Circuitos trifásicos

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 Sistemas de tensões trifásicas 
Representação temporal Representação fasorial 
)
3
2
cos(2)(
)
3
2
cos(2)(
)cos(2)(








tEte
tEte
tEte
c
b
a
o
c
o
b
a
EE
EE
EE
120
120
0






 Em que, ea(t), eb(t) e ec(t) são os valores instantâneos das tensões 
trifásicas, E é o valor eficaz das tensões e ω é a freqüência 
angular; e 
 
 A tensão a é a origem (ou referência) das fases. 
s. trifásica tensõesdas fasores os são e , cba EEE 
Geração em corrente alternada 
 Ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor 
máximo. 
Seqüência Positiva (Direta) Seqüência Negativa (Indireta) 
abc-bca-cab cba-acb-bac 
e 
t 0 
ea eb ec 
e 
t 0 
ea ec eb 
aE
bE
cE
aE
bE
cE
Seqüência de fases 
 Sistema de tensões trifásico simétrico: Três tensões senoidais de 
mesma magnitude, defasadas entre si de 120º ; 
 
 
 
 
 
 
 Sistema de tensões trifásico assimétrico: Sistema trifásico em que 
não atendem a pelo menos uma das condições acima ; 
 
Definições 
e 
t 0 
ea eb ec 
 
 Linha (ou rede) trifásica equilibrada: Linha (ou rede) constituída 
por 3 ou 4 fios (incluído o neutro ou retorno), com: 
 impedâncias próprias iguais 
 impedâncias mútuas iguais 
 
 Um circuito trifásico esta em equilíbrio se as três tensões senoidais 
tiverem a mesma magnitude e freqüência e cada tensão estiver 
120o fora de fase com as outras duas. As correntes na carga 
também devem estar em equilíbrio. 
Definições 
 Linha (ou rede) trifásica desequilibrada: Linha (ou rede) trifásica 
em que não se verifica alguma das condições de equilíbrio ; 
 
 Carga trifásica equilibrada: Carga trifásica constituída por três 
impedâncias iguais ligadas em estrela (Y) ou triângulo (Δ). ; 
 
 Carga trifásica desequilibrada: Carga trifásica em estrela (Y) ou 
triângulo (Δ) em que não se verifica pelo menos umas das 
condições de equilíbrio. 
Definições 
Um sistema trifásico simétrico tem sequência de fase B-A-C e 
 V. Determinar as tensões das fases A e B 
 
I. Seq. Inversa B-A-C-B-A 
 
 
II. Depois que a fase “C” passou pelo máximo, a próxima fase 
(atrasada) a passar pelo máximo será a fase “B” e depois a “A” 
III. A segunda fase a apresentar máximo deve ter 120o de defasagem 
em relação à primeira e a terceira 
IV. Todas as fases devem ter o mesmo valor máximo e mesmo valor 
eficaz (VA = VB = VC = 220V) 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
o
cV 70220

t 0 
ea ec eb 
Fase “C” 
 
Fase “B” 70 - 120 = - 50 
 
Fase “A” -50 -120 = -170 
 70 + 120 = 190 
 
 
 
 Caso fosse seq. positiva A-B-C : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 (continuação) 
VV oc 70220

VV oB 50220 

VV oA 190220

VV
VV
VV
o
B
o
A
o
C
190220
50220
70220






 Operador α – número complexo de modulo unitário e argumento 
120 graus. 
2
3
2
1
1201 jo 
 Propriedades: 
01
01
1201
1201
2
23
2
1








o
o
o
1
2



2
1
2
3

1
o120
Operador α 
Calcular: 1-α2 e α(1-α2) 
oooo
ojj
3031503303.1201)1(
303
2
3
2
1
1
2
3
2
1
11
2
2












Exemplo 2 
 Nos sistemas trifásicos podem ocorrer dois tipos de ligações: 
 Ligação em triângulo (Δ) 
 Ligação em estrela (Υ) 
 Na carga trifásica é medida: 
 A potência trifásica. 
 As tensões de linha (entre duas fases) ou tensões de fases (entre uma fase e o neutro). 
 As correntes de linha (percorrendo a linha) ou corrente de fases (percorrendo a carga). 
Gerador Trifásico 
- Triangulo 
- Estrela 
a 
b 
c 
A 
B 
C 
n 
Equilibrada 
Desequilibrada 
Quando a carga e o gerador estão conectados em estrela. 
Carga Trifásica 
- Triângulo 
- Estrela 
Rede Trifásica 
Ligações triângulo e estrela 
Padronização de sub índice duplo 
 
