Aula_18_-_Polinômios_-_Extensivo_2024 (1)

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EXTENSIVO 
VESTIBULARES 
Exasiu 
2024 
Exasi
u 
Aula 18 – Polinômios. 
Prof. Andrew Cazemiro 
vestibulares.estrategia.com 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 1 
SUMÁRIO 
1. POLINÔMIOS 4 
1.1. O que é um “nômio” 4 
1.2. Monômios, binômios, trinômios e polinômios 4 
1.3. Grau de um polinômio 6 
1.4 Valor numérico de um polinômio 7 
2. EQUAÇÃO POLINOMIAL 8 
2.1. Igualdade entre polinômios 8 
2.2. Identidade entre polinômios 9 
2.3. Equações binômias 10 
2.4. Equações trinômias 12 
3. AS QUATRO OPERAÇÕES COM OS POLINÔMIOS 15 
3.1. Adição e Subtração 15 
3.2. Multiplicação 16 
3.3. Divisão 17 
3.4. Divisão numérica 17 
3.5. Divisão tradicional entre polinômios 18 
3.6. Divisão simplificada, sintética ou Briot Ruffini 24 
4. TEOREMAS 27 
4.1. Teorema do resto 27 
4.2. Teorema do Fator 28 
4.3. Teorema de D’Alembert 29 
5. RAÍZES DE UM POLINÔMIO 31 
5.1. Raízes Reais de um polinômio 31 
5.2. Raízes complexas conjugadas 32 
5.3. Teorema da decomposição de um polinômio 33 
5.4. Multiplicidade de raízes de um polinômio 34 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 2 
5.5. Relações de Girard 35 
5.6. Teorema das Raízes Racionais 36 
6.0 QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 39 
7.0 GABARITO 48 
8.0 QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 49 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 74 
VERSÕES DAS AULAS 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 3 
INTRODUÇÃO 
 
Nesta aula, estudaremos mais a fundo os polinômios. 
Digo mais a fundo porque já termos trabalhado com eles há algum tempo, mas não definimos suas 
propriedades específicas. 
Quando estudamos as funções do primeiro e do segundo graus, já estávamos caminhando no 
campo dos polinômios... 
Você verá, a partir de agora, muitos teoremas. Foque mais no entendimento do que cada um versa 
e menos em decorar o nome do teorema, ok? É extremamente improvável que uma banca de vestibular 
peça a você para relacionar o nome de um teorema ao seu teor. Caso você tenha facilidade com a 
nomenclatura, saber os nomes também não fará mal ao aprendizado... 
No mais, é uma aula extensa e cheia de detalhes, então, não se apresse e pratique bastante. 
Dúvidas? 
Já sabe, não as deixe sem solução. Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. Estamos aqui 
para auxiliá-lo. 
Boa aula e vem comigo! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 4 
1. Polinômios 
1.1. O que é um “nômio” 
Um “nômio”, ou termo, contém os seguintes elementos: sinal (±), coeficiente (em geral, um 
número), signo (em geral, uma letra) e potência (um número natural). 
 
Assim, são termos: 
3𝑥2; 2𝑦;−7𝑎5; 𝜋𝑏; 8; √2𝑧; log(5) 𝑥; (5 + 2𝑖)𝑥8… 
Podemos entender que 8 = 8 ⋅ 1 = 8 ⋅ 𝑥0. Assim, 8 pode ser considerado como um termo. 
Por outro lado, não são termos: 
7𝑥−1;
2
𝑎
;−𝑥𝑥; 3𝑥; 𝑥
1
3; √𝑧 … 
Perceba que as potências das expressões anteriores não são números naturais, portanto, apesar 
de ainda serem expressões válidas, não serão considerados “nômios”, ou termos. 
 
1.2. Monômios, binômios, trinômios e polinômios 
Monômios, binômios, trinômios e polinômios são todas funções, mas não são funções quaisquer, 
são especiais, pois apresentam apenas os “nômios”, ou termos, em sua composição. 
Funções que apresentam apenas um termo são chamadas de monômios e são do tipo 
 
 
São exemplos de monômios: 
"nômio" ou termo
sinal
coeficiente
signo
potência
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𝑝(𝑥) = 3𝑥3 
𝑓(𝑥) = −𝑥8 
𝑄(𝑥) = 7 
Funções com dois termos são chamadas de binômios: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑝(𝑦) = 8𝑦2 − 3𝑦 
𝑄(𝑎) = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎2 
𝑅(𝑥) = 𝑥5 − 8𝑥2 
Expressões com três termos são chamadas de trinômios: 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑝(𝑥) = 4𝑥 − 2 
𝑆(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 + 5𝑥3 
𝑇(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1 
Embora nada impeça cunharmos termos como tetranômio, pentanômio e hexanômio, utilizamos 
o termo polinômio (poly do grego = muitos) para funções com quatro ou mais termos: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥² − 5𝑥 + 6 
𝑔(𝑦) = 𝑎𝑦4 + 𝑏𝑦³ + 𝑐𝑦² − 𝑑𝑦 + 𝑖 
ℎ(𝑤) = 𝑤6 − 3𝑤5 − 𝑤2 + 𝑤 − log(3) 
𝑃(𝑥) = 𝑥7 − 8𝑥6 + 𝑥5 − 𝑥4 − (3 + 𝑖)𝑥3 − 2𝑥2 + (5 − 𝑖)𝑥 − (8 − 2𝑖) 
Para maior clareza, é comum escrevermos os polinômios em ordem decrescente das potências da 
variável. 
 
 
 
 
Podemos ter polinômios de mais de uma variável, como 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 6 
 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦² 
Para nossa prova de vestibular, focaremos apenas nos polinômios de uma 
variável, pois os de duas variáveis normalmente são cobrados apenas no nível da 
graduação. 
De forma geral, consideraremos como polinômio uma função escrita da forma 
 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0 
 
1.3. Grau de um polinômio 
O grau de um polinômio é a maior potência da variável de um polinômio. 
 
Polinômio Grau 
2𝑥 + 5 → 2𝑥1 + 5 1 
3 → 3𝑥0 0 
3𝑥3 − 2𝑥² − 5𝑥 + 6 3 
𝑥7 − 8𝑥6 + 𝑥5 − 𝑥4 − (3 + 𝑖)𝑥3 − 2𝑥2 7 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 2 
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎2 2 
𝑎𝑦4 + 𝑏𝑦³ + 𝑐𝑦² − 𝑑𝑦 + 𝑖 4 
 
 
 
 
 
É muito comum os livros e até as provas de vestibular suprimirem a expressão 
𝑓(𝑥) ao dizerem que a expressão dada se trata, na verdade, de um polinômio, de uma 
função. 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 7 
Assim, não fique brigando com a banca. Se ela falou que é um polinômio, é um 
polinômio, independente de ela ter escrito ou não 𝑓(𝑥) = ⋯, de acordo? 
 
 
 
 
1.4 Valor numérico de um polinômio 
Como nas funções polinomiais já estudadas no nosso módulo de funções, um polinômio 𝑝(𝑥) pode 
assumir um valor numérico para um determinado valor de 𝑥. 
Por exemplo, dado o polinômio 𝑇(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1, podemos determinar o valor de 𝑇(5). 
Vejamos: 
𝑇(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1 
𝑇(5) = −52 + 2 ∙ 5 − 1 
𝑇(5) = −25 + 10 − 1 
𝑇(5) = −16 
Lembre-se sempre de obedecer à ordem de resolução das operações envolvidas (PEMDAS). 
Vamos resolver uma questão de prova, para testarmos nossas habilidades! 
 
1. (UECE/2019) 
Considerando o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 1, é correto afirmar que o valor da 
soma 𝑃(−1) + 𝑃 (−
1
3
) é um número localizado entre 
a) 5,0 e 5,5. b) 4,0 e 4,5. c) 4,5 e 5,0. d) 5,5 e 6,0. 
Comentários 
O exercício pede uma substituição direta. Calculemos, então, o valor da expressão 
solicitada. 
𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 1 
𝑃(−1) + 𝑃 (−
1
3
) 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 8 
4(−1)3 + 8(−1)2 + (−1) + 1 + 4 (−
1
3
)
3
+ 8(−
1
3
)
2
+ (−
1
3
) + 1 
−4 + 8 −1 +1 + 4 (−
1
27
) + 8 (+
1
9
) −
1
3
+ 1 
7 −
4
27
+
8
9
−
1
3
+ 1 
4 ⋅ 27 − 4 + 8 ⋅ 3 − 1 ⋅ 9 + 27
27
 
108 − 4 + 24 − 9 + 27
27
 
146
27
 
5,407… 
Gabarito: a) 
 
2. Equação polinomial 
2.1. Igualdade entre polinômios 
Podemos escrever uma igualdade entre dois polinômios, basta que os coloquemos na forma de 
equação: um polinômio no primeiro membro e outro, no segundo. 
Tomemos o exemplo: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 
𝑄(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
A igualdade entre os polinômios 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) é dada por 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) 
𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
A partir desse ponto, podemos resolver a equação como temos feito até agora, sem novidades. 
Lembre-se: uma equação é uma pergunta sobre o valor da incógnita principal. Tomando 𝑥 como a 
incógnita da equação anterior, um desenvolvimento possível é 
𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
𝑎𝑥2 − 3𝑥2 + 𝑏𝑥 − 3𝑥 −5 + 5 = 0 
(𝑎 − 3)𝑥2 + (𝑏 − 3)𝑥 = 0 
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Podemos, nesse ponto, utilizar Bhaskara ou fatoração. Optaremos, dessa vez, pela fatoração. 
(𝑎 − 3)𝑥2 + (𝑏 − 3)𝑥 = 0 
𝑥[(𝑎 − 3)𝑥 + 𝑏 − 3] = 0 
Assim, temos duas opções de resolução. 
𝒙 = 𝟎 (𝒂 − 𝟑)𝒙 + 𝒃 − 𝟑 = 𝟎 
𝒙 = 𝟎 (𝑎 − 3)𝑥 = 3 − 𝑏 
 
𝒙 =
𝟑 − 𝒃
𝒂 − 𝟑
 
 
2.2. Identidade entre polinômios 
Para que dois polinômios sejam idênticos, ou seja, para que haja identidade entre eles, precisamos 
que sejam de mesmo grau e que todos os seus coeficientes, um a um, sejam iguais. 
Vejamos como isso se dá com os mesmos polinômios do exemplo anterior. 
Dados os polinômios 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
Resolvamos a identidade polinomial 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) 
𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 ≡ 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
Além da condição de que os polinômios tenham o mesmo grau (neste caso, ambos são de grau 2), 
seus coeficientes devem ser iguais. Assim, temos que 
𝑎𝑥2 − 4𝑥 + 5 ≡ 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
O que nos leva ao seguinte sistema de equações 
{ 
𝑎 = 3
 
−4 = −𝑏
→ { 
𝑎 = 3
 
𝑏 = 4
 
Perceba que não descobrimos o valor de 𝑥, como na igualdade. 
Na verdade, 𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥), nos permitiu encontrar os valores das constantes 𝑎 e 𝑏. Uma igualdade 
entre os polinômios, agora, perderia o sentido, pois teríamos algo como 
3𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 5 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 10 
 
 
 
 
2.3. Equações binômias 
Uma equação binômia é uma equação do tipo 
 
A técnica para resolvê-la não é diferente do que já vimos, inclusive no que tange aos números 
complexos. 
Façamos um exemplo. 
𝑥3 − 𝑖 = 0 
Somando 𝑖 a ambos os membros da equação. 
𝑥3 − 𝑖 + 𝑖 = 0 + 𝑖 
𝑥3 − 𝑖 + 𝑖 = 𝑖 
𝑥3 = 𝑖 
Extraindo a raiz cúbica dos dois membros da equação. 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 11 
√𝑥3
3
= √𝑖
3
 
𝑥 = √𝑖
3
 
Para calcular a raiz cúbica de um número, utilizaremos, sempre que estivermos no conjunto dos 
complexos, a segunda fórmula de Moivre (aula de números complexos). 
O número 𝑖 está no eixo vertical, sua distância até a origem é de 1 unidade e seu argumento é de 
90°. 
 
