aula_3_estatistica_verao_2012

Prévia do material em texto

Aula 3 - roteiro
1
1. Relações de Maxwell 
a) Relações de Maxwell para Energia Interna
b) Relações de Maxwell para Energia livre de Helmholtz
c) Relações de Maxwell para Energia livre de Gibbs
2. Funções Resposta
a) Capacidade calorífica - casos especiais
b) Funções resposta mecânicas: susceptibilidades e 
compressibilidades
c) Funções resposta: expansividade térmica 
3. Aplicação - tira elástica
4. Transformações de Legendre
Referência: Cap. 4, TERMODINÂMICA, Mário Oliveira, EdUsp, (2005)
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell
2
E´ comum em muitos textos, como no livro do Callen, se trabalhar com a rep-
resentac¸a˜o de energia, i.e. considerar os estados caracterizados pelas varia´veis
{S, X, N} e definir a energia U = U(S, X, N) como uma func¸a˜o homogeˆnea
obtendo
T =
�∂U
∂S
�
X,N
Equac¸a˜o de Estado Te´rmica (1)
Y =
� ∂U
∂X
�
S,N
Equac¸a˜o de Estado Mecaˆnica (2)
µ =
� ∂U
∂N
�
S,X
Equac¸a˜o de Estado Qu´ımica (3)
de maneira ana´loga ao que foi feito com a representac¸a˜o entro´pica quando partimos
de S = S(U, V,N).
Isso pode ser visto imediatamente tomando-se a diferencial de U = U(S, V,N) e
usando-se a equac¸a˜o fundamental para calcular as derivadas parciais de U .
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia Interna
3
A energia interna U(S, X, N) uma func¸a˜o diferencial exata. Considerar a pro-
priedade de igualdade entre as segundas derivadas mistas das func¸o˜es diferenciais
exatas entre pares de varia´veis. Para o par (S, X) e.g.�
∂
∂X
�
∂U
∂S
�
X,N
�
S,N
=
�
∂
∂S
�
∂U
∂X
�
S,N
�
X,N
Usando as equac¸o˜es de estado te´rmica e mecaˆnica teremos:�
∂T
∂X
�
S,N
=
�
∂Y
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
Considerando as duas outras relac¸o˜es, ana´logas a` relac¸a˜o geral, para os pares de
varia´veis (S, N) e (X, N), resulta�
∂T
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
�
∂Y
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂X
�
S,N
, Relac¸a˜o de Maxwell
respectivamente.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia Interna
3
A energia interna U(S, X, N) uma func¸a˜o diferencial exata. Considerar a pro-
priedade de igualdade entre as segundas derivadas mistas das func¸o˜es diferenciais
exatas entre pares de varia´veis. Para o par (S, X) e.g.�
∂
∂X
�
∂U
∂S
�
X,N
�
S,N
=
�
∂
∂S
�
∂U
∂X
�
S,N
�
X,N
Usando as equac¸o˜es de estado te´rmica e mecaˆnica teremos:�
∂T
∂X
�
S,N
=
�
∂Y
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
Considerando as duas outras relac¸o˜es, ana´logas a` relac¸a˜o geral, para os pares de
varia´veis (S, N) e (X, N), resulta�
∂T
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
�
∂Y
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂X
�
S,N
, Relac¸a˜o de Maxwell
respectivamente.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia Interna
3
A energia interna U(S, X, N) uma func¸a˜o diferencial exata. Considerar a pro-
priedade de igualdade entre as segundas derivadas mistas das func¸o˜es diferenciais
exatas entre pares de varia´veis. Para o par (S, X) e.g.�
∂
∂X
�
∂U
∂S
�
X,N
�
S,N
=
�
∂
∂S
�
∂U
∂X
�
S,N
�
X,N
Usando as equac¸o˜es de estado te´rmica e mecaˆnica teremos:�
∂T
∂X
�
S,N
=
�
∂Y
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
Considerando as duas outras relac¸o˜es, ana´logas a` relac¸a˜o geral, para os pares de
varia´veis (S, N) e (X, N), resulta�
∂T
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
�
∂Y
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂X
�
S,N
, Relac¸a˜o de Maxwell
respectivamente.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia Interna
3
