [4ݔ + 5]ଶ = 
 
h) ((((ݔ)ଶ)ଷ)ହ)ଶ = i) (ݔଵ/ଶݕ)²
ݕ² = 
 
j) 
൫√ݖݓ൯²
ݖݓ² = 
 
k) {2ݔ(35ݔݕݓ)(ݔଶ)} ∙ {6ݔݓ(ݕ)} = 
 
l) {ݔଷ଴଴ ∙ [ݕݓ ቀݕయమቁ]}2(ݕଶ ∙ ݕଶ)భర + {−ݕ[(ݓݔ)ଶ/(ݓଶݔଶ)]} 
 
 
 
 
Exercícios 
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28 
 
E2. Encontre as soluções das seguintes inequações: 
a) 2ݔ + 1 < 0 
 
 
b) 2 − 3ݔ > ݔ + 14 
 
c) 3(1 − 2ݔ) < 2(ݔ + 1) + ݔ − 7 
 
d) [1 − 2(ݔ − 1)] < 2 
 
 
 
e) 8(ݔ + 3) > 12(1 − ݔ) 
 
f) 
ݔ3 − ݔ + 12 < 1 − ݔ4 
 
 
E1. 
a) 13ݔ b) 10ݔଶ 
 
c) 9ݔହ 
 
d) 10ݔସ + 18ݔ² 
 
e) 120ݔ଼ଷݕଽ 
 
f) 2ݔ²ݕవమ + ݔݕఱమ 
 
g) 8ݔ଺ + 50ݔݕ + 80ݔ²ݕ + 32ݔ³ݕ 
 
h) 
ݔ଺଴ 
 
i) 
ݔ 
j) 1 
 
k) 420ݓ²ݔହݕ² 
 
l) 
ݔଷ଴଴ݕଷ/ଶݓ 
 
E2. 
a) 
ݔ < − 12 b) ݔ < −3 c) ݔ > 89 
d) 
ݔ > 12 
 
e) 
ݔ > − 35 
 
f) 
ݔ < 9 
 
 
Gabarito 
 
29 
 
MÓDULO 6 
EXPRESSÕES POLINOMIAIS 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 
Quanto vale ܲ(ݔ) = 2ݔଷ − 3ݔଶ + 2 para ݔ = 1 e ݔ = 2? Resolva: ݔଶ − 14ݔ + 48 = 0 Resolva: − ݔସ + 113ݔଶ − 3136 = 0 
 
 
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31 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 6 (EXPRESSÕES POLINOMIAIS) 
 
1. POLINÔMIOS 
Um polinômio ou função polinomial P, na variável ݔ, é toda expressão do tipo: 
ܲ(ݔ) = ܽ଴ݔ௡ + ܽଵݔ௡ିଵ + ⋯+ ܽ௡ିଵݔ + ܽ௡ 
Onde ܽ଴, ܽଵ, ... ܽ௡ são números reais, ݔ ∈ ℝ e ݊ ∈ ℕ. 
Exemplo 1: 
ܲ(ݔ) = 4ݔସ + 3ݔଷ + 2ݔଶ + ݔ + 2 
Exemplo 2: 
ܲ(ݔ) = 3ݔଶ + 3ݔ + 3 
Não são polinômios as expressões que contenham a variável com expoentes negativos ou fracionários, por 
exemplo: 
Exemplo 3: 
ܲ(ݔ) = ݔିଷ + ݔ − 1 
A) VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO 
Seja ܲ(ݔ) = ܽ଴ݔ௡ + ܽଵݔ௡ିଵ + ⋯+ ܽ௡ିଵݔ + ܽ௡ um polinômio e ߙ um numero real qualquer, então o 
valor numérico do polinômio ܲ no ponto ݔ = ߙ é obtido substituindo ݔ por ߙ na expressão que define ܲ(ݔ), 
veja: 
Exemplo 1: 
Os valores numéricos do polinômio ܲ(ݔ) = ݔଶ + 3ݔ + 1 nos pontos ݔ = 1 e ݔ = 2 são respectivamente: 
ܲ(1) = 1ଶ + 3 ∙ 1 + 1 = 5 
ܲ(2) = 2ଶ + 3 ∙ 2 + 1 = 11 
B) GRAU DO POLINÔMIO 
O grau de um polinômio ܲ(ݔ) é o maior expoente da variável, com o coeficiente não nulo, que aparece na 
representação do polinômio ܲ(ݔ). 
Exemplo 1: 
ܲ(ݔ) = 3ݔହ + 4ݔସ − 7ݔଶ + 3ݔ + 2 
O grau desse polinômio é cinco. 
Exemplo 2: 
Teoria e Exemplos 
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32 
 
ܲ(ݔ) = 7ݔଷ + 6ݔଶ − 12 
O grau desse polinômio é três. 
C) RAÍZES DO POLINÔMIO 
Quando ocorrer ܲ(ߙ) = 0, dizemos que o número ߙ é uma raiz ou um zero do polinômio ܲ. 
Exemplo 1: 
ܲ(ݔ) = ݔସ − 16 
As raízes do polinômio são -2 e 2, pois ܲ(−2) = ܲ(2) = 0, veja: 
ܲ(2) = 2ସ − 16 = 16 − 16 = 0 
ܲ(−2) = (−2)ସ − 16 = 16 − 16 = 0 
D) RAÍZ DO POLINÔMIO DE 1° GRAU 
Para encontrar a raiz de um polinômio de 1°, basta igualar o polinômio a 0 e isolar a variável. Veja: 
Exemplo1: 
ܲ(ݔ) = 5ݔ − 10 5ݔ − 10 = 0 5ݔ = 10 
ݔ = 102 = 5 
E) RAÍZES DO POLINÔMIO DE 2° GRAU 
Para encontrar as raízes dos polinômios de 2° grau ܲ(ݔ) = ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ, onde ܽ, ܾ e ܿ são números reais, 
podemos utilizar a fórmula de Bháskara: 
ݔ = −ܾ ± √Δ2ܽ , sendo Δ = ܾଶ − 4ܽܿ. 
O valor de ∆ identifica o número de raízes reais do polinômio: a) se ∆= 0, existem duas raízes reais iguais; se 
∆> 0, existem duas raízes reais diferentes; e se ∆< 0, o polinômio não possui nenhuma raiz real. 
Exemplo 1: 
ܲ(ݔ) = ݔଶ − 3ݔ + 2 = 0 
Nesse caso, temos ܽ = 1, ܾ = −3 e ܿ = 2. Com esses valores encontramos o valor de ∆: 
Δ = ܾଶ − 4ܽܿ 
Δ = 3ଶ − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 1 
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33 
 