A forma polar ou trigonométrica de i, pode ser descrita como: 
𝑖 = |1| ⋅ (cos(90°) + 𝑖 ⋅ sen(90°)) 
Assim, vamos aplicar a fórmula de Moivre para calcularmos as raízes cúbicas de 𝑖. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
3
)) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2. 
• Para 𝑘 = 0. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30°) + 𝑖 ⋅ sen(30°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (
√3
2
+ 𝑖 ⋅
1
2
) 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 12 
√𝑖
3
=
√3
2
+
1
2
⋅ 𝑖 
• Para 𝑘 = 1. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30° + 120°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 120°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (cos(150°) + 𝑖 ⋅ sen(150°)) 
√𝑖
3
= −
√3
2
+ 𝑖 ⋅ (
1
2
) 
√𝑖
3
= −
√3
2
+
1
2
𝑖 
• Para 𝑘 = 2. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30° + 240°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 240°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (cos(270°) + 𝑖 ⋅ sen(270°)) 
√𝑖
3
= 0 + 𝑖 ⋅ (−1) 
√𝑖
3
= −𝑖 
 
Portanto, temos três raízes cúbicas para 𝑖 e, assim, os valores que satisfazem nossa equação, são: 
𝑥 =
√3
2
+
1
2
⋅ 𝑖 , 𝑥 = −
√3
2
+
1
2
𝑖 𝑒 𝑥 = −𝑖. 
 
2.4. Equações trinômias 
Equações trinômias são equações do tipo 
 
Note a semelhança entre uma equação trinômia e uma equação do segundo grau. 
Podemos evidenciar essa semelhança reescrevendo a potência mais alta como 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 13 
 
Para resolvermos uma equação trinômia, usaremos a seguinte sequência. 
 
Vejamos todas essas etapas, resolvendo a seguinte equação. 
𝒙𝟖 + 𝟏𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟏𝟐 = 𝟎 
Perceba que a potência de 𝑥8 é o dobro da potência de 𝑥4, ou seja, temos em mãos uma equação 
trinômia. 
Identificada a equação como trinômia, vamos reescrevê-la na forma de uma equação quadrática. 
(𝒙𝟒)𝟐 + 𝟏𝟔(𝒙𝟒) + 𝟐𝟓𝟔 = 𝟎 
 
Dica: nas equações trinômias, coloque o termo de grau intermediário (nem o 
termo de maior grau, nem o independente) para ser usado na mudança de variável. 
Neste caso, 𝑥4. 
Façamos a mudança de variável 𝑦 = 𝑥4. 
(𝑥4)2 + 16(𝑥4) + 256 = 0 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 14 
(𝑦)2 + 16(𝑦) + 256 = 0 
𝑦2 + 16𝑦 + 256 = 0 
Resolvamos, então, a equação de segundo grau normalmente, usando Bhaskara. 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 162 − 4 ∙ 1 ∙ 256 = 256 − 1024 = −768 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−16 ± √−768
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑦′ =
−16 + √768 ⋅ √−1
2
=
−16 + 16√3 ⋅ 𝑖
2
= −8 + 8√3 ⋅ 𝑖
 
𝑦′′ =
−16 − √768 ⋅ √−1
2
=
−16 − 16√3 ⋅ 𝑖
2
= −8 − 8√3 ⋅ 𝑖
 
 
Essas ainda não são nossas respostas, pois fizemos a mudança de variável 𝑦 = 𝑥4, está lembrado? 
Temos, então, que resolver essas duas equações, desfazendo a mudança de variável, ou seja, 𝑦 =
𝑥4. 
𝑥4 = −8 + 8√3 ⋅ 𝑖 𝑒 𝑥4 = −8 − 8√3 ⋅ 𝑖 
Utilizando a segunda fórmula de Moivre (um bom teste para suas habilidades com números 
complexos, encontrando as raízes), para resolvermos a primeira equação 
𝑥4 = −8 + 8√3 ⋅ 𝑖, 
encontramos as quatro raízes: 
𝑥 = √3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 + √3𝑖 , 𝑥 = −√3 − 𝑖 𝑒 𝑥 = 1 − √3𝑖 
Repetindo o processo para a equação 
𝑥4 = −8 − 8√3 ⋅ 𝑖, 
encontramos as outras quatro raízes: 
Portanto, temos quatro raízes quartas para −8 − 8√3 ⋅ 𝑖: 
𝑥 = 1 + √3 ⋅ 𝑖 , 𝑥 = −√3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 − √3𝑖 𝑒 𝑥 = √3 − 𝑖 
 
Resolvemos, então, a equação 
𝑥8 + 16𝑥4 + 112 = 0 
Cujas oito raízes são: 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 15 
𝑥 = √3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 + √3𝑖 , 𝑥 = −√3 − 𝑖 𝑒 𝑥 = 1 − √3𝑖 
𝑥 = 1 + √3 ⋅ 𝑖 , 𝑥 = −√3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 − √3𝑖 𝑒 𝑥 = √3 − 𝑖 
 
3. As quatro operações com os polinômios 
3.1. Adição e Subtração 
Podemos somar e subtrair polinômios simplesmente relacionando seus termos de mesma ordem 
(potência). 
Vejamos um exemplo. Dados os polinômios: 
𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥² − 5𝑥 + 6 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Façamos a adição: 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) + (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
Como os parênteses não guardam função alguma na equação acima, podemos eliminá-los. 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Precisamos, então, relacionar os termos de mesma potência. 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Perceba que há apenas um termo de grau 3, portanto, ele será conservado, uma vez que ele não 
tem com quem se relacionar. Todos os outros termos têm, assim, temos. 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 11 
 
Com os mesmos polinômios, façamos, agora, a subtração: 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) − (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
Aqui para eliminar nossos parênteses, precisamos distribuir o sinal de negativo na segunda 
parcela. 
 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) − (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 − 𝑥2 + 3𝑥 − 5 
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 16 
E, então, procedemos como no caso da soma, agrupando os termos de mesmo grau. 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 − 𝑥2 + 3𝑥 − 5 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 
3.2. Multiplicação 
Para multiplicarmos dois polinômios, utilizamos a propriedade distributiva, que já tivemos contato 
anteriormente. 
Com os mesmos polinômios 
𝑅(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥³ + 6 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Calculemos o produto:𝑅(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = (2𝑥4 − 5𝑥³ + 6) ⋅ (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
 
Aplicando a distributiva, temos. 
 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = (2𝑥4 − 5𝑥³ + 6) ⋅ (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
 
 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) =
{
 
 
 
 
2𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 2𝑥4 ⋅ (−3𝑥) + 2𝑥4 ⋅ 5
 
−5𝑥³ ⋅ 𝑥2 − 5𝑥³ ⋅ (−3𝑥) − 5𝑥³ ⋅ 5
 
+6 ⋅ 𝑥2 + 6 ⋅ (−3𝑥) + 6 ⋅ 5
 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) =
{
 
 
 
 
2𝑥6 − 6𝑥5 + 10𝑥4
 
−5𝑥5 + 15𝑥4 − 25𝑥³
 
+6𝑥2 + 18𝑥 + 30
 
Nesse ponto, fazemos como na soma ou na subtração, agrupamos os termos de mesma ordem. 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = 2𝑥6 − 6𝑥5 + 10𝑥4 − 5𝑥5 + 15𝑥4 − 25𝑥³ + 6𝑥2 + 18𝑥 + 30 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = 2𝑥6 − 6𝑥5 + 10𝑥4 − 5𝑥5 + 15𝑥4 − 25𝑥³ + 6𝑥2 + 18𝑥 + 30 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = 2𝑥6 − 11𝑥5 + 25𝑥4 − 25𝑥³ + 6𝑥2 + 18𝑥 + 30 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 17 
E temos aqui, nossa resposta. 
 
3.3. Divisão 
Estudaremos dois tipos de algoritmo para a divisão entre polinômios: a divisão tradicional e a 
divisão sintética. 
A divisão tradicional é um pouco mais trabalhosa, mas tem a vantagem de maior poder de fogo, 
resolve problemas de maior complexidade e serve para polinômios de qualquer grau. 
A divisão sintética é mais prática, mas tem a desvantagem da limitação de graus, pois, nela, o 
divisor deve ser de primeiro grau. 
 
3.4. Divisão numérica 
Antes de trabalharmos com a divisão entre polinômios, vamos relembrar o algoritmo da divisão 
numérica. 
Dividamos, por exemplo, 16 por 3. 
Primeiro, montamos nosso algoritmo. 
16 3 
No lugar do quociente, colocamos o menor inteiro possível que, ao multiplicado por 3, não supere 
16. Nesse caso, 5. 
16 3 
 5 
Multiplicamos o quociente (5) pelo divisor (3) e colocamos o resultado (15) logo abaixo do 
dividendo (16). 
16 3 
15 5 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 18 
Como temos que subtrair (15) do dividendo (16), vamos simbolizar essa operação alternando o 
sinal do (15) para (−15). 
16 3 
−15 5 
E, agora, fazemos a subtração. 
16 3 
−15 5 
1 
Assim, dizemos que 16 dividido por 3 dá 5 com resto 1. 
Alternativamente, podemos escrever a igualdade: 
16 = 5 ⋅ 3 + 1 
3.5. Divisão tradicional entre polinômios 
Para fazermos a divisão tradicional entre polinômios, vamos utilizar exatamente a ordem utilizada 
na divisão numérica. 
Acompanhe um exemplo prático. 
Dados os polinômios 
𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥³ + 6 
𝐷(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Façamos a divisão 
𝑃(𝑥)
𝐷(𝑥)
. 
De modo análogo ao que fazemos com os números, montemos nosso algoritmo. 
𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 19 
Que é o mesmo que 
2𝑥4 −5𝑥3 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
O próximo passo não é obrigatório, mas é muito útil para não cometermos erros por desatenção. 
Em polinômios com algum termo faltando, completamos com o coeficiente zero. Isso reduz muito o índice 
de erro, portanto, aconselho veementemente que você execute esse passo por segurança. 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Tudo preparado. 
Agora, dividimos o primeiro termo do dividendo (2𝑥4) pelo primeiro termo do divisor (𝑥2). 
 
