UNIP5 2017-5-CALCULO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADOpaginas 31 a 44

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CALCULO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO 35
							 III - VIGAS 
CÁLCULO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO
1. Definição – São peças particulares de uma estrutura com duas dimensões muito menores do que a terceira. Sua função é a de resistir e transmitir as cargas das lajes, alvenarias, coberturas etc, para os pilares. 
Em geral estão sujeitas aos esforços oriundos da flexão : momento fletor (M) e força cortante (cisalhamento) (V) e eventualmente momento de torção (T ou MT). É aconselhável que sejam dispostas de forma que o plano agente do momento fletor tenha seu traço na seção transversal coincidente com um dos eixos centrais de inércia,caso em que a flexão é dita simples ou reta. Caso isso não aconteça a flexão é dita obliqua (vide pagina 11). Podem ser moldadas no local (“in loco”) ou pré-moldadas. Vigas de edifícios podem ter seções transversais em forma de retângulo, em “T” ou em “L”; e outras formas quando em pontes.
2. Classificação. As vigas podem ser classificadas:
Quanto às condições de contorno (ou estaticidade) em
 isostáticas, hiperestáticas e hipoestáticas; 
Quanto ao material constituinte podem ser
 de madeira, aço, concreto e alumínio. 
3. Cargas nas vigas de edifícios - basicamente as cargas que as vigas estão sujeitas em edifícios são : permanentes (g), acidentais (p). excepcionais.
As permanentes são devidas a:
 		a) peso próprio (pp) Chamando de: bw = base (largura total) da seção de 		 cada vão da viga dada em m, h = altura (altura total) da seção de cada vão da 	 viga dada em m,ter-se-á:	 
		 pp = 25 bw .h ( kN / m) 
		b) peso das alvenarias (pa), que descarregam sobre cada vão da viga, 
 Chamando de: pd = altura da parede (pé direito) dado em metro γa = peso 	 específico do material de alvenaria dado em kN/m3 , tem-se:
 pa = pd γa = carga por metro linear de parede em kN / m 
Na falta de determinação exata, para o material da parede, podemos adotar os valores médios (ver abaixo) para o peso especifico da mesma, considerada já a carga de acabamento e revestimento (chapisco + emboço + reboco + massa fina + base + pintura látex) nas suas duas faces
Tabela de pesos específicos de alvenarias comuns
	MATERIAL
	Peso Especifico (γ)
kN/m3 
	Alvenaria de tijolos comuns (revestida)
	16 
	Alvenaria de tijolos furados (revestida)
	10 
	Alvenaria de blocos de concreto (revestida)
	13 
		c) reações de apoio das lajes* que se apóiam nos vãos da viga são 			calculadas de acordo com o já visto no assunto das Lajes.
			
* No caso de laje armada em uma direção tem-se;
 nas vigas V1 e V2 a carga proveniente da laje pode ser considerada zero;
 nas vigas V3 e V4 a carga proveniente da laje será: qviga = qLaje . l /2V1
 
V3
V4
L
V2
l
* No caso de laje armada em duas direções o critério mais pratico para calcular a reação da laje nas vigas de borda é o indicado na figura. Supõe-se que as bordas maiores ( L) recebam as cargas existentes na área AL e as menores recebam as cargas correspondentes às áreas Al . Essas áreas são formadas pelas bissetrizes tiradas de cada canto (“telhado”) independentemente de serem as bordas apoiados ou engastadas nas vigas. Assim, se a carga total na laje é q (kN/m2), as vigas de borda dos lados menores recebem a carga 
 e as vigas de borda dos lados maiores,
l
L
V1
V4
V3
V2
			d) cargas concentradas, devidas às reações de apoio de outras vigas, ou 		de pilares que nascem, etc.
As cargas acidentais em vigas só serão consideradas em separado quando elas existirem realmente (ex caso de viga de ponte rolante). No caso de edifícios elas já estão consideradas na carga das lajes
4. Dimensionamento das vigas retangulares de concreto armado 
 (uso de tabelas)
4.1 Ao momento fletor Diagramas de M
	l
P
Pl
	l
ql2/2
q
	 			