Depois substituímos o valor do ∆ na fórmula de Bháskara e encontramos as duas raízes do polinômio: 
ݔ = −ܾ ± √Δ2ܽ 
ݔ = 3 ± √12 ∙ 1 = 3 ± 12 
As duas raízes, ݔଵ e ݔଶ, são: 
ݔଵ = 3 + 12 = 2 e ݔଵ = 3 − 12 = 1 
Sempre que encontrar raízes, você pode conferir o resultado substituindo os valores no polinômio, veja: 
ܲ(ݔ) = ݔଶ − 3ݔ + 2 
ܲ(1) = 1ଶ − 3 ∙ 1 + 2 = 0 
ܲ(2) = 2ଶ − 3 ∙ 2 + 2 = 0 
Exemplo 2: 
ܲ(ݔ) = −ݔଶ + 2ݔ − 2 = 0 
Encontrando o ∆ com base em ܽ = −1, ܾ = 2 e ܿ = −2: 
Δ = 2ଶ − 4 ∙ (−1) ∙ (−2) = 0 
Como Δ = 0, o polinômio possui duas raízes reais iguais. Para encontrá-las utilizamos Bháskara: 
ݔ = −ܾ ± √Δ2ܽ = −2 ± √02 ∙ (−1) 
ݔଵ = ݔଶ = −2 −2 = 1 
F) RAÍZES DO POLINÔMIO DE 2° GRAU (CASOS ESPECIAIS) 
Em qualquer problema de raízes de polinômio de 2° grau podemos utilizar a fórmula de Bháskara, contudo, 
o desafio de encontrar as raízes é facilitado se ܾ = 0 ou ܿ = 0. 
No caso de ܾ = 0, basta isolarmos a variável. Veja: 
Exemplo 1: 
ܲ(ݔ) = 2ݔଶ − 18 = 0 2ݔଶ − 18 = 0 2ݔଶ = 18 
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34 
 
ݔଶ = 182 = 9 
ݔ = ±√9 = ±3 
As raízes são 
ݔଵ = −3 e ݔଶ = 3 
No caso de ܿ = 0, uma das raízes será sempre igual a 0. Para encontrar a outra, colocamos a variável e o seu 
coeficiente em evidência (essa é uma das técnicas de fatoração e será vista em maior detalhes no módulo 8). 
Veja: 
Exemplo 2: 
ܲ(ݔ) = 2ݔଶ − 6ݔ = 0 2ݔଶ − 6ݔ = 0 2ݔ ∙ (ݔ − 3) = 0 
Para o produto entre 2ݔ e ݔ − 3 ser igual a 0, basta que um dos dois seja igual a 0. Sendo assim, fazemos: 2ݔ = 0 → ݔ = 0 
ݔ − 3 = 0 → ݔ = 3 
Sendo assim, as raízes são ݔଵ = 0 e ݔଶ = 3 . 
 
E1. Encontre os valores numéricos para os seguintes polinômios nos pontos ݔ = 0, ݔ = 1 e ݔ = 2: 
a) ܲ(ݔ) = ݔଷ + 3ݔଶ − 2ݔ + 1 
 
b) ܲ(ݔ) = ݔଶ − 2ݔ + 5 
 
c) ܲ(ݔ) = ݔଷ − 4ݔଶ + ݔ 
 
d) ܲ(ݔ) = ݔହ − ݔସ + 3ݔ 
 
e) ܲ(ݔ) = 2ݔଷ − 3ݔଶ + 2 
 
f) ܲ(ݔ) = 3ݔସ − 2ݔଷ + 1 
 
 
E2. Encontre as raízes dos polinômios de primeiro grau: 
a) 2ݔ − 6 = 0 
 
b) ݔ + 12 = 0 
 
c) −3ݔ + 6 = 0 
 
d) 6ݔ + 2 = 0 
 
e) -14ݔ + 7 = 0 
 
f) 12 − 5ݔ = 0 
 
 
E3. Encontre as raízes dos polinômios, observando a existência de casos especiais: 
a) ݔଶ + 2ݔ − 3 = 0 
 
b) 2ݔଶ − 10ݔ + 12 = 0 
 
c) 5ݔଶ − 3ݔ − 2 = 0 
 
d) (2ݔ + 5)ଶ + 3ݔ − 25 = 0 
 
e) ݔଶ − 14ݔ + 48 = 0 
 
f) ݔଶ − 6ݔ = 0 
 
Exercícios 
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35 
 
g) ݔଶ − 10ݔ + 25 = 0 
 
h) ݔଶ − ݔ − 20 = 0 i) ݔଶ − 8ݔ + 7 = 0 
 
j) (ݔ + 2) ∙ (ݔ − 1) = 0 
 
k) (ݔ + 3) ∙ (ݔ − 1) = 0 l) ݔଶ − 3ݔ − 4 = 0 
m) 3ݔଶ − 36 = 0 
 
n) 4ݔଶ − 16 = 0 
 
o) −ݔସ + 113ݔଶ − 3136 = 0 
 
 
 
