Lista_4-1-2012

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Exerc´ıcios preparato´rios para a Prova 3
1 Aula de Exerc´ıcios - 26/9
1. (Diomara 7.6.1) Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
(x2 + y2) ds onde S e´ a esfera
x2 + y2 + z2 = a2.
Soluc¸a˜o:
• Parametrizac¸a˜o da esfera
~r(u, v) = (a cos v cos v, a sinu cos v, a sin v) , 0 ≤ u ≤ 2pi , −pi
2
≤ v ≤ pi
2
.
Segue que o vetor normal e´ ~n(u, v) = a cos v · ~r(u, v) e | ~n(u, v) |= a2 cos v.
• Como f(x, y) = x2 + y2 tem-se que f(~r(u, v)) = a2 cos2 v.
• Pela definic¸a˜o,
∫∫
S
(x2 + y2) ds =
∫ pi
2
−pi
2
∫ 2pi
0
(a2 cos2 v)(a2 cos v)dudv
=
8pia4
3
2. (Diomara 7.8.3) [modificado] Calcule
∫∫
S
~F · ~ndS onde ~F (x, y, z) = (0, 0, z) e S e´
a superf´ıcie do so´lido W onde W = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ z ≤ 1} com vetor
normal exterior.
Soluc¸a˜o:
• S e´ unia˜o de duas superf´ıcies S1 e S2 em que
[(a)] S1 e´ a parte superior de W e e´ parametrizada explicitamente por
~r1(x, y) = (x, y, 1) com x
2 + y2 ≤ 1. O vetor normal e´ ~n1(u, v) = ±(0, 0, 1).
Como S e´ exterior a W, escolhemos ~n1(u, v) = (0, 0, 1) (fac¸a o desenho).
[(b)] S2 e´ a parte do parabolo´ide z = x
2 + y2 com 0 ≤ z ≤ 1 e e´
parametrizada explicitamente por ~r2(x, y) = (x, y, x
2 + y2) com x2 + y2 ≤ 1. O
vetor normal e´ ~n2(u, v) = ±(−2x,−2y, 1). Como S e´ exterior a W, escolhemos
~n1(u, v) = (2x, 2y,−1) (fac¸a o desenho).
• Como ~F (x, y, z) = (0, 0, z) segue que ~F (~r1(x, y)) = (0, 0, 1) e ~F (~r2(x, y)) =
(0, 0, x2 + y2).
1
• Portanto,∫∫
S1∪S2
~F · ~ndS =
∫∫
S1
~F · ~ndS +
∫∫
S2
~F · ~ndS
=
∫∫
x2+y2≤1
(0, 0, 1) · (0, 0, 1) dxdy +
+
∫∫
x2+y2≤1
(0, 0, x2 + y2) · (2x, 2y,−1) dxdy
= pi − pi
2
=
pi
2
.
Soluc¸a˜o curta: Aplique o teorema da divergeˆncia.
3. (Diomara 7.10.2) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha∮
C
(3y + z)dx + (x + 4y)dy + (2x + y)dz = −3
√
2pia2
4
, indicando a orientac¸a˜o da
curva C obtida como intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = a2 com o plano y + z = a.
Soluc¸a˜o:
• rot ~f(x, y, z) = (−2,−1, 4).
• Para aplicar o teorema de Stokes, devemos encontrar uma superf´ıcie S tal que
o bordo ∂S = C. Uma tal superf´ıcie e´ a parte do plano y + z = a limitada por
C (fac¸a um desenho) que admite parametrizac¸a˜o expl´ıcita
~r(x, y) = (x, y, a− y) , (x, y) ∈ D
onde D e´ a regia˜o no plano-xy limitada pela elipse x2 + 2y2 = 2ay. O vetor
normal e´ dado por ~n(x, y) = ±(0, 1, 1). Devemos escolher o vetor normal tal
que a integral tenha o valor dado.
• Aplicando o teorema de Stokes, obtemos∮
C
(3y + z)dx+ (x+ 4y)dy + (2x+ y)dz
=
∫∫
D
(−2,−1, 4) · ±(0, 1, 1)dA
= ±3A(D)
onde A(D) e´ a a´rea limitada pela elipse x2 + 2y2 = 2ay e e´ igual a
a2pi
2
√
2
.
• Para que se tenha o valor dado, o vetor normal ~n(x, y) = −(0, 1, 1). Isto
corresponde a` orientac¸a˜o anti-hora´ria vista da origem (fac¸a o desenho).
4. (Diomara 7.12.4) Encontre o fluxo do campo
~F (x, y, z) =
(
ey + cos yz,−2zy + senxz, z2 + 3√
2
)
2
atrave´s da superf´ıcie S orientada positivamente, unia˜o das superf´ıcies S1 e S2, onde
S1 e´ definida por z = 4 − 2x2 − y2, 0 ≤ z ≤ 2 e S2 tem equac¸a˜o z = 1 + x2 + y
2
2
,
1 ≤ z ≤ 2.
Soluc¸a˜o:
• O fluxo de um campo ~F sobre uma superf´ıcie S e´ dado pela integral de superf´ıcie
de ~F sobre S.
• Visto que as componentes de ~f sa˜o “complicadas” e que div(~f) = 0, a ide´ia e´
aplicar o teorema da divergeˆncia. Entretanto, S na˜o e´ fechada (verifique atrave´s
de um desenho).
• Seja S˜ a parte do plano z = 0 limitada pela elipse x
2
2
+
y2
4
= 1. Observe que
S ∪ S˜ e´ uma superf´ıcie fechada.
• Podemos enta˜o aplicar o teorema de Gauss em S∪S˜ (cuidado com a orientac¸a˜o!).
Como div(~f) = 0 segue que∫∫
S
~F · ~ndS = −
∫∫
S˜
~F · ~ndS
=
3
√
2
2
A(D)
= 6pi
onde A(D) = 2
√
2pi e´ a a´rea limitada pela elipse
x2
2
+
y2
4
= 1.
3