1. Tensão de fase: medida entre qualquer terminal do gerador ou 
carga e o centro-estrela; 
 
2. Tensão de linha: medida entre quaisquer dois terminais do 
gerador ou da carga, nenhum deles sendo o centro-estrela; 
 
3. Corrente de fase: corrente que percorre cada das bobinas do 
gerador ou da impedância da carga 
 
4. Corrente de linha: corrente que percorre os condutores que 
conectam o gerador á carga, excetuado o neutro. 
 
 
Definições 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 
 n é o neutro (centro-estrela) do gerador. 
 Para um sistema trifásico simétrico: 
a
b
c
abV
bcV caV
aI
bI
cI
abI
caI
bcI
n
anV
bnV
cnV
a
b
c
abV
bcV caV
aI
bI
cI
0

cba
cba
VVV
VVV


Ligações triângulo e estrela – Geração 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 
 n é o neutro (centro-estrela) da carga. 
 Para uma carga trifásica equilibrada: 
CABCAB
CBA
ZZZ
ZZZ




N
ANV
CNV
BNV
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
CAI
ABI
BCI
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
ABZ
BCZ
CAZ
Ligações triângulo e estrela - Carga 
 Tensão de fase – tensão medida em cada um dos ramos 
monofásicos de um sistema trifásico. 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 
CAI
ABI
BCI
N
ANV
CNV
BNV
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
ABZ
BCZ
CAZ
Relações entre os valores de fase e linha (1/12) 
 Tensão de linha – tensão medida entre dois condutores terminais 
de fase. 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 
CAI
ABI
BCI
N
ANV
CNV
BNV
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
ABZ
BCZ
CAZ
Relações entre os valores de fase e linha (2/12) 
 Corrente de fase – corrente que percorre cada ramo monofásico de 
um sistema trifásico. 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 
CAI
ABI
BCI
N
ANV
CNV
BNV
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
ABZ
BCZ
CAZ
Relações entre os valores de fase e linha (3/12) 
 Corrente de linha – corrente que percorre por cada condutor de 
linha. 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 
CAI
ABI
BCI
N
ANV
CNV
BNV
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
ABZ
BCZ
CAZ
Relações entre os valores de fase e linha (4/12) 
 Em uma ligação em estrela, as correntes de fase coincidem com as 
correntes de linha. 
 Em uma ligação em triângulo, as tensões de fase coincidem com 
as tensões de linha. 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 
N
ANV
CNV
BNV
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
CAI
ABI
BCI
A
B
C
ABV
BCVCA
V
AI
BI
CI
ABZ
BCZ
CAZ
Relações entre os valores de fase e linha (5/12) 
 Sistema trifásico simétrico com seqüência de fase positivaligado 
em estrela. 
faselinha II  



































 22
1
an
an
an
an
cn
bn
an
V
V
V
V
V
V
V







n
anV
bnV
cnV
a
b
c
abV
bcV caV
aI
bI
cI
 As correntes de linha são iguais as correntes de fase. 
 As tensões de linha 



























































































o
o
o
anananan
an
cn
bn
cn
bn
an
ca
bc
ab
VVVV
V
V
V
V
V
V
V
V
V
303
303
303
1
1
1
1
22
22
2 









Relações entre os valores de fase e linha (6/12) 
 Como fica, em notação fasorial, o sistema do exemplo 1 
 
 Seq. - 
Exemplo 3 
V
V
V
V
V
V
V
V
A
A
A
A
C
B
A






















































































70220
50220
190220
70220
310220
190220
1201
1201
01
190220
1
190220
1
222





 






VV oA 190220























 2
1
303 an
o
ca
bc
ab
V
V
V
V




 A tensão de linha é a tensão de fase multiplicada por √3 e 
adiantada 30º. 
anV
cnV
bnV
bnV
abV
cnV bcV

caV
anV
o30
Relações entre os valores de fase e linha (7/12) 





















2
1
303

an
o
ca
bc
ab
V
V
V
V




 A tensão de linha é a tensão de fase multiplicada por √3 e atrasada 
de 30º. 
anV
bnV
cnV
cnV
abV
bnV
bcV
caV
anV
o30
 Considerando um sistema trifásico simétrico com seqüência de 
fase negativa ligado em estrela. 
