E1. 
a) 
ܲ(0) = 1,ܲ(1) = 3,ܲ(2) = 17 b) ܲ(0) = 5,ܲ(1) = 4,ܲ(2) = 5 c) ܲ(0) = 0,ܲ(1) = −2,ܲ(2) = −6 
 
d) 
ܲ(0) = 0,ܲ(1) = 3,ܲ(2) = 22 e) ܲ(0) = 0,ܲ(1) = 1,ܲ(2) = 6 
 
f) 
ܲ(0) = 1,ܲ(1) = 2,ܲ(2) = 33 
E2. 
a) 
ݔ = 3 
 
b) 
ݔ = −12 
 
c) 
ݔ = 2 
 
d) 
ݔ = − 13 
 
e) 
ݔ = 12 f) ݔ = 125 
 
E3. 
a) 
ݔଵ = −3, ݔଶ = 1 b) ݔଵ = 3, ݔଶ = 2 c) ݔଵ = 1, ݔଶ = − 25 
d) 
ݔଵ = 0, ݔଶ = − 234 e) ݔଵ = 8, ݔଶ = 6 f) ݔଵ = 0, ݔଶ = 6 
g) 
ݔଵ = ݔଶ = 5 h) ݔଵ = 5, ݔଶ = −4 i) ݔଵ = 7, ݔଶ = 1 
j) 
ݔଵ = −2, ݔଶ = 1 k) ݔଵ = −3, ݔଶ = 1 l) ݔଵ = 4, ݔଶ = −1 
 
m) 
ݔଵ = √12, ݔଶ = −√12 
 
n) 
ݔଵ = 2, ݔଶ = −2 
 
o) 
ݔଵ = 7, ݔଶ = −7, ݔଷ = 8, ݔସ = −8 
 
 
Gabarito 
 
37 
 
MÓDULO 7 
DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 48ݔସ– 4ݔ³ + ݔ – 14ݔ³ + 1 = ? (ݔ − 9)(ݔ − 2)(ݔ + 2)
ݔ − 1 = ? 
 
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39 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 7 (DIVISÃO DE POLINÔMIOS) 
 
1. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
Para exemplificarmos o processo de divisão de dois polinômios, começaremos com um exemplo da divisão 
de dois números inteiros positivos. 
Exemplo 1: 
 
 Onde: 
 
 
 
 
Note que o primeiro passo foi encontrar um número que ao multiplicar por 4 se aproxima de 22. O valor 
encontrado foi 5, que ao multiplicar por 4, resulta em 20. Contudo, colocamos esse resultado com sinal 
trocado, −20. Depois, efetuamos a operação (22 − 20) que resulta em 2, que é o resto.Na divisão de 
polinômios fazemos passos bem parecidos como veremos mais adiante. 
Na divisão entre dois polinômios ܲ(ݔ) e ܦ(ݔ) aparecem os mesmos elementos: 
ܲ(ݔ) ܦ(ݔ) 
ܴ(ݔ) ܳ(ݔ) 
 
Onde ܲ(ݔ) é o dividendo, ܦ(ݔ) é o divisor, ܳ(ݔ) é o quociente e ܴ(ݔ) é o resto da divisão. 
Do mesmo modo que podemos escrever 22 = 4 ∙ 5 + 2, podemos escrever ܲ(ݔ) = ܦ(ݔ)ܳ(ݔ) + ܴ(ݔ). Veja 
algumas considerações importantes sobre a divisão de polinômios: 
 O grau do dividendo deve ser sempre maior ou igual ao grau do divisor; 
 O grau do resto será sempre menor que o grau do quociente; 
 O grau do quociente será sempre o grau do dividendo menos o grau do divisor; 
 Quando o dividendo for divisível pelo divisor, o resto será igual a zero. 
Exemplo 2: 2ݔସ + ݔଷ – 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ − 2 
Note que o grau do dividendo, 2ݔସ + ݔଷ – 7ݔଶ + 9ݔ − 1, é igual a 4 (maior expoente) e do divisor, 
ݔଶ + 3ݔ – 2, é 2. Como o grau do dividendo é maior que o do divisor, podemos prosseguir com o processo 
de divisão de polinômios. 
Para encontrarmos o primeiro termo do quociente, que será multiplicado pelo divisor, devemos dividir o 
primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 2ݔସ ÷ ݔଶ = 2ݔଶ . Logo em seguida, o 
resultado 2ݔଶ será multiplicado pelo polinômio (ݔଶ + 3ݔ − 2). 
Teoria e Exemplos 
 22 4 20 5 2 45 222
2 
Divisor 
Quociente 
Resto 
Dividendo 20 
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40 
 
O resultado dessa multiplicação deve ser subtraído pelo polinômio (2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1), como pode 
ser visto abaixo: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ – 2 2ݔସ + 6ݔଷ − 4ݔଶ 2ݔଶ − 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ − 1 
Utilizamos o polinômio resultante da etapa anterior para dividir o seu primeiro termo pelo 
dividendo: − 5ݔଷ ÷ ݔଶ = − 5ݔ. 
O resultado encontrado deverá ser multiplicado pelo divisor e subtraído do polinômio (− 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ – 1): 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ – 2 2ݔସ + 6ݔଷ − 4ݔଶ 2ݔଶ − 5ݔ − 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ − 1 − 5ݔଷ − 15ݔଶ + 10ݔ 12ݔ² − ݔ − 1 
Adotando o mesmo raciocínio e seguindo os mesmo passos chegamos ao final da divisão: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 ݔଶ + 3ݔ – 2 2ݔସ + 6ݔଷ − 4ݔଶ 2ݔଶ − 5ݔ + 12 − 5ݔ³ − 3ݔ² + 9ݔ − 1 − 5ݔଷ − 15ݔଶ + 10ݔ 12ݔ² − ݔ − 1 12ݔ² + 36ݔ − 24 − 37ݔ + 23 
 
