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01
Aula Matemática
1D
Grandezas e Medidas
Introdução
A necessidade de medir está presente em praticamente 
todas as atividades humanas. Os sistemas de medidas per-
mitem estabelecer referências, aferições e planejamentos, 
além de constituírem instrumentos de linguagem que vão 
além das linguagens puramente técnicas. 
A evolução dos sistemas de medidas ao longo da 
história é um parâmetro da própria evolução da espécie 
humana. 
Em essência, o ato de medir consiste sempre num 
ato de comparar, ou seja, compara-se sempre o que se 
pretende medir com uma medida preestabelecida que 
serve como parâmetro. 
Medir é comparar.
Os principais sistemas de medidas usados nos dias de 
hoje são sistemas aceitos internacionalmente, facilitan-
do assim a comunicação entre os países. Esses sistemas 
medem comprimento, área, volume, capacidade, massa, 
ângulos e tempo, dentre outras grandezas. 
Alguns desses sistemas têm origens distantes na His-
tória, como, por exemplo, o sistema sexagesimal, usado 
para medir as grandezas ângulo e tempo. Esse sistema é 
um legado das civilizações mesopotâmicas (±4000 a.C.).
Os conceitos que serão abordados nesta aula interes-
sam não só para a Matemática. A necessidade de medir 
está presente em outras áreas do conhecimento.
Vamos abordar, nesta aula, algumas das unidades de 
medida mais usadas no cotidiano. 
Sistema Métrico Decimal
O Sistema Métrico Decimal, criado em 1799 pela 
Academia de Ciências da França, era constituído inicial-
mente de três unidades básicas e deu origem ao Sistema 
Internacional de Medidas (SI).
Veremos, na sequência, as principais unidades de 
medida de algumas grandezas desse sistema, ou que 
derivam do mesmo.
Unidades de medida de 
comprimento
Exemplo: Dimensões do campo do Estádio do Maracanã
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/F
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 F
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P.I
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e
A unidade padrão de medida de comprimento é 
o metro. 
01. Converter para metros:
 12 km =
 120 dm =
 350 mm = 
02. Converter para decímetros:
 240 m =
 80 cm =
 360 mm = 
Situações para resolver
2 Extensivo Terceirão
Por determinação da FIFA, o campo de jogo do Estádio do Maracanã teve suas dimensões reduzidas para receber a 
Copa do Mundo de 2014. Atualmente, esse campo tem 105 m de comprimento e 68 m de largura.
 Dimensões do campo no Estádio Maracanã.
68
 m
105 m
A grande variação das medidas a serem aferidas tornou conveniente estabelecer múltiplos e submúltiplos do metro.
Múltiplos Unidade padrão Submúltiplos
quilômetro
1 000 m
hectômetro
100 m
decâmetro
10 m
metro
1 m
decímetro
0,1 m
centímetro
0,01 m
milímetro
0,001 m
km hm dam m dm cm mm
Regra prática para transformações:
03. (ENEM) – Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as se-
guintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente:
a) 0,23 e 0,16
c) 23 e 16
e) 2300 e 1600
b) 2,3 e 1,6
d) 230 e 160
a = 2300 mm
b = 160 cm
Aula 01
3Matemática 1D
Unidades de medida de área 1 m
1 m
1 m1 m S = 1 m × 1 m = 1 m2
Múltiplos Unidade padrão Submúltiplos
quilômetro
quadrado
1 000 000 m2
hectômetro
quadrado
10 000 m2
decâmetro
quadrado
100 m2
metro
quadrado
1 m2
decímetro
quadrado
0,01 m2
centímetro
quadrado
0,0001 m2
milímetro
quadrado
0,000001 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
A unidade padrão de medida de área é o metro 
quadrado.
04. Transformar para m2:
 18 km2 =
 1 800 dm2 =
 4 200 cm2 = 
05. (UFRJ) – Uma chapa de vidro tem 0,15 metros qua-
drados. Quanto mede a sua área em centímetros 
quadrados? 
Situações para resolver
Regra prática para transformações:
4 Extensivo Terceirão
Unidades agrárias
As unidades agrárias são unidades de medida de superfície usadas, principalmente, em áreas rurais. Dentre essas 
unidades, destacamos o alqueire, o are e o hectare. 
Alqueire
Essa unidade de media é bastante utilizada, mas varia de acordo com a região do País. Temos, por exemplo, que:
 • 1 alqueire paulista equivale a 24 200 m2; 
 • 1 alqueire do Norte equivale a 27 225 m2; 
 • 1 alqueire mineiro equivale a 48 400 m2; 
 • 1 alqueire baiano equivale a 96 800 m2. 
Devido às variações, quando for necessário converter unidades que envolvam o alqueire, deve-se informar a 
correspondente equivalência em metros quadrados (ou em outra unidade de medida de área) a ser utilizada.
No Sul do Brasil é usado o alqueire com 24200 m2.
Are 
Um are (1 a) corresponde a cem metros quadrados.
1 a = 100 m2
Hectare
Um hectare (1 ha) corresponde a cem ares (100 a), ou seja, equivale a uma área de dez mil metros quadrados.
Essa é a unidade agrária mais utilizada atualmente.
1 ha = 100 a = 100 . (100 m2) = 10 000 m2
1 ha = 10 000 m2
Observe ainda que um hectare corresponde a um hectômetro quadrado (100 m . 100 m).
Unidades de medida de volume
O volume de um corpo é a quantidade de espaço 
ocupado por esse corpo.
1 m
1 m
1 m
V = 1 m × 1 m × 1 m = 1 m3
É importante saber
Por ser a unidade agrária mais utilizada, devemos dar especial atenção ao hectare.
A unidade padrão de medida de volume é o me-
tro cúbico.
06. Transformar em m3:
 9 km3 =
 1 800 dm3 =
 10 000 cm3 = 
Situação para resolver
Aula 01
5Matemática 1D
Unidades de medida de capacidade
Considere capacidade como sendo o volume máximo que pode ser armazenado no interior de um recipiente.
A principal unidade de medida de capacidade é o litro.
Múltiplos Unidade padrão Submúltiplos
quilolitro
1 000 L
hectolitro
100 L
decalitro
10 L
litro
1 L
decilitro
0,1 L
centilitro
0,01 L
mililitro
0,001 L
kL hL daL L dL cL mL
Múltiplos Unidade padrão Submúltiplos
quilômetro 
cúbico
1 000 000 000 m3
hectômetro 
cúbico
1 000 000 m3
decâmetro 
cúbico
1 000 m3
metro 
cúbico
1 m3
decímetro 
cúbico
0,001 m3
centímetro 
cúbico
0,000001 m3
milímetro 
cúbico
0,000000001 m3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Um litro é o volume equivalente a um decímetro cúbico. Portanto, nas aplicações práticas, considera-se que 
1 litro = 1 dm3.
Nas conversões de unidades, as equivalências mais usadas são:
 • 1 mL = 1 cm3 • 1 litro = 1 dm3 • 1000 litros = 1 m3 • 1 litro = 1000 mL
Sistema sexagesimal
O sistema sexagesimal é um sistema de numeração de base 60. Nesse sistema, destacamos as unidades de medi-
das de tempo e de ângulo.
Unidades de medida de tempo
A hora, o minuto e o segundo, que são unidades usuais de medida de tempo, estão relacionadas da seguinte 
maneira: 
1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3600 s
Uma hora tem 60 minutos Um minuto tem 60 segundos Uma hora tem 3600 segundos
Regra prática para transformações:
6 Extensivo Terceirão
Exemplo:
 • 2,3 h = 2h + 0,3 h = 2h + 0,3 . 60 min = 2h + 18 min 
2,3 h = 2h 18 min 
Observe, no exemplo, que 2,3 h ≠ 2h 30 min 
Unidades de medida de ângulo
O grau é uma unidade de medida de ângulo (ou arco). Cada unidade de grau (medida de arco) pode ser dividida 
em 60 minutos de arco, e cada minuto de arco, em 60 segundos de arco.
1° = 60' 1' = 60''
Um grau tem 60 minutos Um minuto tem 60 segundos
Notação:
 • 1° = um grau
 • 1' = um minuto
 • 1'' = um segundo
Exemplo: 
Na figura, o ângulo em destaque mede 66,5° (ou 60° 30') 
66 5 66 0 5
66 5 66 0 5 60
66 5 66 30
66 5 66 30
, ,
, , ’
, ’
, ’
° = °+ °
° = °+ ⋅
° = °+
° = °
66,5°
Uma circunferência apresenta 
um total de 360°
Observação:
Oportunamente, em outras aulas, estudaremos com mais detalhes as unidades de medida de ângulo.
Testes
Assimilação
01.01. Assinale V ou F, conforme cada afirmação seja ver-
dadeira ou falsa, respectivamente.
a) ( ) 3,2 km = 3 200 m
b) ( ) 357 mm = 3,57 m
c) ( ) 465 cm = 4,65 m
d) ( ) 1,4 m2 = 140 cm2
e) ( ) 7 500 cm2 = 0,75 m2
f ) ( ) 0,25 km2 = 250 000 m2
g) ( ) 2 m3 = 2 000 dm3
h) ( ) 3,125 m3 = 3 125 000 cm3
i) ( ) 350 cm3 = 3,5 dm3
j) ( ) 5 cm3 = 0,000005 m3
k) ( ) 0,6 m3 = 600L
l) ( ) 500 mL = 500 cm3
m) ( ) 3 L = 300 cm3
n) ( ) 5,6 L = 5 600 mL
o) ( ) 0,003 L = 3 cm3
Aula 01
7Matemática 1D
01.02. (UFPR) – Em uma determinada manhã, um médico 
atendeu 6 pacientes. A duração do atendimento referente 
a cada paciente é apresentada na tabela abaixo. Com base 
nas informações fornecidas, conclui-se que o tempo total de 
atendimento prestado pelo médico naquela manhã foi de:
Paciente Duração do Atendimento
Paciente 1 12 minutos
Paciente 2 29 minutos
Paciente 3 20 minutos
Paciente 4 12 minutos
Paciente 5 30 minutos
Paciente 6 27 minutos
a) 2 horas e 30 minutos. 
b) 2 horas e 10 minutos. 
c) 1 hora e 50 minutos. 
d) 1 hora e 30 minutos. 
e) 1 hora e 10 minutos.