 
Para não errar, toda vez que for multiplicar ou dividir termos de um polinômio, faça em três 
partes: 
 
 
Dessa forma, vamos dividir 2𝑥4 por 𝑥2: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 20 
2𝑥4 ÷ 𝑥2 →
{
 
 
 
 
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙: + ÷ += +
 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎: 2 ÷ 1 = 2
 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝑥4 ÷ 𝑥2 = 𝑥2 }
 
 
 
 
→ +2𝑥² 
 
Colocamos, então, esse resultado no lugar do quociente na divisão. 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
 2𝑥² 
Multiplicamos o quociente (2𝑥²) por todo o divisor (𝑥2 − 3𝑥 + 5) e colocamos o resultado 
(2𝑥4 − 6𝑥³ + 10𝑥2) logo abaixo do dividendo (2𝑥4 − 5𝑥³ + 6). 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
2𝑥4 −6𝑥3 +10𝑥2 2𝑥² 
 
Nesse passo, é extremamente importante colocarmos as colunas sempre com 
a mesma ordem, para não corrermos o risco de agruparmos termos de ordens 
diferentes. 
Como fizemos com a parte numérica, precisamos fazer a subtração dessa linha recém escrita. Para 
simbolizar essa subtração, vamos mudar o sinal de todos seus termos. 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥² 
E, finalmente, somamos essas duas linhas. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 21 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥² 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
Nesse momento, é como se tivéssemos um novo dividendo (𝑥3 − 10𝑥2 + 0𝑥 + 6). 
Continuaremos esse processo até que o novo dividendo tenha grau menor que o grau do divisor. 
Como o grau do nosso novo dividendo é 3 e nosso divisor tem grau 2, continuamos no processo 
de divisão. 
Dividimos o termo de maior grau do novo dividendo pelo termo de maior grau do divisor e 
escrevemos no quociente. 
Lembre-se: sinal com sinal, parte numérica com parte numérica e parte literal com parte literal. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
Multiplicamos o resultado (+𝑥) por todo o divisor (𝑥2 − 3𝑥 + 5) e anotamos o resultado dessa 
multiplicação logo abaixo do novo quociente. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 𝑥3 −3𝑥2 +5𝑥 
Para simbolizar a subtração, mudamos o sinal de toda a linha recém escrita. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 22 
 
E somamos as duas linhas. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
Perceba que nosso novo dividendo ainda não tem grau menor que o grau do divisor, portanto, 
continuamos com nosso algoritmo. Dividindo o termo de maior grau do novo dividendo (−7𝑥2) 
pelo termo de maior grau do divisor (𝑥2) e colocando o resultado no quociente. Não me cansarei 
de dizer: sinal com sinal, número com número, letra com letra, ok? 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
Multiplicamos (−7) pelo divisor (𝑥2 − 3𝑥 + 5) e escrevemos o resultado logo abaixo do novo 
dividendo (−7𝑥2 − 5𝑥 + 6). 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 23 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
 −7𝑥2 +21𝑥 −35 
Mudamos o sinal de toda a última linha. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
 +7𝑥2 −21𝑥 +35 
E somamos as duas últimas linhas. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 24 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6+7𝑥2 −21𝑥 +35 
 −26𝑥 +41 
Agora sim, nosso novo dividendo tem grau menor que grau do divisor, então, esse dividendo 
restante passa a ser considerado como o resto da divisão. 
Assim, podemos dizer que a divisão de 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥³ + 6 por 𝐷(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 tem 
quociente 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 7 e resto 𝑅(𝑥) = −26𝑥 + 41. 
Podemos, alternativamente, dizer que: 
2𝑥4 − 5𝑥3 + 6 = (2𝑥2 + 𝑥 − 7) ⋅ (𝑥2 − 3𝑥 + 5) + (−26𝑥 + 41) 
Ou seja, 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥). 
 
3.6. Divisão simplificada, sintética ou Briot Ruffini 
É muito comum, durante os exercícios, precisarmos dividir um polinômio por um binômio do 
primeiro grau. Especificamente para essa condição, temos um algoritmo muito prático: a divisão 
simplificada. 
 
A divisão simplificada só pode ser feita se o divisor for do tipo 
 𝒙 ± 𝒃 
Note que o coeficiente de 𝑥 é 1 e essa é uma condição de uso do dispositivo. 
 
Vejamos em um exemplo prático como aplicar o dispositivo da divisão simplificada, também 
chamada de divisão sintética, ou ainda, de dispositivo prático de Briot Ruffini. 
Dados os polinômios 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 25 
𝑆(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 8𝑥 + 15 
𝑇(𝑥) = 𝑥 − 3 
Efetuemos a divisão 
𝑆(𝑥)
𝑇(𝑥)
. 
Já que 𝑇(𝑥) satisfaz a condição para usarmos a divisão simplificada (𝑥 ± 𝑏) , vamos, então, dividir 
𝑆(𝑥) por 𝑇(𝑥) por esse método. 
Primeiro, o dispositivo em si, onde efetuaremos todo o processo. 
 
 
 
 
No dispositivo, escrevemos o oposto do termo independente do divisor 𝑇(𝑥) = 𝑥 − 3. Como o 
termo independente é −3, escrevemos o oposto, ou seja, 3. 
3 
 
 
 
Em seguida, os coeficientes do dividendo 𝑆(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 8𝑥 + 15. 
3 
 1 −5 7 −8 15 
 
 
E copiamos o primeiro coeficiente de 𝑆(𝑥) para a última linha. 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 
 1 
Agora, estamos prontos para iniciar nossa divisão pelo dispositivo prático. 
 
Processo para a divisão simplificada 
 
 
3 1 −5 7 −8 15 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 26 
↓ 3 
 1 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
 3 
 1 −2 
Repetimos o processo até que não tenhamos mais colunas disponíveis. 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 
 1 −2 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 
 1 −2 1 
Como ainda temos colunas disponíveis, repetimos o processo. 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 
 1 −2 1 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 
 1 −2 1 −5 
 
Ainda temos uma coluna livre à direita, então, vamos repetir o processo mais uma vez, mas, agora, 
com uma diferença: vamos deixar esse último resultado separado dos demais. 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 −15 
 1 −2 1 −5 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 −15 
 1 −2 1 −5 0 
 
+ 
+ 
+ 
x 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 27 
Esse último resultado, separado, é o resto da divisão. Um resto zero, como no caso, indica que 
nossa divisão é exata. 
Cada elemento da última linha representa um termo do quociente da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 1). 
Como nosso 𝑃(𝑥) tem grau 3, nosso quociente começa com um grau a menos, ou seja, grau 2. 
O último elemento da terceira linha representa o resto da divisão. Como já sabíamos que 1 é 
raiz de 𝑃(𝑥), era de se esperar resto 0 na divisão, ou seja, uma divisão exata. 
 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 −2 5 
 1 −2 5 0 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
 1 ⋅ 𝑥² −2 ⋅ 𝑥1 5 ⋅ 𝑥0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 
 
 
Adição e multiplicação de polinômios são operações comutativas, ou seja: 
 𝑃(𝑥) + 𝐷(𝑥) = 𝐷(𝑥) + 𝑃(𝑥) 
 𝑃(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) = 𝐷(𝑥) ⋅ 𝑃(𝑥) 
Subtração e divisão, não são comutativas. 
 𝑃(𝑥) − 𝐷(𝑥) ≠ 𝐷(𝑥) − 𝑃(𝑥) 
𝑃(𝑥)
𝐷(𝑥)
 ≠ 
𝐷(𝑥)
𝑃(𝑥)
 
 
4. Teoremas 
4.1. Teorema do resto 
Podemos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini também para calcularmos o valor de um 𝑝(𝑥) 
qualquer. 
Para o polinômio 𝑝(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 5, calculemos o valor de 𝑝(8) por dois métodos. 
Por substituição: 
𝑝(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 5 
𝑝(8) = −3 ⋅ 82 − 2 ⋅ 8 + 5 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 28 
𝑝(8) = −3 ⋅ 64 − 16 + 5 
𝑝(8) = −192 − 16 + 5 
𝑝(8) = −203 
Por Briot-Ruffini (dividindo o polinômio por 8): 
 
8 
−3 −2 5 
↓ −24 −208 
 −3 −26 −203 
 
Perceba que o resto da divisão por 8, é o próprio 𝑝(8). 
Dessa forma, você tem uma ferramenta a mais para calcular 𝑝(𝑥) para um valor de 𝑥 qualquer. 
 
 
4.2. Teorema do Fator 
Já vimos nesta aula que podemos escrever um polinômio 𝑝(𝑥) como 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
Se considerarmos que 𝐷(𝑥) = (𝑥 − 3) como um fator de 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 11𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 12, 
seria o mesmo que escrever 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ (𝑥 − 3) + 0 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ (𝑥 − 3) 
Ou seja, para que (𝑥 − 3) seja um fator de 𝑃(𝑥), o resto precisa ser zero. 
Para saber o resto da divisão, podemos voltar ao dispositivo prático de Briot-Ruffini, veja. 
3 
2 −11 15 4 −12 
↓ 6 −15 0 12 
 2 −5 0 4 0 
Perceba que, ao fazer a divisão, conseguimos resto zero, ou seja, 𝑅(𝑥) = 0, indicando que (𝑥 − 3) 
é realmente um fator de 2𝑥4 − 11𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 12. 
Você pode estar se perguntando sobre o quociente da divisão, 𝑄(𝑥). Pois bem, o dispositivo nos 
forneceu os coeficientes 2,−5, 0, 4, que são, justamente, os coeficientes de 𝑄(𝑥). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 29 
Logo 𝑄(𝑥) também é um fator de 𝑃(𝑥) 
Lembre-se: no dispositivo de Briot-Ruffini, 
o polinômio 𝑄(𝑥) tem sempre um grau a menos que 𝑃(𝑥). 
𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 11𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 12 
𝑄(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 0𝑥 + 4. 
 
 
 
 
 
𝑸(𝒙) é fator de 𝑷(𝒙)? 
 
 
4.3. Teorema de D’Alembert 
O teorema do resto de D’Alembert é uma consequência do teorema do resto que acabamos de 
ver. Voltemos à equação polinomial da divisão. 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
O Teorema do resto de D’Alembert trata da situação em que 𝑘 é raiz de 𝐷(𝑥), ou seja, quando 
𝐷(𝑘) = 0. 
Desse modo, temos 
𝑃(𝑘) = 𝑄(𝑘) ⋅ 𝐷(𝑘) + 𝑅(𝑘). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 30 
Como 𝐷(𝑘) = 0, 
𝑃(𝑘) = 𝑄(𝑘) ⋅ 0 + 𝑅(𝑘) 
𝑃(𝑘) = 0 + 𝑅(𝑘) 
𝑃(𝑘) = 𝑅(𝑘). 
Caso tenhamos o caso de 𝐷(𝑥) ser um polinômio do primeiro grau, temos que o resto sempre será 
um grau menor que 𝐷(𝑥), ou seja, 𝑅(𝑘) será um número real. 
 
Vejamos uma aplicação direta desse teorema em uma situação de prova. 
 
2. (UPF/2019) 
O resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥 + 2 pelo polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1 é 
a) 2 b) 0 c) 4 d) −1 e) −2 
Comentários 
Se queremos o resto da divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), podemos utilizar o Teorema do Resto. 
Para isso, calculemos, primeiro, a raiz de 𝑞(𝑥). 
𝑞(𝑥) = 0 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
Agora, para calcular o resto de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), sem efetuar a divisão propriamente dita, 
calculemos 𝑝(1). 
𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥 + 2 
𝑝(1) = 1𝑛 + 1 + 2 
𝑝(1) = 1 + 1 + 2 
𝑝(1) = 4 
Gabarito: c) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 31 
5. Raízes de um polinômio 
5.1. Raízes Reais de um polinômio 
Consideramos um valor de 𝑥 como raiz de uma função 𝑓(𝑥), ou um de um polinômio 𝑓(𝑥), quando 
o valor de 𝑥 é tal que 𝑓(𝑥) = 0. 
Para calcular a raiz de um polinômio, podemos utilizar todas as ferramentas que construímos até 
aqui: somas, subtrações, radiciação, exponenciação, logaritmos, Bhaskara, fatoração, para citar somente 
algumas... Acompanhe o exemplo. 
3. (EV) 
O polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 tem 
a) apenas uma raiz real b) duas raízes reais e iguais 
c) duas raízes reais, positivas e distintas d) duas raízes reais, negativas e distintas 
e) duas raízes reais e de sinais opostos 
Comentários 
Calcular as raízes de𝑝(𝑥) é o mesmo que resolver a equação 
𝑝(𝑥) = 0 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
Equação do segundo grau: Bhaskara. Você pode, alternativamente, utilizar fatoração, o 
método de completar quadrados, soma e produto, entre outros. No entanto, a ferramenta de 
Bhaskara é muito útil e razoavelmente prática. 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6 = 25 − 24 = 1 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−5) ± √1
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
5 + 1
2
=
6
2
= 3
 
𝑥′′ =
5 − 1
2
=
4
2
= 2
 
Dessa forma, podemos dizer que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 tem duas raízes reais, 
positivas e distintas. 
Gabarito: c) 
 
Note que, nesse exercício, encontramos duas raízes reais para o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
ao aplicar Bhaskara à equação 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 32 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0. 
 