Logo, a divisão do polinômio 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 pelo polinômio ݔଶ + 3ݔ − 2 é igual a 2ݔଶ − 5ݔ + 12 
com resto −37ݔ + 23. Podemos escrever: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1 = (ݔଶ + 3ݔ − 2)(2ݔଶ − 5ݔ + 12) + (−37ݔ + 23) 
ou então: 2ݔସ + ݔଷ − 7ݔଶ + 9ݔ − 1
ݔଶ + 3ݔ − 2 = 2ݔଶ − 5ݔ + 12 + −37ݔ + 23ݔଶ + 3ݔ − 2 
Veja outros exemplos de divisão de polinômios: 
Exemplo 3: 10ݔଶ + 4ݔ − 7 2ݔ − 2 −(10ݔଶ − 10ݔ) 5ݔ − 3 − 6ݔ − 7 −(−6ݔ + 6) −13
 
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41 
 
Exemplo 4: ݔଷ − 2ݔଶ − 5ݔ + 2 ݔଶ + ݔ − 2
−(ݔଷ + ݔଶ − 2ݔ) ݔ − 3 −3ݔଶ − 3ݔ + 2 −(−3ݔଶ − 3ݔ + 6) −4
 
Uma boa dica para facilitar a divisão de polinômios é escrever o polinômio do maior para o menor expoente 
completando com coeficientes nulos os termos inexistentes. Veja: 
Exemplo 5: 10ݔସ − 2ݔ + 1
ݔଶ − 2 = 10ݔସ + 0ݔଷ + 0ݔଶ − 2ݔ + 1ݔଶ + 0ݔ − 2 
O processo de divisão fica assim: 10ݔସ + 0ݔଷ + 0ݔଶ − 2ݔ + 1 ݔଶ + 0ݔ − 2 −(10ݔସ + 0ݔଷ − 20ݔଶ) 10ݔଶ + 20 20ݔଶ − 2ݔ + 1 −(20ݔଶ + 0ݔ − 40) 41
 
 
E1. Faça as divisões: 
a) 
ݔଶ + ݔଷ + 2ݔ
ݔଶ
 
 
b) 3ݔଷ − 7ݔଶ + 14ݔ − 12
ݔଶ − 4 
 
c) 3ݔଷ − 2ݔଶ + ݔ + 1
ݔଶ − ݔ + 2 
d) 
ݔଷ − 7ݔଶ + 16ݔ − 12
ݔଶ − 3 
 
e) 
ݔଷ − 3ݔଶ + 3ݔ − 1
ݔଷ − 1 
 
f) 4ݔଽ + 7ݔ଺ + 4ݔଷ + 3
ݔଷ + 1 
 
g) 
ݔସ
ݔଶ − 1 
 
h) 2ݔସ + 5ݔଷ– 12ݔ + 7
ݔଶ − 1 
 
i) 
ݔଷ − 5ݔଶ + 7ݔ − 2
ݔଶ − 3ݔ + 1 
 
j) 3ݔ³ − 2ݔ² + 4
ݔଶ − 4 
 
k) 150ݔଷ − 10ݔଶ5ݔଶ 
 
l) 48ݔସ − 4ݔଷ + ݔ − 14ݔଷ + 1 
 
E2. Faça as divisões: 
a) (4ݔ– 1)(ݔ– 4)(ݔ + 2)
ݔ – 3 
 
b) 2(ݔ – 1)(ݔ – 5)(ݔ + 2)
ݔ – 3 
 
c) (ݔ – 3)(ݔ – 2)(ݔ + 2)
ݔ – 4 
 
Exercícios 
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42 
 
d) (ݔ – 9)(ݔ – 2)(ݔ + 2)
ݔ – 1 e) 4(2ݔ – 3)(ݔ – 2)(ݔ + 2)ݔ − 1 f) (2ݔ– 3)(ݔ– 2)(ݔ + 2)ݔ − 1 
g) (2ݔ – 3)(2ݔ – 2)(2ݔ + 2)
ݔ − 3 h) (2ݔ – 3)(2ݔ – 2)(2ݔ + 2)ݔ – 1 i) ݔଵହ + 5ݔଶ + ݔ– 20ݔଷ + 2 
j) 3ݕଷ + 6ݕଶ3ݕଶ + 3 k) 12ݔଶ − 8ݔ2ݔ + 1 l) −18ݔଶ + 6ݔ2ݔ + 3 
 
 
E1. 
a) (ݔଶ)(1 + ݔ) + (2ݔ) b) (ݔଶ − 4)(3ݔ − 7) + (26ݔ − 40) c) (ݔଶ − ݔ + 2)(3ݔ + 1) + (−4ݔ − 1) 
 
d) (ݔଶ − 3)(ݔ − 7) + (19ݔ − 33) e) (ݔଷ − 1)(1) + (−3ݔଶ + 3ݔ) 
 
f) (ݔଶ + 1)(4ݔ³ + 7ݔ²) + (7ݔଶ + 3) 
 
g) (ݔଶ − 1)(ݔ² + 1) + (1) h) (ݔଶ − 1)(2ݔ² + 5ݔ + 2) + (−7ݔ + 9) 
 
i) (ݔଶ − 3ݔ + 1)(ݔ + 2) 
 
j) (ݔଶ − 4)(3ݔ − 2) + (12ݔ − 4) k) (5ݔଶ)(30ݔ − 2) l) (4ݔଷ + 1)(12ݔ − 1) + (−11ݔ) 
 
