Matemática para Vestibular

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7
Matemática para Vestibular Medicina 
2ª edição • São Paulo • 2016
hexag
SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA 
e suas tecnologias
Herlan Fellini, Pedro Tadeu Batista e Vitor Okuhara
hexag
SISTEMA DE ENSINO
© Hexag Editora, 2016
Direitos desta edição: Hexag Editora Ltda. São Paulo, 2016
Todos os direitos reservados.
Autores
Herlan Fellini
Vitor Okuhara 
Pedro Tadeu Batista
Diretor geral
Herlan Fellini
Coordenador geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial
Hexag Editora
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista
Editores
Raphael Gaudio Eneias
Vivian Romão Seierup Albuquerque
Revisor
Arthur Tahan Miguel Torres
Pesquisa iconográfica
Camila Dalafina Coelho
Programação visual
Hexag Editora
Editoração eletrônica
Bruno Alves Oliveira Cruz
Camila Dalafina Coelho
Eder Carlos Bastos de Lima
Raphael Campos Silva
Raphael de Souza Motta
Capa
Hexag Editora
Fotos da capa (de cima para baixo)
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Acervo digital da USP (versão beta)
http://www.baia-turismo.com
Impressão e acabamento
Imagem Digital
ISBN: 978-85-68999-51-6
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o 
ensino. Caso exista algum texto, a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição 
para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre 
as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
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CARO ALUNO,
O Hexag Medicina é referência em preparação pré-vestibular de candidatos à carreira de Medicina. Desde 2010, 
são centenas de aprovações nos principais vestibulares de Medicina no Estado de São Paulo e em todo Brasil.
Ao atualizar sua coleção de livros para 2016, o Hexag considerou o principal diferencial em relação aos 
concorrentes: a sua exclusiva metodologia fundamentada em três pontos – período integral, estudo orientado 
(E.O.) e salas reduzidas.
O material didático foi, mais uma vez, aperfeiçoado e seu conteúdo enriquecido, inclusive com questões 
recentes dos principais vestibulares 2016. 
Esteticamente, houve uma melhora em seu layout, na definição das imagens e também na utilização de cores.
No total, são 80 livros, distribuídos da seguinte forma: 
 § 21 livros de Ciências da Natureza e suas tecnologias (Biologia, Física e Química);
 § 14 livros de Ciências Humanas e suas tecnologias (História e Geografia);
 § 07 livros de Linguagens, Códigos e suas tecnologias (Gramática, Literatura e Inglês);
 § 07 livros de Matemática e suas tecnologias;
 § 04 livros de Sociologia e Filosofia;
 § 04 livros “Entre Aspas” (Obras Literárias da Fuvest e Unicamp);
 § 02 livros “Entre Frases” (Estudo da Escrita – Redação);
 § 06 livros “Entre Textos” (Interpretação de Texto).
 § 03 livros "Between English and Portuguese" (Inglês).
 § 12 livros de Revisão (U.T.I. "Unidade Técnica de Imersão").
O conteúdo dos livros foi organizado por aulas. Cada assunto contém uma rica teoria, que contempla de 
forma objetiva o que o aluno realmente necessita assimilar para o seu êxito nos principais vestibulares e Enem, 
dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar.
Os capítulos foram finalizados com cinco categorias de exercícios, trabalhadas nas sessões de Estudo Orien-
tado (E.O.), como segue:
 § E.O. Teste I: exercícios introdutórios de múltipla escolha, para iniciar o processo de fixação da matéria 
estudada em aula;
 § E.O. Teste II: exercícios de múltipla escolha, que apresentam grau médio de dificuldade, buscando a con-
solidação do aprendizado;
 § E.O. Teste III: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade;
 § E.O. Dissertativo: exercícios dissertativos nos moldes da segunda fase da Fuvest, Unifesp, Unicamp e 
outros importantes vestibulares;
 § E.O. Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando 
o aluno para esse tipo de exame.
A edição 2016 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moderno e 
completo, um grande aliado para o seu sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Herlan Fellini
Aulas 47 e 48: Números complexos III 6
Aulas 49 e 50: Equações polinomiais 24
Aulas 51 e 52: Polinômios 48
álgebra
Números complexos III
Aulas 47 e 48
7
Forma trigonométrica dos números complexos
Sabemos que um número complexo z = a + bi é representado por um ponto do plano com coordenadas (a, b) e 
coordenadas cartesianas do ponto z. Esse mesmo ponto pode ser representado por suas coordenadas polares:
1. o módulo do vetor 
 _____
 
›
 Oz , indicado por |z| ou ρ, representando a distância do ponto P à origem do plano (su-
pondo |z| ≠ 0); e
2. o ângulo q, em que 0 ≤ q < 2p, que o vetor 
 _____
 
›
 Oz forma com o eixo x. Esse ângulo q é chamado argumento 
de z (ou argumento principal de z) e indicado por arg(z).
ρ
 § z = a + bi, z ≠ 0
 § |z| = ρ = dXXXXXX a2 + b2 
 § arg(z) = q
Já vimos em Trigonometria que:
cos q = a __ 
|z|
 sen q = b __ 
|z|
 (como 0 ≤ q < 2p)
Essas igualdades levam a:
 § cos q = a __ 
|z|
 ⇒ a = |z| · cos q
 § sen q = b __ 
|z|
 ⇒ b = |z| · sen q
Substituindo esses valores por z = a + bi, obtemos:
z = a + bi = |z| · cos q + |z| · sen qi = |z|(cos q + i · sen q)
Portanto:
z = |z|(cos q + i · sen q)
que é chamada forma trigonométrica ou forma polar de z.
0
8
Exercícios resolvidos 
1. Determine a representação geométrica e a forma trigonométrica do número complexo dado em cada item:
a) z = 1 + i √
__
 3 
Resolução:
a = 1
b = dXX 3 
Portanto:
|z| = |1 + i √
__
 3 | = √
________
 12 + ( √
__
 3 )2 = √
__
 4 = 2
 § cos q = a __ 
|z|
 = 1 __ 
2
 
 § sen q = b __ 
|z|
 = 
dXX 3 ___ 
2
 
Assim, q = arg(z) = p __ 
3
 .
1
Logo, a forma trigonométrica é dada por:
z = |z|(cos q + i · sen q) = 2 ( cos p __ 
3
 + i · sen p __ 
3
 ) 
b) z = - 1 + i
Resolução:
a = –1
b = 1
|z| = |–1 + i| = √
________
 (-1)2 + 12 = √
__
 2 
 § cos q = a __ 
|z|
 = –1 ___ 
 dXX 2 
 = – 
dXX 2 ___ 
2
 
 § sen q = b __ 
|z|
 = 1 ___ 
 dXX 2 
 = 
dXX 2 ___ 
2
 
Assim, q = arg(z) = 3p ___ 
4
 .
0
0
9
Logo, a forma trigonométrica é dada por:
z = |z|(cos q + i ∙ sen q) = √
__
 2 ( cos 3p ___ 
4
 + i · sen 3p ___ 
4
 ) 
2. Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos:
a) z = 2 ( cos p __ 
4
 + i · sen p __ 
4
 ) 
Resolução:
z = 2 ( √
__
 2 ___ 
2
 + i ∙ √
__
 2 ___ 
2
 ) = 2 √
__
 2 ____ 
2
 + i ∙ 2 √
__
 2 ____ 
2
 = √
__
 2 + i √
__
 2 
Logo, z = √
__
 2 + i √
__
 2 .
b) z = 8 ( cos 7p ___ 
6
 + i sen 7p ___ 
6
 ) 
Resolução:
z = 8 [ –cos p __ 
6
 + i ( –sen p __ 
6
 ) ] = 8 [ – √
__
 3 ___ 
2
 + i ( –1 ___ 
2
 ) ] = –4 √
__
 3 – 4i
Logo, z = –4 √
__
 3 – 4i.
multiplicação de números complexos 
na Forma trigonométrica
Consideremos os números complexos z1 e z2 dados na forma trigonométrica:
z1 = |z1|(cos q1 + i · sen q1)
z2 = |z2|(cos q2 + i · sen q2 )
O produto z1z2 é dado por:
z1z2 = |z1|(cos q1 + i · sen q1) |z2| (cos q2 + i · sen q2) =
= |z1IIz2| (cos q1 + i · sen q1) (cos q2 + i · sen q2) =
= |z1||z2|[(cos q1 · cos q2 – sen q1 · sen q2) + i(sen q1 · cos q2 + sen q2 · cos q1)] 
Portanto:
z1z2 = |z1||z2| [cos(q1 + q2) + i · sen(q1 + q2)]
10
O produto de dois números complexos escritos na formatrigonométrica é o número complexo, cujo módulo 
é igual ao produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores, reduzida 
à primeira volta (0 ≤ arg (z1 z2) < 2p).
Exercício resolvido
1. Calcule o produto z1z2 com z1 = 2 ( cos p __ 
4
 + i · sen p __ 
4
 ) e z2 = 3 ( cos p __ 
2
 + i · sen p __ 
2
 ) .
Resolução:
Ao substituir os dados do problema pela fórmula, obtemos:
z1z2 = 2 · 3 [ cos ( p __ 
4
 + p __ 
2
 ) + i · sen ( p __ 
4
 + p __ 
2
 ) ] = 6 ( cos 3p ___ 
4
 + i · sen 3p ___ 
4
 ) 
Ao fazer a interpretação geométrica desse problema, obtemos:
Em z1z2, houve uma rotação positiva a z1 de um ângulo igual ao ângulo de z2. Ou seja, nesse caso, houve 
uma rotação de p __ 
2
 a z1. Como o argumento de z1 era p __ 
4
 e z1 recebeu uma rotação de p __ 
2
 , o produto z1 e z2 
passa a ter argumento igual a p __ 
4
 + p __ 
2
 = 3p ___ 
4
 . Já o módulo, que é 6, corresponde a 2 · 3 ou |z1||z2|.
Observação
A fórmula da multiplicação de dois números complexos, segundo a qual basta multiplicar os módulos e somar seus 
argumentos, é válida para um número qualquer finito de valores. Isso levará à potenciação de números complexos.
divisão de números complexos na Forma trigonométrica
Dados os números complexos z1 e z2 na forma trigonométrica:
z1 = |z1|(cos q1 + i · sen q1)
z2 = |z2|(cos q2 + i · sen q2 )
O quociente 
z1 __ z2
 , para z2 ≠ 0, pode ser obtido assim:
 
z1 __ z2
 = 
|z1| ___ 
|z2|
 [cos(q1 – q2) + i · sen(q1 – q2)]
11
A demonstração dessa relação pode ser feita mostrando que o produto de 
|z1| ___ 
|z2|
 [cos(q1 – q2) + i · sen(q1 – q2)] 
por z2 é igual a z1.
O quociente de dois números complexos na forma trigonométrica, com o segundo número diferente de 0, é 
o número complexo, cujo módulo é o quociente dos módulos e cujo argumento é a diferença dos argumentos dos 
dois números na ordem dada, reduzida à primeira volta ( 0 ≤ arg ( z1 __ z2
 ) < 2p ) .
Exercício resolvido
1. Calcule o quociente 
z1 __ z2
 para z1 = 2 ( cos p __ 
4
 + i · sen p __ 
4
 ) e z2 = 3 ( cos p __ 
2
 + i · sen p __ 
2
 ) .
Resolução:
Ao substituir z1 e z2 na fórmula dada, obtemos:
 
z1 __ z2
 = 2 __ 
3
 [ cos ( p __ 
4
 – p __ 
2
 ) + i · sen ( p __ 
4
 – p __ 
2
 ) ] = 2 __ 
3
 [ cos ( – p __ 
4
 ) + i · sen ( – p __ 
4
 ) ] = 2 __ 
3
 [ cos 7p ___ 
4
 + i · sen 7p ___ 
4
 ] 
Logo, 
z1 __ z2
 = 2 __ 
3
 [ cos 7p ___ 
4
 + i · sen 7p ___ 
4
 ] .
potenciação de números complexos na Forma 
trigonométrica – primeira Fórmula de de moivre
A potência zn, n ∈ N*, é dada por zn = z · z · z ... z
n vezes
.
Se um número complexo z estiver escrito na forma trigonométrica z = |z|(cos q + i · sen q), obtemos:
zn = z · z · z ... z
multiplicação 
de n fatores
 = |z| · |z| · |z| ... |z|
produto de n módulos
 [cos(q + q + ... +q
soma de n 
argumentos
) + i sen(q + q + q ... q
soma de n 
argumentos
)] ⇒ 
⇒  zn = |z|n[cos(nq) + i · sen(nq)] (fórmula de De Moivre)
Para n = 0, obtemos:
z0 = |z|0[cos (0 · q) + i · sen (0 · q)] = 1 (cos 0 + i · sen 0) = 1(1 + 0) = 1
Podemos dizer, portanto, que a potência de ordem n de um número complexo escrito na forma trigonomé-
trica é o número complexo, cujo módulo é igual ao módulo do número elevado a n e cujo argumento é igual ao 
argumento do número multiplicado por n, reduzido à primeira volta (0 ≤ arg(zn) < 2p).
Exercícios resolvidos
1. Dado o número z = 2 ( cos p __ 
4
 + i · sen p __ 
4
 ) , determine z7.
Resolução:
Na forma trigonométrica, temos:
z7 = [ 2 ( cos p __ 
4
 + i · sen p __ 
4
 ) ] 7 = 27 ( cos 7 · p __ 
4
 + i · sen 7 · p __ 
4
 ) = 128 ( cos 7p ___ 
4
 + i · sen 7p ___ 
4
 ) 
Logo, z7 = 128 ( cos 7p ___ 
4
 + i · sen 7p ___ 
4
 ) .
12
Na forma algébrica, temos:
2 ( cos p __ 
4
 + i · sen p __ 
4
 ) = 2 ( √
__
 2 ___ 
2
 + i · √
__
 2 ___ 
2
 ) = √
__
 2 + i √
__
 2 
z7 = 128 ( cos 7p ___ 
4
 + i · sen 7p ___ 
4
 ) = 128 ( √
__
 2 ___ 
2
 – i · √
__
 2 ___ 
2
 ) = 64 √
__
 2 – 64 √
__
 2 i
Logo, Z7 = 64 √
__
 2 – 64 √
__
 2 i.
2. Determine o menor valor de n ∈ N*, para o qual (2 dXX 3 i + 2)n é real e positivo.
Resolução:
Ao passar o número z = 2 + 2 √
__
 3 i para a forma trigonométrica, obtemos:
|z| = √
_________
 22 + (2 √
__
 3 )2 = √
______
 4 + 12 = 4
 § cos q = a __ 
|z|
 = 2 __ 
4
 = 1 __ 
2
 
 § sen q = b __ 
|z|
 = 2 dXX 3 ____ 
4
 = 
dXX 3 ___ 
2
 
Assim, q = p __ 
3
 (60º).
Ao usar a fórmula de De Moivre, obtemos:
zn = |z|n(cos nq + i · sen nq) = 4n ( cos np ___ 
3
 + i sen np ___ 
3
 ) 
Para que zn seja real e positivo, devemos ter:
sen np ___ 
3
 = 0 cos np ___ 
3 
 > 0
Uma vez que n ∈ N*, fazemos:
n = 1 ⇒ sen 1p ___ 
3
 = 
dXX 3 ___ 
2
 ≠ 0
n = 2 ⇒ sen 2p ___ 
3
 = 
dXX 3 ___ 
2
 ≠ 0
n = 3 ⇒ sen 3p ___ 
3
 = 0 e cos 3p ___ 
3
 = cos p = –1 < 0
n = 6 ⇒ sen 6p ___ 
3
 = sen 2p = 0 e cos 6p ___ 
3
 = cos 2p = 1 > 0
Logo, o menor valor de n ∈ N* é 6.
Nesse caso, temos:
(2 √
__
 3 i+ 2)6 = 46(cos 2p + i · sen 2p) = 4096 (real positivo)
radiciação – raízes enésimas de números complexos
Dado um número complexo z e um número natural n, n > 1, definimos em C:
Raiz enésima de z é um número complexo tal que xn = z.
Exemplos:
1. 2, –2, 2i e –2i são as raízes quartas do número complexo 16.
2, uma vez que 24 = 16
13
–2, uma vez que (–2)4 = 16
2i, uma vez que (2i)4 = 16
–2i, uma vez que (– 2i)4 = 16
Há, portanto, em C, quatro raízes quartas de 16.
2. i e – i são as raízes quadradas do número complexo –1.
i, uma vez que i2 = –1 
–i, uma vez que (–i)2 = –1
Há, portanto, em C, duas raízes quadradas de –1.
3. 3 e –3 são as raízes quadradas do número complexo 9.
3, uma vez que 32 = 9
–3, uma vez que (–3)2 = 9
Há, portanto, em C, duas raízes quadradas de 9.
4. 1, –1, i e – i são as raízes quartas do número complexo 1.
1, uma vez que 14 = 1
–1, uma vez que (–1)4 = 1
i, uma vez que i4 = 1
– i, uma vez que (–i)4= 1
Há, portanto, em C, quatro raízes quartas de 1.
5. A única raiz quinta de 0 é 0, uma vez que 0 é o único número complexo tal que 05 = 0.
A pergunta então é: quantas são as raízes enésimas de um número complexo z ≠ 0 e como podemos 
determiná-las? Veremos ver isso com a segunda fórmula de De Moivre.
A segunda fórmula de De Moivre
Consideremos o número complexo z ≠ 0 tal que z = |z|(cosq + i · senq). Encontrar as raízes enésimas de z significa 
determinar todos os números complexos distintos do tipo:
w = |w| (cosa + i · sena)
De modo que wn = z, para n > 1, ou seja, procurar números w tal que:
[|w|(cosa + i · sena)]n = |z|(cosq + i · senq)
Da igualdade:
wn = |w|n (cos na + i · sen na)n = z = |z|(cosq + i · senq)
resulta:
 § |w|n = |z|
 § cos na = cos q
 § sen na = sen q
De |w|n = |z|, obtemos |w| = n dXXX |z| (sempre real e positivo).
De cos na = cosq e sen na = senq, obtemos:
na = q + 2kp ⇒ a =  + 2kp _______ n (com k ∈ Z)
14
Mas, para que 0 ≤ a < 2p, é necessário que 0 ≤ k ≤ n – 1.
Em razão disso, concluímos que:
wk = n dXXX |z| ( cos (  + 2kp _______ n ) + i · ( sen  + 2kp _______ n ) ) (segunda fórmula de De Moivre para k = 0, 1, 2, ..., (n –1)).
Em seguida a k = n – 1, os valores repetem-se. De 0 a n – 1, obtemos n raízes distintas.
Observemos que essa fórmula também pode ser escrita assim:
wk = n dXXX |z| [ cos (  __ n + k · 2p ___ n ) + i · sen (  __ n + k · 2p ___ n ) ] 
Qualquer número complexo z, não nulo, admite n raízes enésimas distintas. Todas elas têm módulo igual a 
n
 dXXX |z| e seus argumentos formam uma progressão aritmética de primeiro termo q __ n e razão 2p ___ n .
Geometricamente, as nraízes são vértices de um polígono regular de n lados.
Logo, sabendo uma delas e sabendo quantas são no total, é possível obter as n – 1 raízes desconhecidas.
Exercício resolvido
1. Determine as raízes cúbicas de –i e interprete-as geometricamente.
Resolução:
Ao escrever z na forma trigonométrica, obtemos:
z = –i
a = 0
b = –1
|z| = √
________
 02 + (–1)2 = √
__
 1 = 1
 § cos q = 0 __ 
1
 = 0
 § sen q = –1 ___ 
1
 = –1
Assim, q = arg(z) = 3p ___ 
2
 , pois 0 ≤ q < 2p.
Portanto:
z = 1 ( cos 3p ___ 
2
 + i · sen 3p ___ 
2
 ) 
15
Ao empregar a segunda fórmula de De Moivre, obtemos:
wk = n dXXX |z| ( cos  + 2kp _______ n + i · sen  + 2kp _______ n ) = 3 √
__
 1 ( cos 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 + i · sen 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 ) 
 3 √
__
 1 = 1 (real positivo)
Uma vez que n = 3, k poderá ser 0, 1 ou 2, e obteremos:
 § para k = 0
 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 = 
 3p ___ 
2
 
 ___ 
3
 = 3p ___ 
6
 = p __ 
2
 
 § para k = 1
 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 = 
 3p ___ 
2
 + 2p
 _______ 
3
 = 
 7p ___ 
2
 
 ___ 
3
 = 7p ___ 
6
 
 § para k = 2
 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 = 
 3p ___ 
2
 + 4p
 _______ 
3
 = 
 11p ____ 
2
 
 ____ 
3
 = 11p ____ 
6
 
Observe que p __ 
2
 = 3p ___ 
6
 , 7p ___ 
6
 , 11p ____ 
6
 é uma PA de razão 4p ___ 
6
 .
w0 = 0 + i · 1 = i
w1 = – √
__
 3 ____ 
2
 – 1 __ 
2
 i
w2 = √
__
 3 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 i
Ao interpretar geometricamente, as três raízes cúbicas estão sobre uma circunferência de raio |w| = 1 e 
dividem a circunferência em três arcos congruentes de 4p ___ 
6
 rad, formando um triângulo equilátero de vértices P0, P1 
e P2. Se calculássemos w3, encontraríamos w3 = w0 e P3 coincidiria com P0; e assim por diante: P4 = P1, P5 = P2 etc.
16
equações binomiais e trinomiais
Qualquer equação que possa ser reduzida à forma axn + b = 0 (com a ∈ C e b ∈ C, a ≠ 0 e n ∈ N) é chamada 
equação binômial.
Para resolvê-la, isolamos xn no primeiro membro e aplicamos a segunda fórmula de De Moivre:
axn + b = 0 ⇒ xn = –b ___ a 
Essa equação admite n raízes enésimas de –b ___ a .
Outro tipo muito comum de equação que compreende números complexos é o que se pode reduzir à cha-
mada equação trinômial:
ax2n + bxn + c = 0
(com a ∈ C, e b ∈ C, a ≠ 0, b ≠ 0 e n ∈ N)
Para resolvê-la, fazemos uma mudança de variável xn = y e obtemos uma equação do segundo grau:
ay2 + by + c = 0
cujas soluções são y’ e y’’.
Recaímos então nas equações anteriores, pois y’ = xn e y’’ = xn.
Ao resolvê-las, temos as raízes da equação inicial.
Exercício resolvido
1. Resolva a equação 2x3 – 16i = 0 em C.
Resolução:
2x3 – 16i = 0 ⇒ 2x3 = 16i ⇒ x3 = 8i
Vamos calcular as raízes cúbicas de 8i:
z = 8i
a = 0
b = 8
|z| = √
_________
 02 + 82 = 8
 § cos q = 0 __ 
8
 = 0
 § sen q = 8 __ 
8
 = 1
Assim, q = arg(z) = p __ 
2
 , pois 0 ≤ q < 2p.
Portanto:
z = 8i = 8 ( cos p __ 
2
 + i sen p __ 
2
 ) 
Uma vez que n = 3, 0 ≤ k ≤ 2, 3 dXX 8 = 2 e q = p __ 
2
 , obtemos:
w0 = √
__
 3 + i
w1 = – √
__
 3 + i
w2 = –2i
17
Logo, o conjunto solução da equação 2x3 – 16i = 0 é:
S = { √
__
 3 + i, – √
__
 3 + i, –2i}.
18
e.o. teste i
 1. (UEL) O número complexo [ 1 __ 2 + i dXX
 3 __ 2 ] 2 escrito 
na forma trigonométrica a + bi = r[cos(q) + 
isen(q)] é:
a) cos(0) + isen(0).
b) cos ( π __ 6 ) + isen ( π __ 6 ) . 
c) cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
d) 3cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
e) 2 [ cos ( 5π ___ 6 ) + isen ( 5π ___ 6 ) ] .
 2. (UFSM) Na iluminação da praça, três novas 
luminárias são instaladas do seguinte modo: 
uma dessas luminárias é instalada na bisse-
triz do primeiro quadrante; a distância de 
cada uma delas ao ponto de encontro das li-
nhas centrais dos dois passeios é 20 metros; 
a distância entre cada par dessas luminárias 
é a mesma. Quais números complexos a se-
guir representam os pontos onde foram ins-
taladas as três luminárias? 
a) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos 11π ____ 12 + i sen 11π ____ 12 ) 
 z3 = 20 ( cos 19π ____ 12 + i sen 19π ____ 12 ) 
b) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) 
 z3 = 20 ( cos 2π ___ 3 + i sen 2π ___ 3 ) 
c) z1 = cos π __ 4 + i sen π __ 4 
 z2 = cos 11π ____ 12 + i sen 11π ____ 12 
 z3 = cos 19π ____ 12 + i sen 19π ____ 12 
d) z1 = cos π __ 3 + i sen π __ 3 
 z2 = cos π ___ 12 + i sen π ___ 12 
 z3 = cos 2π ___ 12 + i sen 2π ___ 12 
e) z1 = 20 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) 
 z2 = 20 (cos π + i sen π)
 z3 = 20 ( cos 5π ___ 6 + i sen 5π ___ 6 ) 
 3. (UFC) Sabendo que i2 = –1 e que 0 < q < 
p
 __ 2 , o 
número complexo 
(cos q + isen q)
 ______________ 
(cos q - isen q)
 é igual a: 
a) cos(2q) + isen(2q).
b) 
(1 + i)
 ______ 
(1 - i)
 . 
c) cos ( q __ 2 ) + isen ( q __ 2 ) . 
d) 
(1 - i)
 ______ 
(1 + i)
 .
e) cos q2 + isen q2 .
 4. (Unesp) Considere o número complexo 
z = cos(p/6) + i sen (p/6). O valor de 
z3 + z6 + z12 é: 
a) –i.
b) 1 __ 2 + 
dXX 3 ___ 2 i.
c) i – 2.
d) i.
e) 2i.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Notações
N: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
R+: Conjunto dos números reais não nega-
tivos;
i: unidade imaginária; i2 = –1;
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do 
conjunto A;
n(A): número de elementos do conjunto fi-
nito A;
 
 AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z: argumento do número complexo z;
[ab] = x ∈ i: {a ≤ x ≤ b}
A/B = x { x ∈ A e x ∉ B}
AC: complementar do conjunto A;
∑ 
akx
k
k = 0
n
 = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, n ∈ Z
Observação: Os sistemas de coordenadas con-
siderados são cartesianos retangulares. 
 5. (ITA) Sejam z = n2(cos45º + i sen 45°) e 
w = n(cos15º + i sen 15º), em que n é o me-
nor inteiro positivo tal que (1 + i)n é real. 
Então, z __ w é igual a: 
a) dXX 3 + i.
b) 2 ( dXX 3 + i).
c) 2 ( dXX 2 + i).
d) 2 ( dXX 2 – i).
e) 2 ( dXX 3 – i).
 6. Sendo o complexo z = 2 [cos(p/6) + sen (p/6) i], 
calculando z6 obtemos: 
a) –32i. 
b) –32. 
c) –64i. 
d) –64.
19
 7. (UFSM) Dados dois números complexos na 
forma
z = r(cosa + i sena)
w = s(cosb + i senb),
pode-se afirmar que z · w é igual a: 
a) rs[cos(ab) – sen(ab)]. 
b) rs[cos(a + b) + i sen(a + ,)].
c) rs[cos(a – b) – i sen(a - b)].
d) (r + s)(cosa · cosb – i sena · senb).
e) (r + s)[cos(a + b) + i sen(a + b)].
 8. (UFRGS) Se w = cos 30° + i sen 30° e z = cos 
120° + i sen 120°, então: 
a) w2+ z2 = 0. 
b) w + z = 0. 
c) w2 - z2 = 0. 
d) w - z = 0. 
e) w4 + z4 = 0. 
 9. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afi-
nação de um tímpano da Orquestra da PUC-
-RS estão representados no plano complexo 
Argand-Gauss por um disco de raio 1, cen-
trado na origem, e por oito pontos uniforme-
mente distribuídos, respectivamente, como 
mostra a figura:
Nessa representação, os parafusos de afina-
ção ocupam os lugares dos números comple-
xos z que satisfazem a equação:
a) z8 = i. 
b) z8 = –i. 
c) z8 = 1. 
d) z8 = –1. 
e) z8 = 1 + i.
 10. (Ulbra) O produto das raízes cúbicas do nú-
mero complexo z = –1 é igual a: 
a) 1 – √
__
 3 i _______ 4 .
b) [ cos π __ 3 + i sen π __ 3 ] .
c) – 1 __ 2 + 
dXX 3 ___ 4 i.
d) 1 + dXX 2 ______ 3 i.
e) -1.
e.o. teste ii
 1. (Esc. Naval) Qual valor de n inteiro maior 
que zero, para que (1 + i)n seja um número 
real? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 2. A figura geométrica formada pelos afixos 
das raízes complexas da equação x3 – 8 = 0 
tem área igual a:
a) 7 dXX 3 .
b) 6 dXX 3 .
c) 5 dXX 3 .
d) 4 dXX 3 .
e) 3 dXX 3 .
 3. (UFSM) Observe a vista aérea do planetário e a 
representação,no plano Argand-Gauss, dos nú-
meros complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela divi-
são do círculo de raio 14 em 12 partes iguais.
Considere as seguintes informações:
I. z2 = 7 dXX 3 + 14 i
II. z11 =  z 3
III. z5 = z4 · 
 z 11
Está(ão) correta(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) apenas II e III.
 4. (PUC-SP) Seja Sn = 
n ⋅ (n – 1)
 __________ 2 + 
n ⋅ (3 – n) ⋅ i
 ____________ 2 , 
em que n ∈ R* e i é a unidade imaginária, a 
expressão da soma dos n primeiros termos de 
uma progressão aritmética. Se an é o enésimo 
termo dessa progressão aritmética, então a 
forma trigonométrica da diferença a15 – a16 é:
a) 2 dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
b) 2 dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 5π ___ 4 ) .
c) 2 dXX 2 ( cos 7π ___ 4 + i ⋅ sen 7π ___ 4 ) .
d) dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
e) dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
20
 5. (UFRGS) O menor número inteiro positivo n 
para o qual a parte imaginária do número 
complexo ( cos π __ 8 + i · sen π __ 8 ) n é negativa é:
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
 6. (Ufc) A área do polígono cujos vértices são 
as representações geométricas das raízes do 
polinômio p(x) = x6 – 1 é: 
a) 3 dXX 3 ____ 2 .
b) 2 dXX 3 ____ 3 .
c) 3 dXX 2 ____ 2 .
d) 2 dXX 2 ____ 3 .
e) 3 dXX 3 ____ 4 .
 7. (UEL) A potência (cos 60° + i sen 60°)601 é 
igual a: 
a) ( 1 __ 2 ) (1 – i dXX 3 ).
b) ( 1 __ 2 ) (– 1 + i dXX 3 ).
c) ( 1 __ 2 ) (1 + i dXX 3 ).
d) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 + i).
e) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 – i).
 8. (PUC-SP) Dado o número complexo z = cos π __ 6 + 
+ i · sen π __ 6 , então, se P1, P2 e P3 são as res-
pectivas imagens de z, z2 e z3 no plano com-
plexo, a medida do maior ângulo interno do 
triângulo P1P2P3 é:
a) 75°. 
b) 100°. 
c) 120°. 
d) 135°. 
e) 150°.
 9. (IME) As raízes cúbicas da unidade, no con-
junto dos números complexos, são represen-
tadas por 1, w e w2, onde w é um número 
complexo. O intervalo que contém o valor de 
(1 – w)6 é: 
a) (–∞, –30].
b) (–30, –10]. 
c) (–10, 10].
d) (10, 30].
e) (30, ∞).
 10. Considerando os números complexos z1 e z2, 
tais que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no 
segundo quadrante;
 § z2 é raiz da equação x4 + x2 – 12 = 0 e 
Im(z2) > 0.
Pode-se afirmar que |z1 + z2| é igual a: 
a) 2 dXX 3 .
b) 3 + dXX 3 .
c) 1 + 2 dXX 2 .
d) 2 + 2 dXX 2 .
e.o. teste iii
 1. (Cefet-MG) Considere as raízes complexas 
w0, w1, w2, w3 e w4 da equação w5 = z, onde 
z ∈ C representadas graficamente por:
O número complexo z é:
a) 16i. 
b) 32i. 
c) 16 + 16i. 
d) 16 + 16 √
__
 3 i 
e) 32 + 32 √
__
 3 i 
 2. (UFRGS) O polígono ABCDE da figura é um 
pentágono regular inscrito no círculo unitá-
rio de centro na origem.
As coordenadas polares p e q do vértice A 
são, respectivamente: 
a) 1 e π __ 5 .
b) 1 e π __ 6 .
c) 1 e π __ 8 .
d) 1 e π ___ 10 .
e) 1 e π ___ 12 .
21
 3. (UFC) Considere o número complexo z = (1 + i) · 
( dXX 3 – i). Assinale a opção na qual consta o 
menor inteiro positivo n, tal que zn seja um 
número real positivo. 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
 4. (Esc. Naval ) Seja p a soma dos módulos das 
raízes da equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do 
número complexo Z, tal que  Z = 108, onde  Z 
é o conjugado de Z. Uma representação tri-
gonométrica do número complexo p + qi é: 
a) 12 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) . 
b) 20 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) . 
c) 12 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) . 
d) 20 dXX 2 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) . 
e) 10 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) . 
e.o. dissertativo
 1. (UFPR) Considere os números complexos 
z = cos π ___ 18 + i sen π ___ 18 e w = 2 cos π __ 9 + i sen π __ 9 . 
a) Mostre que o produto z.w é igual a ( dXX 3 ) + i.
b) Mostre que z18 é igual a – 1. 
 2. (UFC) Os números complexos distintos z e w 
são tais que z + w = 1 e z · w = 1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está 
no primeiro quadrante do plano complexo. 
 3. (Fuvest) A figura representa o número 
w = 
(–1 + i dXX 3 )
 __________ 2 no plano complexo, sendo i = 
dXXX –1 a unidade imaginária. Nessas condições:
a) determine as partes real e imaginária de 1 __ ϖ   e 
de w3.
b) represente 1 __ ϖ   e w3 na figura a seguir.
c) determine as raízes complexas da equação 
z3 – 1 = 0. 
 4. (UFPE) Encontre o menor inteiro positivo n 
tal que a potência ( dXX 3 + i)n seja um número 
real. 
 5. (UFBA) Sendo z1 e z2 números complexos tais 
que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no 
segundo quadrante,
 § z2 satisfaz a equação x4 + x2 − 12 = 0 e 
Im(z2) > 0, calcule √
__
 3 
z1 __ z2
 + z2
 6. (UFPR) Considere os pontos z1, z2 e z3, indi-
cados no plano complexo abaixo, e que cor-
respondem às raízes cúbicas de 1.
a) Qual é o menor inteiro n > 1, de modo que 
(z2)
n = 1? Justifique sua resposta.
b) Calcule (z3)
100.
 7. (Unb) 
A figura acima ilustra um triângulo equi-
látero ABC inscrito em uma circunferência 
de raio 2 centrada na origem de um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, 
em que um ponto (x, y) é identificado com 
o número complexo z = x + iy. Esse triângulo 
foi obtido a partir da representação plana de 
uma molécula de amônia (NH3), na qual os 
três átomos de hidrogênio estão posiciona-
dos nos seus vértices e o átomo de nitrogê-
nio encontra-se na origem.
Com base nessas informações e consideran-
do o centímetro como a unidade de medida 
de comprimento, em ambos os eixos, julgue 
os itens a seguir.
a) Se z1 corresponde ao ponto C e se z2 corres-
ponde ao ponto B, então 
z1 __ z2
 = 
z2 __ 2 .
b) Considerando-se 10 pontos distintos sobre 
a circunferência em questão, com vértices 
nesses pontos, a quantidade de triângulos 
que é possível formar é superior à de heptá-
gonos convexos.
22
c) Os vértices A, B e C correspondem às raízes 
complexas do polinômio f(z) = z3 – 8.
d) A área do triângulo ABC é inferior a 5 cm2. 
 8. (Ita) Considere, no plano complexo, um po-
lígono regular cujos vértices são as soluções 
da equação z6 = 1. A área deste polígono, em 
unidades de área, é igual a: 
 9. (Fuvest) Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos(3p/8) e sen(3p/8). 
b) Dado o número complexo
 z = dXXXXXX 2 – dXX 2 + i dXXXXXX 2 + dXX 2 ,
 encontre o menor inteiro n > 0 para o qual 
zn seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes in-
teiros que possua z como raiz e que não pos-
sua raiz real. 
 10. (UFRRJ) Considere os números complexos 
A1 = 1 – i, A2 = 2 – 2 dXX 3 i e A3 
= 8 ________ –1 + dXX 3 i .
Calcule 
A 8 1 + A 2 2 _______ 
A 3 3 
 e escreva na forma trigono-
métrica esse resultado. 
 11. (Unicamp) Um número complexo z = x + iy, 
z ≠ 0, pode ser escrito na forma trigonométri-
ca: z = |z|(cosq + isenq), onde |z| = dXXXXXXX x2 + y2 , 
cos q = x ___ 
|z|
 e sen q = 
y
 ___ 
|z|
 . Essa forma de re-
presentar os números complexos não nulos 
é muito conveniente, especialmente para 
o cálculo de potências inteiras de números 
complexos, em virtude da fórmula de de 
Moivre:
[|z|(cos q + isen q)]t = |z|t(cos tq + isen tq)
que é válida para todo t ∈ Z . Use essas in-
formações para:
a) Calcular ( dXX 3 + i)12.
b) Sendo z = 
dXX 2 ___ 2 + i 
dXX 2 ___ 2 , calcular o valor de 
1 + z + z2 + z2 + ... + z15.
gabarito
E.O. Teste I
1. C 2. A 3. A 4. D 5. B
6. D 7. B 8. A 9. C 10. E
E.O. Teste II
1. C 2. E 3. B 4. E 5. E
6. A 7. C 8. E 9. B 10. A
E.O. Teste III
1. D 2. D 3. D 4. D 5. A
E.O. Dissertativo
 1. 
a) z · w = 1 · 2 · {cos[(π/18) + (π/9)] + i · 
sen[(π/18) + (π/9)]}
 z · w = 2 · [cos(π/6) + i · sen(π/6)]
 z · w = dXX 3 + i
b) z18 = 118 · {cos[18 · (π/18)] + i · sen[18 · 
(π/18)]
 z18 = cos π + i · sen π = –1 
 2. 
a) |z| = 1
b) z4 +w4 = z4 +  z 4 = –1
 3. 
a) Re(w1) = – 1 __ 2 e Im(w1) = – 
dXX 3 ___ 2 
 Re(w3) = 1 e Im(w3) = 0
b) 
c) { 1, – 1 __ 2 + i 
dXX 3 ___ 2 e – 1 __ 2 – i 
dXX 3 ___ 2 } 
 4. n = 6
 5.  dXX 3 
z1 __ z2
 +  z2  = 1
 6. 
a) n deverá ser 3, pois cos(3 · 120º) + i · 
sen(3 · 120º) = 1.
b) (z3)
100 = z3
23
 7. 
a) Correto. Temos que A 
 ̂ 
 O B = 2p ___ 3 rad. 
 O complexo z1 pode ser obtido através de 
uma rotação de 2p ___ 3 rad no sentido anti-
-horário, do complexo z0 = 2, ou seja, 
z1 = z0 · ( cos 2p ___ 3 + isen 2p ___ 3 ) = –1 + i dXX 3 .
 Portanto, como z2 é o conjugado de z1, se-
gue que 
 z1/z2 = 1+ i √
__
 3 _______ 
1 + i √
__
 3 
 
 = 1 + i √
__
 3 _______ 
1 i √
__
 3 =
 1 + i √
__
 3 _______ 
1 + i √
__
 3 
 
 = 1 i √
__
 3 _____ 2 
 = 
z2 __ 2 
b) Incorreto. O número de triângulos que é 
possível formar com 10 pontos distintos 
sobre a circunferência é dado por ( 10 ___ 3 ) .
 Por outro lado, podemos formar ( 10 ___ 7 ) 
heptágonos convexos com os mesmos 10 
pontos. Portanto, como ( 10 ___ 3 ) e ( 10 ___ 7 ) são 
números binomiais complementares, se-
gue que ( 10 ___ 3 ) = ( 10 ___ 7 ) . 
c) Correto. Temos que f(z) = 0 ⇔ z3 = 8 ⇔ z 
= 3 dXXXXXXXX 8 + i · 0 .
 Pela segunda fórmula de de Moivre, se-
gue que as raízes cúbicas de 8 + i · 0 são 
dadas por zk = 3 dXX 8 cos ( k · 2p ___ 3 ) + i sen ( k 
· 2p ___ 3 ) , com k ∈ Z. 
 Daí, z0 = 2, z1 = –1 + i dXX 3 e z2 = –1 – i dXX 3 
que são os resultados obtidos em [A].
d) Incorreto. A medida do lado do triângulo 
ABC é Im(z1) – Im(z2) = dXX 3 – (– dXX 3 ) = 2 dXX 3 
cm.
 Logo, a área de ABC é dada por:
 