5.2. Raízes complexas conjugadas 
Note que, na seção anterior, encontramos duas raízes reais para o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
ao aplicar Bhaskara à equação 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0. 
No entanto, nada obriga que, ao resolvermos equações polinomiais, encontremos, sempre, raízes 
reais. Acompanhe o exemplo a seguir. 
4. (Eear/2019) 
A parte real das raízes complexas da equação 𝑥2 − 4𝑥 + 13 = 0 é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
Comentários 
Como no caso anterior, vamos resolver a equação. 
𝑥2 − 4𝑥 + 13 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 13 = 16 − 52 = −36 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−4) ± √−36
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
4 + 6𝑖
2
= 2 + 3𝑖
 
𝑥′′ =
4 − 6𝑖
2
= 2 − 3𝑖
 
Assim, a parte real de ambas as raízes (2 + 3𝑖 ; 2 − 3𝑖 ) é igual a 2. 
Gabarito: b) 
 
 
Você percebeu que as raízes que encontramos são dois números complexos conjugados? 
E o mais interessante: isso acontece sempre! 
Se um polinômio tem uma raiz complexa 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, é certo que o conjugado de 𝑧, simbolizado 
por 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, também é raiz do polinômio. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 33 
Exatamente por isso, o exercício anterior pediu “A parte real das raízes complexas...”, ou seja, uma 
parte real coincidente para ambas as raízes complexas. 
O fato de as raízes complexas sempre estarem presentes aos pares recebe o nome de Teorema da 
Raiz Complexa Conjugada. 
Assim, se 𝑧 é raiz de um polinômio 𝑝(𝑥), 𝑧̅ também é. 
Então, fique atento: raízes complexas sempre andam em par. Caso o polinômio tenha grau ímpar 
e raízes complexas, certamente terá uma raiz real. 
 
5.3. Teorema da decomposição de um polinômio 
Vimos em tópicos anteriores que um polinômio é uma função expressa da forma 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0. 
 Pelo teorema do resto, se 𝑥1 é uma raiz de 𝑃(𝑥), 𝑃(𝑥1) = 0. Além disso, a divisão de 𝑃(𝑥) por 
(𝑥 − 𝑥1) não deixa resto, ou seja, 𝑅(𝑥) = 0. 
Assim, um polinômio de grau 𝑛 pode gerar 𝑛 fatores de primeiro grau, além de um fator constante 
igual a 𝐷𝑛. 
Essa constante 𝐷𝑛, após fatorar 𝑛 vezes o polinômio 𝑃(𝑥), é exatamente nosso coeficiente do 
maior grau do polinômio original. 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0 
𝐷𝑛 = 𝑎𝑛 
Terminemos, então, nossa fatoração: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ (𝑥 − 𝑥1) ⋅ (𝑥 − 𝑥2) ⋅ (𝑥 − 𝑥3)… 
 
Podemos fatorar um polinômio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 em exatamente 𝑛 fatores 
binomiais e um fator constante e igual a 𝑎𝑛. As raízes de cada fator resultante são as 
mesmas raízes de 𝑃(𝑥). 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 34 
5.4. Multiplicidade de raízes de um polinômio 
Ao fatorarmos um polinômio em monômios, é possível que dois ou mais binômios apresentem 
uma mesma raiz. 
Quando isso acontece, dizemos que a raiz repetida apresenta multiplicidade igual ao número de 
polinômios que a apresentam. 
Vejamos um exemplo prático. 
Tomemos o polinômio 
𝑃(𝑥) = 𝑥6 − 4𝑥5 − 2𝑥4 + 16𝑥3 + 5𝑥2 − 20𝑥 − 12 
que, escrito da forma fatorada, fica 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)2 ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 1)3. 
A rigor, temos seis binômios na fatoração, mas escrevemos apenas três, indicando suas repetições 
por meio da potenciação. Sem esse recurso teríamos 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 1) 
Note que o polinômio (𝑥 − 2) aparece duas vezes na fatoração; e (𝑥 + 1), três. 
Assim as raízes desses polinômios, 𝑥 = 2 e 𝑥 = −1, apresentam multiplicidades dois e três, 
respectivamente. 
Fator Raiz Multiplicidade 
(𝑥 + 1)3 −1 3 
(𝑥 − 2)2 2 2 
(𝑥 − 3) 3 1 
Perceba que toda raiz tem sua multiplicidade. Quando a raiz aparece uma vez só, a multiplicidade 
é considerada 1. 
No gráfico, quando uma raiz tem multiplicidade ímpar, o valor do polinômio troca de sinal ao 
passar por ela. Se a multiplicidade da raiz for par, a linha do gráfico apenas “toca” o eixo e retorna sem 
ter seu sinal invertido. 
Veja no gráfico de 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)2 ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 1)3 como isso acontece. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 35 
 
 
Fator Raiz Multiplicidade Cruza o eixo x na raiz? 
(𝑥 + 1)3 −1 3 Sim 
(𝑥 − 2)2 2 2 Não 
(𝑥 − 3) 3 1 Sim 
 
5.5. Relações de Girard 
As Relações de Girard para um polinômio de segundo grau do tipo 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 
São 
{
 
 𝑘1 + 𝑘2 = −
𝑏
𝑎 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 =
𝑐
𝑎
 
Onde 𝑘1 e 𝑘2 são as raízes do polinômio. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 36 
Se nomearmos a soma 𝑆 das raízes como 𝑆 = 𝑘1 + 𝑘2 e o produto 𝑃 como 𝑃 = 𝑘1 ⋅ 𝑘2 e 
reescrevermos o polinômio 𝑃(𝑥), em sua forma estendida, com essa nomenclatura, teremos 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 − 𝑎 ⋅ (𝑘1 + 𝑘2) ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑘1 ⋅ 𝑘2 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 − 𝑎 ⋅ 𝑆 ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑃 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ (𝑥2 − 𝑆 ⋅ 𝑥 + 𝑃), 
que é a forma conhecida como Soma e Produto de um polinômio do segundo grau. 
 
As Relações de Girard, para um polinômio do terceiro grau são: 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑘1)(𝑥 − 𝑘2)(𝑥 − 𝑘3) 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥3 + 𝑏 ⋅ 𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 
↓ 
{
 
 
 
 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = −
𝑏
𝑎 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 + 𝑘1 ⋅ 𝑘3 + 𝑘2 ⋅ 𝑘3 =
𝑐
𝑎 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 ⋅ 𝑘3 = −
𝑑
𝑎
 
A rigor, podemos demonstrar novas relações para qualquer polinômio e o grau 𝑛 do polinômio 
gerará exatamente 𝑛 equações no sistema. 
Assim, um polinômio do segundo grau tem duas equações no sistema; um polinômio do terceiro 
grau, três equações no sistema e assim por diante. 
O curso extensivo possui uma brilhante demonstração dessas relações. Por ora, precisamos 
apenas entender seu uso. Vamos continuar! 
 
5.6. Teorema das Raízes Racionais 
Foquemos, agora, nossa atenção à relação de Girard que traz o produto das raízes de um 
polinômio: 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 ⋅ 𝑘3 = −
𝑑
𝑎
. 
Não é obrigatório que um polinômio apresente raízes deste ou daquele conjunto em específico. 
No entanto, quando essas raízes pertencerem ao conjunto dos Números Racionais, teremos o seguinte 
desdobramento. 
Como o produto das raízes é igual à fração 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 37 
±
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎
, 
algumas das raízes terão, obrigatoriamente, os fatores do termo independente e os fatores do 
coeficiente 𝑎 em suas fatorações. 
Na prática, isso significa que, caso haja raízes racionais em um polinômio, elas serão do tipo: 
𝑘 = ±
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
 
 
O Teorema das Raízes Racionais, que vimos até agora, não garante que o 
polinômio tenha raízes racionais. Todavia, se houver alguma raiz racional, ela terá a 
característica citada, ok? 
Vamos fazer um exercício para aplicar isso? 
 
5. (EV) 
Encontre todas as raízes racionais do polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 6. 
ComentáriosPara encontrar as raízes racionais, vamos aplicar o Teorema das Raízes Racionais que 
acabamos de ver. Nele, as raízes 𝑘 devem ser do tipo 
𝑘 = ±
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
. 
Do polinômio 
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 6 
podemos tirar que 
os divisores do termo independente são 𝐷(6) = {1; 2; 3; 6} 
os divisores do coeficiente 𝑎 são 𝐷(2) = {1; 2} 
Assim, as raízes racionais de 𝑝(𝑥), caso existam, estarão entre as opções: 
𝑘 = ±
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
= ±
𝐷(6)
𝐷(2)
= ±
{1; 2; 3; 6}
{1; 2}
 
Vamos, então, testar essas possibilidades? 
Temos quatro opções no numerador, duas no denominador e duas de sinal, totalizando 16 
opções. Para ficar mais prático, vamos organizá-las em uma tabela. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 38 
Fração a ser testada (𝒌) 𝒑(𝒌) = 𝟐𝒌𝟑 − 𝟔𝒌𝟐 − 𝟐𝒌 + 𝟔 𝒌 é raiz de 𝒑(𝒙)? 
𝑘 =
1
1
= 1 2(1)3 − 6(1)2 − 2(1) + 6 = 0 Sim 
𝑘 = −
1
1
= −1 2(−1)3 − 6(−1)2 − 2(−1) + 6 = 0 Sim 
𝑘 =
1
2
 2 (
1
2
)
3
− 6(
1
2
)
2
− 2(
1
2
) + 6 =
15
4
 Não 
𝑘 = −
1
2
 2 (−
1
2
)
3
− 6(−
1
2
)
2
− 2 (−
1
2
) + 6 =
21
4
 
Não 
𝑘 =
2
1
= 2 2(2)3 − 6(2)2 − 2(2) + 6 = −6 
Não 
𝑘 = −
2
1
= −2 2(−2)3 − 6(−2)2 − 2(−2) + 6 = −30 
Não 
𝑘 =
2
2
= 1 Já calculada 
Não 
𝑘 = −
2
2
= −1 Já calculada 
Não 
𝑘 =
3
1
= 3 2(3)3 − 6(3)2 − 2(3) + 6 = 0 
Sim 
𝑘 = −
3
1
= −3 2(−3)3 − 6(−3)2 − 2(−3) + 6 = −96 
Não 
𝑘 =
3
2
 2 (
3
2
)
3
− 6(
3
2
)
2
− 2(
3
2
) + 6 = −
15
4
 
Não 
𝑘 = −
3
2
 2 (−
3
2
)
3
− 6(−
3
2
)
2
− 2(−
3
2
) + 6 = −
45
4
 
Não 
𝑘 =
6
1
= 6 2(6)3 − 6(6)2 − 2(6) + 6 = 210 
Não 
𝑘 = −
6
1
= −6 2(−6)3 − 6(−6)2 − 2(−6) + 6 = −630 
Não 
𝑘 =
6
2
= 3 Já calculada 
Não 
𝑘 = −
6
2
= −3 Já calculada 
Não 
Dessa forma, conseguimos descobrir todas as três raízes de 𝑝(𝑥): {−1; 1; 3}. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 39 
6.0 QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 
 
1. (ENEM / 2010) 
Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira 
acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade 
inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os 
volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t3 - 100t + 3000 e V2(t) = 150t3 + 69t 
+ 3000. 
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante 
t = 0 e, também, no tempo t igual a 
a) 1,3 h. 
b) 1,69 h. 
c) 10,0 h 
d) 13,0 h. 
e) 16,9 h. 
 