A energia interna U(S, X, N) uma func¸a˜o diferencial exata. Considerar a pro-
priedade de igualdade entre as segundas derivadas mistas das func¸o˜es diferenciais
exatas entre pares de varia´veis. Para o par (S, X) e.g.�
∂
∂X
�
∂U
∂S
�
X,N
�
S,N
=
�
∂
∂S
�
∂U
∂X
�
S,N
�
X,N
Usando as equac¸o˜es de estado te´rmica e mecaˆnica teremos:�
∂T
∂X
�
S,N
=
�
∂Y
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
Considerando as duas outras relac¸o˜es, ana´logas a` relac¸a˜o geral, para os pares de
varia´veis (S, N) e (X, N), resulta�
∂T
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
�
∂Y
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂X
�
S,N
, Relac¸a˜o de Maxwell
respectivamente.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia Interna
3
A energia interna U(S, X, N) uma func¸a˜o diferencial exata. Considerar a pro-
priedade de igualdade entre as segundas derivadas mistas das func¸o˜es diferenciais
exatas entre pares de varia´veis. Para o par (S, X) e.g.�
∂
∂X
�
∂U
∂S
�
X,N
�
S,N
=
�
∂
∂S
�
∂U
∂X
�
S,N
�
X,N
Usando as equac¸o˜es de estado te´rmica e mecaˆnica teremos:�
∂T
∂X
�
S,N
=
�
∂Y
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
Considerando as duas outras relac¸o˜es, ana´logas a` relac¸a˜o geral, para os pares de
varia´veis (S, N) e (X, N), resulta�
∂T
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂S
�
X,N
Relac¸a˜o de Maxwell
�
∂Y
∂N
�
S,X
=
�
∂µ
∂X
�
S,N
, Relac¸a˜o de Maxwell
respectivamente.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell
4
Observac¸o˜es:
• As derivadas parciais sa˜o derivadas de uma grandeza intensiva por outra ex-
tensiva.
• O nu´mero de relac¸o˜es de Maxwell dispon´ıveis dependera´ do nu´mero de paraˆmetros
extensivos necessa´rios para descrever o sistema, i.e. existira˜o m(m − 1)/2
relac¸o˜es para m paraˆmetros. Pense em um ga´s com mais de um tipo de
mole´cula, por exemplo.
• Relac¸o˜es de Maxwell semelhantes podem ser calculadas atrave´s dos outros
potenciais termodinaˆmicos como, por exemplo, o caso da energia livre de
Helmholtz a seguir.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell
4
Observac¸o˜es:
• As derivadas parciais sa˜o derivadas de uma grandeza intensiva por outra ex-
tensiva.
• O nu´mero de relac¸o˜es de Maxwell dispon´ıveis dependera´ do nu´mero de paraˆmetros
extensivos necessa´rios para descrever o sistema, i.e. existira˜o m(m − 1)/2
relac¸o˜es para m paraˆmetros. Pense em um ga´s com mais de um tipo de
mole´cula, por exemplo.
• Relac¸o˜es de Maxwell semelhantes podem ser calculadas atrave´s dos outros
potenciais termodinaˆmicos como, por exemplo, o caso da energia livre de
Helmholtz a seguir.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell
4
Observac¸o˜es:
• As derivadas parciais sa˜o derivadas de uma grandeza intensiva por outra ex-
tensiva.
• O nu´mero de relac¸o˜es de Maxwell dispon´ıveis dependera´ do nu´mero de paraˆmetros
extensivos necessa´rios para descrever o sistema, i.e. existira˜o m(m − 1)/2
relac¸o˜es para m paraˆmetros. Pense em um ga´s com mais de um tipo de
mole´cula, por exemplo.
• Relac¸o˜es de Maxwell semelhantes podem ser calculadas atrave´s dos outros
potenciais termodinaˆmicos como, por exemplo, o caso da energia livre de
Helmholtz a seguir.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell
4
Observac¸o˜es:
• As derivadas parciais sa˜o derivadas de uma grandeza intensiva por outra ex-
tensiva.
• O nu´mero de relac¸o˜es de Maxwell dispon´ıveis dependera´ do nu´mero de paraˆmetros
extensivos necessa´rios para descrever o sistema, i.e. existira˜o m(m − 1)/2
relac¸o˜es para m paraˆmetros. Pense em um ga´s com mais de um tipo de
mole´cula, por exemplo.
