Prova 1

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de
Ribeirão Preto – Departamento de Economia
REC02101 – MICROECONOMIA
PRIMEIRA PROVA (2011)
ROBERTO GUENA
(1) Encontre a função de demanda pelo bem 1 para um consumidor cujas prefe-
rências são respresentadas pela seguinte função de utilidade:
U (x1,x2)=
x1x2
x1+ x2
.
O bem 2 é substituto ou complementar ao bem 1? Esboce a curva de Engel do
bem 1 e mostre o que deve ocorrer com essa curva caso o preço do bem 2 sofra
uma elevação.
Solução. A utilidade marginal do bem 1 é dada por
U M g1 =
∂U (x1,x2)
∂x1
= ∂
∂x1
x1x2
x1+ x2
= x2(x1+ x2)− x1x2
(x1+ x2)2
=
x22
(x1+ x2)2
.
A utilidade marginal do bem 2 é
U M g2 =
∂
∂x2
U (x1,x2)=
x21
(x1+ x2)2
Desse, modo, a taxa marginal de substituição é
T MS =−
x22/(x1+ x2)2
x21/(x1+ x2)2
=−
x22
x21
.
Note que isso implica que taxa marginal de substituição decrescente da es-
querda para a direita ao longo da curva de indiferença, portanto, que as pre-
ferências são convexas. Além disso, qualquer curva de indiferença associada a
um nível de utilidade positivo não pode cruzar os eixos, visto que, para quais-
quer x1,x2 positivos, U (0,x2)=U (x1,0)= 0.
Desse modo, observando que a função de utilidade é monotônica, podemos
estar certos de que a solução para o problema de maximização de utilidade de
nosso consumidor será caracterizada por uma solução interior, caracterizada
por um ponto de tangência entre a linha de restrição orçamentária e uma curva
de indiferença. Para encontrar essa solução, basta, portanto, resolver o sistema
de equações: 

|T MS| = p1
p2
p1x1+p2x2 =m
Aplicando a expressão já encontrada para aT MS naprimeira equação e resolvendo-
a para x1 obtemos
x22
x21
= p1
p2
⇒ x2 = x1
√
p1
p2
1
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Substituindo esse resultado na segunda equação, encontramos a função de de-
manda pelo bem 1:
p1x1+p2x1
√
p1
p2
=m
x1(p1+
p
p1p2)=m
x1 =
m
p1+pp1p2
(1)
A função de demanda pelo bem 2 pode ser obtida substituindo-se a função
encontrada acima em
x2 = x1
√
p1
p2
obtendo-se
x2 =
m
p2+pp1p2
(2)
Note que a função de demanda do bem 2 é decrescente em relação ao preço do
bem 1, o que indica que o bem 2 é complemento do bem 1.
Observando a expressão (1) podemos notar que a função de demanda pelo
bem 1 é linear em m. Portanto, a curva de Engel desse bem deve ser uma linha
reta passando pela origem. Tal como ilustra a Figura 1
x1
m
tg
=
1
/
( p 1+
p p
1
p
2
)
FIGURA 1. A curva de Engel para o bem 1
Já a Figura 2 mostra o efeito de uma elevação no preço do bem 2 sobre a
curva de Engel do bem 1. Como a inclinação dessa curva em relação ao eixo
da renda (vertical) é dada por 1/(p1+pp1p2, essa elevação tornará a curva de
Engel mais inclinada.
(2) A função de utilidade de um consumidor é U (x1,x2)= x1+ x2. O preço do bem
2 é 1 e o preço do bem 1 é p1 paras as primeiras Q unidades adquiridas desse
bem e 2p1 para as unidades que excederem as primeiraQ unidades. Determine
2
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x1
m
C
u
rv
a
d
e
E
n
ge
l i
n
ic
ia
l
C
u
rv
a
d
e
E
n
ge
l fi
n
al
FIGURA 2. Deslocamento da curva de Engel do bem 1 em virtude de
um aumento no preço do bem 2
a função de demanda desse consumidor pelo bem 1 e esboce o gráfico de sua
curva de demanda.