E2. 
a) (ݔ − 3)(4ݔ² + 3ݔ − 21) + (−55) 
 
b) (ݔ − 3)(2ݔ² − 2ݔ − 20) + (−55) 
 
c) (ݔ − 4)(ݔ² + ݔ) + (12) 
 
d) (ݔ − 1)(ݔ² − 8ݔ − 12) + (24) e) (ݔ − 1)(8ݔ² − 4ݔ − 36) + (12) 
 
f) (ݔ − 1)(2ݔ² − ݔ − 9) + (3) 
 
g) (ݔ − 3)(8ݔ² − 12ݔ + 28) + 96 h) (ݔ − 1)(8ݔ² − 4ݔ − 12) 
i) (ݔଵଶ − 2ݔଽ + 4ݔ଺ − 8ݔଷ + 16)(ݔଷ + 2) + (−52 + ݔ + 5ݔ²) 
 
 
j) (3ݕ² + 3)(ݕ + 2) + (−3ݕ − 6) k) (2ݔ + 1)(6ݔ − 7) + (7) l) (2ݔ + 3) ൬332 − 9ݔ൰ − ൬992 ൰ 
 
 
Gabarito 
 
43 
 
MÓDULO 8 
FATORAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 
Escreva as expressões seguintes na forma fatorada: 18ݔ − 24ݔଶ − 36ݔݕ 
ݔଶ + 6ݔ + 9 
ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ + ܽܿ + ܾܿ 
 
 
 
 
 
Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 
45 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 8 (FATORAÇÃO) 
 
1. FATORAÇÃO 
A fatoração é a decomposição de uma expressão algébrica em um produto de outras expressões, as quais 
multiplicadas retomam àquela original. Existem alguns tipos comuns de fatoração de expressões algébricas 
que serão exemplificadas abaixo. 
A) FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA 
Em expressões algébricas que possuem em cada um de seus termos um mesmo fator, é possível colocá-lo 
em evidência. 
Exemplo 1: 8ݔଶ + 4ݔݕଶ = 4ݔ ∙ 2ݔ + 4ݔ ∙ ݕଶ = 4ݔ(2ݔ + ݕଶ) 
Exemplo 2: 12ܽݔଶݖ − 4ܽݔݖଶ + 36ݔܽଶݖ = 4ܽݔݖ ∙ 3ݔ − 4ܽݔݖ ∙ ݖ + 4ܽݔݖ ∙ 9ܽ = 4ܽݔݖ(3ݔ − ݖ + 9ܽ) 
B) AGRUPAMENTO 
Consiste em aplicar o caso do fator comum duas, ou mais, vezes em algumas expressões especiais. 
Exemplo 1: 2ܽݖ − 2ܽ − ܾݖ + ܾ = 2ܽ ∙ ݖ − 2ܽ ∙ 1 − ܾ ∙ ݖ + ܾ ∙ 1 = 2ܽ(ݖ − 1) − ܾ(ݖ − 1) = (2ܽ − ܾ) ∙ (ݖ − 1) 
Exemplo 2: 3ܽ − 3ܾ − ܽଷ + ܽଶܾ = 3 ∙ ܽ − 3 ∙ ܾ − ܽଶ ∙ ܽ + ܽଶ ∙ ܾ = 3(ܽ − ܾ) − ܽଶ(ܽ − ܾ) = (3 − ܽଶ) ∙ (ܽ − ܾ) 
C) DIFERENÇA DE QUADRADOS 
Expressões algébricas na forma ܽଶ − ܾଶ são fatoradas na forma ܽଶ − ܾଶ = (ܽ + ܾ) ∙ (ܽ − ܾ). 
Exemplo 1: 
Efetuando o produto entre as expressões a + b e a − b, tem-se (ܽ + ܾ) ∙ (ܽ − ܾ) = ܽଶ − ܽ ∙ ܾ + ܾ ∙ ܽ − ܾଶ 
como ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ, então = ܽଶ − ܾଶ 
Teoria e Exemplos 
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46 
 