(2 dXX 3 )2 · dXX 3 
 __________ 4 = dXXX 27 cm2 > dXXX 25 cm2 = 5 cm2
 8. 
3 dXX 3 
 ____ 2 
 9. 
a) cos ( 3p ___ 8 ) = 
dXXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 2 
 sen ( 3p ___ 8 ) = 
dXXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 2 
b) n = 8
c) z8 + 256 = 0
 10. (1/8) – ( dXX 3 )/8i = 
(1/4) [cos (5π/3) + i sen (5π/3)] 
 11. 
a) 4096
b) 0 
Equações polinomiais
Aulas 49 e 50
25
Introdução
Na resolução de problemas, é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado 
levam-nos a formular expressões que permitem resolvê-los por meio de uma equação oriunda das expressões obti-
das. Suponha que os enunciados de determinados problemas levem-nos a estas figuras e suas dimensões:
A primeira delas é uma região retangular de dimensões x e x + 3, cujo perímetro é indicado pela expressão:
2x + 2(x + 3) ou 4x + 6
e cuja área é indicada por:
x(x + 3) ou x2 + 3x
A segunda figura é um cubo com arestas de medida x, cuja área total é indicada por:
6x2
e cujo volume é expresso por:
x3
A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área total é:
6(x + 2)2 ou 6(x2 + 4x + 4) ou 6x2 + 24x + 24
e cujo volume é expresso por:
(x + 2)3 ou x3 + 6x2 + 12x + 8
defInIção
Expressão polinomial ou polinômio na variável complexa x é toda expressão da forma:
anx
n + an-1x
n-1 + an-2x
n-2 + ... + a2x
2 + a1x + a0
da qual:
 § an, an-1, an-2, ..., a2, a1 , a0 são números complexos denominados coeficientes;
 § n é um número inteiro positivo ou nulo; e
 § o maior expoente de x, com coeficiente não nulo, é o grau da expressão.
26
Observe estas expressões polinomiais:
1. 4x + 6: expressão polinomial do primeiro grau (grau 1).
2. x2 + 3x: expressão polinomial do segundo grau (grau 2).
3. x3: expressão polinomial do terceiro grau (grau 3).
4. 6x2 + (1 – i)x + 5: expressão polinomial do segundo grau (grau 2).
Por definição, não são expressões polinomiais:
 § x–2 + 3x–1 + 1, uma vez que o expoente da variável x não pode ser negativo.
 § x3 + 1 __ 
x2 + 1 __ x , uma vez que a variável x não pode aparecer em denominador.
 § x + 5x + 6, uma vez que o expoente da variável x não pode ser fracionário.
 § 3 dXX x + 6 dXX x + 2, uma vez que a variável x não pode aparecer sob radical.
função polInomIal
As funções complexas f: C é C definidas por expressões polinomiais são denominadas funções polinomiais:
 § f(x) = 2x – 1 é uma função polinomial de grau 1.
 § g(x) = 3x2 – 2x – 1 é uma função polinomial de grau 2.
 § h(x) = 3x3 – 6x2 + x – 1 é uma função polinomial de grau 3.
 § p(x) = x4 – ix2 é uma função polinomial de grau 4.
Portanto, toda função definida por:
f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
para todo x complexo, é denominada função polinomial de grau n, da qual n é um número inteiro positivo ou nulo 
e an é diferente de 0.
Se o grau de uma função polinomial for 0, a função será definida por f(x) = a0.
Exemplos:
1. f(x) = 5
2. p(x) = –2
polInômIo
A cada função polinomial associa-se um único polinômio (ou expressão polinomial) e vice-versa, por isso podemos 
nos referir indistintamente às funções polinomiais ou aos polinômios.
Exemplos:
1. p(x) = 5 é um polinômio de grau 0 ou polinômio constante.
2. p(x) = 2x + 1 é um polinômio do primeiro grau.
3. p(x) = x2 – 5x + 6 é um polinômio do segundo grau.
Polinômio identicamente nulo
Define-se o polinômio identicamente nulo (Pin) como o polinômio cujos coeficientes são todos nulos: p(x) = anx
n + 
an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 é um polinômio nulo se, somente se, an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0.
27
Exercício resolvido
1. Dado o polinômio p(x) = (m2 – 1)x3 + (m + 1)x2 – x + 4, com m [ R, discuta o grau de p(x).
Resolução:
Reduza os coeficientes de x3 e x2 a 0:
m2 – 1 = 0 ä m2 = 1 m = + – 1
m + 1 = 0 ä m = –1
Analise-os:
 § se m ≠ 1 e m ≠ –1, o polinômio será do terceiro grau.
 § se m = 1, o polinômio será do segundo grau.
 § se m = –1, o polinômio será do primeiro grau.
Calcule os valores de a, b e c para os quais o polinômio p(x) = (a + b)x2 + (a – b – 4)x + (b + 2c – 6) seja nulo:
Se p(x) = 0 ä 
Ao reunir (I) e (II), obtém-se:
Resolvido o sistema, obtém-se a = 2 e b = –2.
Substituído b por (III), obtém-se:
b + 2c – 6 = 0 ä –2 + 2c – 6 = 0 ä 2c = 8 ä c = 4
Logo, a = 2, b = –2 e c = 4.
Valor numérIco de um polInômIo
Considere um polinômio p(x) e um número real a.
O valor numérico do polinômio p(x) para x = a é o número que se obtém ao substituir x por a e ao efetuar 
os cálculos necessários. Indica-se p(a).
Portanto, p(a) é o valor numérico de p(x) para x = a.
Exemplos:
1. O valor numérico de p(x) = 2x2 – 3x + 5 para x = 4 é:
p(4) = 2(4)2 – 3(4) + 5 = 32 – 12 + 5 = 25
Logo, p(4) = 25.
2. Dado p(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 10, o valor de p(x) para x = 3 é:
p(3) = 4(3)3 – 3(3)2 + 5(3) – 10 = 108 – 27 + 15 – 10 = 86
Logo, p(3) = 86.
3. Se p(x) = – 3x2 – 7, logo, para x = 1, o valor numérico de p(x) será:
p(1) = –3 – 7 = –10.
28
Portanto, de modo geral, dado o polinômio:
p(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + ... + a1x + a0
o valor numérico de p(x) para x = a será:
p(a) = ana
n + an – 1a
n – 1 + an – 2a
n – 2 + ... + a1a + a0
Observações
Se a = 1, o valor numérico de p(x) será a soma de seus coeficientes:
p(1) = an · 1
n + an – 1 · 1
n – 1 + an – 2 · 1
n – 2 · 1n – 2 + ... + a1 · 1 + a0 ä
ä p(1) = an + an – 1 + an – 2 + ... + a1 + a0
Se a = 0, o valor numérico de p(x) será o termo independente:
p(0) = an · 0
n + an – 1 · 0
n – 1 + an – 2 · 0
n – 2 + ... + a1 · 0 + a0 ä p(0) = a0
Exercícios resolvidos
1. Dado o polinômio p(x) = 2x3 – x2 + x + 5, calcule p(2) – p(–1).
Resolução:
Calculando p(2) e p(–1) separadamente, obtém-se:
p(2) = 2(2)3 – (2)2 + 2 + 5 = 16 – 4 + 2 + 5 = 19
p(–1) = 2(–1)3 – (–1)2 + (–1) + 5 = –2 – 1 – 1 + 5 = 1
Portanto:
p(2) – p(–1) = 19 – 1 = 18
2. Dado o polinômio, na forma fatorada, p(x) = (x2 + 2)2 (x3 – 2)5, determine o que se pede em cada item:
a) a soma de seus coeficientes;
Resolução:
Para se obter a soma dos coeficientes, basta fazer:
p(1) = (12 + 2)2 (13 – 2)5 = 32 · (–1)5 = –9
b) o termo independente.
Resolução:
Para se obter o termo independente,basta fazer:
p(0) = (02 + 2)2 (03 – 2)5 = 22 · (–2)5 = 4(–32) = –128
3. Um polinômio p(x) é do segundo grau. Sabendo que p(2) = 0, p(–1) = 12 e p(0) = 6, escreva o polinômio e 
determine p(5).
Resolução:
Se p(x) é um polinômio de segundo grau, sua forma é:
p(x) = ax2 + bx + c
29
Portanto:
p(2) = 0 ä a(2)2 + b(2) + c = 0 ä 4a + 2b + c = 0 (I)
p(–1) = 12 ä a(–1)2 + b(–1) + c = 12 ä a – b + c = 12 (II)
p(0) = 6 ä a(0)2 + b(0) + c = 6 ä c = 6 (III)
Substituindo (III) por (I) e (II), obtém-se:
Resolvido o sistema, obtém-se a = 1 e b = –5.
Sabendo que a = 1, b = –5 e c = 6, escrevemos:
p(x) = ax2 + bx + c = x2 – 5x + 6
Calculemos, agora, p(5):
p(5) = (5)2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6
Logo, p(x) = x2 – 5x + 6 e p(5) = 6.
Igualdade de polInômIo
Dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, seus valores numéricos forem iguais para todo a [ C:
p(x) = q(x) à p(a) = q(a)(? a [ C)
Para que isso ocorra, a diferença p(x) – q(x) deve ser o Pin. Portanto, dois polinômios p(x) e q(x) são iguais se, e 
somente se, tiverem coeficientes respectivamente iguais (os coeficientes dos termos de mesmo grau são todos iguais).
Exemplo
Dados os polinômios p(x) = ax3 + bx2 + cx + d e q(x) = 2x3 + 5x2 – 4x + 3, obtém-se:
p(x) = q(x) à a = 2, b = 5, c = –4 e d = 3
raIz de um polInômIo
Já sabemos que p(a) é o valor numérico do polinômio p(x) para x = a.
Se um número complexo (real ou imaginário) a for tal que p(a) = 0, esse número a será chamado de raiz 
do polinômio p(x).
Exemplos:
1. Dado o polinômio p(x) = x2 – 7x + 10, obtém-se:
p(5) = 0 ä 5 é raiz de p(x).
p(3) = –2 ä 3 não é raiz de p(x).
2. Dado o polinômio p(x) = x3 – 3x2 + 2, obtém-se:
p(1) = 0 ä 1 é raiz de p(x).
p(3) = 2 ä 3 não é raiz de p(x).
3. O número i é raiz do polinômio p(x) = x2 + 1, pois p(i) = –1 + 1 = 0.
30
Exercícios resolvidos
1. Sabendo que –3 é raiz de p(x) = x3 – 4x2 – ax + 48, calcule o valor de a.
Resolução:
Se –3 é raiz de p(x), logo p(–3) = 0.
Portanto:
p(–3) = (–3)3 – 4(–3)2 – a(–3) + 48 = 0 ä –27 – 36 + 3a + 48 = 0 ä
ä 3a = 15 ä a = 5
Logo, a = 5.
2. O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx admite as raízes 6 e 1.
Calcule os coeficientes a e b.
Resolução:
Se p(x) admite a raiz 6, logo p(6) = 0.
p(6) = 63 + a(6)2 + b(6) = 0 ä 216 + 36a + 6b = 0 ä 36 + 6a + b = 0
Se p(x) admite a raiz 1, logo p(1) = 0.
p(1) = 13 + a(1)2 + b(1) = 0 ä 1 + a + b = 0
Vamos formar o sistema:
Ao resolver o sistema, obtemos a = –7 e b = 6.
Logo, a = – 7 e b = 6.
equações polInomIaIs ou algébrIcas
Equação polinomial ou algébrica é toda equação que pode ser escrita na forma:
anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0 (com an ≠ 0)
da qual os an (an, an – 1, ..., a2, a1, a0) são elementos do conjunto dos números complexos, n [ N* e n representa 
o grau da equação.
Exemplos:
1. 3x + 1 = 0 é uma equação algébrica do primeiro grau.
2. x2 – 3x – 4 = 0 é uma equação algébrica do segundo grau.
3. x3 – 2x2 + x – 2 = 0 é uma equação algébrica do terceiro grau.
4. x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0 é uma equação algébrica do quarto grau.
5. 3x2 – 2ix + 1 = 0 é uma equação algébrica do segundo grau.
31
Raiz ou zero de uma equação polinomial ou algébrica
anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0
O valor a de x que satisfaz a igualdade, ou seja, o valor tal que:
ana
n + an – 1a
n – 1 + ... + a1a + a0 = 0
Exemplos:
1. x2 – 7x + 10 = 0 admite x = 5 como raiz:
(5)2 – 7(5) + 10 = 25 – 35 + 10 = 0
2. x3 – 3 x2 + 2 = 0 admite x = 1 como raiz:
(1)3 – 3(1)2 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
3. x4 + x3 – x2 – 4 = 0 admite x = –2 como raiz:
(–2)4 + (–2)3 – (–2)2 – 4 = 16 – 8 – 4 – 4 = 0
4. x2 + 1 = 0 admite x = i como raiz:
i2 + 1 = –1 + 1 = 0
Conjunto solução de uma equação algébrica
Trata-se do conjunto das raízes da equação.
Exemplos:
1. x2 – 7x + 10 = 0
S = {2, 5}
2. 3x – 5 = 0
S = { 5 __ 
3
 } 
3. x3 + x2 – 4x – 4 = 0
S = {–2, –1, 2}
4. x2 + 1 = 0
S = {–i, i}
Determinação das raízes de uma equação algébrica
Nosso objetivo é determinar o conjunto solução formado pelas raízes de uma equação algébrica, ou seja, resolver 
a equação da forma p(x) = 0, da qual p(x) é um polinômio.
Já sabemos resolver equações do primeiro e do segundo graus por meio de fórmulas simples, além de algu-
mas de grau maior do que 2 por meio de fatoração ou outro artifício:
 § ax + b = 0 (como a ≠ 0) ä x = – b __ a (raiz da equação de primeiro grau);
 § ax2 + bx + c = 0 (com a ≠ 0) ä x = –b ± dXX D _______ 
2a
 (raízes da equação de segundo grau), em que D = b2 – 4ac.
32
Não faltaram esforços para encontrar fórmulas que permitissem resolver qualquer equação algébrica de 
grau maior que 2, como estas:
 § x4 – 6x2 – 7x + 60 = 0
 § x4 – 8x3 – 25x2 + 44 = 0
Por fim, concluiu-se que o melhor meio de resolver essas equações polinomiais é fazer estimativas de pos-
síveis soluções.
Neste tópico, nosso objetivo é examinar alguns métodos que permitam estimar uma ou mais raízes de uma 
equação polinomial e, com isso, determinar todas elas.
Decomposição em fatores de primeiro grau
Em 1799, Gauss demonstrou o Teorema fundamental da Álgebra, que vamos admitir sem demonstração:
Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n (n > 1) tem pelo menos uma raiz complexa (real ou não).
De acordo com esse teorema, é possível mostrar que os polinômios de grau n > 1 podem ser decompostos 
num produto de fatores do primeiro grau.
Exemplos:
1. 2 é raiz de p(x) = x2 + 3x – 10, uma vez que p(2) = 0. De acordo com o teorema de D’Alembert, p(x) é 
divisível por x – 2:
q1(x) = x + 5
Portanto:
p(x) = (x – 2) ⋅ q1(x) = (x – 2)(x + 5)
2. –1 é raiz de p(x) = x3 – 2x2 – x + 2, uma vez que p(–1) = 0. De acordo com o teorema de D’Alembert, p(x) 
é divisível por x + 1:
q(x) = x2 – 3x + 2
Portanto:
p(x) = (x + 1) ⋅ q(x) = (x + 1)(x2 – 3x + 2)
Resolvendo x2 – 3x + 2 = 0, de acordo com a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes 1 e 2:
q(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2)
Em razão disso, podemos escrever:
p(x) = (x + 1)(x – 2)(x – 1)
33
Generalização
Dado o polinômio de grau n, do qual n > 1:
p(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
se x1, x2, …, xn são raízes de p(x), podemos escrevê-lo desta forma:
p(x) = (x – x1) (x – x2) (x – x3)... (x – xn) ⋅ qn(x), com q n (x) = an
Portanto:
p(x) = an(x – x1) (x – x2) (x – x3)... (x – xn)
da qual xn são as raízes de p(x) e an é o coeficiente de xn.
Exercícios resolvidos
1. Uma das raízes da equação 2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0 é 1. Resolva a equação.
Resolução:
Se 1 é raiz de p(x) = 0:
p(x) = (x – 1) ⋅ q1 (x) = 0 ä x – 1 = 0 ou q1 (x) = 0
Se o grau de q1(x) é 2 e sabendo resolver uma equação do segundo grau, podemos dizer que q1(x) = 0 
fornece as demais raízes.
Ao determinar q1(x), obtemos:
q1(x) = 2x2 – 2x – 4
Ao determinar as raízes de q1(x) = 0, obtemos:
2x2 – 2x – 4 = 0
D = 4 + 32 = 36
x = 2 ± 6 _____ 
4
 ä x' = 2 e x" = –1
Logo, as demais raízes são 2 e –1 e o conjunto solução da equação é S = {–1, 1, 2}.
2. Resolva a equação x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0, sabendo que –2 e 1 são raízes da equação.
Resolução:
Se –2 e 1 são raízes de p(x), obtemos:
p(x) = (x + 2)(x – 1) ⋅ q1(x) = 0.
Ao dividir p(x) por x + 2 e, em seguida, o coeficiente dessa divisão por x – 1, obtemos:
q1(x) = x2 – 2x – 3
34
Ao determinar as raízes de q1(x) = 0, obtemos.
x2 – 2x – 3 = 0
D = 16
x = 2 ± 4 _____ 
2
 ä x' = 3 e x" = –1
Logo, S = {–2, –1, 1, 3}.
3. Determine os valores de a, b e c, sabendo que as raízes da equação 3x3 + ax2 + bx + c = 0 são 1, –1 e 5.
Resolução:
Se 1, –1 e 5 são raízes da equação p(x) = 0, então p(x) é divisível por x – 1, x + 1 e x – 5.
Assim, temos:
Uma vez que os restos devem ser iguais a zero:
Ao substituir os valores de a e b na primeira equação, obtemos:
a = –15, b = –3 e c = 15
Multiplicidade da raiz
Na decomposição de um polinômio p(x) de grau n > 0 em um produto de n fatores do primeiro grau, encontramos 
dois ou mais fatores idênticos.
Numa equação algébrica de grau n, obtemos n raízes, das quais algumas podemser iguais, ou seja, toda 
equação algébrica de grau n > 0 tem, no máximo, n raízes diferentes.
O número de vezes que uma mesma raiz aparece indica a multiplicidade da raiz.
Exemplos:
1. No polinômio p(x) = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3)(x – 3) há dois fatores idênticos a x – 3. Nesse caso, 
dizemos que 3 é raiz dupla ou de multiplicidade 2.
2. No polinômio p(x) = x3 – 3x – 2 = (x + 1) (x + 1) (x – 2) = (x + 1)2(x – 2) dizemos que –1 é raiz dupla ou 
de multiplicidade 2, e 2 é raiz simples ou de multiplicidade 1.
3. No polinômio p(x) = x5 – 7x4 + 10x3 + 18x2 – 27x – 27 = (x – 3)3(x + 1)2 = (x – 3)(x – 3)(x – 3)(x + 1)(x + 1) 
há três fatores idênticos a (x – 3) e dois fatores idênticos a (x + 1). Nesse caso, dizemos que 3 é raiz tripla 
ou de multiplicidade 3 e –1 é raiz dupla ou de multiplicidade 2.
-1
35
Exercícios resolvidos
1. Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
Resolução:
Eliminemos sucessivas vezes a raiz 2 do polinômio até que isso não seja mais possível.
O que resulta em:
p(x) = (x – 2)3(x + 1)
Logo, 2 é raiz tripla ou de multiplicidade 3.
2. Resolva a equação x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0, sabendo que –1 é raiz dupla.
Resolução:
Se –1 é raiz dupla da equação, ela pode ser escrita na forma (x + 1)2 . q(x) = 0.
Para determinar q(x), devemos eliminar duas vezes sucessivas a raiz 1 da equação:
q1(x) = x2 – 5x + 6
A equação transforma-se em x2 – 5x + 6 = 0.
Ao resolvê-la, obtemos x'= 3 e x" = 2.
Logo, S = {–1, 2, 3}.
3. Dada a equação x3 + ax2 – 8x + b = 0, calcule os valores de a e b, de forma que 2 seja raiz dupla da equação.
Resolução:
Ao eliminar duas vezes sucessivas a raiz 2, obtemos:
Ao reduzir os restos a zero, obtemos:
Da equação (I), obtemos:
4a + 4 = 0 ä 4a = – 4 ä a = –1
36
Ao substituir a = –1 na equação (II), obtemos:
–4 – 8 + b = 0 ä b = 12
Logo, a = –1 e b = 12.
4. Determine uma equação algébrica do quarto grau que tenha –1 com raiz de multiplicidade 3 e 2 como outra 
raiz.
Resolução:
De acordo com os dados do problema:
(x + 1) (x + 1) (x + 1) (x – 2) = 0 ä (x + 1)3 (x – 2) = 0 ä (x3 + 3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0 ä
ä x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
Logo, a equação procurada é x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0, ou qualquer outra equivalente a ela, como 2x4 + 
2x3 – 6x2 – 10x – 4 = 0.
Se resolvermos a equação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Em R, isto é, com variáveis e coeficientes reais, podemos obter:
 § D > 0 duas raízes reais distintas;
 § D = 0 duas raízes reais iguais, ou seja, uma raiz real de multiplicidade 2; e
 § D < 0 nenhuma raiz real.
Em C, isto é, com variável e coeficientes complexos, podemos obter:
 § D = 0 uma raiz complexa de multiplicidade 2; e
 § D ≠ 0 duas raízes complexas distintas.
Relações de Girard
Consideremos a equação algébrica do segundo grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) e sejam x1 e x2 as suas raízes. A de-
composição do primeiro membro em fatores do primeiro grau é:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Ao desenvolver o produto, obtemos:
ax2 + bx + c = a[x2 – (x1 + x2) x + x1x2 ]
Ao dividir todos os termos por a, obtemos:
x2 + b __ a x + c __ a = x2 – (x1 + x2) x + x1x2
Pela igualdade de polinômios, obtemos:
– (x1 + x2) = b __ a ä x1 + x2 = – b __ a e x1x2 = c __ a 
Conhecidas de estudos anteriores, essas relações se estabelecem entre os coeficientes e as raízes de uma 
equação algébrica do segundo grau. Em seguida, vamos examinar equações algébricas de grau maior que 2.
Consideremos a equação algébrica do terceiro grau ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) e sejam x1, x2 e x3 as 
suas raízes.
37
Ao decompô-la em fatores do primeiro grau:
ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)
Ao desenvolver o produto, obtemos:
ax3 + bx2 + cx + d = a[x3 – (x1 + x2 + x3)x
2 + (x1x2 + x1x3 + x2 x3)x – x1x2x3]
Ao dividir todos os termos por a, obtemos:
x3 + b __ a x2 + c __ a x + d __ a = x3 – (x1 + x2 + x3)x
2 + (x1x2 + x1x3 + x2 x3)x – x1x2x3
Pela igualdade de polinômios, obtemos:
– (x1 + x2 + x3) = b __ a ä x1 + x2 + x3 = – b __ a 
x1x2 + x1x3 + x2 x3 = c __ a 
– x1x2x3 = d __ a ä x1x2x3 = – d __ a 
De forma análoga, considerando a equação algébrica de grau n:
anx
n + an – 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + … + a2x
2 + a1x + a0 = 0
cujas raízes x1, x2, x3, x4, ..., xn, são válidas estas relações entre as raízes e os coeficientes:
1. a soma das raízes é:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = – 
an – 1 ____ an
 
2. o produto das n raízes é:
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ xn (–1)n = 
a0 __ an
 
3. A soma dos produtos das raízes, quando tomadas:
a) duas a duas, é:
x1x2 + x1x3 + ... + xn – 1xn = 
an – 2 ____ an
 
b) três a três, é:
x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn – 2xn – 1xn = – 
an – 3 ____ an
 
c) quatro a quatro, é:
x1x2x3x4 + x1x2x3x5 + ... + xn – 3xn – 2xn – 1xn = 
an – 4 ____ an
 
Essas relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação algébrica são denominadas relações 
de Girard.
38
Exercícios resolvidos
1. Escreva as relações de Girard para a equação algébrica x3 + 7x2 – 3x + 5 = 0, considerando x1, x2, e x3 as 
raízes da equação.
Resolução:
De acordo com a equação:
a3 = 1; a2 = 7; a1 = –3; a0 = 5
Portanto, obtemos:
x1 + x2 + x3 = – ( 7 __ 
1
 ) = –7
x1x2 + x1x3 + x2x3 = + ( –3 ___ 
1
 ) = –3
x1x2x3 = – ( 5 __ 
1
 ) = –5
2. Uma equação algébrica do terceiro grau tem raízes –1, 1 e 2. Sabendo que o coeficiente do termo de ter-
ceiro grau é 2, determine os outros coeficientes e escreva a equação.
Resolução:
Se a equação é de terceiro grau, a forma é:
ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a = 2.
Portanto, obtemos:
2x3 + bx2 + cx + d = 0
Da qual resulta:
x1 + x2 + x3 = –1 + 1 + 2 = 2 = – ( b __ 
2
 ) ä b = –4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = –1 – 2 + 2 = –1 = + ( c __ 
2
 ) ä c = –2
x1x2x3 = (–1) · 1 · 2 = –2 = – ( d __ 
2
 ) ä d = 4
Logo, os outros coeficientes são b = –4, c = –2 e d = 4, e a equação pedida é 2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0.
3. Sabendo que x1, x2 e x3 são as raízes da equação x3 – 2x2 – 4x + 1 = 0, calcule x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 .
Resolução:
De acordo com as relações de Girard, sabemos que:
x1 + x2 + x3 = 2 (I)
x1x2 + x1x3 + x2x3 = –4 (II)
x1x2x3 = –1 (III)
Considerando a relação (I), vamos elevar ambos os membros ao quadrado:
(x1 + x2 + x3)
2 = 22 ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 4 ä
ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2 (x1x2 + x1x3 + x2x3) = 4
Uma vez que x1x2 + x1x3 + x2x3 = –4, obtemos:
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2 (–4) = 4 ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 – 8 = 4 ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 12
Logo, x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 12.
39
4. As raízes da equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em PA. Nessa condição, resolva a equação.
Resolução:
Se x1, x2 e x3 são as raízes da equação, vamos representá-las por:
x1 = a – r
x2 = a
x2 = a + r
De acordo com as relações de Girard, obtemos:
x1 + x2 + x3 = 9 ä a – r + a + a + r = 9 ä 3a = 9 ä a = 3
Uma vez que x2 = a = 3 é uma das raízes, obtemos:
p(x) = (x – 3) · q(x) = 0
q(x) = x2 – 6x + 5 = 0
Ao resolver a equação, obtemos x’ = 5 e x” = 1.
Logo, S = {1, 3, 5}.
5. Resolva a equação x3 – 5x2 + 7x – 3 = 0, sabendo que uma raiz é dupla.
Resolução:
Uma vez que uma raiz é dupla, vamos indicar as raízes por x1, x1 e x2.
De acordo com as relações de Girard, obtemos:
x1 + x1 + x2 = 5 ä 2x1 + x2 = 5 (I)
x1x1 + x1x2 + x1x2 = 7 ä x 2 1 + 2x1x2 = 7 (II)
x1x1 x2 = 3 ä x 2 1 x2 = 3 (III)
Da relação (I) obtemos:
2x1 + x2 = 5 ä x2 = 5 – 2x1
Ao substituir por (II), obtemos:
x 2 1 + 2x1x2 = 7 ä x 2 1 + 2x1(5 – 2x1) = 7 ä x 2 1 + 10x1 – 4x 2 1 – 7 = 0 ä
ä – 3 x 2 1 + 10x1 – 7 = 0 ä 3x 2 1 – 10x1 + 7 = 0
D = 16
x1 = 10 ± 4 ______ 
6
 ä x' = 7 __ 
3
 e x" = 1
Verifiquemos qual dos valores de x1 é raiz da equação inicial:
p ( 7 __ 
3
 ) = 32 ___ 
27
 ä 7 __ 
2
 (não é a raiz da equação) e p(1) = 0 ä 1 (é a raiz dupla da equação)
Portanto, se x1 = 1, obtemos:
x2 = 5 – 2(1) = 3
Logo, S = {1, 3}.40
Pesquisa de raízes racionais de uma 
equação algébrica de coeficientes inteiros
Vimos que as equações polinomiais de grau maior que 2 não têm um processo determinado de resolução por meio 
de fórmulas. Procuremos, então, uma ou mais raízes e com elas encontrar todas as raízes.
É possível demonstrar uma propriedade que auxilia a pesquisa das raízes racionais de uma equação algé-
brica de coeficientes inteiros.
Se o número racional 
p
 __ q , com p e q primos entre si, for raiz de uma equação algébrica de coeficiente inteiros:
anx
n + an - 1x
n - 1 + an - 2x
n - 2 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0
p é divisor de a0 e q é divisor de an.
Exercícios resolvidos
1. Pesquise as raízes racionais da equação 3x3 + 2x2 – 7x + 2 = 0.
Resolução:
Na equação dada, a0 = 2 e a3 = 3.
p é divisor de 2 ä p [ {–1, 1, –2, 2}.
q é divisor de 3 ä q [ {–1, 1, –3, 3}.
Pela propriedade, as prováveis raízes racionais são:
 
p
 __ q [ { –1, 1, –2, 2, – 1 __ 
3
 , 1 __ 
3
 , – 2 __ 
3
 , 2 __ 
3
 } 
Ao verificar, obtemos:
p(–1) = 8 ä –1 (não é raiz)
p(1) = 0 ä 1 é raiz
A partir da raiz descoberta:
3x2 + 5x – 2 = 0
D = 25 + 24 = 49
x = –5 ±7 _____ 
6
 ä x' = 2 __ 
6
 = 1 __ 
3
 e x" = –12 ____ 
6
 = –2
Logo, S = { –2, 1 __ 
3
 , 1 } .
41
Observação
Como as outras duas raízes, além de 1, também são números racionais, elas seriam descobertas se a pesquisa das 
raízes racionais prosseguisse:
p(–2) = 0 ä –2 é raiz
p(2) = 20 ä 2 não é raiz
p ( – 1 __ 
3
 ) = 40 ___ 
9
 ä – 1 __ 
3
 não é raiz
p ( 1 __ 
3
 ) = 0 ä 1 __ 
3
 é raiz
p ( – 2 __ 
3
 ) = 20 ___ 
3
 ä – 2 __ 
3
 não é raiz
p ( 2 __ 
3
 ) = – 8 __ 
9
 ä – 2 __ 
3
 não é raiz
2. Resolva a equação x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0.
Resolução:
Pela equação dada, temos a0 = 6 e a4 = 1.
p é divisor de 6 ä p [ {–1, 1, –2, 2, –3, 3, –6, 6}.
q é divisor de 1 ä q [ {–1, 1}.
Pela propriedade, as possíveis raízes racionais são:
 
p
 __ q [ {–1, 1, –2, 2, –3, 3, –6, 6}
Ao pesquisar, obtemos:
p(–1) = 0 ä –1 é raiz
p(1) = 0 ä 1 é raiz
Considerando que –1 e 1 são raízes da equação, vamos obter as outras duas raízes:
p(x) = (x + 1)(x – 1) . q(x) = 0 e q(x) = x2 + x – 6
Ao fazer x2 + x – 6 = 0 e resolvendo a equação, obtemos x' = 2 e x" = – 3.
Logo, S = {–3,–1, 1, 2}.
Raízes complexas não reais numa 
equação algébrica de coeficientes reais
Consideremos a equação algébrica x2 – 2x + 2 = 0, que tem todos os coeficientes reais e pode ser resolvida pela 
chamada fórmula de Bhaskara:
x = 2 ± √
__
 –4 _______ 
2
 = 2 ± 2i _____ 
2
 ä x' = 1 + i e x" = 1 – i
S = {1 + i, 1 – i}
42
Observemos que a raiz 1 + i é um número complexo não real e a outra raiz, 1 – i, é o seu conjugado.
Vamos demonstrar que, se uma equação polinomial de coeficientes reais admitir com raiz o número com-
plexo a + bi, com b ≠ 0, o complexo conjugado a – bi também será raiz da equação.
Para fazer essa demonstração, vamos lembrar antes as propriedades do conjugado de um número complexo, 
estudadas no capítulo anterior.
Dados os números complexos z1 e z2, dos quais — z1 e — z2 são seus respectivos conjugados, obtemos:
z1 = z2 à — z1 = — z2 
 ——— z1 + z2 = — z1 + — z2 
z1 = — z1 à z1 é número real
 —— z1z2 = — z1 
— z2 
 — z n 1 = ( — z 1 ) n
Consideremos, agora, a equação algébrica de grau n > 1, com todos os coeficientes reais:
anx
n + an – 1x
n – 1+ ... + a1x + a0 = 0
Suponhamos que o número complexo não real z seja raiz dessa equação e vamos demonstrar que — z também 
o é.
z é raiz ⇒ anz
n + an – 1z
n - 1 +... + a1z + a0 = 0 ä
ä 
————————————
 anz
n + an – 1z
n – 1 + ... + a1z + a0 = 0
ä —— anz
n + an – 1 
——
 zn – 1 + ... + a1 
— z + a0 = 0 é raiz
ä an ( 
— z ) n + an – 1 ( 
— z ) n – 1 + ... + a1 
— z + a0 ∴ — z é raiz
Exercício resolvido
1. Resolva estas equações.
a) x4 – 9x3 + 30x2 – 42x + 20 = 0, sabendo que 3 + i é uma raiz da equação.
Resolução:
Se 3 + i é raiz da equação dada, seu conjugado 3 – i também é raiz da equação. Logo:
p(x) = [x – (3 + i)][x – (3 – i)] . q(x) = [(x – 3) – i][(x – 3) + i] . q(x) ä p(x) = [(x – 3)2 – i2] . q(x) ä
ä p(x) = (x2 – 6x + 10) . q(x)
Calculemos q(x), dividindo p(x) por x2 – 6x + 10:
x4 – 9x3 + 30x2 – 42x + 20 x2 – 6x + 10
– x4 + 6x3 – 10x2 x2 – 3x + 2
– 3x3 + 20x2 – 42x + 20 
+ 3x3 – 18x2 + 30x
2x2 – 12x + 20 
– 2x2 + 12x – 20
0
q(x) = x2 – 3x + 2
Ao fazer x2 – 3x + 2 = 0 e resolvendo a equação, obtemos x' = 2 e x" = 1.
Logo, S = {3 + i, 3 –, i, 2, 1}.
43
b) x5 – 3x4 + 5x3 – 15x2 + 4x – 12 = 0, sabendo que i e 2i são raízes.
Resolução:
Se i e 2i são raízes e como todos os coeficientes são números reais, podemos garantir que seus conjugados 
–i e –2i também são raízes. Resta descobrir a quinta raiz, que é um número real:
i 1 –3 5 –15 4 –12
–i 1 –3 + i 4 – 3i –12 + 4i –12i 0
2i 1 –3 4 –12 0
–2i 1 –3 + 2i –6i 0
1 –3 0
x – 3 = 0 ä x = 3
Logo, S = {i, –i, 2i, –2i, 3}.
44
e.o. teste I
 1. (UEPB) O produto entre as raízes da equação 
x4 + 3x2 + 2 = 0 é: 
a) 2. 
b) 1. 
c) dXX 2 . 
d) –1. 
e) 2i. 
 2. Sabendo-se que –5, a e b são raízes da equação 
x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0, logo, o valor de a + b é: 
a) –3. 
b) –2. 
c) –1. 
d) 0. 
 3. (UFRGS) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) 
= 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das 
outras raízes é 
a) –1. 
b) –0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
 4. (UFRGS) As raízes do polinômio p(x) = x3 + 
+ 5x2 + 4x são: 
a) –4, –1 e 0. 
b) –4, 0 e 1 
c) –4, 0 e 4 
d) –1,0 e 1. 
e) 0,1 e 4. 
 5. Se 3 e 1 __ 3 são as raízes da equação ax2 – 6x + p = 0, 
então o valor de a + p é: 
a) –5. 
b) –9 ___ 5 . 
c) 0. 
d) 18 ___ 5 . 
e) 4. 
 6. (Unesp) Dado que as raízes da equação 
x3 – 3x2 – x + k = 0, onde k é uma constante 
real, formam uma progressão aritmética, o 
valor de k é: 
a) –5. 
b) –3. 
c) 0. 
d) 3. 
e) 5. 
 7. (FGV-RJ) A equação polinomial 
x3 – x2 – 16x – 20 = 0 tem raízes x1, x2 e 
x3. O valor da expressão 1 __ x1
 + 1 __ x2
 + 1 __ x3
 é: 
a) 1. 
b) – 3 __ 4 . 
c) 4 __ 5 . 
d) 3 __ 4 . 
e) – 4 __ 5 . 
 8. (UFRGS) Um polinómio de 5º grau com coe-
ficientes reais que admite os números com-
plexos –2 + i e 1 – 2i; como raízes, admite: 
a) no máximo mais uma raiz complexa. 
b) 2 – i e –1 + 2i como raízes. 
c) uma raiz real. 
d) duas raízes reais distintas. 
e) três raízes reais distintas. 
 9. (Uece) Se os números m, p e q são as solu-
ções da equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0, então 
o valor da soma log2m + log2p + log2q é: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 10. (Aman) Os polinômios A(x) e B(x) são tais 
que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-
-se que –1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), 
então A(3) – B(–1) é igual a: 
a) 98. 
b) 100. 
c) 102. 
d) 103. 
e) 105. 
e.o. teste II
 1. (Unesp) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + 
x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das 
outras duas. O conjunto solução (S) desta 
equação é: 
a) S = {–3, –2, –1}. 
b) S = {–3, –2, +1}. 
c) S = {+1, +2, +3}. 
d) S = {–1, +2, +3}. 
e) S = {–2, +1, +3}. 
 2. (UEPB) Se uma das raízes do polinômio 
p(x) = x3 + x2 + 4x + 4 é o número complexo 
z = –2i, as outras raízes são: 
a) 1 e –1. 
b) –1 e 2i. 
c) –1 e 2. 
d) –1 e 3. 
e) 2 e 2i. 
45
 3. (Afa) As raízes da equação algébrica 
2x3 – ax2 + bx + 54 = 0 formam uma progres-
são geométrica.
Se a, b ∈ R, b ≠ 0, então a __ 
b
 é igual a: 
a) 2 __ 3 . 
b) 3. 
c) – 3 __ 2 . 
d) – 1 __ 3 . 
 4. (Mackenzie) Se a, b e g são as raízes da 
equação x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são 
coeficientes reais e a = 1 – 2i é uma das raí-
zes dessa equação, então a ⋅ b ⋅ g é igual a: 
a) 15. 
b) 9. 
c) –15. 
d) –12. 
e) –9. 
 5. (Unicamp) Sejam r, s e t as raízes do polinô-
mio p(x) = x3 + ax2 + bx + ( b __ a ) 3, em que a e 
b são constantes reais não nulas. Ses2 = rt, 
então a soma de r + t é igual a: 
a) b __ a + a. 
b) – b __ a – a. 
c) a – b __ a . 
d) b __ a – a. 
 6. (Mackenzie) Se a, b e c são as raízes do po-
linômio p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8, tais que 
a = –2bc , o valor de a __ 
b
 + a __ c : 
a) 2. 
b) 1 __ 2 . 
c) –2. 
d) 3. 
e) – 1 __ 4 . 
 7. (Fuvest) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 
são p, q e 2. O valor de p2 + q2 é: 
a) 5/9. 
b) 10/9. 
c) 20/9. 
d) 26/9. 
e) 31/9. 
 8. (Insper) A equação x5 = 8x2 possui duas raí-
zes imaginárias, cuja soma é: 
a) −2. 
b) −1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 2. 
 9. (Unifesp) Sejam p, q, r as raízes distintas 
da equação x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos 
quadrados dessas raízes é igual a: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 9. 
 10. (Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raí-
zes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 
0 é igual a 1.
Então o valor de k é: 
a) –8. 
b) –4. 
c) 0. 
d) 4. 
e) 8. 
e.o. teste III
 1. (Ita) Considere os polinômios em x ∈ R da 
forma p(x) = x5 + a3x
3 + a2x
2 + a1x. As raízes 
de p(x) = 0 constituem uma progressão arit-
mética de razão 1 __ 2 quando (a1,a2,a3) é igual a: 
a) ( 1 __ 4 , 0, 5 __ 4 ) . 
b) ( 1 __ 4 , 1, 5 __ 4 ) . 
c) ( 1 __ 4 , 0, – 5 __ 4 ) . 
d) ( 5 __ 4 , 0, 1 __ 4 ) . 
e) ( 1 __ 4 , –1, – 1 __ 4 ) . 
 2. (Afa) O polinômio P(x) = x4 – 75x2 + 250x 
tem uma raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que: 
a) apenas uma de suas raízes é negativa. 
b) a sua raiz dupla é negativa. 
c) três de suas raízes são negativas. 
d) nenhuma de suas raízes é negativa. 
 3. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x3 
– x2 + ax – a, onde a é um número real. Se x = 
1 é a única raiz real de p(x), então podemos 
afirmar que: 
a) a < 0. 
b) a < 1. 
c) a > 0. 
d) a > 1. 
46
 4. (Fatec) Se x = 2 é uma das raízes da equação 
x3 – 4x2 + mx – 4 = 0, m ∈ R, então as suas 
outras raízes são números: 
a) negativos. 
b) inteiros. 
c) racionais não inteiros. 
d) irracionais. 
e) não reais. 
 5. (Fgv) A função polinomial P(x) = x3 + ax2 
+ bx + c tem a propriedade de que a mé-
dia aritmética dos seus zeros, o produto dos 
seus zeros e a soma dos seus coeficientes são 
todos iguais. Se o intercepto do gráfico de 
y = P(x) com o eixo y ocorre no ponto de 
coordenadas (0,2), b é igual a: 
a) 5. 
b) 1. 
c) –9. 
d) –10. 
e) –11. 
e.o. dIssertatIVo
 1. (UFPE) Se as raízes a equação 
x3 – 7x2 – 28x + k = 0 são termos de uma 
progressão geométrica, determine e assinale 
o valor do termo constante k. 
 2. (Fuvest) As raízes do polinômio p(x) = x3 – 
3x2 + m, onde m é um número real, estão em 
progressão aritmética. Determine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio. 
 3. (Fuvest) Um polinômio de grau 3 possui três 
raízes reais que, colocadas em ordem cres-
cente, formam uma progressão aritmética 
em que a soma dos termos é igual a 9/5. A 
diferença entre o quadrado da maior raiz e o 
quadrado da menor raiz é 24/5.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de 
maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse poli-
nômio. 
 4. (Fuvest) O polinômio p(x) = x4 + ax3 + bx2 
+ cx – 8, em que a, b, c são números reais, 
tem o número complexo 1 + i como raiz, bem 
como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) 
e determine todos os polinômios com coe-
ficientes reais, de menor grau, que possuam 
esses novos valores como raízes. 
 5. (UFJF) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + c um poli-
nômio com coeficientes reais. Sabe-se que as 
três raízes desse polinômio são o quarto, o 
sétimo e o décimo sexto termos de uma pro-
gressão aritmética, cuja soma de seus vinte 
primeiros termos é igual a 80 ___ 3 e o seu décimo 
terceiro termo é igual a 3. Encontre os valo-
res de a, b e c. 
 6. (UFG) Com base no polinômio p(x) = x4 – 25:
a) determine os valores de x, no conjunto dos 
números reais, tais que p(x) < 0; 
b) escreva p(x) como um produto de três poli-
nômios com coeficientes reais; 
c) considerando-se a representação dos núme-
ros complexos em um plano cartesiano, cal-
cule a área do polígono cujos vértices são as 
raízes de p(x). 
 7. (Unicamp) Dada a equação polinomial com 
coeficientes reais 
x3 – 5x2 + 9x – a = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que 
o número complexo 2 + i seja uma das raízes 
da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item ante-
rior, determine as outras duas raízes da mes-
ma equação. 
 8. (IME) O polinômio P(x) = x5 – 3 x4 + 10x3 – 
30x2 + 81x – 243 possui raízes complexas 
simétricas e uma raiz com valor igual ao mó-
dulo das raízes complexas. Determine todas 
as raízes do polinômio. 
 9. (UFPE) O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem 
coeficientes a, b números inteiros, e suas ra-
ízes são inteiras e distintas. Indique |a| + 
|b|. 
 10. (Unesp) Seja z = 1 + i um número complexo.
a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, 
de menor grau, que tem z e |z|2 como raízes 
e coeficiente dominante igual a 1. 
47
gabarIto
E.O. Teste I
1. A 2. C 3. B 4. A 5. D
6. D 7. E 8. C 9. C 10. C
E.O. Teste II
1. B 2. B 3. D 4. C 5. D
6. C 7. D 8. A 9. B 10. A
E.O. Teste.III
1. C 2. A 3. C 4. E 5. E
E.O. Dissertativo
 1. k = 64
 2. 
a) 2
b) 1 – dXX 3 , 1 e 1 + dXX 3 
 3. 
a) (–7/5, 3/5, 13/5)
b) –73/5 
 4. 
a) a = –2, b = –2 e c = 8 
b) q(x) = k ⋅ (x2 + 1)⋅(x – 1)⋅(x + 3) (k ≠ 0)
 5. a = –1, b = –17, c = –15
 6. 
a) x ∈ R | – dXX 5 < x < dXX 5 
b) Fatorando o polinômio, temos:
 p(x) = (x2)2 – 52 = (x2 + 5) ⋅ (x2 – dXX 5 2) = 
(x2 + 5)⋅(x + dXX 5 )⋅(x – dXX 5 ) = 0
c) A área do quadrilátero pedido é 10. 
 7. 
a) a = 5
b) 2 – i e 1 
 8. As raízes de P(x) são 3, dXX 7 + dXX 2 i, dXX 7 – dXX 2 i, 
– dXX 7 + dXX 2 i e – dXX 7 – dXX 2 i.
 9. 20
 10. 
a) z = dXX 2 [cos(p/4) + i sen(p/4)] e 
z3 = 2 dXX 2 [cos(3p/4) + i sen(3p/4)]
b) x3 – 4x2 + 6x – 4 
Polinômios
Aulas 51 e 52
49
Operações cOm pOlinômiOs
Vamos retomar com exemplos e operações conhecidas no estudo de expressões algébricas – adição, subtração 
e multiplicação de polinômios e multiplicação de um número real por um polinômio. Em seguida, estudaremos 
detalhadamente a divisão de polinômios.
1. Se p(x) = 3x2 + 2x – 1 e q(x) = –x3 + 4x2 – 2x – 5, obtemos:
p(x) + q(x) = –x3 + (3 + 4)x2 + (2 – 2)x + (–1 – 5) = –x3 + 7x2 – 6
2. Se p(x) = 3x2 – 4x + 1 e q(x) = 5x2 – 3x + 4, obtemos:
p(x) – q(x) = 3x2 – 4x + 1 – 5x2 + 3x – 4 = –2x2 – x – 3
3. Dados p(x) = 2x3 – 4x2 + 5x – 3 e q(x) = 7, obtemos:
q(x) · p(x) = 7(2x3 – 4x2 + 5x – 3) = 14x3 – 28x2 + 35x – 21
4. Dados p(x) = 3x – 4 e q(x) = –2x + 5, obtemos:
p(x) · q(x) = (3x – 4)(–2x + 5)= –6x2 + 15x + 8x – 20 = –6x2 + 23x – 20
Exercícios resolvidos
1. Sabendo que a _____ 
x + 2
 + b ____ 
x – 1
 = 7x + 8 ________ 
x2 + x – 2
 , determine os valores de a e b.
Resolução:
Uma vez que (x + 2)(x –1) = x2 + x – 2, obtemos:
 a(x – 1) + b(x + 2) ______________ 
 (x + 2)(x – 1)
 = 7x + 8 ________ 
 x2 + x – 2
 ä ax – a + bx + 2b _____________ 
 (x + 2)(x – 1)
 = 7x + 8 ________ 
 x2 + x –2
 ä
ä (a + b)x + (–a + 2b) ________________ 
 (x + 2)(x – 1)
 = 7x + 8 ________ 
 x2 + x – 2
 
Para que a igualdade se verifique, devemos ter:
Ao resolver o sistema, obtemos a = 2 e b = 5.
2. Se os polinômios p, q e r têm, respectivamente, graus 3, 5 e 1, determine o grau de:
a) p + q
Resolução:
Na soma de um polinômio de grau 3 com um de grau 5 prevalece o maior grau. Logo, o grau de 
(p + q) é 5.
b) p · q
Resolução:
No produto de um polinômio de grau 3 com um de grau 5 o resultado terá grau 3 + 5 = 8.
c) p · r – q
Resolução:
O grau do produto p · r é 3 + 1 = 4. Na subtração p · r – q, prevalece o maior grau, entre o grau 4 de 
p · r e o grau5 de q. 
Portanto, o grau de (p · r – q) é 5.
50
DivisãO De pOlinômiOs
Dados dois polinômios p(x) e h(x), com h(x) não nulo, dividir p(x) por h(x) significa encontrar dois polinômios q(x) e 
r(x) que satisfaçam as seguintes condições:
1. p(x) = h(x) · q(x) + r(x)
2. o grau de r(x) não pode ser igual nem maior que o grau de h(x) ou então r(x) = 0.
Portanto, dizemos que:
 § p(x) é o dividendo;
 § h(x) é o divisor;
 § q(x) é o quociente;
 § r(x) é o resto.
Para dividir o polinômio, usamos o método da chave, semelhante ao empregado para números inteiros.
Método da chave
Considerando esta divisão de números inteiros:
1º) 
 
»
 
 33 7 8
4
33 : 8 é 4
3º) 
 
»
 
 33 7 8
–32 42
17
17 : 8 é 2
2º) 
 
»
 
 33 7 8
 –32 
 1
Subtraindo (ou somando
com o sinal trocado):
33 – 32 = 1
4º) 
 
»
 
 33 7 8
–32 42
17
–16
1
2 · 8 = 16
17 – 16 = 1
Observamos que:
Utilizemos a mesma técnica para a divisão de polinômios.
1. 
x2 : x = x
2. 
x(x – 3) = x2 – 3x
Trocando o sinal: –x2 + 3x
51
3. 
–2x : x = –2
4. 
–2(x – 3) = –2x + 6
Trocando o sinal: 2x – 6
Verificamos que:
Exercícios resolvidos
1. Efetue a divisão de p(x) = 2x4 – 2x3 – 13x2 + 10x – 1 por h(x) = 2x2 + 4x – 3 e faça a verificação.
Resolução:
Ao fazer a verificação, obtemos:
q(x) · h(x) + r(x) = (x2 – 3x + 1)(2x2 + 4x – 3) + (–3x + 2)
(2x4 – 2x3 – 13x2 + 13x – 3) + (–3x + 2)
2x4 – 2x3 – 13x2 + 10x – 1 = p(x)
2. O polinômio p(x) = x3 – 4x2 – x + 4 é divisível por h(x) = x2 – 3x – 4. Nessas condições, resolva a equação 
x3 – 4x2 – x + 4 = 0.
Resolução:
x3 – 4x2 – x + 4 = (x2 – 3x – 4)(x – 1)
 -x3 + 3x2 + 4x
52
Uma vez que x3 – 4x2 – x + 4 = 0, obtemos:
(x2 – 3x – 4)(x – 1) = 0
Portanto, a resolução da equação dada recai na resolução já conhecida de equações de graus menores:
(x2 – 3x – 4)(x – 1) = 0 ä x2 – 3x – 4 = 0 ou x – 1 = 0
Ao resolver a primeira equação, obtemos:
x2 –3x – 4 = 0 ä x' = 4 e x" = –1
Ao resolver a segunda, obtemos:
x – 1 = 0 ä x = 1
Logo, S = {–1, 1, 4}.
DivisãO pOr x – a (DispOsitivO práticO De BriOt-ruffini)
Com o método da chave, vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por h(x) = x – 2.
q(x) = 3x2 + x + 3
r(x) = 4
Há, no entanto, um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira 
mais simples e rápida: é o chamado dispositivo prático ou algoritmo de Briot-Ruffini.
Roteiro desse dispositivo prático na divisão de 
p(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por h(x) = x – 2
1. 
2. 
53
3. Repetimos (ou “baixamos”) o primeiro coeficiente do dividendo:
3 · 2 = 6 e 6 + (–5) = 1
4. Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos o produto com o próximo termo do dividendo:
1 · 2 = 2 e 2 + 1 = 3
5. Repetimos o processo para obter o novo termo do quociente:
3 · 2 = 6 e 6 + (–2) = 4
De acordo com o quadro, obtemos:
q(x) = 3x2 + x + 3
r(x) = 4
que é o mesmo resultado obtido pelo método da chave.
Logo:
3x3 – 5x2 + x – 2 = (x – 2)(3x2 + x + 3) + 4
Exercícios resolvidos
1. Divida p(x) = 2x4 + 7x3 – 4x + 5 por h(x) = x + 3.
Resolução:
Quociente: q(x) = 2x3 + x2 – 3x + 5
Resto: r(x) = –10
Logo, 2x4 + 7x3 – 4x + 5 = (x + 3)(2x3 + x2 – 3x + 5) – 10.
54
2. Determine o quociente e o resto da divisão de p(x) = 2x2 – 5x + 2 por h(x) = 2x – 1.
Resolução:
Observe: neste caso, o coeficiente de x no binômio não é igual a 1. Para obter o quociente e o resto pedidos, 
devemos dividir todos os coeficientes de p(x) e de h(x) por 2. O quociente procurado será q(x) e o resto 
também ficará dividido por 2 · ( r(x) ___ 
2
 ) .
 