 		
ql2/8
q
l
Pl/4
P
l
P
a
b
Pab/l
l
Conhecido o momento fletor máximo Mk o dimensionamento é feito com o uso das tabelas “k” . Adotando o tipo de concreto a ser usado (de resistência característica fck ) e o tipo de aço a ser usado (p.ex. CA50), calcula-se o coeficiente kC. Na tabela A, em correspondência ao concreto escolhido e o aço correspondente, determina-se o coeficiente kS, com o qual se calcula a seção de aço para a flexão.
Exemplo
Determinar a armaçâo de combate à flexão para a viga dada abaixo. Dados: dimensões , (em cm) , bw = 20cm; h = 40cm cobrimento c= 1,5 cm
concreto: fck=20 MPa 
aço o CA50. 
5,0
50kN
2 kN/m
20
40
c
Solução
a) esforço máximo
 Mmáx = q.l2/8 +P.l/4= 2x52/8 +50.5/4= 6,25 +62,5 = 68,75 kN.m
	 
b) armação à flexão. Usando as unidades de momento em kN e cm, e o momento de calculo Md , tem-se: Md = 1,4x68,75 =96,25 kNm =9625kNcm
kC = bw.d2 / Md = 20 x 372 / 9625 = 2,84 ------>tabela A, kS = 0,028(domínio 3)
logo, AS = kS.Md /d = 0,028x 9625 / 37 = 7,28 cm2 -----> tabela B (área da seção de aço) --------> 4 16 (5/8”)(8,0cm2) ou 6 12,5 (1/2”)(7,50cm2)
Detalhamento 
Flexão - adotando 6 12,5 tem-se:
20
2
2
2
40
A
4.2 Ao cisalhamento Diagramas de V
l
ql
q
l
P
P
P/2
P
l
P/2
ql/2
q
l
ql/2
Armação ao cisalhamento ou armadura transversal (calculo dos estribos)
Os esforços de cisalhamento podem ser combatidos por meio de barras dobradas estribos verticais ou inclinados. Há mais de trinta anos os ensaios demonstraram que os estribos verticais são eficientes para o combate ao cisalhamento. Alem desse fato a utilização de estribos verticais é mais prática e consequentemente econômica. Os estribos são armações retangulares no contorno da viga (se ela for retangular) e, dependendo da largura da mesma, podem ter três ou mais “ramos” (ver figuras)
Quanto à armadura transversal só com estribos verticais, a Norma recomenda a obrigatoriedade de pelo menos uma barra em cada canto de estribo, e com bitola no mínimo igual à do estribo - são os denominados porta-estribos. Estes podem se situar na parte superior ou inferiore da seção ( quando for o caso).
Sejam:
V = força cortante agente na seção (i.é, cortante de serviço) (kN)	
Vd = força cortante de cálculo (d =design) = γ V=1,4V (kN)			 
ASW = área da seção de aço dos estribos na alma (em inglês, web) (cm2) 
ASW /S = área da seção de aço dos estribos, na alma, por metro de viga (cm2/m)
w = tensão convencional de cisalhamento na alma da peça 
		w = força / área = V/A = V/bwd
wd = γ V/bwd = 1,4.V/bwd =Vd / bwd = tensão convencional de cisalhamento (de cálculo ) na alma (d=cálculo, em inglês,”design”)
wu = tensão de cisalhamento última (de cálculo) 
c = parcela de tensão resistida pelo concreto na seção considerada
Roteiro de cálculo da armação de cisalhamento
1. calcular a cortante de cálculo Vd =1,4Vk
2. calcular a tensão convencional de cisalhamento wd =Vd / bwd 
3. calcular a tensão limite última de cisalhamento wu
	wu = 0,30 fcd ≤ 4,5 MPa para estribos verticais ( sendo fcd = fck /1,4) 
4. verificar que wd ≤ wu para que não haja esmagamento do concreto nas diagonais comprimidas (item 5.3.1.2b). Se isso não ocorrer ,isto é, se wd for maior do que wu deve-se alterar as dimensões da peça
5. calcular a tensão c (que é a parcela da tensão resistida pelo concreto) dada por c = ψ1√ fck (MPa), sendo que na flexão simples, ψ1 =0,15.
6.calcular a tensão d
		d = 1,15.wd - c 0 *
7. cálculo da armação ao cisalhamento
		 em cm2/m 
sendo fyd =resistência de cálculo do aço à tração do aço, com fydmáx = 435 MPa (sempre se toma esse valor o qual é o do aço CA50)
* se o resultado for negativo significa que basta adotar estribos mínimos!
8. armadura mínima
 deve-se respeitar o valor AsW mín = 0,14 bw (cm2/m)
De posse desse valor pode-se determinar a faixa da viga onde deverá haver estribos mínimos. Exemplos:
faixa de
estribos
calculados 
Vmín
Vmáx
região de
estribos
mínimos 
Exemplo (exemplo anterior)
Determinar as armações de combateao cisalhamento para a viga dada abaixo. Dados: dimensões , (em cm) , bw = 20; h = 40 c= 1,5cm 
concreto: fck=20 MPa 
aço o CA50. 
500
50kN
2 kN/m
20
40
c
Solução
a) cortante máxima
	 Vmáx = q.l/2+P/2 = 2x5/2 +50/2 = 5+ 25 =30 kN
b) cisalhamento
1. Cortante máxima, de calculo: Vd =1,4x30 = 42kN
2. wu = 0,30 fcd = 0,30x20/1,4 = 4,25 MPa
3. wd = Vd / bwd = 42 / 20x37 = 0,06 kN/cm2 = 0,60 MPa < wu (4,25) ok
4. c = ψ1√ fck = 0,15√20 = 0,67 MPa
5. d = 1,15.wd - c = 1,15x0,60-0,67 = 0,02
6. = 100x20x 0,02/435 = 0,09 cm2/m menor que o mínimo; logo, adota-se o mínimo.
7. ASwmín = 14% bw = 0,14x20 = 2,80 cm2/m TABELA DE CALCULO DE ESTRIBOS 6,3 c/21 adota-se c/20 (na prática o espaçamento dos estribos não deve superar d/2 ou 30cm)
Obs: o valor da cortante que corresponde à armadura mínima de estribos é dado por:
		