Exemplo 2: 
ܽଶ − 4 = ܽଶ − 2ଶ = (ܽ + 2) ∙ (ܽ − 2) 
Exemplo 3: 3 − (ݔݕ)ଶ = ൫√3൯ଶ − (ݔݕ)ଶ = (√3 + ݔݕ) ∙ (√3 − ݔݕ) 
Exemplo 4: 16ݕସ − ݖସ = (4ݕଶ + ݖଶ)(4ݕଶ − ݖଶ) = (4ݕଶ + ݖଶ) ∙ (2ݕ − ݖ) ∙ (2ݕ + ݖ) 
D) QUADRADO PERFEITO 
Expressões algébricas na forma ܽଶ ± 2 ∙ ܽ ∙ ܾ + ܾଶ são fatoradas na forma (ܽ ± ܾ)ଶ. 
Exemplo 1: 
Efetuando o produto entre as expressões ܽ + ܾe ܽ + ܾ, tem-se (ܽ + ܾ)ଶ = (ܽ + ܾ) ∙ (ܽ + ܾ) = ܽଶ + ܽ ∙ ܾ + ܾ ∙ ܽ + ܾଶ 
como ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ, segue que (ܽ + ܾ)ଶ = ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ 
Exemplo 2: 
ݔଶ − 4ݔ + 4 = ݔଶ − 2 ∙ 2 ∙ ݔ + 2ଶ = (ݔ − 2)ଶ 
Exemplo 3: 2ݔଶ − 6√2ݔܽଶ + 9ܽସ = ൫√2ݔ൯ଶ − 2 ∙ ൫√2ݔ൯ ∙ (3ܽଶ)ଶ+ (3ܽଶ)ଶ = (√2ݔ − 3ܽଶ)ଶ 
Exemplo 4: (6ݔ − 2ݕ)(72ݔଶ − 48ݔݕ + 8ݕଶ) = 2(3ݔ − ݕ) ∙ 8(9ݔଶ − 6ݔݕ + ݕଶ) = 16(3ݔ − ݕ)(3ݔ − ݕ)ଶ = 16(3ݔ − ݕ)ଷ 
E) TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
Expressões algébricas na forma ݔଶ + (ܽ + ܾ)ݔ + ܽ ∙ ܾ são fatoradas na forma (ݔ + ܽ)(ݔ + ܾ). 
Exemplo 1: 
Efetuando o produto entre as expressões ݔ + ܽ e ݔ + ܾ, tem-se (ݔ + ܽ) ∙ (ݔ + ܾ) = ݔଶ + ݔ ∙ ܾ + ܽ ∙ ݔ + ܽ ∙ ܾ 
como ݔ ∙ ܾ = ܾ ∙ ݔ, então é possível colocar ݔ em evidência nas duas expressões intermediárias resultando 
em 
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47 
 
ݔଶ + (ܽ + ܾ)ݔ + ܾܽ 
Exemplo 2: 
ݔଶ − 2ݔ + 1 = ݔଶ − (1 + 1)ݔ + 1 ∙ 1 = ݔଶ + [(−1) + (−1)]ݔ + (−1) ∙ (−1) = (ݔ − 1)(ݔ − 1) = (ݔ − 1)ଶ 
Exemplo 3: 
ݔଶ − 5ݔ + 6 = ݔଶ − (2 + 3)ݔ + 2 ∙ 3 = ݔଶ + [(−2) + (−3)]ݔ + (−2) ∙ (−3) = (ݔ − 2)(ݔ − 3) 
Exemplo 4: (9 − ݕଶ)(3ݕଶ + 21ݕ + 36) = (3 − ݕ)(3 + ݕ).3(ݕଶ + 7ݕ + 12) = 3(3 − ݕ)(3 + ݕ)(ݕ + 3)(ݕ + 4) = 3(3 − ݕ)(ݕ + 4)(ݕ + 3)ଶ 
 
 
E1. Fatore as expressões seguintes: 
a) 3ݔ − 3ݕ 
 
b) 12ܽ + 36ܾ − 144ܿ 
 
c) 18ݔ − 24ݔଶ − 36ݔݕ 
 
d) 
ܾܽ + 2ܽ − 3ܾ − 6 
 
e) 
ݔݕ + 3ݔ + ݕ + 3 
 
f) 
ܾܽ + ܽݕ + ܾݔ + ݔݕ 
 
g) 4ܽଶ − 1 
 
h) 1 − ݔଶ 
 
i) 
ݔଶ − 9ݕଶ 
 
j) 
ݔଶ + 6ݔ + 9 
 
k) 4ܽଶ − 12ܾܽ + 9ܾଶ l) 4ܽଶ − 4ܾܽܿ + ܾଶܿଶ 
m) 
ݔଶ + 5ݔ + 4 n) ݔଶ + ݔ − 6 o) ܽଶ − ܽ − 12 
 
E2. Fatore as seguintes expressões: 
a) 32ܽସ − 16ܽସܾ + 16ܽଷܿଶ 
 
b) 3 ݖସ
ݓ
− 3 ݖଶ
ݓ
+ 12 ݖଷ
ݓ
 
 
c) 4ܽଶ√ܿ + 20ܾܽ√ܿ + 28ܽଷ ܿଷ/ଶ
ܽ
 
 
d) 
ݔଶ − 5ݔ + ݖݔ − 5ݖ 
 
e) 2ܾଶ + 2ܿଷ + ܾܽଶ + ܽܿଷ 
 
f) 
ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ + ܽܿ + ܾܿ 
 
 
Exercícios 
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48 
 
g) 4 − 16ݖଶ 
 
h) 
଼ܽ − ଼ܾ 
 
i) 
ݔଶ + ݕଶ 
 
j) 5ݔଶ + 10ݔ + 5 
 
k) (4 − ܿଶ)(ܿଶ − 4ܿ + 4) 
 
l) 
ݖସ − 8ݓଶݖଶ + 16ݓସ 
m) 
ݏଶ + 8ݏ + 15 n) (ݏ − 3)(6ݏଶ + 12ݏ − 90) o) 4ݏସ + 16ݏଷ − 48ݏଶ − 128ݏ + 256 
 
 
E1. 
a) 3(ݔ − ݕ) b) 12(ܽ + 3ܾ − 12ܿ) 
 
c) 6ݔ(3 − 4ݔ − 6ݕ) 
 
d) 
ܽ − 3)(ܾ + 2) 
 
e) (ݔ + 1)(ݕ + 3) f) (ܽ + ݔ)(ܾ + ݕ) 
 
g) (2ܽ − 1)(2ܽ + 1) 
 
h) (1 − ݔ)(1 + ݔ) i) (ݔ + 3ݕ)(ݔ − 3ݕ) 
 
j) (ݔ + 3)ଶ 
 
k) (2ܽ − 3ܾ)ଶ 
 
l) (2ܽ + ܾܿ)ଶ 
 
m) (ݔ + 1)(ݔ + 4) n) (ݔ − 2)(ݔ + 3) o) (ܽ + 3)(ܽ − 4) 
 