01.03. (UFPR) – O aplicativo de celular de um aeroporto 
apresenta o tempo que falta, em minutos, até a decolagem 
de cada voo. Às 13h37min., Marcelo usou o aplicativo e 
descobriu que faltavam 217 minutos para a decolagem de 
seu voo. Supondo que não haja atrasos, a que horas o voo 
de Marcelo deverá decolar? 
a) 15h54min. 
b) 16h14min. 
c) 16h34min. 
d) 17h14min. 
e) 17h54min.
01.04. (UEG – GO) – O Parque Ipiranga em Anápolis possui 
uma excelente pista de caminhada. Sr. João, morador das 
imediações desse parque, realiza caminhadas ali diariamente. 
Em uma dessas caminhadas ele observou que existem ao 
longo da pista três pontos principais: um quiosque para 
lanches rápido, um ponto de táxi e um viveiro. Ele então 
resolveu contar e observou que do quiosque até o ponto de 
táxi havia caminhado 3.000 passos, do ponto de táxi até o 
viveiro 2.400 passos e, do viveiro até o quiosque, 2.800 passos. 
Sabendo-se que cada um dos passos do Sr. João mede 90 
cm, o comprimento total da pista é de 
a) 8.200 m 
b) 7.380 m 
c) 3.690 m 
d) 3.600 m 
e) 3.090 m
Aperfeiçoamento
01.05. (ETEC – SP) – Todos aqueles que tiveram oportu-
nidade de lidar com imóveis rurais se depararam com 
uma unidade de medida de terras denominada alqueire, 
o que usualmente vem seguido de uma dúvida: será o 
alqueire mineiro, com seus 4,84 ha, o paulista, equi-
valente a 2,42 ha, ou até mesmo o chamado alqueirão, 
com 19,36 ha?
Disponível em: <http://tinyurl.com/nk237dd>. Acesso em: 15.08.2015.
O Sr. João tem terras produtivas e sabe que pode colher 48 
sacas de soja por hectare de plantação. Em sua fazenda, ele 
plantou 5 alqueires paulistas de soja. 
Assim sendo, o número de sacas que o Sr. João espera colher 
é mais próximo de 
a) 250. 
b) 580. 
c) 840. 
d) 1 160. 
e) 4 640.
01.06. (IFBA) – Marta chegou em casa após 30 dias de 
viagem, e notou que uma torneira estava um pouco aberta, 
gotejando água em intervalos de tempo constantes. Em 
tempos de economia de água, ela, preocupada, resolveu 
medir o desperdício, e, para isso, usou um copo de 200 mL, 
que a torneira encheu em 20 minutos. Deste modo, o total 
desperdiçado, em litros, foi no mínimo, igual a:
a) 43,2
b) 432
c) 600
d) 720
e) 4320
01.07. (ESPM – SP) – Uma polegada equivale a 25,4 mm. 
Alguns artigos da construção civil ainda têm suas medidas 
dadas em polegadas e, por isso, os funcionários das lojas de 
materiais precisam, eventualmente, fazer as conversões de 
milímetros para polegadas. Entre as regras abaixo, assinale a 
que resulta numa melhor aproximação para essa conversão. 
a) Dividir a medida em milímetros por 4 e deslocar a vírgula 
uma casa para a esquerda. 
b) Multiplicar a medida em milímetros por 4 e deslocar a 
vírgula duas casas para a esquerda. 
c) Multiplicar a medida em milímetros por 4 e deslocar a 
vírgula três casas para a esquerda. 
d) Dividir a medida em milímetros por 5 e deslocar a vírgula 
uma casa para a direita. 
e) Dividir a medida em milímetros por 5 e deslocar a vírgula 
duas casas para a direita.
8 Extensivo Terceirão
01.08. (PUCRJ) – Uma máquina demora 27 segundos para 
produzir uma peça. O tempo necessário para produzir 150 
peças é: 
a) 1 hora, 7 minutos e 3 segundos. 
b) 1 hora, 7 minutos e 30 segundos. 
c) 1 hora, 57 minutos e 30 segundos. 
d) 1 hora, 30 minutos e 7 segundos. 
e) 1 hora, 34 minutos e 3 segundos.
01.09. (FGV – SP) – Estima-se que, em determinado país, 
o consumo médio por minuto de farinha de trigo seja 4,8 
toneladas. Nessas condições, o consumo médio por semana 
de farinha de trigo, em quilogramas, será aproximadamente:
a) 4,2 ∙ 105
b) 4,4 ∙ 106
c) 4,6 ∙ 106
d) 4,8 ∙ 107
e) 5,0 ∙ 107
01.10. (UECE) – Uma torneira está gotejando de maneira 
regular e uniforme. Observa-se que a cada 12 minutos o go-
tejamento enche um recipiente com volume de 0,000020 m3. 
Considerando um litro equivalente ao volume de 1 dm3, é 
correto afirmar que o volume, em litros, do gotejamento ao 
final de 30 minutos é
a) 0,15.
b) 0,36.
c) 0,24.
d) 0,05.
Aprofundamento
01.11. (UDESC) – Em 1958, como trote para os calouros da 
universidade de Harvard, nos Estados Unidos, um grupo de 
estudantes precisou medir o comprimento da ponte de Har-
vard (entre Boston e Cambridge, em Massachusetts), usando 
como padrão de medida um dos próprios estudantes, um 
rapaz chamado Oliver R. Smoot. Após horas de medição, com 
o estudante deitando-se no chão e levantando-se sucessi-
vas vezes para as medidas, concluiu-se que a ponte tinha 
364,4 smoots, +/– 1 orelha. 
A brincadeira fez tanto sucesso e a medição tornou-se tão 
popular que, na década de 1980, a ponte foi reformada pela 
prefeitura, que encomendou blocos de concreto personaliza-
dos de 1 smoot de comprimento para a reforma, eternizando 
as marcações colocadas no solo, que hoje já constam até no 
sistema de conversão de medidas da ferramenta Google. 
Ainda mais interessante é o fato de que, alguns anos após 
formado, Oliver Smoot tornou-se diretor da ANSI, o Instituto 
Nacional Americano de Padrões (“American National Stan-
dards Institute”) e depois presidente da ISO, a Organização 
Internacional para Padronização (“International Organization 
for Standardization”). 
Sabendo que Oliver Smoot tinha 5 pés e 7 polegadas de 
altura na ocasião da medida, desprezando o erro de +/– 1 
orelha, e assumindo 1 pé = 30,5 cm e 1 polegada = 2,5 cm, 
o comprimento da ponte é:
a) 600 m 
b) 619,48 m 
c) 633,51 m 
d) 111,14 m 
e) 117,85 m
01.12. (UFRGS) – Na última década do século XX, a perda 
de gelo de uma das maiores geleiras do hemisfério norte foi 
estimada em 96 km3. Se 1 cm3 de gelo tem massa de 0,92 g, 
a massa de 96 km3 de gelo, em quilogramas, é
a) 8,832 · 1012.
b) 8,832 · 1013.
c) 8,832 · 1014.
d) 8,832 · 1015.
e) 8,832 · 1016.
Aula 01
9Matemática 1D
01.13. (FATEC – SP) – Um atossegundo é uma unidade de 
tempo que representa um bilionésimo de um bilioné-
simo de segundo. Um femtossegundo é também uma 
unidade de tempo que representa um milionésimo de 
um bilionésimo de segundo. Sabe-se que o processo 
que permite a visão depende da interação da luz com 
pigmentos da retina e leva cerca de 200 femtossegundos 
para ocorrer.
Fonte dos dados: <http://tinyurl.com/ov3ur4z> 
Acesso em: 17.09.2015. Adaptado.
Dessa forma, o tempo em que a luz interage com os pig-
mentos da retina, em atossegundos, é igual a
a) 2 000. 
b) 20 000. 
c) 200 000. 
d) 2 000 000. 
e) 20 000 000.
01.14. (UNICAMP – SP) – Prazeres, benefícios, malefícios, 
lucros cercam o mundo dos refrigerantes. Recentemente, 
um grande fabricante nacional anunciou que havia reduzido 
em 13 mil toneladas o uso do açúcar na fabricação de seus 
refrigerantes, mas não informou em quanto tempo isso 
ocorreu. O rótulo atual de um de seus refrigerantes informa 
que 200 ml do produto contêm 21 g de açúcar. Utilizando 
apenas o açúcar “economizado” pelo referido fabricante seria 
possível fabricar, aproximadamente, 
a) 124 milhões de litros de refrigerante. 
b) 2,60 bilhões de litros de refrigerante. 
c) 1,365 milhões de litros de refrigerante. 
d) 273 milhões de litros de refrigerante.
01.15. (UFRGS) – Considere que o corpo de uma determi-
nada pessoa contém 5,5 litros de sangue e 5 milhões de 
glóbulos vermelhos por milímetro cúbico de sangue. Com 
base nesses dados, é correto afirmar que o número de gló-
bulosvermelhos no corpo dessa pessoa é
a) 2,75 ∙ 109
b) 5,5 ∙ 1010
c) 5 ∙ 1011
d) 5,5 ∙ 1012
e) 2,75 ∙ 1013
01.16. (ALBERT EINSTEIN – SP) – A tabela seguinte permite 
exprimir os valores de certas grandezas em relação a um 
valor determinado da mesma grandeza tomado como refe-
rência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades 
do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos 
direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm 
seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados.