4.3 Notações 
	viga de seção retangular com armadura simples
porta-estriboss
As –armadura de tração
largura (bw)
Estribo
Altura (h)
Altura útil (d)
viga de seção retangular com armadura dupla
A’s - armadura de compressão 
As –armadura de tração
largura (bw)
Estribo
Altura (h)
Altura útil (d)
viga de seção em “T” - armadura simples
Altura (h)
 porta estribo 
As –armadura de tração
largura (bw)
Estribo
Altura útil (d)
largura (bf)
hf
viga de seção em “T” - armadura dupla
Altura (h)
 armadura de compressão 
As –armadura de tração
largura (bw)
Estribo
Altura útil (d)
largura (bf)
hf
Principais considerações da NBR-6118 e da prática de dimensionamento
4.4 Armaduras mínimas
	Armadura longitudinal
Nas seções retangulares ou em forma de T, a armadura mínima de tração não deverá ser inferior a 0,15 % bw h 	para o aço CA50 e CA60. Exemplo:
adotando-se; bw, h em cm ter-se-ia: 	Asmin = 0,0015 bw h = cm² para os aços citados.
Obs.: É importante observar que a norma se refere a armadura mínima de tração, ou seja, armadura a ser colocada na face tracionada da seção. No caso de momentos de vão (momentos positivos, na face inferior da viga) a armadura mínima deverá ser verificada para essa face (inferior) da seção. No caso dos momentos de engastamento, ou de apoio (momentos negativos, na face superior da seção) a armadura mínima deverá ser verificada para essa face (superior) da seção. Não é raro o fato de ser desconsiderada a armadura mínima para os negativos (face superior da seção).
Armadura transversal (estribos)
A armadura transversal pode ser constituída só de estribos.
A Norma recomenda a obrigatoriedade de pelo menos uma barra em cada canto de estribo, e com bitola no mínimo igual à do estribo - são os denominados porta-estribos superiores (e inferiores quando for o caso).
A seção transversal total de cada estribo, compreendendo todos os ramos que cortam o plano neutro, não deve ser menor que; 0,14 % bw 	para os aços CA50 e CA60 . 
Exemplo: tomando bw em cm tem-se; Asw,min = 0,0014 bw = cm²/m para os aços citados.
Bitolas mínimas
Armadura longitudinal tracionada - adotar no mínimo para o diâmetro da barra, o maior dos valores a seguir:
	 tração> 6,3 mm (1/4”)
	 tração > 2 estribo (2 x o diâmetro da bitola adotada para os estribos)
Armadura longitudinal comprimida - adotar (no mínimo) para o diâmetro da barra, o maior dos valores a seguir:
	 comprimida > 5 mm 
	 comprimida >2 estribo (2 x o diâmetro da bitola adotada para os estribos.)
Estribos - adotar para o diâmetro dos estribos, um valor dentro do intervalo a seguir:
	 5 mm < estribo ≤ bw / 12 com bw = base (largura da 
 seção tomada em mm)
Apenas como sugestão (valores práticos), pode-se adotar as seguintes bitolas de estribos em função da bitola da barra de tração, ou vice-versa:
		 t		 estribo
		 (mm) 		(mm)
		6,3 a 8,0		 5,0
		10,0 a 12,5		 6,3
		16,0 a 20,0		 8,0
		25,0			10,0
Existem tabelas que forneçam a quantidade de barras possíveis de se alojarem na largura da viga. Tais tabelas também levam em conta o cobrimento necessário (ver adiante) 
Estribo de dois ramos . Na prática em vigas
com largura até 30cm
porta estribos
				