Solução. Primeiramente, encontremos a restrição orçamentária desse consu-
midor. Caso ele escolha consumir uma quantidade do bem 1 inferior aQ , então
sua restrição será dada por
p1x1+p2x2 ≤m ⇒ x2 ≤
m
p2
− p1
p2
x1 (3)
Caso ele escolha x1 >Q então x2 deverá ser tal que
p1Q+2p1(x1−Q)+p2x2 ≤m ⇒ x2 ≤
m−p1Q
p2
−2p1
p2
x1 (4)
Evidentemente, o consumidor só poderá optar por consumir x1 > Q caso
sua renda seja mais do que suficiente para adquirir as Q primeiras unidades
do bem 1, ou seja, caso m/p1 > Q , isto é, p1 < m/Q . Caso isso não ocorra, a
restrição orçamentária relevante será apenas a restrição (3). Note também que,
caso p1 ≤m/Q a linha de restrição orçamentária deverá cruzar o eixo horizontal
em x1 = m/p1. Caso p1 ≥ m/Q , esse cruzamento é obtido fazendo x2 = 0 na
restrição (4), obtendo-se
x1 =
m
2p1
+ Q
2
.
Como a função de utilidade é monotônica, sabemos que o consumidor es-
colherá consumir uma cesta de bens sobre a linha de restrição orçamentária,
isto é, as restrições (3) e (4) serão atendidas com igualdade. Assim, podemos
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substituir essas restrições na função de utilidade, para expressar a utilidade ex-
clusivamente em função do bem 1:
U =


x1+
m
p2
− p1
p2
x1 =
m
p2
+ p2−p1
p2
x1 caso x1 ≤Q
x1+
m+p1Q
p2
−2p1
p2
x1 =
m+p1Q
p2
+ p2−2p1
p2
x1 caso x1 >Q
Portanto, enquanto x1 <Q , a utilidade obtida por nosso consumidor será cres-
cente, decrescente ou invariante em relação a x1 caso p1 < p2, p1 > p2 ou p1 =
p2, respectivamente. Já para que essa utilidade seja crescente em relação a x1
quando x1 ≥Q será preciso que 2p1 < p2 ou p1 < p2/2. Ainda no caso em que
x1 >Q , a utilidade será decrescente ou invariante emrelação a x1 caso p1 > p2/2
e p1 = p2/2, respectivamente.
Desse modo, a quantidade do bem 1 que o consumidor deverá escolher de-
penderá de como p1 se compara com p2 e p2/2. Analisemos as cinco possibili-
dades:
1ª possibilidade: Caso p1 > p2, qualquer que seja o trecho da restrição orça-
mentária considerado, será sempre melhor para o consumidor reduzir x1,
de tal sorte que sua escolha ótima é x1 = 0.
2ª possibilidade: Caso p1 = p2, então a utilidadedo consumidor será amesma
em qualquer ponto sobre a linha de restrição orçamentária no trecho em
que x1 < Q e será decrescente em relação a x1 no trecho em que x1 > Q .
Nesse caso o consumidor escolherá qualquer ponto sobre o primeiro tre-
cho de sua linha de restrição orçamentária. Se (p1 =)p2 ≤ m/Q isso im-
plica x1 ∈ [0,Q], se (p1 =)p2 > m/Q , o máximo que o consumidor poderá
adquirir do bem 1 será m/p1 =m/p2 <Q e a solução ótima ocorrerá com
x1 ∈ [0,m/p2].
3ª possibilidade: Caso p2/2< p1 < p2, o consumidor deverá aumentar tanto
quanto possa o consumo do bem1 até que este atinja o valor x1 =Q . A par-
tir desse valor a utilidade de nosso consumidor passa a decrescer quando
x1 aumenta. Portanto, se p1 ≤m/Q , ele escolherá x1 =Q . Se p1 >m/Q , ou
seja, caso sua renda não seja suficiente para que ele adquira Q unidades
do bem 1, sua escolha será x1 =m/p1.
4ª posibilidade: Caso p1 = p2/2 a utilidade do consumidor crescerá com x1
no trecho da linha de restrição orçamentária em que x1 < Q e será cons-
tante no trecho dessa linha em que x1 ≥Q isso significa que o consumidor
deverá consumir emumponto qualquer desse segundo trechode sua linha
de restrição orçamentária, ou seja, escolher
x1 ∈
[
Q ,
m
2p1
+ Q
2
]
=
[
Q ,
m
p2
+ Q
2
]
.
Ele só não escolherá um valor de x1 nesse intervalo caso sua renda não seja
suficiente para adquirirQ unidades do bem1, ou seja, caso p1 = p2 >m/Q .
Se isso ocorrer, ele escolherá o maior valor de x1 que lhe seja acessível, ou
seja, x1 =m/p1.