Nome Símbolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
quilo K 103 = 1 000
hecto h 102 = 100
deca da 10 = 10
deci d 10–1 = 0,1
centi c 10–2 = 0,01
mili m 10–3 = 0,001
micro μ 10–6 = 0,000 001
nano n 10–9 = 0,000 000 001
pico p 10–12 = 0,000 000 000 001
(Fonte: Quadro geral de Unidades de Medida, 2a ed. – INMETRO, Brasília, 2 000)
Por exemplo, se a unidade de referência fosse o ampère (A), 
teríamos:
152000 152000 10
152 10
10
0 1526
3
6μA A A A= ⋅ =
⋅ =− ,
Se o grama (g) for a unidade de referência e
 
X
Gg
Tg
= ⋅ ⋅( ) ( , )
,
12500 10 0 0006
0 000012
9 ng , então o valor de X, em 
gramas, é tal que: 
a) X < 500
b) 500 < X < 1000
c) 1 000 < X < 1500
d) X > 1500
10 Extensivo Terceirão
01.17. (EPCAR – MG) – Uma caixa de capacidade 6,4 m3 deve ser abastecida com água. Abaixo estão representados três 
recipientes que podem ser utilizados para esse fim.
Recipiente A Recipiente B Recipiente C
Considerando que não há perda no transporte da água, afirma-se que: 
I. Pode-se usar qualquer um dos recipientes 100 vezes para encher a caixa.
II. Se os recipientes A, B e C forem usados, respectivamente, 16, 33 e 50 vezes, a caixa ficará com sua capacidade máxima.
III. Após usar 20 vezes cada um dos recipientes, ainda não teremos metade da capacidade da caixa ocupada.
Das afirmativas acima, tem-se que é (são) verdadeira(s)
a) nenhuma delas. b) apenas a III. c) apenas a II. d) apenas a I.
01.18. (FATEC – SP) – Uma caixa de suco de manga tem o formato de um bloco retangular com base quadrada de lado 0,7 dm. 
O suco contido nela é feito com a polpa de quatro mangas. Sabe-se que a polpa obtida de cada manga rende 0,245 litros 
de suco.
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(Bill Watterson. Calvin e Haroldo. http://tinyurl.com/lwnyz8j/ Acesso em: 25/072014.)
• Libra e onça, bem como quilograma, são unidades de medida de massa.
• A relação lida por Calvin no 1º. quadrinho está correta.
• 1,0 kg é aproximadamente igual a 2,2 libras.
Considere que cada litro do suco de manga mencionado tem massa igual a 1,1 kg.
Em uma caixa de suco que ainda não foi aberta, a massa total de suco, em onças, é aproximadamente igual a
a) 37,95. b) 36,72. c) 35,24. d) 34,93. e) 33,86.
Aula 01
11Matemática 1D
Desafio
01.19. (FUVEST – SP) – Leia a charge e responda.
Fonte: Toda Mafalda. Quino. Martins Fontes, 1999.
a) Que motivo levou Mafalda a pedir para ir ao banheiro?
b) Enuncie e resolva o problema matemático apresentado à Mafalda.
01.20. (UFG – GO) – No conto “A viagem de dez léguas”, escrito por José J. Veiga, o Senhor Olimpio faz uma viagem de dez 
léguas acompanhado do seu único filho. A légua foi umas das diversas unidades de medida de comprimento, utilizadas no 
Brasil e em Portugal, antes da adoção do Sistema Internacional de Medidas. Durante o decorrer da história, existiram várias 
definições para léguas; entre elas, destacam-se duas: 
• Légua terrestre antiga: equivale a 240.000 polegadas. 
• Légua caipira: equivale à distância percorrida por uma pessoa a pé, durante uma hora. 
Considerando que 1 polegada equivale a 2,75 cm e que a velocidade média da caminhada de uma pessoa é de 6 km/h, 
calcule a distância percorrida pelo Senhor Olimpio, em quilômetros, nessa viagem, considerando as léguas terrestres antigas 
e as léguas caipiras e, em seguida, determine a diferença entre essas distâncias.
12 Extensivo Terceirão
01.01. a) V
b) F
c) V
d) F
e) V
f ) V
g) V
h) V
i) F
j) V
k) V
l) V
m) F
n) V
o) V
01.02. b
01.03. d
01.04. b
01.05. b
01.06. b
01.07. b
01.08. b
01.09. d
01.10. d
01.11. b
01.12. b
01.13. c
01.14. a
01.15. e
01.16. b
01.17. d
01.18. a
01.19. a) Mafalda pediu para ir ao banheiro porque queria extravasar sua 
frustração por não conseguir resolver o problema de Matemática
b) Exemplo de enunciado:
Um toneleiro passou 218 litros de um barril de vinho para gar-
rafas de 75 centilitros. Quantas garrafas foram necessárias?
Resolução:
Como 1 litro equivale a 100 centilitros, então 218 litros equiva-
lem a 21 800 centilitros. Como cada garrafa tem capacidade de 
75 centilitros, temos que 21800
75
290 67, , ou seja, foram neces-
sárias 291 garrafas. 
01.20. Léguas terrestres antigas: 
10 240000 2 75 6600000 66⋅ ⋅ = =, cm cm km
Léguas caipiras: 10 6 60⋅ =km km
A diferença é de 66 60 6km km km− =
Gabarito
13Matemática 1D
Matemática
1B1D
Proporcionalidade I
Aula 02
Introdução
Um conceito muito útil na Matemática é o de proporção. Ele envolve a ideia de razão, grandezas diretamente e 
inversamente proporcionais e é muito usado nos cálculos de porcentagem.
Como exemplo de aplicação do conceito de proporcionalidade, podemos citar a construção de mapas. Neles, a escala 
indica uma proporção existente entre a medida no mapa e a medida real do que está representado no mapa.
Ta
lit
a 
Ka
th
y 
Bo
ra
Brasil – Político
14 Extensivo Terceirão
01. No mapa da página anterior, na legenda inferior, observamos que 2 cm equivalem a 640 km. Estabeleça a escala em 
que este mapa foi desenhado.
Situação para resolver
Escala e proporcionalidade
A necessidade de desenhar em escala vai além dos 
mapas. De maneira geral uma representação em escala 
é um desenho proporcional, onde os comprimentos são 
estabelecidos pelos números da escala.
Uma escala de 1:10 significa que no desenho os 
comprimentos reais foram divididos por 10.
No exemplo abaixo, temos a chamada planta baixa 
de uma unidade residencial. Se a escala adotada for de 
1:100 significa que qualquer comprimento no desenho 
equivale a 100 vezes no tamanho real, ou seja: 1 cm 
equivale a 1 m (100 cm).
An
to
ni
o 
Ed
er
, 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
De forma geral, toda escala representa uma propor-
ção. Vamos ao exemplo:
Note que: H
h
B
b
.
Vamos à definição.
Proporção
B = 15
H = 6
Escala: 1 : 3
b = 5
h = 2
Nessa definição, os termos representados por a e 
d são chamados extremos e os termos b e c, meios da 
proporção.
As proporções apresentam propriedades das quais 
vamos destacar duas:
1.a Propriedade
Em uma proporção, o produto dos extremos é igual 
ao produto dos meios:
a
b
c
d
a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅ 
2.a Propriedade
As proporções se mantêm ao serem adicionados a 
elas os dois (ou mais) antecedentes e os corresponden-
tes consequentes:
a
b
c
d
a c
b d
= =
+
+
Uma das grandes aplicações de proporcionalidade 
está no dispositivo chamado Regra de Três, que será 
abordado na próxima aula.
Denomina-se proporção a igualdade entre duas 
razões. A igualdade
a
b
c
d
 
é uma proporção que é lida da seguinte forma: 
a está para b à mesma proporção que c está para d.
02. (PUCMG) – No orçamento anual de certa cidade, fo-
ram empenhados R$ 880 000,00 para duas escolas, 
de modo que a razão entre os valores destinados a 
cada uma delas fosse 
3
5
. Com base nessas informa-
ções, pode-se afirmar que a diferença entre esses va-
lores, em valor absoluto, é:
a) R$ 220 000,00
c) R$ 260 000,00
b) R$ 240 000,00
d) R$ 280 000,00
03. (ENEM) – Sabe-se que a distância real, em linha reta, 
de uma cidade A, localizada no estado de São Pau-
lo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, 
é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um 
mapa, verificou com sua régua que a distância entre 
essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos 
indicam que o mapaobservado pelo estudante está 
na escala de:
a) 1:250
c) 1:25 000
e) 1:25 000 000
b) 1:2 500
d) 1:250 000
04. (UEPG – PR) – Um lote de 200 peças deve ser fabrica-
do por quatro funcionários A, B, C e D. A tarefa vai ser 
dividida do seguinte modo: A e B deverão produzir 
3
5
 do total de peças, dividindo-as entre si na razão 
direta de suas respectivas idades: 28 e 32 anos; e C e 
D deverão dividir o restante entre si na razão inversa 
de seus respectivos tempos de serviço na empresa: 8 
e 12 anos. Assim sendo, assinale o que for correto.
01) O funcionário B é o que vai produzir mais peças.
02) O funcionário A vai produzir 8 peças a mais que 
o funcionário D.
04) O funcionário B vai produzir o dobro das peças 
produzidas pelo funcionário D.
08) Os funcionários B e D, juntos, vão produzir mais 
da metade das peças.
Situações para resolver
Aula 02
15Matemática 1D
Testes
Assimilação
02.01. Assinale V ou F, conforme cada afirmação seja ver-
dadeira ou falsa, respectivamente.
a) ( ) Em um mapa, uma distância de 300 km é represen-
tada por um segmento de 1 cm. A escala desse mapa é 
1 : 30 000 000.
b) ( ) Na maquete de um edifício, cuja escala é 1 : 70, a 
altura de uma porta de 2,1 metros é 3 cm.
c) ( ) Na proporção x
5
10
7
= , o valor de x é menor do que 7. 
d) ( ) Se x = 4, então 
3 2
7
22
2 3
x
x
+ =
+
.
e) ( ) Se x
x
− =
−
1
2
3
2
, então x = 4.