E2. 
a) 16ܽଷ(2ܽ − ܾܽ + ܿଶ) b) 3 ݖଶ
ݓ
(ݖଶ − 1 + 4ݖ) 
 
c) 4ܽ√ܿ(ܽ + 5ܾ + 7ܽܿ) 
d) (ݖ − 5)(ݔ + ݖ) 
 
e) (2 + ܽ)(ܾଶ + ܿଷ) 
 
f) (ܽ + ܾ)(ܽ + ܾ + ܿ) 
g) (2 − 4ݖ)(2 + 4ݖ) 
 
h) (ܽସ + ܾସ)(ܽଶ + ܾଶ)(ܽ + ܾ)(ܽ − ܾ) 
 
i) 
൫ݔ + ݕ + ඥ2ݔݕ൯(ݔ + ݕ − ඥ2ݔݕ) 
 
j) 5(ݔ + 1)ଶ k) – (ܿ − 2)(ܿ + 2)ଷ 
 
l) (ݖ + 2ݓ)ଶ(ݖ − 2ݓ)ଶ 
m) (ݏ + 3)(ݏ + 5) n) 6(ݏ − 3)ଶ(ݏ + 5) o) 4(ݏ − 2)ଶ(ݏ + 4)ଶ 
 
 
 
Gabarito 
 
49 
 
MÓDULO 9 
FUNÇÕES RACIONAIS 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE PROBLEMAS QUE SERÃO RESOLVIDOS NESTE MÓDULO: 
 1
ݔ + 7 + 5ݔݔ + 3 = ? 
ݔଷ − 2
ݔ + 1 − 5ݔଷ + 2ݔଶ − ݔ − 2 = ? ݔ − 3
ݔଶ − 16 ∙ ݔ + 4ݔ − 3 = ? 
 
 
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51 
 
PLAY CÁLCULO – MÓDULO 9 (FUNÇÕES RACIONAIS) 
 
1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 
A) MESMO DENOMINADOR 
Em expressões com o mesmo denominador, faz-se do mesmo modo com a soma de frações. Desse modo, 
basta repetir o denominador e somar (ou subtrair) os numeradores, veja: 
Exemplo 1: 
ݔ
ݔ + 1 + 2ݔ − 1ݔ + 1 = (ݔ) + (2ݔ − 1)ݔ + 1 = ݔ + 2ݔ − 1ݔ + 1 = 3ݔ − 1ݔ + 1 
Exemplo 2: 3ݔ + 1
ݔଶ − 4 − ݔଶ − ݔ + 3ݔଶ − 4 = (3ݔ + 1) − (ݔଶ − ݔ + 3)ݔଶ − 4 = 3ݔ + 1 − ݔଶ + ݔ − 3ݔଶ − 4 = −ݔଶ + 4ݔ − 2ݔଶ − 4 
B) DENOMINADORES DIFERENTES 
No caso de denominadores diferentes, deve-se encontrar um polinômio (em forma fatorada ou não) que 
seja divisível pelos denominadores originais das funções que serão somadas (ou subtraídas). Uma forma fácil 
de encontrar esse polinômio é multiplicar os polinômios dos denominadores, veja: 
Exemplo 1: 7ݔ
ݔ + 1 + 2ݔ − 5ݔ − 3 = ?(ݔ + 1)(ݔ − 3) 
Após encontrado o denominador, deve-se fazer a operação com os numeradores. Para isso, deve-se dividir o 
polinômio encontrado (ݔ + 1)(ݔ − 3) pelo denominador original (ݔ + 1) e multiplicar pelo numerador (7ݔ). Faça o mesmo com a segunda fração. O resultado é o seguinte: 7ݔ
ݔ + 1 + 2ݔ − 5ݔଶ − 1 = (7ݔ)(ݔ − 3) + (2ݔ − 5)(ݔ + 1)(ݔ + 1)(ݔ − 3) = 7ݔଶ − 21ݔ + 2ݔଶ + 2ݔ − 5ݔ − 5(ݔ + 1)(ݔ − 3) = 
= 9ݔଶ − 19ݔ − 5(ݔ + 1)(ݔ − 3) 
É possível encontrar fatores em comum nos denominadores, veja: 
Exemplo 2: 
ݔ
ݔଶ − 4 − ݔ + 1ݔ − 2 = ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 2) − ݔ + 1ݔ − 2 
Desse modo, fica mais fácil encontrar o resultado final que é o seguinte: 
Teoria e Exemplos 
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52 
 
ݔ
ݔଶ − 4 − ݔ + 3ݔ − 2 = ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 2) − ݔ + 3ݔ − 2 = ݔ ∙ 1 − (ݔ + 3)(ݔ + 2)(ݔ − 2)(ݔ + 2) = ݔ − (ݔଶ + 2ݔ + 3ݔ + 6)(ݔ − 2)(ݔ + 2) 
= ݔ − ݔଶ − 2ݔ − 3ݔ − 6(ݔ − 2)(ݔ + 2) = −ݔଶ − 4ݔ − 6(ݔ − 2)(ݔ + 2) = −ݔଶ − 4ݔ − 6ݔଶ − 4 
2. PRODUTO E QUOCIENTE DE FUNÇÕES RACIONAIS 
Basta seguir as mesmas regras utilizadas para operações com frações (estudada no Módulo 1). 
Exemplo 1: 5ݔ
ݔଶ − 1 ∙ ݔ + 3ݔ + 2 = (5ݔ)(ݔ + 3)(ݔଶ − 1)(ݔ + 2) = 5ݔଶ + 15ݔݔଷ + 2ݔଶ − ݔ − 2 
Em alguns casos é possível simplificar antes de realizar a operação, veja: 
Exemplo 2: 5ݔ
ݔଶ − 1 ∙ ݔ + 1ݔ + 2 = 5ݔ(ݔ − 1)(ݔ + 1) ∙ (ݔ + 1)ݔ + 2 = 5ݔ(ݔ − 1)(ݔ + 2) = 5ݔݔଶ + ݔ − 2 
Exemplo 3: 
ଶ௫
௫మିସ
ହ௫
௫మା௫ିଶ
= 2ݔ
ݔଶ − 4 ∙ ݔଶ + ݔ − 25ݔ = 2ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 2) ∙ (ݔ + 2)(ݔ − 1)5ݔ = 2(ݔ − 1)5(ݔ − 2) = 2ݔ − 25ݔ − 10 
 