p(x)
 ___ 
2
 = x2 – 5 __ 
2
 x + 1
 h(x) ___ 
2
 = x – 1 __ 
2
 
Ao aplicar o dispositivo prático, obtemos:
Quociente: q(x) = x – 2
Resto: r(x) ___ 
2
 = 0 ⇒ r(x) = 0
Logo, 2x2 – 5x + 2 = (x – 2)(2x – 1).
3. Calcule o valor de m de modo que o polinômio p(x) = 2x3 + 5x2 + mx + 12 seja divisível por h(x) = x + 3.
Resolução:
Para que p(x) seja divisível por h(x), o resto deve ser nulo, ou seja:
–3m + 3 = 0 ⇒ 3m = 3 ⇒ m = 1
Logo, m = 1.
4. Efetue a divisão de p(x) por q(x) para p(x) = x3 – (4 + 2i)x2 + 9ix + 2 e q(x) = x – 2i.
Resolução:
Logo, p(x): q(x) = x2 – 4x + i.
55
teOrema De D'alemBert
De acordo com esse teorema, o resto da divisão de um polinômio p(x) por x – a é p(a).
Antes da demonstração, vamos verificar o teorema mediante um exercício.
Vamos determinar o resto da divisão de p(x) = x3 – x2 – 2x + 3 por x + 2 e compará-lo com p(–2).
 § Pelo método da chave:
+
 § Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini:
Ao verificar o teorema de D’Alembert:
p(–2) = (–2)3 – (–2)2 – 2(–2) + 3 = –8 – 4 + 4 + 3 = –5
Vamos à demonstração.
Considere que a divisão de p(x) por x – a resulta um quociente q(x) e um resto r:
p(x) = (x – a) . q(x) + r
Se x = a, obtemos:
p(a) = (a – a) . q(a) + r = 0 · q(a) + r = 0 ⇒ r = p(a)
Exercícios resolvidos
1. Calcule o resto da divisão de p(x) = 2x3 – x2 + 5x – 3
 
por h(x) = x – 4.
Resolução:
De acordo com o teorema de D’Alembert, o resto é igual a:
p(4) = 2(4)3 – (4)2 + 5(4) – 3 = 128 – 16 + 20 – 3 = 129
Logo, o resto dessa divisão é 129.
2. Determine o valor de a, de modo que o polinômio p(x) = 2x3 + 5x2 – ax + 2
 
seja divisível por h(x) = x – 2.
Resolução:
Se p(x) é divisível por h(x), o resto da divisão é 0. De acordo com o teorema de D’Alembert:
p(2) = 0 ⇒ 2(2)3 + 5(2)2 – a(2) + 2 = 0 ⇒ 16 + 20 – 2a + 2 = 0 ⇒ 2a = 38 ⇒ a = 19
Logo, a = 19.
 -3x3 - 2x2
56
teOrema DO fatOr
Se c é uma raiz de um polinômio p(x) de grau n > 0, x – c é um fator de p(x).
De acordo com o teorema de D’Alembert, a divisão de p(x) por x – c resulta um quociente q(x) e um resto 
p(c) tal que:
p(x) = (x – c)q(x) + p(c)
Se c é uma raiz de p(x), p(c) = 0, e obtemos:
p(x) = (x – c)q(x)
Portanto, x – c é um fator de p(x).
Consequentemente, p(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), com a ≠ b, se, e somente se, p(x) for divisível 
por (x – a)(x – b).
Exercícios resolvidos
1. Dados p(x) = x3 + x2 – 10x + 8, determine p(x) para x = 3, x = 2 e x = 0. Em seguida, escreva p(x) como 
produto de dois fatores.
Resolução:
p(3) = (3)3 + (3)2 – 10(3) + 8 = 27 + 9 – 30 + 8 = 14
p(2) = (2)3 + (2)2 – 10(2) + 8 = 8 + 4 – 20 + 8 = 0
p(0) = (0)3 + (0)2 – 10(0) + 8 = 8
Como p(2) = 0, x – 2 é um fator de p(x).
De acordo com Briot-Ruffini:
Logo, q(x) = x2 + 3x – 4.
p(x) = (x – 2)(x2 + 3x – 4)
2. Determine os valores de a e b para que o polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx + 20
 
seja divisível por (x + 1)(x – 4).
Resolução:
Se p(x) é divisível por (x + 1)(x – 4), ele deve ser divisível por (x + 1) e por (x – 4).
Se p(x) é divisível por x + 1, obtemos:
p(–1) = 0 ⇒ (–1)3 + a(–1)2 + b(–1) + 20 = 0 ⇒ – 1 + a – b + 20 = 0 ⇒ a – b = – 19
Se p(x) é divisível por x – 4, obtemos:
p(4) = 0 ⇒ (4)3 + a(4)2 + b(4) + 20 = 0 ⇒ 64 + 16a + 4b + 20 = 0 ⇒ 4a + b = –21
Portanto:
a – b = –19
4a + b = –21
Ao resolver o sistema, obtemos a = –8 e b = 11.
57
e.O. teste i
 1. (Espm) O resto da divisão do polinômio 
x5 – 3x2 + 1 pelo polinômio x2 – 1 é: 
a) x – 1. 
b) x + 2. 
c) 2x – 1. 
d) x + 1. 
e) x – 2.
 2. (Cefet-MG) Os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 
e B(x) = x4 – 2x3 + kx2 – 3x – 2 têm uma úni-
ca raiz em comum. Os valores possíveis para 
k são números: 
a) pares. 
b) primos. 
c) inversos. 
d) ímpares. 
e) simétricos.
 3. (Ueg) A divisão do polinômio x3 + 2x2 – 5x – 6 
por (x + 1) (x – 2) é igual a: 
a) x – 3. 
b) x + 3. 
c) x – 6. 
d) x + 6.
 4. Quais são os polinômios que representam o 
quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do 
polinômio p(x) = x3 + 5x2 + 6 pelo polinômio 
d(x) = x2 – 3?
a) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x + 21. 
b) q(x) = x + 5 e r(x) = –(3x + 21). 
c) q(x) = x – 5 e r(x) = –3x + 21. 
d) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x – 21. 
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21.
 5. (PUC-PR) Se (x – 2) é um fator do polinômio 
x3 + kx2 + 12x – 8 ,então, o valor de k é igual a: 
a) –3. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 6. 
e) –6.
 6. (Aman) O polinômio f(x) = x5 – x3 + x2 + 1, 
quando divididopor q(x) = x3 – 3x + 2 dei-
xa resto r(x). 
Sabendo disso, o valor numérico de (r – 1) é: 
a) –10. 
b) –4. 
c) 0. 
d) 4. 
e) 10.
 7. (Uftm) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 
– 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os 
restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é 
igual a: 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 8. (PUC-RJ) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 
p(x) = 2x3 – ax2 – 2x, podemos afirmar que 
p(x) é igual a: 
a) 2x2 (x – 2). 
b) 2x (x – 1) (x + 1). 
c) 2x (x2 – 2). 
d) x (x – 1)(x + 1). 
e) x(2x2 – 2x – 1). 
 9. Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio 
(x – 2)(x – 4)(x – 5) obtém-se resto x + 3. Se 
os restos das divisões de p(x) por x – 2, x – 4 
e x – 5 são, respectivamente, os números A, 
B e C, então ABC vale: 
a) 100. 
b) 180. 
c) 200. 
d) 280. 
e) 360. 
 10. (Upe) Para que o polinômio 6x3 – 4x2 + 2mx – 
–(m + 1) seja divisível por x – 3, o valor 
da raiz quadrada do módulo de m deve ser 
igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 5. 
e.O. teste ii
 1. (Ufjf) Dados dois polinômios A(x) e B(x), 
sabe-se que S(x) = A(x) + B(x) é um polinô-
mio de grau 8 e que D(x) = A(x) – B(x) é um 
polinômio de grau 5. É correto afirmar: 
a) O polinômio W(x) = B(x) – A(x) tem grau 8. 
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo 
grau. 
c) O polinômio C(x) = A(x) ⋅ B(x) tem grau 13. 
d) O polinômio A(x) tem grau 5. 
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7. 
 2. (Ime) Seja ∆ o determinante da matriz 
1 2 3
x x2 x3
x x 1
. O número de possíveis va-
lores de x reais que anulam D é:
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
58
 3. (Fgv) O quociente da divisão do polinômio 
P(x) = (x2 + 1)4 ⋅ (x3 + 1)3 por um polinômio 
de grau 2 é um polinômio de grau: 
a) 5. 
b) 10. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
 4. (Uece) Se a expressão algébrica x2 + 9 se es-
creve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) 
+ c onde a, b e c são números reais, então o 
valor de a – b + c é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 13. 
 5. Sejam p (x) = 2x2010 – 5x2 – 13x + 7 e q (x) = 
x2 + x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto 
na divisão de p(x) por q(x), o valor de r(2) 
será: 
a) –8. 
b) –6. 
c) –4. 
d) –3. 
e) –2. 
 6. (Upf) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é 
divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é: 
a) –3. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 3.
 7. (Espm) O trinômio x2 + ax + b é divisível por 
x + 2 e por x – 1. O valor de a – b é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4.
 8. (Unesp) O polinômio P(x) = a ⋅ x3 + 2 ⋅ x + b 
é divisível por x – 2 e, quando divisível por 
x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os 
valores de a e b, respectivamente, são: 
a) 1 e 4. 
b) 1 e 12. 
c) –1 e 12. 
d) 2 e 16. 
e) 1 e –12. 
 9. (Ibmecrj) Se o resto da divisão do polinômio 
P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio Q(x) = x2 + 
x + 2 é igual a 4, então podemos afirmar que 
a + b vale: 
a) 2. 
b) –2. 
c) 3. 
d) –3. 
e) 4.
 10. (Ita) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da 
equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ∈ R, 
então a2 – b3 é igual a: 
a) –64. 
b) –36. 
c) –28. 
d) 18. 
e) 27. 
e.O. teste iii
 1. (Udesc) Um polinômio p(x) dividido por 
x + 1 deixa resto 16; por x – 1 deixa resto 
12, e por x deixa resto –1. Sabendo que o 
resto da divisão de p(x) por (x + 1)(x – 1)
x é da forma ax2 + bx + c, então o valor nu-
mérico da soma das raízes do polinômio ax2 
+ bx + c é: 
a) 3 __ 5 . 
b) 2. 
c) 2 ___ 15 . 
d) 4. 
e) –2. 
 2. (Afa) Considere o polinômio p(x) = ax4 + bx3 
+ 2x2 + 1, {a, b} ∈ R e marque a alternativa 
FALSA. 
a) x = 0 não é raiz do polinômio p(x). 
b) Existem valores distintos para a e b tais que 
x = 1 ou x = –1 são raízes de p(x). 
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) 
por 3x2 – x + 1 é zero. 
d) Se a = b = 0, tem-se que x = – 1 __ 2 i é uma raiz 
de p(x), considerando que i2 = –1. 
 3. (Uepb) Os valores de m e n para os quais a 
expressão 5x4 + 8x2 + mx + n _________________ 
x2 + 2
 seja um polinô-
mio são, respectivamente: 
a) 2 e –4. 
b) 0 e –2. 
c) 0 e –4. 
d) 2 e 4. 
e) 8 e –4. 
 4. (Uel) O polinômio p(x) = x3 + x2 – 3ax – 4a 
é divisível pelo polinômio q(x) = x2 – x – 4. 
Qual o valor de a? 
a) −2 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 5. (Udesc) Considere o polinômio f(x) = 8x3 – 
– 6x2 – 3x + 1. Sabe-se que as raízes de f(x) 
são os primeiros termos de uma progressão 
geométrica infinita, cujo primeiro termo é a 
59
maior raiz de f(x), e a soma desta progressão 
é raiz do polinômio g(x) = x + a. Então, o 
resto da divisão de f(x), por g(x) é: 
a) – 35 ___ 27 . 
b) – 1 __ 2 . 
c) – 2 __ 3 . 
d) –2. 
e) –81. 
e.O. DissertativO
 1. (Fuvest) O produto de duas das raízes do po-
linômio p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a 
–1. Determinar: 
a) o valor de m.
b) as raízes de p. 
 2. (Uff) Considere o polinômio p(x) = x4 + 2x3 
+ 3x2 + 2x + 2.
a) Verifique se o número complexo i é raiz de 
p(x).
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 
 3. (Unicamp) O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 9x 
+ 18 tem três raízes: r, –r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade 
imaginária. 
 4. (Uerj) Observe o gráfico da função polino-
mial de R em R definida por P(x) = 2x3 – 6x2 
+ 3x + 2:
Determine o conjunto solução da inequação 
P(x) > 0. 
 5. (Ufla) O polinômio P(x) = 2x3 + px2 + 11x + q 
é divisível por x – 2, e P(1) = –4. Calcule os 
valores de p e q. 
 6. (Upe) Analise as afirmações abaixo e conclua: 
( ) Um polinômio de grau ímpar e coeficientes 
reais possui, necessariamente, pelo menos, 
uma raiz real. 
( ) Se todos os coeficientes de um polinômio 
são reais, suas raízes serão, necessariamen-
te, reais. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, necessariamen-
te, um número par. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, necessariamen-
te, um número ímpar. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas, e 
todos seus coeficientes são números intei-
ros, então os conjugados complexos de cada 
raiz, também, são raízes do mesmo polinô-
mio. 
 7. (Unicamp) As três raízes da equação x3 – 3x2 
+ 12x – q = 0, onde q é um parâmetro real, 
formam uma progressão aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item 
(a), encontre as raízes (reais e complexas) 
da equação. 
 8. (Unicamp) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equa-
ção p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a 
equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real. 
 9. (Ufv) O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 
4x3 – 4x2 – 11x + k, onde k é uma constante 
real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0. 
 10. (Unicamp) Determine o quociente e o resto 
da divisão de x100 + x + 1 por x2 – 1. 
60
GaBaritO
E.O. Teste I
1. E 2. A 3. B 4. E 5. E
6. A 7. D 8. B 9. D 10. E
E.O. Teste II
1. B 2. C 3. D 4. D 5. E
6. E 7. D 8. E 9. C 10. C
E.O. Teste III
1. C 2. D 3. C 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
 1.
a) m = 7
b) 3/2; 1 – dXX 2 e 1 + dXX 2 
 2. i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2 = 1 – 2i – 3 + 2i + 2 = 0, 
logo, i é raiz da equação.
Se i é raiz, –i também é raiz (teorema das 
raízes conjugadas).
Logo, p(x0 é divisível por (x + i) . (x – i) = 
x2 + 1
P(x) = (x2 + 1) . (x2 + 2x + 2)
Resolvendo a equação produto, temos:
x2 + 1 = 0
x = i ou x = –1
 
x2 + 2x + 2 = 0 
x = –1 – i ou x = –1 + i 
 3.
a) Fatorando P(x), obtemos 
 p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18
 = x2 (x – 2) – 9 (x – 2)
 = (x – 2)(x2 – 9)
 Portanto, r = 3 e s = 2.
b) Se z = 1 + i, então z2 = (1 + i)2 = 2i. 
Logo, p(z) = (1 + i – 2) (2i – 9) 
 = 2i2 – 9i – 2i + 9 
 = 7 – 1 1i. 
 4. O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:
Logo, P(x) = (x – 2) . (2x2 + 2x + 1) 
Onde suas raízes são x = 2, x = 1 ± dXX 3 ______ 2 .
Resolvendo,agora a inequação P(x) > 0 atra-
vés do gráfico do polinômio P(x). 
Portanto, a solução da inequação será dada 
por: 
S = { x ∈ R | 1 – dXX 3 ______ 2 ≤ x ≤ 1 + dXX 3 ______ 2 ou x ≥ 2 } 
 5. p = –7 e q = –10 
 6. V-F-F-F-V.
(V) As raízes complexas aparecerão sempre 
aos pares;
(F) Poderá ter raízes não reais;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(V) Verdadeiro: as raízes complexas apare-
cem aos pares (a própria raiz e sua conju-
gada) para coeficientes reais. 
 7. 
a) q = 10
b) 1, 1 – 3i e 1 + 3i 
 8.
a) 3; 1 – 2i; 1 + 2i
b) {a ∈ R | –3 < a ≤ 5} 
 9.
a) k = 2
b) x = –3/2 e x = 1/2
c) ]–3/2, 1/2[ e ]2, +∞[ 
 10. quociente: Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1
resto: R(x) = x + 2 
Aula 24: Determinantes II 62
Aulas 25 e 26: Sistemas lineares 78
DETERMINANTES E 
SISTEMAS LINEARES
Determinantes II
Aula 24
63
ProPriedades dos determinantes
O estudo dos determinantes despertou o interesse de vários matemáticos ao longo da história e fez com que se 
descobrissem muitas propriedades.
Algumas são facilmente justificadas, porque são quase intuitivas, à medida que resolvemos os exercícios. 
Outras, um pouco mais complexas, requerem justificativas específicas. Mais uma vez, priorizando a aplicação prá-
tica do conceito, recorreremos a exemplos; em alguns casos, sempre que necessário, a matrizes de ordens 2 ou 3, 
genéricas, para justificar as propriedades. Um dos nossos objetivos é oferecer condições para que se obtenha 1 na 
posição a11, para que seja possível aplicar a regra de Chió e resolver determinantes de qualquer ordem. Apresen-
taremos as propriedades numa ordem que consideramos conveniente.
Primeira propriedade: fila de zeros
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante 
será nulo, isto é, detM = 0.
Essa propriedade é facilmente reconhecida nos exemplos, uma vez que todas as parcelas, resultantes da 
aplicação de qualquer regra de resolução de determinantes, contêm sempre um elemento de cada linha e de cada 
coluna da matriz. Em razão disso, se uma linha (ou coluna) for formada por zeros, cada parcela conterá pelo menos 
um fator igual a zero. Logo, o determinante será nulo. Observe este exemplo:
–1 –4 9 –1 –4
2 8 3 2 8
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
= 0
0
Segunda propriedade: filas paralelas proporcionais
Se uma matriz quadrada M tiver duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, 
detM = 0.
Seja A = .
Portanto:
det A = = kab – kab = 0
ou, por exemplo (observe que os elementos da segunda coluna são o triplo dos elementos correspondentes na 
primeira coluna):
 = = 0
64
Terceira propriedade: troca de filas paralelas
Se a posição de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M forem trocadas entre si, o deter-
minante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo
 § A = e B = 
A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a primeira e a segunda colunas.
Observação
Ao empregar a regra de Chió, sem que o elemento a11 seja 1, mas desde que haja um elemento igual a 1 em 
algum lugar da matriz, é possível obter uma matriz com determinante equivalente, desde que se empregue no 
máximo duas vezes a terceira propriedade, ou seja, desde que se troque a posição de linhas e colunas.
Exemplo
1 4 2 0
3 2 6 9
2 3 0 –1
2 –2 3 4
3 2 0 –1
2 3 6 9
4 1 2 0
–2 2 3 –4
4 1 2 0
2 3 6 9
3 2 0 –1
–2 2 3 –4
Primeiramente, se troca a primeira linha com a terceira linha; em seguida, troca-se a “nova” segunda coluna 
com a “nova” primeira coluna.
Quarta propriedade: multiplicação de uma fila por uma constante
Se todos os elementos de uma linha – ou de uma coluna – de uma matriz quadrada são multiplicados por 
um mesmo número real k, seu determinante fica multiplicado por k.
Exemplos
 § , pois = 189 + 140 = 329, e = 27 + 20 = 47 e 7 · 47 = 329.
 § Se A = e B = , o detB = 1 __ 
2
 det A ou det A = 2 detB, uma vez que a segunda 
coluna de A é o dobro da segunda coluna de B.
65
Observação
Essa propriedade pode ser empregada para criar o elemento “1” na matriz, que, em seguida, vai ocupar a 
posição a11 e vai ser empregada a regra de Chió.
Exemplo:
2 3 1 0
3 –3 5 2
–4 5 –3 3
6 7 –2 4
4 6 2 0
3 –3 5 2
–4 5 –3 3
6 7 –2 4
= 2 · =
quarta propriedade
(–1) · 2 · 
terceira propriedade
1 3 2 0
5 –3 3 2
–3 5 –4 3
–2 7 6 4
Consequência: multiplicação da matriz por uma constante
Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, seu determinante fica multi-
plicado por kn:
det (kMn) = kn · det Mn
Multiplicar uma matriz por um número real significa multiplicar todos os seus elementos por esse mesmo número. 
Por isso, se uma matriz quadrada tiver todos os seus elementos múltiplos de um certo número real k, ao calcular 
seu determinante poderemos aplicar a quarta propriedade para cada uma de suas linhas (ou para cada uma de 
suas colunas).
Exemplos
 § A = ä det A = 15 – 8 = 7
5A = ä det (5A) = 375 – 200 = 175 = 52 · 7
Logo, det 5A = 52 ⋅ det A.
 § B = ä det B = 15 + 0 + 10 + 6 – 50 + 0 = –19
2B = = det (2B) = 120 + 0 + 80 + 48 – 400 + 0 = –152 = 23 (–19)
Logo, det 2B = 23 ⋅ det B.
66
Quinta propriedade: determinante da transposta
O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det M = det (Mt).
Mais uma vez, existe a possibilidade de reordenar, por conveniência, os elementos da matriz sem alterar o valor do 
determinante.
Na ordem 2, essa propriedade é quase intuitiva. Observe:
 = ad – bc
 = ad – bc
Ou seja, se A = , também At = e det A = det At.
Observe que o emprego da regra de Chió é exatamente o mesmo, seja considerando uma matriz ou sua 
transposta:
det A = = = –48 – 90 = –138
det A = = = –48 – 90 = –138
Sexta propriedade: determinante da matriz triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplos
Como consequência dessa propriedade, podemos ainda afirmar que:
 § o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal; e
 § se In é a matriz identidade, det In = 1, para qualquer n.
67
Exemplos
 § = 2 (–1) 5 = –10
 § I3 = ä det I3 = = 1
Sétima propriedade: teorema de Binet
Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB é a matriz produto, det (AB) = (det A) (det B).
Sejam:
A = 
 § det A = ad – bc
 § det B = xw – yz
 § det A · det B = (ad – bc) (xw – yz) = adxw – adyz – bcxw + bcyz
 § det (AB) = (ax + bz)(cy + dw) – (cx + dz)(ay + bw) = acxy + adxw + bcyz + bdzw – acxy – bcxw – adyz – 
bdzw = adxw + bcyz – bcxw – adyz
Ao comparar, observamos que det (AB) = det A · det B.
Oitava propriedade: teorema de Jacobi
Seja A uma matriz quadrada. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) forem multiplicados pelo 
mesmo número e se forem somados os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), 
forma-se a matriz B; portanto, det A = det B.
Exemplos
 § A = ä det A = 9 – 20 = –11
Ao multiplicar a primeira linha por –2 e ao somar os resultados à segunda linha, obtemos:
B = ä det B = –1 – 10 = –11, ou seja, det A = det B.
O que pode ser indicado assim:
68
 § A = 
Para obter a matriz B, multiplica-se a segunda coluna por 3 e somam-se os resultados à terceira coluna:
B = 
Ao aplicar a regra de Sarrus, verificamos:
O que pode ser indicado assim:
Observações
1. Pode-se empregar o teorema de Jacobi (oitava propriedade), a fim de se permitir o emprego da regra de 
Chió. Por exemplo: se o elemento a11 não for 1 e não houver nenhum elemento igual a 1 na matriz, pode-
-se empregar a oitava propriedade (teorema de Jacobi) para criar elementos iguais a 1 na matriz:
1 –1 –6 –10
2 3 6 9
4 5 2 0
–2 2 3 –4
3 2 0 –1
2 3 6 9
4 5 2 0
–2 2 3 –4
=
–1
2. Pode-se também criar zeros na matriz, empregando a regra de Jacobi, facilitando com isso os cálculos:
1 –1 –6 –10
2 3 6 9
4 5 20
–2 2 3 –4
5 18 29
9 26 40
0 –9 –24
5 18 29
9 26 40
0 –9 –24
5 18 29
9 26 40
0 –9 –24
1 0 –6 –10
2 5 6 9
4 9 2 0
–2 0 3 –4
1 0 –6 –10
3 5 0 –1
4 9 2 0
–2 0 3 –4
=
+
=
+
Chió Chió Chió
69
Nona propriedade: determinante da inversa
Seja A uma matriz quadrada invertível e A-1 sua inversa.
Portanto, det A–1 = 1 ____ 
det A
 .
Essa propriedade é uma consequência do teorema de Binet, se bem quisermos dar destaque especial a ela dada e 
a sua importância.
Se A é invertível, por certo existe A–1 e, por definição, A · A–1 = I.
Logo: det (A · A–1) = det I det A · det A–1 = 1 ä det A–1 = 1 ____ 
det A
 .
Essa propriedade sugere o importante fato de que A é invertível se, e somente se, det A ≠ 0.
Exercícios resolvidos
1. Encontre o valor do determinante.
Resolução:
De acordo com o teorema de Jacobi (oitava propriedade), multiplicamos a segunda coluna por 1 e somamos 
o resultado à primeira coluna. Em seguida, empregamos a regra de Chió:
Ao trocar as posições da linha 1 com a linha 2 (terceira propriedade), empregamos novamente a regra de 
Chió:
2. Resolva a equação .
(-1) (-1)
70
Resolução:
Ao empregar a quarta propriedade, colocamos x em evidência na primeira linha e empregamos a regra de 
Chió:
x . 
Ao empregar novamente a quarta propriedade, colocamos (3 – x) em evidência na primeira linha e empre-
gamos a regra de Chió:
Portanto:
x(3 – x) = 0 ä x = 0 ou x = 3 
Logo, S = {0, 3}.
teorema de LaPLace
O teorema de Laplace permite calcular determinantes de ordens quaisquer a partir de uma linha ou coluna da 
matriz. Para enunciá-lo, são necessárias algumas definições preliminares.
Menor complementar
Se A é uma matriz quadrada de ordem n $ 2, ela é denominada menor complementar de A pelo elemento aij, cujo 
determinante é Dij, associado à matriz quadrada que se obtém de A, ao se suprimir a linha e a coluna que contêm 
o elemento aij considerado. Esse determinante é indicado por Dij.
Observe:
O menor complementar de A pelo elemento a23 é um número indicado assim:
71
Observação
A = (aij) é uma matriz.
aij é um elemento da matriz A.
Dij é um número, uma vez que é um determinante.
Exemplo
 § Se A = , temos:
 § menor complementar de A pelo elemento a21:
D21= = 50 + 3 = 53 (foram suprimidas a segunda linha e a primeira coluna de A)
 § menor complementar de A pelo elemento a33:
D33 = = 12 – 5 = 7 (foram suprimidas a terceira linha e a terceira coluna de A)
Cofator
Se A é uma matriz quadrada de ordem n $ 2, ela é denominada cofator do elemento aij de A o número real:
Aij = (–1)i + j · Dij, do qual Dij é o menor complementar de A pelo elemento aij.
Exemplo
 § Se A = , temos:
 § Cofator de a21:
A21 = (–1)2 + 1 · D21 = (–1)3 · = (–1)(–2) = 2
 § Cofator de a13:
A13 = (–1)1 + 3 · D13 = (–1)4 · = (+1)(+ 1) = 1
Observação
Note que Aij = Dij, se i + j for par; e Aij = –Dij, se i + j for ímpar.
Então sim, o teorema de Laplace pode ser enunciado:
O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n $ 2 é o número obtido da soma dos 
produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
72
Exemplo:
 § Se A = é uma matriz de ordem 3, podemos calcular det A a partir de determinantes de ordem 
2 e do teorema de Laplace. Observe:
 § Ao escolher os elementos da primeira linha, obtemos:
det A = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 =
= 2(–1)1 + 1 ⋅ + 3 (–1)1 + 2 · + (–1) (–1)1 + 3 · =
= 2 (–6) –3 (–15) –1 (18) = –12 + 45 – 18 = 15
Logo, det A = .
O resultado será o mesmo se escolhida uma coluna.
 § Ao escolher os elementos da terceira coluna, obtemos:
det A = a13 · A13 + a23 · A23 + a33 · A33 =
= (–1) (–1)1 + 3 · + 0 (–1)2 + 3 · + (–3) (–1)3 + 3 · =
= –18 + 33 = 15 
Logo, det A = 15.
Observação
Se a linha escolhida para o cálculo do determinante tiver elementos iguais a zero, não há necessidade de 
multiplicar os cofatores pelos zeros, uma vez que o produto será nulo, independentemente, do valor do cofator. 
Por isso, ao empregar o teorema de Laplace, as melhores linhas ou colunas para o cálculo do determinante serão 
as que tiverem maior quantidade de zeros. Se não houver termos iguais a zero, eles podem ser criados, mediante 
o emprego da oitava propriedade dos determinantes (teorema de Jacobi).
Exercícios resolvidos
1. Calcule o determinante da matriz A empregando o teorema de Laplace.
Resolução:
Ao aplicar o teorema de Laplace, vamos obter determinantes de terceira ordem, que podem ser calculados 
pela regra de Sarrus. Ao escolher a primeira linha, obtemos:
73
det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 + a14 · A14
A11 = (–1)1 + 1 · 1(–24 + 3 + 30 – 18 + 30 – 4) = 17
A12 = (–1)1 + 2 · 
A13 = (–1)1 + 3 · 
Observe que não há necessidade de calcular A14, uma vez que ele será multiplicado por zero. Portanto:
det A = 2(17) + 3(–44) + (–1)(–111) + 0 = 34 – 132 + 111 + 0 = 13
2. Calcule det A para A = .
Resolução:
Vamos escolher a terceira coluna de A, porque o valor do determinante fica restrito ao cálculo de a33 ⋅ A33:
det A = 2 (–1)3 + 3 · 
Vamos escolher agora a primeira coluna:
det A = 2 · 3 (–1)1 + 1 . =
= 6 (–8 + 6 + 6 + 2 – 24 – 6) = 6(–24) = –144
74
multiplicado por 49. Um dos possíveis valo-
res de x é: 
a) 5. 
b) –3. 
c) 1. 
d) –4. 
e) 2. 
 7. Considerando-se log2 = 0,3, o valor do deter-
minante abaixo é igual a:
 [ 1
 
 
 log4 
(log2)2
 
1
 
 
 log16 
(log4)2
 
1
 
 
 log400 
(log20)2
 ] 
a) 0,36. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 0,74. 
e) 0,42. 
e.o. teste ii
 1. (Unesp) Seja A uma matriz. Se
A3 = ,
o determinante A é: 
a) 8.
b) 2 dXX 2 .
c) 2.
d) 3 dXX 2 .
e) 1.
 2. (Ufc) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que 
detA = 3 e detB = 4. Então det(A × 2B) é 
igual a:
a) 32.
b) 48.
c) 64.
d) 80.
e) 96.
 3. (Ifce) Considere a matriz A = . 
Sabendo-se que sen u = –cos u, em que 
0 ≤ u ≤ 2p, o determinante da matriz inversa 
de A, indicado por Det A-1, vale:
a) –1. 
b) 0. 
c) 1. 
d) 2. 
e) –5. 
 4. (Mackenzie) Seja A uma matriz quadrada de 
ordem 2 com determinante maior que zero e 
A-1 a sua inversa. Se 16 · det A-1 = det (2A), 
então o determinante de A vale: 
e.o. teste i
 1. (Espm) Dadas as matrizes A = e 
B = a diferença entre os valores de x, 
tais que det(A · B) = 3x, pode ser igual a:
a) 3.
b) –2.
c) 5.
d) –4.
e) 1.
 2. (Fgv) A é uma m atriz quadrada de ordem 
2 e det(A) = 7. Nessas condições, det(3A) e 
det(A–1) valem, respectivamente:
a) 7 e –7. 
b) 21 e 1/7. 
c) 21 e –7. 
d) 63 e –7. 
e) 63 e 1/7. 
 3. (Pucmg) M é uma matriz quadrada de ordem 
3, e seu determinante é det(M) = 2. O valor 
da expressão det(M) + det(2M) + det(3M) é:
a) 12. 
b) 15. 
c) 36. 
d) 54. 
e) 72. 
 4. (Udesc) Considerando que A é uma ma-
triz quadrada de ordem 3 e inversível, se 
det(3A) = det(A2), então det(A) é igual a: 
a) 9. 
b) 0. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 27. 
 5. (Ifal) Se A = e B = , o deter-
minante da matriz (AB)-1 é:
a) – 1 ___ 10 .
b) 21 ___ 10 .
c) 13 ___ 10 .
d) – 13 ___ 10 .
e) nda. 
 6. Se a matriz [ 3 4 x x+1 ] for multiplicada pelo 
valor do seu determinante, este ficará 
75
Então, um valor possível para o determinan-
te da inversa de M é:
a) 1 __ 3 .
b) 1 __ 2 .
c) 2 __ 3 .
d) 4 __ 5 .
e) 5 __ 4 .
 3. (Ufsm) Seja A uma matriz 2 × 2 com deter-
minante não nulo. Se det A2 = det (A + A), 
então det A é: 
a) –4. 
b) 1. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 16. 
 4. (Uel) Considere as seguintes matrizes
A = [ 1 3 2 4 ] B = [ 0 –1 1 2 ] C = [ 2 1 2 3 ] 
Assinale a alternativa correta: 
a) A ∙ B = C 
b) A ∙ B-1 = C 
c) det (k ∙ A) = k det(A) para todo k ∈ R 
d) det (A + B) = det(A) + 2 det(B) 
e) det (A + B + C) = 10 
e.o. dissertativo
 1. (Uepg) Sobre a matriz
A = ,
assinale o que for correto. 
01) A2 = 
02) det A = 1
04) A + At = 
08) det(2A) = – 1 __ 2 
16) det A2 = 0
 2. (Ufal)A matriz A-1 é a inversa da matriz
A = .
Se o determinantede A–1 é igual a – 1 __ 2 , calcu-
le o determinante da matriz A + A–1.
a) 4. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 2. 
e) 16. 
 5. (Mackenzie) Na igualdade:
log 3 [det ( 2 . A-1)] = log 27 [det (2A)-1],
A é uma matriz quadrada de quinta ordem 
com determinante não nulo. Então det A 
vale: 
a) 25.
b) 210.
c) 35.
d) 310.
e) 65.
 6. (Fatec) Se x é um número real positi-
vo tal que A = [ 1 x –1 0 ] . B = [ –x 1 1 –1 ] e 
det(A ∙ B) =2, então x–x é igual a: 
a) –4. 
b) 1/4. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 4. 
 7. Sendo I a matriz identidade de ordem 2,
A = 1 1 –1 1 e B = [ √
__
 3 /2
 
 1/2
 
 1/2
 
– √
__
 3 /2
 ] , considere as 
afirmativas a seguir:
1. A + At = 2 . I
2. det (A . B) = – √
__
 3 
3. B2007 = B
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
e.o. teste iii
 1. (Fgv) As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 
são tais que 2aij = 3bij. Se o determinante da 
matriz A é igual a 3/4, então o determinante 
da matriz B é igual a: 
a) 0. 
b) 4 ___ 27 . 
c) 9 __ 8 . 
d) 2. 
e) 243 ____ 64 . 
 2. (Ita) Seja M uma matriz quadrada de ordem 
3, inversível, que satisfaz a igualdade
det(2M2) – det( 3 dXX 2 M3) = 2 __ 9 det(3M).
76
 3. (Ufscar) Sejam as matrizes
A = e B = 
Calcule:
a) o determinante da matriz (B – A).
b) a matriz inversa da matriz (B – A). 
 4. (Uem) Considerando as matrizes de núme-
ros reais, quadradas e de ordem 3, A = (aij) e 
B = (bij), definidas, respectivamente, por: 
aij = e bij = 
e que At indica a transposta da matriz A, as-
sinale o que for correto. 
01) A matriz B é invertível. 
02) AB ≠ BA.
04) Existe um valor inteiro positivo n para o 
qual Bn é a matriz quadrada nula de ordem 3. 
08) A matriz A – At = (cij) satisfaz cij = – cji para 
todo i e para todo j. 
16) A matriz A . At = (dij) satisfaz dij = dji para 
todo i e para todo j.
Gabarito
E.O. Teste I
1. C 2. E 3. E 4. E 5. E
6. D 7. E
E.O. Teste II
1. C 2. E 3. C 4. D 5. B
6. B 7. D
E.O. Teste III
1. B 2. A 3. C 4. D
E.O. Dissertativo
 1. 01 + 02 = 03
 2. det (A + A1) = –9
 3. 
a) 50
b) 
– 4 ___ 25 1 ___ 25 
– 1 ___ 10 – 1 ___ 10 
 4. 02 + 04 + 08 + 16 = 30
Sistemas lineares
Aulas 25 e 26
79
Introdução
Examinemos estes problemas:
1. Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?
Se x e y, respectivamente, são o número de pontos que cada jogador marcou, há uma equação com duas 
incógnitas:
x + y = 42
Nessa equação:
 § se x = 21, 21 + y = 42 ä y = 21.
Logo, x = 21 e y = 21 constituem uma solução da equação, indicada por (21, 21).
 § se x = 30 e 30 + y = 42 ä y =12.
Logo, x = 30 e y = 12 constituem outra solução da equação, indicada por (30, 12).
 § se x = 16, 16 + y = 42 ä y = 26.
Logo, x = 16 e y = 26 constituem outra solução da equação, indicada por (16, 26).
De fato, essa equação admite várias soluções: x pode assumir um valor qualquer natural de 0 a 42, e y será 
igual à diferença entre 42 e o valor atribuído a x.
Portanto, os dados do problema não são suficientes para determinar o número de pontos marcados por jogador.
2. Um terreno de 8,0 mil m2 deve ser dividido em dois lotes. O lote maior deverá ter 1,0 mil m2 a mais que o 
lote menor. Calcule a área que cada um deverá ter.
Se x e y, respectivamente, são as áreas destinadas ao lote maior e menor, temos um sistema de duas equações:
Ao resolver esse sistema por qualquer dos métodos já estudados, obtemos x = 4500 e y = 3500, que é a 
única solução do sistema e que indicamos por (4500, 3500).
Logo, o maior lote terá uma área de 4500 m2 e o menor, uma área de 3500 m2.
Esses dois problemas revelam que seus dados podem resultar em mais de uma solução e uma única solução.
Mas há casos também em que não há solução alguma.
EquaçõEs lInEarEs
 § 3x + 2y = 7 é uma equação linear nas incógnitas x e y.
 § 2x + 3y – 2z = 10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z.
 § x – 5y + z – 4t = 0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t.
 § 4x – 3y = x + y + 1 é uma equação linear nas incógnitas x e y.
De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita nesta forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+anxn = b,
 na qual: 
 § x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
 § a1, a2, a3, ..., são números reais chamados coeficientes das incógnitas; e
 § b é o termo independente.
80
Pela definição, não são equações lineares:
xy = 10
x2 + y = 8
x2 – xy – yz + 22 – 1
Observe, agora, estas equações lineares:
1. 3x + 2y = 18
 § o par (4, 3) é uma solução da equação, uma vez que 3 · 4 + 2 · 3 = 18;
 § o par (6, 0) é uma solução da equação, uma vez que 3 · 6 + 2 · 0 = 18; e
 § o par (5, 1) não é solução da equação, uma vez que 3 · 5 + 2 · 1 ≠ 18.
2. 3x + y – 2z = 8
 § o terno (2, 4 ,1) é uma solução da equação, uma vez que 3 · 2 + 4 – 2 · 1 = 8;
 § o terno (0, 6, –1) é uma solução da equação, uma vez que 3 · 0 + 6 – 2 · (–1) = 8; e
 § o terno (5, –2, 3), não é solução da equação, uma vez que 3 · 5 + (–2) –2 · 3 i 8.
Generalizando, dada a equação linear:
a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+anxn = b,
a ênupla de números reais (a1, a2, a3,..., an) é solução da equação se, e somente se:
a1a1 + a2a2 + a3a3 +...+anan = b
sIstEmas dE EquaçõEs lInEarEs
Denomina-se sistema linear m · n o conjunto S de m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado 
assim:
Exemplos
1. é um sistema linear 2 × 2 nas incógnitas. x e y
2. é um sistema linear 2 × 2 nas incógnitas x e y, uma vez que equivale a .
3. é um sistema linear 3 × 3 nas incógnitas x, y e z.
4. um sistema linear 2 × 3 nas incógnitas x, y, e z.
81
solução dE um sIstEma lInEar
Dizemos que (a1, a2, a3,..., an) é solução de um sistema linear, se (a1, a2, a3, ..., an) for solução de cada uma das 
equações do sistema, ou seja, se satisfizer, simultaneamente, todas as equações do sistema.
Observe:
1. (5, 1) é solução do sistema , uma vez que .
2. (2, 3) não é solução do sistema , uma vez que .
3. (1, 3, –2), é solução do sistema . Verifique.
4. (0, 2, 5) não é solução do sistema . Verifique.
a IgualdadE ax = b, com IncógnIta rEal x, a [ R E b [ R
Observe igualdades desse tipo nestes exemplos:
Em 2x = 6, x = 6 __ 
2
 = 3, como o único valor real possível para x.
Em 0x = 7, não há valor real para x, uma vez que não há número real que, multiplicado por 0, dê 7.
Em 0x = 0, x pode assumir qualquer valor real, uma vez que todo número real multiplicado por 0 dá 0.
De modo geral:
 § ax = b, com a i 0 ä x = b __ a , é o valor único de x.
 § ax = b, com a = 0 e b i 0 ä não existe valor real para x.
 § ax = b, com a = 0 e b = 0 ä x pode assumir qualquer valor real.
Sua aplicação vai ser estudada nas resoluções de sistemas lineares.
sIstEmas lInEarEs 2 x 2
Resolução pelo método da adição
Resolver um sistema linear significa descobrir seu conjunto solução S, formado por todas as soluções do sistema.
A resolução dos sistemas lineares 2 × 2, em R × R, já foi vista no ensino fundamental mediante métodos 
como adição, substituição, comparação e outros.
R x R é conjunto de todos os pares ordenados de números reais.
Com estes exemplos, vamos retomar a resolução pelo método da adição:
1. 
17x = 51 ä x = 51 ___ 
17
 = 3 (valor único de x)
82
17 y – 17 ⇒ y = –17 ____ 
17
 = –1 (valor único de y)
Portanto, (3, –1) é o único par de R × R que é solução do sistema.
O sistema tem S = {(3, –1)} é um sistema possível e determinado (tem uma única solução, ou seja, o con-
junto solução é unitário).
2. 
Se em 0y = –8, não há valor real para y; não há, portanto, par de números reais que seja solução do siste-
ma. O sistema tem S = Ö é um sistema impossível (não tem solução alguma, ou seja, o conjunto solução 
é vazio).3. 
Se 0y = 0, a incógnita y pode assumir qualquer valor real. Se y = a, com a, [ R, e se for substituída em 
uma das equações do sistema, obtemos:
2x – 6y = 8 ä 2x – 6a = 8 ä 2x = 8 + 6a ä x = 8 + 6a ______ 
2
 = 4 + 3a
O par (4 + 3a, a), com a [ R, é a solução geral do sistema. Para cada valor de a há uma solução para o 
sistema, como (7, 1), (4, 0), (1, –1), conforme a seja respectivamente 1, 0 ou –1.
O sistema tem S = {(4 + 3a, a) | a [ R} e é um sistema possível e indeterminado (tem infinitas soluções, 
ou seja, o conjunto solução é infinito).
IntEração gEométrIca dos sIstEmas lInEarEs 2 x 2
Os pares de números reais que são soluções de uma equação linear com duas incógnitas determinam uma reta 
(gráfico). A intersecção das duas retas das equações do sistema determina uma solução, se ela existir.
Representação gráfica dos três sistemas resolvidos por adição:
1. 
2 x + 5y = 1
As retas concorrentes indicam que há um único par que é solução do sistema (sistema possível e determinado).
83
2. 
2x - 4y = 2
x - 2y = 5
As retas paralelas e distintas indicam que não há par que seja solução do sistema (sistema impossível).
3. 
As retas coincidentes indicam que há infinitos pares que são soluções do sistema (sistema possível e inde-
terminado).
classIfIcação dE um sIstEma lInEar 2 x 2
Os sistemas podem ser classificados de acordo com sua solução desta maneira:
Para classificar um sistema linear 2 × 2, é simples; basta observar suas equações. Vejamos algumas condi-
ções para isso.
 § Se houver proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas e essa proporcionalidade manti-
ver-se nos termos independentes, o sistema será possível e indeterminado (SPI). Equações assim são cha-
madas de equivalentes.
 § Se houver proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas e essa proporcionalidade não 
se mantiver nos termos independentes, o sistema será impossível (SI). Equações assim são chamadas de 
incompatíveis.
84
 § Se não houver proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas, o sistema será possível e 
determinado (SPD).
Resumindo:
Exemplos de classificação de sistemas
1. 
Os coeficientes das mesmas incógnitas nas duas equações não são proporcionais: 3 é o triplo de 1 e –2 é 
metade de –4. Portanto, o sistema é possível e determinado:
( 3 __ 
1
 i –2 ___ 
–4
 ou 3(–4) i 1(–2) )
2. 
Nesse sistema, os coeficientes das mesmas incógnitas nas duas equações são proporcionais, mas essa pro-
porcionalidade não se mantém nos termos independentes: 2 está para 3, assim como –6 está para –9, mas 
não como 5 está para 1. Portanto, o sistema é impossível:
( 2 __ 
3
 = –6 ___ 
–9
 i 5 __ 
1
 )
3. 
Nesse caso, há proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas e essa proporcionalidade 
mantém-se nos termos independentes: –6 está para 3, assim como –2 está para 1, assim como 4 está 
para –2 (ou, ainda, a segunda equação é o oposto do dobro da primeira). Portanto, o sistema é possível e 
indeterminado:
( 3 ___ 
–6
 = 1 ___ 
–2
 = –2 ___ 
4
 )
dIscussão dE um sIstEma lInEar 2 x 2
Observação
O sistema linear pode ser escrito na forma matricial .
A partir dessa forma matricial, pode-se aplicar o determinante da matriz dos coeficientes para saber 
se o sistema é determinado ou não.
85
O sistema linear pode ser escrito na forma matricial .
A partir dessa forma matricial, pode-se aplicar o determinante da matriz dos coeficientes para saber se o 
sistema é determinado ou não.
No sistema , a matriz dos coeficientes é , cujo determinante é D = a1b2 – a2b1.
É fácil notar que, se 
a1 __ a2
 i 
b1 __ 
b2
 , D = a1b2 – a2b1 i 0. Por isso, basta o sistema determinante da matriz dos 
coeficientes não ser nulo para o sistema ser determinado.
Entretanto, se o determinante for nulo, não se pode fazer afirmação alguma, uma vez que restarão duas 
possibilidades, SPI e SI. Saberemos que o sistema não é determinado, mas não saberemos classificá-lo sem exa-
minar os valores k1 e k2.
Observe o sistema 
Nesse sistema de incógnitas x e y, o coeficiente a e o termo independente b são chamados parâmetros, 
cujos valores não estão estabelecidos.
Discutir um sistema significa descobrir para que valores dos parâmetros ele é possível e determinado, pos-
sível e indeterminado ou impossível.
Para saber em que condições o sistema é SPD, podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes 
do sistema. No sistema dado, temos:
Se a i 6, D i 0, com a garantia de que o sistema é possível e determinado, independentemente do valor de b.
Se a = 6, D = 0, sem que possamos classificar o sistema se as duas equações não forem observadas. Subs-
tituindo a = 6 no sistema, temos:
Nesse caso, haverá proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas. Para que ela se mante-
nha nos termos independentes, é necessário que haja b = 2. Nessas condições, as equações serão equivalentes e o 
sistema será indeterminado. Se b i 2, as equações serão incompatíveis e o sistema será possível.
 § para a i 6, o sistema é possível e determinado (SPD) (para qualquer b [ R);
 § para a = 6 e b = 2, o sistema é possível e indeterminado (SPI); e
 § para a = 6 e b i 2, o sistema é impossível (SI).
86
Exercícios resolvidos
1. Discuta o sistema linear .
Resolução:
Cálculo do determinante dos coeficientes das incógnitas em função de k:
 § D i 0, ou seja, 2 – k i 0 ä k i 2: o sistema é possível e determinado.
 § D = 0, ou seja, 2 – k = 0 ä k = 2: k = 2 deve ser substituído no sistema e as equações, observadas:
Nessas condições, com k = 2, o sistema terá conjunto solução vazio, uma vez que as duas equações são 
incompatíveis.
Portanto:
para k i 2, o sistema é possível e determinado
para k = 2, o sistema é impossível
2. Para que valores de a e b, o sistema é possível e indeterminado?
Resolução:
Para que o sistema seja possível e indeterminado, deve haver inicialmente:
No entanto, apenas D = 0 não garante que o sistema seja possível e indeterminado; ele também poderia 
ser impossível (que não é o caso desejado).
Devemos substituir a = 2 no sistema e observar as equações:
 Para que as duas equações sejam equivalentes, precisamos de b = 1 (desse modo, a primeira equação passa 
a valer o dobro da segunda).
Logo, o sistema é possível e indeterminado para a = 2 e b = 1.
3. Determine os valores de a para que o sistema linear seja possível e determinado.
Resolução:
Para que o sistema seja possível e determinado, deve haver:
Logo, o sistema será possível e determinado sempre que a i 3 e a i – 3.
87
sIstEmas lInEarEs 3 x 3
Consideremos o sistema de três equações com três incógnitas:
Geometricamente, cada uma das equações, nessa ordem, define os planos p1, p2 e p3, respectivamente. O 
termo (x, y, z) é solução desse sistema, se o ponto P(x, y, z) pertencer à intersecção p1 > p2 > p3, ou seja, se P 
estiver simultaneamente nos três planos.
Associadas a esse sistema há duas matrizes: a incompleta (I) e a completa (II).
Os vetores linha da matriz incompleta são ø1 = (a1, b1, c1), ø2 = (a2, b2, c2) e ø3 = (a3, b3, c3), e os vetores linha 
da matriz completa são L1 = (a1, b1, c1, d1), L2 (a2, b2, c2, d2) e L3 = (a3, b3, c3, d3), todos não nulos.
Possibilidades para as posições relativas dos três planos no espaço
Há oito possibilidades para as posições relativas dos três planos, p1, p2 e p3, no espaço.
1. Primeira possibilidade: os três planos coincidem
Neste caso, todos os pontos P(x, y, z) de p1 são soluções do sistema. Há, portanto, infinitas soluções para 
o sistema:
O sistema é possível e indeterminado (SPI).
Prova de que isso ocorre: L1, L2 e L3 são múltiplos uns dos outros.
Por exemplo:
Nesse caso, L2 = 2L1, L3 = 4L1 e L3 = 2L2.
Da primeira equação x + y – z = 1, tiramos que z = x + y – 1. Com isso, as soluções do sistema são todos 
os pontos da forma (x, y, x + y – 1), da qual x e y são números reais arbitrários.
Por exemplo, são soluções (1, 1, 1); (1, 2, 2);(2, 5,6) etc.
88
2. Segunda possibilidade: dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles
Neste caso, o sistema é impossível, não tem solução (SI).
Prova de que isso ocorre: L2 é múltiplo de L1, ou seja, L2 = kL1, o que resulta L3 = kl1, mas L3 não é múltiplo 
de L1 apesar de ø3 = mø1.
Exemplo:
Neste caso, L2 = 2L1; ø3 = 4ø1; mas L3 não é múltiplo de L1.
Logo, o sistema não tem solução; é impossível.
3. Terceira possibilidade: dois planos coincidem e o terceiro intersecta-os segundo uma reta
Neste caso, todos os pontos P(x, y, z) da reta são soluções. Há, portanto, infinitas soluções. O sistema é 
possível e indeterminado (SPI). Prova de que isso ocorre: L2 = kL1 (portanto, ø2 = kø1); mas ø3 não é múltiplo 
de ø1.
Exemplo:
p1 = p2, mas ø3 = (4, 4, –1) não é múltiplo de ø1 = (1,1, –1). Por isso, p3 > p1 é a reta r. Essa reta é for-
mada pelos pontos P(x, y, z), cujas coordenadas são as soluções do sistema:
Se z = 0, y = 1 – x.
Portanto, as soluções do sistema são todos os pontos da forma (x, 1 – x, 0) para qualquer valor real de x. 
Por exemplo: são soluções (1, 0, 0); (2, –1, 0); (6, –5, 0) etc.
89
4. Quarta possibilidade: os planos são paralelos dois a dois
Nesse caso, o sistema não possui solução; é impossível (SI). Prova de que isso ocorre: cada um dos vetores, 
ø1, ø2 e ø3 é múltiplo do outro, mas os vetores L1 , L2 e L3 não são múltiplos um do outro, dois a dois.
Exemplo:
Nesse exemplo há: ø1, ø2 e ø3 múltiplos um do outro, mas L1, L2 e L3 não múltiplos um do outro, dois a dois.
Logo, esse sistema não tem solução; é impossível.
5. Quinta possibilidade: dois planos são paralelos e o outro os intersecta segundo retas parale-
las r [ s
p1 e p2 são paralelos; logo, p1 > p2 = Ö. Resultado: p1 > p2 > p3 = Ö. Portanto, o sistema não tem 
solução; é impossível (SI).
Prova de que isso ocorre: ø2 = kø1, mas L2 não é múltiplo de L1, uma vez que p1 // p2; além disso, ø3 não 
é múltiplo de ø1, uma vez que p3 // p1.
Exemplo:
Observe: ø2 = 2ø1, mas L2 não é múltiplo de L1; e ø3 não é múltiplo de ø1.
Logo, o sistema é impossível.
90
6. Sexta possibilidade: os três planos são distintos e têm uma reta em comum
Nesse caso, todos os pontos P(x, y, z) da reta r são soluções; portanto, há infinitas soluções.
O sistema é possível e indeterminado (SPI). Prova de que isso ocorre: nenhum dos vetores ø1, ø2 e ø3 é 
múltiplo do outro e L3 pode ser escrito, L3 = kL2 + mL1.
p1 > p2 > p3 = r
Exemplo:
Observe: nenhum dos vetores ø1, ø2 e ø3 é múltiplo do outro, bem como L3 = 2L1 + L2:
2L1 é 2x + 2y + 2z = 2
L2 é 2x – y + z = 5
 4x + y + 3z = 7 é L3
Logo, o sistema é indeterminado.
p1 > p2 > p3 = r. Essa reta é formada pelos pontos P(x, y, z), cujas coordenadas são as soluções dos sistemas:
Portanto, as soluções do sistema são todos os pontos da forma ( x, –4 + x ______ 
2
 , 6 – 3x _____ 
2
 ) para qualquer valor real 
de x. São soluções do sistema: (0, –2,3), (2, –1,0), (–2, –3,6) etc.
7. Sétima possibilidade: os três planos intersectam-se dois a dois, segundo retas paralelas umas 
às outras
Nesse caso, o sistema é impossível (SI).
Os vetores ø1, ø2 e ø3 não são múltiplos um do outro, uma vez que não há paralelismo nem coincidência 
entre nenhum dos planos. Além disso, é possível provar que ø3 = kø1 + mø2 e que L3 i kL1 + mL2.
91
Exemplo
Observe: os vetores ø1, ø2 e ø3 não são múltiplos um do outro, bem como ø3 = 2ø2 – ø1, mas L3 i 2L2 – L1.
Vejamos: L3 = (9, 3, 5, 5); 2L 2 = (10, 4, 2, 4); – L1 = (–1, –1, 3, 1); logo, 2L2 – L1 = (9, 3, 5, 3) e L3 = (9, 3, 5, 5). 
Portanto, L3 i 2L2 – L1.
Logo, esse sistema é impossível.
8. Oitava possibilidade: os três planos têm um único ponto em comum
Neste caso, o sistema é possível e determinado (SPD).
É possível provar que o sistema tem uma única solução, se, e somente se, os vetores ø1, ø2 e ø3 forem line-
armente independentes (LI).
Exemplo:
Para saber se os vetores (1, 2, –3), (2, 3, 4) e (4, 7, –1) são LI, verifiquemos se o determinante é 
diferente de zero.
Uma vez que i 0, os vetores são LI. Portanto, esse sistema é possível e determinado (SPD).
Os próximos itens vão ensiná-lo a determinar a solução de um sistema como esse.
92
EscalonamEnto dE sIstEmas lInEarEs
Método para classificar, resolver e discutir sistemas lineares de quaisquer ordens, chamado de método do escalo-
namento. Esse é o assunto, que vamos estudar.
Inicialmente, é necessário saber o que é sistema linear escalonado.
Considerando um sistema genérico m × n, dizemos que ele está escalonado, se a matriz dos coeficientes 
tiver em cada uma de suas linhas o primeiro elemento não nulo situado à esquerda do primeiro elemento não 
nulo da linha seguinte. Além disso, linhas com todos os elementos nulos devem estar abaixo de todas as outras. 
Ao observar as equações do sistema escalonado, percebe-se que, na linha considerada, a primeira incógnita com 
coeficiente não nulo está sempre à esquerda da primeira incógnita com coeficiente não nulo da linha seguinte.
São exemplos de sistemas escalonados:
 §
 §
 §
classIfIcação E rEsolução dE sIstEmas 
lInEarEs Escalonados
Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha com bastante atenção, uma vez que a última 
linha num sistema de n incógnitas é a n-ésima linha; se não existir, deve ser considerada totalmente nula (0x + 0y 
+ 0z + ... = 0, equivale a 0 = 0), como mostrado nos segundo e terceiro exemplos anteriores.
Na última, é possível que haja:
 § uma equação do primeiro grau com uma incógnita (2z = 4; 5w = 0; z = –1, ...): o sistema é SPD;
 § uma igualdade sem incógnita que é verdadeira (0 = 0; 2 = 2; 5 = 5; ...): o sistema é SPI; e
 § uma igualdade sem incógnita que é falsa (0 = 9; 0 = 2; 0 = –4; ...): o sistema é SI.
Exemplo:
1. 
Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas)
Da terceira equação tiramos z = 2.
Da segunda equação, z = 2, obtemos 4y – 2 × 2 = 0. Logo, y = 1.
Na primeira equação, 3x – 2(1) + 2 = –6 e daí x = –2.
Conclusão: o sistema é possível e determinado, com S = {(–2, 1, 2)}.
93
2. 
Sistema 4 × 4 já escalonado.
A quarta equação permite dizer que o sistema é impossível, logo, S = Ö.
3. 
Sistema 2 × 3 já escalonado. (número de equações < número de variáveis)
Se um sistema escalonado tiver mais incógnitas que equações e pelo menos um coeficiente não nulo em 
cada equação, ele será possível e indeterminado, uma vez que as equações que faltam podem ser consi-
deradas todas 0 = 0. A incógnita que não aparece no começo das equações é chamada incógnita livre.
Nesse exemplo, z é a incógnita livre: z = k, com k [ R, para descobrir a solução geral do sistema.
Da segunda equação, obtemos 3y – 6k = 0 ä y = 2k.
Aplicando z = k e y = 2k, obtemos x + 2k + k = 0 ä x = –3k.
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (– 3k, 2k, k); k [ R.
4. 
Neste caso, o sistema é possível e indeterminado (escalonado, com duas equações e quatro incógnitas), 
e são duas as incógnitas livres (y e t).
Fazemos y = a e t = b, com a [ R e b [ R.
Ao substituir nas equações:
2z + 3b = 1 ä 2z = 1 – 3b ä z = 
1 – 3b
 ______ 
2
 