16 Extensivo Terceirão
02.02. (IFPE) – Nos mapas usados nas aulas de Geografia en-
contramos um tipo de razão chamada de escala. Uma escala 
é a relação matemática entre o comprimento ou a distância 
medida sobre um mapa e a sua medida real na superfície 
terrestre. Em um mapa encontramos a escala 1 : 200.000. Se 
nesse mapa a distância entre duas cidades é igual a 65 cm, 
então a distância real, em km, entre as cidades é igual a:
a) 100
b) 105
c) 110
d) 120
e) 130
02.03. (IFSP) – Em uma maquete de um condomínio, um 
de seus prédios de 80 metros de altura está com apenas 
48 centímetros. A altura de um outro prédio de 110 metros 
nessa maquete, mantidas as devidas proporções em centí-
metros será de
a) 56.
b) 60.
c) 66.
d) 72.
e) 78.
02.04. (UFSM – RS) – O departamento de recursos humanos 
de certa empresa do setor de alimentos constatou que, entre 
os entrevistados pretendentes a determinado emprego, a 
razão entre o número de aprovados e o de entrevistados é de 
4
11
. Sabendo que foram aprovados 8 candidatos, o número 
de reprovados foi de
a) 22
b) 18
c) 16
d) 14
e) 11
Aperfeiçoamento
02.05. (UFPR) – Na seguinte passagem do livro Alice 
no País das Maravilhas, a personagem Alice diminui 
de tamanho para entrar pela porta de uma casinha, no 
País das Maravilhas. 
“…chegou de repente a um lugar aberto, com uma 
casinha de cerca de um metro e vinte centímetros de 
altura… e não se aventurou a chegar perto da casa an-
tes de conseguir se reduzir a vinte e dois centímetros 
de altura”. 
Carrol, L. Aventuras de Alice no País das Maravilhas. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. 
Suponha que, no mundo real e no País das Maravilhas, a pro-
porção entre as alturas de Alice e da casa sejam as mesmas. 
Sabendo que a altura real de Alice é de 1,30 m, qual seria a 
altura aproximada da casa no mundo real? 
a) 3,5 m. 
b) 4,0 m. 
c) 5,5 m. 
d) 7,0 m. 
e) 8,5 m.
02.06. (UDESC) – João precisará percorrer um trajeto de 
200 km. O limite de velocidade em um trecho de 55 km é de 
110 km/h; para 85 km do percurso o limite é de 100 km/h, 
e no restante do trajeto o limite é de 80 km/h. Se João andar 
exatamente no limite da pista em cada trecho e não fizer 
nenhuma parada, o tempo que ele levará para percorrer 
todo o trajeto é de:
a) 2 horas e 20 minutos.
b) 2 horas e 10 minutos.
c) 4 horas e 30 minutos.
d) 4 horas e 50 minutos.
e) 2 horas e 6 minutos.
Aula 02
17Matemática 1D
02.07. (UERJ) – 
Casos de febre amarela desde o início de 2017:
 • confirmados → 779;
 • suspeitos → 435.
Mortes entre os casos confirmados: 262
Suponha que todos os casos suspeitos tenham sido com-
provados, e que a razão entre o número de mortes e o de 
casos confirmados permaneça a mesma. Nesse caso, com as 
novas comprovações da doença, o número total de mortos 
por febre amarela estaria mais próximo de: 
a) 365 
b) 386 
c) 408 
d) 503
02.08. (IFSP) – Márcia, Rosa e Vitória resolveram abrir uma 
loja de roupas juntas formando uma sociedade. Entraram, 
respectivamente, com os seguintes capitais na abertura da 
loja de roupas: R$ 60.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 50.000,00. No 
final do primeiro ano da sociedade, a loja de roupas teve um 
lucro de R$ 30.000,00. 
Assinale a alternativa que apresenta qual foi o lucro respecti-
vo das sócias Márcia, Rosa e Vitória de acordo com o capital 
investido por cada uma delas. 
a) Márcia teve R$ 12.000,00 de lucro; Rosa teve R$ 8.000,00 
de lucro; e Vitória teve R$ 10.000,00 de lucro. 
b) Márcia teve R$ 10.000,00 de lucro; Rosa teve R$ 11.000,00 
de lucro; e Vitória teve R$ 9.000,00 de lucro. 
c) Márcia teve R$ 15.000,00 de lucro; Rosa teve R$ 9.000,00 
de lucro; e Vitória teve R$ 6.000,00 de lucro. 
d) Márcia teve R$ 9.000,00 de lucro; Rosa teve R$ 8.000,00 
de lucro; e Vitória teve R$ 13.000,00 de lucro. 
e) Márcia teve R$ 12.500,00 de lucro; Rosa teve R$ 8.500,00 
de lucro; e Vitória teve R$ 9.000,00 de lucro.
02.09. (UFPR) – Giovana deseja fazer um painel usando 
folhas de papel de tamanhos carta e A4. O painel será com-
posto por duas faixas, cada uma contendo apenas folhas 
inteiras de um tipo dispostas lado a lado (sem sobreposição 
e sem espaço entre elas), formando uma figura retangular, 
sem sobras e sem cortes de papel. As folhas do tipo carta 
(1) serão dispostas na posição vertical, e as folhas do tipo A4 
(2) serão dispostas na posição horizontal, conforme ilustra 
a figura abaixo:
1 11
2 2
11
2 2
...
...
Carta →
A4 →
Sabendo que as folhas A4 têm tamanho 210 mm por 297 mm 
e que as folhas carta têm tamanho 216 mm por 279 mm, a 
menor quantidade total de folhas de papel (incluindo A4 e 
carta) que Giovana precisa usar para conseguir atender às 
exigências do enunciado é: 
a) 12. 
b) 19. 
c) 21. 
d) 57. 
e) 88.
02.10. (UEA – AM) – Em uma madrugada, a razão entre 
o número de adultos e o número de crianças atendidas 
em um pronto-socorro foi igual a 2
5
. Se o total de pessoas 
atendidas nessa madrugada foi igual a 84, o número de 
crianças atendidas foi
a) 50.
b) 55.
c) 60.
d) 65.
e) 70.
18 Extensivo Terceirão
Aprofundamento
02.11. Considere que a, b, c, d são números reais diferentes 
de zero, tais que a
b
c
d
= . Se 
b a
a
d x
c
− = −2 , então x é igual a
a) 2c
b) –2c
c) c – d
d) c + d
e) d – c
02.12. (UEG) – Analise o desenho.
Ru
a 
Ba
hi
a
Avenida Brasil
Avenida Anápolis
Rua G
oiás
6 cm
A
3 cm
Tendo em vista que, na planta acima, a quadra A possui uma 
área de 1800 m2, a escala numérica da planta é:
a) 1:10000
b) 1:1000
c) 1:100
d) 1:10
02.13. (FGV – RJ) – Débora pagou por 3 balas e 10 chicletes 
o triplo do que Paulo pagou, no mesmo lugar, por 4 balas e 
3 chicletes. A razão entre o preço de uma bala e o preço de 
um chiclete neste lugar é
a) 3.
b) 
7
13
. 
c) 
3
10
. 
d) 
3
7
. 
e) 
1
9
. 
02.14. (UEM – PR) – O carro de Maria percorre 6 quilômetros 
para cada litro de etanol e 8 quilômetros para cada litro de 
gasolina. Sobre o exposto assinale o que for correto. 
01) Se o preço do litro de etanol é R$ 4,00 e o preço do 
litro da gasolina é R$ 5,00, então é mais vantajoso Maria 
abastecer com etanol. 
02) Se a razão entre o preço do litro de etanol e o preço do 
litro da gasolina for menor que 0,75, é mais vantajoso 
Maria abastecer o carro dela com etanol. 
04) Se a razão entre o preço do litro de etanol e o preço do 
litro da gasolina for maior que 0,7, então é mais vanta-
joso Maria abastecer o carro dela com gasolina. 
08) Se o preço do litro de etanol é R$ 2,89 e Maria abaste-
ceu o carro dela com 15 litros desse combustível, ela 
gastou R$ 43,35. 
16) Se Maria percorrer 114 km utilizando gasolina, então o 
carroconsumirá 19 litros desse combustível.
Aula 02
19Matemática 1D
02.15. (INSPER – SP) – Em uma noite, a razão entre o nú-
mero de pessoas que estavam jantando em um restaurante 
e o número de garçons que as atendiam era de 30 para 1. 
Em seguida, chegaram mais 50 clientes, mais 5 garçons ini-
ciaram o atendimento e a razão entre o número de clientes 
e o número de garçons ficou em 25 para 1. O número inicial 
de clientes no restaurante era 
a) 250. 
b) 300. 
c) 350. 
d) 400. 
e) 450.
02.16. (UFC – CE) – Uma garrafa está cheia de uma mistura, 
na qual 
2
3
 do conteúdo é composto pelo produto A e 
1
3
 
pelo produto B. Uma segunda garrafa, com o dobro da capa-
cidade da primeira, está cheia de uma mistura dos mesmos 
produtos da primeira garrafa, sendo agora 
3
5
 do conteúdo 
composto pelo produto A e 
2
5
 pelo produto B. O conteúdo 
das duas garrafas é derramado em uma terceira garrafa, com 
o triplo da capacidade da primeira. Que fração do conteúdo 
da terceira garrafa corresponde ao produto A?
a) 
10
15
 
b) 
5
15
c) 
28
45
d) 
17
45
e) 
3
8
02.17. (ESCOLA NAVAL – RJ) – De um curso preparatório de 
matemática para o concurso público de ingresso à Marinha 
participaram menos de 150 pessoas. Destas, o número de 
mulheres estava para o de homens na razão de 2 para 5, 
respectivamente. Considerando que a quantidade de parti-
cipantes foi a maior possível, de quantas unidades o número 
de homens excedia o de mulheres?
a) 50
b) 55
c) 57
d) 60
e) 63
02.18. (UPE – PE) – Seja m
x
y z
y
x z
z
x y
=
+
=
+
=
+
 em que 
x, y e z são números reais cuja soma é não nula. Nessas 
condições, qual o valor de m?
a) −3
2
 
b) –1
c) 0
d) 1
2
 
e) 1
20 Extensivo Terceirão
Desafio
02.19. Denomina-se retângulo áureo um retângulo ABCD 
com a seguinte propriedade:
Se suprimirmos de ABCD um quadrado ABEF, o retângulo 
restante CDFE será semelhante ao retângulo original.
