10.2 Dimensionamento no ELU sujeito a solicitações normais Viga Continuação (1)

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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
Prof. Dr. Esperidião Fecury Pinheiro de Lima 
Dimensionamento no ELU sujeito a solicitações 
normais – Vigas Continuação 
2 
Hipóteses básicas de cálculo a flexão pura 
 
 
 A NBR – 6118 – 17.2.2 adota as hipóteses abaixo para análise no 
ELU dos esforços de seções transversais de vigas, pilares ou 
tirantes, submetidos a momento fletor e força normal, ou seja, 
solicitações normais. 
 
 
a) As seções transversais permanecem planas após a deformação 
até a ruptura da peça (hipótese de Bernoulli); 
 
b) A deformação em cada barra de aço em tração ou compressão é 
a mesma do concreto em seu entorno (Aderência); 
 
c) No ELU as resistências a tração do concreto são desprezadas; 
 
 
Vigas 
3 
d) A tensão no aço das armaduras é obtida pelo diagrama tensão-
deformação simplificado, já visto, com 𝛾𝑠 = 1,15. 
 
𝜀𝑦𝑘 𝜀𝑦𝑑 
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 
10 ‰ 
Vigas 
4 
e) As tensões de compressão no concreto são distribuídas de 
acordo com o diagrama parábola-retângulo, já visto, com a 
tensão máxima de 0,85𝑓𝑐𝑑. 
Vigas 
5 
Podemos substituir esta distribuição por um diagrama retangular 
simplificado 
 
Vigas 
𝜆 e 𝛼𝑐 definem a altura do diagrama retangular e a tensão máxima no 
concreto. 
𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 − 0,5𝑦 
6 
Seção transversal em perspectiva com diagramas parábola-
retângulo e retângulo simplificado (conduz a um equacionamento 
mais simplificado e resultados bem próximos ao parábola-retângulo) 
0,5𝑦 
𝑅𝑐𝑐 
𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 − 0,5𝑦 
𝑅𝑠𝑡 
𝜆𝑥 
Vigas 
𝑥 𝑥 
7 
Onde: 
 
𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎 ∶ 𝜆 = 0,8 e 𝛼𝑐 = 0,85 
 
𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎 ∶ 𝜆 = 0,8 - (fck – 50)/400 e 𝛼𝑐 = 0,85[1 − (fck – 50)/200] 
 
Vigas 
𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 − 0,5𝑦 
8 
A tabela nos fornece os valores de 𝜆 e 𝛼𝑐 para as classes C20 a C90: 
Vigas 
9 
A seguir, apresenta-se exemplos de variação da largura da zona 
comprimida, medida paralelamente a LN. 
 
a) Constante ou crescente na zona comprimida 
 
𝜎𝑐𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑 =
0,85𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 → para concretos do Grupo I(𝑓𝑐𝑘 ≤ 50MPa) 
𝜎𝑐𝑑 = 1 − 𝑓𝑐𝑘 −
50
200
0,85𝑓𝑐𝑑→ para concretos do Grupo II(𝑓𝑐𝑘 > 50MPa) 
 
Vigas 
10 
b) Decrescente na zona comprimida 
 
𝜎𝑐𝑑 = 0,9.0,85𝑓𝑐𝑑 → para concretos do Grupo I(𝑓𝑐𝑘 ≤ 50MPa) 
 
𝜎𝑐𝑑 = 0,9 1 − 𝑓𝑐𝑘 −
50
200
0,85𝑓𝑐𝑑 → para concretos do Grupo II(𝑓𝑐𝑘 > 50MPa) 
 
Vigas 
Vigas 
Dimensionamento de seções com armadura 
simples 
 
 
 
 
 
 
 
• Quando a seção necessita apenas de uma armadura longitudinal 
resistente a tração; 
• São colocadas também barras longitudinais nas regiões comprimidas 
para amarração de estribos; 
• Só o concreto resiste a compressão. 11 
Ferros guias 
As 
12 
 Armadura longitudinal resistente a tração (causadas pela flexão); 
 Só o concreto resiste a compressão; 
 Armadura transversal para resistir ao cortante (estribos); 
 São colocadas também barras longitudinais nas regiões comprimidas 
para amarração de estribos. 
 
Vigas 
P P 
Vigas 
Futuramente será estudada a armadura dupla 
 
 
 
 
 
 
13 
As 
As’ 
As’ → armadura que resiste a compressão junto ao concreto 
As → armadura tracionada 
14 
 
Foi Visto: 
a) Para dimensionar uma peça a flexão deve-se: 
 
 Dimensões da seção (𝑏𝜔x h) 
 Armaduras (As) 
 
 
 
 
 
Vigas 
15 
b) Verificar os ELS adequados (flechas e fissurações) para os 
valores característicos (ou de serviço) das resistências dos 
materiais e do momento fletor 𝑀𝑘. 
Vigas 
Assegura-se margem pré-estabelecida de segurança ao ELU : 
 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑀𝑘 
 
Momento Fletor de Cálculo, 
último ou ruptura. 
Momento Característico ou de 
Serviço 
Vigas 
Equações de Equilíbrio 
 
A formulação dos esforços internos resistentes de uma viga sob flexão 
simples é obtida com base nas equações de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
16 
 𝑁 = 0 e 𝑀 = 0 
 
Seja a seção transversal de uma viga 
(𝑏𝜔 × ℎ) sob flexão simples 
M → Momento positivo solicitante; 
As → Armadura tracionada; 
A’c → Área de concreto comprimido; 
𝑥 → Distância da LN a fibra superior. 
d → Distância da fibra superior ao CG de 
As. 
 