• Relac¸o˜es de Maxwell semelhantes podem ser calculadas atrave´s dos outros
potenciais termodinaˆmicos como, por exemplo,o caso da energia livre de
Helmholtz a seguir.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
5
Considerar sistemas mecanicamente isolados e fechados pore´m acoplados termica-
mente ao exterior (reservato´rio de calor) de tal maneira que as varia´veis T, X, N
permanec¸am fixas.
Considerar a grandeza
F (T,X,N) = U − TS
que e´ apropriada para caracterizar a energia livre do sistema dispon´ıvel para realizar
trabalho.
Usando a equac¸a˜o (da combinac¸a˜o da primeira com a segunda Lei)
TdS ≥ dU − Y dX − µdN
na expressa˜o de dF , teremos
dF = dU − (TdS + SdT ) = −S dT + Y dX + µdN
Comparando com a diferencial de F = F (T,X,N), i.e
dF =
�∂F
∂T
�
X,N
dT +
� ∂F
∂X
�
T,N
dX +
� ∂F
∂N
�
T,X
dN
resulta
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
5
Considerar sistemas mecanicamente isolados e fechados pore´m acoplados termica-
mente ao exterior (reservato´rio de calor) de tal maneira que as varia´veis T, X, N
permanec¸am fixas.
Considerar a grandeza
F (T,X,N) = U − TS
que e´ apropriada para caracterizar a energia livre do sistema dispon´ıvel para realizar
trabalho.
Usando a equac¸a˜o (da combinac¸a˜o da primeira com a segunda Lei)
TdS ≥ dU − Y dX − µdN
na expressa˜o de dF , teremos
dF = dU − (TdS + SdT ) = −S dT + Y dX + µdN
Comparando com a diferencial de F = F (T,X,N), i.e
dF =
�∂F
∂T
�
X,N
dT +
� ∂F
∂X
�
T,N
dX +
� ∂F
∂N
�
T,X
dN
resulta
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
5
Considerar sistemas mecanicamente isolados e fechados pore´m acoplados termica-
mente ao exterior (reservato´rio de calor) de tal maneira que as varia´veis T, X, N
permanec¸am fixas.
Considerar a grandeza
F (T,X,N) = U − TS
que e´ apropriada para caracterizar a energia livre do sistema dispon´ıvel para realizar
trabalho.
Usando a equac¸a˜o (da combinac¸a˜o da primeira com a segunda Lei)
TdS ≥ dU − Y dX − µdN
na expressa˜o de dF , teremos
dF = dU − (TdS + SdT ) = −S dT + Y dX + µdN
Comparando com a diferencial de F = F (T,X,N), i.e
dF =
�∂F
∂T
�
X,N
dT +
� ∂F
∂X
�
T,N
dX +
� ∂F
∂N
�
T,X
dN
resulta
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
5
Considerar sistemas mecanicamente isolados e fechados pore´m acoplados termica-
mente ao exterior (reservato´rio de calor) de tal maneira que as varia´veis T, X, N
permanec¸am fixas.
Considerar a grandeza
F (T,X,N) = U − TS
que e´ apropriada para caracterizar a energia livre do sistema dispon´ıvel para realizar
trabalho.
Usando a equac¸a˜o (da combinac¸a˜o da primeira com a segunda Lei)
TdS ≥ dU − Y dX − µdN
na expressa˜o de dF , teremos
dF = dU − (TdS + SdT ) = −S dT + Y dX + µdN
Comparando com a diferencial de F = F (T,X,N), i.e
dF =
�∂F
∂T
�
X,N
dT +
� ∂F
∂X
�
T,N
dX +
� ∂F
∂N
�
T,X
dN
resulta
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
5
Considerar sistemas mecanicamente isolados e fechados pore´m acoplados termica-
mente ao exterior (reservato´rio de calor) de tal maneira que as varia´veis T, X, N
permanec¸am fixas.
Considerar a grandeza
F (T,X,N) = U − TS
que e´ apropriada para caracterizar a energia livre do sistema dispon´ıvel para realizar
trabalho.