A
B E C
F D
Sendo a e b as dimensões do retângulo áureo ABCD, com 
a > b, determine a razão a
b
.
Gabarito
02.20. (IME – RJ) Sejam a, b e c números reais não nulos. 
Sabendo que 
a b
c
b c
a
a c
b
+ = + = + , determine o valor nu-
mérico de a b
c
+ . 
02.01. a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
02.02. e
02.03. c
02.04. d
02.05. d
02.06. e
02.07. c
02.08. a
02.09. b
02.10. c
02.11. d
02.12. b
02.13. e
02.14. 10 (02 + 08)
02.15. e
02.16. c
02.17. e
02.18. d
02.19. a
b
= +1 5
2
 
02.20. Se a b c
a b
c
+ + ≠ + =0 2, .
Se a b c
a b
c
+ + = + = −0 1, .
21Matemática 1D
Matemática
1B1D
Proporcionalidade II
Aula 03
Introdução
Nesta aula, vamos abordar uma ferramenta de grande 
aplicabilidade inserida no estudo das proporcionalidades. 
Sua utilidade transcende a Matemática. Ela é imprescindí-
vel para a Física, a Química, a Biologia e a Geografia.
Regra de três 
A compreensão desta regra pressupõe o domínio 
de dois conceitos: as ideias de grandezas diretamente 
proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. 
Grandezas diretamente 
proporcionais 
Dado um quadrado de lado 2, seu perímetro (soma 
das medidas dos lados) é igual a 8. Se triplicarmos o seu 
lado, seu perímetro será 24.
Ou seja: ao triplicar-
mos o lado, o perímetro 
também triplicou. 
Por isso, lado e períme-
tro de um mesmo quadra-
do são ditos grandezas di-
retamente proporcionais, 
o que permite escrever: 
L 2
2
P
pℓ
 pois 6
2
24
8
3
Podemos dizer que os perímetros do exemplo são dire-
tamente proporcionais numa proporção de razão igual a 3.
Definição
Grandezas inversamente 
proporcionais
Considere um carro realizando uma viagem de 100 km.
Velocidade média Tempo de viagem
100 km/h 1 hora
50 km/h 2 horas
20 km/h 5 horas
Observe que, se a velocidade média dobra, o tempo 
de viagem cai pela metade. E vice-versa. Temos, então, 
um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.
ℓ L
ℓ = 2
2p = 8
L = 6
2P = 24
Algebricamente, se x e y são grandezas diretamente 
proporcionais, então 
x
y
 = k ou x = k ∙ y, sendo k uma 
constante não nula.
©
St
oc
kp
ho
to
.c
om
/G
eo
rg
e 
Cl
er
k
Definição
Algebricamente, se x e y são grandezas inversamen-
te proporcionais, então x ∙ y = k ou x = 
k
y
, sendo k uma 
constante não nula.
Duas grandezas são ditas diretamente proporcio-
nais quando, ao multiplicarmos ou dividirmos uma 
delas por um número diferente de zero, a outra é 
multiplicada ou dividida pelo mesmo número. 
Duas grandezas são ditas inversamente propor-
cionais quando, ao multiplicarmos ou dividirmos 
uma delas por um número diferente de zero, a outra 
é dividida ou multiplicada pelo mesmo número.
22 Extensivo Terceirão
Regra de três
De maneira geral, a regra de três é um procedimento 
para resolver problemas que envolvem grandezas dire-
tamente ou inversamente proporcionais. 
Quando o problema envolve uma proporção de qua-
tro elementos dos quais três são conhecidos e um deve 
ser determinado, temos uma Regra de Três Simples.
Quando é envolvida mais do que uma proporção no 
mesmo problema, temos uma Regra de Três Composta.
O procedimento resolutivo consiste em determinar 
se as proporções nos problemas envolvem grandezas 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcio-
nais e aplicar as propriedades anteriores.
Dispositivo prático 
1. Reunir em uma mesma coluna as grandezas de igual 
espécie e de mesma unidade de medida, deixando a 
incógnita na primeira coluna. 
2. Verificar se as grandezas envolvidas são diretamente 
ou inversamente proporcionais. Para verificar, deve-se 
analisar as grandezas envolvidas comparando-as 
sempre com o que se quer determinar, e analisando 
de cima para baixo, concluir:
3. Multiplicar de acordo com as propriedades vistas 
anteriormente.
Veja os exemplos.
Exemplo 1:
Se 10 m de um certo tecido custam R$ 60,00, qual 
o valor de 25 m do mesmo tecido, supondo que não 
houve desconto?
Custo R Tecido m
x
DIRETA
( $) ( )
60 10
25
Produzir MAIS tecidos resulta em MAIS custos. Então, 
as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, 
donde segue que:
60 10
25
60 25 10 150
x
x x= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =
Resposta: R$ 150,00
Exemplo 2:
Uma obra é construída por 12 operários em 90 dias. 
Em quantos dias essa obra seria construída por 
36 operários, supondo o caso ideal em que todos eles 
tenham a mesma capacidade de produção?
Dias Operarios
x
INVERSA
90 12
36
As grandezas envolvidas são inversamente pro-
porcionais, pois MAIS operários terminam a obra em 
MENOS dias. Portanto, invertendo a razão dos números 
de operários:
90 36
12
30
x
x= ⇒ =
Resposta: 30 dias
Os exemplos anteriores foram de Regras de Três 
Simples. Vamos agora a exemplos de Regras de Três 
Compostas.
O procedimento resolutivo consiste em ampliar o 
dispositivo anterior para todas as grandezas envolvidas, 
comparando-as de forma independente com a grandeza 
que contém a incógnita.
Exemplo 3:
Um vendedor percorre 1200 km em 5 dias, viajando 
8 horas por dia. Em quantos dias ele percorrerá 3600 km, 
viajando 12 horas por dia?
Ed
ua
rd
o 
Bo
rg
es
. 2
01
6.
 D
ig
ita
l.
Resolução:
* sempre colocar a incógnita no início.
Dias Distancia horas dia
x
DIRETA INVERSA
/
5 1200 8
3 600 12
Para percorrer uma distância maior (percorrer MAIS) 
é necessário viajar MAIS dias. Viajando MAIS horas por 
dia, é preciso compensar com MENOS dias de viagem. 
Portanto, 
 • dias e distância são grandezas diretamente propor-
cionais;
 • dias e horas/dia são grandezas inversamente propor-
cionais.
se MAIS implica MAIS
 e DIRETA
MENOS implica MENOS
se MAIS implica MENOS
 e INVERSA
MENOS implica MAIS
Aula 03
23Matemática 1D
Ed
ua
rd
o 
Bo
rg
es
. 2
01
6.
 D
ig
ita
l.
Invertendo a razão dos números de horas/dia e 
mantendo as demais razões, temos:
5 1200
3600
12
8
10
x
x= ⋅ ⇒ =
Resposta: 10 dias
Exemplo 4:
30 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam 
uma escola em 4 dias.
Quantos dias serão necessários para que 12 pintores, 
trabalhando 10 horas pordia, pintem a mesma escola?
Dias Pintores horas dia
x
INVERSA INVERSA
/
4 30 6
12 10
MENOS pintores levarão MAIS dias para terminar a 
obra. É inversa. Trabalhando MAIS horas/dia a obra será 
concluída em menos dias. Também é inversa.
Mantendo a razão dos números de dias e invertendo 
as demais (as inversas), temos:
4 12
30
10
6
6
x
x= ⋅ ⇒ =
Resposta: 6 dias
01. (PUCMG) – Um bondinho tem capacidade para 18 
adultos ou 24 crianças. Se 8 crianças já estiverem no 
bondinho, o número máximo de adultos que ainda 
pode entrar é igual a:
a) 10 
b) 12 
c) 14
d) 16 
02. (ENEM) –
"Infelizmente, durante a ocupação do Brasil, a 
maior parte de sua vegetação, principalmente 
na região Sudeste, foi sendo derrubada para a 
extração da madeira e, depois, plantio de di-
versas culturas como o café. (...) A saída então, 
uma vez que não podemos voltar no tempo e 
reverter a situação, é tentar recuperar a região 
devastada através do reflorestamento. E zelar 
para que ninguém mais destrua."
(Extraído de http://www.infoescola.com/ecologia/reflorestamento/ 
Acesso em 30/04/11) 
Suponha que trinta agricultores reflorestam uma 
área de três hectares em 16 horas de trabalho. Quan-
tos agricultores são necessários, no mínimo, para que 
uma área de quatro hectares seja reflorestada em 10 
horas de trabalho?
a) 50 b) 46 c) 84 d) 64
03. (UNESP – SP) – Semanalmente, o apresentador de 
um programa televisivo reparte uma mesma quan-
tia em dinheiro igualmente entre os vencedores de 
um concurso. Na semana passada, cada um dos 
15 vencedores recebeu R$ 720,00. Nesta semana, 
Situações para resolver
24 Extensivo Terceirão
houve 24 vencedores; portanto, a quantia recebida 
por cada um deles, em reais, foi de
a) 675,00 
b) 600,00
c) 450,00
d) 540,00
e) 400,00
04. (FUVEST – SP) – A fábrica do Sr. Eusébio possui 12 
máquinas, de mesmo tipo e capacidade, que usu-
almente executam determinada tarefa em 16 dias, 
funcionando 6 horas por dia. Como quatro dessas 
máquinas ficaram inutilizadas, as restantes passa-
ram a ser colocadas em funcionamento 8 horas por 
dia. Nessas condições, a mesma tarefa será execu-
tada em
a) 18 dias.
d) 21 dias.
b) 19 dias.
e) 22 dias.
c) 20 dias.