estribo de três ramos
					
estribo de quatro ou mais ramos
								 
							armação principal
porta estribos
c
bw
d
h
bw = largura da seção
c
d= altura útil da seção
h= altura total da seção
c= cobrimento 
armadura de cisalhamento (estribos)
armadura de flexão
yd
d
W
SW
f
τ
b
100
A
=
yd
f
d
τ
b
100
SW
A
W
=
)
τ
yd
(0,0014f
1,61
d
w
b
k
V
C
+
=
4
.
2
.
2
.
l
q
l
l
l
q
q
x
l
=
=
)
2
.(
4
2
.
2
)
(
.
L
l
ql
L
l
l
L
L
q
q
L
-
=
-
+
=
 
CALCULO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I
II 
-
 
 
VIGAS 
 
 
CÁLCULO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO
 
 
1
.
 
Definição
 
–
 
São peças particulares de uma estrutura
 
com duas dimensões 
muito menores do que a terceira. Sua função é a de resistir e transmitir as 
cargas das lajes, alvenarias, coberturas etc, para os pilares. 
 
Em geral estão sujeitas aos esforços oriundos da
 
flexão
 
: momento fletor 
(M
) e 
força cortante (
cisalhamento
) (
V) e eventualmente 
momento de 
torção (T
 
ou 
M
T
). É aconselhável que sejam dispostas de forma que o plano agente do 
momento fletor tenha seu traço na seção transversal coincidente com um dos 
eixos ce
ntrais de inércia,
caso em que a flexão é dit
a 
simples
 
ou 
reta
. 
Caso 
isso não aconteça a flexão é dita 
obliqua
 
(vide pagina 11). 
Podem ser 
moldadas no local
 
(“in loco”)
 
ou pré
-
moldadas
. Vigas de edifícios podem ter 
seções transversais em forma de retângulo, em “T” ou em “L”; e outras formas 
quando e
m pontes
.
 
 
2
.
 
Classificação
. 
As vigas podem ser classificadas
:
 
Q
uanto às condições de contorno 
(ou estaticidade) 
em
 
 
isostáticas
, 
hiperestáticas
 
e 
hipoestáticas
; 
 
Q
uanto ao material constit
uinte podem ser
 
 
de madeira, aço, 
concreto
 
e alumínio. 
 
 
3.
 
Cargas nas vigas de edifícios
 
-
 
b
asicamente as cargas que as vigas estão 
sujeitas em edifícios são 
:
 
perman
entes (g), acidentais (p). excepcionais.
 