LN 
𝑥 
𝑥 
Vigas 
Diagrama de deformação ao longo da altura 
17 
 𝜖𝑐𝑑→ Máxima deformação de encurtamento do concreto comprimido; 
 𝜖𝑠𝑑→ Deformação de alongamento na armadura tracionada. 
𝑥 
d−𝑥 
Vigas 
18 
O diagrama retangular simplificado de distribuição de tensões de 
compressão (Grupo I, fck ≤ 50 Mpa) possui: 
 
 Altura: 𝑦 = 0,8𝑥 
 Tensão de compressão no concreto: 𝜎𝑐𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑 
𝑥 
𝑥 
d−𝑥 
 𝑦 = 0,8𝑥 
Vigas 
Diagrama retangular simplificado de distribuição de 
tensões de compressão (Grupo I, fck ≤ 50MPa) 
19 
Como resultantes de tensões, têm-se: 
 𝑅𝑐𝑐→ Resultante de tensões de compressão no concreto; 
 𝑅𝑠𝑡→ Resultante de tensões de tração no aço. 
𝑥 
d−𝑥 
 𝑦 = 0,8𝑥 
Vigas 
Equilíbrio das forças normais 
20 
Como: 
• Na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes; 
• A resultante das tensões de compressão no concreto (𝑹𝒄𝒄) deve estar 
em equilíbrio com a força resultante das tensões de tração na 
armadura As (𝑹𝒔𝒕); 
𝑹𝒄𝒄 = 𝑹𝒔𝒕 
𝑥 
d−𝑥 
 𝑦 = 0,8𝑥 
Vigas 
Da Resmat, 
𝜎 =
𝑅
𝐴
 Então, 𝑅𝑐𝑐 = 𝜎𝑐𝑑𝐴′𝑐 
 
A’c corresponde ao diagrama retangular simplificado com altura 0,8𝑥 
 
𝑅𝑐𝑐 = 0,85𝑓𝑐𝑑 . 0,8𝑥𝑏𝜔 
 
Então, 𝑅𝑐𝑐 = 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑 
 
Analogamente: 
 
𝑅𝑠𝑡 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠 
21 
Tensão de cálculo da armadura tracionada 
Área de aço 
0,4𝑥 
𝑥 0,8𝑥 
0,4𝑥 
𝑥 0,8𝑥 
Vigas 
Equilíbrio de Momentos Fletores na Seção 
 
Considerando o equilíbrio dos momentos fletores na seção, temos: 
 
𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐. = 𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡. 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑒 𝑎ç𝑜 = 𝑀𝑑 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 
 
22 
As forças resistentes internas formam um binário 
oposto ao momento 𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐. 
 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 . 𝑍𝑐𝑐 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 . 𝑍𝑐𝑐 
 
Como 𝑍𝑐𝑐 = 𝑑 − 0,4𝑥 e 𝑅𝑐𝑐 = 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑 
 
𝑀𝑑 = 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑(𝑑 − 0,4𝑥) 
 
Valor absoluto 
= 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑 
= 𝑑 − 0,4𝑥 
= 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠 
Vigas 
Como foi visto: 
 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 . 𝑍𝑐𝑐 
e 
𝑅𝑠𝑡 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠 
 
Então, 
 
𝑀𝑑 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠. 𝑑 − 0,4𝑥 
 
Logo: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑(𝑑 − 0,4𝑥)
 
23 
Vigas 
Então, para dimensionar seções retangulares com armadura simples, 
usamos: 
 
𝑀𝑑 = 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,4𝑥 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑(𝑑 − 0,4𝑥)
 
 
Como existem 7 variáveis, temos que adotar 5 valores. 
 
24 
Vigas 
Na prática fixam-se: 
 
• Os materiais (concreto e aço); 
 
• Seção transversal; 
 
• Momento solicitante (geralmente conhecido). 
 
Incógnitas: 
 
• Posição da linha neutra (𝑥); 
• Área da armadura tracionada (𝐴𝑠) 
 
Com: 
 
𝑀𝑑 = 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,4𝑥 determina-se 𝑥. 
 
 
 
25 
Vigas 
Comparando-se 𝑥 com 𝑥2𝑙𝑖𝑚 e 𝑥3𝑙𝑖𝑚 define-se qual o domínio que 
a viga se encontra(2, 3 ou 4). 
 
 
 
26 
Nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura tracionada(𝜎𝑠𝑑) é igual a 
máxima tensão possível, isto é, 𝑓𝑦𝑑. 
 