05. (UFPR) – Um tanque tem 2 torneiras e um ralo. A 
torneira A enche um tanque em 3 horas, e a tornei-
ra B, em 4 horas. O ralo esvazia o tanque em 6 horas. 
Funcionando os três juntos, e o tanque estando va-
zio, o tempo para enchê-lo será de: 
a) 2 h e 4 min 
b) 2 h e 24 min
c) 2 h e 40 min
d) 2 h e 48 min
e) 2 h e 42 min
Testes
Assimilação
03.01. Em cada item determine o valor de x.
a) As grandezas A e B são diretamente proporcionais.
A B
4 28
9 x
b) As grandezas C e D são inversamente proporcionais.
C D
20 12
30 x
03.02. Em uma fábrica são produzidos 980 veículos em 
4 dias. Considerando que em todos os dias produz-se a mes-
ma quantidade, quantos veículos são produzidos em 14 dias?
a) 2 450
b) 3 430
c) 4 410
d) 9 800
e) 13 720
Aula 03
25Matemática 1D
03.03. Em 45 horas, 3 operários constroem um muro. Con-
siderando que todos eles trabalham no mesmo ritmo, em 
quantas horas 5 operários fariam esse muro?
a) 27
b) 32
c) 36
d) 60
e) 75
03.04. (UFRGS) – As rodas traseiras de um veículo têm 
4,25 metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas 
dianteiras dão 15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. 
A circunferência de cada roda dianteira mede
a) 2,125 metros.
b) 2,25 metros.
c) 3,4 metros.
d) 3,75 metros.
e) 5 metros.
Aperfeiçoamento
03.05. (PUC – RS) – Uma equipe de 4 operários, trabalhan-
do 8 horas por dia, realiza uma obra em 60 dias. Se fossem 
6 operários, trabalhando 5 horas diárias e mantendo o 
mesmo ritmo, o número de dias para realizar a mesma obra 
seria igual a
a) 25 
b) 50 
c) 56 
d) 64 
e) 144
03.06. (UFES) – Um edifício tem 25 apartamentos, de três 
tamanhos diferentes, distribuídos em duas colunas de doze 
apartamentos cada uma, e um apartamento de cobertura. 
Os apartamentos da primeira coluna têm fração ideal de 
área igual a 0,033; os apartamentos da segunda coluna têm 
fração ideal igual a 0,044; a cobertura tem fração ideal igual a 
0,076. O síndico desse edifício mora em um apartamento da 
segunda coluna e está isento da taxa condominial mensal. A 
taxa condominial dos demais apartamentos é cobrada pro-
porcionalmente à sua fração ideal de modo a cobrir as des-
pesas previstas no orçamento. Em um determinado mês, a 
previsão orçamentária desse condomínio foi de R$ 14.340,00. 
Nessas condições, o valor, em reais, da taxa condominial de 
um apartamento da primeira coluna, nesse mês, foi de
a) 475,00.
b) 485,00.
c) 495,00.
d) 505,00.
e) 515,00.
03.07. (UERJ) – Uma herança foi dividida em exatamente 
duas partes: x, que é inversamente proporcional a 2, e y, que 
é inversamente proporcional a 3. A parte x é igual a uma 
fração da herança que equivale a:
a) 
3
5
 
b) 
2
5
c) 
1
6
d) 
5
6
26 Extensivo Terceirão
03.08. (PUC – RJ) – Sabemos que 5 gatos comem 20 kg de 
ração em 20 dias. Considere as seguintes afirmações: 
I. 2 gatos comem 2 kg de ração em 2 dias. 
II. 5 gatos comem 5 kg de ração em 5 dias. 
III. 4 gatos comem 16 kg de ração em 16 dias. 
Quais destas afirmativas são verdadeiras? 
a) Apenas I 
b) Apenas II 
c) Apenas III 
d) Nenhuma delas 
e) Todas as três
03.09. (UEPG – PR) – Em uma fábrica, 7 máquinas operando 
3 horas por dia, durante 8 dias, produzem 60 peças. Nesse 
contexto, assinale o que for correto. 
01) Duplicando o número de máquinas e o número de 
horas trabalhadas por dia, a produção das mesmas 60 
peças será realizada em 2 dias. 
02) Para duplicar o número de peças produzidas, manten-
do o mesmo tempo de operação, é necessário duplicar 
o número de máquinas. 
04) Trabalhando com 3 máquinas a menos e operando 6 
horas por dia, durante 7 dias, o número de peças pro-
duzidas será o mesmo. 
08) Dez máquinas, operando 7 horas por dia, durante 4 
dias, produzem o dobro do número de peças.
03.10. (ESPM – SP) – Juntas, as torneiras A e B enchem um 
tanque em 24 min. Se apenas a torneira A estiver aberta, 
o tempo de enchimento é de 1 h. Podemos concluir que, 
se apenas a torneira B estiver aberta, esse tanque ficaria 
cheio em: 
a) 30 min. 
b) 40 min.
c) 20 min.
d) 36 min. 
e) 42 min. 
Aprofundamento
03.11. (ESPM – SP) – Sabe-se que uma grandeza A é inver-
samente proporcional ao quadrado de uma grandeza B e 
que, quando A vale 1, B vale 6. Pode-se afirmar que, quando 
A vale 4, a grandeza B vale: 
a) 1 
b) 1,5 
c) 3 
d) 4 
e) 4,5
03.12. (ALBERT EINSTEIN – SP) – Adriana e Beatriz precisam 
produzir 240 peças. Juntas elas levarão um tempo T, em ho-
ras, para produzir essas peças. Se Adriana trabalhar sozinha, 
ela levará (T + 4h) para produzir as peças. Beatriz, sozinha, 
levará (T + 9h) para realizar o serviço. Supondo que cada uma 
delas trabalhe em ritmo constante, o número de peças que 
Adriana produz a mais do que Beatriz, a cada hora, é igual a
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
Aula 03
27Matemática 1D
03.13. (UFPR) – Suponha que a carga suportada por uma 
viga seja diretamente proporcional à sua largura e ao qua-
drado de sua espessura e inversamente proporcional ao seu 
comprimento. Sabendo que uma viga de 2 m de comprimen-
to, 15 cm de largura e 10 cm de espessura suporta uma carga 
de 2.400 kg, qual é a carga suportada por uma viga de 20 cm 
de largura, 12 cm de espessura e 2,4 m de comprimento? 
a) 2.880 kg. 
b) 3.200 kg. 
c) 3.456 kg. 
d) 3.840 kg. 
e) 4.608 kg.
03.14. (UPE – PE) – As famílias Tatu, Pinguim e Pardal rea-
lizaram uma viagem juntas, cada uma em seu carro. Cada 
família sabe muito bem o quanto o seu carro consome de 
gasolina. O quadro a seguir mostra o carro de cada uma das 
famílias, com os respectivos consumos médios.
Família Carro Consumo
Tatu Penault 20 km/l
Pinguim Pevrolet 15 km/l
Pardal Piat 12 km/l
Nessa viagem, eles sempre pagaram a gasolina com o mes-
mo cartão de crédito. Ao final da viagem, eles perceberam 
que consumiram 1 200 litros de gasolina e gastaram 3 mil 
reais com esses abastecimentos.
Comoeles decidiram dividir a despesa de forma proporcio-
nal ao que cada família consumiu, quanto deverá pagar a 
família Pardal?
a) R$ 750,00 
b) R$ 1 000,00 
c) R$ 1 050,00 
d) R$ 1 250,00 
e) R$ 1 800,00
03.15. (COLÉGIO NAVAL – RJ) – Adão, Beto e Caio uniram-se 
num mesmo investimento e combinaram que, em janeiro de 
cada ano, repartiriam o lucro obtido em partes diretamente 
proporcionais ao tempo de investimento e ao valor investido. 
Adão investiu R$ 10.000,00 há nove meses; Beto R$ 15.000,00 
há oito meses e Caio R$ 12.000,00 há cinco meses. Se o lucro a 
ser repartido é de R$ 54.000,00, o maior recebimento será de
a) R$ 10.000,00
b) R$ 12.000,00
c) R$ 15.000,00
d) R$ 18.000,00
e) R$ 24.000,00
03.16. (FUVEST – SP) – Dois atletas correm com velocidades 
constantes em uma pista retilínea, partindo simultaneamen-
te de extremos opostos, A e B. Um dos corredores parte de A, 
chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B, chega 
a A e volta para B. Os corredores cruzam-se duas vezes, a 
primeira vez a 800 metros de A e a segunda vez a 500 metros 
de B. O comprimento da pista, em metros, é
a) 1.000. 
b) 1.300. 
c) 1.600. 
d) 1.900. 
e) 2.100.
03.17. (UPE – PE) – A margem de erro em uma pesquisa 
eleitoral é inversamente proporcional à raiz quadrada do 
tamanho da amostra. Se, em uma pesquisa com 8 100 
eleitores, a margem de erro é de 4%, em uma pesquisa com 
25 600 eleitores, ela será de
a) 2,25%
b) 2,50%
c) 2,80%
d) 3,00%
e) 3,50%
28 Extensivo Terceirão
03.18. (CEFET – MG) – Para executar uma reforma em uma 
loja, foram contratados n operários. O mestre de obras argu-
mentou: “para entregar a obra 2 dias antes do prazo previsto, 
seria necessário contratar mais 3 operários; se, entretanto, 2 
operários fossem dispensados a obra atrasaria em 2 dias.” 
Considerando que os operários trabalhem da mesma forma, 
o número n de operários contratados foi
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24.