Usando a equac¸a˜o (da combinac¸a˜o da primeira com a segunda Lei)
TdS ≥ dU − Y dX − µdN
na expressa˜o de dF , teremos
dF = dU − (TdS + SdT ) = −S dT + Y dX + µdN
Comparando com a diferencial de F = F (T,X,N), i.e
dF =
�∂F
∂T
�
X,N
dT +
� ∂F
∂X
�
T,N
dX +
� ∂F
∂N
�
T,X
dN
resulta
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
5
Considerar sistemas mecanicamente isolados e fechados pore´m acoplados termica-
mente ao exterior (reservato´rio de calor) de tal maneira que as varia´veis T, X, N
permanec¸am fixas.
Considerar a grandeza
F (T,X,N) = U − TS
que e´ apropriada para caracterizar a energia livre do sistema dispon´ıvel para realizar
trabalho.
Usando a equac¸a˜o (da combinac¸a˜o da primeira com a segunda Lei)
TdS ≥ dU − Y dX − µdN
na expressa˜o de dF , teremos
dF = dU − (TdS + SdT ) = −S dT + Y dX + µdN
Comparando com a diferencial de F = F (T,X,N), i.e
dF =
�∂F
∂T
�
X,N
dT +
� ∂F
∂X
�
T,N
dX +
� ∂F
∂N
�
T,X
dN
resulta
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
5
Considerar sistemas mecanicamente isolados e fechados pore´m acoplados termica-
mente ao exterior (reservato´rio de calor) de tal maneira que as varia´veis T, X, N
permanec¸am fixas.
Considerar a grandeza
F (T,X,N) = U − TS
que e´ apropriada para caracterizar a energia livre do sistema dispon´ıvel para realizar
trabalho.
Usando a equac¸a˜o (da combinac¸a˜o da primeira com a segunda Lei)
TdS ≥ dU − Y dX − µdN
na expressa˜o de dF , teremos
dF = dU − (TdS + SdT ) = −S dT + Y dX + µdN
Comparando com a diferencial de F = F (T,X,N), i.e
dF =
�∂F
∂T
�
X,N
dT +
� ∂F
∂X
�
T,N
dX +
� ∂F
∂N
�
T,X
dN
resulta
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
6
S = −
�∂F
∂T
�
X,N
Y =
� ∂F
∂X
�
T,N
µ =
� ∂F
∂N
�
T,Y
Como F = F (T,X,N) e´ tambe´m uma diferencial exata, comparando as segundas
derivadas mistas resultam em mais treˆs relac¸o˜es de Maxwell, a saber� ∂S
∂X
�
T,N
= −
�∂Y
∂T
�
X,N
,
� ∂S
∂N
�
T,X
= −
� ∂µ
∂T
�
X,N� ∂Y
∂N
�
T,X
=
� ∂µ
∂X
�
T,N
,
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
6
S = −
�∂F
∂T
�
X,N
Y =
� ∂F
∂X
�
T,N
µ =
� ∂F
∂N
�
T,Y
Como F = F (T,X,N) e´ tambe´m uma diferencial exata, comparando as segundas
derivadas mistas resultam em mais treˆs relac¸o˜es de Maxwell, a saber� ∂S
∂X
�
T,N
= −
�∂Y
∂T
�
X,N
,
� ∂S
∂N
�
T,X
= −
� ∂µ
∂T
�
X,N� ∂Y
∂N
�
T,X
=
� ∂µ
∂X
�
T,N
,
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Helmholtz
6
S = −
�∂F
∂T
�
X,N
Y =
� ∂F
∂X
�
T,N
µ =
� ∂F
∂N
�
T,Y
Como F = F (T,X,N) e´ tambe´m uma diferencial exata, comparando as segundas
derivadas mistas resultam em mais treˆs relac¸o˜es de Maxwell, a saber� ∂S
∂X
�
T,N
= −
�∂Y
∂T
�
X,N
,
� ∂S
∂N
�
T,X
= −
� ∂µ
∂T
�
X,N� ∂Y
∂N
�
T,X
=
� ∂µ
∂X
�
T,N
,
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Gibbs
7
Para o caso da energia livre de Gibbs, pode-se obter de maneira ana´loga,
S = −
�∂G
∂T
�
Y,N
X = −
�∂G
∂Y
�
T,N
µ =
� ∂G
∂N
�
T,Y
Como G = G(T, Y,N) e´ tambe´m uma diferencial exata, comparando as segundas
derivadas mistas resultam em mais treˆs relac¸o˜es de Maxwell, a saber.� ∂S
∂Y
�
T,N
=
�∂X
∂T
�
X,N
,
� ∂S
∂N
�
T,Y
= −
� ∂µ
∂T
�
Y,N�∂X
∂N
�
T,Y
= −
� ∂µ
∂Y
�
T,N
,