22
1



 an
an
an
an
cn
bn
an
V
V
V
V
V
V
V







Relações entre os valores de fase e linha (8/12) 
 Sistema trifásico simétrico com seqüência de fase positiva ligado 
em triângulo. 
faselinha VV  



































 22
1
ab
ab
ab
ab
ca
bc
ab
I
I
I
I
I
I
I







 As tensões de linha são iguais as tensões de fase. 
 As correntes de linha 
a
b
c
abV
bcV caV
aI
bI
cI
abI
caI
bcI



























































































o
o
o
abababab
bc
ab
ca
ca
bc
ab
c
b
a
IIII
I
I
I
I
I
I
I
I
I
303
303
303
1
1
1
1
2
2
2
2
2 









Relações entre os valores de fase e linha (9/12) 






















 2
1
303 ab
o
c
b
a
I
I
I
I




 A corrente da linha é a corrente de fase multiplicada por √3 e 
atrasada de 30º. 
abI
caI
bcI
bcI
aI
caI
cI
bI
abI
o30
Relações entre os valores de fase e linha (10/12) 
 A corrente da linha é a corrente de fase multiplicada por √3 e 
adiantada de 30º. 
 Considerando um sistema trifásico simétrico com seqüência de 
fase negativa ligado em triângulo. 
































22
1



 ab
ab
ab
ab
ca
bc
ab
I
I
I
I
I
I
I




























2
1
303

ab
o
c
b
a
I
I
I
I




abI
bcI
caI
caI
aI
bcI cI

bI
abI
o30
Relações entre os valores de fase e linha (11/12) 
 Resumo 
Seqüência positiva Seqüência negativa 
L
ig
a
çã
o
 e
m
 
es
tr
el
a
 
L
ig
a
çã
o
 e
m
 
tr
iâ
n
g
u
lo
 
faselinha II  





















cn
bn
an
o
ca
bc
ab
V
V
V
V
V
V






303





















cn
bn
an
o
ca
bc
ab
V
V
V
V
V
V






303
faselinha II  
faselinha VV   faselinha VV
 





















ca
bc
ab
o
c
b
a
I
I
I
I
I
I






303





















ca
bc
ab
o
c
b
a
I
I
I
I
I
I






303
Relações entre os valores de fase e linha (12/12) 
 Conexões Residenciais na Rede Elétrica 
http://www.youtube.com/watch?v=ettHn5GRbgI 
 Sistema trifásico simétrico com seqüência de fase positiva. 
a
b
c
abV
bcV caV
n
anV
bnV
cnV
a
b
c
abV
bcV caV






















ca
bc
ab
o
cn
bn
an
V
V
V
V
V
V






303
1
Transformação triângulo – estrela (1/2) 
 Carga trifásico. 
A
B
C
ABZ
BCZ
CAZ
N
A
B
C
BZ
AZ
CZ
CABCAB
CABC
C
CABCAB
BCAB
B
CABCAB
CAAB
A
ZZZ
ZZ
Z
ZZZ
ZZ
Z
ZZZ
ZZ
Z















Para cargas equilibradas 
3
Z
ZZZ
ZZZZ
CBA
CABCAB




C
as
o
 g
er
al
 
Transformação triângulo – estrela (2/2) 
 Com carga equilibrada 
n
anV
bnVcnV
a
b
c
aI
bI
cI
N
ANV
CNV
BNV
A
B
C
aI
bI
cI
Z
Z
Z
LZ
LZ
LZ
nI
0 cban IIII 
 Os centros-estrelas n – N estão ao mesmo potencial. 
 A corrente pelo condutor neutro 
 Um circuito monofásico equivalente. 
circuito monofásico equivalente 
Sistemas trifásicossimétricos e equilibrados (1/3) 
 Com carga desequilibrada 
n
anV
bnVcnV
a
b
c
aI
bI
cI
N
ANV
CNVBNV
A
B
C
aI
bI
cI
BNZ
ANZ
CNZ
LZ
LZ
LZ
nI
cban
NnCNLccn
NnBNLbbn
NnANLaan
IIII
ZIZZIV
ZIZZIV
ZIZZIV








)(
)(
)(
nZ
 Um sistema de equações lineares 
Sistemas trifásicos simétricos e desequilibrados (2/3) 
 A potência aparente complexa monofásica e dada por: 
 
 
 Nos circuitos trifásico, a potência aparente toral é a soma das 
potências aparente individual das três fases: 
 
 
 Esta expressão nos dá a potência trifásica em função dos 
valores de fase 
 Em termos retangulares temos: 
 