2. (Fuvest/2018) 
Considere o polinômio 
𝑷(𝒙) = 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 ⋅ 𝒙
𝒏−𝟏 +⋯𝒂𝟏 ⋅ 𝒙 + 𝒂𝟎 
em que 𝒂𝟎, ⋯ , 𝒂𝒏−𝟏 𝛜 𝑹. Sabe-se que as suas 𝒏 raízes estão sobre a circunferência unitária e que 
𝒂𝟎 < 𝟎. O produto das 𝒏 raízes de 𝑷(𝒙), para qualquer inteiro 𝒏 ≥ 𝟏, é: 
a) −𝟏 
b) ⅈ𝒏 
c) ⅈ𝒏+𝟏 
d) (−𝟏)𝒏 
e) (−𝟏)𝒏+𝟏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 40 
 
 
3. (Fuvest 2009) 
O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙, em que 𝒂 e 𝒃 são números reais, tem restos 2 e 4 quando 
dividido por 𝒙 − 𝟐 e 𝒙 − 𝟏, respectivamente. Assim, o valor de 𝒂 é: 
a) – 6 
b) – 7 
c) – 8 
d) – 9 
e) – 10 
 
4. (Fuvest/2000) 
Os gráficos de duas funções polinomiais P e Q estão representados na figura ao lado. Então, no 
intervalo [-4, 8] P(x) Q(x) < 0 para: 
 
a) – 2 < x < 4 
b) – 𝟐 < 𝒙 < − 𝟏 ou 𝟓 < 𝒙 < 𝟖 
c) – 𝟒  𝒙 < − 𝟐 ou 𝟐 < 𝒙 < 𝟒 
d) – 𝟒  𝒙 < − 𝟐 ou 𝟓 < 𝒙  𝟖 
e) – 𝟏 < 𝒙 < 𝟓 
 
5. (Fuvest/2000) 
O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝒙³ − 𝒙² − 𝟐𝒙 – 𝟐 é divisível por 𝒙² + 𝒂, para um certo número real 
a. Pode-se, pois afirmar que o polinômio p: 
a) não tem raiz reais. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 41 
b) tem uma raiz real 
c) tem exatamente duas raízes reais distintas 
d) tem exatamente três raízes reais distintas 
e) tem quatro raízes reais distintas 
 
6. (UEA/2018) 
Sabe-se que x’ e x” são as raízes da equação polinomial 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 +𝒎− 𝟓 = 𝟎 
e que (𝒙’ + 𝒙”) + (𝒙’ · 𝒙”) = −
𝟑
𝟐
 . O valor de 𝒎 que satisfaz essa condição é 
(A) 13. 
(B) –3. 
(C) 9. 
(D) 7. 
(E) –5. 
 
7. (UEA/2018) 
Uma das raízes da equação polinomial 𝒙𝟑 + (𝒌 + 𝟏)𝒙𝟐 + (𝒌 + 𝟗)𝒙 + 𝟗 = 𝟎 é 𝒙𝟏 =–𝟏. As outras 
duas raízes são iguais. A soma das três raízes, para 𝒌 > 𝟎, é igual a 
(A) –7. 
(B) 6. 
(C) 5. 
(D) 7. 
(E) –6. 
 
8. (UEA/2015 - Questão 12) 
O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑–𝒎𝒙 + 𝒏 é divisível por (𝒙–𝟑) e por (𝒙 + 𝟒). Nessas condições, a soma 
𝒎 + 𝒏 é igual a 
(A) 27. 
(B) 15. 
(C) 28. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 42 
(D) 25. 
(E) 16. 
 
9. (UEA/2003) 
Qual é o resto da divisão do polinômio 𝒙𝟒 + 𝟏 por 𝒙𝟐 + 𝟏? 
(A) −2x 
(B) −2 
(C) 0 
(D) 2 
(E) 2x 
 
10. (UFPR) Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝒂 e analise as seguintes afirmativas: 
1) 𝒊 = √−𝟏 é uma raiz desse polinômio. 
2) Qualquer que seja o valor de 𝒂, 𝒑(𝒙) é divisível por 𝒙 − 𝒂. 
3) Para que 𝒑(−𝟐) = −𝟏𝟎, o valor de 𝒂 deve ser 𝟎. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
 
 
11. (UFPR) Considere as seguintes afirmativas a respeito do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄: 
I. Quando 𝒄 = 𝟎, o valor 𝒙 = 𝟎 é raiz do polinômio. 
II. Se 𝒙 = 𝜶 e 𝒙 = −𝜶 são raízes do polinômio e 𝜶 ≠ 𝟎, então 𝒃 = 𝟎. 
III. Se o número complexo 𝒙 = 𝟏 − 𝒊 é raiz do polinômio, então 𝒃 + 𝒊𝒄 = 𝟎. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 43 
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
12. (UFPR) Sabendo-se que i, 3 e (
𝟏
𝟐
+ 𝒊
√𝟑
𝟐
)
𝟏𝟒
são raízes de p(x) = 𝒙𝟔 − 𝟔𝒙𝟓 + 𝟕𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 +
𝟏𝟐, onde i é a unidade imaginária e a é número real, é correto afirmar: 
( ) 1 também é raiz de p(x). 
( ) 4 também é raiz de p(x). 
( ) O produto das raízes de p(x) é 14. 
( ) p(x) é divisível por x2 + x + 1. 
 
13. (UFU/2018) 
O polinômio 𝒑(𝒙), na variável real 𝒙, é obtido por meio da multiplicação sucessiva de termos de 
tipo (𝒙– 𝒊)𝒊 para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌 . Desse modo, 𝒑(𝒙) = (𝒙 – 𝟏)(𝒙 – 𝟐)²… (𝒙 – 𝒌)𝒌, sendo 𝒌 um 
número natural constante. 
Se o grau de 𝒑(𝒙) é igual a 𝟐𝟏𝟎, logo 𝒌 é um número 
a) primo. 
b) divisível por 5. 
c) múltiplo de 7. 
d) ímpar. 
 
14. (UFU/2015) 
O polinômio de variável real 𝒚 = 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 − 𝒂 ⋅ 𝒙 + 𝒂𝒓𝟐 é representado graficamente 
conforme ilustra a figura a seguir, em que −𝒓, 𝒓 e 𝒂 são constantes reais e encontram-se, nessa 
ordem, em progressão aritmética (P.A.). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 44 
 
Nessas condições, o valor de 𝒂 é um número 
a) primo. 
b) ímpar. 
c) múltiplo de 5. 
d) divisível por 7. 
 
15. (UFU/2018) 
Sabendo-se que os números reais não nulos, 𝒂 e −𝐚, são soluções da equação 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 +
𝟏 = 𝟎, então, pode-se afirmar que: 
a) 𝒑 ≥ 𝟏 
b) 𝟎 ≤ 𝒑 < 𝟏 
c)−𝟏 ≤ 𝒑 < 𝟎 
d) 𝒑 < −𝟏 
 
16. (UNESP/2018.2) 
Sendo x um número real maior que 
𝟐
𝟑
, a área de um retângulo é dada pelo polinômio 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 −
𝟏𝟒. Se a base desse retângulo é dada pelo polinômio 𝒙 + 𝟕, o quadrado da diagonal do retângulo 
é expresso pelo polinômio 
a) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 + 𝟐𝟗. 
b) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟑. 
c) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟓. 
d) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
e) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
 
17. (UNESP/2015) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 45 
Sabe-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 da equação 𝒙𝟓 − 𝟑 ⋅ 𝒙𝟒 + 𝟒 ⋅ 𝒙𝟑 − 𝟒 ⋅ 𝒙𝟐 + 𝟑 ⋅ 𝒙 − 𝟏 =
𝟎. As outras raízes dessa equação, no Conjunto Numérico dos Complexos, são 
(– 1 – i) e (1 + i). 
a) (1 – i)² . 
b) (– i) e (+ i). 
c) (– 1) e (+ 1). 
d) (1 – i) e (1 + i). 
 
18. (UNESP/2006) 
Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅, onde 𝒃, 𝒄 e 𝒅 são constantes reais. A derivada 
de 𝒑(𝒙) é, por definição, o polinômio 𝒑′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄. Se 𝒑′(𝟏) = 𝟎, 𝒑′(−𝟏) = 𝟒 e o resto 
da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é 𝟐, então o polinômio 𝒑(𝒙) é: 
a) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 
b) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 
c) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟑 
d) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 
e) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 
 
19. (UNESP/2006.2) 
Se 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são números reais tais que 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃. (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝒄. (𝒙 + 𝟐)𝟐 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 
Para todo 𝒙 real, então o valor de 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 é: 
a) – 5 
b) – 1 
c) 1 
d) 3 
e) 7 
 
20. (UNESP/2006.2) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 46 
Se 𝒙𝟎 = −𝟐 é um zero de 𝒑(𝒙) = 𝒙
𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 − 𝟏, sendo 𝒌 uma constante, então 𝒑(𝒙) é divisível 
por: 
a) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏 
b) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏 
c) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 
d) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 
e) 𝒙𝟐 + 𝟏 
 
21. (UNESP/2003) 
Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-
se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada 
conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa. 
 
O polinômio na variável 𝒙, que representa o volume, em cm³, desta caixa é 
a) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
b) 𝟒𝒙² – 𝟔𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎. 
c) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎. 
d) 𝒙³ – 𝟑𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
e) 𝒙³ – 𝟏𝟓𝒙² + 𝟓𝟎𝒙. 
 
22. (UNICAMP/2018) 
Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), obtêm-se quociente 
e resto iguais a 𝒙𝟐 + 𝟏. Nessas condições, é correto afirmar que 
a) o grau de 𝑝(𝑥) é menor que 5. 
b) o grau de 𝑞(𝑥) é menor que 3. 
c) 𝑝(𝑥) tem raízes complexas. 
d) 𝑞(𝑥) tem raízes reais. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 47 
 
23. (UNICAMP/2015) 
Considere o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 − 𝒂, onde 𝒂 é um número real. Se 𝒙 = 𝟏 é a única raiz 
real de 𝒑(𝒙), então podemos afirmar que 
a) 𝑎 < 0. 
b) 𝑎 < 1. 
c) 𝑎 > 0. 
d) 𝑎 > 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 48 
7.0 GABARITO 
 
 
1 A 11 A 21 A 
2 E 12 FVFV 22 C 
3 A 13 B 23 C 
4 C 14 B 
5 C 15 D 
6 D 16 E 
7 A 17 C 
8 D 18 B 
9 D 19 E 
10 E 20 A 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 49 
8.0 QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 
 
 
1. (ENEM / 2010) 
Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira 
acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade 
inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os 
volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t3 - 100t + 3000 e V2(t) = 150t3 + 69t 
+ 3000. 
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante 
t = 0 e, também, no tempo t igual a 
a) 1,3 h. 
b) 1,69 h. 
c) 10,0 h 
d) 13,0 h. 
e) 16,9 h. 
Comentários: 
Como os volumes dos reservatórios devem ser iguais, temos a seguinte igualdade polinomial: 
𝑉1 = 𝑉2 
250𝑡3 − 100𝑡 + 3000 = 150𝑡3 + 69𝑡 + 3000 
250𝑡3 − 100𝑡 = 150𝑡3 + 69𝑡 
100𝑡3 = 169𝑡 
100𝑡2 = 169 
𝑡2 = 1,69 
𝑡 = 1,3 ℎ 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 50 
Gabarito: A 
 