E1. Faça as operações seguintes: 
a) 1
ݔ + 7 + 5ݔݔ + 7 
 
b) 6ݔ − 32ݔ + 17 + 1 − 5ݔ2ݔ + 17 
 
c) 4ݔଷ − 12ݔ + 1
ݔ + 1 − 5ݔଷ − 15ݔ + 2ݔ + 1 
 
d) 1
ݔ + 7 + 5ݔݔ + 3 
 
e) 3
ݔ + 5 − ݔ2ݔ − 1 
 
f) 3ݔ
ݔ + 1 − ݔ + 23ݔ + 5 
 
g) 3ݔ
ݔଶ − 1 + ݔଷ + 2ݔ + 1 
 
h) 6ݔ − 3
ݔ + 5 + 1 − 5ݔ2ݔ − 1 
 
i) ݔଷ − 2
ݔ + 1 − 5ݔଷ + 2ݔଶ − ݔ − 2 
 
j) 1
ݔ − 2 + 3ݔ − 2ݔ + 1 + 5ݔ 
 
k) 5
ݔ − 5 − 3ݔ − 2ݔ + 1 + 2 
 
l) 32ݔ + 2 + ݔ − 6ݔ + 1 − 3 
 
E2. Faça as operações seguintes: 
Exercícios 
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53 
 
a) 1
ݔ + 7 ∙ 5ݔݔ + 7 
 
b) 6ݔ − 33ݔ + 2 ∙ 1 − 5ݔ3ݔ + 1 
 
c) ݔଷ + 1
ݔ + 1 ∙ 5ݔସ − 2ݔ − 1 
 
d) ݔ − 3
ݔଶ − 16 ∙ ݔ + 4ݔ − 3 
 
e) 33ݔ + 1 ∙ ݔ + 1ݔ − 1 
 
f) 2ݔ
ݔ + 1 − ݔଶ + 2ݔݔଶ − 1 ∙ ݔ − 1ݔ 
 
g) (ݔ + 1) ݔ
ݔ + 3 + 1ݔ ∙ ݔ − 22 − ݔ 
 
h) (ݔ − 2) ∙ (4ݔ − 12)
ݔ − 3 ∙ ݔݔ − 1 i) ݔଷ − 2ݔଶ + 1 − 5ݔଷ + 2ݔ + 1 
 
j) ௫ାଵ௫ିଶ + 1
ݔ + 1 ∙ 3ݔ + 1 
 
k) ቀݔ − 2 ∙ ൫ݔ − 2 ∙ (ݔ − 2)൯ቁ
ݔ − 2 + 1 
l) 
௫మିଵ
௫ିଶ
∙
௫మିସ
௫ାଷ
ݔ − 1 + 1ݔ 
 
 
E1. 
a) 5ݔ + 1
ݔ + 7 
 
b) ݔ − 22ݔ + 17 
 
c) −ݔଷ + 3ݔ − 1
ݔ + 1 
 
d) 5ݔଶ + 36ݔ + 3
ݔଶ + 10ݔ + 21 
 
e) −ݔଶ + ݔ − 32ݔଶ + 9ݔ − 5 
 
f) 8ݔଶ + 12ݔ − 23ݔଶ + 8ݔ + 5 
 
g) ݔସ − ݔଷ + 5ݔ − 2
ݔଶ − 1 
 
h) 7ݔଶ − 36ݔ + 82ݔଶ + 9ݔ − 5 
 
i) ݔସ − 7ݔଷ − 2ݔ + 2
ݔଶ − ݔ − 2 
 
j) 3ݔଷ − 2ݔଶ − 10
ݔ(ݔ − 2)(ݔ + 1) 
 
k) 
−3ݔଶ + 2ݔଶ + 14ݔ − 15
ݔଶ − 4ݔ − 5 
 
l) 
−
ݔ + 7
ݔ + 1 
 
E2. 
a) 5ݔ(ݔ + 7)ଶ 
 
b) 
−3 ∙ 10ݔଶ − 7ݔ + 19ݔଶ + 9ݔ + 2 
 
c) 5ݔ଻ + 5ݔସ − 2ݔଷ − 2
ݔଶ − 1 
 
d) 
ݔ − 4 
 
e) 3ݔ + 33ݔଶ − 2ݔ − 1 
 
f) 2ݔ(ݔ + 2)(ݔ + 1)ଶ 
 
g) h) i) 
Gabarito 
Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 
54 
 
 ݔଷ + ݔଶ − ݔ − 3
ݔ(ݔ + 3) 
 
4ݔଶ − 4ݔ
ݔ − 1 −5ݔହ + ݔସ − 4ݔଷ − 2ݔଶ − 2ݔ − 4(ݔଶ + 1)(ݔ + 1) 
 
j) 6ݔ − 3(ݔ − 2)(ݔ + 1)ଶ 
 
k) 8ݔ − 10
ݔ − 2 l) ݔଷ + 3ݔଶ + 3ݔ + 3ݔଶ + 3ݔ