Vigas 
27 
Definidos 𝑥 e 𝜎𝑠𝑑 calcula-se: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑(𝑑 − 0,4𝑥)
 
Vigas 
Caso o resultado for o domínio 4, temos que fazer alguma alteração 
parax ≤ 𝑥3𝑙𝑖𝑚, objetivando ir para o domínio 2 ou 3. 
 
𝑀𝑑 = 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,4𝑥 
 
Para diminuir 𝑥, pode-se: 
 
• Diminuir o valor do momento solicitante(𝑀𝑑); 
• Aumentar a largura da viga ou altura da viga; 
• Aumentar a resistência do concreto. 
 
Na prática a mais viável é aumentar a altura da viga (Caso o 
projeto arquitetônico o permita); 
Se nenhuma alteração for adotada utiliza-se viga com 
armadura dupla (próximo assunto). 
28 
Vigas 
A NBR 6118 – 14.6.4.3 impõe limites entre a posição da LN e a altura 
útil: 
 
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função 
da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for 𝑥/d, tanto 
maior será essa capacidade.” 
 
 
𝑥/d ≤ 0,45 (𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎) 
 
𝑥/d ≤ 0,35 (50M𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎) 
29 
Vigas 
Do diagrama de deformação (seção plana) 
 
30 
𝜖𝑐𝑑
𝜖𝑠𝑑
=
𝑥
𝑑 − 𝑥
 
 
Fazendo: 
 
𝛽𝑥 =
𝑥
𝑑
∴ 𝑥 = 𝛽𝑥. 𝑑 
 
Logo, 
 
 𝛽𝑥 =
𝜖𝑐𝑑
𝜖𝑐𝑑+𝜖𝑠𝑑
 
𝑥 
d−𝑥 
Vigas 
Cálculo das Equações com Coeficientes K 
 
 
31 
Para diferentes posições da LN ( 𝛽𝑥 =
𝑥
𝑑
) , são tabelados os 
coeficientes: 
 
𝐾𝐶 → 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 
𝐾𝑆 → 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 
 
A tabelas A-1 para o aço CA50; 
A tabelas A-2 para todos os tipos de aço. 
 
Obs.: As tabelas são válidas apenas para concretos do Grupo I 
(𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎) 
Vigas Tab. A-1 – Domínio 2 
 
 
32 
Vigas Tab. A-1 – Domínio 3 
 
 
33 
Vigas Tab. A-2 – Domínio 2 
 
 
34 
Vigas Tab. A-2 – Domínio 3 e 4 
 
 
35 
Vigas 
Seja a equação: 
𝑀𝑑 = 0,68𝑏𝜔𝑥𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,4𝑥 
Como 𝑥 = 𝛽𝑥 . 𝑑 
𝑀𝑑 = 0,68𝑏𝜔𝛽𝑥. 𝑑. 𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,4𝑥 
𝑀𝑑 = 0,68𝑏𝜔𝛽𝑥. 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑 1 − 0,4𝛽𝑥 
 
Fazendo 
1
𝐾𝐶
= 0,68𝑏𝜔𝛽𝑥. 𝑓𝑐𝑑 1 − 0,4𝛽𝑥 
 
𝑀𝑑 =
𝑏𝜔𝑑
2
𝐾𝐶
 
Então: 
𝐾𝐶 =
𝑏𝜔𝑑
2
𝑀𝑑
 
36 
Vigas 
Como: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑 𝑑 − 0,4𝑥
 
Devido a 𝑥 = 𝛽𝑥𝑑 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑 1 − 0,4𝛽𝑥 𝑑
 
 
Fazendo 𝐾𝑠 =
1
𝜎𝑠𝑑 1−0,4𝛽𝑥
 
 
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠
𝑀𝑑
𝑑
 
37 
Vigas 
Observe que os coeficientes K foram calculados em KN e cm, então 
nas equações: 
 
 
 
𝐾𝐶 =
𝑏𝜔𝑑
2
𝑀𝑑
 e 𝐴𝑠 = 𝐾𝑠
𝑀𝑑
𝑑
 
 
 
 
𝑏𝜔, d e Md devem ter estas unidades 
 
 
 
38 
Vigas 
As vigas têm dois tipos de problemas para serem resolvidos: 
Dimensionamento e Verificação. 
 
Dimensionamento: 
• Consiste em determinar qual a armadura necessária para a 
estabilidade de uma viga. 
 
• O calculo é feito durante a fase de projeto das estruturas. 
 
• São conhecidos os materiais, seção transversal e o 𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐. 
 
 
 
39 
Vigas 
Verificação: 
 
• Quando se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga 
em uma construção já executada e em utilização 
 
• Incógnitas: Momento máximo que a seção pode resistir; 
 
• São conhecidos os materiais, fck, tipo de aço, quantidade de 
armadura e posicionamento da mesma na seção transversal, 
dimensões da seção transversal, etc. 
 
40 
Vigas 
 
Observa-se que após o dimensionamento necessita-se efetuar o 
detalhamento da peça. 
 
 
“Essas três etapas devem estar sempre apoiadas em uma visão 
global da estrutura, mesmo quando se detalha um único nó(região de 
ligação entre dois elementos estruturais).” NBR 6118 – 16.2.2 
 
 
 
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