Desafio
03.19. (IBMEC – RJ) – Uma loja para turistas vende minia-
turas da estátua do Cristo Redentor feitas em gesso, umas 
com 10 cm de altura e outras com 15 cm de altura. Se as 
menores pesam 120 g, cada uma, é correto afirmar que as 
maiores pesam:
a) 400 g.
b) 405 g.
c) 410 g.
d) 415 g.
e) 420 g.
Gabarito
03.20. (FGV – SP) – Considere três trabalhadores. O segun-
do e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 
10 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazê-lo em 
12 dias, enquanto o primeiro e o segundo, juntos, podem 
fazê-lo em 15 dias. Em quantos dias, os três juntos podem 
fazer o trabalho?
03.01. a) 63
b) 8
03.02. b
03.03. a
03.04. c
03.05. d
03.06. c
03.07. a
03.08. b
03.09. 07(01 + 02 + 04)
03.10. b
03.11. c
03.12. b
03.13. d
03.14. d
03.15. e
03.16. d
03.17. a
03.18. b
03.19. b
03.20. 8
29Matemática 1D
Matemática
1B1D
Porcentagem
Aula 04
Introdução
O gráfico abaixo retrata a concentração dos progra-
mas municipais de coleta seletiva de lixo urbano e, como 
na maioria das quantificações estatísticas, a linguagem 
usada é a porcentagem.
10%
8%
41%
40%
1%
Norte
Centro-Oeste
Sudeste
Sul
Nordeste
Regionalização dos municípios 
com coleta seletiva no Brasil
Junho / 2016. 
Fonte: organização Compromisso Empresarial para Reciclagem (Cempre)
Dizer, por exemplo, que a região Norte concentra 1% 
dos municípios brasileiros que apresentam programas 
de coleta seletiva significa que de cada 100 desses 
municípios apenas 1 é da região Norte. 
A utilização do número 100 como base de referência 
acabou se consagrando nas linguagens de quantifica-
ção.
Porcentagem
De maneira geral, porcentagem é toda fração onde 
o denominador é o número 100. Portanto, será dada 
sempre por uma razão centesimal que poderá ser repre-
sentada pelo numerador da fração seguido do símbolo 
%, que se lê “por cento”.
Exemplo: 23
100
 = 0,23 = 23%
A forma 
23
100
 chama-se fração centesimal.
A forma 0,23 chama-se numeral decimal.
A forma 23% chama-se taxa porcentual.
Portanto:
3
100
0 03 3
17
100
0 17 17
123
100
1 23 123
= =
= =
= =
, %
, %
, %
De maneira geral, os problemas relacionados à 
porcentagem podem ser resolvidos pelo dispositivo 
da regra de três, que na maioria das vezes será do tipo 
simples e direta.
Veja alguns exemplos resolvidos:
Exemplo 1:
Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 
840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time A. Quantas 
pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time A?
 • Regra de três:
nº. pessoas %
840 
x 
100 
 25
Observe que MENOS porcentagem corresponde a 
MENOS pessoas, portanto, as grandezas são diretamen-
te proporcionais.
Assim,
840 100
25x
= ⇒ 100 · x = 840 ∙ 25 ⇒ x = 210
Portanto: 210 pessoas.
30 Extensivo Terceirão
Exemplo 2:
Em uma escola com 1 810 alunos, 1 086 são meninas. 
Qual é o percentual de meninas?
 • Regra de três:
% nº. alunos
100 
x 
1 810 
1 086
100 1810
1086x
= ⇒ 1 810 · x = 100 · 1 086 ⇒ x = 60
Portanto: 60%.
Exemplo 3:
Uma fatura de R$ 1 250,00 foi paga com atraso e 
sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor total pago.
 • Regra de três:
R$ %
1 250 
x 
100 
 3,5
1250 100
3 5x
=
,
 ⇒ 100 · x = 1 250 · 3,5
x = 43,75 (multa)
O valor pago foi R$ 1 293,75, resultado de
R$ 1 250,00 + R$ 43,75
Situações para resolver
01. Calcule diretamente:
22% de 500 = ______________________________
31% de 800 = ______________________________
60% de 900 = ______________________________
125% de 600 = _____________________________
12% de x = _______________________________
120% de y = _______________________________
02. Um custo de R$ 4.800,00 terá um desconto de 40%. 
Qual é o preço final?
03. (FUVEST – SP) – (10%)2 é igual a:
a) 1%
c) 20%
e) 1 000%
b) 10%
d) 100%
04. (FGV – SP) – Trinta por cento da quarta parte de 
6 400 é igual a:
a) 480
c) 240
e) 120
b) 640
d) 160
Aula 04
31Matemática 1D
05. (UNICAMP – SP) – Uma compra no valor de 1 000 reais será paga com uma entrada de 600 reais e uma mensali-
dade de 420 reais. A taxa de juros aplicada na mensalidade é igual a
a) 2%. b) 5%. c) 8%. d) 10%.
06. (UERJ) –
O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou seja, 5 000%. 
Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge 1,53 metros. 
O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a:
a) 2,50 b) 2,75 c) 3,00 d) 3,25
07. (UFPR) – Numa empresa de transportes, um encarregado recebe R$ 400,00 a mais que um carregador, porém 
cada encarregado recebe apenas 75% do salário de um supervisor de cargas. Sabendo que a empresa possui 2 
supervisores de cargas, 6 encarregados e 40 carregadores e que a soma dos salários de todos esses funcionários é 
R$ 57 000,00, qual é o salário de um encarregado? 
a) R$ 2.000,00. b) R$ 1.800,00. c) R$ 1.500,00. d) R$ 1.250,00. e) R$ 1.100,00.
08. (UEM – PR) – Em março, uma danceteria aumentou o valor de seu ingresso em 30%, mantendo esse valor até 
o final de maio. Em todo o mês de junho do mesmo ano, fez uma promoção de 30% de desconto. Dessa forma, 
neste ano, o ingresso de junho custou x% mais barato do que o de fevereiro. Então, o valor de x é...
32 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
04.01. Assinale V ou F, conforme cada afirmação seja ver-
dadeira ou falsa, respectivamente.
a) ( ) 12% de 150 é igual a 18.
b) ( ) Aumentando 120 em 30% obtém-se 156.
c) ( ) Diminuindo 120 de 30% obtém-se 84.
d) ( ) Dois acréscimos sucessivos, um de 20% e outro de 
25%, equivalem a um único acréscimo de 50%. 
e) ( ) Um acréscimo de 10% seguido de um desconto de 
10% equivalem a um acréscimo de 1%.
04.02. (ESPM – SP) – A estreia do triathlon nas Olimpíadas 
deu-se em 2000, na cidade de Sydney, Austrália, com a dis-
tância que é conhecida como “Triathlon Olímpico”: 1,5 km de 
natação, 40 km de ciclismo e 10 km de corrida. Em relação à 
distância total percorrida pelos atletas, a corrida representa, 
aproximadamente: 
a) 23,64% 
b) 17,36% 
c) 27,22% 
d) 31,12% 
e) 19,42%
04.03. (PUC – RJ) – Em uma pesquisa feita para saber o mês 
de nascimentodos alunos de uma turma, obtiveram-se os 
resultados mostrados na tabela abaixo:
Mês Número de alunos
Janeiro 4
Março 5
Abril 4
Junho 3
Julho 5
Setembro 1
Novembro 4
Dezembro 4
Nenhum aluno desta turma nasceu nos meses não indicados 
na tabela. Qual é a porcentagem desses alunos que nasceram 
no mês de junho?
a) 10% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 90%
04.04. (UFPR) – Em julho deste ano, os brasileiros foram 
surpreendidos com uma alteração da alíquota do PIS e 
Cofins que resultou em um aumento de R$ 0,41 por litro de 
gasolina, elevando seu preço médio para R$ 3,51. De quanto 
foi o aumento percentual aproximado do preço médio da 
gasolina causado por essa alteração de alíquota? 
a) 7,5%. 
b) 8,8%. 
c) 11,7%. 
d) 13,2%. 
e) 15,1%.
Aperfeiçoamento
04.05. (UNICAMP – SP) – Os preços que aparecem no car-
dápio de um restaurante já incluem um acréscimo de 10% 
referente ao total de impostos. Na conta, o valor a ser pago 
contém o acréscimo de 10% relativo aos serviços (gorjeta). Se 
o valor total da conta for p reais, o cliente estará desembol-
sando pelo custo original da refeição, em reais, a quantia de
a) p/1,20.
b) p/1,21.
c) p × 0,80.
d) p × 0,81.
Aula 04
33Matemática 1D
04.06. (UNESP – SP) – Uma confeitaria vendeu seus dois 
últimos bolos por R$ 32,00 cada. Ela teve lucro de 28% com 
a venda de um dos bolos, e prejuízo de 20% com a venda do 
outro. No total dessas vendas, a confeitaria teve
a) prejuízo de R$ 1,28. 
b) lucro de R$ 2,56. 
c) prejuízo de R$ 2,56. 
d) lucro de R$ 5,12. 
e) prejuízo de R$ 1,00.
04.07. (UERJ) – Duas latas contêm 250 mL e 350 mL de 
um mesmo suco e são vendidas, respectivamente, por 
R$ 3,00 e R$ 4,90.
250 mL 350 mL
Tomando por base o preço por mililitro do suco, calcule quan-
tos por cento a lata maior é mais cara do que a lata menor.
04.08. (ALBERT EINSTEIN – SP) – O Índice Big Mac é um índi-
ce criado e calculado pela revista The Economist em mais de 
cem países, que serve para explicar um conceito econômico 
chamado Paridade de Poder de Compra. Funciona assim: se 
um sanduíche em determinado país for mais barato do que 
nos Estados Unidos, significa que a moeda desse país está 
desvalorizada em relação ao dólar. Se o sanduíche for mais 
caro que nos Estados Unidos, a moeda está valorizada. Em 
julho de 2018, um sanduíche custava R$ 16,90 no Brasil e 
US$ 5,51 nos EUA. Considerando que no referido mês a 
cotação era de 3,85 reais por dólar, conclui-se que a moeda 
brasileira estava, em relação ao dólar, desvalorizada aproxi-
madamente
a) 20%.
b) 5%.
c) 15%.
d) 25%.
e) 10%.
