Regressão Linear simples

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Capítulo 5
Regressão Linear simples
Seção 1 
Correlação linear simples
Os métodos que você estudou até o momento são eficazes para analisar e interpretar 
somente uma variável de cada vez. Se eles servem para a análise de uma variável, 
como analisar e comparar duas variáveis simultaneamente? Para compreender como 
solucionar tal situação, você irá conhecer a correlação linear simples.
A correlação é uma ferramenta destinada ao estudo da relação entre duas 
variáveis quantitativas, além de fornecer a intensidade dessa relação.
Para você estudar como usar a correlação linear simples, é importante que você 
conheça o que é diagrama de dispersão e o coeficiente de correlação linear de 
Pearson. Conheça melhor esses assuntos a seguir.
Diagrama de dispersão
O diagrama de dispersão ajuda a definir a correlação entre duas variáveis 
quantitativas de modo gráfico. Em outras palavras, a relação entre duas variáveis, 
X e Y, pode ser vista em um diagrama, no qual são marcados os pontos 
correspondentes aos pares ordenados gerados pela relação X→Y, e (x,y) são 
esses pares ordenados. Dessa forma, constrói-se um diagrama de dispersão.
Quanto mais esses pontos estão próximos à reta imaginária gerada pela nuvem 
de pontos, mais forte será a correlação. Observe o gráfico a seguir e acompanhe 
os exemplos apresentados. 
No gráfico abaixo, os pares ordenados são gerados pela relação entre a altura 
das pessoas em centímetros e o peso em quilos.
MIRANDA, Joseane Borges de. Probabilidade e Estatística. Palhoça: UnisulVirtual, Ano. 2016 .
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Capítulo 5 
Gráfico 5.1 − Diagrama de dispersão
Fonte: Elaboração do autor (2006).
Coeficiente de correlação linear de Pearson
O coeficiente de correlação permite que você analise a força ou a existência da 
correlação entre duas variáveis. Considerando que n é o número de observações 
(tamanho da amostra), o coeficiente será dado pela seguinte fórmula.
( )( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]2222 .
...
yynxxn
yxyxnrxy ∑−∑∑−∑
∑∑−∑
=
Em que:
r = resultado do coeficiente de correlação linear de Pearson;
n = número de observações;
x = valores assumidos pela variável X;
y = valores assumidos pela variável Y.
O coeficiente de Pearson pode variar de −1 a +1 → [−1,+1].
Quanto ao resultado de r, você deve considerar cinco situações, descritas no 
quadro a seguir.
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Probabilidade e Estatística 
Quadro 5.1 − Resultados possíveis do valor de x
Valor de r Correlação entre as variáveis
r próximo de 0 Correlação linear pouco significativa.
r = 0 Não há correlação linear entre as variáveis.
r próximo de –1 Há correlação linear negativa (significativa).
r = –1 Há correlação linear negativa perfeita.
r próximo de +1 Há correlação linear positiva (significativa).
r = +1 Há correlação linear positiva perfeita.
Fonte: Elaboração do autor (2006).
Tipos de correlações
Segundo os resultados de r, as correlações podem assumir diferentes tipos, os 
quais você pode acompanhar detalhadamente a seguir.
a) Correlação linear positiva
Neste caso, o coeficiente de Pearson estará entre 0 e 1 → intervalo (0,1). É 
próximo de 1, é forte, porém não é igual a 1, perto de 1, estamos falando em algo 
acima de 0,8. Note que os pontos estão perto da reta de regressão, porém não 
estão exatamente em cima da reta.
Gráfico 5.2 − Correlação linear positiva: altura e peso
Fonte: Elaborado pelo autor (2006).
Interpretação: se o x cresce o y cresce também, no exemplo, se a altura cresce, 
o peso cresce; se o x decresce o y decresce também.
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Capítulo 5 
b) Correlação linear perfeita positiva
Neste caso, o coeficiente de Pearson r será igual a +1, neste caso, os pontos 
estão perfeitamente alinhados em cima da reta.
Gráfico 5.3 − Correlação linear perfeita positiva: altura e peso
Fonte: Elaborado pelo autor (2006).
A interpretação é a mesma, ou seja, se o x cresce, o y cresce também. No 
exemplo, se altura cresce, o peso cresce e, se o x decresce, o y decresce 
também. Dizemos que eles apresentam a mesa tendência. 
c) Correlação linear negativa
Neste caso, o coeficiente de Pearson estará entre 0 e −1, no caso próximo de −1: 
intervalo [−1,0].
Gráfico 5.4 − Correlação linear perfeita negativa: idade e nota
Fonte: Elaborado pelo autor (2006).
Interpretação: o x cresce e o y decresce, no exemplo, se a idade cresce, a nota 
decresce; e, se o x decresce, o y cresce, no exemplo, se a idade decresce, a nota 
cresce. São inversamente proporcionais.