2x – a + 
1 – 3b
 ______ 
2
 – b = 2 ä 4x = 2a – 1 + 3b + 2b + 4 ä
ä 4x = 2a + 5b + 3 ä x = 
2a + 5b + 3
 __________ 
4
 
Solução geral: ( 2a + 5b + 3
 __________ 
4
 , a, 
1 – 3b
 ______ 
2
 , b ) 
dEtErmInantE da matrIz IncomplEta
Da mesma forma que ocorre com o sistema 2 × 2, podemos usar um determinante para separar sistemas SPD dos 
demais (SPI e SI).
Isso serve para sistemas 3 × 3 e mesmo para sistemas n x n quaisquer. Num sistema 3 x 3 genérico, teríamos 
 , e o determinante da matriz incompleta seria .
Se D i 0, o sistema (3 × 3 ou n x n) é SPD.
Se D = 0, o sistema (3 × 3 ou n x n) não é SPD (portanto, ou SPI ou SI).
É possível entender por que o determinante dos coeficientes de um sistema n × n não é nulo, se o sistema 
for determinado; basta lembrar que o determinante de uma matriz com uma fila de zeros ésempre nulo (proprie-
dade).
(matriz dos coeficientes)
94
Observe que um sistema escalonado só não tem os coeficientes da última linha nulos se ele for determinado.
Observação
Conhecida a classificação do sistema, saberemos sempre como será o determinante D:
SPD ∫ D i 0 SPI ∫ D = 0 SI ∫ D = 0
sIstEmas lInEarEs EquIvalEntEs
Dois sistemas lineares são equivalentes, se tiverem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, os sistemas e são equivalentes, uma vez que, resolvidos, ambos 
apresentam S = {(6, 4)}.
Exercício resolvido
1. Calcule a e b para que os sistemas e sejam equivalentes.
Resolução:
Vamos resolver o sistema .
Para que os sistemas sejam equivalentes, S = {(7, –2)}, também deve ser equivalente o conjunto solução do 
outro sistema dado:
ax + y = 12 ä a(7) + (–2) = 12 ä 7a – 2 = 12 ä 7a = 14 ä a = 2
2x – by = 20 ä 2(7) –b(–2) = 20 ä 14 + 2b = 20 ä 2b = 6 ä b = 3
Portanto, a = 2 e b = 3.
Processo para escalonamento de um sistema linear
Se o sistema linear não estiver escalonado, é possível obter um sistema equivalente a ele, que esteja escalonado, 
mediante algumas operações elementares. Para transformar um sistema não escalonado num sistema equivalente 
escalonado, pode-se recorrer a alguns procedimentos.
 § Trocar a posição das equações:
 § Multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de zero:
3x – y + z = 5 ä 6x – 2y + 2z = 10
95
 § Multiplicar os dois membros de uma equação por um mesmo número real diferente de zero e somar o 
resultado aos membros correspondentes da outra equação:
 § Se no processo de escalonamento resultar uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo indepen-
dente diferente de zero, essa equação será suficiente para afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S = Ö.
0x + 0y + 0z = 7 ä S = Ö
Exemplos de sistemas que são escalonados e, posteriormente, classificados e resolvidos.
1. 
Para anular os coeficientes de x na segunda e na terceira equação:
 § multiplica-se a primeira por –2 e soma-se com a segunda; e
 § multiplica-se a primeira por 3 e soma-se com a terceira.
Em seguida, trocam-se as posições das duas últimas equações para que o coeficiente de y seja 1 na segun-
da equação:
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Para resolvê-lo:
 § z = –32 ____ 
–16
 = 2
 § y + 5 · 2 = 13 ä 13 – 10 y = 3
 § x + 2 · 3 + 2 = 7 ä x = 7 – 6 – 2 x = −1
Sistema possível e determinado, cujo S = {(–1, 3, 2)}.
2. 
Sistema possível e indeterminado (escalonado é 2 × 3); do qual z é uma incógnita livre, ou seja, o valor de 
z pode ser qualquer número real:
z = a ä –7y + 4a = –8 ä –7y = –8 – 4a ä y = 8 + 4a ______ 
7
 
x + 2 · 8 + 4a ______ 
7
 – a = 3 ä 7x + 16 + 8a – 7a = 21 ä 7x = 5 – a ä x = 5 – a _____ 
7
 
Solução geral: ( 5 – a _____ 
7
 , 8 + 4a ______ 
7
 , a ) .
3. 
Sistema sem solução, portanto, S = Ö.
96
4. 
Esse sistema tem o número de equações maior que o número de variáveis (3 × 2).
Analisemos com atenção cada passagem.
As duas primeiras equações obtidas formam um sistema escalonado, que, resolvido, corresponde a 
y = –11 ____ 
–11
 = 1 e x = 2 – 3 × 1 = –1.
O valor y = 1 satisfaz também a terceira equação (7y = 7).
Logo, o sistema dado é possível e determinado e tem S = {(–1, 1)}.
5. 
De 2y = –6, obtemos y = –3, e de 3y = –24, obtemos y = –8.
Logo, o sistema é impossível, pois não há, simultaneamente, y = –3 e y = –8.
Portanto, S = Ö.
6. 
A incógnita y é livre.
Para y = a, com a [ R, temos: x – 3a = 2 e daí x = 2 + 3a.
Logo, o sistema é possível e indeterminado, com solução geral (2 + 3a, a).
dIscussão dE um sIstEma lInEar
Caso seja conveniente, o processo de escalonamento também pode ser empregado na discussão de sistemas 
lineares.
Exemplo
Vamos discutir o sistema , empregando escalonamento.
Se 6b – 5 = 0, b = 5 __ 
6
 e a terceira equação é eliminada (0y = 0) e o sistema fica escalonado com duas equa-
ções e duas incógnitas: SPD com S = {(5, –5)}.
Se 6b – 5 i 0, b i 5 __ 
6
 ; a terceira equação fica impossível (0y = 6b – 5 i 0) e o sistema será impossível (SI).
Para discutir um sistema qualquer, n × n, é conveniente utilizar o cálculo do determinante da matriz dos 
coeficientes aliado ao escalonamento.
97
Primeiramente, calcula-se o determinante, de modo que seu valor não seja nulo, obtendo com isso as con-
dições dos parâmetros para que o sistema seja SPD.
Em seguida, com o mesmo determinante, impõe-se que seu valor seja nulo para que sejam substituídos no 
sistema os valores obtidos a partir dessa condição (se houver mais de um valor para o mesmo parâmetro, haverá 
mais de um sistema a ser considerado).
Em seguida, escalona(m)-se o(s) sistema(s) obtido(s) até a última linha e, a partir dela, conclui-se a discus-
são do sistema, de acordo com as classificações possíveis dos sistemas lineares escalonados.
Exercícios resolvidos
1. Discuta o sistema 
Resolução:
Se D i 0 ä a – 2 i 0 ä a i 2, obteremos SPD.
Para D = 0 ä a = 2, é preciso escalonar ou, uma vez que esse sistema é 2 × 2, é preciso observar as duas 
equações.
Substituída a = 2, obtemos .
Os coeficientes da primeira equação são o dobro dos coeficientes da segunda equação. Por isso, para que 
haja equações equivalentes, b = 1 __ 
2
 ; para que sejam incompatíveis, b i 1 __ 
2
 .
Portanto:
 § a i 2 ∫ SPD
 § a = 2 e b = 1 __ 
2
 ∫ SPI
 § a = 2 e b i 1 __ 
2
 ∫ SI
2. Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b.
Resolução:
Para D i 0 ä a i 2 (SPD).
Com a = 2, obtemos D = 0.
 ∫ escalonando ∫ 
Na última linha vai haver uma igualdade verdadeira, se b + 1 = 0; portanto, b = –1 (SPI).
A igualdade será falsa para b + 1 i 0 ou b i –1 (SI).
98
Portanto:
 § a i 2 ∫ SPD
 § a = 2 e b = –1 ∫ SPI
 § a = 2 e b i –1 ∫ SI
rEsolução dE sIstEmas pEla rEgra dE cramEr
A regra de Cramer, uma das mais tradicionais para resolver sistemas de equações lineares, apresenta vantagens e 
desvantagens sobre outros métodos. A melhor vantagem é que ela fornece os valores das incógnitas diretamente 
como quociente de dois determinantes. Em comparação com o método do escalonamento, ela apresenta duas 
desvantagens. A primeira delas é que a regra de Cramer aplica-se tão somente se o determinante da matriz do sis-
tema for diferente de zero; segunda desvantagem: trata-se de uma regra mais trabalhosa, uma vez que pressupõe 
o cálculo de quatro determinantes em vez do escalonamento de um único sistema 3 × 3.
Consideremos o sistema de três equações lineares com três incógnitas:
 § Inicialmente, calcula-se D, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema (matriz incompleta):
Se D i 0, é possível prosseguir, uma vez que o sistema é possível e determinado (SPD).
Se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.
 § Em seguida, para cada incógnita a ser determinada, calcula-se um novo determinante, que é o da matriz 
obtida, substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada 
pela coluna dos termos independentes:
Dx (para determinar x) = 
Dy (para determinar y) = 
Dz (para determinar z) = 
 § O valor de cada incógnita é o quociente de cada um desses determinantes por D, ou seja:
x = 
Dx __ 
D
 y = 
Dy __ 
D
 z = 
Dz __ 
D
 
A regra de Cramer pode ser aplicada para qualquer sistema n x n, com D i 0.
Demonstração dessa regra no sistema 2 × 2.
99
Considerando tratar-se de um sistema linear genérico, 2 × 2, que seja determinado: com 
 
a1 __ a2
 i 
b1 __ 
b2
 , ou seja, a1b2 i a2b1, ou ainda, a1b – a2b1 i 0.
Resolução por adição:
Determinantes de matrizes obtidas a partir do sistema:
D = Z a1 __ a2
 
b1 __ 
b2
 Z = a1b2 – a2b1 i 0
Dx = Z c1 __ c2
 
b1 __ 
b2
 Z = b2c1 – b1c2
D = Z a1 __ a2
 
c1 __ c2
 Z = a1c2 – a2c1
Comparadas as igualdades (I) e (II) com os valores de D, Dx e Dy, é possível escrever D · x = Dx e D · y = Dy.
Uma vez que D i 0, há uma única solução para o sistemadada por:
x = 
Dx __ 
D
 e y = 
Dy __ 
D
 
Exercícios resolvidos
1. Resolva os sistemas pela regra de Cramer.
a) 
Resolução:
D = Z 2 ___ 
3
 –5 ___ 
2
 Z = 19 i 0
Dx = Z –2 ___ 
16
 –5 ___ 
2
 Z = 76
Dy = Z 2 __ 
3
 –2 ___ 
16
 Z = 38
x = 
Dx __ 
D
 = 76 ___ 
19
 = 4
y = 
Dy __ 
D
 = 38 ___ 
19
 = 2
S = {(4, 2)}
100
b) 
Resolução:
O sistema dado pode ser escrito como 
D = Z 3 __ 
5
 –1 ___ 
2
 Z = 11
Dx = Z 1 __ 
4
 –1 ___ 
2
 Z = 6
Dy = Z 3 __ 
5
 1 __ 
4
 Z = 7
x = 
Dx __ 
D
 = 6 ___ 
11
 
y = 
Dy __ 
D
 = 7 ___ 
11
 
S = { ( 6 ___ 
11
 · 7 ___ 
11
 ) } 
2. Resolva a equação matricial aplicando a regra de Cramer.
Resolução:
Essa equação matricial é equivalente ao sistema , do qual é a matriz coeficiente das 
incógnitas. Portanto:
D = Z 1 __ 
2
 –1 ___ 
5
 Z = 7
Dx = Z 4 __ 
1
 –1 ___ 
5
 Z = 21
Dy = Z 1 __ 
2
 –4 ___ 
1
 Z = –7
x = 
Dx __ 
D
 = 21 ___ 
7
 = 3
y = 
Dy __ 
D
 = –7 ___ 
7
 = –1
Logo, a solução é , ou seja, x = 3 e y = –1.
3. Resolva o sistema aplicando a regra de Cramer.
Resolução:
O sistema dado não é sistema linear.
Se 1 __ x = m e 1 __ y = n, o sistema toma a forma de um sistema linear 2 × 2 nas incógnitas m e n:
101
D = Z 1 __ 
2
 1 ___ 
–3
 Z = –5
Dm = Z 3 __ 
1
 1 ___ 
–3
 Z = –10
Dn = Z 1 __ 
2
 3 __ 
1
 Z = –5
m = 
Dm ___ 
D
 = –10 ____ 
–5
 = 2
n = 
Dn __ 
D
 = –5 ___ 
–5
 = 1
Portanto:
Logo, ( 1 __ 
2
 , 1 ) é a solução do sistema inicial.
4. Resolva o sistema 
Resolução:
Uma vez que D = 5 i 0, o sistema é SPD, o que nos permite prosseguir.
x = 
Dx __ 
D
 = 9 __ 
5
 
y = 
Dy __ 
D
 = 12 ___ 
5
 
z = 
Dz __ 
D
 = 9 __ 
5
 
A solução do sistema é dada pela terna ( 9 __ 
5
 , 12 ___ 
5
 , 9 __ 
5
 ) .
102
sIstEmas lInEarEs homogênEos
Se num sistema linear todos os termos independentes forem nulos, o sistema será denominado sistema linear 
homogêneo.
São sistemas lineares homogêneos:
Convém notar que um sistema linear homogêneo n x n (com n > 2) é sempre possível, uma vez que admite 
pelo menos a solução (0, 0, 0), denominada solução trivial, nula ou imprópria.
Esses sistemas homogêneos, sempre possíveis, são os únicos que podem ser classificados apenas a partir 
do cálculo determinante. Como não há chance de o sistema homogêneo ser SI, se o determinante for nulo, o sistema 
homogêneo será SPI. Mesmo assim, para resolver o sistema de D = 0, ele deve ser escalonado.
Exercícios resolvidos
1. Verifique se o sistema é determinado ou indeterminado.
Resolução:
 § Aplicando o determinante:
 § Aplicando o escalonamento:
O sistema é determinado; logo, S = {(0,0)}.
2. Resolva os sistemas:
a) 
Resolução:
Se D = 0 e o sistema é homogêneo, ele só pode ser possível e indeterminado.
Vamos, então, determinar a solução geral:
Se y = k e se somada uma das equações, obtemos
4x – 6y = 0 ä 4x – 6k = 0 ä 4x = 6k ä x = 6k __ 
4
 = 3k __ 
2
 
A solução x = 3 k __ 
2
 e y = k, tirada da primeira equação é também solução da segunda, uma vez que:
6 · 3k __ 
2
 – 9k –9k = 0
S = { ( 3k __ 
2
 ,k ) | k [ R } 
103
b) 
Resolução:
Se D i 0 e se o sistema é homogêneo, a única solução do sistema é a trivial, ou seja, S = {(0, 0)}.
3. Determine a para que o sistema admita outras soluções além da solução trivial (0, 0, 0).
Resolução:
Para que um sistema homogêneo 3 x 3 admita outras soluções além da trivial, deve haver D = 0, ou seja:
Logo, a = 1.
104
 5. (Ufsj) A respeito do sistema 
é CORRETO afirmar que:
a) se a ≠ 1, o sistema tem solução única. 
b) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções. 
c) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução. 
d) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções. 
 6. (Upe) Considerando o sistema 
analise as afirmativas abaixo e conclua. 
a) O sistema é impossível. 
b) O sistema é possível e indeterminado. 
c) O sistema é possível e determinado. 
d) O sistema admite como solução única x = 4, 
y = 8, z = –11.
e) O sistema admite como solução, para qual-
quer valor de x a terna (x, x, 5x). 
 7. (IFAL) Analise as afirmativas abaixo.
I. O sistema é possível e indeter-
minado.
II. O sistema é possível e 
determinado.
III. O sistema é impossível.
Marque a alternativa correta.
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) Apenas I é falsa. 
e) Apenas III é falsa. 
 8. (Espcex (Aman)) Para que o sistema linear 
 seja possível e indeterminado, o 
valor de a + b é:
a) –1. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 14. 
e) 19. 
E.o. tEstE I
 1. (Upe) Em uma floricultura, é possível mon-
tar arranjos diferentes com rosas, lírios e 
margaridas. Um arranjo com 4 margaridas, 
2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, 
se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e 
uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se 
o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma 
rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, 
quanto custará um arranjo simples, com uma 
margarida, um lírio e uma rosa?
a) 5 reais 
b) 8 reais 
c) 10 reais 
d) 15 reais 
e) 24 reais
 2. (Ufrgs) Rasgou-se uma das fichas onde fo-
ram registrados o consumo e a despesa cor-
respondente de três mesas de uma lancho-
nete, como indicado abaixo.
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço 
único, e os sanduíches também. O valor da 
despesa da mesa 3 é:
a) R$ 5,50.
b) R$ 6,00.
c) R$ 6,40.
d) R$ 7,00.
e) R$ 7,20.
 3. (Ufrgs) O sistema de equações
possui:
a) nenhuma solução. 
b) uma solução. 
c) duas soluções. 
d) três soluções. 
e) infinitas soluções.
 4. (IFSC) O sistema é pos-
sível e determinado, quando o valor de k for: 
a) k ≠ 3.
b) k = 5.
c) k = 3.
d) k ≠ 5.
e) k = 0.
105
 9. (Espm) O sistema em x e y, é 
possível e indeterminado se, e somente se: 
a) a ≠ –2.
b) a ≠ 2.
c) a = ±2.
d) a = –2.
e) a = 2.
 10. (Fgv) O sistema linear abaixo, nas incógni-
tas x e y:
Será impossível quando: 
a) Nunca 
b) p ≠ –6 e m = 1 
c) p ≠ –6 e m ≠ 1 
d) p = –6 e m = 1 
e) p = –6 e m ≠ 1
 11. (Unicamp) Considere o sistema linear nas 
variáveis reais x, y, z e w. 
 { x – y = 1,
 
 
 y + z = 2, 
w – z = 3.
 } 
Logo, a soma é igual a: 
a) –2. 
b) 0. 
c) 6. 
d) 8. 
 12. (Espcex (Aman)) Para que o sistema linear
 { x + y + az = 1
 
 x + 2x + z = 2 
2x + 5y – 3z = b
 } 
em que a e b são reais, seja possível e inde-
terminado, o valor de a + b é igual a: 
a) 10. 
b) 11. 
c) 12. 
d) 13. 
e) 14. 
13. (Pucrs) Nas olimpíadas de 2016, serão dis-
putadas provas com medalhas, que serão 
distribuídas entre competidores de esportes 
masculinos, femininos e, ainda, de esportes 
mistos. Sabe-se que o total de competições 
femininas e mistas é 145. Sabe-se, também, 
que a diferença entre o número de provas 
disputadas somente por homens e somente 
por mulheres é de 25. Então, o número de 
provas mistas é: 
a) 3. 
b) 9. 
c) 25. 
d) 136. 
e) 161. 
 14. (Pucrj) Considere o sistema
 { 2x + ay = 3
 x + 2y = 0 } 
e assinale a alternativa correta. 
a) O sistema tem solução para todo a e .
b) O sistema tem exatamente uma solução para 
a = 2.
c) O sistema tem infinitas soluções para a = 1. 
d) O sistema tem solução para a = 4. 
e) O sistema tem exatamente três soluções 
para a = –1. 
E.o. tEstE II
 1. (Fuvest) Em uma festa com n pessoas, em 
um dado instante, 31 mulheres se retiraram 
e restaram convidados na razão de 2 homens 
para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 
homens se retiraram e restaram, a seguir, 
convidados na razão de 3 mulheres para cada 
homem. O número n de pessoas presentes 
inicialmente na festa era igual a: 
a) 100. 
b) 105. 
c) 115. 
d) 130. 
e) 135. 
 2. (IFPE) Com a proximidade do final do ano, 
uma papelaria quis antecipar as promoções 
de materialdidático para o ano letivo de 
2012. Foram colocados em promoção caneta, 
caderno e lápis. As três ofertas eram:
1. 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por 
R$ 62,00;
2. 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por 
R$ 66,00;
3. 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por 
R$ 44,00.
Para comparar os preços unitários dessa pa-
pelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo 
calculou os preços de uma caneta, um cader-
no e um lápis. A soma desses preços é: 
a) R$ 20,00. 
b) R$ 18,00. 
c) R$ 16,00. 
d) R$ 14,00. 
e) R$ 12,00. 
 3. (Unioeste) Sabe-se que x, y e z são números 
reais. Se (2x + 3y – z)2 + (2y + x – 1)2 + (z – 
3 – y)2 = 0, então x + y + z é igual a:
a) 7. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 4. 
e) 3. 
106
 4. (Ufsj) Observe o sistema linear de variáveis 
x, y e z:
Com base no sistema, é CORRETO afirmar 
que se:
a) k = 3, o sistema admite solução única. 
b) k = 6, o sistema é impossível. 
c) k = –2, o sistema admite infinitas soluções. 
d) k = –6, o sistema é homogêneo e admite so-
lução (0,0,0).
 5. (IFSC) A alternativa CORRETA que indica o 
valor de a para que a seguinte equação ma-
tricial admita somente a solução trivial é:
a) a = 10 ___ 3 .
b) a = 20 ___ 3 . 
c) a ≠ – 20 ___ 3 .
d) a ≠ 20 ___ 3 . 
e) a ≠ 10 ___ 3 . 
 6. (Ufrgs) O sistema a seguir admite mais de 
uma solução.
Então, segue-se que:
a) a ≠ –3 e b = 1 __ 3 . 
b) a = –3 e b ≠ 1 __ 3 . 
c) a = – 1 __ 3 e b ≠ 3. 
d) a ≠ – 1 __ 3 e b = 3. 
e) a = – 1 __ 3 e b = 3. 
 7. (Ufsm) Na peça “Um xadrez diferente”, que 
encenava a vida de um preso condenado por 
crime de “colarinho branco”, foi utilizado 
como cenário um mosaico formado por re-
tângulos de três materiais diferentes, nas 
cores verde, violeta e vermelha. Considere 
que x, y e z são, respectivamente, as quan-
tidades, em quilos, dos materiais verde, 
violeta e vermelho utilizados na confecção 
do painel e que essas quantidades satisfa-
zem o sistema linear
Sobre a solução desse sistema e a quantidade 
dos materiais verde, violeta e vermelho uti-
lizada no painel, afirma-se:
I. O sistema tem solução única e x + y + z = 
120, isto é, a soma das quantidades dos 
três materiais empregados é 120 quilo.
II. O sistema não tem solução, é impossível 
determinar a quantidade de cada mate-
rial empregado.
III. O determinante da matriz dos coeficien-
tes a qual está associada ao sistema é di-
ferente de zero e x = 2y e y = 3z.
IV. O determinante da matriz dos coeficien-
tes a qual está associada ao sistema é 
zero. O sistema tem solução, porém, para 
determinar a quantidade dos materiais 
utilizados, é necessário saber previamen-
te a quantidade de um desses materiais.
Está(ão) correta(s):
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
e) apenas IV. 
 8. (Uel) O sistema é possível e de-
terminado:
a) para qualquer valor de a. 
b) somente para a = 0. 
c) somente para a = 6. 
d) se a ≠ 0.
e) se a ≠ –6.
 9. (Fatec) Sejam a e b números reais tais que o 
sistema, nas incógnitas x e y,
Nessas condições, pode-se afirmar que, sen-
do k um número inteiro: 
a) b ≠ a + k · p __ 2 .
b) b ≠ a + k · p.
c) b ≠ a + k · 2p ___ 3 .
d) b ≠ a + p __ 2 + k · p.
e) b ≠ a + p __ 2 + k · 2p ___ 3 .
107
 13. (Uern) Pedro e André possuem, juntos, 20 
cartões colecionáveis. Em uma disputa en-
tre ambos, em que fizeram apostas com seus 
cartões, Pedro quadriplicou seu número de 
cartões, enquanto André ficou com apenas 
2/3 do número de cartões que possuía ini-
cialmente. Dessa forma, o número de cartões 
que Pedro ganhou na disputa foi: 
a) 6. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
 14. (Uece) Em relação ao sistema 
 { x + y + z = 0
 
 
 x – my + z = 0 
mx – y – z = 0
 } 
pode-se afirmar corretamente que :
a) o sistema admite solução não nula apenas 
quando m = –1. 
b) para qualquer valor de m a solução nula 
(x = 0, y = 0, z = 0) é a única solução do 
sistema. 
c) o sistema admite solução não nula quando 
m = 2 ou m = –2.
d) não temos dados suficientes para concluir 
que o sistema tem solução não nula. 
E.o. tEstE III
 1. (Epcar (Afa)) Irão participar do EPEMM, En-
contro Pedagógico do Ensino Médio Militar, 
um Congresso de Professores das Escolas Mi-
litares, 87 professores das disciplinas de Ma-
temática, Física e Química. Sabe-se que cada 
professor leciona apenas uma dessas três 
disciplinas e que o número de professores 
de Física é o triplo do número de professores 
de Química.
Pode-se afirmar que:
a) se o número de professores de Química for 
16, os professores de Matemática serão a 
metade dos de Física. 
b) o menor número possível de professores de 
Química é igual a 3. 
c) o número de professores de Química será no 
máximo 21. 
d) o número de professores de Química será 
maior do que o de Matemática, se o de Quí-
mica for em quantidade maior ou igual a 17.
 2. (Unicamp) Considere o sistema linear nas 
variáveis x, y e z , onde m 
é um número real. Sejam a < b < c números 
inteiros consecutivos tais que (x, y, z) = (a, 
b, c) é uma solução desse sistema. O valor de 
m é igual a:
 10. (Mackenzie) Relativas ao sistema 
 k [ R,
considere as afirmações I, II e III abaixo.
I. Apresenta solução única para, exatamen-
te, dois valores distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um 
único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma: 
a) somente I está correta. 
b) somente II e III estão corretas. 
c) somente I e III estão corretas. 
d) somente III está correta. 
e) I, II e III estão corretas. 
 11. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Saulo sacou 
R$ 75,00 do caixa eletrônico de um Banco 
num dia em que este caixa emitia apenas 
cédulas de R$ 5,00 e R$ 10,00. De quantos 
modos poderiam ter sido distribuídas as cé-
dulas que Saulo recebeu? 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) Mais do que 8. 
 12. (Cefet MG) Analise o esquema seguinte.
 
Se os pratos da balança estão equilibrados, 
então a soma dos pesos dos objetos , 
e , em kg, é: 
a) menor que 1. 
b) maior que 2,5. 
c) maior que 1 e menor que 1,5. 
d) maior que 1,5 e menor que 2. 
e) maior que 2 e menor que 2,5. 
108
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.
 3. (Ufsj) Considere o seguinte sistema de equa-
ções lineares, nas incógnitas x, y e z:
Sobre seu conjunto solução, é CORRETO afir-
mar que ele:
a) possui infinitas soluções quando
 det ≠ 0.
b) possui uma única solução quando
 det = 0.
c) possui infinitas soluções quando
 det = 0.
d) não possui solução quando 
 det ≠ 0.
 4. (Ita) Considere o sistema de equações 
, com a, b, c, d, p e q reais, abcd 
≠ 0, a + b = m e d = nc. Sabe-se que o sistema 
é indeterminado. O valor de p + q é:
a) m. 
b) m __ n . 
c) m2 − n2. 
d) mn.
e) m + n.
 5. (Fatec) Sobre o sistema linear, nas incógni-
tas x, y e z,
em que k e m são constantes reais, pode-se 
afirmar que: 
a) não admite solução se k = 4. 
b) admite infinitas soluções se k = m = 3. 
c) admite infinitas soluções se k = 3 e m = 5. 
d) admite solução única se k = 3 e m é qualquer 
real. 
e) admite solução única se k ≠ 5 e m = 3. 
 6. (Mackenzie) Um teste de matemática tem 
questões valendo 1 ponto, 2 pontos e pon-
tos. Se um estudante obteve 55 pontos em 
questões desse teste e acertou 5 questões de 
2 pontos a mais do que o número de ques-
tões de 1 ponto que ele acertou, o número 
de questões de 3 pontos, respondidas corre-
tamente por ele, foi: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 7. (Pucrs) O sistema 
 { 2x – y = 3
 –x + 2y = 4 } 
pode ser apresentado como: 
a) 
−     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
b) 
−     
=     −     
1 2 x 3
2 1 y 4
 
c) 
−     
=     −     
1 2 x 3
1 2 y 4
 
d) −     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
e) 
−     
=     −     
2 1 x 3
1 2 y 4
 
E.o. dIssErtatIvo
 1. (Fuvest) João entrou na lanchonete BOG e 
pediu3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 
2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao 
lado, algumas pessoas pediram 8 hambúr-
gueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gas-
tando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de 
um hambúrguer, mais o de um suco de laran-
ja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, 
calcule o preço de cada um desses itens. 
 2. (Fuvest) Em uma transformação química, há 
conservação de massa e dos elementos quí-
micos envolvidos, o que pode ser expresso 
em termos dos coeficientes e índices nas 
equações químicas. 
a) Escreva um sistema linear que represente as 
relações entre os coeficientes x, y, z e w na 
equação química
 x C8H18 + y O2 ∫ z CO2 + w H2O
109
b) Encontre todas as soluções do sistema em 
que x, y, z e w são inteiros positivos.
 3. (Ufmg) DETERMINE os valores de a e b para 
que o sistema
a) tenha solução única.
b) tenha infinitas soluções.
c) não tenha soluções.
 4 (Uftm) Seja o sistema linear nas variáveis x, 
y e z:
a) Determine os valores do parâmetro m para 
que o sistema tenha apenas a solução nula.
b) Resolva o sistema para m = –1.
 5. (Uem) Considere o seguinte sistema linear:
em que a e b são coeficientes reais.
A respeito desse sistema e de seus conheci-
mentos sobre o assunto, assinale o que for 
correto.
01) Se a tripla (1,2,3) é uma solução do sistema 
linear, então o sistema é possível e indeter-
minado. 
02) Se a = b = 0, o sistema linear é impossível. 
04) Existem a, b reais, tais que a tripla (1,0,1) é 
uma solução do sistema linear. 
08) Se a = 2 e b = –1, o sistema linear é impos-
sível. 
16) Se y = z e b = 0, o sistema linear é possível 
para qualquer valor de a. 
 6. (Ufmg) Considere o seguinte sistema linear 
nas incógnitas x e y 
Observando-se que o coeficiente de y na se-
gunda equação é um parâmetro a:
a) DETERMINE para quais valores de a o sistema 
tem solução.
b) DETERMINE as soluções x e y em função do 
parâmetro a, caso o sistema tenha solução.
c) DETERMINE todos os valores de a para os 
quais o sistema tenha como solução núme-
ros inteiros x e y. 
 7. (Ufpe) Sobre o sistema de equações lineares 
apresentado abaixo, analise as proposições a 
seguir, sendo a um parâmetro real.
( ) Se a = 2, então o sistema admite infinitas 
soluções. 
( ) O sistema sempre admite solução. 
( ) Quando o sistema admite solução, temos que 
x = 1.
( ) Se a ≠ 2, então o sistema admite uma única 
solução. 
( ) Se a = 1, então o sistema admite a solução 
(1, 2, –1). 
 8. (Unicamp) Considere a matriz 
onde a, b e c são números reais.
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que 
AT = –A.
b) Dados a = 1 e b = –1, para que os valores 
de c e d o sistema linear tem 
infinitas soluções?
 9. (Fuvest) Considere o sistema de equações 
nas variáveis x e y, dado por:
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de m para os 
quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os 
quais o sistema admite uma solução da for-
ma (x, y) = (a, 1), sendo a um número irra-
cional. 
10. (Uepg) Considerando o sistema de equações, 
, assinale o que for correto. 
01) Se p = 0 e q ≠ 0, o sistema não possui solução.
02) O sistema possui solução quaisquer que se-
jam p e q. 
04) O sistema possui solução única, se p ≠ 2q.
08) Se p = q = 0, o sistema é impossível.
16) O sistema possui infinitas soluções se 
det ≠ 0.
110
gabarIto
E.O. Teste I
1. D 2. A 3. B 4. D 5. A
6. F V F F F 7. B 8. D 9. D 10. E
11. D 12. B 13. B 14. B
E.O. Teste II
1. D 2. D 3. D 4. A 5. D
6. E 7. E 8. E 9. B 10. B
11. C 12. E 13. A 14. A
E.O. Teste III
1. C 2. A 3. C 4. D 5. B
6. E 7. A
E.O. Dissertativo
 1. hambúrguer: R$ 4,00
suco de laranja: R$ 2,50
cocada: R$ 3,50 
 2. 
a) 
b) S = {(2a, 25a, 16a, 18a) para a [ R}
 3. 
a) (SPD) à a ≠ 2 __ 5 
b) (SPI) à a = 2 __ 5 e b = 0
c) (SI) à a = 2 __ 5 e b ≠ 0 
 4. 
a) m [ R* –{–1}
b) S = {(0, a, a), a [ R}
 5. 01 + 04 + 08 = 13
 6. 
a) a ≠ 9
b) y = 3 __ 9 – a
 x = 2a – 9 __________ 
2 · (a – 9)
 
c) 3 _____ 9 – a = 2n ä a = 18n – 3 _______ 2n , com n [ R*
 7. F – F – V – V – V. 
 8. 
a) a = 0, b = 2 e c = –1
b) c = 0 e d = –4
 9. 
a) S = {(a, – 2a); a [ R}
b) m = 1 ou m = 
(–1 + dXX 5 )
 _________ 2 ou m = 
(–1 – dXX 5 )
 _________ 2 
c) m = 
(–1 + dXX 5 )
 _________ 2 ou m = 
(–1 – dXX 5 )
 _________ 2 
 10. 04 + 08 = 12
Aula 24: Probabilidade condicional 112
Aula 25: Estatística I 136
Aula 26: Estatística II 164
ARITMÉTICa
Probabilidade condicional
Aula 24
113
Definição teórica De probabiliDaDe e consequência
Vamos analisar o fenômeno aleatório do lançamento de uma moeda perfeita.
Nesse caso, temos:
 § V = {C, 
–
 C } ä p(V) = 1
 § Os subconjuntos de V são: Ö, {C}, { 
–
 C } e {C, 
–
 C }.
Portanto:
P (Ö) = 0 p({C}) = 1 __ 
2
 p({ 
–
 C }) = 1 __ 
2
 p({C, 
–
 C }) = 1
Logo, p(A) > 0 para todo A , V.
 § Ao considerar A = {C} e B = { 
–
 C }, resulta A > B = Ö e 
p(A < B) = p({C} < { 
–
 C }) = p {(C, 
–
 C )} = p(V) = 1 = 1 __ 
2
 + 1 __ 
2
 = p({C}) + p({ 
–
 C }) = p(A) + p(B).
Teoricamente, pode-se considerar probabilidade uma função definida nas partes de um conjunto (espaço 
amostral V) com valores reais, que satisfaz essas propriedades:
P1: p(A) > 0, para qualquer A [ V
P2: p(V) = 1
P3: p(A < B) = p(A) + p(B), se A > B = Ö (eventos mutuamente exclusivos)
Observe que essas três propriedades estão satisfeitas no caso anterior.
Consequência da definição
Em consequência da definição teórica de probabilidade, existem estas propriedades:
Primeira propriedade: impossibilidade ou p(Ö) = 0
Como um evento qualquer, A (A subconjunto de V) pode ser escrito como A < Ö = Ö, ao qual pode ser 
aplicada a propriedade P3:
p(A) = p(A < Ö) 
P3
 
 = p(A) + p(Ö) ä p(Ö) = 0
p(Ö) = 0
Segunda propriedade: probabilidade do evento complementar
Se 
–
 A a notação para “complementar de A”, obtemos:
A < 
–
 A = V e A > 
–
 A = Ö
Logo:
p(V) = p(A < 
–
 A )
Ao aplicar P2 e P3, obtemos:
1 = p(A) + p( 
–
 A ) ou, equivalentemente,
p( 
–
 A ) = 1 – p(A)
Terceira propriedade: propriedade da união de dois eventos
Conhecidas as probabilidades de ocorrência de dois eventos quaisquer A e B, p(A) e p(B), e procuramos a 
probabilidade de ocorrer o evento A < B, p(A < B).
114
Pela propriedade P3, sabemos que, se A > B = Ö, p(A < B) = p(A) + p(B); e que, se A e B são conjuntos 
quaisquer, temos:
A = (A > B) < (A > 

 B ) (I)
B = (A > B) < ( 

 A > B) (II)
A < B = (A > 

 B ) < (A > B) < ( 

 A > B)
Uma vez que (A > 
–
 B ), (A > B) e ( 
–
 A > B) são dois a dois disjuntos, aplicamos P3 e obtemos:
p(A < B) = p(A > 
–
 B ) + p(A > B) + p( 
–
 A > B) (III)
Considerando as probabilidades dos eventos A e B em (I) e (II), obtemos:
p(A) = p(A > B) + p(A > 
–
 B ) à
à p(A > 
–
 B ) = p(A) – p(A > B) (IV)
p(B) = p(A > B) + p( 
–
 A > B) à
à p( 
–
 A > B) = p(B) – p(A > B) (V)
Substituindo (IV) e (V) em (III), concluímos que:
p(A < B) = p(A) + p(B) – p(A > B) é probabilidade da união de dois eventos
Exercícios resolvidos
1. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de não sair soma 
5?
Resolução:
Já vimos que nesse caso V tem 36 elementos:
V = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)} ä n (V) = 36
Seja A o evento “sair soma 5”:
A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} ä n(A) = 4
p(A)= n(A) ____ 
n(V)
 = 4 ___ 
36
 = 1 __ 
9
 e p( 
–
 A ) = 1 – p(A) = 1 – 1 __ 
9
 = 9 __ 
9
 – 1 __ 
9
 = 8 __ 
9
 
A probabilidade de não sair soma 5 é 8 __ 
9
 .
115
2. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de se obter soma 
par ou soma múltipla de 3?
Resolução:
Já sabemos que nesse caso V = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)} ä n(V) = 36
Seja A o evento: “sair soma par”:
A = {(1, 1), (1,3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), 
(4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
Portanto, n(A) = 18.
Seja o evento B:“sair soma múltipla de 3”:
A = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}
Portanto, n(B) = 12.
A intersecção dos eventos A e B representa o evento “sair soma par e múltiplo de 3”. Ao realizar a inter-
secção dos conjuntos, obtemos:
A > B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)} ä n (A > B) = 6
Logo:
p(A) = 18 ___ 
36
 = 1 __ 
2
 
p(B) = 12 ___ 
36
 = 1 __ 
3
 
p(A > B) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
A probabilidade de se obter “soma par ou soma múltipla de 3” é dada por:
p(A < B) = p(A) + p(B) – p(A > B) =
= 1 __ 
2
 + 1 __ 
3
 – 1 __ 
6
 = 3 __ 
6
 + 2 __ 
6
 – 1 __ 
6
 = 4 __ 
6
 = 2 __ 
3
 
probabilidade 
de se obter 
soma par
probabilidade 
de se obter 
soma múltipla 
de 3
probabilidade 
de obter soma 
par e múltipla 
de 3
3. Ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha 
ou um ás?
Resolução:
Seja o evento V “a carta é vermelha”; o evento A “a carta é ás”; e o evento (V > A): “a carta é vermelha ou ás”.
p(V < A) = p(V) + p(A) – p(V > A)
Num baralho com 52 cartas, há 26 cartas vermelhas, 26 cartas pretas e 4 ases, dos quais 2 são vermelhos.
Portanto:
p(V) = 26 ___ 
52
 = 1 __ 
2
 
p(A) = 4 ___ 
52
 = 1 ___ 
13
 
p(V > A) = 2 ___ 
52
 = 1 ___ 
26
 
116
Logo:
P(V < A) = 1 __ 
2
 + 1 ___ 
13
 – 1 ___ 
26
 = 14 ___ 
26
 = 7 ___ 
13
 
A probabilidade de a carta retirada ser vermelha com um ás é de 7 ___ 
13
 . 
4. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos e p(A) = 0,25 e p(B) = 0,5, determine:
a) p ( –––
 A < B ) 
Resolução:
p ( –––
 A < B ) = 1 – p(A < B) = 1 – [p(A) + p(B) – p(A > B)]
Obtemos:
p(A) = 0,25
p(B) = 0,5
p(A > B) = 0, uma vez que (A > B) = Ö (mutuamente exclusivos)
Logo, p ( –––
 A < B ) = 1 – (0,25 + 0,5) = 0,25
b) p(A < B)
Resolução:
p(A < B) = p(A) + p(B) – p(A > B) = 0,25 + 0,5 – 0 = 0,75
c) p ( – A ) 
Resolução:
p ( – A ) = 1 – p(A) = 1 – 0,25 = 0,75
d) p ( – B ) 
Resolução:
p ( – B ) = 1 – p(B) = 1 – 0,5 = 0,5
e) a probabilidade do evento “A, mas não B”
Resolução:
“A, mas não B” é equivalente a “A e não B”: A > 
–
 B .
Uma vez que A > 
–
 B = A – (A > B), obtemos:
P(A > 
–
 B ) = p(A) – p(A > B) = 0,25 – 0 = 0,25
117
5. Certa máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é 
a probabilidade de que:
a) os três sejam perfeitos?
Resolução:
Ao calcular o número de elementos do espaço amostral, obtemos:
n(V) = número de 50 elementos tomados 3 a 3.
n(V) = ( 50 ___ 
3
 ) = 50! _____ 
3! 47!
 = 50 · 49 · 48 47! __________ 
 3 · 2 · 47!
 = 50 · 49 · 8
Evento A: os três parafusos são perfeitos
n(A) = ( 45 ___ 
3
 ) = 45! _____ 
3! 42!
 = 45 · 44 · 43 · 42! _____________ 
3 · 2 · 42!
 = 15 · 22 ·43
p(A) = n(A) ____ 
n(V)
 = 15 · 22 · 43 _________ 
50 · 49 · 8
 = 0,72398
b) os três sejam defeituosos?
Resolução:
Evento B: os três parafusos são defeituosos, que pode ocorrer de ( 5 __ 
3
 ) maneiras.
Logo:
n(B) = ( 5 __ 
3
 ) = 5! ____ 
3! 2!
 = 5 · 2 =10
p(B) = n(B) ____ 
n(V)
 = 10 ________ 
50 · 49 · 8
 = 1 ____ 
1960
 = 0,0005
c) pelo menos dois sejam defeituosos?
Resolução:
Evento C: pelo menos 2 são defeituosos, ou seja, ou 2 ou 3 são defeituosos. Se D for o evento “2 são 
defeituosos” e B, “três são defeituosos”, obtemos C = D < B.
p(C) = p(D < B) = p(D) + p(B) – p(D > B)
Uma vez que D > B = Ö, p(D > B) = 0, logo:
p(C) = p(D) + p(B)
Basta, então, calcular p(D).
Para cada ( 5 __ 
2
 ) escolhas de 2 defeituosos, existem ( 45 ___ 
1
 ) possibilidades para o outro parafuso ser perfeito, 
ou seja:
n(D) = ( 5 __ 
2
 ) ( 45 ___ 
1
 ) 
Logo:
p(D) = 
 ( 5 __ 
2
 ) ( 45 ___ 
1
 ) 
 _______ 
 ( 50 ___ 
3
 ) 
 = 
 5! ____ 
2! 3!
 · 45! ___ 
44!
 