04.09. (UPF – RS) – Uma empresa planeja construir um 
parque aquático abrangendo dois municípios vizinhos: Gentil 
e Passo Fundo. A parte do parque em Gentil deverá ocupar 
1% da área desse município. A parte do parque em Passo 
Fundo ocupará 0,2% da área desse município. Sabendo-se 
que a área do município de Passo Fundo é quatro vezes a 
área do município de Gentil, a razão entre a área do parque 
que está em Gentil e a área total do parque é:
a) 4/9
b) 3/5
c) 4/5
d) 1/2
e) 5/9
04.10. (UFPR) – Em uma pesquisa de intenção de voto com 
1075 eleitores, foi constatado que 344 pretendem votar no 
candidato A e 731 no candidato B. 
a) Qual é a porcentagem de pessoas entrevistadas que 
pretendem votar no candidato A?
b) Sabendo que esse mesmo grupo de 1075 entrevistados 
é composto por 571 mulheres e 504 homens, e que 25% 
dos homens pretendem votar no candidato A, quantas 
mulheres pretendem votar no candidato B?
34 Extensivo Terceirão
Aprofundamento
04.11. (UNESP – SP) – Em um dia de aula, faltaram 3 alunas 
e 2 alunos porque os cinco estavam gripados. Dos alunos e 
alunas que foram à aula, 2 meninos e 1 menina também 
estavam gripados. Dentre os meninos presentes à aula, a 
porcentagem dos que estavam gripados era 8% e, dentre as 
meninas, a porcentagem das que estavam gripadas era 5%. 
Nos dias em que a turma está completa, a porcentagem de 
meninos nessa turma é de 
a) 52%. 
b) 50%. 
c) 54%. 
d) 56%. 
e) 46%.
04.12. (PUC – RJ) – Em uma floresta, existe uma espécie 
de lagarto que possui duas subespécies, uma verde e uma 
azul. Inicialmente, 99% dos lagartos desta espécie são verdes. 
Houve uma peste e muitos lagartos verdes morreram, mas 
os azuis eram imunes à peste, e nenhum morreu. Depois 
da peste, 96% dos lagartos eram verdes. Que porcentagem 
da população inicial total de lagartos foi morta pela peste? 
a) 2% 
b) 3% 
c) 5% 
d) 10% 
e) 75%
04.13. (FGV – RJ) – Um comerciante comprou mercadorias 
para revendê-las. Ele deseja marcar essas mercadorias com 
preços tais que, ao dar descontos de 20% sobre os preços 
marcados, ele ainda obtenha um lucro de 25% sobre o preço 
de compra. Em relação ao preço de compra, o preço marcado 
nas mercadorias é: 
a) 30% maior. 
b) 40% maior. 
c) 45% maior. 
d) 50% maior. 
e) mais de 50% maior.
04.14. (UEM – PR) – Em um supermercado, o quilo de um 
peixe congelado, em um determinado dia, estava custando 
R$ 20,00. Uma pessoa comprou 1,2 kg e, ao descongelá-lo e 
pesá-lo novamente, obteve 1,1 kg. No dia seguinte, o preço 
do quilo do mesmo peixe teve um desconto de 15%. Ao 
comprar a mesma quantidade do dia anterior e descongelá-
-la, o consumidor observou uma perda de 300g. Assinale o 
que for correto. 
01) Com a perda verificada no primeiro dia, o preço do 
quilo verdadeiramente pago foi de aproximadamente 
R$ 22,50. 
02) O preço do quilo de peixe do dia seguinte foi de 
R$ 17,00. 
04) O preço real pago no primeiro dia foi maior que o preço 
real pago no segundo dia. 
08) A perda do primeiro dia representa aproximadamente 
10,33% do total comprado. 
16) A perda do segundo dia representa 25% do total com-
prado.
04.15. (UDESC) – Cláudio e João, após jogarem 25 partidas 
de xadrez, apresentavam o placar de 14 vitórias de Cláudio 
contra 10 vitórias de João. João decidiu melhorar seu desem-
penho e seu objetivo é ganhar todas as próximas partidas até 
que sua taxa percentual de vitórias aumente em pelo menos 
12%. O número mínimo de vitórias consecutivas para que o 
objetivo de João seja alcançado é igual a:
a) 10 
b) 6 
c) 8 
d) 9 
e) 7
Observação: No enunciado, observa-se uma imprecisão. 
O objetivo de João é que seu percentual de vitórias 
aumente pelo menos 12 pontos percentuais.
Aula 04
35Matemática 1D
04.16. (FGV – SP) – Em uma prova de matemática de 10 
questões, cada questão vale zero ou um ponto, não havendo 
pontuações intermediárias. Concede-se conceito C para os 
alunos que fizerem de 5 a 6 pontos, conceito B para os que 
fizerem de 7 a 8 pontos, e A para os que fizerem de 9 a 10 
pontos. Alunos que fizerem menos do que 5 pontos recebem 
conceito insatisfatório. A respeito do desempenho dos alu-
nos de uma classe nessa prova, sabe-se que nenhum deles 
recebeu conceito insatisfatório, 20% receberam conceito 
A, 36 alunos não receberam conceito A e x% dos alunos 
receberam conceito C, sendo x um número inteiro positivo. 
Apenas com os dados informados, é possível concluir que a 
pontuação dos alunos que tiraram conceito A ou conceito 
B nessa prova pode ter sido, no máximo, igual a 
a) 162. 
b) 226. 
c) 234. 
d) 290. 
e) 306.
04.18. (UFPR) – Numa loja de automóveis usados, a comissão paga a cada um dos vendedores consiste num percentual 
sobre o total de vendas do vendedor mais um bônus por meta atingida, conforme a tabela abaixo:
Total de vendas no mês Percentual sobre o total de vendas
Bônus por meta 
atingida
Até R$ 80.000,00 0,8% R$ 0,00
Entre R$ 80.000,00 e R$ 200.000,00 1,0% R$ 600,00
Acima de R$ 200.000,00 1,2% R$ 900,00
a) Qual é a comissão paga a um vendedor que consegue vender R$ 120.000,00 em um mês?
b) Quanto um vendedor precisará vender em um mês para receber uma comissão de R$ 3.900,00?
c) Um dos vendedores apresentou uma reclamação ao gerente da loja porque havia recebido R$ 1.000,00 de comissão. 
Explique por que esse valor está errado.
04.17. (INSPER – SP) – Jair tem três opções de pagamento 
na compra de uma máquina no valor de100 mil reais, que 
são: 
I. à vista com 4% de desconto; 
II. em duas prestações mensais iguais, sem desconto, ven-
cendo a primeira um mês após a compra; 
III. em duas prestações mensais iguais com desconto de 2%, 
vencendo a primeira no ato da compra. 
Como Jair dispõe dos 100 mil reais para a compra, antes de 
tomar a decisão, ele verificou que é possível conseguir uma 
aplicação financeira no seu banco com rendimentos líquidos 
mensais de 2%. Dessa forma, comparando as três opções ao 
final de dois meses, a melhor das três é a 
a) I, com vantagem de R$ 1121,60 sobre a pior opção. 
b) I, com vantagem de R$ 964,80 sobre a pior opção. 
c) II, com vantagem de R$ 482,50 sobre a pior opção. 
d) II, com vantagem de R$ 236,40 sobre a pior opção. 
e) III, com vantagem de R$ 180,20 sobre a pior opção.
36 Extensivo Terceirão
Desafio
04.19. (COLÉGIO NAVAL – RJ) – Dois aumentos consecutivos 
de i% e 2i% correspondem a um aumento percentual igual a
a) (i + i2)%
b) 3
50
2
i
i+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
% 
c) (2i)%
d) 3
2
50
i
i+⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ %
e) (3i)%
04.01. a) V
b) V
c) V
d) V
e) F
04.02. e
04.03. a
04.04. d
04.05. b
04.06. e
04.07. Aproximadamente 16,7%.
04.08. a
04.09. e
04.10. a) 32%
b) 353
04.11. c
04.12. e
04.13. e
04.14. 18 (02 + 16)
04.15. e
04.16. e
04.17. a
04.18. a) R$ 1.800,00
b) R$ 250.000,00
c) Quando o total de vendas é R$ 80.000,00, a comissão é 
R$ 640,00, pois: 0 8
100
80000 640
,
⋅ =
Quando o total de vendas está entre R$ 80.000,00 e 
R$ 200.000,00, a comissão é maior do que R$ 1.400,00, pois:
1
100
80000 600 1400⋅ + =
Portanto, não é possível a comissão ser R$ 1.000,00.
04.19. b
04.20. 26 (02 + 08 + 16)
Gabarito
04.20. (UEM – PR) – A taxa percentual ou porcentagem é a 
razão entre um número real x e o número 100, e é indicada 
por
x
x
% =
100
.
Sobre o conceito de porcentagem, assinale o que for correto. 
01) x x% ( )%= para qualquer x > 0. 
02) (x + a ∙ y)% = x% + a ∙ (y%) para quaisquer x, y, a ∈ . 
04) (x + y)2% = (x%)2 + (2x ∙ y)% + (y%)2 para quaisquer 
x, y ∈ . 
08) Se um vendedor diminui o preço de uma mercadoria 
de x reais para y reais, então o desconto concedido é 
de 100( ) %
x y
x
− . 
16) Se uma mercadoria com valor inicial x sofre aumentos 
sucessivos de p1%, p2%, ..., pn%, então o valor final dessa 
mercadoria é igual a x ∙ (1 + p1%) ∙ (1 + p2%) ... (1+ pn%).