 
Potência em sistemas trifásicos (1/7) 
 IVS 

 FF IVS
 33
 333 QPS 

 Em corrente alternada, definem-se as seguintes potências: 
 Potência aparente 
 
 Potência ativa 
 
 Potência reativa 
 
 
 Em termos retangulares temos: 
)(3 VAIVS aan
)(cos3 WIVP aan 
)(sin3 VArIVQ aan 
Potência em sistemas trifásicos (2/7) 
 333 QPS 

Potência em sistemas trifásicos (1/7) 
 A potência ativa consumida pela impedância da fase A é obtida 
através da colocação de um wattímetro. 
Potência em sistemas trifásicos (1/7) 
 Se outros dois wattímetros forem ligados às outras fases da carga, 
a potência ativa total será dada pela soma das leituras dos três 
wattímetros. 
 Usando os valores de tensão e corrente de linha. 
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo 


sin3
cos3
3
3
 ; 
AAB
AAB
AAB
AB
ANAAN
IVQ
IVP
IVS
V
VII






sin3
cos3
3
 ; 
3
AAB
AAB
AAB
ABAN
A
AN
IVQ
IVP
IVS
VV
I
I




 Num sistema simétrico e equilibrado com carga equilibrada 
(qualquer que seja o tipo de ligação) as fórmulas de potência 
ativa, reativa e aparente são as mesmas. 
 O fator de potência de uma carga trifásica equilibrada é o cosseno 
do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente numa fase. 
Potência em sistemas trifásicos (3/7) 
Exercicios 
1. Se em uma ligação Y-4 fios, a carga é equilibrada, há circulação 
de corrente no condutor neutro? E se a carga for desequilibrada? 
Justifique. 
2. Em uma ligação Y-3 fios há tensão (d.d.p.) entre o neutro da carga 
(n) e o da fonte (N) nas situações de carga equilibrada e de carga 
desequilibrada? Justifique. 
3. Para uma ligação Y–4 fios com carga equilibrada e outra com 
carga desequilibrada, comente sobre as possíveis alterações nos 
valores das correntes e das tensões de linha e de fase, se ocorrer 
um desligamento do condutor neutro. Justifique 
4. Em uma instalação elétrica composta de 4 condutores 220 / 127 V, 
estão operando simultaneamente: 
 fase A – um chuveiro 4000 W / 127 V, 
 fase B – uma torneira elétrica 3000 W / 127 V 
 fase C – um ferro de passar roupa 1000 W / 127 V. 
 Para a seqüência de fases ABC, obter na forma polar a corrente no 
condutor neutro. 
 
 
Exercicios 
5. No circuito indicado na figura abaixo a tensão medida no 
voltímetro é 220 V. 
 
 
 
 
 
 
 
Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Justifique. 
a) Se a lâmpada 1 queimar, a leitura no amperímetro será nula. 
b) Se a lâmpada 1 queimar, a leitura no voltímetro será nula. 
c) Se as lâmpadas 3, 4 e 5 queimarem, o sistema fica equilibrado. 
d) Se as lâmpadas 2 e 3 queimarem, a leitura no voltímetro será 
maior. 
e) Se as lâmpadas 3, 4 e 5 queimarem, a leitura no amperímetro 
diminuirá. 
Exercicios 
6. No circuito indicado na figura abaixo a tensão de linha é de 220 V e a carga é 
desequilibrada. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Se o medidor for um amperímetro, a sua indicação não é nula e as tensões de fase na 
carga são iguais entre si. 
b) Se o medidor for um amperímetro, a sua indicação não é nula e as tensões de fase na 
carga são desiguais entre si. 
c) Se o medidor for um amperímetro, a sua indicação é nula. 
d) Se o medidor for um voltímetro, a sua indicação é nula. 
e) Se o medidor for um voltímetro, a sua indicação não é nula e as tensões de fase na carga 
são iguais entre si. 
f) Se o medidor for um voltímetro, a sua indicação não é nula e as tensões de fase na carga 
são desiguais entre si. 
Exercicios 
7. Fonte trifásica •13,8 kV• alimenta uma carga equilibrada em Y 
com impedância • ZC = 200+ j50 Ω por fase através de uma linha 
de transmissão com impedância ZLT = j10 Ω por fase. Obter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) a corrente de linha; 
b) a tensão na carga e a queda de tensão na linha; 
c) a potência aparente entregue à carga; 
d) a potência aparente fornecida pela fonte; 
e) as potências ativa e reativa consumidas pela linha; 
f) o fator de potência da carga e o fator de potência visto pela fonte.