 _________ 
 50! _____ 
3! 47!
 
 = 9 ___ 
392
 = 0,02296
p(C) = p(D) + p(B) = 0,02296 + 0,0005 = 0,02346
118
d) pelo menos um seja defeituoso?
Resoluções:
O evento E, “pelo menos um é defeituoso”, é o complementar do evento A, “os três são perfeitos” (que 
é o mesmo de “nenhum é defeituoso”. Logo:
p(E) = p( 
–
 A ) = 1 – p(A) = 1 – 0,72398 = 0,27602
6. Com uma moeda viciada, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Qual é a 
probabilidade de sair cara?
Resolução:
Se a moeda é viciada, os eventos elementares não são equiprováveis. No entanto, sabemos que P(V) = 1. 
Portanto, P(C) = 2P( 
–
 C ) (enunciado).
Logo, 3 · P( 
–
 C ) = 1 e P( 
–
 C ) = 1 __ 
3
 .
P(C) = 1 – P( 
–
 C ) = 2 __ 
3
 
Resumo das probabilidades calculadas
Evento Probabilidade
A p(A) – n(A) ____ 
n(Ω)
 
 
––
 A 1 – p(A)
A < B p(A) + p(B) – p(A > B)
 
–– A > 
–
 B p ( 
–––––
 A < B )
 
–– A < 
–
 B p ( 
–––––
 A > B )
A > 
–
 B p(A) – p(A > B)
Probabilidade condicional
Analisemos esta situação:
Uma moeda foi lançada três vezes. Já vimos que, nesse caso, o espaço amostral é:
V = {CCC, CC 

 C , C 

 C C, C 

 C 

 C , 

 C CC, 

 C C 

 C , 

 C 

 C C, 

 C 

 C 

 C }
Consideremos o evento A: sair cara exatamente duas vezes.
A = {CC 

 C , C 

 C C, 

 C CC} é p(A) = 3 __ 
8
 
Consideremos agora que, ao ser lançada a moeda três vezes, “o resultado do primeiro lançamento foi cara”. 
Qual é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes?
O espaço amostral passa a ser B com:
B = {CCC, CC 

 C , C 

 C C, C 

 C 

 C } e A’ = {CC 

 C , C 

 C C}
Do qual A’ = A > B e a probabilidade pedida é:
P(A’) = n(A') ____ 
n(B')
 = 2 __ 
4
 = 1 __ 
2
 
119
A probabilidade do evento “sair cara em ambos os lançamentos” foi modificada pela presença do evento 
condicionante “o resultado do primeiro lançamento foi cara”.
Definindo:
 § evento A: exatamente dois dos três lançamentos dão cara é A = {CC 

 C , C 

 C C, 

 C CC, }
 § evento B: o primeiro lançamento dá cara é B = {CCC, CC 

 C , C 

 C C, C 

 C 

 C }
E denotamos por A/B o “evento A condicionado ao fato de que o evento B já ocorreu” e por P(A/B) a pro-
babilidade condicional de ocorrer A, uma vez ocorrido B.
Nesse exemplo, P(A/B) é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes, uma vez que saiu cara no 
primeiro lançamento.
Já foi visto que:
p(A/B) = p(A’) = 1 __ 
2
 
Portanto:
p(A/B) = n(A') ____ 
n(B')
 = n(A > B) _______ 
n(B)
 
Ao dividir ambos os termos da fração por n(V) ≠ 0, obtemos:
p(A/B) = 
 n(A > B) _______ 
n(V)
 
 _______ 
 n(B) ____ 
n(V)
 
 = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 
Logo:
p(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 ou p(A > B) = p(A/B) · p(B)
Exercícios resolvidos
1. Ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um ás vermelho, sabendo 
que ela é de copas?
Resolução:
Nesse caso, n(V) = 52.
Evento A: sair ás vermelho
Evento B: sair copas
O que o problema pede é p(A/B), ou seja, a probabilidade de sair ás vermelho de copas.
Evento A: {ás de copas, ás de ouros}
Evento B: {cartas de copas} ä n(B) = 13
A > B = {ás de copas} ä n(A > B) = 1
Logo, p(A > B) = 1 ___ 
52
 e p(B) = 13 ___ 
52
 .
Portanto:
P(A/B) = 
 1 ___ 
52
 
 ___ 
 13 ___ 
52
 
 = 1 ___ 
13
 
Assim, ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, a probabilidade de sair ás vermelho sabendo que 
ela é de copas é de 1 ___ 
13
 .
120
2. Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens, uma vez que 
a primeira criança que nasceu é homem?
Resolução:
Nesse caso, ao denominar M: mulher e H: homem, obtemos:
V = {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH,MHH, HMH, MHM} ä n(V) = 8
Evento A: a família tem 3 homens ä A = {HHH}
Evento B: a primeira criança é homem ä B = {HHH, HHM, HMH, HMM}
A > B = {HHH}; p(A > B) = 1 __ 
8
 ; p(B) = 4 __ 
8
 = 1 __ 
2
 
P(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 = 
 1 __ 
8
 
 __ 
 1 __ 
2
 
 = 1 __ 
4
 
3. Dois dados perfeitos são lançados. Qual é a probabilidade de sair soma 8, se no primeiro dado ocorreu o 3?
Resolução:
V = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 5) · (6, 6)} ä n(V) = 36
Evento A: sair soma 8 ä A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
Evento B: sair 3 no primeiro dado ä B = {(3, 1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}
A > B = {(3,5)}: p(A > B) = 1 ___ 
36
 ; p(B) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
P(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 = 
 1 ___ 
36
 
 ___ 
 1 __ 
6
 
 = 1 __ 
6
 
4. Numa população de 500 pessoas, 280 são mulheres e 60 exercem a profissão de advogado, 20 das quais 
do sexo feminino. Tomando ao acaso uma dessas pessoas, qual é a probabilidade de que, se for mulher, seja 
advogada?
Resolução:
Evento A: a pessoa exerce advocacia 
Evento B: a pessoa é do sexo feminino
Procurarmos p(A/B)
De outra maneira: em vez de estudar a população toda, poderíamos nos restringir às mulheres e pergun-
tar qual é a probabilidade de ser advogada uma mulher tomada ao acaso. Teríamos:
P(A/B) = 20 ___ 
280
 = 1 ___ 
14
 
121
Eventos independentes
Em probabilidade, o conceito de independência de eventos é muito relevante. Analisando um exemplo, definiremos 
o que são eventos independentes.
Consideremos o experimento “lançar dois dados perfeitos de cores diferentes”. Seja A o evento “sair o 6 
no primeiro dado” e B, “sair o 3 no segundo dado”.
Observemos que:
 § n(V) = 36
 § A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
 § B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
 § p(A) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
 § p(B) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
 § A > B = {(6, 3)} ä p(A > B) = 1 ___ 
36
 
 § p(B/A) = P(B > A)/P(A) = 
 1 ___ 
36
 
 ___ 
 1 __ 
6
 
 = 1 __ 
6
 
Desse modo, p(B) = p(B/A) = 1 __ 
6
 , ou seja, a probabilidade de “sair 3 no segundo dado” não foi afetada pelo 
fato de “sair 6 no primeiro dado”, ou, ainda, a probabilidade de ocorrer B não dependeu da ocorrência de A.
Nesse caso, dizemos que A e B são eventos independentes. A probabilidade de ocorrer um deles não de-
pende do fato de ter ou não ocorrido o outro.
Dessa forma, também é verdade que p(A) = p(A/B).
Portanto, como p(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 , obtemos:
p(A > B) = p(A/B) · p(B) = p(A) · p(B)
Logo, o fato de A e B serem eventos independentes é equivalente a dizer que p(A > B) = p(A) · p(B).
Em razão disso, a definição é:
Dois eventos A e B de um espaço amostral V (com p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0) são independentes, se, e somente se, 
p(A/B) = p(A), ou de modo equivalente:
p(A > B) = p(A) · p(B)
Podemos afirmar, portanto, que dois eventos A e B são dependentes, se p(A > B) ≠ p(A) · p(B).
p(A)
122
Exercícios resolvidos
1. Consideremos uma cria de cachorros com 3 filhotes. Sejam os eventos A: a obtenção de pelo menos dois 
machos e B: a obtenção de pelo menos um de cada sexo. Os eventos A e B são independentes? Por quê?
Resolução:
m: macho; f: fêmea
V = {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff}
A = {mmm, mmf, mfm, fmm} ä p(A) = 1 __ 
2
 
B = {mmf, mfm, fmm, fmf, ffm} ä p(B) = 3 __ 
4
 
A > B = {mmf, mfm, fmm} ä p(A > B) = 3 __ 
8
 
Portanto: 3 __ 
8
 = 1 __ 
2
 · 3 __ 
4
 .
Uma vez que p(A > B) = p(A) · p(B), A e B são independentes. 
2. Uma fábrica produz três produtos, A, B e C. Qual é a probabilidade de se selecionar, ao acaso, um produto 
defeituoso A, se 30% dos produtos produzidos pela fábrica são produtos A e 5% dos produtos A são de-
feituosos?
Resolução:
D: selecionar produto defeituoso
D > A: selecionar produto defeituoso A
p(A) = 30 ___ 
100
 = 3 ___ 
10
 
p(D/A) = 5 ___ 
100
 = 1 ___ 
20
 
p(D > A) = p(D/A) · p(A) = 1 ___ 
20
 · 3 ___ 
10
 = 3 ___ 
200
 = 1,5%
Logo, p(D > A) = 1,5%.
3. São realizados dois lançamentos sucessivos de um dado perfeito. Qual é a probabilidade de ocorrer o nú-
mero 5?
Resolução:
A: ocorrência de 5 no primeiro lançamento ä p(A) = 1 __ 
6
 
B: ocorrência de 5 no segundo lançamento ä p(B) = 1 __ 
6
 
A e B são independentes. Procuramos p(A > B).
p(A > B) = p(A) · p(B) = 1 __ 
6
 · 1 __ 
6
 = 1 ___ 
36
 
123
O método binomial
O método do produto de probabilidade é aplicado para calcular a probabilidade de todas as crianças de uma 
família serem meninos ou todas serem meninas. Se um casal planejou ter 4 filhos, a probabilidade de que todos 
sejam meninos é:
 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 ___ 
16
 
Se houver mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1 menina, 2 meninos e 2 meninas etc., e se não for 
especificada a ordem de ocorrência, aplica-se o método binomial. Para isso, vamos voltar às potências do binômio 
(a + b)n, conhecidas como binômio de Newton:
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3 
(a + b)4 = (a + b)3 (a + b) = 1a4 + 4 a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a + b)5 = (a + b)4(a + b) = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Os coeficientes são os elementos do triângulo de Pascal, conhecidos como números binomiais:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
que pode ser escrito assim:
 ( 0 __ 
0
 ) 
 ( 1 __ 
0
 ) ( 1 __ 
1
 ) 
 ( 2 __ 
0
 ) ( 2 __ 
1
 ) ( 2 __ 
2
 ) 
 ( 3 __ 
0
 ) ( 3 __ 
1
 ) ( 3 __ 
2
 ) ( 3 __ 
3
 ) 
 ( 4 __ 
0
 ) ( 4 __ 
1
 ) ( 4 __ 
2
 ) ( 4 __ 
3
 ) ( 4 __ 
4
 ) 
 ( 5 __ 
0
 ) ( 5 __ 
1
 ) ( 5 __ 
2
 ) ( 5 __ 
3
 ) ( 5 __ 
4
 ) ( 5 __ 
5
 ) 
no qual, como já sabemos:
 ( n __ 
k
 ) = n! ________ 
k!(n – k)!
 ou ( n __ 
k
 ) = 
An,k ___ 
k!
 
é o número total de combinações de n objetos tomados k a k, ou seja, é o número de subconjuntos de k elementos 
tomados de um conjunto com n elementos.
124
No que consiste o método binomial e como aplicá-lo? Vejamos.
1. Consideremos uma família com duas crianças.
Seja M o nascimento de um menino e F o nascimento de uma menina:
 § p(M) = p = 1 __ 
2
 
 § p(F) = q = 1 __ 
2
 
 § V = {MM, MF, FM, FF}
Uma vez que sabemos, experimentalmente, que cada nascimento é independente de nascimentos anterio-
res, obtemos:
 § p(MM) = p(M) · p(M) = p · p = p2 = 1 __ 
4
 
 § p(MF) = p(M) · p(F) = p · q = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
 § p(FM) = p(F) · p(M) = q · p = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
 § p(FF) = p(F) · p(F) = q · q · q2 = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
Observe que a probabilidade total é igual a 1:
 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 = 1
Sem considerar a ordem dos nascimentos, podemos escrever:
p2 + 2pq + q2 = 1
 
probabilidade de 
nascerem dois 
meninos
MM 
probabilidade de 
nascerem 
1 menino e 
1 menina 
MF + FM 
probabilidade de 
nascerem duas 
meninas
FF
Portanto:
 § a probabilidade de nascerem dois meninos é p2, ou seja:
 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
 § a probabilidade de nascer um menino e uma menina (sem considerar a ordem) é 2pq, ou seja:
2 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
2
 
 § a probabilidade de nascerem duas meninas q2, ou seja:
 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
Observemos que:
1p2 + 2pq + 1q2 = ( 2 __ 
0
 ) p2 + ( 2 __ 
1
 ) pq + ( 2 __ 
2
 ) q2 = (p + q)2 = 12 = 1
p + q = 1
125
2. Consideremos o nascimento de três crianças e as mesmas representações do exemplo anterior.
Neste caso, as possibilidades de nascimento são dadas por:
V = {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
Portanto:
 § p(MMM) =p(M) · p(M) · p(M) = p · p · p = p3
 § p(MMF) = ppq = p2q
 § p(MFM) = pqp = p2q
 § p(FMM) = q ·p ·p = p2q
 § p(MFF) = pqq = pq2
 § p(FMF) = qpq = pq2
 § p(FFM) = qqp = pq2
 § p(FFF) = qqq = q3
Desconsiderada a ordem do nascimento, as possibilidades reduzem-se para MMM, MMF, MFF e FFF, e as 
probabilidades correspondentes para:
 § p(MMM) = p3
 § p(MMF) = 3p2q
 § p(MFF) = 3pq2
 § p(FFF) = q3
que são escritas:
p3 + 3p2q + 3pq2 + q3 = 1
que é a expressão do binômio (p + q)3 = 1.
Portanto, podemos dizer que:
 § a probabilidade de que as 3 crianças sejam meninos é:
p3 = p · p · p = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
8
 
 § a probabilidade de que nasçam 2 meninos e 1 menina é:
3p2q = 3ppq = 3 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 3 __ 
8
 
 § a probabilidade de que nasçam 1 menino e 2 meninas é:
3pq2 = 3pqq = 3 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 3 __ 
8
 
 § a probabilidade de que nasçam 3 meninas é:
q3 = qqq = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
8
 
Notamos que:
 1 __ 
8
 + 3 __ 
8
 + 3 __ 
8
 + 1 __ 
8
 = 8 __ 
8
 = 1
Observamos também que:
1p3 + 3p2q + 3 pq2 + 1q3 = ( 3 __ 
0
 ) p3 + ( 3 __ 
1
 ) p2q + ( 3 __ 
2
 ) pq2 + ( 3 __ 
3
 ) q3
Generalizando, a probabilidade de nascerem n crianças, das quais k sejam meninos e n – k sejam me-
ninas numa família, é dada por:
p(k meninos, n – k meninas) = ( n __ 
k
 ) pkqn – k
Ao aplicar essa fórmula, estamos aplicando o método binomial.
Essa probabilidade é um termo da expansão binomial (p + q)n.
126
Exercício resolvido
1. Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a probabilidade de nascerem:
a) 4 meninos;
b) 3 meninos e 1 menina;
c) 2 meninos e 2 meninas;
d) 1 menino e 3 meninas; e
e) 4 meninas.
Resolução:
Nesse caso, n = 4, há duas maneiras de resolver o problema.
Primeira: desenvolver (p + q)4, para obter p4 + 4p3q + 6 p2q2 + 4pq3 + q4 e efetuar os cálculos.
a) 4 meninos. A probabilidade é dada por p4.
Uma vez que p = 1 __ 
2
 , obtemos ( 1 __ 
2
 ) 
4
 = ( 1 ___ 
16
 ) .
b) 3 meninos e 1 menina. A probabilidade é dada por 4p3q. Observe a correspondência:
3 meninos e 1 menina
 ç ç
 o expoente do p é 3 o expoente do q é 1
Uma vez que p = q = 1 __ 
2
 , obtemos 4p3q = 4 ( 1 __ 
2
 ) 
3
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 .
c) 2 meninos e 2 meninas. A probabilidade é dada por 6p2q2.
Observe a correspondência outra vez. Isso sempre ocorre.
Uma vez que p = q = 1 __ 
2
 , obtemos 6p2q2 = 6 ( 1 __ 
2
 ) 
2
 ( 1 __ 
2
 ) 
2
 = 3 __ 
8
 .
d) 1 menino e 3 meninas. A probabilidade é dada por
4pq3 = 4 ( 1 __ 
2
 ) ( 1 __ 
2
 ) 
3
 = 1 __ 
4
 
e) 4 meninas. A probabilidade é dada por
q4 = ( 1 __ 
2
 ) 
4
 = 1 ___ 
16
 
Observe que:
 1 ___ 
16
 + 1 __ 
4
 + 3 __ 
8
 + 1 __ 
4
 + 1 ___ 
16
 = 1
Segunda maneira: fazer as devidas substituições na fórmula geral e os cálculos.
Para exemplificar, resolvamos apenas o item b: qual é a probabilidade de nascerem 3 meninos e 1 menina?
n = 4, k = 3, n – k = 4 – 3 = 1 e p = q = 1 __ 
2
 
Logo: P(3M, 1 F) = ( 4 __ 
3
 ) ( 1 __ 
2
 ) 
3
 ( 1 __ 
2
 ) = 4! ________ 
3!(4 – 3)!
 · 1 __ 
8
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
127
Outras aplicações do método binomial
O método binominal pode ser aplicado em problemas, cuja estrutura seja análoga a destes exemplos.
1. Um dado é jogado 7 vezes. Qual é a probabilidade de sair o número 5 quatro vezes?
Probabilidade de sair o 5 em cada jogada: p = 1 __ 
6
 
Probabilidade de não sair o 5 em cada jogada: q = 1 – p = 5 __ 
6
 
Probabilidade de sair o 5 em 4 das 7 jogadas: ( 7 __ 
4
 ) ( 1 __ 
6
 ) 
4
 ( 5 __ 
6
 ) 
3
 = 5
4 · 7 _____ 
67 ; 1,56%
2. Uma prova é constituída de 10 exercícios em forma de teste com 5 alternativas em cada teste. Se um aluno 
“chutar” todas as respostas, qual é a probabilidade de ele acertar 6 exercícios?
Probabilidade de acertar uma questão: p = 1 __ 
5
 
Probabilidade de errar (não acertar) uma questão: q = 1 – p = 4 __ 
5
 
Probabilidade de acertar 6 das 10 questões: ( 10 ___ 
6
 ) ( 1 __ 
5
 ) 
6
 ( 4 __ 
5
 ) 
4
Generalizando:
 § Uma experiência é realizada n vezes, independentemente.
 § Em cada uma das n vezes, um evento A tem probabilidade p de ocorrer.
 § A probabilidade de A não ocorrer em cada vez é dada por q = 1 – p.
 § A probabilidade de A ocorrer em k das n vezes é dada por ( n __ 
k
 ) pkqn – k.
Exercício resolvido
1. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual é a probabilidade de sair cara 5 vezes?
Resolução:
Em cada lançamento:
 § a probabilidade de sair cara é p = 1 __ 
2
 ; e
 § a probabilidade de não sair cara é q = 1 – 1 __ 
2
 = 1 __ 
2
 .
Portanto, a probabilidade de sair cara 5 vezes é:
 ( 8 __ 
5
 ) ( 1 __ 
2
 ) 
5
 ( 1 __ 
2
 ) 
3
 = 8! ____ 
5!3!
 · 1 ___ 
32
 · 1 __ 
8
 = 7 ___ 
32
 = 0,21875 = 21,875%
Logo, ao lançar uma moeda 8 vezes, a probabilidade de sair cara 5 vezes é de 7 ___ 
32
 (aproximadamente 22%).
aplicações De probabiliDaDe à genética
A genética é, talvez, o ramo da Biologia que mais aplica conceitos matemáticos da teoria das probabilidades. Con-
siderando que a probabilidade trabalha com eventos chamados aleatórios, nada mais aleatório é que o encontro 
de dois tipos de gametas com genes determinantes. Um indivíduo heterozigoto para determinada característica 
(Aa) forma dois tipos de espermatozoides A e a. Se uma mulher também for heterozigota, poderá formar óvulos A 
e a. O fato de o espermatozoide A ou a ser o responsável pela fecundação depende apenas do acaso, bem como 
depende apenas do acaso o fato de a célula feminina A ou a ser a fecundada.
128
Recordemos este esquema.
Recordemos o quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades.
Exercícios resolvidos
1. Um casal heterozigoto com pigmentação normal teve como primeiro descendente uma criança albina.
a) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois filhos sejam albinos?
Resolução:
O fato de a primeira criança ser albina não influenciará a hereditariedade das futuras crianças. São, 
portanto, eventos independentes. Lembremos que o albinismo é determinado por um gene recessivo a.
Portanto, a probabilidade de cada criança ser albina, em qualquer nascimento, é de 1 __ 
4
 ou 25%. Logo:
p(segunda criança será albina) = 1 __ 
4
 
p(terceira criança será albina) = 1 __ 
4
 
p(segunda e terceira crianças serão albinas) = 1 __ 
4
 · 1 __ 
4
 = 1 ___ 
16
 ou 6,2%
129
b) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois filhos tenham pigmentação normal?
Resolução:
A probabilidade de que separadamente cada um dos seus próximos dois filhos tenha pigmentação nor-
mal é de 3 __ 
4
 ou 75%, uma vez que 1 __ 
4
 AA + 1 __ 
2
 Aa, ou seja, 1 __ 
4
 + 1 __ 
2
 = 3 __ 
4
 .
Logo:
p(segunda e terceira crianças terão pigmentação normal) = 3 __ 
4
 · 3 __ 
4
 = 9 ___ 
16
 ou 56%
c) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos seus próximos dois filhos ser albino e menino?
Resolução:
A probabilidade de pelo menos um dos próximos dois filhos ser albino é:
1 – 9 ___ 
16
 = 7 ___ 
16
 ou 43%
Uma vez que a probabilidade de ser menino é de 1 __ 
2
 , a probabilidade de pelo menos uma criança ser 
menino e albina é:
 1 __ 
2
 · 7 ___ 
16
 = 7 ___ 
32
 ou 21%
2. Num cruzamento Aa x Aa, sabe-se que as combinações AA, Aa, aA e aa são igualmente prováveis, cada uma 
com probabilidade de 1 __ 
4
 . Sabemos também que Aa e aA não podem ser distinguidas biologicamente. Qual 
é a probabilidade de ocorrer Aa ou aA?
Resolução:
Dado que: P(Aa) = 1 __ 
4
 ; p(aA) = 1 __ 
4
 .
Aa e aA são mutuamente exclusivos ä p(Aa > aA) = 0. Logo:
p(Aa ou aA) = 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 – 0 = 2 __ 
4
 = 1 __ 
23. Numa população humana, a probabilidade de mudos é estimada em 0,005, a probabilidade de cegos, em 
0,0085 e a probabilidade de mudos e cegos, em 0,0006. Qual é a probabilidade que um indivíduo, tomado 
ao acaso, seja mudo ou cego?
Resolução:
Nesse caso, “ser mudo” não exclui a possibilidade de “ser cego”; portanto, os eventos não são mutuamente 
exclusivos.
Logo:
P(ser mudo ou ser cego) = p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A e B) = 0,0050 + 0,0085 – 0,0006 = 0,0129
4. João e sua esposa Maria têm pigmentação normal. João é filho de um homem normal e mulher albina; 
Maria é filha de uma mulher normal e pai albino. Qual é a probabilidade de João e Maria terem uma criança 
albina do sexo masculino?
130
Resolução
Logo:
p(criança albina) = 1 __ 
4
 e p(sexo masculino) = 1 __ 
2
 
Uma vez que os eventos “ser criança albina” e “ser do sexo masculino” são independentes, obtemos:
p(ser criança albina do sexo masculino) = 1 __ 
2
 · 1 __ 
4
 = 1 __ 
8
 ou 12,5 %.
5. A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo pai era 
normal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal. Se esse casal tiver dois filhos, qual é 
a probabilidade de os dois apresentarem queratose?
Resolução:
Portanto, p(cada criança ter queratose) = 3 __ 
4
 . Como o evento “primeira criança ter queratose” é independen-
te do evento “segunda criança ter queratose”, obtemos:
p(as duas crianças terem queratose) = 3 __ 
4
 · 3 __ 
4
 = 9 ___ 
16
 ou 56%
6. No homem, o albinismo é determinado por um gene recessivo a, ao passo que a pele normal é determinada 
pelo alelo dominante A. Um casal normal tem um filho albino. Calcule o que se pede em cada item:
a) Qual a probabilidade de aparecer na descendência uma filha normal?
Resolução:
Situação genética:
Pai × Mãe
 Aa Aa
 1 __ 
4
 AA 2 __ 
4
 Aa 1 __ 
4
 aa
 3 __ 
4
 normais albino
Probabilidade de ser do sexo feminino = 1 __ 
2
 
Probabilidade de ser normal = 3 __ 
4
 
Probabilidade combinada = 3 __ 
4
 · 1 __ 
2
 = 3 __ 
8
 
131
b) Se o casal tiver quatro filhos, qual a probabilidade de três serem normais e um albino?
Resolução:
(p + q)4 = p4 + 4p3q + 6 p2q2 + 4 pq3 + q4
4p3q = 4 ( 3 __ 
4
 ) 
3
 · 1 __ 
4
 = 4 · 27 ___ 
64
 · 1 __ 
4
 = 27 ___ 
64
 
ou
 ( 4 __ 
3
 ) ( 3 __ 
4
 ) 
3
 ( 1 __ 
4
 ) 
1
 = 4 · 27 ___ 
64
 · 1 __ 
4
 = 27 ___ 
64
 
132
c) 7 ___ 10 .
d) 1 ___ 15 .
e) 9 ____ 100 .
 4. (PUC-RJ) Jogamos uma moeda comum e um 
dado comum.
A probabilidade de sair um número par e a 
face coroa é: 
a) 0,1. 
b) 0,2. 
c) 0,25. 
d) 0,33. 
e) 0,5. 
 5. (Fatec) Em um supermercado, a probabilida-
de de que um produto da marca A e um pro-
duto da marca B estejam a dez dias, ou mais, 
do vencimento do prazo de validade é de 95% 
e 98%, respectivamente. Um consumidor es-
colhe, aleatoriamente, dois produtos, um pro-
duto da marca A e outro da marca B.
Admitindo eventos independentes, a proba-
bilidade de que ambos os produtos escolhi-
dos estejam a menos de dez dias do venci-
mento do prazo de validade é:
a) 0,001%. 
b) 0,01%. 
c) 0,1%. 
d) 1%. 
e) 10%. 
 6. (Uerj) Considere o conjunto de números na-
turais abaixo e os procedimentos subsequen-
tes:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1. Cada número primo de A foi multiplicado 
por 3 Sabe-se que um número natural P é 
primo se P > 1 e tem apenas dois diviso-
res naturais distintos.
2. A cada um dos demais elementos de A, 
foi somado o número 1.
3. Cada um dos números distintos obtidos 
foi escrito em apenas um pequeno cartão.
4. Dentre todos os cartões, foram sorteados 
exatamente dois cartões com números 
distintos ao acaso.
A probabilidade de em pelo menos um cartão 
sorteado estar escrito um número par é: 
a) 5 ___ 12 . 
b) 7 ___ 12 . 
c) 13 ___ 24 . 
d) 17 ___ 24 . 
e.o. teste i
 1. (Upe) Dois atiradores, André e Bruno, dispa-
ram simultaneamente sobre um alvo. 
 § A probabilidade de André acertar no alvo 
é de 80%. 
 § A probabilidade de Bruno acertar no alvo 
é de 60%. 
Se os eventos “André acerta no alvo” e “Bru-
no acerta no alvo”, são independentes, qual 
é a probabilidade de o alvo não ser atingido? 
a) 8% 
b) 16% 
c) 18% 
d) 30% 
e) 92% 
 2. (Uepa) Leia o texto para responder à questão. 
Sabe-se que ler cria bons estudantes, melho-
ra a capacidade de relacionamento e ativa os 
lugares certos do cérebro. Cultivar o hábito 
da leitura surte efeitos nítidos: desenvolve a 
imaginação, o vocabulário e o conhecimento. 
Não é acaso que jovens de grande promessa 
nos estudos e na carreira profissional sejam 
leitores vorazes.
Pensando nisso, um jovem deseja presentear 
um amigo leitor com dois livros, entretanto 
fica na dúvida quanto ao estilo – ficção ou 
não ficção. Decide sortear dois títulos dis-
tintos dentre 10 títulos de ficção e 12 títulos 
de não ficção.
Fonte: Texto adaptado – Revista Veja (edição 2373).
Tomando por base as informações do texto, 
a probabilidade de esse jovem sortear, suces-
sivamente, um após o outro, dois títulos de 
ficção é: 
a) 15 ___ 77 .
b) 5 ___ 11 .
c) 6 ___ 11 .
d) 5 __ 8 .
e) 1 __ 5 .
 3. (PUC-RJ) Em uma urna existem 10 bolinhas 
de cores diferentes, das quais sete têm mas-
sa de 300 gramas cada e as outras três têm 
massa de 200 gramas cada. Serão retiradas 3 
bolinhas, sem reposição.
A probabilidade de que a massa total das 3 
bolinhas retiradas seja de 900 gramas é de:
a) 3 ___ 10 .
b) 7 ___ 24 .
133
 7. (Pucrj) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {8, 9, 10} 
Escolhendo-se ao acaso um elemento de e 
um elemento de a probabilidade de que a 
soma dos dois números escolhidos seja um 
número ímpar é: 
a) 1 __ 2 . 
b) 3 __ 5 . 
c) 12 ___ 25 . 
d) 6 ___ 25 . 
e) 7 ___ 10 . 
e.o. teste ii
 1. (UPF) Duas bolsas de estudo serão sortea-
das entre 9 pessoas, sendo 7 mulheres e 2 
homens. Considerando-se que uma pessoa 
desse grupo não pode ganhar as duas bolsas, 
qual a probabilidade de duas mulheres se-
rem sorteadas?
a) 7 ___ 12 
b) 7 __ 9 
c) 2 __ 7 
d) 1 ___ 21 
e) 7 ___ 36 
 2. (Enem) Numa escola com 1200 alunos foi re-
alizada uma pesquisa sobre o conhecimento 
desses em duas línguas estrangeiras, inglês 
e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 
600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol 
e 300 não falam qualquer um desses idio-
mas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao 
acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, 
qual a probabilidade de que esse aluno fale 
espanhol?
a) 1 __ 2 
b) 5 __ 8 
c) 1 __ 4 
d) 5 __ 6 
e) 5 ___ 14 
 3. (FGV) Um sistema de controle de qualida-
de consiste em três inspetores A, B e C que 
trabalham em série e de forma independen-
te, isto é, o produto é analisado pelos três 
inspetores trabalhando de forma indepen-
dente.
O produto é considerado defeituoso quando 
um defeito é detectado, ao menos, por um 
inspetor.
Quando o produto é defeituoso, a probabili-
dade de o defeito ser detectado por cada ins-
petor é 0,8. A probabilidade de uma unidade 
defeituosa ser detectada é: 
a) 0,990. 
b) 0,992. 
c) 0,994. 
d) 0,996. 
e) 0,998. 
 4. (UPE) Dentre os esportes oferecidos aos es-
tudantes de uma escola com 3.000 alunos, 
temos o futebol como preferência, sendo 
praticado por 600 estudantes. 300 estudan-
tes dessa mesma escola praticam natação, e 
100 praticam ambos os esportes. Selecionan-
do-se um estudante praticante de futebol 
para uma entrevista, qual a probabilidade de 
ele também praticar natação?
a) 1 __ 3 
b) 2 __ 3 
c) 4 __ 3 
d) 1 __ 6 
e) 5 __ 6 
 5. (Afa) Em uma mesa há dois vasos com rosas. 
O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem es-
pinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que 
exatamente 6 não tem espinhos.
Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso 
A e coloca-se em B.Em seguida, retira-se 
uma rosa de B.
A probabilidade de essa rosa retirada de B 
ter espinhos é:
a) 8 ___ 81 .
b) 15 ___ 81 .
c) 18 ___ 81 .
d) 23 ___ 81 .
 6. (Ueg) Renata está grávida e realizará um 
exame que detecta o sexo do bebê. Se o exa-
me detectar que é um menino, a probabili-
dade de ela pintar o quarto do bebê de azul 
é de 70%, ao passo que de branco é de 30%. 
Mas, se o exame detectar que é uma meni-
na, a probabilidade de ela pintar o quarto do 
bebê de rosa é de 60% contra 40% de pintar 
134
de branco. Sabendo-se que a probabilidade 
de o exame detectar um menino é de 50% a 
probabilidade da Renata pintar o quarto do 
bebê de branco é de: 
a) 70%. 
b) 50%. 
c) 35%. 
d) 30%. 
e) 20%. 
 7. (Enem PPL) No próximo final de semana, 
um grupo de alunos participará de uma aula 
de campo. Em dias chuvosos, aulas de cam-
po não podem ser realizadas. A ideia é que 
essa aula seja no sábado, mas, se estiver cho-
vendo no sábado, a aula será adiada para o 
domingo. Segundo a meteorologia, a proba-
bilidade de chover no sábado é de 30% e a de 
chover no domingo é de 25%.
A probabilidade de que a aula de campo 
ocorra no domingo é de: 
a) 5,0%. 
b) 7,5%. 
c) 22,5%. 
d) 30,0%. 
e) 75,0%. 
e.o. teste iii
 1. (Ita) Considere os seguintes resultados rela-
tivamente ao lançamento de uma moeda:
I. Ocorrência de duas caras em dois lança-
mentos.
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em 
quatro lançamentos.
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em 
oito lançamentos.
Pode-se afirmar que: 
a) dos três resultados, I é o mais provável. 
b) dos três resultados, II é o mais provável. 
c) dos três resultados, III é o mais provável. 
d) os resultados I e II são igualmente prová-
veis. 
e) os resultados II e III são igualmente pro-
váveis. 
 2. (ESPM) Apenas 40% dos hóspedes de um ho-
tel de São Paulo são estrangeiros, sendo que 
70% deles são ingleses e os demais france-
ses. Sabe-se que 25% dos franceses e 50% 
dos ingleses falam português. Escolhendo-
-se, ao acaso, um dos hóspedes desse hotel, 
a probabilidade de que ele fale português é: 
a) 65%.
b) 72%.
c) 68%.
d) 77%.
e) 82%.
 3. (Enem) A probabilidade de um empregado 
permanecer em uma dada empresa particu-
lar por 10 anos ou mais é de 1 __ 6 . Um homem 
e uma mulher começam a trabalhar nessa 
companhia no mesmo dia. Suponha que não 
haja nenhuma relação entre o trabalho dele 
e o dela, de modo que seus tempos de per-
manência na firma são independentes en-
tre si.
A probabilidade de ambos, homem e mu-
lher, permanecerem nessa empresa por me-
nos de 10 anos é de:
a) 60 ___ 36 .
b) 25 ___ 36 .
c) 24 ___ 36 .
d) 12 ___ 36 .
e) 1 ___ 36 .
 4. (Enem) Em uma escola, a probabilidade de 
um aluno compreender e falar inglês é de 
30%. Três alunos dessa escola, que estão em 
fase final de seleção de intercâmbio, aguar-
dam, em uma sala, serem chamados para 
uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los 
um a um, o entrevistador entra na sala e 
faz, oralmente, uma pergunta em inglês que 
pode ser respondida por qualquer um dos 
alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser en-
tendido e ter sua pergunta oralmente res-
pondida em inglês é: 
a) 23,7%. 
b) 30,0%. 
c) 44,1%. 
d) 65,7%. 
e) 90,0%. 
e.o. Dissertativo
 1. (UERJ) Um alvo de dardos é formado por três 
círculos concêntricos que definem as regiões 
I, II e III, conforme mostra a ilustração.
Um atirador de dardos sempre acerta alguma 
região do alvo, sendo suas probabilidades de 
acertar as regiões I, II e III denominadas, 
respectivamente, PI, PII e PIII.
135
Para esse atirador, valem as seguintes relações:
 § PII = 3PI
 § PIII = 2PII
Calcule a probabilidade de que esse atirador 
acerte a região I exatamente duas vezes ao 
fazer dois lançamentos. 
 2. (Fuvest)
a) Dez meninas e seis meninos participarão 
de um torneio de tênis infantil. De quantas 
maneiras distintas essas 16 crianças podem 
ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada 
um deles com 4 jogadores, sabendo que os 
grupos A e C serão formados apenas por me-
ninas e o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase 
semifinal terá os jogos entre Maria e João e 
entre Marta e José. Os vencedores de cada 
um dos jogos farão a final. Dado que a pro-
babilidade de um menino ganhar de uma 
menina é 3/5, calcule a probabilidade de 
uma menina vencer o torneio.
 3. (PUC-RJ) Um baralho tem 26 cartas pretas e 
26 cartas vermelhas. As cartas estão ordena-
das ao acaso.
a) Retiramos uma carta do baralho completo: 
qual é a probabilidade de que a carta seja 
vermelha?
b) Retiramos três cartas do baralho completo: 
qual a probabilidade de que as três cartas 
sejam vermelhas?
c) Retiramos três cartas do baralho completo: 
qual a probabilidade de que duas cartas se-
jam vermelhas e uma preta? 
 4. (UFPR) Considere três caixas contendo bolas 
brancas e pretas, conforme ilustra a figura.
Uma bola é retirada aleatoriamente da cai-
xa 1 e colocada na caixa 2. Então, uma bola 
é retirada aleatoriamente da caixa 2 e co-
locada na caixa 3. Finalmente, uma bola é 
retirada aleatoriamente da caixa 3. Calcule a 
probabilidade de que essa última bola retira-
da seja branca. 
 5. (UFPR) Uma caixa contém 7 lápis azuis, 5 
vermelhos e 9 amarelos. Sabendo que a caixa 
contém somente esses lápis, responda:
a) Qual o número mínimo de lápis que devemos 
retirar (sem olhar a cor) para que estejamos 
certos de haver retirado 4 lápis de uma mes-
ma cor? Justifique sua resposta.
b) Se retirarmos ao acaso 3 lápis dessa caixa 
(sem olhar a cor), qual é a probabilidade de 
que todos sejam da cor amarela? 
gabarito
E.O. Teste I
1. A 2. A 3. B 4. C 5. C
6. B 7. A
E.O. Teste II
1. A 2. A 3. B 4. D 5. D
6. C 7. C
E.O. Teste III
1. D 2. D 3. B 4. D
E.O. Dissertativo
 1. 1%
 2. 
a) 47250
b) 44 ____ 125 
 3.
a) 1 __ 2 
b) 6 ___ 51 
c) 39 ____ 102 
 4. 22 ___ 45 
 5. 
a) Será necessário retirar, no mínimo, 10 lá-
pis, pois pode ocorrer:
 3 lápis azuis + 3 lápis vermelhos + 3 lápis 
amarelos.
 Portanto, o próximo retirado garantirá 4 
lápis de uma mesma cor.
b) 6 ___ 95 
Estatística I
Aula 25
137
A pesquisa é bastante comum nas várias atividades humanas.
 § As indústrias costumam realizar pesquisas entre os consumidores, antes do lançamento de um novo pro-
duto no mercado.
 § As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha.
 § A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no 
planejamento dos treinamentos.
 § Emissoras de TV utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar sua pro-
gramação.
A realização de uma pesquisa compreende muitas etapas, como escolha da atmosfera, coleta e organização 
de dados (informações), resumo desses dados (em tabelas, gráficos etc.) e interpretação dos resultados.
A parte da Matemática que trata desses assuntos é a Estatística. Vamos estudar noções de Estatística, como 
a construção e a interpretação de gráficos como estes:
Intenção de voto por escolaridade do eleitor (em %)
Termos de uma pesquisa esTaTísTica
População e amostra
Se pretendemos saber qual a disciplina favorita entre os alunos de uma classe, podemos consultar todos os alunos 
dessa classe.
No entanto, isso não é possível se pretendermos pesquisar sobre a intenção de voto dos eleitores do estado 
de São Paulo, uma vez que não é possível consultar todos os eleitores que constituem o universo estatístico.
Recorremos, então, ao que se chama de atmosfera, ou seja, um grupo de eleitores que, consultados, permi-
tem que se chegue ao resultado mais próximo possível da realidade.
É comum aparecer na publicação das pesquisas quantos eleitores foram consultados, uma vez que a escolha 
da atmosfera (quantos e quais eleitores) é fundamental para o resultado.
Chamemos de U o universo estatístico e de A uma amostra:
A , U
Indivíduoou objeto
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou objeto. Na pesquisa de intenção de voto, os indivíduos são 
pessoas. Se considerarmos marcas de lâmpadas para testar a durabilidade, cada marca é um objeto da pesquisa.
138
Variável
Uma indústria automobilística que pretende lançar um novo modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a 
preferência dos consumidores sobre tipo de combustível, número de portas, potência do motor, preço, cor, tamanho 
etc. Cada uma dessas características é uma variável da pesquisa.
Na variável “tipo de combustível”, a escolha pode ser entre álcool e gasolina. Esses são valores ou realiza-
ções da variável “tipo de combustível”.
Variável qualitativa
Numa pesquisa com pessoas, as variáveis consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito e grau de 
instrução. Nesse caso, as variáveis que são qualitativas, apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou 
atributo) dos indivíduos pesquisadores.
As variáveis qualitativas também podem ser ordinais, se existirem uma ordem nesses valores, ou nominais, 
se não ocorrer essa ordem.
 § “Grau de instrução” é uma variável qualitativa ordinal, uma vez que seus valores podem ser ordenados 
(fundamental, médio, superior etc.).
Variável quantitativa
As variáveis de uma pesquisa, como altura, peso, idade em anos e números de irmãos, são quantitativas, uma vez 
que seus possíveis valores são númericos.
As variáveis quantitativas podem ser discretas, tratando-se de contagem (números inteiros), ou contínuas, 
tratando-se de medida (números reais).
 § “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta que pode ser contada (0, 1, 2 etc.).
 § “Altura” é uma variável quantitativa contínua, que pode ser medida (1,55 m, 1,80 m, 1,73 m etc.).
Quadro-resumo dos tipos de variável de uma pesquisa
Exercício resolvido
1. Observe esta pesquisa (enquete), encontrada em um site de esportes, em 12 de junho de 2007, sobre a 
expectativa dos internautas a respeito da ausência de alguns jogadores na Copa América.
Observação: o resultado dessa enquete promovida por UOL Esporte refere-se a frequentadores do site e 
não tem valor científico.
Por que o aviso de que o resultado da enquete não tem valor científico?
139
Resolução:
Porque a pesquisa não foi feita com um universo estatístico (população) generalizável, de modo que seu 
resultado é muito específico. Ela se refere apenas à população de usuários da internet, aos frequentadores 
do site. Seria inadequado dizer que aproximadamente 61% da população brasileira acredita que Kaká fará 
muita falta na Copa América, sabendo que o perfil da população brasileira é diferente do perfil dos usuários 
da internet.
Frequência absoluta e frequência relativa
Suponha que entre um grupo de turistas em excursão tenha sido feita uma pesquisa sobre a nacionalidade de cada 
um e que o resultado dela tenha sido o seguinte:
Pedro: brasileiro; Ana: brasileira; Ramón: espanhol; Laura: espanhola; Cláudia: brasileira; Sérgio: brasileiro; 
Raul: argentino; Nelson: brasileiro; Silvia: brasileira; Pablo: espanhol.
O número de vezes que um valor variável é citado representa a frequência absoluta daquele valor.
Nesse exemplo, a variável é “nacionalidade” e a frequência absoluta de cada um de seus valores é: brasi-
leira: 6; espanhola: 3; e argentina: 1.
Há também a frequência relativa, que registra a frequência absoluta em relação ao total de citações.
Nesse exemplo, temos:
 § frequência relativa da nacionalidade brasileira: 6 em 10 ou 6 ___ 
10
 ou 3 __ 
5
 ou 0,6 ou 60%;
 § frequência relativa da nacionalidade espanhola: 3 em 10 ou 3 ___ 
10
 ou 0,3 ou 30%; e
 § frequência relativa da nacionalidade argentina: 1 em 10 ou 1 ___ 
10
 ou 0,1 ou 10%.
Podemos associar a frequência relativa de um evento à probabilidade de que ele ocorra. Se o número total 
de citações for suficientemente grande, a frequência relativa estabiliza-se em torno de um número que expresse a 
probabilidade de ocorrência desse evento.
Tabela de frequências
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absoluta (FA) e relativa (FR), é 
chamada tabela de frequências.
Nacionalidade FA FR
brasileira 6 60%
espanhola 3 30%
argentina 1 10%
Total 10 100%
Tabelas de frequências das variáveis quantitativas
Já sabemos que a variável quantitativa tem seus possíveis valores indicados por números. Na elaboração dessas 
tabelas de frequências, podemos deparar com duas situações.
140
Tomemos como exemplo um grupo de alunos, cujas idades (em anos), “peso” (em quilogramas) e altura 
(em metros) foram registrados:
Alberto: 14 a., 49,0 kg e 1,73 m
Alexandre: 14 a., 46,5 kg e 1,66 m
Carlos: 16 a., 53,0 kg e 1,78 m
Cláudio: 15 a., 50,0 kg e 1,75 m
Eduardo: 14 a., 51,0 kg e 1,68 m
Flávio: 15 a., 49,0 kg e 1,70 m
Geraldo: 14 a., 44,0 kg e 1,62 m
Gilberto: 15 a., 51,0 kg e 1,72 m
Hélio: 14 a., 48,3 kg e 1,68 m
José Carlos: 16 a., 52,0 kg e 1,79 m
José Luís: 14 a., 49,0 kg e 1,74 m
Lúcio: 14 a., 46,5 kg e 1,65 m
Marcos: 15 a., 48,0 kg e 1,63 m
Mário: 14 a., 48,5 kg e 1,69 m
Maurício: 16 a., 50,0 kg e 1,70 m
Milton: 14 a., 52,0 kg e 1,75 m
Renato: 14 a., 46,0 kg e 1,72 m
Roberto: 14 a., 47,0 kg e 1,69 m
Saul: 14 a., 51,0 kg e 1,73 m
Sérgio: 14 a., 49,0 kg e 1,66 m
Primeira situação
Ao elaborar a tabela de frequência da variável “idade”, aparecem como possíveis valores 14 anos, 15 anos e 16 
anos.
Idade 
(anos)
Contagem FA
FR
(fração)
FR
(%)
14 13 13 ___ 
20
 65
15 4 4 ___ 
20
 = 1 __ 
5
 20
16 3 3 ___ 
20
 15
Total 20 1 100
Segunda situação
Para a variável “altura” aparecem muitos valores diferentes, o que torna inviável que conste na tabela uma linha 
para cada valor. Em casos como esse, agrupam-se os valores em intervalos (ou classes).
1. Calcula-se a diferença entre a maior e a menor altura registrada para obter a amplitude total (1,79 – 1,62 
m = 0,17 m).
2. Escolhe-se o número de intervalos (geralmente superior a quatro) conveniente (um pouco acima da ampli-
tude total) e determina-se a amplitude de cada intervalo (classe). Neste caso, para 6 intervalos registra-se 
0,18 m : 6 = 0,03 m.
141
3. Elabora-se a tabela de frequências:
Altura
(em classes)
Contagem FA
FR
(decimal)
FR
(%)
1,62 1,65 2 0,10 10
1,65 1,68 3 0,15 15
1,68 1,71 6 0,30 30
1,71 1,74 4 0,20 20
1,74 1,77 3 0,15 15
1,77 1,80 2 0,10 10
Total 20 1,00 100
Observações
As classes (intervalos) foram obtidas a partir de 1,62 m, aos quais foram adicionados 0,03 (1,62 + 0,03 = 
1,65, 1,65 + 0,03 = 1,68, e assim por diante).
O símbolo indica intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. A altura 1,68 m, por exemplo, não 
foi registrada no intervalo 1,65 1,68 m, mas foi colocada no intervalo 1,68 1,71 m.
Retomemos os termos de estatística em estudo.
Foi feita uma pesquisa para traçar o perfil dos alunos da primeira série do ensino médio de uma escola com 
5 classes, cada uma com 45 alunos. Para tanto, foram selecionados 5 alunos de cada classe, que responderam a 
um questionário, a partir do qual foi elaborada a seguinte tabela:
Nome Sexo
Idade 
(anos/ 
meses)
Altura 
(cm)
Peso
(kg)
Número
irmãos
Cor de 
cabelo
Hobby Número 
sapato
Manequim
Desempenho 
em Matemática
Antônio M 15 a 14 m 156 49 2 Castanho Esporte 36 38 ótimo
Arthur M 14 a 7 m 166 48 0 Castanho Esporte 39 38 bom
Áurea F 15 a 2 m 165 66 1 Castanho Música 36 42 insuficiente
Bruno M 14 a 8 m 175 63 0 Castanho Patinação 40 42 regular
Carla F 14 a 5 m 165 57 2 Loiro Música 36 40 regular
Cláudia F 15 a 3 m 164 50 2 Loiro Dança 36 38 bom
Domingos M 14 a 6 m 163 51 1 Castanho Esporte 36 38 bom
Edite F 14 a 7 m 160 60 3 Castanho Música 36 40 ótimo
Esther F 14 a 7 m 175 65 1 Castanho Esporte 37 42 bom
Fabio M 14 a 5 m 150 38 1 Ruivo Esporte 34 36 insuficiente
Fernando M 15 a 11 m 146 38 0 Castanho Aeromodelismo 34 36 regular
José M 14 a 10 m 165 52 1 Castanho Dança 38 38 regular
Laura F 14 a 0 m 165 53 2 Castanho Dança 36 38 bom
LúciaF 14 a 8 m 167 65 2 Castanho Música 37 42 bom
Mário M 15 a 4 m 165 50 3 Loiro Patinação 36 38 insuficiente
Mauro M 14 a 11 m 163 54 4 Castanho Esporte 38 40 ótimo
Nívea F 15 a 2 m 164 63 1 Loiro Esporte 38 42 bom
Orlando M 14 a 8 m 159 64 2 Castanho Música 37 42 regular
Patrícia F 15 a 1 m 158 43 1 Loiro Dança 36 36 insuficiente
Paula F 14 a 11 m 163 53 1 Castanho Dança 36 38 bom
142
Renata F 14 a 3 m 162 52 1 Castanho Dança 36 38 ótimo
Roberto M 14 a 2 m 167 53 0 Castanho Esporte 40 38 ótimo
Sandra F 14 a 10 m 167 58 1 Loiro Dança 40 40 ótimo
Teresa F 15 a 9 m 155 49 0 Castanho Patinação 35 36 ótimo
Vânia F 15 a 2 m 152 41 3 Castanho Música 34 36 bom
A partir da tabela dada, podemos afirmar:
1. O universo estatístico é constituído de 225 alunos.
2. A amostra dessa pesquisa é constituída de 25 alunos.
3. “Cor de cabelo” é uma variável qualitativa nominal.
4. “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta.
5. “Desempenho em Matemática” é uma variável qualitativa ordinal.
6. “Altura” é uma variável quantitativa contínua.
7. “Dança” é um valor da variável hobby, cuja frequência absoluta é 7 e cuja frequência relativa é 7 ___ 
25
 ou 0,28 
ou 28%.
8. A tabela de frequências da variável “número de irmãos” é esta:
Irmãos Contagem FA FR FR
0 5 5 ___ 
25
 = 0,2 20%
1 10 10 ___ 
25
 = 0,4 40%
2 6 6 ___ 
25
 = 0,24 24%
3 3 3 ___ 
25
 = 0,12 12%
4 1 1 ___ 
25
 = 0,04 4%
Total 25 1 100%
9. A tabela de frequência da variável “peso” (em quilogramas), com os valores em classes mostra:
Amplitude total: 66 – 38 = 28
Número de intervalos: 5
Amplitude relativa: 30 : 5 = 6
Peso (kg) Contagem FA FR
38 44 4 16%
44 50 3 12%
50 56 9 36%
56 62 3 12%
62 68 6 24%
Total 25 100%
143
represenTação gráfica
A representação gráfica fornece uma visão de conjunto mais rápida que a observação dos dados numéricos. Por 
isso, os meios de comunicação oferecem com frequência a informação estatística por meio de gráficos.
Consideremos uma situação em que, na votação para representante e vice-representante da primeira série 
do ensino médio, um aluno anota os votos com um “x” ao lado do nome do candidato, enquanto seus colegas 
votam. Ao terminar a votação, pode-se observar este “desenho”.
Adriano x x x x x x x x x x x x x
Letícia x x x x x x x
Luciana x x x x x x x x x x
Marino x x x x x x
Magda x x x x
Não precisamos contar os votos para saber quem foi eleito. Pela quantidade de marcações notamos que 
Adriano foi escolhido para representante e Luciana, para vice.
Com uma simples olhada, obtemos a informação de que necessitamos. Essa é uma característica importante 
dos gráficos estatísticos.
Gráfico de segmentos
Esta tabela mostra a venda de livros em uma livraria, no segundo semestre de determinado ano:
Meses Livros vendidos
Julho 350
Agosto 300
Setembro 400
Outubro 400
Novembro 450
Dezembro 500
A situação do exemplo estabelece uma correspondência que pode ser expressa por pares ordenados (julho, 350), 
(agosto, 300) etc. Aplicando eixos cartesianos, localizamos os pares ordenados e construímos um gráfico de segmentos.
Os gráficos de segmentos são utilizados, principalmente, para mostrar a evolução das frequências dos valo-
res de uma variável durante certo período.
144
A posição de cada segmento indica crescimento, decréscimo ou estabilidade. A inclinação do segmento, por 
sua vez, sinaliza a intensidade do crescimento ou do decréscimo.
Por esse gráfico, observamos que:
 § de julho para agosto, as vendas caíram;
 § de setembro para outubro, as vendas permaneceram estáveis;
 § o crescimento de agosto para setembro foi maior que o de outubro para novembro;
 § o mês com maior número de vendas foi dezembro; e
 § no mês de outubro, foram vendidos 400 livros.
Exemplos
1. Crescimento da população brasileira, de 1940 a 2000
2. Saldo da balança comercial brasileira, em 2006
145
Gráfico de barras
A partir do “desempenho em Química” demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a seguinte 
tabela:
Desempenho em Química FA FR
Insuficiente 6 15%
Regular 10 25%
Bom 14 35%
Ótimo 10 25%
Total 40 100%
Com os dados da tabela, é possível construir o gráfico de barras:
146
Exemplos
1. Consumo de energia um uma residência (em 2006)
2. Inflação acumulada de alguns países, em 2006
Fonte: Veja, 23 maio 2007
Gráfico de setores
Em um shopping-center há três salas de cinema. O número de espectadores em cada uma delas, num determinado 
dia da semana, foi de 300 na sala A, 200, na B e 500, na C.
147
Situação representada em uma tabela de frequência e, depois, em gráficos de setores.
Sala FA FR
A 300 300 ____ 
1000
 = 3 ___ 
10
 30%
B 200 2 ___ 
10
 = 1 __ 
5
 20%
C 500 5 ___ 
10
 = 1 __ 
2
 50%
Em cada gráfico de setores, o círculo todo indica o total (1000 espectadores ou 100%) e cada setor indica a 
ocupação de uma sala. No traçado do gráfico de setores, determina-se o ângulo correspondente a cada setor, por 
regra de três. Veja o caso da sala A.
Ao aplicar a frequência absoluta, obtemos:
 300 ____ 
1000
 = x ____ 
360°
 ä 1000x = 108000º ä x = 108º
Ao aplicar a frequência relativa (em %), obtemos:
 30 ____ 
1000
 = x ____ 
360°
 ä 1000x = 10800º ä x = 108º
Exemplos
1. Leitores de um jornal avaliam a manchete do dia anterior:
148
2. Número de cheques compensados e de cartões de crédito (1991-2006)
3. Remuneração média, em maio de 2007, por ramo de atividade
Exercício resolvido
1. Este gráfico mostra a distribuição da população brasileira por regiões, de acordo com o Pnad 2007.
 Considerando que a população total do Brasil registrada foi de aproximadamente 184 milhões de habitan-
tes e que no gráfico o ângulo da região Centro-Oeste é de 25º, calcule a população da região Centro-Oeste, 
em porcentagem e em número de habitantes.
Resolução:
360º – 100%x = 7%
25º – x 7% de 184 000 000 = 13 000 000
Logo, a população da região Centro-Oeste para 2007 corresponde a aproximadamente 7% da população 
do Brasil, ou seja, 13 000 000 de habitantes.
149
Histograma
Se uma variável tiver seus valores indicados por classes (intervalos), é comum o uso de um tipo de gráfico conhecido 
por histograma.
Exemplo
 § Consideremos a “altura” (em centímetros) dos alunos de uma classe, agrupada em intervalos, e a seguir os 
gráficos correspondentes às frequências absolutas e relativas:
Altura (cm) FA FR
140 150 6 15%
150 160 10 26%
160 170 12 30%
170 180 8 20%
180 190 4 10%
 § histograma com as classes (intervalos) relacionadas às frequências absolutas
 § histograma com as classes relacionadas às frequências relativas (em porcentagem)
150
É frequente o uso, como representante de cada classe, o valor médio correspondente (por exemplo, 155 
representa a classe 150 160).
Os segmentos que ligam em sequência os pontos médios das classes superiores formam um gráfico de 
segmentos conhecidos como polígono de histograma, que será usado em assuntos posteriores.
Exemplo
 § Gols marcados em vários momentos de uma partida, nas quatro primeiras rodadas de um campeonato 
brasileiro de futebol
151
Vimos os vários tipos de gráficos utilizados para representar e interpretar dados estatísticos. É importante 
escolher sempre qual deles é o mais adequado à situação analisada.
Em revistas e jornais, é comum a ilustração de vários tipos de gráficos com figuras relacionadas ao assunto, 
para torná-los mais atraentes. São os pictogramas.
Exemplos
 