2. (Fuvest/2018) 
Considere o polinômio 
𝑷(𝒙) = 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 ⋅ 𝒙
𝒏−𝟏 +⋯𝒂𝟏 ⋅ 𝒙 + 𝒂𝟎 
em que 𝒂𝟎, ⋯ , 𝒂𝒏−𝟏 𝛜 𝑹. Sabe-se que as suas 𝒏 raízes estão sobre a circunferência unitária e que 
𝒂𝟎 < 𝟎. O produto das 𝒏 raízes de 𝑷(𝒙), para qualquer inteiro 𝒏 ≥ 𝟏, é: 
a) −𝟏 
b) ⅈ𝒏 
c) ⅈ𝒏+𝟏 
d) (−𝟏)𝒏 
e) (−𝟏)𝒏+𝟏 
Comentários 
Sabendo que a circunferência unitária tem centro na origem, então as n raízes complexas de 
p(x) têm módulo igual a 1. 
Vamos nomear as 𝑛 raízes por 𝑧1, 𝑧2,⋯, 𝑧𝑛. Assim, pelas relações de Girard, seu produto será 
dado por: 
𝒓𝟏 ⋅ 𝒓𝟐 ⋅ 𝒓𝟑 ⋅ … ⋅ 𝒓𝒏 = (−𝟏)
𝒏 ⋅
𝒂𝒏
𝒂𝟎
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 ⋅ … ⋅ 𝑧𝑛 = (−1)
𝑛 ⋅ 𝑎0 
 
Podemos aplicar módulo a ambos os membros: 
 
|𝑧1 ⋅ 𝑧2 ⋅. . .⋅ 𝑧𝑛| = |(−1)
𝑛 ⋅ 𝑎0| 
 
Como o módulo do produto é igual ao produto dos módulos, então: 
 
|𝑧1| ⋅ |𝑧2| ⋅ … ⋅ |𝑧𝑛| = |(−1)
𝑛| ⋅ |𝑎0| 
Assim, 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 51 
1 ⋅ 1 ⋅ … ⋅ 1 = 1 ⋅ |𝑎0| 
 
|𝑎0| = 1 
 
Dessa forma 𝑎0 = 1 ou 𝑎0 = −1. Mas pela condição de existência (𝑎0 < 0), temos que a única 
solução conveniente é 𝑎0 = −1. 
Assim teremos o produto sendo igual a 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 ⋅ … ⋅ 𝑧𝑛 = (−1)
𝑛 ⋅ (−1) 
Ou 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 ⋅ … ⋅ 𝑧𝑛 = (−1)
𝑛+1 
Gabarito: e) 
 
3. (Fuvest 2009) 
O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙, em que 𝒂 e 𝒃 são números reais, tem restos 2 e 4 quando 
dividido por 𝒙 − 𝟐 e 𝒙 − 𝟏, respectivamente. Assim, o valor de 𝒂 é: 
a) – 6 
b) – 7 
c) – 8 
d) – 9 
e) – 10 
Comentários 
Pelo Teorema do Resto, temos que: 
𝑃(2) = 2 
23 + 𝑎. 22 + 𝑏. 2 = 2 
8 + 4𝑎 + 2𝑏 = 2 
4𝑎 + 2𝑏 = −6 
2𝑎 + 𝑏 = −3 
𝑏 = −3 − 2𝑎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 52 
 
𝑃(1) = 4 
13 + 𝑎. 12 + 𝑏. 1 = 4 
1 + 𝑎 + 𝑏 = 4 
𝑎 + 𝑏 = 3 
Substituindo essa igualdade na outra equação: 
𝑎 + 𝑏 = 3 
𝑎 − 3 − 2𝑎 = 3 
−𝑎 = 6 
𝑎 = −6 
Gabarito: a) 
 
4. (Fuvest/2000) 
Os gráficos de duas funções polinomiais P e Q estão representados na figura ao lado. Então, no 
intervalo [-4, 8] P(x) Q(x) < 0 para: 
 
a) – 2 < x < 4 
b) – 𝟐 < 𝒙 < − 𝟏 ou 𝟓 < 𝒙 < 𝟖 
c) – 𝟒  𝒙 < − 𝟐 ou 𝟐 < 𝒙 < 𝟒 
d) – 𝟒  𝒙 < − 𝟐 ou 𝟓 < 𝒙  𝟖 
e) – 𝟏 < 𝒙 < 𝟓 
Comentários 
Precisamos fazer o estudo do sinal para o intervalo pedido. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 53 
 
No referido intervalo, encontramos 3 raízes, destacadas em vermelho. Colocando-as em ordem 
e utilizando cada linha horizontal para um dos polinômios, teremos os seguintes sinais: 
 
Note que, para o produto, apenas multiplicamos os sinais de cada intervalo. 
Como o que nos interessa é o produto negativo, então: 
−4 < 𝑥 < −2 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 4 
Gabarito: C 
 
5. (Fuvest/2000) 
O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝒙³ − 𝒙² − 𝟐𝒙 – 𝟐 é divisível por 𝒙² + 𝒂, para um certo número real 
a. Pode-se, pois afirmar que o polinômio p: 
a) não tem raiz reais. 
b) tem uma raiz real 
c) tem exatamente duas raízes reais distintas 
d) tem exatamente três raízes reais distintas 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 54 
e) tem quatro raízes reais distintas 
Comentários 
Ao efetuarmos a divisão entre os polinômios dados, encontramos o seguinte resultado: 
𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙− 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂 
(−𝒂 − 𝟐)𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒂 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝒂 − 𝟏 
Note que o quociente da divisão nos trará raízes, quando igualado a zero. 
Assim: 
(−𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎2 + 𝑎 − 2 = 0 
Igualando a um polinômio nulo, temos: 
(−𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎2 + 𝑎 − 2 = 𝑂𝑥 + 0 
Podemos igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau: 
−𝑎 − 2 = 0 
𝑎 = −2 
E 
𝑎2 + 𝑎 − 2 = 0 
𝛥 = 9 
𝑎 =
−1 ± 3
2
 
𝑎′ = 1 
𝑎′′ = −2 
Como a divisão é exata, então o resto será igual a zero: 
𝑥2 + 𝑥 − 𝑎 − 1 = 0 
Se 𝑎 = 1, então: 
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 
𝑥′ = 1 
𝑥′′ = −2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 55 
Duas raízes reais. 
Se 𝑎 = −2, então: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
𝛥 = −3(∅)
 
Nenhuma raiz real. 
Logo, o polinômio terá exatamente duas raízes reais distintas. 
Gabarito: C 
 
6. (UEA/2018) 
Sabe-se que x’ e x” são as raízes da equação polinomial 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 +𝒎− 𝟓 = 𝟎 
e que (𝒙’ + 𝒙”) + (𝒙’ · 𝒙”) = −
𝟑
𝟐
 . O valor de 𝒎 que satisfaz essa condição é 
(A) 13. 
(B) –3. 
(C) 9. 
(D) 7. 
(E) –5. 
Comentários 
Podemos perceber que as expressões de soma e produto das raízes são as relações de Girard 
para uma equação do 2º grau. 
Assim, podemos substituir essas expressões pelas suas respectivas fórmulas: 
(𝑥’ + 𝑥”) + (𝑥’ · 𝑥”) = −
3
2
 
−
𝑏
𝑎
+
𝑐
𝑎
= −
3
2
 
Substituindo os valores dos coeficientes a, b e c: 
−
5
2
+
𝑚 − 5
2
= −
3
2
 
−5 +𝑚 − 5 = −3 
𝑚 = 7 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 56 
Gabarito: d) 
 
7. (UEA/2018) 
Uma das raízes da equação polinomial 𝒙𝟑 + (𝒌 + 𝟏)𝒙𝟐 + (𝒌 + 𝟗)𝒙 + 𝟗 = 𝟎 é 𝒙𝟏 =–𝟏. As outras 
duas raízes são iguais. A soma das três raízes, para 𝒌 > 𝟎, é igual a 
(A) –7. 
(B) 6. 
(C) 5. 
(D) 7. 
(E) –6. 
Comentários 
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para a raiz 𝑥1 =–1, teremos: 
−𝟏 𝟏 𝑲+ 𝟏 𝑲+ 𝟗 𝟗 
 1 𝑘 9 0 
Assim, o quociente será o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 𝑘𝑥 + 9, cujas raízes iguais serão dadas por: 
 
𝑥2 + 𝑘𝑥 + 9 = 0 
𝛥 = 0 
(𝑘)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0 
𝑘2 = 36 
𝑘 = ±6 
Assim 
𝑥2 + 6x + 9 = 0 
Cujas raízes serão 
𝑥2 + 𝑥3 = −6 
𝑥2 = 𝑥3 = −3 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 57 
Dessa forma, a soma das raízes será dada por 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −3 − 3 − 1 = −7 
Gabarito: a) 
 
8. (UEA/2015 - Questão 12) 
O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑–𝒎𝒙 + 𝒏 é divisível por (𝒙–𝟑) e por (𝒙 + 𝟒). Nessas condições, a soma 
𝒎 + 𝒏 é igual a 
(A) 27. 
(B) 15. 
(C) 28. 
(D) 25. 
(E) 16. 
Comentários 
Pelo teorema de D’Alembert, se o polinômio p(x) é divisível pelo binômio (𝑥– 3), então 𝑝(3) =
0 (basta trocarmos o sinal do termo independente de variável do binômio). 
𝑃(3) = 0 
𝑝(𝑥) = 𝑥3–𝑚𝑥 + 𝑛 
33–𝑚. 3 + 𝑛 = 0 
27– 3𝑚 + 𝑛 = 0 (𝑖) 
Da mesma forma, 𝑝(−4) = 0 
 
𝑃(−4) = 0 
𝑝(𝑥) = 𝑥3–𝑚𝑥 + 𝑛 
(−4)3–𝑚. (−4) + 𝑛 = 0 
−64 + 4𝑚 + 𝑛 = 0 (ii) 
 
Assim, temos um sistema 2x2, cuja solução será dada por: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 58 
{
−3𝑚 + 𝑛 = −27
4𝑚 + 𝑛 = 64
 
7𝑚 = 91 
𝑚 = 13 
 
4(13) + 𝑛 = 64 
52 + 𝑛 = 64 
𝑛 = 12 
Dessa forma, a soma 𝑚 + 𝑛 é igual a 
𝑚+ 𝑛 = 13 + 12 = 25 
Gabarito: d) 
 
9. (UEA/2003) 
Qual é o resto da divisão do polinômio 𝒙𝟒 + 𝟏 por 𝒙𝟐 + 𝟏? 
(A) −2x 
(B) −2 
(C) 0 
(D) 2 
(E) 2x 
Comentários 
Resolvendo a divisão pelo método tradicional, temos: 
 
Dessa forma, o resto da divisão é igual a 2. 
Gabarito: D) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 59 
 