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Probabilidade e Estatística 
d) Correlação linear perfeita negativa
Neste caso, o coeficiente de Pearson r será −1: os pontos estão perfeitamente 
alinhados sobre a reta de regressão.
Gráfico 5.5 − Correlação linear perfeita negativa: idade e nota
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Fonte: Elaborado pelo autor (2006).
A interpretação é a mesma, ou seja, se o x cresce, o y decresce, no exemplo, se 
a idade cresce, a nota decresce; e, se o x decresce, o y cresce.
e) Correlação linear nula ou ausência de correlação
A seguir, veja um exemplo de quando não há correlação entre as variáveis X e Y, 
neste caso, o coeficiente de Pearson é igual a zero, r = 0. Note que não há uma 
tendência nos pontos de dispersão, diferentemente dos exemplos anteriores.
Gráfico 5.6 − correlação linear nula ou ausência de correlação: altura e nota
Fonte: Elaborado pelo autor (2006).
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Capítulo 5 
Como calcular o coeficiente de correlação?
Para obter esta resposta, acompanhe com atenção o exemplo. 
Exemplo: calcule o coeficiente de correlação de Pearson e construa o diagrama de 
dispersão para uma turma de alunos, correlacionando altura e peso, descritos a seguir.
Tabela 6.1 – Altura e peso dos alunos de uma série
 
Fonte: Elaboração do autor (2006).
Calculando passo a passo.
Passo 1: acrescente, na tabela, mais três colunas para auxiliar nos cálculos. 
Some os elementos da coluna x (altura) e escreva o total na última linha, 
obtendo, assim, a Some os elementos da coluna y (peso) e escreva o total 
na última linha, obtendo, assim, a (veja tabela).
Passo 2: calcule os elementos da terceira coluna (x.y), multiplicando cada um dos 
elementos da coluna x por cada um dos elementos da coluna y.
(160).(61) = 9760
(155).(56) = 8680
(152).(55) = 8360
 ......
(177).(77) = 13629
Em seguida, some todos eles e escreva o total na última linha, obtendo, assim, a 
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Probabilidade e Estatística 
Passo 3: calcule os elementos da quarta coluna (x2), elevando ao quadrado, cada 
um dos elementos da coluna x.
(160)2 = 25600
(155)2 = 24025
(152)2 = 23104
 ....
(177)2=31329
Em seguida, some todos eles e escreva o total na última linha, para obter, assim, a 
Passo 4: calcule os elementos da quinta coluna (y2), elevando, ao quadrado, cada 
um dos elementos da coluna y.
(61)2 = 3721
(56)2 = 3136
(55)2 = 3025
 ....
(77)2 = 5929
Em seguida, some todos eles e escreva o total na última linha, para obter, assim, o 
Passo 5: calcule o coeficiente de correlação utilizando a fórmula vista anteriormente.
 
n = número de observações (10 alunos) → n = 10.
Os elementos, a seguir, foram calculados nos passos anteriores:
Observação: é importante lembrar que: 
1. ≠ 
Note que no primeiro caso, você multiplica os elementos x e y, depois soma 
a multiplicação no fim, e, no segundo caso, você soma x e y primeiro, depois 
multiplica a soma final.
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Capítulo 5 
2. ≠ 
Neste caso, a diferença consiste no elevar ao quadrado, no primeiro caso, você 
eleva ao quadrado cada variável x, depois soma. No segundo caso, você soma 
primeiro o x e depois eleva a soma ao quadrado.
Se você escrever na fórmula, terá:
Passo 6: agora, construa o diagrama de dispersão. Para construí-lo; você deve 
marcar os pontos de cada par ordenado, usando, para isso, os valores da coluna 
das alturas, como x, eda coluna dos pesos, como y, formando (x, y). Veja o 
gráfico a seguir.
Gráfico 5.7 − Altura e peso
Fonte: Elaborado pelo autor (2006).
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Probabilidade e Estatística 
Interpretação do resultado final do coeficiente de correlação: o coeficiente de 
correlação resultou em um número positivo e próximo de 1 (r = 0,98), sendo 
assim, a correlação entre a altura dos alunos e o peso é positiva (significativa), ou 
seja, quanto maior a altura do aluno, maior será seu peso, e, quanto menor for a 
sua altura, menor será o seu peso. 
Seção 2 
Análise de regressão linear
Para fazer a análise da regressão, nos casos em que é possível estabelecer uma 
correlação entre duas variáveis, você terá que usar essa relação para prever 
valores para uma delas (sempre a variável que for adotada como Y), mas isso só 
será possível quando for conhecido o valor da outra variável, no caso, a variável 
X. E essa previsão só tem significado caso a força da correlação seja significativa 
ou perfeita (quando r está próximo ou igual a +1 ou −1). Essa força dá-se pela 
proximidade dos pontos do diagrama de dispersão à reta de regressão.