Exercícios resolvidos
1. Construa a tabela de frequências e os gráficos de barras e de setores para a variável hobby desta tabela.
Resolução:
Hobby Contagem FA FR
Esporte (E) 8 8 ___ 
25
 =0,32 32%
Música (M) 6 6 ___ 
25
 = 0,24 24%
Patinação (F) 3 3 ___ 
25
 = 0,12 12%
Dança (D) 7 7 ___ 
25
 = 0,28 28%
Aeromodelismo (A) 1 1 ___ 
25
 = 0,04 4%
Total 25 1 100%
 4 ___ 
100
 = x ____ 
360°
 ä 100x = 1440° ä x = 14,4°152
A cada 4%, corresponde um setor de 14,4º.
M: 24% (6 · 4%) é 6 · 14,4º = 86,4º
P: 12% (3 · 4%) é 3 · 14,4º = 43,2º
D: 28% (7 · 4%) é 7 · 14,4º = 100,8º
A: 4% é 14,4º
Portanto:
115,2 + 86,4 + 43,2 + 100,8 + 14, 4 = 360,0º
2. Numa prova, foi anotado o tempo que cada aluno gastou para concluí-la (em minutos): 56; 57; 49; 51; 46; 
50; 50; 47; 44; 57; 53; 50; 43; 55; 48; 56; 49; 51; 47; 46; 54; 52; 55; 45; 49; 50; 48; 51. A partir desses 
dados, construa o que se pede em cada item.
a) Tabela de frequências com os valores em 5 classes
Resolução: 
Substituído o menor valor pelo maior valor, a amplitude total será:
57 – 43 = 14
153
Sabendo que são 5 classes e escolhendo o número 15, a amplitude de cada classe será:
15 : 5 = 3
Tempo (min) Contagem FA FR
43 46 3 10%
46 49 6 20%
49 52 12 40%
52 55 3 10%
55 58 6 20%
Total 30 100%
b) Histograma relacionando às classes e suas frequências absolutas
Resolução:
154
 3. (UFRGS) O gráfico abaixo apresenta a evo-
lução da emissão de dióxido de carbono ao 
longo dos anos.
Com base nos dados do gráfico, assinale a 
alternativa correta. 
a) Ao longo do período, a emissão de dióxido de 
carbono apresentou crescimento constante.
b) Em relação aos anos 80, os anos 90 apresen-
taram emissão de dióxido de carbono 30% 
maior. 
c) O ano de 2009 apresentou menor valor de 
emissão de dióxido de carbono da primeira 
década do século XXI. 
d) De 2000 a 2013, houve crescimento percentual 
de 11,7% na emissão de dióxido de carbono.
e) Em relação a 2000, o ano de 2013 apresen-
tou emissão de dióxido de carbono aproxi-
madamente 50% maior. 
 4. (Unesp) Em ocasiões de concentração popu-
lar, frequentemente lemos ou escutamos in-
formações desencontradas a respeito do nú-
mero de participantes. Exemplo disso foram 
as informações divulgadas sobre a quantida-
de de manifestantes em um dos protestos na 
capital paulista, em junho passado. Enquan-
to a Polícia Militar apontava a participação 
de 30 mil pessoas, o Datafolha afirmava que 
havia, ao menos, 65 mil.
Tomando como base a foto, admita que:
1. a extensão da rua plana e linear tomada 
pela população seja de 500 metros;
2. o gráfico forneça o número médio de pes-
soas por metro quadrado nas diferentes 
sessões transversais da rua;
e.o. TesTe i
 1. (Ufg) O gráfico a seguir indica a preferência 
dos alunos de uma escola por apenas uma 
das revistas A, B, C ou D.
De acordo com as informações apresentadas 
nesse gráfico, o número de alunos que prefe-
rem a revista D é:
a) menor que a metade dos que preferem as re-
vistas B ou C. 
b) maior que a metade do total de alunos da 
escola. 
c) igual à soma dos que preferem as revistas A 
ou B. 
d) igual à média aritmética dos que preferem as 
revistas A ou C. 
e) dez vezes maior do que aqueles que prefe-
rem a revista B. 
 2. (Enem) O gráfico apresenta as taxas de de-
semprego durante o ano de 2011 e o primeiro 
semestre de 2012 na região metropolitana de 
São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma 
das taxas de desemprego aberto e oculto.
Suponha que a taxa de desemprego oculto 
do mês de dezembro de 2012 tenha sido a 
metade da mesma taxa em junho de 2012 e 
que a taxa de desemprego total em dezembro 
de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro 
de 2011.
Disponível em: www.dieese.org.br. 
Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de 
dezembro de 2012 teria sido, em termos per-
centuais, de: 
a) 1,1. 
b) 3,5.
c) 4,5. 
d) 6,8.
e) 7,9.
155
3. a distribuição de pessoas por m2 em cada 
sessão transversal da rua tenha sido uni-
forme em toda a extensão da manifestação.
Nessas condições, o número estimado de 
pessoas na foto seria de: 
a) 19 250. 
b) 5 500. 
c) 7 250. 
d) 38 500. 
e) 9 250. 
 5. (Ueg) Em uma eleição estão concorrendo os 
candidatos A, B e C. Realizada uma pesqui-
sa de intenção de voto com 1.000 eleitores, 
obteve-se o seguinte resultado, ilustrado no 
gráfico de setores a seguir.
O valor do ângulo x do gráfico de setores é:
a) 18 graus. 
b) 36 graus. 
c) 60 graus. 
d) 72 graus. 
 6. (Ufrgs) O gráfico a seguir representa a po-
pulação economicamente ativa de homens e 
mulheres no Brasil de 2003 a 2015.
 
 
Com base nos dados do gráfico, é correto 
afirmar que: 
a) no ano de 2009, a população economicamen-
te ativa de mulheres era cerca de 50% da po-
pulação economicamente ativa de homens. 
b) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a 
população economicamente ativa de homens 
cresceu mais do que a de mulheres. 
c) em relação a 2005, a população economicamente 
ativa de mulheres em 2011 cresceu cerca de 5%. 
d) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a po-
pulação economicamente ativa de mulheres 
cresceu mais do que a de homens. 
e) em relação a 2007, a população economi-
camente ativa de homens em 2015 cresceu 
cerca de 3% 
 2. (Ufrgs) Observe o gráfico abaixo.
 
 
Nele está retratado o número de transplan-
tes realizados no Rio Grande do Sul, até ju-
lho de 2015, e a quantidade de pessoas que 
aguardam na fila por um transplante no Es-
tado, no mês de julho de 2015.
Assinale a alternativa que está de acordo 
com as informações do gráfico. 
a) Mais de 50% dos transplantes realizados no 
RS, até julho de 2015, foram transplantes de 
córnea. 
b) O percentual de pessoas que aguardavam 
transplante de pulmão em julho de 2015 era 
70% do total de pessoas na fila de espera 
por transplantes. 
c) O transplante de fígado é o que apresenta 
maior diferença percentual entre o número 
de transplantes realizados e o número de 
pessoas que aguardavam transplante. 
d) O número de transplantes de fígado realiza-
dos até julho de 2015 é 288% maior do que 
o número de transplantes de pulmão realiza-
dos no mesmo período.
e) O transplante de córneas é o que tem a menor 
quantidade de pessoas aguardando transplante. 
156
e.o. TesTe ii
 1. (Enem) A escolaridade dos jogadores de fu-
tebol nos grandes centros é maior do que se 
imagina, como mostra a pesquisa a seguir, 
realizada com os jogadores profissionais dos 
quatro principais clubes de futebol do Rio de 
Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos 
jogadores dos quatro clubes que concluíram 
o Ensino Médio é de aproximadamente:
a) 14%. 
b) 48%.
c) 54%.
d) 60%.
e) 68%.
 2. (Enem) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 
8º PIB municipal do Brasil, além do maior 
aeroporto da América do Sul. Em proporção, 
possui a economia que mais cresce em in-
dústrias, conforme mostra o gráfico.
Analisando os dados percentuais do gráfico, 
qual a diferença entre o maior e o menor 
centro em crescimento no polo das indús-
trias?
a) 75,28 
b) 64,09 
c) 56,95 
d) 45,76 
e) 30,07 
 3. (Unesp) Em uma dissertação de mestrado, 
a autora investigou a possível influência do 
descarte de óleo de cozinha na água. Dia-
riamente, o nível de oxigênio dissolvido na 
água de 4 aquários, que continham plantas 
aquáticas submersas, foi monitorado.
Cada aquário continha diferentes compo-
sições do volume ocupado pela água e pelo 
óleo de cozinha, conforme consta na tabela.
percentual do volume I II III IV
óleo 0 10 20 30
água 100 90 80 70
Como resultado da pesquisa, foi obtido o 
gráfico, que registra o nível de concentração 
de oxigênio dissolvido na água (C), em par-
tes por milhão (ppm), ao longo dos oito dias 
de experimento (T).
Tomando por base os dados e resultados 
apresentados, é correto afirmar que, no perí-
odo e nas condições do experimento:
a) não há dados suficientes para se estabelecer 
o nível de influência da quantidade de óleo 
na água sobre o nível de concentração de 
oxigênio nela dissolvido. 
b) quanto maior a quantidade de óleo na água, 
maior a sua influência sobre o nível de con-
centração de oxigênio nela dissolvido. 
c) quanto menor a quantidade de óleo na água, 
maior a sua influência sobre o nível de con-
centração de oxigênio nela dissolvido. 
d) quanto maior a quantidade de óleo na água, 
menor a sua influência sobre o nívelde con-
centração de oxigênio nela dissolvido. 
e) não houve influência da quantidade de óleo 
na água sobre o nível de concentração de 
oxigênio nela dissolvido.
 4. (UEMA) Analise o quadro seguinte que apre-
senta o saldo da balança comercial brasileira 
em 2009. Os dados estão em US$ milhões.
Meses Valores em US$ milhões
Janeiro 530
Fevereiro 1761
Março 1757
157
Abril 3695
Maio 2626
Junho 4604
Julho 2913
Agosto 3065
Setembro 1313
Outubro 1329
Novembro 613
Dezembro 2177
Fonte: BRASIL. (Ministério do Desenvolvimento, Indústria e 
Comércio Exterior). Disponível em: 
<www.mdic.org.br>. Acesso em: 21 ago. 2013. (adaptado)
O gráfico que representa a análise da balança 
comercial no segundo trimestre de 2009, de 
acordo com os dados apresentados, no qua-
dro, é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 5. (Enem) Uma revista publicará os dados, 
apresentados no gráfico, sobre como os tipos 
sanguíneos estão distribuídos entre a po-
pulação brasileira. Contudo, o editor dessa 
revista solicitou que esse gráfico seja publi-
cado na forma de setores, em que cada grupo 
esteja representado por um setor circular.
O ângulo do maior desses setores medirá, em 
graus: 
a) 108,0.
b) 122,4.
c) 129,6.
d) 151,2.
e) 154,8.
 6. (G1 - cps) O gráfico apresenta os valores mé-
dios dos preços de terras agrícolas da cida-
de de Andradina (SP), no período de 2004 a 
2014, de acordo com o Instituto de Economia 
Agrícola (IEA).
Fonte de dados: <http://tinurl.com/p46lwz7> 
Acesso em: 23.08.2015
Com base no gráfico, pode-se afirmar corre-
tamente que: 
a) em 2010, por hectare, a diferença entre o 
valor médio da terra de cultura de segunda e 
o valor da terra para pastagem foi maior que 
R$ 2.000,00.
b) em 2011, por 10 hectares de terra para pas-
tagem, se pagava, em média, cerca de R$ 
120.500,00.
158
c) em 2013, por hectare, o valor médio da terra 
de cultura de segunda era maior que o valor 
médio da terra para pastagem. 
d) em cada ano do período de 2004 a 2014, o 
valor médio da terra de cultura de primeira 
por hectare não ultrapassou R$ 20.000,00. 
e) em cada ano do período de 2012 a 2014, os 
quatro tipos de terras tinham valor médio 
por hectare maior que R$ 10.000,00. 
 7. (G1 - ifsp) O gráfico abaixo apresenta infor-
mações sobre a participação dos três únicos 
vendedores de uma pequena corretora no va-
lor total de vendas de seguros, no segundo 
quadrimestre de 2015. 
Com base nas informações apresentadas, as-
sinale a alternativa que contém uma afirma-
ção correta. 
a) Não houve mês em que dois vendedores tive-
ram o mesmo valor de venda. 
b) O valor das vendas de Roberto, em junho, e 
o valor das vendas de Ana, em julho, foram 
necessariamente iguais. 
c) O valor das vendas de Mário, em agosto, foi 
necessariamente menor que o valor das ven-
das de Ana, em julho. 
d) No mês de maio, o valor das vendas de Ana 
necessariamente correspondeu a 250% do 
valor das vendas de Mário. 
e) Em todos os quatro meses do segundo tri-
mestre de 2015, os valores em vendas da 
corretora foram iguais. 
e.o. TesTe iii
 1. (Afa) No Atlas de Desenvolvimento Humano 
no Brasil 2013 constam valores do Índice de 
Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) 
de todas as cidades dos estados brasileiros.
O IDHM é um número que varia entre 0 e 1. 
Quanto mais próximo de 1, maior o desen-
volvimento humano de um município, con-
forme escala a seguir.
Abaixo estão relacionados o IDHM de duas 
cidades de Minas Gerais em condições extre-
mas, Monte Formoso e Uberlândia, e uma em 
situação intermediária, Barbacena.
Analisando os dados acima, afirma-se que:
I. o município de maior crescimento do 
IDHM, nos períodos considerados, é Mon-
te Formoso.
II. na última década, Barbacena apresentou 
maior evolução do IDHM que Uberlândia.
III. uma tabela que relaciona cidade, época e 
faixa de IDHM pode ser representada corre-
tamente como:
Monte 
Formoso
Barbacena Uberlândia
1991 Muito baixo Baixo Baixo
2000 Muito baixo Alto Alto
2010 Baixo Alto Alto
São corretas:
a) apenas I e II 
b) apenas II e III 
c) apenas I e III 
d) I, II e III
 2. (Fgv) A média mínima para um aluno ser apro-
vado em certa disciplina de uma escola é 6.
A distribuição de frequências das médias 
dos alunos de uma classe, nessa disciplina, 
é dada abaixo:
A porcentagem de alunos aprovados foi: 
a) 62% 
b) 63% 
c) 64% 
d) 65% 
e) 66% 
159
 3. (Enem) O gráfico a seguir ilustra a evolução 
do consumo de eletricidade no Brasil, em 
GWh, em quatro setores de consumo, no pe-
ríodo de 1975 a 2005.
Observa-se que, de 1975 a 2005, houve au-
mento quase linear do consumo de energia 
elétrica. Se essa mesma tendência se man-
tiver até 2035, o setor energético brasileiro 
deverá preparar-se para suprir uma deman-
da total aproximada de:
a) 405 GWh. 
b) 445 GWh. 
c) 680 GWh. 
d) 750 GWh. 
e) 775 GWh. 
 4. (Enem) Uma empresa de alimentos oferece 
três valores diferentes de remuneração a seus 
funcionários, de acordo com o grau de ins-
trução necessário para cada cargo. No ano de 
2013, a empresa teve uma receita de 10 mi-
lhões de reais por mês e um gasto mensal com 
a folha salarial de R$ 400.000,00, distribuí-
dos de acordo com o Gráfico 1. No ano seguin-
te, a empresa ampliará o número de funcio-
nários, mantendo o mesmo valor salarial para 
cada categoria. Os demais custos da empresa 
permanecerão constantes de 2013 para 2014. 
O número de funcionários em 2013 e 2014, 
por grau de instrução, está no Gráfico 2.
Qual deve ser o aumento na receita da em-
presa para que o lucro mensal em 2014 seja 
o mesmo de 2013?
a) R$ 114.285,00 
b) R$ 130.000,00 
c) R$ 160.000,00 
d) R$ 210.000,00
e) R$ 213.333,00 
 5. (Enem) Um cientista trabalha com as espé-
cies I e II de bactérias em um ambiente de 
cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias 
da espécie I e 1.250 bactérias da espécie II. 
O gráfico representa as quantidades de bac-
térias de cada espécie, em função do dia, du-
rante uma semana.
Em que dia dessa semana a quantidade total 
de bactérias nesse ambiente de cultura foi 
máxima? 
a) Terça-feira 
b) Quarta-feira 
c) Quinta-feira 
d) Sexta-feira 
e) Domingo 
 6. (Enem) A taxa de fecundidade é um indi-
cador que expressa a condição, reproduti-
va média das mulheres de uma região, e é 
importante para uma análise da dinâmica 
demográfica dessa região. A tabela apresen-
ta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 
2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de 
fecundidade no Brasil.
160
Ano Taxa de fecundidade no Brasil
2000 2,38
2010 1,90
Disponível em: www.saladeimprensa.ibge.gov.br. 
Acesso em: 31 jul. 2013.
Suponha que a variação percentual relativa 
na taxa de fecundidade no período de 2000 
a 2010 se repita no período de 2010 a 2020.
Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade 
no Brasil estará mais próxima de: 
a) 1,14. 
b) 1,42. 
c) 1,52. 
d) 1,70. 
e) 1,80. 
 7. O polímero de PET (Politereftalato de Etile-
no) é um dos plásticos mais reciclados em 
todo o mundo devido à sua extensa gama de 
aplicações, entre elas, fibras têxteis, tape-
tes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos 
mostram o destino do PET reciclado no Bra-
sil, sendo que, no ano de 2010, o total de 
PET reciclado foi de 282 kton (quilotonela-
das).
De acordo com os gráficos, a quantidade de 
embalagens PET recicladas destinadas a pro-
dução de tecidos e malhas, em kton, é mais 
aproximada de: 
a) 16,0.
b) 22,9.
c) 32,0.
d) 84,6.
e) 106,6.
e.o. disserTaTivo
 1. (UFPR) O gráfico de setores a seguir ilustra 
como a massa de um homem de 80 kg está 
distribuída entre músculos, gordura, ossos e 
outros. 
O ângulo de cada setor está mostrado em 
graus. Com base nesse gráfico, responda às 
perguntas:
a) Quantos quilogramas de músculos esse ho-
mem possui?
b) Juntos, gordura e ossos representam que 
percentual da massa desse homem? 
 2. (Unicamp) A pizza é, sem dúvida, o alimento 
preferido de muitos paulistas. Estima-se que 
o consumo diário no Brasil seja de 1,5 mi-
lhão de pizzas, sendoo Estado de São Paulo 
responsável por 53% desse consumo. O gráfi-
co abaixo exibe a preferência do consumidor 
paulista em relação aos tipos de pizza.
a) Se não for considerado o consumo do Estado 
de São Paulo, quantas pizzas são consumidas 
diariamente no Brasil?
b) Quantas pizzas de muçarela e de calabresa 
são consumidas diariamente no Estado de 
São Paulo? 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Após serem medidas as alturas dos alunos 
de uma turma, elaborou-se o seguinte his-
tograma:
161
 3. (UERJ) Os dados do histograma também po-
dem ser representados em um gráfico de se-
tores. Observe:
Calcule o maior ângulo central, em graus, 
desse gráfico de setores. 
 4. (Unicamp) As mensalidades dos planos de 
saúde são estabelecidas por faixa etária. A ta-
bela a seguir fornece os valores das mensalida-
des do plano “Geração Saúde”. Sabendo que o 
salário mínimo nacional vale, hoje, R$ 465,00, 
responda às perguntas a seguir.
Faixa etária Mensalidade (R$)
Até 15 anos 120,00
de 16 a 30 anos 180,00
de 31 a 45 anos 260,00
de 46 a 60 anos 372,00
61 anos ou mais 558,00
a) O gráfico em formato de pizza a seguir 
mostra o comprometimento do rendimento 
mensal de uma pessoa que recebe 8 salários 
mínimos por mês e aderiu ao plano de saúde 
“Geração Saúde”. Em cada fatia do gráfico, 
estão indicados o item referente ao gasto e o 
ângulo correspondente, em graus. Determi-
ne a que faixa etária pertence essa pessoa.
b) O comprometimento do rendimento mensal 
de uma pessoa com o plano de saúde “Gera-
ção Saúde” varia de acordo com o salário que 
ela recebe.
 Suponha que x seja a quantidade de salá-
rios mínimos recebida mensalmente por uma 
pessoa que tem 56 anos, e que C(x) seja a 
função que fornece o comprometimento sa-
larial, em porcentagem, com o plano de saú-
de. Note que x não precisa ser um número 
inteiro. Determine a expressão de C(x) para 
x ≥ 1, e trace a curva correspondente a essa 
função no gráfico a seguir.
 5. (Unicamp) O Código de Trânsito Brasileiro 
classifica as infrações, de acordo com a sua 
natureza, em leves, médias, graves e gravís-
simas. A cada tipo corresponde uma pontua-
ção e uma multa em reais, conforme a tabela 
abaixo.
Infração Pontuação Multa*
Leve 3 pontos R$ 53,00 
Média 4 pontos R$ 86,00 
Grave 5 pontos R$ 128,00 
Gravíssima 7 pontos R$ 192,00 
* Valores arredondados
a) Um condutor acumulou 13 pontos em in-
frações. Determine todas as possibilidades 
quanto à quantidade e à natureza das infra-
ções cometidas por esse condutor. 
b) O gráfico de barras abaixo exibe a distribui-
ção de 1.000 infrações cometidas em certa 
cidade, conforme a sua natureza. Determine 
a soma das multas aplicadas. 
162
gabariTo
E.O. Teste I
1. D 2. E 3. E 4. A 5. D
6. D 7. A
E.O. Teste II
1. D 2. C 3. B 4. E 5. E
6. E 7. D
E.O. Teste III
1. A 2. E 3. C 4. B 5. A
6. C 7. C
E.O. Dissertativo
 1. 
a) 30 kg
b) 37,5%
 2. 
a) 705 mil pizzas 
b) 477 mil
 3. 162°, correspondente ao setor B
 4. 
a) 61 anos ou mais
b) C(x) = 80 ___ x 
 5. 
a) (a, b, c, d) [ {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 2, 0), 
(2, 0, 0, 1), (3, 1, 0, 0)} 
b) R$ 122.900,00
Estatística II
Aula 26
165
Medidas de tendência central
A partir da idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo.
Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só tem-
peratura que forneça uma ideia aproximada de todo o período.
Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas uma nota 
seu aproveitamento no bimestre.
Em situações como essas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários números empre-
gados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além dela, vamos estudar 
também a mediana e a moda.
Média aritmética (MA)
Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:
MA = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 ___________________ 
5
 = 107 ___ 
5
 = 21,4
A média aritmética, ou simplesmente a média de idade do grupo, é 21,4 anos.
Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram-se 14 ºC às 6h; 15 ºC às 7h; 
15 ºC às 8h; 18 ºC às 9h; 20 ºC às 10h; e 23 ºC às 11h, observamos que:
MA = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 _______________________ 
6
 = 105 ___ 
6
 = 17,5
No período das 6h às 11h, a temperatura média foi de 17,5 ºC.
Para um aluno que fez vários trabalhos durante o bimestre e obteve as notas 7,5; 8,5; 10,0; e 7,0, observamos que:
MA = 7,5 + 8,5 + 10,0 + 7,0 __________________ 
4
 = 33 ___ 
4
 = 8,25
Nesse bimestre, o aluno teve média de 8,25.
Generalizando assim, podemos afirmar que, dados os n valores x1, x2, x3, ..., xn de uma variável, a média 
aritmética é o número obtido da seguinte forma:
MA = 
x1 + x2 + x3 +...+ xn _______________ n = 
 ∑ 
i = 1
 
n 
 xi 
n
Média aritmética ponderada
Caso de um aluno que faz vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importância diferentes. Se no 
decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no 
trabalho de equipe (peso 2), a média dele, que neste caso é chamada média aritmética ponderada, será:
MP = 2 · 6,5 + 3 · 7,0 + 1 · 6,0 + 2 · 7,0 __________________________ 
2 + 3 + 1 + 2
 ä 13 + 21 + 6 + 14 ______________ 
8
 = 54 ___ 
8
 = 6,75
Se calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Para obter a média 
aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11, observamos que:
MP = 3 · 7 + 5 · 9 + 2 · 11 ________________ 
3 + 5 + 2
 ä 21 + 45 + 22 ___________ 
10
 = 88 ___ 
10
 = 8,8
166
Portanto, 8,8 é a média aritmética dos números 7, 9 e 11, com frequência 3, 5 e 2, respectivamente.
Observe que esse também é um exemplo de média ponderada, cujos pesos são as frequências 3, 5 e 2.
A média aritmética é empregada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, mediante um 
único número, dar uma ideia das características de determinado grupo de números. No entanto, convém ressaltar 
que em algumas situações a presença de um valor bem maior ou bem menor que os demais faz com que a média 
aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.
Consideremos um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. A média de idade, que é de 10 
anos, não caracteriza a idade desse grupo. Em casos como esse, são usadas outras medidas de tendência central, 
como a moda e a mediana.
Moda (Mo)
Em Estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores 
observados.
No grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos (Mo = 2) e demonstra mais 
eficiência para caracterizar o grupo que a média aritmética.
Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 11h, apresentou os resultados 15 ºC, 15 ºC, 18 ºC, 
20 ºC e 25 ºC, dizemos que nesse período a moda foi 15 ºC, ou seja, Mo = 15 ºC.
No caso de um aluno que anotou durante dez dias o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à escola 
e cujos registros foram 15 min, 14 min, 18 min, 15 min, 14 min, 25 min, 16 min, 15 min, 15 min e 16 min, a moda 
é 15 min, ou seja, Mo = 15 min.
Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a 
distribuição é bimodal.
Observação
Se não houver repetição de números, como 7, 9, 4, 5 e 8, não haverá moda.
Mediana (Me)
A mediana é outra medida de tendência central.
Dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:
 § o número que ocupar a posição central, se n for ímpar; e
 § a média aritmética dos dois números que estiverem no centro, se n for par.
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 7, 0, 2, 3, 4 e 7.
Em ordem crescente, temos:
0,0,1,2,2,2,3 3, 3,4,4,5,5,7,7
 ç 
 7 valores Me 7 valores
Exemplos:
 § Uma vez que15 é ímpar, o termo médio é o 8º.
Logo, a mediana é 3, simbolicamente Me = 3.
 § As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.
167
Para determinar a mediana desses valores, dispomos, inicialmente, na ordem crescente (ou decrescente).
12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17
 
 As duas
 posições
 centrais
Uma vez que temos um número par de valores (8), calculamos a média aritmética entre os dois centrais, que 
são o quarto e o quinto termos.
Logo, a média é dada por:
Me = 14 + 16 _______ 
2
 = 30 ___ 
2
 = 15
Simbolicamente, Me = 15 anos.
Média aritmética, moda e mediana 
a partir de tabelas de frequências
Utilizando os valores (números ou intervalos) e as frequências absolutas das tabelas de frequências das variáveis 
quantitativas, podemos calcular a MA, a Mo e a Me de seus valores.
Exemplos:
 § Pesquisa sobre “número de irmãos” de cada aluno de uma classe
Média aritmética:
MA = 8 · 0 + 15 · 1 + 12 · 2 + 5 · 3 ______________________ 
40
 ä 0 + 15 + 24 + 15 ______________ 
40
 = 54 ___ 
40
 = 1,35 irmão
Número 
irmãos
FA
0 8
1 15
2 12
3 5
Total 40
Observação
Embora 1,35 irmão aparentemente seja absurdo, é correto um valor desse tipo, assim como 1,5 gols por 
partida, 7,2 medalhas por Olimpíada etc. A média aritmética é uma medida de tendência.
Moda:
A maior frequência é 15, que corresponde ao valor 1 irmão. Logo, Mo = 1 irmão.
Mediana:
Uma vez que o total de frequências é 40 (número par), os valores centrais são o vigésimo e o vigésimo 
primeiro ( 40 ___ 
2
 = 20 e 20 + 1 = 21 ) .
168
Se dispostos na ordem crescente, virão os 8 valores correspondentes a 0 irmão, seguidos dos 15 valores de 
1 irmão, e assim por diante. Portanto, o vigésimo e o vigésimo primeiro valores serão, ambos, 1 irmão. Logo, 
Me = 1 + 1 _____ 
2
 = 1 irmão.
 § Pesquisa sobre “peso” (em quilogramas) de um grupo de pessoas
Peso (kg) FA
40 44 1
44 48 3
48 52 7
52 56 6
56 60 3
Total 20
A partir da tabela em que os pesos estão agrupados em classes, consideramos em cada classe o valor médio 
(VM) e anexamos uma nova coluna à tabela:
44 – 40 = 48 – 44 = 52 – 48 – 56 – 52 = 60 – 56 = 4 ä 4 __ 
2
 = 2
40 + 2 = 42 (frequência 1)
44 + 2 = 46 (frequência 3)
48 + 2 = 50 (frequência 7)
52 + 2 = 54 (frequência 6)
56 + 2 = 48 (frequência 3)
Peso (kg) FA VM
40 44 1 42
44 48 3 46
48 52 7 50
52 56 6 54
56 60 3 58
Total 20
Calculemos, agora, MA, Mo e Me usando valores médios e suas frequências.
Média aritmética:
MA = 1 · 42 + 3 · 46 + 7 · 50 + 6 · 54 + 3 · 58 _______________________________ 
20
 = 42 + 138 + 350 + 324 + 174 _______________________ 
20
 = 1028 ____ 
20
 = 51,4 kg
Moda:
A frequência maior 7 indica o intervalo 48 – 52, representado por 50, que é ponto médio. Logo, Mo = 50 kg.
Mediana:
Uma vez que o total das frequências é 20 (número par), os dois valores centrais são o décimo e o décimo 
primeiro. Dispostos os valores médios em ordem crescente e de acordo com suas frequências, o décimo é 
50 kg e o décimo primeiro, também. Logo, Me = 50 + 50 _______ 
2
 = 50 kg.
169
Medidas de dispersão
As medidas de tendência central mais usadas são a média aritmética, a moda e a mediana, cujo objetivo é concen-
trar em um único número os diversos valores de uma variável quantitativa.
Neste item, vamos estudar casos em que elas são insuficientes.
Vejamos a seguinte situação:
O critério de aprovação em um concurso estabelece que o candidato deve realizar 3 provas e obter com suas 
notas média igual ou maior que 6,0. Nesse caso, a informação de que o candidato obteve média 7,5 é suficiente 
cara concluir que ele está aprovado.
Consideremos, agora, outra situação:
Uma pessoa é encarregada de dirigir atividades de lazer para um grupo de 8 pessoas, cuja média de idade 
é 20 anos. Nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para planejar as atividades, uma vez que há 
grupos com média de idade de 20 anos e características totalmente diferentes.
Observemos alguns grupos possíveis:
 § grupo A: 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos
Ma = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 _______________________ 
6
 = 120 ___ 
6
 = 20 anos
 § grupo B: 22 anos, 23 anos,18 anos, 19 anos, 20 anos, 18 anos
Ma = 22 + 23 + 18 + 19 + 20 + 18 _______________________ 
6
 = 120 ___ 
6
 = 20 anos
 § grupo C: 6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 ano
Ma = 6 + 62 + 39 + 4 + 8 + 1 ___________________ 
6
 = 120 ___ 
6
 = 20 anos
Uma vez que a medida de tendência central não é suficiente para caracterizar o grupo C, é conveniente utilizar 
medidas que expressem o grau de dispersão de um conjunto de dados. As mais usadas são a variância e o desvio padrão.
Variância (V)
A ideia básica de variância é tomar os desvios dos valores x1 em relação à média aritmética (x – MA). Mas 
a soma desses desvios é igual a 0 (graças a uma propriedade da média). Uma opção possível é considerar o 
total dos quadrados dos desvios ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 e expressar a variância (V) como a medida dos quadrados dos 
desvios, ou seja: 
n
 ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 .
Exemplo:
Descobrir a variância nos grupos A, B e C, citados anteriormente
 § grupo A (20; 20; 20; 20; 20; 20)
MA = 20
Desvios: 20 – 20 = 0; todos iguais a 0.
V = 0
Se todos os valores forem iguais, dizemos que não houve dispersão; por isso, a variância é 0.
170
 § grupo B (22; 23; 18; 19; 20; 18)
Ma = 20
Desvios: 22 – 20 = 2; 23 – 20 = 3
18 – 20 = –2; 19 – 20 = –1
20 – 20 = 0; 18 – 20 = –2
V = 2
2 + 32 + (–2)2 + (–1)2 + 02 + (–2)2
 ___________________________ 
6
 = 4 +9 + 4 + 1 + 0 + 4 _________________ 
6
 = 22 ___ 
6
 = 3,6
 § grupo C (6; 62; 39; 4; 8; 1)
MA = 20
Desvios: 6 – 20 = - 14; 62 – 20 = 42; 39 – 20 = 19
4 – 20 = –16; 8 – 20 = –12; 1 – 20 = –19
V = (–14)2 + 422 + 192 + (–16)2 + (–12)2 + (–19)2
 __________________________________ 
6
 = 196 +1764 + 361 + 256 + 144 + 361 ___________________________ 
6
 =
= 3082 ___ 
6
 = 513,6
A variância é suficiente para diferenciar a dispersão dos grupos: o grupo A não tem dispersão (V = 0) e o 
grupo C tem uma dispersão maior que a do grupo B (513,6 > 3,6).
Porém, não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável, uma vez que os 
desvios são elevados ao quadrado. Por isso, definiu-se que a medida de dispersão é chamada desvio padrão.
Desvio padrão (DP)
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos dados, uma vez que é expresso 
na mesma unidade dos valores observados (conjunto de dados). No exemplo que estamos analisando, temos:
 § grupo A: DP = dXX 0 = 0 anos
 § grupo B: DP = dXXX 3,6 = 1,9 anos
 § grupo C: DP = dXXXXX 513,6 = 22,6 anos
Resumindo: se x1, x2, x3, ..., xn são os n valores de uma variável quantidade x, temos:
 § a média aritmética dos valores de x: MA = 
n
 ∑ 
i – 1
 
n 
 xi 
 § a variação de x: V = 
n
 ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 
 § o desvio padrão de x: DP = dXX V 
Observação
1. Se todos os valores da variável forem iguais, o desvio padrão será 0.
2. Quanto mais próximo de 0 for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores da variá-
vel.
3. O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
171
Exercícios resolvidos
1. Num treinamento de salto em altura, os atletas realizam 4 saltos cada um. Veja as marcas obtidas por três 
atletas:
 § atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm
 § atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm
 § atleta C: 146 cm. 151 cm, 143 cm e 160 cm
Com basenesses dados, responda aos seguintes itens:
a) Qual deles obteve melhor média?
Resolução:
Ao calcular a média de cada atleta, obtemos:
Atleta A
MA = 148 + 170 + 155 + 131 ___________________ 
4
 = 604 ___ 
4
 = 151 cm
Atleta B
MA = 145 + 151 + 150 + 152 ___________________ 
4
 = 598 ___ 
4
 = 149,5 cm
Atleta C
MA = 146 + 151 + 143 + 160 ___________________ 
4
 = 600 ___ 
4
 = 150 cm
Logo, o atleta A obteve a maior média: 151 cm.
b) Qual deles foi mais regular?
Resolução:
A maior regularidade será verificada a partir do desvio padrão.
Atleta A
V = (148 – 151)2 + (170 – 151)2 + (155 – 151)2 + (131 – 151)2
 ____________________________________________ 
4
 = 
= 9 + 361 + 16 + 400 ________________ 
4
 = 786 ___ 
4
 = 196,5
DP = dXXXXX 196,5 = 14 cm
Atleta B
V = (–4,5)2 + (1,5)2 + (0,5)2 + (2,5)2
 ________________________ 
4
 = 20,25 + 2,25 + 0,25 + 6,25 _____________________ 
4
 = 29 ___ 
4
 = 7,25
DP = dXXXX 7,25 = 2,7 cm 
Atleta C
V = (–4)2 + 12 + (–7)2 + 102
 __________________ 
4
 = 16 + 1 + 49 + 100 _______________ 
4
 = 166 ___ 
4
 = 41,5
DP = dXXXX 41,5 = 6,4 cm 
Logo, o atleta B foi o mais regular, uma vez que seu desvio padrão é o menor: aproximadamente 2,7 cm.
172
2. O histograma mostra o resultado de uma pesquisa sobre altura (em centímetros) entre os alunos de uma 
classe. Calcule o desvio padrão dessa variável.
Resolução:
No histograma, os valores da variável são intervalos; por isso, vamos usar seus pontos médios:
Média aritmética:
MA = 2 · 156 + 5 · 162 + 8 · 168 + 6 · 174 + 4 · 180 ____________________________________ 
2 + 5 + 8 + 6 + 4
 =
= 312 + 810 + 1344 + 1044 + 720 __________________________ 
25
 = 4230 ____ 
25
 = 169,2 cm
Desvios (xi – MA):
156 – 169,2 = – 13,2; 162 – 169,2 = – 7,2
168 – 169,2 = – 1,2; 174 – 169,2 = 4,8
180 – 169,2 = 10,8
Variância:
V = 2(–13,2)2 + 5(–7,2)2 + 8(–1,2)2 + 6(4,8)2 + 4(10,8)2
 _______________________________________ 
25
 =
= 348,48 + 259,2 + 11,52 + 138,24 + 456,56 __________________________________ 
25
 = 1214 ____ 
25
 = 48,56
Desvio padrão
DP = dXXXXX 48,96 = 6,97 cm
173
estatística e probabilidade
A estatística também é usada para estimar a probabilidade de ocorrência de um evento, principalmente se ela não 
puder ser calculada teoricamente pela razão P = evento ____________ espaço amostral . Se, como se diz, a probabilidade de ocorrer um 
acidente de avião é de uma em um milhão, é porque a frequência relativa de ocorrência de acidentes é de um 
acidente a cada um milhão de decolagens. Ao longo dos anos, ocorrerão mais decolagens, o que pode mudar essa 
probabilidade. Dos anos 1960 para cá, a frequência relativa de acidentes aéreos no mundo diminuiu cerca de 15 
vezes. Isso significa que a probabilidade de ocorrer um acidente nos anos 1960 era 15 vezes maior do que agora.
Quanto maior for a quantidade de experimentos, melhor será a estimativa da probabilidade ao empregar a fre-
quência relativa. Ao jogar uma moeda duas vezes, é possível que ocorra duas vezes cara. Seria absurdo afirmar que a 
probabilidade de ocorrer cara é de 100%, uma vez que a quantidade de experimentos é muito pequena, insuficiente 
para que se faça tal afirmação. Entretanto, ao jogar uma moeda 200 vezes, é possível observar algo como 94 caras e 106 
coroas; se jogada 2000 vezes, 1034 caras e 966 coroas; 20000 vezes, 10091 caras e 9909 coroas.
Nesta tabela percebe-se que a frequência relativa tende ao valor teórico de 50% para a probabilidade de 
ocorrer cara e coroa, o que é chamado lei dos grandes números.
Previsões do tempo, resultados eleitorais, mortalidade causada por doenças, entre outras, são probabilida-
des calculadas por frequências relativas de pesquisas estatísticas. Nesses casos, quanto maior for o histórico de 
dados a ser analisado, melhor será a previsão.
Número de 
jogadas
FA (cara) FR (cara)
2 2 100%
200 94 47%
2.000 1.034 51,7%
20.000 10.091 50,45%
Exercícios resolvidos
1. Um dado foi lançado 1200 vezes, com o seguinte resultado:
Face Número de vezes
1 248
2 355
3 175
4 180
5 126
6 116
a) Trace uma tabela de frequências relativas que expresse os resultados em porcentagem.
Resolução:
Face Número de vezes Frequência relativa
1 248 20,7%
2 355 29,6%
3 175 14,6%
4 180 15,0%
5 126 10,5%
6 116 9,7%
174
b) Na sua opinião, o dado jogado é honesto? Justifique sua resposta.
Resolução:
Aparentemente, há uma tendência maior em sair as faces 1 e 2 do que as outras. Como 1200 é um nú-
mero razoavelmente grande, a frequência relativa deveria ser aproximadamente igual ao valor teórico da 
probabilidade (que é de 16,6%). Com 1200 jogadas, o resultado teórico esperado seria o de sair cerca 
de 200 vezes cada face. Podemos afirmar, portanto, que o dado aparenta não ser honesto.
2. “O número de acidentes aéreos no Brasil entre 1979 e 1998 caiu muito. Foram registrados 403 acidentes, 
em 1979, contra 71, em 1998. No mesmo período, o número de voos aumentou cinco vezes”. Segundo essa 
afirmação, se a probabilidade de ocorrer um acidente aéreo em 1998 era P, qual foi essa probabilidade em 
1979?
Resolução:
Suponha que o número de voos, em 1979, seja x:
P = 71 ___ 
5x
 ä x = 71 ___ 
5P
 
Em 1979, a probabilidade era:
P2 = 403 ___ x ä x = 403 ___ 
P2
 
Logo:
 71 ___ 
5P
 = 403 ___ 
P2
 ä P2 = 403 · 5P _______ 
71
 = 28,4P (cerca de 28 vezes maior)
3. Em uma garrafa opaca fechada existem 20 bolinhas distribuídas entre três cores: preta, vermelha e amarela. 
Não é possível ver as bolinhas dentro da garrafa, exceto se ela for virada de ponta-cabeça, quando uma das 
bolinhas vai para o gargalo e será possível ver sua cor. Ao longo de vários dias, repetiram-se 2000 vezes a 
seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa para então anotar a cor da bolinha que aparecia 
no gargalo. Os resultados obtidos foram:
Cor da bolinha Número de vezes
Preta 396
Vermelha 910
Amarela 694
Qual deve ser a quantidade de cada bolinha dentro da garrafa?
Resolução:
Uma vez que a quantidade de experimentos é grande, podemos esperar que a frequência relativa seja apro-
ximadamente igual à probabilidade teórica. A tabela de frequências relativas é:
Cor da bolinha Número de vezes Frequências relativas
Preta 396 0,198
Vermelha 910 0,455
amarela 694 0,347
175
Portanto, se tivermos x bolinhas pretas, y bolinhas vermelhas e z bolinhas amarelas, as probabilidades 
teóricas serão:
P(preta) = x ___ 
20
 