5ª posibilidade: Caso p1 < p2/2, a utilidade de nosso consumidor será cres-
cerá com x1 ao longo dos dois trechos de sua linha de restrição orçamen-
tária e, portanto, ele deverá escolher o maior valor possível para x1, qual
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seja
x1 =


m
p1
caso p1 >m/Q
m
2p1
+ Q
2
caso p1 ≤m/Q
Daanálise das 5 possibilidades acima, concluímos que a quantidade deman-
dada do bem 1 depende não apenas de como p1 se compara com p2 mas tam-
bém de como p2 se compara com m/Q . Caso p2 <m/Q , a curva de demanda
pelo bem 1, terá um formato semelhante ao mostrado na Figura 3.
x1
p1
p2
p2
2
Q m
p2
+ Q
2
x1 = m
2p1 + Q
2
FIGURA 3. A curva de demanda pelo bem 1 caso p2 ≤m/Q
Essa figura mostra que, x1 = 0 para qualquer p1 > p2, x1 é qualquer valor
entre 0 e Q quando p1 = p2, x1 =Q para qualquer p1 menor que p2 e maior que
p2/2, x1 é qualquer valor entre Q e m/(2p2)+Q caso p1 = p2 e x1 =m/(2p1)+
Q/2 para qualquer x1 < p2/2.
A Figura 4 mostra a curva de demanda pelo bem 1 no caso em que p2/2 <
p2 < m/Q . Nesse caso, quando m/Q < p1 < p2, o consumidor não será capaz
de adquirir Q unidades do bem 1 e terá que se contentar em consumir m/p1
unidades desse bem. Assim, entre p1 = p2 e p1 = m/Q , a curva de demanda
assumirá a forma negativamente inclinada tradicional. O restante do gráfico
apresentado na Figura 4 é similar ao da Figura 3.
A Figura 5 mostra, por fim, como será a curva de demanda pelo bem 1 no
caso em que p2 > 2m/Q . Nesse caso, o consumo do bem 1 em quantidade igual
aQ só ocorrerá a partir domomento emque p1 ≤m/Q ≤ p2/2, isto é, quanto p1
for suficiente para que o consumidor possa adquirir Q unidades do bem 1, ele
também já será suficiente para fazer com que o consumidor queira consumir
apenas o bem 1. Assim, para qualquer p1 abaixo desse patamar, a quantidade
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x1
p1
p2
p2
2
Q m
p2
+ Q2
m
p2
m
Q
x
1 =
m
p
1
x
1 = m
2p
1 + Q
2
FIGURA 4. A curva de demanda pelo bem 1 caso p2/2<m/Q < p2
demandada do bem 1 será
x1 =
m
2p1
+ Q
2
.
Isso fará com que a curva de demanda não apresente trechos verticais à direita
do eixo de p1 tais como os observados nas figuras 3 e 4.
x1
p1
p2
p2
2
Qm
p2
m
Q
x
1 =
m
p
1
x1 = m
2p1 + Q
2
FIGURA 5. A curva de demanda pelo bem 1 caso p2 ≥ 2m/Q
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(3) Se as preferências de um consumidor são representadas pela função de utili-
dade
U (x1,x2)= lnx1+2
p
x2,
qual deve ser a função de demanda do bem1? Qual é a elasticidade-preço dessa
demanda? O bem 1 é inferior, essencial ou de luxo?
Solução: Trata-se claramente, de um função monotônica, pois tanto a função
lnx1 quanto a função
p
x2 são crescentes em relação a seus argumentos. Assim,
o equilíbrio do consumidor se dará sobre sua linha de restrição orçamentária.
As utilidades marginais dos dois bens são
U M g1 =
∂U
∂x1
= 1
x1
e U M g2 =
∂U
∂x2
= 1p
x2
Assim, a taxa marginal de substituição será
TMS=−U M g1
U M g2
=−
p
x2
x1
.
Note que, uma vez que ao caminharmos sobre a curva de indiferença da es-
querda para a direita, x2 diminui e x2 aumenta, omódulo daTMS é decrescente,
o que prova que as preferências são convexas. Então, se houver um ponto de
tangência entre a linha de restrição orçamentária e uma curva de indiferença,
esse ponto será um ponto de utilidade máxima. Para encontrar esse ponto, re-
solvemos o sistema de equações
|TMS| =
p1
p2
⇒
p
x2
x1
= p1
p2
p1x1+p2x2 =m
Daprimeira equação, obtemos x2 = p21x1/p22 . Substituindona segunda equação
ficamos com
p1x1+
(p1x1)
2
p2
−m = 0.
Resolvemos essa equação para p1x1 considerando apenas a raiz positiva ob-
tendo
p1x1 =
√
1+4 m
p2
−1
2/p2
,
o que implica
x1 =
p2
2p1
[√
1+4 m
p2
−1
]
Essa é a função de demanda pelo bem 1.