10. (UFPR) Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝒂 e analise as seguintes afirmativas: 
4) 𝒊 = √−𝟏 é uma raiz desse polinômio. 
5) Qualquer que seja o valor de 𝒂, 𝒑(𝒙) é divisível por 𝒙 − 𝒂. 
6) Para que 𝒑(−𝟐) = −𝟏𝟎, o valor de 𝒂 deve ser 𝟎. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
Comentários: 
Pelo Teorema do Resto, sabemos que, se 𝒊 é raiz do polinômio, então 𝒑(𝒊) = 𝟎. Logo: 
𝒑(𝒊) = 𝒊𝟑 − 𝒂. 𝒊𝟐 + 𝒊 − 𝒂 = −𝒊 − 𝒂. (−𝟏) + 𝒊 − 𝒂 = −𝒊 + 𝒂 + 𝒊 − 𝒂 = 𝟎 
Portanto, a afirmativa 1 é verdadeira. 
Pelo Teorema do Resto, sabemos que, se 𝒑(𝒙) é divisível por 𝒙 − 𝒂, então 𝒑(𝒂) = 𝟎. Logo: 
𝒑(𝒂) = 𝒂𝟑 − 𝒂. 𝒂𝟐 + 𝒂 − 𝒂 = 𝒂𝟑 − 𝒂𝟑 + 𝒂 − 𝒂 = 𝟎 
Portanto, a afirmativa 2 é verdadeira. 
Se 𝒑(−𝟐) = −𝟏𝟎, temos: 
(−𝟐)𝟑 − 𝒂. (−𝟐)𝟐 + (−𝟐) − 𝒂 = −𝟏𝟎 
−𝟖− 𝒂. 𝟒 − 𝟐 − 𝒂 = −𝟏𝟎 
−𝟒𝒂 − 𝒂 − 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 
−𝟓𝒂 = 𝟎 
𝒂 = 𝟎 
Portanto, a afirmativa 3 é verdadeira. 
Comentários: E 
 
11. (UFPR) Considere as seguintes afirmativas a respeito do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 60 
IV. Quando 𝒄 = 𝟎, o valor 𝒙 = 𝟎 é raiz do polinômio. 
V. Se 𝒙 = 𝜶 e 𝒙 = −𝜶 são raízes do polinômio e 𝜶 ≠ 𝟎, então 𝒃 = 𝟎. 
VI. Se o número complexo 𝒙 = 𝟏 − 𝒊 é raiz do polinômio, então 𝒃 + 𝒊𝒄 = 𝟎. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
Comentários: 
Quando 𝒄 = 𝟎, temos: 
𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝒙(𝒙 + 𝒃) 
Nesse caso, as duas raízes do polinômio são 𝟎 e –𝒃. Portanto, a afirmativa I é verdadeira. 
Pelas Relações de Girard, temos que 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
. Se 𝜶 e –𝜶 são as duas raízes, então: 
𝜶 + (−𝜶) = −
𝒃
𝒂
 
𝒃
𝒂
= 𝟎 ⟶ 𝒃 = 𝟎 
Portanto, a afirmativa II é verdadeira. 
Se 𝟏 − 𝒊 é raiz do polinômio, então: 
𝑷(𝟏 − 𝒊) = 𝟎 
(𝟏 − 𝒊)𝟐 + 𝒃. (𝟏 − 𝒊) + 𝒄 = 𝟎 
𝟏 − 𝟐𝒊 + 𝒊𝟐 + 𝒃 − 𝒃𝒊 + 𝒄 = 𝟎 
𝟏 − 𝟐𝒊 − 𝟏 + 𝒃 − 𝒃𝒊 + 𝒄 = 𝟎 
𝒃 + 𝒄 − (𝒃 + 𝟐)𝒊 = 𝟎 
Portanto, a afirmativa III é falsa. 
Comentários: A 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 61 
12. (UFPR) Sabendo-se que i, 3 e (
𝟏
𝟐
+ 𝒊
√𝟑
𝟐
)
𝟏𝟒
são raízes de p(x) = 𝒙𝟔 − 𝟔𝒙𝟓 + 𝟕𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 +
𝟏𝟐, onde i é a unidade imaginária e a é número real, é correto afirmar: 
( F ) 1 também é raiz de p(x). 
Comentários: 
Se 3 é raiz de 𝒑(𝒙), então 𝒑(𝟑) = 𝟎. 
𝒑(𝟑) = 𝟑𝟔 − 𝟔. 𝟑𝟓 + 𝟕. 𝟑𝟒 − 𝟑𝟑 + 𝟏𝟖. 𝟑𝟐 + 𝒂. 𝟑 + 𝟏𝟐 
𝒑(𝟑) = 𝟕𝟐𝟗 − 𝟏𝟒𝟓𝟖 + 𝟓𝟔𝟕 − 𝟐𝟕 + 𝟏𝟔𝟐 + 𝟑𝒂 + 𝟏𝟐 
−𝟏𝟓 + 𝟑𝒂 = 𝟎 
𝟑𝒂 = 𝟏𝟓 ⟶ 𝒂 = 𝟓 
Se 1 é raiz de 𝒑(𝒙), então 𝒑(𝟏) = 𝟎. 
𝒑(𝟏) = 𝟏𝟔 − 𝟔. 𝟏𝟓 + 𝟕. 𝟏𝟒 − 𝟏𝟑 + 𝟏𝟖. 𝟏𝟐 + 𝟓. 𝟏 + 𝟏𝟐 
𝟏 − 𝟔 + 𝟕 − 𝟏 + 𝟏𝟖 + 𝟓 + 𝟏𝟐 = 𝟑𝟔 
Logo, 1 não é raiz de 𝒑(𝒙). 
 
( V ) 4 também é raiz de p(x). 
Comentários: 
Se 4 é raiz de 𝒑(𝒙), então 𝒑(𝟒) = 𝟎. 
𝒑(𝟒) = 𝟒𝟔 − 𝟔. 𝟒𝟓 + 𝟕. 𝟒𝟒 − 𝟒𝟑 + 𝟏𝟖. 𝟒𝟐 + 𝟓. 𝟒 + 𝟏𝟐 
𝟒𝟎𝟗𝟔 − 𝟔𝟏𝟒𝟒 + 𝟏𝟕𝟗𝟐 − 𝟔𝟒 + 𝟐𝟖𝟖 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟐 = 𝟎 
Logo, 4 é raiz de 𝒑(𝒙). 
 
( F ) O produto das raízes de p(x) é 14. 
Comentários: 
Pelas Relações de Girard, temos que o produto das raízes de 𝒑(𝒙) é dado por 
𝟏𝟐
𝟏
= 𝟏𝟐. 
 
( V ) p(x) é divisível por x2 + x + 1. 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 62 
Sabemos que 𝒊, −𝒊, 𝟑 e 𝟒 são raízes de 𝒑(𝒙). Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: 
4 1 -6 7 -1 18 5 12 
 1 -2 -1 -5 -2 -3 0 
Resultando em 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 
3 1 -2 -1 -5 -2 -3 
 1 1 2 1 1 0 
Resultando em 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
i 1 1 2 1 1 
 1 1+i 1+i i 0 
Resultando em 𝒙𝟑 + (𝟏 + 𝒊)𝒙𝟐 + (𝟏 + 𝒊)𝒙 + 𝒊 = 𝟎 
-
i51 1+i 1+i I 
 1 1 1 0 
Resultando em 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎, provando que 𝒑(𝒙) é divisível por esse polinômio. 
Gabarito: F-V-F-V 
 
13. (UFU/2018) 
O polinômio 𝒑(𝒙), na variável real 𝒙, é obtido por meio da multiplicação sucessiva de termos de 
tipo (𝒙– 𝒊)𝒊 para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌 . Desse modo, 𝒑(𝒙) = (𝒙 – 𝟏)(𝒙 – 𝟐)²… (𝒙 – 𝒌)𝒌, sendo 𝒌 um 
número natural constante. 
Se o grau de 𝒑(𝒙) é igual a 𝟐𝟏𝟎, logo 𝒌 é um número 
a) primo. 
b) divisível por 5. 
c) múltiplo de 7. 
d) ímpar. 
Comentários 
O grau de um polinômio pode ser dado somando os graus dos seus fatores, logo teremos: 
1 + 2 + 3…+ 𝑘 = 210 
Repare que no primeiro membro, temos a soma dos termos de uma PA de razão 1. Assim, 
podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA de razão 1, primeiro termo 1, último 
termo 𝑘 e número de termos também igual a 𝑘: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 63 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
⋅ 𝑛 
210 =
(1 + 𝑘)
2
⋅ 𝑘 
420 = (1 + 𝑘) ⋅ 𝑘 
Dos números consecutivos, cujo resultado do produto é 420 (20 e 21): 
𝑘 = 20 
Assim, temos 𝑘 = 20, um número divisível por 5. 
Gabarito: b) 
 
14. (UFU/2015) 
O polinômio de variável real 𝒚 = 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 − 𝒂 ⋅ 𝒙 + 𝒂𝒓𝟐 é representado graficamente 
conforme ilustra a figura a seguir, em que −𝒓, 𝒓 e 𝒂 são constantes reais e encontram-se, nessa 
ordem, em progressão aritmética (P.A.). 
 
Nessas condições, o valor de 𝒂 é um número 
a) primo. 
b) ímpar. 
c) múltiplo de 5. 
d) divisível por 7. 
Comentários 
Pela análise gráfica, percebemos que – 𝑟, 𝑟 e 𝑎 são as raízes do polinômio 𝑝(𝑥). Pela 2ª Relação 
de Girard (soma das raízes duas a duas), temos que: 
(−𝑟). 𝑟 + (−𝑟). 𝑎 + 𝑟. 𝑎 =
−9
1
 
−𝑟2 − 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 = −9 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 64 
𝑟2 = 9 
𝑟 = 3 
Sabe-se que (−𝑟, 𝑟, 𝑎) formam, nessa ordem, uma PA. Temos então, que a sequência pode ser 
dada por (−3, 3, 𝑎). 
Nessa PA, a razão é 6. Logo, o terceiro termo, 𝑎, é igual a 3 + 6 = 9. 
Gabarito: b) 
 
15. (UFU/2018) 
Sabendo-se que os números reais não nulos, 𝒂 e −𝐚, são soluções da equação 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 +
𝟏 = 𝟎, então, pode-se afirmar que: 
a) 𝒑 ≥ 𝟏 
b) 𝟎 ≤ 𝒑 < 𝟏 
c) −𝟏 ≤ 𝒑 < 𝟎 
d) 𝒑 < −𝟏 
Comentários 
Tendo duas raízes dessa equação polinomial, podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-
Ruffini. 
 
Após a divisão o quociente é a equação 3𝑥2 + (3𝑎 − 2)𝑥 + 3𝑎2 − 2𝑎 + 𝑝 = 0. 
Utilizando novamente o dispositivo prático de Briot-Ruffini, desta vez dividindo pela raiz – 𝑎, 
temos: 
 
Após a divisão o quociente é a equação 3𝑥 − 2 = 0. 
3𝑥 − 2 = 0 
3𝑥 = 2 
𝑥 =
2
3
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 65 
Portanto, 
2
3
 também é raiz dessa equação. Realizando a substituição, temos: 
3. (
2
3
)
3
− 2. (
2
3
)
2
+ 𝑝.
2
3
+ 1 = 0 
3.
8
27
− 2.
4
9
+
2𝑝
3
+ 1 = 0 
8
9
−
8
9
+
2𝑝
3
+ 1 = 0 
2𝑝
3
+ 1 = 0 
2𝑝
3
= −1 
2𝑝 = −3 
𝑝 = −1,5 
Logo, 𝑝 < −1. 
Gabarito: d) 
 
16. (UNESP/2018.2) 
Sendo x um número real maior que 
𝟐
𝟑
, a área de um retângulo é dada pelo polinômio 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 −
𝟏𝟒. Se a base desse retângulo é dada pelo polinômio 𝒙 + 𝟕, o quadrado da diagonal do retângulo 
é expresso pelo polinômio 
a) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 + 𝟐𝟗. 
b) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟑. 
c) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟓. 
d) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
e) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
Comentários 
O enunciado nos disse que a área do retângulo de base 𝑥 + 7 é dada por 𝐴(𝑥) = 3𝑥² + 19𝑥 −
14. Se temos a área e a base do retângulo, podemos descobrir o outro lado pela própria 
fórmula da área, veja. 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
3𝑥² + 19𝑥 − 14 = (𝑥 + 7) ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 66 
Dividindo ambos os membros da equação por 𝑥 + 7. 
3𝑥² + 19𝑥 − 14
𝑥 + 7
=
 (𝑥 + 7) ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
 𝑥 + 7 
 
3𝑥² + 19𝑥 − 14
𝑥 + 7
= 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
Vamos, então, fazer a divisão polinomial entre 3𝑥² + 19𝑥 − 14 e 𝑥 + 7. 
 3𝑥² +19𝑥 −14 𝑥 + 7 
 −3𝑥² −21𝑥 3𝑥 −2 
 −2𝑥 −14 
 +2𝑥 +14 
 0 
Portanto, podemos dizer que o polinômio que representa a área pode ser reescrito como: 
𝐴(𝑥) = 3𝑥2 + 19𝑥 − 14 = (𝑥 + 7) ⋅ (3𝑥 − 2) 
Como o enunciado já nos disse que a base é 𝑥 + 7, podemos concluir que a altura do retângulo 
é dada por 3𝑥 − 2. 
 