P(vermelha) = 
y
 ___ 
20
 
P(amarela) = z ___ 
20
 
Ao igualarem-se as probabilidades teóricas com as respectivas frequências relativas, obtemos:
 x ___ 
20
 = 0,198 ä x = 3,96
 
y
 ___ 
20
 = 0,455 ä y = 9,10
 z ___ 
20
 = 0,347 ä z = 6,94
Uma vez que as quantidades x, y e z de bolinhas são números inteiros, x = 4, y = 9 e z = 7.
176
a) 36,86% da média aritmética dos países situ-
ados fora do continente asiático. 
b) 37,97% da média aritmética dos países situ-
ados no continente asiático. 
c) 44,44% da média aritmética dos países situ-
ados no continente americano. 
d) 60,24% da média aritmética dos países situ-
ados fora do continente europeu. 
e) 68,49% da média aritmética dos dez países. 
 3. (UFSM) O Brasil é o quarto produtor mun-
dial de alimentos, produzindo mais do que 
o necessário para alimentar sua população. 
Entretanto, grande parte da produção é des-
perdiçada.
O gráfico mostra o percentual do desperdício 
de frutas nas feiras do estado de São Paulo.
Considerando os dados do gráfico, a média 
aritmética, a moda e a mediana são, respec-
tivamente: 
a) 28,625; 25 e 40; 25,5. 
b) 28,625; 25 e 40; 26. 
c) 28,625; 40; 26. 
d) 20,5; 25 e 40; 25,5. 
e) 20,5; 40; 25,5. 
 4. (Upe) O quadro abaixo mostra o número de 
gols marcados em cada uma das partidas do 
grupo do Brasil na primeira fase da Copa do 
Mundo de 2014.
Partida Gols marcados
Brasil× Croácia 4
México × Camarões 1
Brasil × México 0
Croácia × Camarões 4
Camarões × Brasil 5
Croácia × México 4
O desvio médio de gols marcados por partida 
nos jogos desse grupo foi de, aproximadamente: 
a) 3,0. 
b) 2,0. 
c) 1,7. 
d) 1,5. 
e) 1,2. 
e.o. teste i
 1. Uma pesquisa foi realizada com 40 alunos 
de uma classe sobre a quantidade de filmes 
a que cada um assistiu durante o primeiro 
semestre. O resultado está representado no 
gráfico.
A média aritmética do número de filmes as-
sistidos pelos alunos é: 
a) 2,4. 
b) 2,6. 
c) 2,8. 
d) 3,2. 
e) 3,6. 
 2. (Ufg) Na tabela apresentada a seguir estão 
listados os dez países com maior capacidade 
instalada de energia renovável no mundo.
Líderes mundiais em ener-
gia renovável instalada
País Capacidade total instalada
(Gigawatts)
China 133
Estados Unidos 93
Alemanha 61
Espanha 32
Itália 28
Japão 25
Índia 22
França 18
Brasil 15
Reino Unido 11
PEW ENVIROMENT GROUP (2011). Disponível em: 
<http://exame.abril.com.br/economia/noticias>. 
Acesso em: 1º abr. 2014. (Adaptado).
Tomando por base os dados apresentados na 
tabela, conclui-se que a média aritmética da 
capacidade total instalada dos países situa-
dos no continente europeu representa, apro-
ximadamente: 
177
 5. (Enem) Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição de salto em 
distância. Segundo o regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada ao atleta mais 
regular em uma série de três saltos. Os resultados e as informações dos saltos desses cinco atletas 
estão no quadro.
Atleta 1º salto 2º salto 3º salto Média Mediana Desvio 
padrão
I 2,9 3,4 3,1 3,1 3,1 0,25
II 3,3 2,8 3,6 3,2 3,3 0,40
III 3,6 3,3 3,3 3,4 3,3 0,17
IV 2,3 3,3 3,4 3,0 3,3 0,60
V 3,7 3,5 2,2 3,1 3,5 0,81
A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número: 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 6. (Fuvest) Em uma classe com 14 alunos, 8 são 
mulheres e 6 são homens. A média das notas 
das mulheres no final do semestre ficou 1 
ponto acima da média da classe. A soma das 
notas dos homens foi metade da soma das 
notas das mulheres. Então, a média das no-
tas dos homens ficou mais próxima de: 
a) 4,3. 
b) 4,5. 
c) 4,7. 
d) 4,9. 
e) 5,1. 
 7. (Upe-ssa 1) Um professor de matemática 
costuma aplicar, durante o ano letivo, qua-
tro provas para seus alunos, sendo uma pro-
va com um peso por cada bimestre. A tabela 
abaixo representa as notas com seus res-
pectivos pesos, obtidas por um determina-
do aluno nos quatro bimestres. Se o aluno 
foi aprovado com média anual final igual a 
7,0(sete), a nota obtida por esse aluno na 
prova do I bimestre foi de:
Provas Nota Peso
I bimestre ? 1
II bimestre 7,3 2
III bimestre 7,5 3
IV bimestre 6,5 2
a) 5,3. 
b) 5,9. 
c) 6,2. 
d) 6,7. 
e) 7,0. 
e.o. teste ii
 1. (ESPM) A nota final de um concurso é dada 
pela mé dia aritmética das notas de todas as 
provas realizadas. Se um candidato conse-
guiu × no tas 8, x + 1 notas 6 e x – 1 notas 5 
e sua nota final foi 6,5, o número de provas 
que ele rea lizou foi: 
a) 6. 
b) 9. 
c) 7. 
d) 5. 
e) 12. 
 2. (INSPER) Para fazer parte do time de bas-
quete de uma escola, é necessário ter, no mí-
nimo, 11 anos. A média das idades dos cin-
co jogadores titulares desse time é 13 anos, 
sendo que o mais velho deles tem 17 anos. 
Dessa forma, o segundo mais velho do time 
titular pode ter, no máximo: 
a) 17 anos. 
b) 16 anos. 
c) 15 anos. 
d) 14 anos. 
e) 13 anos. 
 3. (ESPM) Retirando-se o maior número do con-
junto {12; 7; 9; 4; x ; 5}, a média aritmética 
dos seus elementos diminui 1 unidade. O pro-
duto dos valores que x pode assumir é igual a: 
a) 58. 
b) 62. 
c) 67. 
d) 75. 
e) 79. 
178
 4. (UFSM) O uso de biodiesel gera uma série de 
efeitos ambientais, tais como a redução da 
emissão de gases do efeito estufa e a dimi-
nuição da poluição atmosférica. 
O gráfico mostra a produção de biodiesel (em 
milhões de litros) em uma usina, durante o 
período de um ano.
De acordo com os dados, a média, a mediana 
e a moda (em milhões de litros) são, respec-
tivamente, iguais a: 
a) 8,5; 10 e 9. 
b) 8; 9 e 10. 
c) 8; 9,5 e 8. 
d) 8,5; 9 e 10. 
e) 8,5; 9,5 e 10. 
 5. (UFPR) Um professor de Estatística costuma 
fazer duas avaliações por semestre e calcular 
a nota final fazendo a média aritmética en-
tre as notas dessas duas avaliações. Porém, 
devido a um problema de falta de energia 
elétrica, a segunda prova foi interrompida 
antes do tempo previsto e vários alunos não 
conseguiram terminá-la. Como não havia 
possibilidade de refazer essa avaliação, o 
professor decidiu alterar os pesos das pro-
vas para não prejudicar os alunos. Assim 
que Amanda e Débora souberam da notícia, 
correram até o mural para ver suas notas e 
encontraram os seguintes valores:
Nome 1ª prova 2ª prova Nota final da 
disciplina
Amanda 82 52 72,1
Débora 90 40 73,5
Qual foi o peso atribuído à segunda prova? 
a) 0,25 
b) 0,30 
c) 0,33 
d) 0,35 
e) 0,40 
 6. (Insper) Uma empresa tem 15 funcioná-
rios e a média dos salários deles é igual a 
R$ 4.000,00. A empresa é dividida em três 
departamentos, sendo que:
 § A média dos salários dos 6 funcionários 
administrativos é igual a R$ 3.750,00
 § A média dos salários dos 4 funcionários 
de desenvolvimento de produto é igual a 
R$ 4.125,00
A média dos salários dos outros funcioná-
rios, do departamento comercial, é igual a: 
a) R$ 3.800,00 
b) R$ 3.900,00 
c) R$ 4.000,00 
d) R$ 4.100,00 
e) R$ 4.200,00 
 7. (Ueg) Os números de casos registrados de 
acidentes domésticos em uma determinada 
cidade nos últimos cinco anos foram: 100, 
88, 112, 94 e 106. O desvio padrão desses 
valores é, aproximadamente: 
a) 3,6. 
b) 7,2. 
c) 8,5. 
d) 9,0. 
e) 10,0. 
e.o. teste iii
 1. (ESPM) Durante os 5 primeiros dias de abril, 
o consumo médio diário de água numa resi-
dência esteve 40% acima da média diária para 
esse mês. Podemos afirmar que o consumo mé-
dio diário dos outros dias desse mês foi: 
a) 12% abaixo da média. 
b) 20% abaixo da média. 
c) 15% abaixo da média. 
d) 5% abaixo da média. 
e) 8% abaixo da média. 
 2. (Fuvest) Cada uma das cinco listas dadas é a 
relação de notas obtidas por seis alunos de 
uma turma em uma certa prova. 
Assinale a única lista na qual a média das 
notas é maior do que a mediana. 
a) 5, 5, 7, 8, 9, 10 
b) 4, 5, 6, 7, 8, 8 
c) 4, 5, 6, 7, 8, 9 
d) 5, 5, 5, 7, 7, 9 
e) 5, 5, 10, 10, 10, 10 
 3. (Afa) Um cursinho de inglês avaliou uma 
turma completa sendo que parte dos alunos 
fez a avaliação A, cujo resultado está indica-
do no gráfico abaixo.
Os demais alunos fizeram a avaliação B e to-
dos tiveram 4 acertos. Assim, o desvio pa-
drão obtido a partir do gráfico acima ficou 
reduzido à metade ao ser apurado o resulta-
do da turma inteira. 
Essa turma do cursinho de inglês tem: 
179
a) mais de 23 alunos. 
b) menos de 20 alunos. 
c) 21 alunos. 
d) 22 alunos. 
 4. (Enem) Um produtor de café irrigado em Mi-
nas Gerais recebeu um relatório de consul-
toria estatística, constando, entre outras in-
formações, o desvio padrão das produções de 
uma safra dos talhões de suas propriedades. 
Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 
e o valor obtido para o desvio padrão foi de 
90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as 
informações sobre a produção e a variância 
dessas produções em sacas de 60 kg por hec-
tare (10 000 m2).
A variância das produções dos talhões ex-
pressa em (sacas/hectare)2 é: 
a) 20,25. 
b) 4,50. 
c) 0,71. 
d) 0,50. 
e) 0,25. 
 5. (Enem) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados 
os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para 
cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e 
D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcen-
tagem, para cada valor da diária.O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é: 
a) 300,00. 
b) 345,00. 
c) 350,00. 
d) 375,00. 
e) 400,00. 
 6. (Enem) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca ava-
liadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro 
da banca atribui duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de 
atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela 
média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas 
atribuídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é: 
a) 0,25 ponto maior. 
b) 1,00 ponto maior. 
c) 1,00 ponto menor. 
d) 1,25 ponto maior. 
e) 2,00 pontos menor. 
180
 7. (Upe-ssa 2) Preocupada com o hábito de leitura na escola onde trabalha, uma bibliotecária aplicou 
uma pesquisa, num grupo de 200 estudantes escolhidos de forma aleatória, sobre a quantidade 
de livros que cada aluno havia solicitado por empréstimo no primeiro semestre de 2015. Os dados 
coletados na pesquisa estão apresentados na tabela a seguir:
Livros Emprestados por Aluno
Número de Livros Números de Alunos
3 90
2 55
1 30
0 25
Total 200
Para esses dados, a média, a moda e a mediana são, respectivamente: 
a) 1,50; 2,00; 3,00.
b) 1,50; 3,50; 2,00.
c) 1,50; 3,00; 3,00.
d) 2,05; 3,00; 2,00.
e) 2,05; 3,00; 3,00.
e.o. dissertativo
 1. (Ufg) As tabelas a seguir apresentam os casos de dengue no Brasil e na região Centro-Oeste, no 
período de 1º de janeiro a 16 de fevereiro de 2013.
Casos de dengue por região Casos de dengue na região Centro-Oeste
Região 2013 Unidade Federativa 2013 População
Sudeste 80.876 MS 42.015 2.587.269
Sul 12.420 MT 10.765 3.182.113
Centro-Oeste 80.976 GO 27.376 6.434.048
Norte 18.435 DF 820 2.789.761
Nordeste 11.943
Brasil 204.650
Disponível em: <www.ibge.gov.br> e <g1.globo.com/bemestar/noticia/2013/02/casos-de-dengue-no-
pais-190-nocomeco-de-2013-dizgoverno.html>. Acesso em: 20 out. 2013. (Adaptado).
De acordo com essas informações:
a) Calcule a diferença entre a média dos casos de dengue por unidade federativa da região Centro-Oeste 
e a média dos casos de dengue por unidade federativa do Brasil no período considerado.
b) Sabendo que é considerado estado de epidemia quando há incidência maior do que 300 casos para cada 
100 mil habitantes, determine em quais unidades federativas da região Centro-Oeste ocorreu estado de 
epidemia de casos de dengue no período considerado. 
181
 2. O Brasil terá que manter uma tradição em 2016. Todo país que sedia as Olimpíadas tem um grande 
crescimento no quadro de medalhas, como aconteceu com a Grécia, a Austrália e a China, e já está 
ocorrendo com a Grã-Bretanha.
Observando as informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo:
a) Complete a tabela abaixo com a quantidade de medalhas obtidas pelo Brasil de 1996 até 2008:
Ano da Olimpíada Quantidade de medalhas
1996
2000
2004
2008
b) Qual a quantidade média de medalhas conquistadas pelo Brasil nas últimas quatro Olimpíadas?
c) Observando o resultado dos países que sediaram as últimas Olimpíadas, percebemos que a Austrália 
teve uma excelente ascensão no número de medalhas. Qual foi o crescimento percentual do número 
total de medalhas da Austrália? (Escreva sua resposta com aproximação de duas casas decimais) 
 3. Uma estimativa feita por cientistas da USP indica que as emissões de gases do efeito estufa no 
Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005.
Após a leitura das informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo:
a) Mantendo a variação percentual de emissão de gases para os próximos 15 anos, quantos milhões de 
toneladas de CO2 estima-se que o Brasil deverá emitir em 2020?
b) Qual a média de emissão de CO2 relativa aos anos observados na figura acima? 
182
 4. Os gráficos representados a seguir foram reproduzidos tendo por base a matéria jornalística “Bar-
cas perdem passageiros de São Gonçalo”, veiculada no jornal O Globo, no dia 23/09/07.
a) Considere o gráfico referente aos meios de transporte usados para chegar à estação de barcas. É pos-
sível que existam passageiros que cheguem de bicicleta à estação. Qual é a taxa percentual máxima 
desses passageiros?
b) No gráfico referente à escolaridade dos entrevistados, observam-se cinco faixas de níveis de estudo. 
Sabendo-se que a pesquisa envolveu aproximadamente 2000 pessoas, quantas possuem curso superior?
c) Considere o gráfico referente à renda dos usuários de barcas.
Qual é a taxa percentual que representa os passageiros que recebem até R$ 3.800,00?
É correto dizer que mais da metade dos passageiros está nessa faixa de renda? 
 5. (Unicamp) O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginás-
tica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg.
a) Quantos homens frequentam a academia?
b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesados, o peso médio cai de 75 kg para 72 kg. Qual é o 
peso médio desses 10 alunos? 
183
Gabarito
E.O. Teste I
1. E 2. E 3. A 4. C 5. C
6. C 7. B
E.O. Teste II
1. A 2. C 3. A 4. D 5. C
6. E 7. C
E.O. Teste III
1. E 2. D 3. A 4. E 5. C
6. B 6. D
E.O. Dissertativo
 1. 
a) 12664
b) Mato Grosso do Sul, Mato Grosso e Goiás.
 2. 
a) 
Ano da Olimpíada Quantidade de medalhas
1996 15
2000 12
2004 10
2008 15
b) M = 13
c) 41,46%
 3. 
a) 2.492 milhões de toneladas
b) 1.796,5 milhões de toneladas
 4. 
a) 1%
b) 784 pessoas
c) 68%. Sim. 
 5. 
a) 40 homens
b) 102 kg
Aulas 47 a 50: Circunferência 186
Aulas 51 e 52: Elipse 214
geometria
analítica
Circunferência
Aulas 47 a 50
187
Introdução
Na aula anterior, vimos como se representa uma reta por meio de uma equação algébrica e a conveniência de se 
recorrer a essa representação na resolução de problemas geométricos.
Vamos estudar, de maneira análoga, a circunferência, também geométrica, por meio de sua representação 
algébrica.
A definição dela, diretamente associada ao conceito de distância entre dois pontos, é nosso ponto de partida.
De acordo com a geometria plana euclidiana, assim como dois pontos distintos determinam um reta, três 
pontos não colineares determinam uma circunferência. “Dados os pontos A(1, 2), B(0, 3) e C(–7, –4), determine a 
circunferência que passa por eles, geométrica e algebricamente” é o problema proposto.
Ao posicioná-los num sistema de eixos ortogonais, temos:
É possível resolvê-lo geometricamente, desde que você relembre as propriedades da geometria plana.
Em seguida, vamos resolver o problema algebricamente, isto é, encontrar uma equação da circunferência 
que passa por esses pontos.
defInIção
De acordo com a geometria plana, a circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de 
um ponto fixo.
O ponto fixo é o centro da circunferência (ponto O da figura) e a distância constante é o raio da circunfe-
rência (AO = OB = OC = r).
equação da cIrcunferêncIa
Considerando determinada situação em que a distância entre os pontos P(x, y) e A(5, 3) é igual a 2, qual será a 
relação que se pode estabelecer entre x e y?
188
Pela fórmula da distância, temos:
d(P, A) = dXXXXXXXXXXXXXX (x – 5)2 + (y – 3)2 
Uma vez que d(P, A) = 2, temos:
 dXXXXXXXXXXXXXX (x – 5)2 + (y – 3)2 = 2 ⇒ (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 ⇒ x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = 0
Logo, a relação estabelecida é (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 ou x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = 0.
O conjunto dos pontos P(x, y) situados a uma distância 2 do ponto A(5,3) é a circunferência de centro 
A(5, 3) e raio 2. Portanto, a relação (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 é satisfeita por todos os pontos P(x, y) da circunferência 
de centro A(5, 3) e raio 2. Dizemos, por isso, que (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 é a equação reduzida dessa circunferência.
Considerando genericamenteO, (a, b) o centro, r o raio e P(x, y) um ponto da circunferência, obtemos:
d(P, O) = dXXXXXXXXXXXXXX (x – a)2 + (y – b)2 = r ⇒ (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Por isso, podemos escrever que uma circunferência do centro O(a, b) e raio r tem equação reduzida:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 equação reduzida da circunferência.
Observação
No caso particular de o centro da circunferência estar na origem, ou seja, a = b = 0, a equação da circunferência 
é x2 + y2 = r2.
Equação normal da circunferência
Ao desenvolver a equação da circunferência (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos o que se chama de equação normal 
ou geral da circunferência:
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0 ⇒ x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0
Na prática é muito comum que as circunferências sejam representadas por sua equação normal, como a cir-
cunferência x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. À primeira vista, essa equação não nos permite identificar nem o centro nem 
o raio da circunferência em questão. Precisamos, portanto, aprender a obter o raio e o centro de uma circunferência 
a partir de sua equação normal. Dois métodos podem nos auxiliar nessa tarefa.
189
1. Método completamento de quadrados
O objetivo desse método é obter os quadrados perfeitos (x – a)2 e (y – b)2 a partir das informações apresen-
tadas na equação geral.
Vejamos como ele funciona com a equação normal x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0:
 § Agrupam-se na equação normal os termos em x e os termos em y, isolando no outro membro o termo in-
dependente. Deixe um espaço depois dos termos em x e dos termos em y, e dois espaços no outro termo:
x2 – 2x + ____ + y2 + 4y + ___ = 4 + ___ + ___
 § Somam-se a ambos os termos da equação valores convenientes, de modo que ambos os termos em x e 
os termos em y transformem-se em um quadrado perfeito.
Na prática, os espaços vagos são usados para escrever esses números. O número que completa o quadrado 
perfeito em x é o quadrado da metade do coeficiente de x, se o coeficiente de x2 for 1. Portanto, uma vez 
que o coeficiente de x é –2, metade de –2 é –1 e o quadrado de –1 é 1, somamos a ambos os membros:
x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + ___ = 4 + 1 + ___
Da mesma forma, o número que completa o quadrado perfeito em y é o quadrado da metade do coeficiente 
de y, se o coeficiente de y2 for 1. Portanto, uma vez que o coeficiente de y é 4, metade de 4 é 2 e o quadrado 
de 2 é 4, somamos 4 a ambos os membros:
x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 4 + 1 + 4
Obtemos, assim, os seguintes quadrados perfeitos:
x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 4 + 1 + 4
Portanto, a equação x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 representa uma circunferência de centro (1, –2) e raio 3.
Observação
Se os coeficientes de centro de x2 e y2 não forem 1, basta dividir toda a equação normal por um número conve-
niente, de forma a torná-los 1.
2. Método da comparação
De acordo com este método, devemos comparar os coeficientes dos termos das duas equações: a equação 
dada e a teórica.
x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = x2 + y2 – 2x + 4y – 4
–2a = –2 ⇒ a = 1
–2b = 4 ⇒ b = –2
a2 + b2 – r2 = – 4 ⇒ 12 + (–2)2 – r2 = – 4 ⇒ 1 + 4 – r2 = – 4 ⇒ r2 = 9 ⇒ r = 3 ( não há raio negativo)
Portanto, o centro da circunferência é (1, –2) e o raio é 3.
O método de completar quadrados é o melhor dos dois, uma vez que não compreende a memorização da 
forma teórica da equação normal e oferece a possibilidade de trabalhar da mesma forma com outras equa-
ções (não só com a da circunferência). Fica a seu critério, a escolha do método para resolver os exercícios.
(x – 1)2 (y + 2)2 32
190
Condições de existência
Consideremos a equação genérica Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. Para que ela represente uma circunferência, 
é necessário que sejam atendidas três condições:
 § primeira condição: A = B ≠ 0, ou seja, o coeficiente de x2 tem de ser igual ao coeficiente de y2;
 § segunda condição: C = 0, ou seja, não pode existir o produto xy; e
 § terceira condição: D2 + E2 – 4AF > 0, ou seja, garantimos que o raio é raiz de um número positivo; por-
tanto, um número real.
Exercícios resolvidos
1. Determine a equação de uma circunferência com centro no ponto o(–3, 1) e raio 3.
Resolução:
Usando a equação reduzida, obtemos:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇒ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 32 ⇒ x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0
Logo, a equação é (x + 3)2 + (y – 1)2 = 9 ou x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0.
2. Determine a equação da circunferência com centro no ponto A(1, –2) e que passe pelo ponto P(2, 3).
Resolução:
De acordo com a figura, r = d(P, A). Portanto:
d(P, A) = dXXXXXXXXXXXXXXX (2 – 1)2 + (3 + 2)2 = dXXXXXX 1 + 25 = dXXX 26 ⇒ r = dXXX 26 
De acordo com a equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:
(x – 1)2 + (y + 2)2 = ( dXXX 26 )2 ⇒ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 26 ⇒ x2 + y2 – 2x + 4y – 21 = 0
Logo, a equação é (x – 1)2 + (y + 2)2 = 26 ou x2 + y2 – 2x + 4y – 21 = 0.
Generalizando: numa circunferência de centro C(a, b) e raio r, seus pontos satisfazem a equação (x – a)2 
+ (y – b)2 = r2. Reciprocamente, uma equação de variáveis x e y escrita nessa forma representa uma circun-
ferência de centro C(a, b) e raio r > 0.
3. Verifique se a equação x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0 representa uma circunferência.
Resolução:
Mediante o processo completamento de quadrados e lembrando que x2 – 2ax + a2 = (x – a)2, obtemos:
x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0 ⇒ x2 – 4x + ___ + y2 – 8y + ___ = – 19 + ___ + ___ ⇒
⇒ x2 – 4x + 4 + y2 – 8x + 16 = –19 + 4 + 16
⇒ (x – 2)2 + (y – 4)2 = 12
(x – 2)2 (y – 4)2 1
191
Logo, a equação inicial representa uma circunferência de centro C(2, 4) e raio 1.
Outra resolução:
Em x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0, temos A = B = 1, C = 0, D = –4, E = –8 e F = 19.
Ao atender as três condições da existência:
1. A = B ≠ 0, pois A = B = 1
2. C = 0
3. D2 + E2 – 4AF > 0, pois (– 4)2 + (– 8)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 19 = 4
Logo, a equação inicial representa uma circunferência.
4. Obtenha o raio e o centro da circunferência x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0.
Resolução:
Método de completamento quadrados:
x2 + 6x + __ + y2 – 4y + __ = 12 + __ + __
x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 12 + 9 + 4 ⇒
Portanto, a equação x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0 representa uma circunferência de centro (–3, 2) e raio 5.
Método da comparação:
x2 + y2 – 2ax – 2bx + (a2 + b2 – r2) = x2 + y2 + 6 x – 4 y – 12 = 0 (circunferência de centro (a, b) e raio r).
–2a = 6 ⇒ a = –3
–2b = – 4 ⇒ b = 2
a2 + b2 – r2 = –12 ⇒ (–3)2 + 22 – r2 = –12 ⇒ 9 + 4 – r2 = – 12 ⇒ r2 = 25 ⇒ r = 5 (não há raio negativo)
Portanto, o centro da circunferência é (–3, 2) e o raio é 5.
PosIções relatIvas de um Ponto e uma cIrcunferêncIa
Se tivermos um ponto P(x1, y1) e uma circunferência λ1 de centro C(a, b) e raio r, as posições relativas de P e λ1 
serão:
1. o ponto pertence à circunferência:
Nesse caso, as coordenadas do ponto devem satisfazer a equação da circunferência, e a distância entre P 
e C é igual a r.
(x + 3)2 (y – 2)2 52
192
2. o ponto é interno à circunferência:
Nesse caso, a distância do ponto ao centro é menor que o raio.
3. o ponto é externo à circunferência:
Nesse caso, a distância do ponto ao centro é maior que o raio.
Considerando que a equação da circunferência (reduzida ou geral) é obtida a partir da condição d(P, C) = r, 
podemos escrever:
 § d(P, C) = r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 = 0 ⇔ P ∈ λ
 § d(P, C) < r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 < 0 ⇔ P é interno a λ
 § d(P, C) > r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 > 0 ⇔ P é externo a λ
Exercícios resolvidos
1. Dê a posição do ponto P relativa à circunferência em cada item:
a) P(3,2) e λ: x2 + y2 – 6x + 5 = 0
Resolução:
Substituindo:
32 + 22 – 6 ⋅ 3 + 5 = 9 + 4 – 18 + 5 = 18 – 18 = 0
Logo, P ∈ λ.
b) P(5, –1) e λ: x2 + y2 – 6x – 2y + 8 = 0
Resolução:
Substituindo:
52 + (–1)2 – 6 ⋅ 5 – 2 (–1) + 8 = 25 + 1 – 30 + 2 + 8 = 36 – 30 = 6 > 0
Logo, P é externo a λ.
c) P(4, 3) e λ: x2 + y2 = 36
Resolução:
Substituindo:
42 + 32 – 36 = 16 + 9 – 36 = –11 < 0
Logo, P é interno a λ.
193
2. Neste exemplo, vamosresolver algebricamente o problema proposto na introdução da aula.
Determine uma equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A(1, 2), B(0, 3) e C(–7, –4).
Resolução:
A equação da circunferência é 
λ:(x – a)2 + (y – b)2 – r2.
 § A(1, 2) ∈ λ: (1 – a)2 + (2 – b)2 = r2 (I)
 § B(0, 3) ∈ λ: (–a)2 + (3 – b)2 = r2 (II)
 § C(–7, 2) ∈ λ: (–7 – a)2 + (–4 – b)2 = r2 (III)
Ao igualar (I) e (II), obtemos:
1 – 2a + a2 + 4 – 4b + b2 = a2 + 9 – 6b + b2 ⇒ –2a + 2b – 4 = 0 ⇒ - a + b – 2 = 0
Ao igualar (II) e (III), obtemos:
a2 + 9 – 6b + b2 = 49 + 14a + a2 + 16 + 8b + b2 ⇒ – 14a –14b = 56 ⇒ a + b = –4
Ao resolver o sistema 
–a + b = 2
a + b = –4
, encontramos:
λ: (x + 3)2 + (y +1)2 = r2
Para encontrar o valor de r, empregamos a equação (I):
(1 – a)2 + (2 – b)2 = r2 ⇒ (1 + 3)2 + (2 + 1)2 = r2 ⇒ r2 = 25
Portanto, a equação procurada é:
(x + 3) 2 + (y + 1)2 = 25.
Outra maneira de resolver
Lembramos que na geometria plana o centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, ou seja, 
é o encontro das mediatrizes do triângulo. Vamos, portanto, obter a equação de duas mediatrizes e o ponto de in-
tersecção delas. O centro da circunferência será esse ponto e o raio será a distância do centro a um dos três vértices.
Mediatriz do lado AB
Denominando a mediatriz do lado AB como reta r, podemos relacionar seus coeficientes angulares, que são per-
pendiculares, da seguinte forma:
mAB = 3 – 2 ____ 
0 –1
 = –1 mr = –1 ___ mAB
 = –1 ___ 
–1
 = 1
m1 = 3 – 2 ____ 
0 – 1
 = –1 m2 = 1 ___ m1
 = –1 ___ 
–1
 = –1
Ponto médio de AB: M ( 1 __ 
2
 , 5 __ 
2
 ) 
Desse modo, a reta que passa por M com coeficiente angular m2 = 1 é:
y – 5 __ 
2
 = 1 ( x – 1 __ 
2
 ) ⇒ 2y – 5 = 2x – 1 ⇒ 2x – 2y + 4 = 0 ⇒ x – y + 2 = 0
194
Mediatriz do lado BC
Analogamente ao cálculo anterior, denominamos a mediatriz de BC como reta s e obtemos:
 4 – 3 _____ 
–7 – 0
 = 1 mBC = – 4 – 3 ______ 
– 7 – 0
 = 1 mS = – 1 ___ mBC
 = – 1 __ 
1
 = –1
Portanto, ponto médio de BC: N ( – 7 __ 
2
 , 1 __ 
2
 ) 
Logo, a reta que passa por N com coeficiente angular m S = –1 é:
y – 1 __ 
2
 = –1 ( x + 7 __ 
2
 ) ⇒ 2y + 1 = –2x – 7 ⇒ 2x + 2y + 8 = 0 ⇒ x + y + 4 = 0
Centro O da circunferência
A intersecção das duas mediatrizes (retas concorrentes) é obtida pela resolução do sistema 
x – y + 2 = 0
x + y + 4 = 0Ao resolver esse sistema, encontramos x = –3 e y = –1.
Logo, O(–3, –1).
Raio da circunferência:
Distância do centro ao vértice B (poderia ser qualquer um dos três vértices);
d(0, B) = dXXXXXXXXXXXXXXX (3 – 0)2 + (–1 – 3)2 = dXXXXXX 9 + 16 = 5
Portanto, raio = 5.
A equação procurada é (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25.
PosIções relatIvas de uma reta e uma cIrcunferêncIa
Consideremos as três possíveis posições de uma reta em relação a uma circunferência.
1. A reta t é secante à circunferência:
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é menor que o raio.
A reta e a circunferência têm dois pontos comuns.
2. A reta t é tangente à circunferência:
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio.
A reta e a circunferência têm um único ponto comum.
195
3. A reta t é exterior à circunferência:
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é maior que o raio.
A reta e a circunferência não têm ponto comum.
A partir das equações, vejamos como identificar qual desses casos existe.
Exercícios resolvidos
1. São dadas a reta r, de equação 2x + y – 1 = 0, e a circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 8y = 0. Qual é 
a posição da reta r em relação à circunferência?
Resolução:
Calculemos, inicialmente, as coordenadas do centro e o raio da circunferência:
x2 + y2 + 6x – 8y = 0 ⇒ x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 9 + 16 ⇒ (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25
Logo, C(–3, 4) e r = 5.
Vamos determinar, agora, a distância do centro à reta:
d = 
|2 (–3) + 1 (4) – 1|
 ______________ 
 dXXXXXX 22 + 12 
 = 
|–3|
 ___ 
 dXX 5 
 = 3 ___ 
 dXX 5 
 ; ≅ 1, 3
Comparando d e r, obtemos d < r (1,3 < 5).
Logo, a reta r é secante à circunferência
Outra maneira de resolver:
Se houver os pontos comuns à reta e à circunferência, eles serão as soluções do sistema formado por suas 
equações:
2x + y – 1 = 0 ⇒ y = 1 – 2x
x2 + y2 + 6x – 8y = 0
Ao substituir y na segunda equação, obtemos:
x2 + y2 + 6x – 8y = 0 ⇒ x2 + (1 – 2x)2 + 6x – 8 (1 – 2x) = 0
⇒ x2 + 1 – 4x + 4x2 + 6x – 8 + 16x = 0 ⇒ 5x2 + 18x – 7 = 0
O cálculo de ∆ será suficiente para determinar quantos pontos comuns têm a reta e a circunfêrencia e qual 
a posição relativa:
∆ = 182 + 140 = 324 + 140 = 464 > 0
O valor de ∆ > 0 indica que há dois valores reais e distintos de x e, consequentemente, há dois pontos 
comuns à reta e à circunferência.
Logo, a reta é secante à circunferência.
Observação
A resolução completa do sistema permite descobrir quais são os dois pontos comuns à reta e à circunferência.
196
2. O ponto P(5, 2) pertence à circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0. Determine a equação da 
reta t tangente a essa circunferência em P.
Resolução:
Lembre-se de que se uma reta t é tangente a uma circunferência de centro C em P, t é perpendicular à reta 
suporte 
 _____
 
›
 CP .
Ao calcular as coordenadas do centro C e o raio r, obtemos:
x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0 ⇒ x2 + 2x + y2 – 6y = 27 ⇒ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 27 + 1 + 9 ⇒ 
⇒ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 37
Portanto, C(–1, 3) e r = dXXX 37 .
Vamos determinar o coeficiente angular m1 da reta que passa pelos pontos C(–1, 3) e P(5, 2);
m1 = 2 – 3 _____ 
5 + 1
 = – 1 __ 
6
 
Calculemos, agora, a equação da reta t que passa pelo ponto P (5, 2) e tem declividade 6:
y – 2 = 6 (x – 5) ⇒ y – 2 = 6x – 30 ⇒ 6x – y – 28 = 0
Logo, a equação pedida é 6x – y – 28 = 0.
Outra maneira de resolver:
Obtemos o centro C(–1, 3) como na primeira resolução. Determinamos a equação reduzida da reta 

 CP e 
dela tiramos o coeficiente angular (m1):
  x ___ 
–1
 
y
 __ 
3
 1 __ 
1
  = 0 ⇒ 3x + 5y – 2 – 15 + y – 2x = 0 ⇒ 6y = –x + 17 – y = –1/6x + 17/6 ⇒ m1 = –1/6
A reta t procurada passa por P(5, 2) e é perpendicular à reta CP. Logo, seu coeficiente angular é 6, pois ( 1 __ 
6
 ) 
6 = –1.
Portanto, a equação de t é y – 2 = 6 (x – 5) ou 6 x – y – 28 = 0.
3. A reta de equação x – y + k = 0 é tangente à circunferência de equação x2 + y2 = 9. Calcule o valor de k.
Resolução:
Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro até a reta é igual ao raio.
Centro e raio da circunferência:
x2 + y2 = 9 ⇒ (x – 0)2 + (y – 0)2 = 32
Portanto, C(0, 0) e r = 3.
Distância do centro (0, 0) à reta 1x – 1y + k = 0:
d = 
 1 × 0 –1 × 0 + k  _____________ 
 dXXXXXX 12 + 12 
 = 
 K  ___ 
 dXX 2 
 
197
Cálculo de k, sabendo que d = r:
 
 k  ___ 
 dXX 2 
 = 3 =  k  = 3 dXX 2 = k = ±3 dXX 2 
Outra resolução:
Se a reta é tangente à circunferência, o sistema formado pelas duas equações tem uma única solução:
x – y + k = 0 ⇒ x = y – k
x2 + y2 = 9
Ao substituir x na segunda equação, obtemos:
x2 + y2 = 9 ⇒ (y – k)2 + y2 = 9 ⇒ y2 – 2ky + k2 xy2 – 9 = 0 ⇒ 2y2 – 2ky + k2 – 9 = 0
Para que a solução seja única, devemos ter ∆ = 0:
∆ = 4k2 – 8(k2 – 9) = 0 ⇒ 4k2 – 8k2 + 72 = 0 ⇒ – 4k2 + 72 = 0 ⇒ k2 = 72 ___ 
4
 = 18 ⇒ 
⇒ k = ± dXXX 18 = ± 3 dXX 2 
4. O ponto P(1, –2) é externo à circunferência de equação (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8. Determine as equações das 
retas tangentes à circunferência que passam por P.
Resolução:
Pela equação dada, temos C(1, 2) e r = dXX 8 .
Considerando o coeficiente angular m das retas t1 e t2, podemos escrever a equação geral dessas retas, 
lembrando que passam por P(1, –2):
y + 2 = m(x – 1) ⇒ y + 2 = mx – m ⇒ mx – y – 2 – m = 0
Uma vez que a distância entre o centro C(1,2) e a reta de equação mx – y – 2 – m = 0 deve ser igual ao 
raio r, obtemos:
 
|m(1) – 1(2) – 2 – m|
 ________________ 
 dXXXXXX m2 + 1 
 =dXX 8 ⇒ 
|m – 2 – 2 – m|
 ____________ 
 dXXXXXX m2 + 1 = 
 = √
__
 8 ⇒ 
|–4|
 _______ 
 dXXXXXX m2 + 1 
 = dXX 8 ⇒ 4 ______ 
 √
_____
 m2+1 
 = √
__
 8 
⇒ 16 ______ 
m2 + 1
 = 8 ⇒ 8m2 + 8 = 16 ⇒ 8m2 – 8 = 0 ⇒ m2 – 1 = 0 ⇒ m2 = 1 ⇒ m' = 1 e m'' = –1
Calculemos, agora, as equações das retas t1 e t2, substituindo o valor de m na equação geral mx – y – 2 – m = 0.
Para m’ = 1, temos:
(1)x – y – 2 – 1 = 0 ⇒ x – y – 3 = 0
Para m” = –1, temos:
(–1)x – y – 2 – (–1) = 0 ⇒ –x – y – 1 = 0 ⇒ x + y + 1 = 0 
Logo, as equações das retas tangentes t1 e t2 são x – y – 3 = 0 e x + y + 1 = 0.
198
5. Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(1, 3) e que é tangente à reta t de equação 
x + y + 2 = 0.
Resolução:
Observamos na figura que o raio da circunferência pedida é igual à distância entre o centro C e a reta t, 
portanto:
r = 
|1(1) + 1(3) + 2|
 _____________ 
 dXXXXXX 12 + 12 
 = 
|1 + 3 + 2|
 _________ 
 dXX 2 
 = 
|6|
 ___ 
 dXX 2 
 = 6 ___ 
 dXX 2 
 = 6 dXX 2 ____ 
2
 = 3 dXX 2 
A equação da circunferência pedida, sabendo que a = 1, b = 3 e r = 3 dXX 2 , é:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇒ (x – 1)2 + (y – 3)2 = (3 dXX 2 )2⇒ (x – 1)2 + (y – 3)2 = 18 ⇒ 
⇒ x2 + y2 – 2x – 6y – 8 = 0
PosIções relatIvas de duas cIrcunferêncIas
Duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum.
A partir das equações das duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os pontos comuns 
e resolver o sistema formado por elas; bem como podemos identificar a posição relativa usando os dois raios e a 
distância entre os centros.
Considere uma circunferência de centro C1 e raio r1 e outra de centro C2 e raio r2. A distância entre os centros 
será d(C1, C2).
Observe as possíveis posições relativas das duas circunferências.
1. Dois pontos comuns:
Secantes 
|r1 – r 2| < d(C1,C2) < r1 + r 2
199
2. Um ponto comum:
Tangentes exteriores
d(C1 , C2) = r1 + r2
Tangentes interiores
d(C1,C2) = |r1 + r |2
3. Nenhum ponto comum:
Circunferências externas
d(C1 , C2) > r1 + r2
ou
Circunferência interna à outra
0 ≤ d(C1 , C2) < |r1 + r2|
200
Exercício resolvido
1. Verifique nestes itens a posição relativa das duas circunferências dadas. Se forem secantes ou tangentes, 
determine os pontos comuns:
a) x2 + y2 = 30 e (x – 3)2 + y2 = 9
Resolução:
Ao resolver o sistema formado pelas duas equações, obtemos:
x2 + y2 = 30 
(x – 3)2 + y2 = 9 ⇒ x2 + y2 – 6x = 0 ⇒ 30 – 6x = 0 ⇒ 6x = 30 ⇒ x = 5
Ao substituir x na primeira equação, obtemos:
x2 + y2 = 30 ⇒ 52 + y2 = 30 ⇒ y2 = 5 ⇒ y = ± dXX 5 
Logo, as duas circunferências são secantes e seus pontos comuns são (5, dXX 5 ) e (5, – dXX 5 ).
b) x2 + y2 – 20x – 2y + 100 = 0 e x2 + y2 – 2x – 2y – 98 = 0
Resolução:
x2 + y2 – 20x – 2y + 100 = 0
 ⇒
x2 + y2 – 2x – 2y – 98 = 0 ∙ (–1)
x2 + y2 – 20x – 2y + 100 = 0
 
– x2 – y2 + 2x + 2y + 98 = 0
 
–18x + 198 = 0 ⇒ 18x = 198 ⇒ x = 198 ___ 
18
 ⇒ x = 11
Ao substituir x na primeira equação, obtemos:
x2 + y2 – 20x – 2y + 100 = 0 ⇒ 112 + y2 - 20 ⋅ 11 – 2y + 100 = 0 ⇒ y2 – 2y + 1 = 0
∆ = 0
y = 2 ± 0 _____ 
2
 = 1
(11, 1) é o único ponto comum às duas circunferências; portanto, elas são tangentes.
As circunferências tangentes podem ser externas ou internas. É possível determinar sua posição relativa 
por meio da distância entre os centros das circunferências e por meio de seus raios (lembrando que os 
centros das circunferências e o ponto de tangência estão sempre alinhados).
Circunferências tangentes externamente
d(C1, C2) = r1 + r2
ou
___________________
201
Circunferências tangentes internamente
d(C1, C2) = |r1 – r2|
Consideremos a primeira equação:
x2 + y2 – 20x – 2y + 100 = 0 ⇒ x2 – 20x + 100 + y2 – 2y + 1 = –100 + 100 + 1 ⇒
⇒ (x – 10)2 + (y – 1)2 = 12
C1(10, 1) e r1 = 1
Consideremos, agora, a segunda equação:
x2 + y2 – 2x – 2y – 98 = 0 ⇒ x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 = 98 + 1 + 1 ⇒ (x – 1)2 + (y – 1)2 = 102 
C2(1, 1) e r2 = 10
Calculemos a distância entre os centros C1 e C2:
d(C1 , C2) = dXXXXXXXXXXXXXXX (10 – 12) + (1 – 12) = dXXX 81 = 9
Uma vez que os raios medem r1 = 1 e r2 = 10 e 9 = |1 – 10|, o resultado é d(C1, C2) = |r1 – r2|
Logo, as circunferências são tangentes internamente e o ponto comum é (11, 1).
c) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 1 e x2 + y2 = 1
Resolução:
Na circunferência (x + 2)2 + (y – 2)2 = 1, temos C(– 2, 2) e r = 1.
Na circunferência x2 + y2 = 1, temos C (0 , 0) e r = 1.
Ao esboçar o gráfico, vemos que as circunferências não têm ponto comum e são externas:
Resolvamos analiticamente.
Pelo sistema, obtemos:
(x + 2)2 + (y – 2)2 = 1 ⇒ x2 + y2 + 4x – 4y + 4 + 4 – 1 = 0 ⇒ 4x – 4y = –8
 1
 4x – 4y = –8 ⇒ x – y = –2
 x2 + y2 = 1
202
Substituindo x na segunda equação:
x2 + y2 = 1 ⇒ (y – 2)2 + y2 = 1 ⇒ y2 – 4y + 4 + y2 – 1 = 0 ⇒ 2y2 – 4y + 3 = 0
∆ = 16 – 24 = –8 < 0
Se ∆ < 0, não há solução para o sistema e as circunferências não têm ponto comum. Vejamos qual das 
duas situações se verifica:
 
