AD1 Gabarito (matemática básica) 2018.1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2018/2  AD1-Gabarito 
 
1ª Questão: [1,0 ponto] Determine todas as soluções inteiras positivas da equação 
𝑥2. 𝑦 = 144 . 
Solução: 
Como queremos soluções inteiras, vamos fatorar 144 como produto de potências de 
números primos, segundo o Teorema Fundamental da Álgebra: 144 = 24. 32. 
Assim, temos as seguintes possibilidades: 
𝑦 = 1 𝑒 𝑥 = 22. 3; 𝑦 = 24. 32 𝑒 𝑥 = 1; 𝑦 = 32 𝑒 𝑥 = 22; 𝑦 = 24 𝑒 𝑥 = 3 ; 𝑦 =
22. 32 𝑒 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 22 e 𝑥 = 2.3 . 
 
2ª Questão: [1,5 pontos] Calcule: 
a) mmc(22. 33. 52,2. 52. 73); 
b) mmc(14,36); 
c) mmc(16,42,54). 
Solução: 
 
a) mmc(22. 33. 52,2. 52. 73)= 22. 33. 52. 73 
b) mmc(14,36)=mmc(2.7, 22. 32)= 22. 32. 7 
c) mmc(16,42,54)=mmc(24, 2.3.7,2. 33)= 24. 33.7 
 
 
 
3ª Questão: [1,5 pontos] Um corredor ganhou uma maratona com o tempo de 4 horas e 36 
minutos. 
a) Usando somente horas como medida, como representamos esse tempo? 
b) O segundo colocado percorreu em 4 horas , 36 minutos e 18 segundos. Usando somente 
horas como medida, como representamos esse tempo? 
Solução: 
a) Fazendo uma regra de três, temos 1ℎ____ 60 𝑚𝑖𝑛
𝑥_____36 𝑚𝑖𝑛
. Logo, 𝑥 =
36
60
=
3
5
 ℎ e portanto 
esse tempo em horas é dado por 4 +
3
5
=
23
5
= 4,6 ℎ . 
b) Fazendo uma regra de três, temos 1ℎ____ 3600 𝑠𝑒𝑔
𝑥_____18 𝑠𝑒𝑔
. Logo, 𝑥 =
18
3600
=
1
200
=
0,005 ℎ e portanto esse tempo em horas é dado por 4 +
3
5
+
1
200
=
921
200
=
4,605 ℎ . 
 
 
 
4ª Questão: [1,0 ponto] Um quadrado de lado 𝑙 teve a medida do seu lado aumentado em 
8%. 
a) Qual o percentual de aumento do seu perímetro? 
b) Qual o percentual de aumento da sua área? 
Solução: 
a) Antes do aumento o perímetro era igual a 4. 𝑙. Após o aumento, o lado do 
quadrado passou a medir 𝑙 +
8
100
𝑙 =
108
100
. 𝑙, então o perímetro do quadrado 
passou a ser igual a 4 .
108
100
. 𝑙 =
432
100
. 𝑙 = 4,32 𝑙. Portanto o aumento foi de 
0,32𝑙 =
32
100
𝑙 =
8
100
. 4. 𝑙, ou seja, de 8%. 
b) Antes do aumento a área era igual a 𝑙2. Após o aumento, o lado do quadrado 
passou a medir 
108
100
. 𝑙, então a área do quadrado passou a ser igual a (
108
100
. 𝑙)2 =
11.664
10000
. 𝑙2 = 1,1664 . 𝑙2 . Portanto o aumento foi de 0,1664. 𝑙2 =
16,64
100
. 𝑙2 ou seja, 
de 16,64%. 
 
 
5ª Questão: [2,0 pontos] 
Efetue e dê a resposta simplificada, em forma de fração irredutível. 
a) 
0,02
0,1
− 0,54 × 
1
0,9
 
b) (
2
2/5
)
−1
× 
5
6−
1
2
+ 
13
(22+32)2
 
Solução: 
a) 
0,02
0,1
− 0,54 × 
1
0,9
= 0,2 −
54
90
=
2
10
−
6
10
= −
4
10
= −
2
5
 . 
b) (
2
2
5
)
−1
× 
5
6−
1
2
+ 
13
(22+32)2
 = ( 2 ×
5
2
)
−1
× 
5
11
2
+ 
13
(13)2
=
1
5
×
10
11
+
1
13
=
2
11
+
1
13
=
26+11 
143
=
37
143
 . 
 
 
6ª Questão: [1,5 pontos] 
O exame de um concurso tem a duração de 4 horas e é composto pelas provas de Português, 
Inglês, Matemática e Redação. Um aluno levou 0,8 h para completar a prova de Português, 
15% do tempo total para completar a de Inglês e 2/5 do tempo total para completar a de 
Matemática. Quanto tempo sobrou para ele fazer a Redação? 
1ª Solução: 
 
Observe que para fazer a prova de Português o aluno levou 0,8ℎ = 0,8 × 60 𝑚𝑖𝑛 =
48 𝑚𝑖𝑛; para a de Inglês o tempo gasto foi 15% de 4h, que é igual a 
15
100
× 4ℎ = 0,6ℎ =
0,6 × 60 𝑚𝑖𝑛 = 36𝑚𝑖𝑛. E para fazer a de Matemática o tempo foi 
2
5
× 4 ℎ =
8
5
ℎ =
8
5
×
60 𝑚𝑖𝑛 = 96 𝑚𝑖𝑛. Assim, o tempo gasto em minutos para as três provas foi de 
48+36+96=180 min, ou seja 3h. Portanto sobrou 1h ou 60 min para ele fazer a redação. 
Ou 
2ª Solução: 
 
O aluno gastou para fazer as provas de Português, Inglês e Matemática o seguinte tempo, 
em horas: 0,8 +
15
100
. 4 +
2
5
. 4 =
8
10
+
15
25
+
8
5
=
4
5
+
3
5
+
8
5
=
15
5
= 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. Sobrou 1 hora 
para a Redação. 
 
 
 
7ª Questão: [1,5 pontos] 
Há dois tanques A e B. No tanque A temos inicialmente 800 ℓ de água, quando este começa 
a ser cheio por uma torneira com vazão de 5ℓ/𝑚𝑖𝑛. No tanque B há inicialmente 400ℓ de 
água e este começa a ser cheio, no mesmo instante, por outra torneira de vazão de 9ℓ/𝑚𝑖𝑛. 
a) (0,4 ponto) Preencha a tabela abaixo. Observe a lei de formação da quantidade de água 
nos tanques. 
b) (0,6 ponto) Agora, generalize e escreva uma expressão para a quantidade de água 𝑄𝐴no 
tanque A, em função do tempo, após t minutos. Faça o mesmo para a quantidade de água 
𝑄𝐵no tanque B, após t minutos. 
c) (0,5 ponto) Utilizando o item b), determine em quê instante os dois tanques terão a 
mesma quantidade de água. 
 
Solução: 
a) 
Tempo decorrido 
em min. 
 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 
 Quantidade de 
água no tanque A 
em litros. 
 800 805 810 815 820 
Quantidade de 
água no tanque B 
em litros. 
 400 409 418 427 436 
 
c) 𝑄𝐴 = 800 + 5𝑡 e 𝑄𝐵 = 400 + 9𝑡 . 
d) 𝑄𝐴 = 𝑄𝐵 ⇔ 800 + 5𝑡 = 400 + 9𝑡 ⇔ 4𝑡 = 400 ⇔ 𝑡 = 100 𝑚𝑖𝑛 . 
(ou 1h40 min) .