Retomemos a pergunta feita: 
“...o quadrado da diagonal do retângulo é expresso pelo polinômio...” 
Assim, precisamos encontrar o valor do quadrado da diagonal, ou seja, 𝑑² pela indicação em 
nossa figura. 
Aplicando Pitágoras à diagonal do retângulo como hipotenusa e considerando os catetos como 
a base e a altura, temos: 
𝑑2 = (𝑥 + 7)2 + (3𝑥 − 2)² 
𝑑2 = 𝑥2 + 14𝑥 + 49 + 9𝑥2 − 12𝑥 + 4 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 67 
𝑑2 = 10𝑥2 + 2𝑥 + 53 
Muito cuidado, o problema nos pediu o quadrado da diagonal e não a diagonal em si, ok? 
Gabarito: e) 
 
17. (UNESP/2015) 
Sabe-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 da equação 𝒙𝟓 − 𝟑 ⋅ 𝒙𝟒 + 𝟒 ⋅ 𝒙𝟑 − 𝟒 ⋅ 𝒙𝟐 + 𝟑 ⋅ 𝒙 − 𝟏 =
𝟎. As outras raízes dessa equação, no Conjunto Numérico dos Complexos, são 
(– 1 – i) e (1 + i). 
a) (1 – i)² . 
b) (– i) e (+ i). 
c) (– 1) e (+ 1). 
d) (1 – i) e (1 + i). 
Comentários 
Como 1 é raiz tripla, podemos aplicar o dispositivo prático de Briot-Fuffini por 3 vezes 
consecutivas: 
 𝟏 −𝟑 𝟒 −𝟒 𝟑 −𝟏 
𝟏 𝟏 −𝟐 𝟐 −𝟐 𝟏 𝟎 
𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 −𝟏 𝟎 
𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 
 
Assim, resta o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 1, que nos dará as outras raízes: 
𝑥2 + 1 = 0 
𝑥2 = −1 
𝑥 = ±√−1 
𝑥′ = 𝑖 
𝑥′′ = −𝑖 
Gabarito: c) 
 
18. (UNESP/2006) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 68 
Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅, onde 𝒃, 𝒄 e 𝒅 são constantes reais. A derivada 
de 𝒑(𝒙) é, por definição, o polinômio 𝒑′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄. Se 𝒑′(𝟏) = 𝟎, 𝒑′(−𝟏) = 𝟒 e o resto 
da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é 𝟐, então o polinômio 𝒑(𝒙) é: 
a) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 
b) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 
c) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟑 
d) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 
e) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 
Comentários: 
Calculando os valores numéricos do polinômio: 
𝒑′(𝟏) = 𝟎 
𝟑. 𝟏𝟐 + 𝟐𝒃. 𝟏 + 𝒄 = 𝟎 
𝟑 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟎 
𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟑 
 
𝒑′(−𝟏) = 𝟒 
𝟑. (−𝟏)𝟐 + 𝟐𝒃. (−𝟏) + 𝒄 = 𝟒 
𝟑 − 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟒 
−𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟏 
 
Temos o sistema {
𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟑
−𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟏
. Somando as duas equações, obtemos: 
𝟐𝒄 = −𝟐 
𝒄 = −𝟏 
Considerando uma das duas equações obtidas e substituindo o valor de 𝒄: 
𝟐𝒃 + 𝒄 = −𝟑 
𝟐𝒃 − 𝟏 = −𝟑 
𝟐𝒃 = −𝟐 
𝒃 = −𝟏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 69 
Sabemos que o resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é igual a 2. Pelo Teorema do Resto, 
concluímos que 𝒑(𝟏) = 𝟐. Logo: 
𝟏𝟑 + (−𝟏). 𝟏𝟐 + (−𝟏). 𝟏 + 𝒅 = 𝟐 
𝟏 − 𝟏 − 𝟏 + 𝒅 = 𝟐 
−𝟏 + 𝒅 = 𝟐 
𝒅 = 𝟑 
Portanto, 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑. 
Comentários: B 
 
19. (UNESP/2006.2) 
Se 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são números reais tais que 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃. (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝒄. (𝒙 + 𝟐)𝟐 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 
Para todo 𝒙 real, então o valor de 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 é: 
a) – 5 
b) – 1 
c) 1 
d) 3 
e) 7 
Comentários: 
Desenvolvendo: 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃. (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝒄. (𝒙 + 𝟐)𝟐 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃. (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝒄. (𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒃 + 𝒄𝒙𝟐 + 𝟒𝒄𝒙 + 𝟒𝒄 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝒙𝟐 + (𝟐𝒃 + 𝟒𝒄)𝒙 + 𝒃 + 𝟒𝒄 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 
Temos que 𝒃 + 𝟒𝒄 = 𝟗 e 𝟐𝒃 + 𝟒𝒄 = 𝟔 ⟶ 𝒃 + 𝟐𝒄 = 𝟑. Logo: 
{
𝒃 + 𝟒𝒄 = 𝟗
𝒃 + 𝟐𝒄 = 𝟑
 
Subtraindo as equações, temos: 
𝟐𝒄 = 𝟔 
ESTRATÉGIAVESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 70 
𝒄 = 𝟑 
Substituindo esse valor em uma das equações do sistema, temos: 
𝒃 + 𝟒𝒄 = 𝟗 
𝒃 + 𝟏𝟐 = 𝟗 
𝒃 = −𝟑 
Pela igualdade de polinômios encontrada anteriormente, temos que: 
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏 
𝒂 − 𝟑 + 𝟑 = 𝟏 
𝒂 = 𝟏 
Portanto, o valor de 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 = 𝟏 − (−𝟑) + 𝟑 = 𝟏 + 𝟑 + 𝟑 = 𝟕. 
Comentários: E 
 
20. (UNESP/2006.2) 
Se 𝒙𝟎 = −𝟐 é um zero de 𝒑(𝒙) = 𝒙
𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 − 𝟏, sendo 𝒌 uma constante, então 𝒑(𝒙) é divisível 
por: 
a) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏 
b) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏 
c) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 
d) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 
e) 𝒙𝟐 + 𝟏 
Comentários: 
Como – 2 é um zero de 𝒑(𝒙), temos que 𝒑(−𝟐) = 𝟎. Logo: 
(−𝟐)𝟑 + 𝟓. (−𝟐)𝟐 + 𝒌. (−𝟐) − 𝟏 = 𝟎 
−𝟖 + 𝟐𝟎 − 𝟐𝒌 − 𝟏 = 𝟎 
−𝟐𝒌 + 𝟏𝟏 = 𝟎 
𝟐𝒌 = −𝟏𝟏 
𝒌 = −𝟓, 𝟓 
Logo, 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓, 𝟓𝒙 − 𝟏. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 71 
Como – 2 é uma raiz desse polinômio, temos por Briot-Ruffini: 
-2 1 5 5,5 -1 
 1 3 -0,5 0 
Resultando no polinômio 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟎, 𝟓 = 𝟎 
Multiplicando o polinômio por 2, para que tenhamos coeficientes inteiros, temos 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 −
𝟏 = 𝟎. 
Comentários: A 
 
21. (UNESP/2003) 
Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-
se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada 
conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa. 
 
O polinômio na variável 𝒙, que representa o volume, em cm³, desta caixa é 
a) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
b) 𝟒𝒙² – 𝟔𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎. 
c) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎. 
d) 𝒙³ – 𝟑𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
e) 𝒙³ – 𝟏𝟓𝒙² + 𝟓𝟎𝒙. 
Comentários: 
A figura abaixo mostra como fica a caixa, emforma de paralelepípedo: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 72 
 
Assim, o seu volume 𝑉(𝑥) é dado por: 
𝑉(𝑥) = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐 
𝑉(𝑥) = (20 – 2𝑥) . (10 – 2𝑥) . 𝑥 
𝑉(𝑥) = (4𝑥² – 60𝑥 + 200) . 𝑥 
𝑉(𝑥) = 4𝑥³ – 60𝑥² + 200𝑥 
Comentários: A 
 
22. (UNICAMP/2018) 
Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), obtêm-se quociente 
e resto iguais a 𝒙𝟐 + 𝟏. Nessas condições, é correto afirmar que 
a) o grau de 𝑝(𝑥) é menor que 5. 
b) o grau de 𝑞(𝑥) é menor que 3. 
c) 𝑝(𝑥) tem raízes complexas. 
d) 𝑞(𝑥) tem raízes reais. 
Comentários 
Do enunciado, temos que 
𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) 
𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 
Dessa forma: 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑞(𝑥) ⋅ (𝑥2 + 1) + (𝑥2 + 1) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 73 
Fatorando 
𝑃(𝑥) = (𝑥2 + 1) ⋅ [𝑞(𝑥) + 1] 
 
Podemos obter as raízes de p(x), igualando seus fatores a zero. 
(𝑥2 + 1) = 0 𝑜𝑢 [𝑞(𝑥) + 1] = 0 
Calculando 
𝑥2 + 1 = 0 
𝑥2 = −1 
𝑥 = ±√1 
𝑥 = ±𝑖 
Assim, obtemos raízes complexas. 
Logo a alternativa c) está correta independentemente das outras raízes. 
Gabarito: c) 
 
23. (UNICAMP/2015) 
Considere o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 − 𝒂, onde 𝒂 é um número real. Se 𝒙 = 𝟏 é a única raiz 
real de 𝒑(𝒙), então podemos afirmar que 
a) 𝑎 < 0. 
b) 𝑎 < 1. 
c) 𝑎 > 0. 
d) 𝑎 > 1. 
Comentários 
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, teremos: 
 
1 1 − 1 𝑎 −𝑎 
 1 0 𝑎 0 
 
𝑥2 − 𝑎 = 0 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – POLINÔMIOS 
 
 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 74 
Para termos raízes reais, teremos 𝛥 > 0, então 
 
02 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−𝑎) > 0 
4𝑎 > 0 
𝑎 > 0 
Gabarito: c) 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Quantos teoremas, não? 
Mas não fique incomodado. Você viu nos exercícios que o ponto forte é trabalhar com o conteúdo 
dos teoremas. Na maioria das vezes, não é necessário nomeá-los, muito menos demonstrá-los. 
Ainda assim, tenha o máximo de intimidade que puder com o conteúdo, pois ele estará presente 
em muitas outras áreas da matemática. 
Ah, não se esqueça. Se surgir aquela dúvida, é só perguntar no fórum, ok? 
Abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa aula! 
https://www.instagram.com/professorcaze
https://www.t.me/professorcaze
https://www.youtube.com/c/ProfessorCazé
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 AULA 18 – EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 2024 75 
VERSÕES DAS AULAS 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma mudança no conteúdo 
for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
02/06/2022: Versão original