As permanentes são devidas a:
 
 
 
 
a) 
peso p
róprio
 
(
pp
)
 
Chamando de:
 
b
w
 
= base (largura total) da 
seção de 
 
 
 
 
cada vão da viga dada em 
m,
 
h
 
= altura (altura total) da 
seção de cada vão da 
 
 
viga dada em 
m
,
t
er
-
se
-
á
:
 
 
 
 
 
 
pp = 25 b
w
 
.h ( 
kN / m) 
 
 
 
b
) peso das alvenarias
 
(pa), que descarregam sobre cada vão da 
viga, 
 
 
 
 
Chamando de:
 
p
d
 
= altura da parede (pé direito) dado em 
metro
 
γ
a
 
= peso 
 
 
especνfico do material de alvenaria dado em kN/m
3
 
, 
tem
-
se:
 
 
 
 
p
a
 
= p
d
 
γ
a
 
= carga por metro linear de parede em 
kN / m
 
 
Na 
falta de determinaηγo exata, para o material da parede, p
odemos adotar os 
valores mιdios 
(ver abaixo) para o peso especifico 
da mesma
, considerada jα 
a carga de acabamento e revestimento
 
(chapisco + emboηo + reboco + 
massa fina + base + pintura lαtex) nas suas duas faces
 
 
Tabela de pesos especνficos de alvenarias comuns
 
 
MATERIAL
 
PESO ESPECIFICO (
γ
)
 
k
N/
m
3
 
 
Alvenaria de tijolos comuns (revestida)
 
16 
 
Alvenaria de tijolos furados 
(revestida)
 
10 
 
 CALCULO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO 35 
 
 
 III - VIGAS 
 
CÁLCULO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
1. Definição – São peças particulares de uma estrutura com duas dimensões 
muito menores do que a terceira. Sua função é a de resistir e transmitir as 
cargas das lajes, alvenarias, coberturas etc, para os pilares. 
Em geral estãosujeitas aos esforços oriundos da flexão : momento fletor (M) e 
força cortante (cisalhamento) (V) e eventualmente momento de torção (T ou 
M
T
). É aconselhável que sejam dispostas de forma que o plano agente do 
momento fletor tenha seu traço na seção transversal coincidente com um dos 
eixos centrais de inércia,caso em que a flexão é dita simples ou reta. Caso 
isso não aconteça a flexão é dita obliqua (vide pagina 11). Podem ser 
moldadas no local (“in loco”) ou pré-moldadas. Vigas de edifícios podem ter 
seções transversais em forma de retângulo, em “T” ou em “L”; e outras formas 
quando em pontes. 
 
2. Classificação. As vigas podem ser classificadas: 
Quanto às condições de contorno (ou estaticidade) em 
 isostáticas, hiperestáticas e hipoestáticas; 
Quanto ao material constituinte podem ser 
 de madeira, aço, concreto e alumínio. 
 
3. Cargas nas vigas de edifícios - basicamente as cargas que as vigas estão 
sujeitas em edifícios são : permanentes (g), acidentais (p). excepcionais. 
As permanentes são devidas a: 
 a) peso próprio (pp) Chamando de: b
w
 = base (largura total) da 
seção de cada vão da viga dada em m, h = altura (altura total) da 
seção de cada vão da viga dada em m,ter-se-á: 
 pp = 25 b
w
 .h ( kN / m) 
 b) peso das alvenarias (pa), que descarregam sobre cada vão da 
viga, 
 Chamando de: p
d
 = altura da parede (pé direito) dado em metro γ
a
 
= peso específico do material de alvenaria dado em kN/m
3
 , tem-
se: 
 
p
a
 = p
d
 γ
a
 = carga por metro linear de parede em kN / m 
 
Na falta de determinação exata, para o material da parede, podemos adotar os 
valores médios (ver abaixo) para o peso especifico da mesma, considerada já 
a carga de acabamento e revestimento (chapisco + emboço + reboco + 
massa fina + base + pintura látex) nas suas duas faces
 
 
Tabela de pesos específicos de alvenarias comuns 
 
MATERIAL PESO ESPECIFICO (γ) 
kN/m
3
 
Alvenaria de tijolos comuns (revestida) 16 
Alvenaria de tijolos furados (revestida) 10