A reta de regressão é obtida pela aproximação dos pontos do diagrama.
Para encontrar uma equação que auxilie a prever os valores de Y, usa-se o 
Método dos Mínimos Quadrados, o qual você conhecerá a seguir.
A escolha da variável que será o Y está relacionada à variável que o pesquisador 
deseja estimar. No exemplo anterior, se a intenção é a de estimar o peso dos 
alunos, então o Y deve ser a variável peso. Caso a necessidade fosse a de 
estimar a altura dos alunos, a variável Y passaria a ser a altura.
Método dos mínimos quadrados
Pode-se representar a reta imaginária pela equação exposta na sequência.
Reta de regressão: 
Sendo:
 
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Capítulo 5 
Em que:
 = valor predito de y (a ser estimado);
x = valor da variável x para determinado elemento da amostra;
y = valor da variável y para determinado elemento da amostra;
n = nº total de observações (tamanho da amostra);
b = a intersecção do eixo y (ou coeficiente linear da reta);
a = coeficiente de inclinação da reta (ou coeficiente angular da reta).
Ao predizer um valor de Y com base em determinado valor de X, quanto mais 
significativa a correlação linear, mais precisa torna-se a previsão.
Interpolação: estimativas com valores entre os da série.
Extrapolação: estimativas com valores fora dos da série.
Resíduo: é a diferença entre um valor amostral, observado Y, e o valor predito, 
com base na equação de regressão.
A tabela, a seguir, descreve as alturas e os pesos dos alunos de uma turma. 
Você deverá:
a. construir a equação de uma reta de regressão para prever o peso 
dos alunos;
b. prever o peso ( ) de um aluno com 175 cm (x) de altura.
Tabela 5.2 – Altura e peso dos alunos de uma série
Fonte: Elaborado pelo autor (2006).
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Probabilidade e Estatística 
Calculando passo a passo.
 • Para o item a:
Considerando que a tabela é a mesma do exemplo da Seção 1 (cálculo do coeficiente 
de correlação), não será necessário calcular as colunas nem os totais (veja a tabela).
Equação da reta de regressão → 
Passo 1: sendo assim, você pode começar calculando a inclinação da reta (a).
Inclinação da reta (a):
Agora, identifique os elementos da fórmula: 
n = 10.
Os elementos, a seguir, foram calculados nos passos anteriores;
;
;
;
.
Se você escrever na fórmula, terá:
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Capítulo 5 
Passo 2: calcule a intersecção com o eixo y, item (b).
Intersecção do eixo y (b): 
Agora, identifique os elementos da fórmula: 
n = 10.
Os elementos, a seguir, foram calculados nos passos anteriores.
;
;
.
Passo 3: construa a equação da reta de regressão.
Após calcular a e b, tem-se:
a = 0,72;
b = − 53,76;
 • Para o item b:
Fazer a previsão para um aluno que mede 175 cm. Você deve usar 175 como X = 175. 
Substituir o valor de X na equação de regressão.
Como interpretar? A previsão para o peso deste aluno que mede 175 cm é de 72,24 Kg.
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Probabilidade e Estatística 
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O gabarito 
está disponível no final do livro didático, mas se esforce para resolver as 
atividades sem a ajuda do gabarito, pois, assim, você estará promovendo (e 
estimulando) a sua aprendizagem.
1. Uma turma da oitava série realizou avaliações em duas disciplinas, 
Matemática e Biologia; as notas obtidas estão na tabela abaixo. Usando estes 
dados, calcule o que se pede.
Aluno Nota Matemática Nota Biologia X.Y X2 Y2
1 9,5 3,4 32,3 90,3 11,6
2 9,0 5,4 48,6 81,0 29,2
3 8,5 6,0 51,0 72,3 36,0
4 8,0 6,0 48,0 64,0 36,0
5 8,0 5,0 40,0 64,0 25,0
6 7,5 7,0 52,5 56,3 49,0
7 7,5 9,0 67,5 56,3 81,0
8 6,0 7,5 45,0 36,0 56,3
9 5,0 8,0 40,0 25,0 64,0
10 4,0 8,0 32,0 16,0 64,0
Totais 73,0 65,3 456,9 561,0 452,0
a. Calcule o coeficiente de correlação entre as duas variáveis, 
identifique o tipo de correlação e interprete o resultado.
b. Construa uma equação para a relação indicada (a equação da reta 
de regressão) para possibilitar o cálculo de estimativas para a nota 
de Biologia (Y), segundo a nota de Matemática (X).
c. Estime a nota de Biologia, considerando que um aluno tenha 
tirado nota 6,5 (X) em Matemática. Substitua na equação da reta 
construída no item b.