5 - Conceitos de Algebra Linear

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5 – Conceitos de Álgebra Linear: 
 
5.1 – Espaços Vetoriais: 
 
Espaço Vetorial (ou Espaço Linear) é definido como um conjunto não-vazio V (cujos 
elementos podem ser vetores, matrizes, polinômios, funções, etc...) com as operações de 
adição e multiplicação por escalar definidas através dos oito axiomas a seguir. 
 
Propriedades da Adição: 
 
i) uvvu +=+ ( )Vvu ∈∀ , ; 
ii) ( ) ( ) wvuwvu ++=++ ( )Vwvu ∈∀ ,, ; 
iii) uuV =+∈∃ 0/0 ( )Vu ∈∀ ; 
iv) ( ) ( ) 0/ =−+∈−∃ uuVu ( )Vu ∈∀ ; 
 
Propriedades da Multiplicação por Escalar: 
 
 
i) ( ) ( ) ( )uklulkulk == 
ii) ( ) ulukulk +=+ 
iii) ( ) vkukvuk +=+ 
iv) uu =1 
 ( )Vvu ∈∀ , 
 
e 
 ( )ℜ∈∀ lk ,
 
 
 
É importante ressaltar que todo subconjunto não-vazio do espaço vetorial V é 
considerado um subespaço vetorial de V. 
 
5.2 – Combinação Linear: 
 
Considere os vetores nuuu ,,, 21 LL pertencentes a um espaço vetorial V e os escalares 
naaa ,,, 21 LL pertencentes a ℜ , um elemento v de V expresso como: 
 
nn uauauav +++= LL2211 
 
é dito uma combinação linear dos vetores nuuu ,,, 21 LL , para “n” finito. 
5.3 – Dependência e Independência Linear: 
 
Considere um conjunto finito de vetores nuuu ,,, 21 LL de um espaço vetorial V. Este 
conjunto é Linearmente Independente ( LI ) se combinação linear abaixo admite apenas a 
solução trivial, ou seja: 0,,, 21 =naaa LL . 
 
02211 =+++ nn uauaua LL 
 
Caso contrário, se a combinação linear acima admitir pelo menos uma solução 
não-nula (na verdade, admitirá infinitas) para os coeficientes ai (para ni ,,2,1 L= ), então este 
conjunto de vetores é dito Linearmente Dependente ( LD ). 
 
Propriedades: 
 
i) Em todo conjunto de vetores linearmente dependente, pelo menos um vetor pode ser 
escrito como uma combinação linear dos demais; 
 
ii) Uma maneira prática de verificar a independência linear de um conjunto de vetores é 
através do determinante da matriz de coeficientes do sistema linear de equações 
algébricas 02211 =+++ nn uauaua LL . Note que, neste caso, ui (para ni ,,2,1 L= ) são 
os coeficientes, enquanto ai (para ni ,,2,1 L= ) são as variáveis do sistema. Portanto, se a 
matriz de coeficientes for não-singular, então o conjunto de vetores é LI. Do contrário, o 
conjunto de vetores é LD. Ou seja: 
 
 
0
21
22212
12111
≠
nnnn
n
n
uuu
uuu
uuu
L
MOMM
L
L
1
u 2u nu
 
n
uuu ,,,
21
K
 formam um conjunto de 
 vetores linearmente independente. 
 
 
 
5.4 – Base e Dimensão: 
 
Um conjunto finito de vetores nuuu ,,, 21 LL pertencentes a um espaço vetorial V 
constitui uma Base para V, se e somente se: 
 
i) Este conjunto de vetores for linearmente independente; 
ii) Este conjunto gera o espaço vetorial V. Ou seja, qualquer elemento de V pode ser escrito 
como uma combinação linear destes vetores; 
 
Observações: 
 
i) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. O 
número de elementos de uma base é chamado de Dimensão de V. Portanto, um espaço 
vetorial com “n” dimensões possui uma base com “n” vetores; 
 
ii) Considere um conjunto de vetores que forma uma base { }nuuuB ,,, 21 LL= que gera um 
espaço vetorial V. Cada elemento v de V é escrito de uma maneira única como uma 
combinação linear nn uauauav +++= LL2211 , onde naaa ,,, 21 LL são as coordenadas 
de v na base B; 
 
iii) Por uma questão de convenção, os vetores que formam uma base devem sempre estar 
normalizados, ou seja, cada um deles deve possuir módulo unitário. Com isto, além de 
assegurar que os vetores sejam ortogonais entre si, (gerando uma base canônica), 
assegura-se que esta base seja ortonormal; 
 
iv) A ordem dos elementos da base também é importante, pois as coordenadas de um vetor, 
referem-se àquela base, respeitando a ordem em que ela foi escrita. Em três dimensões, 
por exemplo, a Regra da Mão Direita estabelece esta ordem; 
 
 
 
 
 
5.5 – Posto de uma Matriz: 
 
Posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente 
independentes de uma matriz. Se as linhas (ou colunas) de uma matriz forem consideradas 
vetores, o posto fornece o número mínimo de vetores (linha ou coluna) necessários para se 
gerar uma base para o espaço vetorial correspondente a esta matriz. 
É possível determinar o posto de uma matriz [ ]A aplicando operações elementares às 
linhas (ou às colunas) de [ ]A , no sentido de escalonar a matriz. 
 
 
5.6 – Transformações Lineares e Operadores Lineares: 
 
Um Transformador Linear pode ser encarado como uma função onde o domínio e o 
contra-domínio (imagem) sejam espaços vetoriais reais. Ou seja, ele é responsável pelo 
“mapeamento” que converte um espaço vetorial em outro. Para que T seja um transformador 
linear do espaço vetorial V para o espaço vetorial W, as seguintes propriedades devem ser 
satisfeitas: 
 
i) ( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+ ( )Vvu ∈∀ , ; 
ii) ( ) ( )uTkukT = ( )ℜ∈∀ k ; 
 
Se o domínio e o contra-domínio de uma transformação linear forem os mesmos, ou 
seja, para uma transformação linear dentro de um mesmo espaço vetorial V o transformador 
linear é chamado de Operador Linear sobre V.