A elasticidade-preço da demanda por esse bem é dada por:
ǫ= ∂x1
∂p1
p1
x1
=− p2
2p21
[√
1+4 m
p2
−1
]
p1
p2
2p1
[√
1+4 m
p2
−1
] =−1
Não se trata deumbem inferior, pois a funçãodedemanda acima é crescente
em relação am. Para determinar se o bem1 é essencial ou de luxo, calcularemos
sua elasticidade renda:
ǫ1,m =
∂x1
∂m
m
x1
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Como
∂x1
∂m
= p2
2p1
4
p2
1
2
√
1+4 m
p2
= 1
p1
√
1+4 m
p2
,
ǫ1,m =
1
p1
√
1+4 m
p2
m
p2
2p1
[√
1+4 m
p2
−1
] = 2 mp2
1+4 m
p2
−
√
1+4 m
p2
=
1+4 m
p2
− (1+2 m
p2
)
1+4 m
p2
−
√
1+4 m
p2
=
1+4 m
p2
−
√
(1+2 m
p2
)2
1+4 m
p2
−
√
1+4 m
p2
=
1+4 m
p2
−
√
1+4 m
p2
+4m2
p22
1+4 m
p2
−
√
1+4 m
p2
Como o numerador da expressão acima é menor do que o denominador, con-
cluímos que ǫ1,m < 1 e que, portanto, o bem 1 é um bem essencial.
(4) Considere a seguinte função de utilidade:
U (x1,x2)=
[
x
ρ
1 + x
ρ
2
]1/ρ
na qual ρ ≤ 1. Para que valores de ρ os bens 1 e 2 serão substitutos? Para que
valores eles serão complementares?
Solução: Observemos, primeiramente que no caso em que ρ = 1, a função de
utilidade se reduz aU (x1,x2)= x1+ x2, e, portanto, os dois bens se comportam
como substitutos perfeitos. Resta, assim, considerar ρ < 1
As utilidade marginais dos bens 1 e 2 são:
U M g1 =
∂
∂x1
[
x
ρ
1 + x
ρ
2
]1/ρ = xρ−11 [xρ1 + xρ2 ] 1ρ −1
e
U M g2 =
∂
∂x2
[
x
ρ
2 + x
ρ
2
]1/ρ = xρ−11 [xρ1 + xρ2 ] 1ρ−1 .
Como essas utilidades marginais são positivas para x1,x2 > 0, a função de utili-
dade descreve preferências monotônicas. O equilíbrio do consumidor se dará,
portanto, sobre a linha de restrição orçamentária. Além disso, a taxa marginal
de substituição é dada por
TMS=−U M g1
U M g2
=−
(
x1
x2
)ρ−1
=−
(
x2
x1
)1−ρ
Se ρ < 1, a taxa marginal de substituição é, em módulo, crescente em relação a
x2/x1 e, portanto, a função de utilidade descreve preferências convexas.
Caso o equilíbrio do consumidor seja caracterizado por uma solução inte-
rior, esta será dada pela solução do sistema
|TMS| =
p1
p2
⇒
(
x2
x1
)1−ρ
= p1
p2
p1x1+p2x2 =m
Resolvendo a primeira equação para x2 encontramos
x2 =
(
p1
p2
)1/(1−ρ)
x1
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Substituindo esse resultado na segunda equação, encontramos a função de de-
manda do bem 1:
p1x1+p2
(
p1
p2
)1/(1−ρ)
x1 =m
p1x1+p
1
1−ρ
1 p
− ρ1−ρ
2 x1 =m
x1 =
m
p1+p
1
1−ρ
1 p
− ρ1−ρ
2
.
x1 é substituto de x2 caso x1 seja crescente em relação a p2. Isso ocorre quanto
ρ/(1−ρ) > 0, ou seja, como assumimos ρ < 1, quando ρ > 0. Caso ρ < 0, ao
contrário, um aumento em p2 levará a uma redução na quantidade demanda
do bem 1, e portanto, x1 será complementar de x2. A nossa função de utilidade
não é definida para ρ = 0. Todavia, quando ρ→ 0, ρ/(1−ρ)→ 0, de tal sorte que
o bem 1 aproxima-se a condição de independente do bem 2.
De modo ao que fizemos para encontrar a função de demanda pelo bem 1,
podemos encontrar a seguinte função de demanda pelo bem 2:
x2 =
m
p2+p
1
1−ρ
2 p
− ρ1−ρ
1
.
Novamente, quando 0< ρ < 1, o bem 2 será substituto do bem 1. Quando ρ < 0
ele será complementar do bem 1.
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