d < r1 + r2 d > r1 + r2
Ao calcular a distância entre os centros C1(–2, 2) e C2(0, 0), obtemos:
d(C1, C2) = dXXXXXXXXXXXXXXX (–2 – 0)2 + (2 – 0)2 = dXX 8 
Uma vez que os raios medem r1 = 1 e r2 = 1 e dXX 8 > 1 + 1, obtemos d > r1 + r2.
Logo, as circunferências são externas.
d) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9 e x2 + y2 – 6x – 4y + 2 = 0
Resolução:
A circunferência (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9 tem C(3, 2) e r = 3.
x2 + y2 – 6x – 4y + 12 = 0 ⇒ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = –12 + 9 + 4 ⇒ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1
Portanto, a circunferência (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1 tem C(3, 2) e r = 1.
203
e.o. teste I
 1. (UFSM) A massa utilizada para fazer pastéis 
folheados, depois de esticada, é recortada em 
círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo 
que a equação matemática da circunferência 
que limita o círculo é x2 + y2 – 4x – 6y – 36 = 0 
e adotando p = 3,14, o diâmetro de cada dis-
co e a área da massa utilizada para confec-
cionar cada pastel são, respectivamente:
a) 7 e 113,04. 
b) 7 e 153,86. 
c) 12 e 113,04. 
d) 14 e 113,04. 
e) 14 e 153,86. 
 2. (UFRGS) A área de um quadrado inscrito na 
circunferência de equação x2 – 2y + y2 = 0 é:
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) dXX 2 .
d) 2.
e) 2 dXX 2 .
 3. (Enem) A figura mostra uma criança brin-
cando em um balanço no parque. A corda 
que prende o assento do balanço ao topo do 
suporte mede 2 metros. A criança toma cui-
dado para não sofrer um acidente, então se 
balança de modo que a corda não chegue a 
alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que 
contém a trajetória do assento do balanço, 
no qual a origem está localizada no topo do 
suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao 
chão do parque, e o eixo Y tem orientação 
positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assen-
to do balanço é parte do gráfico da função: 
a) f(x) = – dXXXXXX 2 – x2 .
b) f(x) = dXXXXXX 2 – x2 .
c) f(x) = x2 – 2.
d) f(x) = – dXXXXXX 4 – x2 .
e) f(x) = dXXXXXX 4 – x2 .
 4. (UFSM) Uma antena de telefone celular 
rural cobre uma região circular de área igual 
a 900 p km2. Essa antena está localizada no 
centro da região circular e sua posição no 
sistema cartesiano, com medidas em quilô-
metros, é o ponto (0, 10).
Assim, a equação da circunferência que deli-
mita a região circular é: 
a) x2 + y2 – 20y – 800 = 0.
b) x2 + y2 – 20y + 70 = 0.
c) x2 + y2 – 20x – 800 = 0.
d) x2 + y2 – 20y – 70 = 0.
e) x2 + y2 = 900.
 5. (UFT) Considere as equações das circunfe-
rências 
C1: x
2 – 2x + y2 – 2y = 0
C2: x
2 – 4x + y2 – 4y = 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
A área da região hachurada é:
a) 3p unidades de área. 
b) p unidades de área. 
c) 5p unidades de área. 
d) 6p unidades de área. 
e) p __ 2 unidades de área. 
 6. (UFPR) Considerando a circunferência C de 
equação (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5, avalie as se-
guintes afirmativas:
1. O ponto P(4, 2) pertence a C.
2. O raio de C é 5.
3. A reta y = 4 __ 3 xpassa pelo centro de C. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
 7. (UFSJ) No plano cartesiano, a reta de equa-
ção 2y = x + 2 intercepta o eixo y no ponto C.
A equação da circunferência que tem centro 
em C e raio 2 é:
a) x2 + y2 – 2x – 3 = 0.
b) x2 + y2 – 2y – 3 = 0.
c) x2 + y2 + 2y – 3 = 0.
d) x2 + y2 + 2x – 3 = 0.
204
 8. (PUC-RS) A distância entre o centro da cir-
cunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 
9 e a reta de equação 2 y + 5 x = 0 é: 
a) 5. 
b) 0. 
c) 2. 
d) 5. 
e) 9. 
 9. (UFRGS) Um círculo tangencia a reta r, como 
na figura abaixo.
O centro do círculo é o ponto (7, 2) e a reta 
r é definida pela equação 3x – 4y + 12 = 0.
A equação do círculo é:
a) (x – 7)2 + (y – 2)2 = 25.
b) (x + 7)2 + (y + 2)2 = 25.
c) (x – 7)2 + (y + 2)2 = 36.
d) (x – 7)2 + (y – 2)2 = 36.
e) (x + 7)2 + (y – 2)2 = 36.
 10. (UFRGS) Na figura abaixo, o círculo está ins-
crito no triângulo equilátero.
Se a equação do círculo é x2 + y2 = 2y, então, 
o lado do triângulo mede: 
a) 2.
b) 2 dXX 3 .
c) 3.
d) 4.
e) 4 dXX 3 .
 11. (Cefet MG) Considere as circunferências
λ1: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 5 e
λ2: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9.
A área do triângulo, cujos os vértices são os 
centros dessas circunferências, e o ponto 
P ( 0, 5 __ 2 ) , em unidades de área, é igual a:
a) 13 ___ 2 .
b) 11 ___ 2 .
c) 9 __ 4 .
d) 7 __ 4 .
e) 5 __ 4 .
 12. (FGV) No plano cartesiano, uma circunferên-
cia tem centro C(5, 3) e tangencia a reta de 
equação 3x + 4y – 12 = 0.
A equação dessa circunferência é:
a) x2 + y2 – 10x – 6y + 25 = 0.
b) x2 + y2 – 10x – 6y + 36 = 0.
c) x2 + y2 – 10x – 6y + 49 = 0.
d) x2 + y2 + 10x + 6y + 16 = 0.
e) x2 + y2 + 10x + 6y + 9 = 0.
 13. (Unicamp) No desenho abaixo, que não está 
em escala, a reta y = 3x é perpendicular à 
reta que passa pelo ponto (2, 0). O ponto 
de interseção dessas retas é A. A equação da 
circunferência com centro em A e tangente 
ao eixo x é dada por:
.
a) ( x – 1 __ 5 ) 2 + ( y – 3 __ 5 ) 2 = 3 __ 5 . 
b) ( x – 3 __ 5 ) 2 + ( y – 1 __ 5 ) 2 = 1 __ 5 .
c) ( x – 1 __ 5 ) 2 + ( y – 3 __ 5 ) 2 = 9 ___ 25 . 
d) ( x – 3 __ 5 ) 2 + ( y – 1 __ 5 ) 2 = 1 ___ 25 .
 14. (Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x 
+ 6y = 0 e x2 + y2 – 16x – 12y = 0 são: 
a) exteriores. 
b) secantes. 
c) tangentes internamente. 
d) tangentes externamente. 
e) concêntricas. 
 15. (UECE) No plano, com o sistema de coorde-
nadas cartesianas ortogonal usual, a reta 
tangente à circunferência x2 + y2 = 1 no pon-
to ( 1 __ 2 , √
__
 3 ___ 2 ) intercepta o eixo y no ponto: 
a) ( 0, 2 ___ 
 dXX 3 
 ) .
b) (0, dXX 3 ).
205
c) (0, 2 dXX 3 ).
d) ( 0, 1 ___ 
 dXX 3 
 ) .
 16. (UEPB) Uma circunferência e uma reta têm 
equações cartesianas x2 + y2 = r2 e x + y = 4 
respectivamente, e são tangentes em um 
ponto P do sistema de eixos cartesianos xy. A 
área em cm2 da região entre os dois gráficos 
e os semieixos positivos é:
a) 2(4 – p). 
b) 4(2 – p).
c) 2(p – 4).
d) 4(2 + p).
e) 2(4 + p).
 17. (Fuvest) O segmento AB é diâmetro da cir-
cunferência de equação x2 + y2 = 10y. Se A é 
o ponto (3, 1), então B é o ponto: 
a) (–3, 9). 
b) (3, 9). 
c) (0, 10). 
d) (–3, 1). 
e) (1, 3). 
 18. (ESPM) As coordenadas do centro e a medida 
do raio da circunferência de equação x2 – 4x 
+ (y + 1)2 = 0 são, respectivamente: 
a) (–2, 1) e 4.
b) (2, – 1) e 2.
c) (4, – 1) e 2.
d) (–1, 2) e dXX 2 .
e) (2, 2) e dXX 2 .
 19. (Fgv-RJ) No plano cartesiano, os pontos A 
(1, 2) e B (–2, –2) são extremidades de um 
diâmetro de uma circunferência; essa cir-
cunferência intercepta o eixo das abscissas 
em dois pontos. Um deles é: 
a) (4, 0).
b) ( 7 __ 2 , 0 ) .
c) (3, 0).
d) ( 5 __ 2 , 0 ) .
e) (2,0).
 20. (Mackenzie) Vitória-régia é uma planta aquá-
tica típica da região amazônica. Suas folhas 
são grandes e têm formato circular, com uma 
capacidade notável de flutuação, graças aos 
compartimentos de ar em sua face inferior.
Em um belo dia, um sapo estava sobre uma 
folha de vitória-régia, cuja borda obedece à 
equação x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0, apreciando 
a paisagem ao seu redor. Percebendo que a 
folha que flutuava à sua frente era maior e 
mais bonita, resolveu pular para essa folha, 
cuja borda é descrita pela equação x2 + y2 – 
2x – 3y + 1 = 0.
A distância linear mínima que o sapo deve per-
correr em um salto para não cair na água é: 
a) 2 ( dXX 2 – 1). 
b) 2. 
c) 2 dXX 2 . 
d) dXX 2 – 2.
e) dXX 5 .
e.o. teste II
 1. O ponto da circunferência x2 + y2 + 2x + 6y + 
1 = 0 que tem ordenada máxima é: 
a) (0, –6) 
b) (–1, –3)
c) (–1, 0)
d) (2, 3)
e) (2, –3)
 2. (UFTM) Sabe-se que M, ponto médio do seg-
mento AB, é centro de uma circunferência 
que passa pela origem (0, 0). Sendo A(–1, 4) 
e B(5, 2), conclui-se que o raio dessa circun-
ferência é igual a: 
a) 4 dXX 5 .
b) 3 dXX 5 .
c) 3 dXX 2 .
d) dXXX 17 .
e) dXXX 13 .
 3. (UFRGS) Observe, abaixo, o círculo represen-
tado no sistema de coordenadas cartesianas. 
Uma das alternativas a seguir apresenta a 
equação desse círculo. Essa alternativa é: 
a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10. 
b) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13. 
c) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13. 
d) (x – 2)2 + y2 = 10. 
e) x2 + (y + 3)2 = 13. 
 4. (CEFET MG) Em um plano, uma reta que pas-
sa pelo ponto P(8,10) tangencia a circunfe-
rência x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 no ponto A. 
A medida do segmento PA, em unidades de 
comprimento, é: 
a) dXXX 12 .
b) dXXX 34 .
c) dXXX 45 .
d) dXXX 69 .
e) dXXX 85 .
206
 5. (UPF) Sabendo que o ponto P(4,1) é o ponto 
médio de uma corda AB da circunferência x2 
– 6x + y2 + 4 = 0, então a equação da reta que 
passa por A e B é dada por:
a) y = –x + 5.
b) y = x + 5.
c) y = –x + 3.
d) y = x – 3.
e) y = – 1 __ 2 x + 5.
 6. (FGV) No plano cartesiano, a reta tangente 
à circunferência de equação x2 + y2 = 8, no 
ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a 
reta de equação y = 2x no ponto: 
a) ( 7 ___ 16 , 14 ___ 6 ) .
b) ( 6 __ 5 , 12 ___ 5 ) .
c) ( 5 __ 4 , 10 ___ 4 ) .
d) ( 4 __ 3 , 8 __ 3 ) .
e) ( 3 __ 2 , 3 ) .
 7. (UFRGS) Os pontos de interseção do círculo 
de equação (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 com os 
eixos coordenados são vértices de um triân-
gulo. A área desse triângulo é: 
a) 22.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
 8. (ITA) Seja C uma circunferência tangente si-
multaneamente às retas r: 3x + 4y – 4 = 0 e 
s: 3x + 4y – 19 = 0. A área do círculo deter-
minado por C é igual a: 
a) 5p ___ 7 .
b) 4p ___ 5 .
c) 3p ___ 2 .
d) 8p ___ 3 .
e) 9p ___ 4 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
No plano cartesiano, considere o triân-
gulo ABC, sendo A = (0,0), B = (3 dXX 3 , 3) e 
C = (0,6).
 9. (Insper) Uma equação da circunferência cir-
cunscrita ao triângulo ABC é:
a) (x – dXX 3 )2 + (y – 3)2 = 12.
b) (x – dXX 3 )2 + (y – 3)2 = 9.
c) ( x – 3 dXX 3 ____ 2 ) 2 + (y – 3)2 = 27 ___ 4 .
d) (x – 3)2 + (y – dXX 3 )2 = 9.
e) (x – 3)2 + ( y – 3 dXX 3 ____ 2 ) 2 = 27 ___ 4 .
 10. Considere a circunferência (λ) x2 + y2 – 4x = 
0 e o ponto P (1, dXX 3 ). Se a reta t é tangente 
a λ no ponto P, então a abscissa do ponto 
de intersecção de t com o eixo horizontal do 
sistema de coordenadas cartesianas é: 
a) –2.
b) 2 + dXX 3 .
c) 3.
d) 3 + dXX 3 .
e) 3 + 3 dXX 3 .
 11. (Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a circun-
ferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de 
abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas 
condições, o raio de C vale: 
a) dXX 5 . 
b) 2 dXX 5 . 
c) 5. 
d) 3 dXX 5 . 
e) 10. 
 12. (UPE) Em um sistema de coordenadas car-
tesianas ortogonais, os pontos A (–2, 4), 
B (6, –2) e C (-2,-2) são os vértices do triân-
gulo ABC. Qual a equação da circunferência 
circunscrita a esse triângulo?
a) x2 – 12x+ y2 – 16y + 100 = 0
b) x2 – 4x + y2 – 2y – 95 = 0
c) x2 – 4x + y2 – 4y – 92 = 0
d) x2 – 4x + y2 – 4y – 17 = 0 
e) x2 – 4x + y2 – 2y – 20 = 0
 13. (UFPB) O Governo pretende construir arma-
zéns com o intuito de estocar parte da pro-
dução da safra de grãos, de modo que não 
haja desperdícios por situações adversas. A 
seção transversal da cobertura de um desses 
armazéns tem a forma de um arco de circun-
ferência, apoiado em colunas de sustentação 
que estão sobre uma viga. O comprimento 
dessa viga é de 24 m e o comprimento da 
maior coluna de sustentação é de 8 m, con-
forme figura a seguir.
Considerando um sistema cartesiano de ei-
xos ortogonais xy, com origem no ponto C, 
de modo que o semieixo x positivo esteja na 
direção CD e o semieixo y positivo apontan-
do para cima, é correto afirmar que a equa-
ção da circunferência que contém o arco CD 
da seção transversal do telhado, com relação 
ao sistema de eixos xy, é dada por: 
207
a) (x −12)2 + (y + 5)2 = 169. 
b) (x −12)2 + (y − 7)2 = 193. 
c) (x −12)2 + (y − 6)2 = 180. 
d) (x −12)2 + (y + 6)2 = 180. 
e) (x −12)2 + (y − 5)2 = 169. 
 14. (Fuvest) São dados, no plano cartesiano, o 
ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunfe-
rência C de equação (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1. 
Uma reta t passa por P e é tangente a C em 
um ponto Q. Então, a distância de P a Q é: 
a) dXXX 15 .
b) dXXX 17 .
c) dXXX 18 .
d) dXXX 19 .
e) dXXX 20 . 
 15. (FGV) No plano cartesiano, a circunferência 
que passa pelos pontos A(2, 0), B(0, 3) e 
pela origem O(0, 0) intercepta a reta y = x 
em dois pontos. Um deles tem coordenadas 
cuja soma é: 
a) 5.
b) 4,5.
c) 4. 
d) 3,5.
e) 3.
 16. (Acafe) O comprimento da corda determina-
da pela reta x – y = 2 sobre a circunferência, 
cujo centro é (2, 3) e o raio mede 3 cm é 
igual a: 
a) 4 dXX 2 cm.
b) 5 dXX 3 cm. 
c) 4 cm.
d) 3 dXX 2 cm.
 17. (Insper) Os pontos A (–1, –3) e B (6, –2) 
pertencem a uma circunferência do plano 
cartesiano, cujo centro é o ponto C. Se a 
área do triângulo ABC é 25 ___ 2 , então a medida 
do raio dessa circunferência é igual a: 
a) 5. 
b) 5 dXX 2 .
c) 5 dXX 3 . 
d) 10. 
e) 10 dXX 2 .
 18. (ESPM) Seja C a região do plano cartesiano 
definida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2 
≤ 4 e seja P a região definida por x ≥ 2 ou y ≥ 
2. A área da região intersecção entre C e P é: 
a) p. 
b) 2p. 
c) 3p. 
d) 4p. 
e) 5p.
 19. (Mackenzie) Os pontos (x, y) do plano tais 
que x2 + y2 ≤ 36, com x + y ≥ 6 definem uma 
região de área: 
a) 6(p – 2). 
b) 9 – p.
c) 9(p – 2).
d) 6 – p.
e) 18(p – 2).
 20. (Unemat) Dada uma circunferência de 
centro C (3; 1) e raio r = 5 e, seja o ponto 
P (0; a), com a ∈ R, é correto afirmar:
a) Se –3 < a < 5, então P é externo à circunfe-
rência. 
b) Se –3 < a < 5, então P é pertence à circunfe-
rência. 
c) Se a = 5 ou a = –3, então P é interno à cir-
cunferência. 
d) Se a < –3 ou a > 5, então P é externo à cir-
cunferência. 
e) Se a < –3 ou a > 5, então P é interno à cir-
cunferência. 
e.o. teste III
 1. (Fuvest) A equação x2 + 2x + y2 + my = n, em 
que m e n são constantes, representa uma 
circunferência no plano cartesiano. Sabe-se 
que a reta y = –x + 1 contém o centro da cir-
cunferência e a intersecta no ponto (–3, 4). 
Os valores de m e n são, respectivamente:
a) –4 e 3. 
b) 4 e 5. 
c) –4 e 2.
d) –2 e 4. 
e) 2 e 3.
 2. (UDESC) Considerando que as retas y = – x + 
4, y = – x, y = x – 2 e y = x + 2 tangenciam 
a circunferência C, é correto afirmar que a 
equação de C é:
a) (x + 1)2 + (y + 1)2 = dXX 2 . 
b) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 2. 
c) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.
d) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2. 
e) (x – 1)2 + (y - 1)2 = dXX 2 . 
 3. (Fuvest) No plano cartesiano, os pontos (0, 
3) e (–1, 0) pertencem à circunferência C. 
Uma outra circunferência, de centro em 
(–1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3). 
Então, o raio de C vale: 
a) 
dXX 5 ___ 8 .
b) 
dXX 5 ___ 4 .
c) 
dXX 5 ___ 2 .
d) 3 dXX 5 ____ 4 .
e) dXX 5 .
208
 4. (Fuvest) No plano cartesiano x0y, a reta de 
equação x + y = 2 é tangente à circunferência 
C no ponto (0, 2).
Além disso, o ponto (1, 0) pertence a C. En-
tão, o raio de C é igual a:
a) 3 dXX 2 ____ 2 .
b) 5 dXX 2 ____ 2 .
c) 7 dXX 2 ____ 2 .
d) 9 dXX 2 ____ 2 .
e) 11 dXX 2 _____ 2 .
 5. (FGV) No plano cartesiano, há duas retas pa-
ralelas à reta de equação 3x + 4y + 60 = 0 e 
que tangenciam a circunferência x2 + y2 = 4.
Uma delas intercepta o eixo y no ponto de 
ordenada:
a) 2,9. 
b) 2,8. 
c) 2,7. 
d) 2,6. 
e) 2,5. 
 6. (Unisc) A equação x2 + Ay2 + Bxy + 2x – 4y 
+ C = 0 representa uma circunferência, cujo 
diâmetro mede 10 unidades de distância. 
Esta afirmação nos permite determinar o va-
lor dos coeficientes reais A, B e C e também 
garantir que a expressão A – B – C é igual a: 
a) –20. 
b) –10. 
c) 11. 
d) 21. 
e) 30. 
 7. (Fuvest) Considere, no plano cartesiano Oxy, 
a circunferência C de equação (x – 2)2 + (y 
– 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C 
tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, 
de base PQ, e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a: 
a) 2 dXX 2 – 2.
b) 2 dXX 2 – 1.
c) 2 dXX 2 .
d) 2 dXX 2 + 2.
e) 2 dXX 2 + 4.
 8. (AFA) Considerando a circunferência de 
equação λ: x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0, é correto 
afirmar que: 
a) l é concêntrica com a: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1.
b) o ponto O(0, 0) é exterior a l. 
c) a reta r: x – y + 3 = 0 é tangente a l. 
d) l é simétrica da circunferência b: (x – 1)2 + 
(y + 2)2 = 9, em relação ao ponto O (0, 0).
 9. (Fuvest) A circunferência dada pela equação 
x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos 
coordenados x e y nos pontos A e B, confor-
me a figura.
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e 
contém o centro C da circunferência. É correto 
afirmar que a área da região hachurada vale:
 
a) p – 2.
b) p + 2. 
c) p + 4. 
d) p + 6. 
e) p + 8. 
 10. (ESPM) A circunferência de equação (x + 1)2 
+ (y – 1)2 = 1 tangencia os eixos coordena-
dos nos pontos A e B. A circunferência λ, de 
centro C, passa pelo ponto B e tangencia o 
eixo das abscissas no ponto D.
Se os pontos A, B e C estão alinhados, po-
demos concluir que a abscissa do centro C é 
igual a: 
a) 2 + dXX 2 .
b) 1 + dXX 2 .
c) 2 dXX 2 – 1.
d) 2 dXX 2 + 1.
e) 2 dXX 2 . 
e.o. dIssertatIvo
 1. (UERJ) Um objeto de dimensões desprezí-
veis, preso por um fio inextensível, gira no 
sentido anti-horário em torno de um ponto 
O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja 
equação é x2 + y2 = 25. Observe a figura:
209
Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P(4, 3). A partir 
desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P.
Determine a equação dessa reta. 
 2. (UFJF) No plano cartesiano, considere os pontos A(–1, 2) e B (3, 4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, 
medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determi-
nado pela intersecção das retas r e s.
c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(2, 1) e tangencia as retas r e s. 
 3. (Unicamp) Considere a família de retas no 
plano cartesiano descrita pela equação (2 – 
p)x + (2p + 1)y + 8p + 4 = 0, nas variáveis x 
e y, em que p é um parâmetro real.
a) Determine o valor do parâmetro p para que 
a reta correspondente intercepte perpendi-
cularmente o eixo y. Encontre o ponto de 
interseção neste caso.
b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa famí-
lia para p = 1. Denote por A o seu ponto de 
interseção com o eixo x e por O a origem do 
plano cartesiano. Exiba a equação da circun-
ferência em que o segmento OA é um diâme-
tro. 
 4. (UFTM) Na figura, as retas r e s estão repre-
sentadas no plano cartesiano, e P é o ponto 
de intersecção entre elas.
Determine:
a) As equaçõesdas retas r e s.
b) A equação e o perímetro da circunferência 
de centro P que tangencia o eixo das orde-
nadas. 
 5. (Unicamp) Suponha um trecho retilíneo de 
estrada, com um posto rodoviário no quilô-
metro zero. Suponha, também, que uma es-
tação da guarda florestal esteja localizada a 
40 km do posto rodoviário, em linha reta, e 
a 24 km de distância da estrada, conforme a 
figura a seguir.
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A 
área de cobertura da primeira antena, loca-
lizada na estação da guarda florestal, corres-
ponde a um círculo que tangencia a estrada. 
O alcance da segunda, instalada no posto 
rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto 
da estrada que está mais próximo da estação 
da guarda florestal. Explicite as duas desi-
gualdades que definem as regiões circulares 
cobertas por essas antenas, e esboce essas re-
giões no gráfico abaixo, identificando a área 
coberta simultaneamente pelas duas antenas.
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por 
uma única antena, mais potente, a ser insta-
lada em um ponto da estrada, de modo que 
as distâncias dessa antena ao posto rodovi-
ário e à estação da guarda florestal sejam 
iguais. Determine em que quilômetro da es-
trada essa antena deve ser instalada. 
210
 6. (UFPR) Uma reta passando pelo ponto P(16 
– 3) é tangente ao círculo x2 + y2 = r2 em um 
ponto Q. Sabendo que a medida do segmento 

 PQ é de 12 unidades, calcule:
a) a distância do ponto P à origem do sistema 
cartesiano; 
b) a medida do raio r da circunferência.
 7. (Fuvest) Considere a circunferência l de 
equação cartesiana x2 + y2 – 4y = 0 e a pará-
bola a de equação y = 4 – x2.
a) Determine os pontos pertencentes à interse-
ção de l com a.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de 
respostas, a circunferência l e a parábola a. 
Indique, no seu desenho, o conjunto dos pon-
tos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, 
as inequações x2 + y2 – 4y ≤ 0 e y ≥ 4 – x2.
 8. (Fuvest) No sistema ortogonal de coordena-
das cartesianas Oxy da figura, estão repre-
sentados a circunferência de centro na ori-
gem e raio 3, bem como o gráfico da função 
 y = 
dXX 8 ___ 
|x|
 .
Nessas condições, determine:
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de in-
tersecção da circunferência com o gráfico da 
função.
b) a área do pentágono OABCD. 
 9. (Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a cir-
cunferência C tem centro no ponto A = 
(–5, 1) e é tangente à reta t de equação 
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o 
ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) determine as coordenadas do ponto P.
b) escreva uma equação para a circunferência C.
c) calcule a área do triangulo APQ. 
 10. (UERJ) Um disco metálico de centro O e di-
âmetro AB = 4 dm, utilizado na fabricação 
de determinada peça, é representado pelo 
seguinte esquema:
PJ
cortes retilíneos
PK



M − ponto médio do raio OB
N − ponto médio do raio AO
P − ponto médio do raio OC
J − intersecção da semirreta PM com a cir-
cunferência
K − intersecção da semirreta PN com a cir-
cunferência
Calcule a distância entre os pontos J e K. 
211
 11. (Unifesp) Considere o sistema de inequa-
ções
 x2 + y2 – 2x ≥ 0
 (x–1)2 + ( y – 
dXX 3 ___ 2 ) 2 ≤ 1 __ 4 
a) Represente graficamente, em sistema carte-
siano de eixos ortogonais, a solução desse 
sistema de inequações.
b) Calcule a área da superfície que representa a 
solução gráfica do sistema de inequações. 
 12. (FGV) Um funcionário do setor de planeja-
mento da Editora Progresso verificou que as 
livrarias dos três clientes mais importantes 
estão localizadas nos pontos A(0, 0) B(1, 7) 
e C (8, 6), sendo que as unidades estão em 
quilômetros.
a) Em que ponto P(x, y) deve ser instalado um 
depósito para que as distâncias do depósito 
às três livrarias sejam iguais?
b) Qual é a área do quadrado inscrito na circun-
ferência que contém os pontos A, B e C?
 13. (UFPR) A figura a seguir mostra uma circun-
ferência tangente ao eixo y, com centro C so-
bre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.
a) Sabendo que A = (8, 4) e que r: 3y + x = 20 
é a reta que passa por A e B, calcule a área 
do triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indica-
do na figura acima, no qual a reta r intercep-
ta a circunferência. 
 14. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos a circun-
ferência com equação x2 + y2 + 6x + 8y = 75 e 
a reta passando pela origem e pelo centro 
da circunferência. Determine o ponto da cir-
cunferência mais distante da origem e indi-
que esta distância.
 15. (Fuvest) São dados, no plano cartesiano 
de origem O, a circunferência de equação 
x2 + y2 = 5, o ponto P = (1, dXX 3 ) e a reta s que 
passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o 
ponto de ordenada positiva em que a reta s 
intercepta a circunferência.
Assim sendo, determine:
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo 
OPE. 
 16. (UFPE) Uma circunferência tem centro no 
primeiro quadrante, passa pelos pontos com 
coordenadas (0, 0) e (4, 0) e é tangente, in-
ternamente, à circunferência com equação 
x2 + y2 = 64. Abaixo, estão ilustradas as duas 
circunferências.
Indique o inteiro mais próximo da soma das 
coordenadas do ponto de interseção das duas 
circunferências. 
17. (UFRJ) Os pontos (–6, 2), (3,–1), e 
( –5, –5) pertencem a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência. 
18. (UFJF) Considere a circunferência λ: x2 + y2 – 
4x – 6y – 3 = 0 e a reta r: x + y = 0.
a) Determine a equação da reta que passa pelo 
centro da circunferência λ e é perpendicular 
à reta r.
b) Determine a equação da circunferência con-
cêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. 
 19. (Fuvest) 
a) As extremidades de um diâmetro de uma cir-
cunferência são (–3, 1) e (5, –5). Determine 
a equação da circunferência.
b) Determine a equação da circunferência que 
passa pelo ponto (9, dXX 3 ) e que é tangente às 
retas y = 0 e y = dXX 3x 
 20. (Uema) O proprietário de um lote, visando a 
sua ornamentação, dividiu-o em área circu-
lar, tendo subdividido-o em dois triângulos 
idênticos opostos, inscritos no círculo, cujos 
vértices são A(–14, 9), B(–4, 9) e C (–9, 14), 
sendo AB o diâmetro da circunferência.
Considerando as condições descritas e as 
medidas em metros: 
212
a) faça a ilustração gráfica desse lote no siste-
ma cartesiano ortogonal do plano. 
b) calcule a equação da circunferência. 
c) determine a área correspondente aos triân-
gulos idênticos.
GabarIto
E.O. Teste I
1. E 2. D 3. D 4. A 5. D
6. E 7. B 8. B 9. A 10. B
11. A 12. A 13. C 14. D 15. A
16. A 17. A 18. B 19. E 20. A
E.O. Teste II
1. C 2. E 3. C 4. D 5. A
6. D 7. B 8. E 9. A 10. A
11. C 12. E 13. A 14. D 15. A
16. D 17. A 18. C 19. C 20. D
E.O. Teste III
1. A 2. D 3. E 4. B 5. E
6. D 7. D 8. D 9. B 10. B
E.O. Dissertativo
 1. y = – 4 __ 3 x + 25 ___ 3 
 2. 
a) y = –x + 1
b) P(0, 1)
c) (x – 2)2 + (y – 1)2 = ( dXX 2 2) à
 à (x – 2)2 + (y – 1)2 = 2
 3. 
a) p = 2
 Logo, a reta intercepta o eixo y no ponto 
(0, –4).
b) (x + 6)2 + y2 = 36 
 4. 
a) A equação da reta r é dada por:
 x + y = 6.
 A equação da reta r é dada por:
 x – y = 2.
b) O perímetro mede 2p · 2 = 8p u.c.
 Sua equação é:
 (x – 4)2 + (y – 2)2 = 16.
 5. 
a) Se o posto rodoviário encontra-se na ori-
gem do sistema de coordenadas cartesia-
nas, e a estrada está sobre o eixo das abs-
cissas, temos que o pé da perpendicular 
baixada do ponto (a, 24) sobre o eixo das 
abscissas determina um triângulo retân-
gulo com a origem. Aplicando o teorema 
de Pitágoras, podemos calcular a abscissa 
do ponto (a, 0): 
 402 = 242 + a2 ä a = 32.
 Daí, segue que a região de alcance da an-
tena situada na estação da guarda flores-
tal é dada por:
 (x – 32)2 + (y – 24)2 ≤ 242.
 Sabendo que o alcance da antena situa-
da no posto rodoviário atinge, sem ultra-
passar, o ponto da estrada que está mais 
próximo da estação da guarda florestal, 
temos queesse ponto é (32, 0) e, por-
tanto, a região de alcance da segunda an-
tena é dada por x2 + y2 ≤ 322.
b) 25 km
 6. 
a) dXXXX 265 
b) 11 u.c.
213
 7. 
a) (0, 4) ou (± dXX 3 , 1)
b) 
 
 8. 
a) A(2 dXX 2 ; 1), B(1; 2 dXX 2 ), C (–1; 2 dXX 2 ) e 
D(–2 dXX 2 ; 1)
b) 7 + 2 dXX 2 
 9. 
a) P(–1, –2)
b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
c) 25 ___ 4 u.a. 
 10. (1 + dXX 7 ) dm
 11. 
a) 
b) 6 dXX 3 – p
 ________ 24 u.a.
 12. 
a) (4, 3)
b) 50 km2 
 13. 
a) 30 unidades quadradas
b) x = 5 e y = 5.
 14. O ponto da circunferência mais distante da 
origem é (–9, –12) e sua distância ao ponto 
de intersecção dos eixos cartesianos vale 15.
 15. 
a) x + 2y – 5 = 0
b) (2 dXX 3 + 1; 0)
 16. 11
 17. 5
 18 
a) x – y = –1
b) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 ___ 2 
 19. 
a) (x – 1)2 + (y + 2) 2 = 25
b) l1: (x – 6)2 + (y – 2 dXX 3 )2 = 12
 l2: (x – 14)2 + ( y – 14 √
__
 3 _____ 3 ) 2 = 196 ____ 3 
 20. 
a) Considere a figura.
b) (x + 9)2 + (y – 9)2 = 25
c) 50 m2
Elipse
Aulas 51 e 52
215
Origem
Consideremos um cone circular reto. Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo, que intersecte todas as 
geratrizes do cone, monta-se um corte como este:
Se o plano for paralelo ao
plano da base, obtemos uma
circunferência, que também
é uma secção cônica.
Nesse caso, a secção cônica obtida é chamada elipse.
Definição e elementos
Consideremos, inicialmente no plano do papel, dois pontos fixos F1 e F2, tais que a distância entre eles seja 2c:
Suponha que vamos marcar uma série de pontos, tal que a soma das distâncias deles aos pontos fixos F1 e F2 
seja sempre constante e maior que 2c. Na prática, isso pode ser feito com o auxílio de um lápis, dois alfinetes e barbante.
Ao construir o gráfico ponto a ponto, teremos:
AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = … = JF1 + JF2 = … = LF1 + LF2 = … = 2a (constante), da qual 2a > 2c.
216
A elipse é o conjunto de todos os pontos do plano que satisfazem essa propriedade.
A elipse, portanto, é o lugar geométrico dos pontos de um plano, tal que a soma de suas distâncias a dois 
pontos fixos, denominados focos F1 e F2, seja constante, igual à 2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c).
Na figura temos:
 § F1 e F2, focos da elipse, cuja distância entre eles é a distância focal (2c);
 § 

 A1A2 , eixo maior da elipse, cuja medida é a soma que consta da definição (2a);
 § 

 B1B2 , eixo menor da elipse, cuja medida é 2b;
 § o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de 

 F1F2 , 

 A1A2 e 

 B1B2 ); e
 § o número e = c __ a , chamado excentricidade da elipse (0 < e < 1).
Observação
1.  B1B2 ≅ 

 OA2 , uma vez que ambos têm medida a.
2. No DB1OF2 podemos notar que b2 + c2 = a2. Essa relação é fundamental na determinação dos elementos da 
elipse.
Equação da elipse
Consideremos a elipse com as extremidades do eixo maior nos pontos A1(–a, 0) e A2(a, 0) do eixo menor em B1(0, 
b) e B2(0, –b) e, consequentemente, centro em O(0, 0).
Consideremos um ponto P(x, y) qualquer da curva.
217
De acordo com a definição, observamos que:
PF1 + PF2 = A1F1 + A1F2 = A1A2 = 2a
Em razão disso, temos
PF2 + PF1 = 2a ⇒ dXXXXXXXXXXXXXX (x – c)2 + (y – 0)2 + dXXXXXXXXXXXXXX (x + c)2 + (y – 0)2 = 2a
Se essa igualdade for desenvolvida e se a2 – c2 for substituído por b2 (relação fundamental da elipse), ob-
temos:
 x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1
da qual a = OA1 = OA2, c = OF1 = OF2 e b tal que b2 = a2 – c2. Essa equação é denominada equação redu-
zida da elipse de focos nos eixos x e centro na origem.
Observe:
Se os focos da elipse estiverem sobre o eixo y e o centro, na origem, conforme a figura, a equação reduzida 
da elipse é dada por:
 x
2
 __ 
b2 + 
y2
 __ 
a2 = 1
Por analogia, chegamos às equações da elipse com um centro qualquer, O(x0, y0), e os eixos paralelos aos 
eixos x e y:
218
1. 

 F1F2 é paralelo ao eixo x, a = OA1, b = OB1 e a > b.
 
(x – x0)
2
 ______ 
a2 + 
(y – y0)
2
 ______ 
b2 = 1
2. 

 F1F2 é paralelo ao eixo x, a = AO1, b = OB1 e a > b.
 
(x – x0)
2
 ______ 
b2 + 
(y – y0)
2
 ______ 
a2 = 1
Exercícios resolvidos
1. Determine a equação da elipse de focos F1(3, 0) e F2(–3, 0) e vértice 2, que são as extremidades do eixo 
maior A1(5, 0) e A2(–5, 0).
Resolução:
De acordo com os dados, os focos estão no eixo x e temos:
a = 5 e c = 3
a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = b2 + 9 ⇒ b2 = 16
Nesse caso, a equação reduzida é:
 x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1 ⇒ x
2
 ___ 
25
 + 
y2
 ___ 
16
 = 1
Logo, a equação procurada é x
2
 ___ 
25
 + 
y2
 ___ 
16
 = 1
219
2. Conhecendo os focos F1(0, dXX 3 ) e F2(0, – dXX 3 ) e a excentricidade e = 1 __ 
2
 , determine a equação da elipse.
Resolução:
De acordo com os dados do problema, temos:
c = dXX 3 
e = c __ a = 1 __ 
2
 ⇒ a = 2c = 2 dXX 3 
a2 = b2 + c2 ⇒ (2 dXX 3 )2 = b2 + ( dXX 3 )2 ⇒ 12 = b2 + 3 ⇒ b2 = 9
Os focos estão localizados no eixo y. Em razão disso:
 x
2
 __ 
b2 + 
y2
 __ 
a2 = 1 ⇒ x
2
 __ 
9
 + 
y2
 ___ 
12
 = 1 ⇒ 4x2 + 3y2 = 36
Logo, a equação procurada é x
2
 __ 
9
 + 
y2
 ___ 
12
 = 1 ou 4x2 + 3y2 = 36.
3. Numa elipse, as extremidades do eixo maior são os pontos A1(6, 0) e A2(–6, 0). Sabendo que a elipse passa 
pelo ponto P(3, 2), determine sua equação.
Resolução:
De acordo com os dados do problema, temos a = 6.
Uma vez que o eixo maior está sobre o eixo x, temos:
 x
2
 __ 
b2 + 
y2
 __ 
a2 = 1 ⇒ x
2
 ___ 
36
 + 
y2
 __ 
b2 = 1
Uma vez que a elipse passa pelo ponto P(3, 2), temos:
 9 ___ 
36
 + 4 __ 
b2 = 1 ⇒ 1 __ 
4
 + 4 __ 
b2 = 1 ⇒ 4 __ 
b2 = 3 __ 
4
 ⇒ b2 = 16 ___ 
3
 
Ao substituir a equação original, obtemos:
 x
2
 ___ 
36
 + 
y2
 ___ 
 16 ___ 
3
 
 = 1 ⇒ x
2
 ___ 
36
 + 
3y2
 ___ 
16
 = 1 ⇒ 4x2 + 27y2 = 144
Logo, a equação procurada é x
2
 ___ 
36
 + 
3y2
 ___ 
16
 = 1 ou 4x2 + 27y2 = 144.
4. A equação 5x2 + 9y2 – 20x – 18y – 16 = 0 representa uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo x. Deter-
mine o centro e os focos dessa elipse.
Resolução:
Uma vez que A1A2 é paralelo ao eixo x, devemos escrever a equação na forma:
 
(x – x0)
2
 ______ 
a2 + 
(y – y0)
2
 ______ 
b2 = 1
Ao desenvolver a equação dada, temos:
5x2 + 9y2 – 20x – 18y – 16 = 0 ⇒ 5x2 – 20x + 9y2 – 18y = 16 ⇒
⇒ 5(x2 – 4x + 4) + 9(y2 – 2y + 1) = 16 + 20 + 9 ⇒ 5(x – 2)2 + 9(y2 – 2y + 1) = 16 + 20 + 9 ⇒
⇒ 5(x – 2)2 + 9(y – 1)2 = 45 ⇒ (x – 2)3
 ______ 
9
 + 
(y – 1)2
 ______ 
5
 = 1 
220
De acordo com a equação, concluímos que:
a2 = 9 ⇒ a = 3
b2 = 5 = b = dXX 5 
Ao fazer c2 = a2 – b2, obtemos:
c2 = 9 – 5 = 4 ⇒ c = 2
Portanto, temos:
F1(2 – 2, 1) ⇒ F1(0, 1)
F2(2 + 2, 1) ⇒ F2(4, 1)
Logo, essa elipse tem centro O(2, 1) e focos F1(0, 1) e (4, 1).
221
e.O. TesTe i
 1. (UFPB) A secretaria de infraestrutura de um 
município contratou um arquiteto para fa-
zer o projeto de uma praça. Na figura a se-
guir, está o esboço do projeto proposto pelo 
arquiteto: uma praça em formato retangu-
lar medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser 
construído um jardim em forma de elipse na 
parte central.
Estão destacados na figura os segmentos AC 
e BD que são, respectivamente, o eixo maior 
e o menor da elipse, bem como os pontos F1 
e F2, que são os focos da elipse onde deverão 
ser colocados dois postes de iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que 
a distância entre os postes de iluminação 
será, aproximadamente, de: 
a) 68 m. 
b) 72 m. 
c) 76 m. 
d) 80 m. 
e) 84 m. 
 2. Num estádio de futebol em forma de elipse, 
o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na 
cônica, conforme mostra a figura. Escolhen-
do o sistema de coordenadas cartesianas in-
dicado e tomando o metro como unidade, a 
elipse é descrita pela equação x
2
 ___ 
362 + 
y2
 ___ 
602 = 1. 
Sabe-se também que os focos da elipse estão 
situadosem lados do retângulo MNPQ.
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é: 
a) 48 m. 
b) 68 m. 
c) 84 m. 
d) 92 m. 
e) 96 m 
 3. (UFRN) Um arquiteto projetou, para um sa-
lão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de 
gesso em formato de elipse com o eixo maior 
medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, confor-
me ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia de-
senhar a elipse, desde que o arquiteto infor-
masse as posições dos focos. 
Para orientar o aplicador do gesso, o arqui-
teto informou que, na direção do eixo maior, 
a distância entre cada foco e a parede mais 
próxima é de: 
a) 3 m. 
b) 4 m. 
c) 5 m. 
d) 6 m. 
 4. (UDESC) A área delimitada por uma elipse 
cuja equação é x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1 é dada por A = 
abπ. Então, a área da região situada entre 
as elipses de equações 16x2 + 25y2 = 400 e 
16 x2 + 9y2 = 144 é: 
a) 12 p u.a. 
b) 20 p u.a. 
c) 8 p u.a. 
d) 256 p u.a. 
e) p u.a. 
 5. (FGV) Sendo m o maior valor real que x pode 
assumir na equação analítica (x – 2)2 + 4(y 
+ 5)2 = 36 e n o maior valor real que y pode 
assumir nessa mesma equação, então, m + n 
é igual a: 
a) 8. 
b) 7. 
c) 6. 
d) 4. 
e) 3. 
222
 6. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva 
uma órbita elíptica em torno de uma estrela 
O, de modo que, considerando um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a 
estrela O a origem do sistema, a órbita possa 
ser descrita aproximadamente pela equação
 ( x2
 ____ 100 + 
y2
 ___ 25 ) = 1, com x e y em milhões de qui-
lômetros. A figura representa a estrela O, a 
órbita descrita pelo planeta e sua posição no 
instante em que o ângulo P 
 ̂ 
 O A mede π __ 4 . 
A distância, em milhões de km, do planeta 
P à estrela O, no instante representado na 
figura, é: 
a) 2 dXX 5 .
b) 2 dXXX 10 .
c) 5 dXX 2 .
d) 10 dXX 2 
e) 5 dXXX 10 .
 7. Sobre a curva 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0, 
assinale a alternativa correta. 
a) Seu centro é (–2, 1). 
b) A medida do seu eixo maior é 25. 
c) A medida do seu eixo menor é 9. 
d) A distância focal é 4. 
e) Sua excentricidade é 0,8. 
 8. (UEPB) Deseja-se construir uma praça em 
forma de elipse em um terreno retangular de 
dimensões x metros e y metros, com x > y, de 
perímetro 300 m e área 5000 m2, conforme 
nos mostra a figura. 
Estando previstas as instalações de duas 
torres de iluminação, uma em cada foco da 
elipse, F1 e F2, local de melhor distribuição e 
aproveitamento das mesmas, concluímos qe 
a distância, em metros, entre as torres é: 
a) 100 dXX 3 . 
b) 25 dXX 3 . 
c) 50 dXX 3 . 
d) 40 dXX 3 . 
e) 30 dXX 3 . 
 9. (UNESP) A figura mostra a representação de 
algumas das ruas de nossas cidades. Essas 
ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, 
separadas por uma pista de 7 m de largura. 
Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a 
rua uma área iluminada na forma de uma 
elipse de excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se vertical-
mente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à 
calçada, tem exatamente a largura da rua 
(calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tan-
genciem nas extremidades dos eixos maiores, 
a distância, em metros, entre dois postes con-
secutivos deverá ser de, aproximadamente:
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e dXXXXXX 0,111 ≈ 0,333
a) 35.
b) 30.
c) 25.
d) 20.
e) 15.
 10. (UEL) Existem pessoas que nascem com pro-
blemas de saúde relacionados ao consumo 
de leite de vaca. A pequena Laura, filha do 
Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para 
solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma 
cabra que pasta em um campo retangular 
medindo 20 m de comprimento e 16 m de 
largura. Acontece que as cabras comem tudo 
o que aparece à sua frente, invadindo hortas, 
jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio re-
solveu amarrar a cabra em uma corda presa 
pelas extremidades nos pontos A e B que es-
tão 12 m afastados um do outro. A cabra tem 
uma argola na coleira por onde é passada a 
corda, de tal modo que ela possa deslizar li-
vremente por toda a extensão da corda. Ob-
serve a figura e responda a questão a seguir.
223
Qual deve ser o comprimento da corda para 
que a cabra possa pastar na maior área pos-
sível, dentro do campo retangular?
a) 10 m
b) 15 m
c) 20 m
d) 25 m
e) 30 m
e.O. TesTe ii
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
O vento solar é uma emissão contínua, em 
todas as direções, de partículas carregadas 
que têm origem na coroa solar. As partícu-
las emitidas podem ser elétrons, prótons ou 
neutrinos. A velocidade dessas partículas va-
ria entre 400 km/s e 800 km/s.
Essa emissão contínua gera uma distribuição 
de íons, prótons e elétrons em todo o espaço 
do sistema solar. Esse plasma de partículas 
carregadas é comumente denominado mar 
de prótons, ou mar de elétrons. Ao se apro-
ximarem da Terra, esses íons sofrem altera-
ções em suas trajetórias devido à presença 
do campo magnético terrestre. Na região 
do espaço que circunda a Terra, a densida-
de desse plasma é de aproximadamente 10 
partículas por centímetro cúbico. O bombar-
deamento da atmosfera terrestre pelo vento 
solar tem efeitos profundos, uma vez que as 
partículas e a radiação solar interagem com 
os gases presentes na atmosfera, tais como 
H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2.
Planeta Distância média do Sol, em 106 km
Mercúrio 57,9
Vênus 108
Terra 150
Marte 228
Júpiter 778
Saturno 1.430
Urano 2.870
Netuno 4.500
Plutão 5.900
 1. (UNB) 
A figura acima ilustra a situação em que 
um cometa (C) percorre uma órbita elípti-
ca de centro na origem de um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais x0y. 
Nessa órbita elíptica, o Sol (S) aparece em 
um dos focos. Considere que a elipse seja re-
presentada pela equação x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1, em que 
a > b > 0, e tenha excentricidade igual a 
0,96. Nesse caso, se a distância mínima des-
se cometa ao Sol for igual a 0,58 UA (unida-
de astronômica), em que 1 UA = 150 · 106 
km é a distância média da Terra ao Sol, en-
tão a distância máxima do cometa ao Sol, em 
milhões de km, será: 
a) inferior a 3.700. 
b) superior a 3.700 e inferior a 4.000. 
c) superior a 4.000 e inferior a 4.300. 
d) superior a 4.300. 
 2. (UFT) Considere R o conjunto dos números 
reais e b [ R. Encontre os valores de b, tais 
que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b 
intercepta a elipse x
2
 __ 4 + y2 = 1 em um único 
ponto. A soma dos valores de b é: 
a) 0. 
b) 2. 
c) 2 dXX 5 . 
d) dXX 5 . 
e) –2 dXX 5 .
 3. Sobre a circunferência de menor raio pos-
sível que circunscreve a elipse de equação 
x2 + 9y2 – 8x – 54y + 88 = 0, é correto afir-
mar que: 
a) tem raio igual a 1. 
b) tangencia o eixo das abscissas. 
c) é secante ao eixo das ordenadas. 
d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0. 
 4. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma re-
gião retangular de 20 m de comprimento por 
16 m de largura para construir um jardim. A 
exemplo de outros canteiros, este deverá ter 
a forma elíptica e estar inscrito nessa região 
retangular. Para aguá-lo, serão colocados 
dois aspersores nos pontos que correspon-
dem aos focos da elipse. Qual será a distân-
cia entre os aspersores? 
a) 4 m 
b) 6 m 
c) 8 m 
d) 10 m 
e) 12 m 
 5. (ITA) A distância focal e a excentricidade da 
elipse com centro na origem e que passa pelos 
pontos (1, 0) e (0, –2) são, respectivamente: 
a) dXX 3 e 1 __ 2 .
b) 1 __ 2 e dXX 3 .
c) 
dXX 3 ___ 2 e 1 __ 2 . 
d) dXX 3 e 
dXX 3 ___ 2 . 
e) 2 dXX 3 e 
dXX 3 ___ 2 . 
224
 6. (UNESP) A figura representa uma elipse.
A partir dos dados disponíveis, a equação 
desta elipse é: 
a) ( x2
 __ 5 ) + ( y2
 __ 7 ) = 1. 
b) [ (x + 5)2
 _______ 9 ] + [ (y – 7)2
 _______ 16 ] = 1.
c) (x + 5)2 + (y – 7)2 = 1.
d) [ (x – 5)2
 _______ 9 ] + [ (y + 7)2
 _______ 16 ] = 1.
e) [ (x + 3)2
 _______ 5 ] + [ (y – 4)2
 _______ 7 ] = 1.
 7. (UERJ)Um holofote situado na posição 
(–5, 0) ilumina uma região elíptica de con-
torno x2 + 4y2 = 5, projetando sua sombra 
numa parede representada pela reta x = 3, 
conforme ilustra a figura a seguir.
Considerando o metro a unidade dos eixos, o 
comprimento da sombra projetada é de: 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
 8. (Unifesp) A área sombreada na figura,
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: 
a) p.
b) 2p.
c) 3p.
d) 4p.
e) 6p.
 9. (UFRN) Uma seção cônica é obtida a partir 
da interseção de um cone com um plano. Na 
figura a seguir, temos um exemplo de uma 
seção cônica, denominada Elipse. A figura 
consiste de duas esferas S1 e S2 que tangen-
ciam o cone em duas circunferências C1 e C2 
e tangenciam o plano p nos pontos F1 e F2. 
Os pontos P1, P2 e P estão, respectivamente, 
na interseção de uma reta do cone com as 
circunferências e a Elipse.
A soma das distâncias de P aos pontos F1 e F2 
é igual à distância: 
a) entre as duas circunferências. 
b) entre P1 e P2. 
c) entre os centros das duas esferas. 
d) entre F1 e F2. 
 10. (Ime) Os triângulos ABC e DEF são equilá-
teros com lados iguais a m. A área da figu-
ra FHCG é igual à metade da área da figura 
ABHFG. Determine a equação da elipse de 
centro na origem e eixos formados pelos seg-
mentos FC e GH.
a) 48x2 + 36y2 – dXX 2 m2 = 0
b) 8x2 + 16y2 – dXX 3 m2 = 0 
c) 16x2 + 48y2 – 3m2 = 0
d) 8x2 + 24y2 – m2 = 
e) 16x2 – 24 y2 – m2 = 0
225
 5. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equa-
ções paramétricas x = 2cost e y = 5sent com 
t [ R é: 
a) uma senoide 
b) uma cossenoide. 
c) uma hipérbole. 
d) uma circunferência. 
e) uma elipse. 
e.O. DisserTaTivO
 1. (UERJ) Uma porta colonial é formada por 
um retângulo de 100 cm × 200 cm e uma 
semielipse.
Observe as figuras: 
Na semielipse o eixo maior mede 100 cm e o 
semieixo menor, 30 cm.
Calcule a medida da corda PQ, paralela ao 
eixo maior, que representa a largura da por-
ta a 224 cm de altura. 
 2. (Unesp) A figura mostra um plano cartesia-
no no qual foi traçada uma elipse com eixos 
paralelos aos eixos coordenados.
Valendo-se das informações contidas nesta 
representação, determine a equação reduzi-
da da elipse. 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A questão consiste em 5 (cinco) alternativas, 
das quais algumas são verdadeiras e outras, 
falsas, podendo ocorrer que todas as alterna-
tivas sejam verdadeiras ou que todas sejam 
falsas.
As alternativas verdadeiras devem ser mar-
cadas com (V) e as falsas, com (F). 
e.O. TesTe iii
 1. (Ime) Seja M um ponto de uma elipse com 
centro O e focos F e F'. A reta r é tangente à 
elipse no ponto M e s é uma reta, que pas-
sa por O, paralela a r. As retas suportes dos 
raios vetores MF e MF' interceptam a reta s 
em H e H', respectivamente. Sabendo que o 
segmento FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é: 
a) 0,5 cm.
b) 1,0 cm.
c) 1,5 cm.
d) 2,0 cm.
e) 3,0 cm.
 2. (Ita) Os focos de uma elipse são F1(0, –6) 
e F2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 
0, estão na elipse. A área do triângulo com 
vértices em B, F1 e F2 é igual a: 
a) 22 dXXX 10 .
b) 18 dXXX 10 .
c) 15 dXXX 10 .
d) 12 dXXX 10 .
e) 6 dXXX 10 .
 3. (Ita) Considere todos os números z = x + iy 
que têm módulo ( dXX 7 ___ 2 ) e estão na elipse 
x2 + 4y2 = 4. Então, o produto deles é igual a: 
a) 25 ___ 9 . 
b) 49 ___ 16 . 
c) 81 ___ 25 . 
d) 25 ___ 7 . 
e) 4. 
 4. (Ime) Uma elipse, cujo centro encontra-se na 
origem e cujos eixos são paralelos ao sistema 
de eixos cartesianos, possui comprimento da 
semi distância focal igual a dXX 3 e excentrici-
dade igual a 
dXX 3 ___ 2 . Considere que os pontos A, 
B, C e D representam as interseções da elipse 
com as retas de equações y = x e y = –x. A 
área do quadrilátero ABCD é: 
a) 8. 
b) 16. 
c) 16 ___ 3 .
d) 16 ___ 5 .
e) 16 ___ 
7
 . 
226
 3. (UFAL) Em um sistema de eixos cartesianos 
ortogonais, considere os pontos A(5; 0), B(0; 
3), C(–5; 0) e D(0; –3). 
a) ( ) A equação da reta que contém os pontos 
A e B é 3x + 5y + 15 = 0.
b) ( ) A área do quadrilátero ABCD, em unida-
des de área do sistema, é igual a 60.
c) ( ) A equação da circunferência inscrita no 
quadrilátero ABCD é x2 + y2 = 225 ____ 34 .
d) ( ) A equação da elipse que contém os pon-
tos A, B, C e D é 9x2 + 25y2 = 225.
e) ( ) O ponto P(3; 2) é interior à elipse que 
contém os pontos A, B, C e D, e é exterior ao 
quadrilátero ABCD.
 4. (UEM) Sobre a cônica de equação x2 + 4 y2 = 9, 
assinale o que for correto. 
01) Trata-se de uma elipse. 
02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em 
(3, 0) e (−3, 0). 
04) Se A e B são pontos da cônica que não são 
colineares com os focos D e E da cônica, os 
triângulos ADE e BDE possuem o mesmo pe-
rímetro. 
08) A circunferência centrada na origem e de 
raio dXX 2 tangencia essa cônica. 
16) O ponto ( 2 dXX 2 , 1 __ 2 ) pertence à cônica. 
 5. (Unesp) Considere a elipse de equação 
 ( x2
 ___ 25 ) + ( y2
 __ 9 ) = 1.
a) Mostre que o ponto P = ( 3, 12 ___ 5 ) pertence à 
elipse e calcule a distância de P ao eixo das 
abscissas.
b) Determine os vértices Q e R da elipse que 
pertencem ao eixo das abscissas e calcule a 
área do triângulo PQR, onde P = ( 3, 12 ___ 5 ) .
 6. (UFRJ) Uma elipse, cuja distância focal 
mede 1 cm, está inscrita em um retângulo 
(de lados paralelos aos eixos principais da 
elipse) de área igual a dXX 2 cm2. Determine as 
medidas dos lados do retângulo. 
 7. (Fgv) No livro Teoria Microeconômica, de 
Mario Henrique Simonsen, discute-se um 
caso em que existe uma certa quantidade 
fixa N de mão de obra (trabalhadores) para 
fabricar dois produtos, A e B, cujas quanti-
dades produzidas são x e y, respectivamen-
te. Admite-se no problema que a função de 
produção de x e y seja dada por x = dXXX N1 e 
y = 2 · dXXX N2 , sendo N1 e N2 a quantidade de 
mão de obra destinada à fabricação de A e B, 
de forma que N1 + N2 + ≤ N. Considerando, 
no problema, que x, y, N1, N2 e N podem ser 
quaisquer números reais não negativos, res-
ponda o que se pede a seguir.
a) Faça um esboço do gráfico do lugar geomé-
trico dos pares (x, y) que atendem às restri-
ções do problema para o caso em que N = 81.
b) Assuma que N = 80, 8 e que x e y estão sub-
metidos à restrição y = x – 2. Determine o 
maior valor possível de N1. 
 8. (UFRJ) Sejam F1 e F2 os pontos do plano 
cartesiano de coordenadas F1 = (– dXX 3 , 0) e 
F2 = ( dXX 3 , 0). Determine as coordenadas 
dos pontos da reta r de equação x – y = 1, 
cujas somas das distâncias a F1 e F2 sejam 
iguais a 4 (isto é: determine as coordenadas 
dos pontos P sobre a reta r que satisfazem 
PF1 + PF2 = 4). 
 9. (Ita) Determine o conjunto dos números 
complexos z, para os quais o número 
W = z +  z + 2 _________________ 
 dXXXXXXXXXXXXXXXX  z – 1  +  z + 1  – 3 
 
pertence ao conjunto dos números reais. In-
terprete (ou identifique) este conjunto geo-
metricamente e faça um esboço do mesmo. 
 10. (Ita) Sabe-se que uma elipse de equação 
 x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1 tangencia internamente a circun-
ferência de equação x2 + y2 = 5 e que a reta 
de equação 3x + 2y = 6 é tangente à elipse 
no ponto P. Determine as coordenadas de P. 
227
gabariTO
E.O. Teste I
1. D 2. E 3. C 4. C 5. C
6. B 7. E 8. C 9. B 10. C
E.O. Teste II
1. C 2. A 3. B 4. E 5. E
6. B 7. C 8. C 9. B 10. D
E.O. Teste III
1. D 2. D 3. B 4. D 5. E
E.O. Dissertativo
 1. 60 cm 
 2. 
(x – 2)2
 _______ 4 + 
(y – 3)2
 _______ 9 = 1
 3. F-F-V-V-V 
 4. 01 + 02 + 04 + 16 = 23
 5. 
a) I. Substituindo as coordenadas do ponto 
P na equação da elipse, temos:
 3
2
 ___ 25 + 
 12 ___ 
52 
 ___ 9 = 1, ou seja: 1=1
 Logo, as coordenadas de P satisfazem à 
equação da elipse. Portanto, P pertence à 
elipse.
 II. Como a ordenada P é positiva, a dis-
tância pedida é 12 ___ 5 .
b) Q(–5, 0), R(5,0) e A = 12. 
 6. 1 e dXX 2 .
 7. 
a) 
b) 70,56
 8. Os pontos são(0, –1) e ( 8 __ 5 , 3 __ 5 ) .
 9. 
 10. P ( 8 __ 9 , 5 __ 3 )