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Gibbs
7
Para o caso da energia livre de Gibbs, pode-se obter de maneira ana´loga,
S = −
�∂G
∂T
�
Y,N
X = −
�∂G
∂Y
�
T,N
µ =
� ∂G
∂N
�
T,Y
Como G = G(T, Y,N) e´ tambe´m uma diferencial exata, comparando as segundas
derivadas mistas resultam em mais treˆs relac¸o˜es de Maxwell, a saber.� ∂S
∂Y
�
T,N
=
�∂X
∂T
�
X,N
,
� ∂S
∂N
�
T,Y
= −
� ∂µ
∂T
�
Y,N�∂X
∂N
�
T,Y
= −
� ∂µ
∂Y
�
T,N
,
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Relações de Maxwell - Energia livre de Gibbs
7
Para o casoda energia livre de Gibbs, pode-se obter de maneira ana´loga,
S = −
�∂G
∂T
�
Y,N
X = −
�∂G
∂Y
�
T,N
µ =
� ∂G
∂N
�
T,Y
Como G = G(T, Y,N) e´ tambe´m uma diferencial exata, comparando as segundas
derivadas mistas resultam em mais treˆs relac¸o˜es de Maxwell, a saber.� ∂S
∂Y
�
T,N
=
�∂X
∂T
�
X,N
,
� ∂S
∂N
�
T,Y
= −
� ∂µ
∂T
�
Y,N�∂X
∂N
�
T,Y
= −
� ∂µ
∂Y
�
T,N
,
Obs: Tente obter esse resultado e também fazer o análogo para o grão-potencial!
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções Resposta
8
As func¸o˜es resposta sa˜o grandezas pra´ticas grande utilidade:
1. Medem a taxa de variac¸a˜o de certa varia´vel de estado espec´ıfica quando outras
varia´veis sa˜o mudadas de forma controlada.
2. Sa˜o, em geral, de fa´cil acesso experimental.
3. Medem, tambe´m, o tamanho das flutuac¸o˜es de um sistema no equil´ıbrio ter-
modinaˆmico.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções Resposta
8
As func¸o˜es resposta sa˜o grandezas pra´ticas grande utilidade:
1. Medem a taxa de variac¸a˜o de certa varia´vel de estado espec´ıfica quando outras
varia´veis sa˜o mudadas de forma controlada.
2. Sa˜o, em geral, de fa´cil acesso experimental.
3. Medem, tambe´m, o tamanho das flutuac¸o˜es de um sistema no equil´ıbrio ter-
modinaˆmico.
Func¸o˜es Resposta Te´rmica ou Capacidades Calor´ıficas
Definic¸a˜o:
A capacidade calor´ıfica C e´ a medida da quantidade de calor
necessa´ria para elevar (ou baixar) a temperatura do sistema de certo
valor quando outras varia´veis independente sa˜o mantidas fixas.
C =
d¯Q
dT
→ d¯Q = C dT
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
9
Processos com {X,N} constantes e T uma varia´vel controla´vel:
CX,N =
d¯Q
dT
=
dU +
=0����
d¯W
dT
=
dU(S,X,N)
dT
���
X,N
Mas, dU = TdS + Y dX + µdN . Nos processos onde dX = 0 e dN = 0 teremos:
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
dS (1)
Para usar T como varia´vel independente (mensura´vel) devemos usar S = S(T,X, Y )
e escrever
dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN → dS =
�∂S
∂T
�
X,N
dT
Substituindo em acima em (1) resulta
dU =
�∂U
∂S
�
X,N
�∂S
∂T
�
X,N
dT =
�∂U
∂T
�
X,N
dT ∴ CX,N =
�∂U
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
10
Outra expressa˜o alternativa para CX,N pode ser escrita em func¸a˜o da entropia, em
processos onde X e N sa˜o mantidos fixos, i.e.
d¯Q = TdS = T
��∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN
�
dT ∴
CX,N =
d¯Q
dT
���
T,X
= T
�∂S
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
10
Processos com {Y,N} constantes: Neste caso, X pode variar, i.e
CY,N =
d¯Q
dT
���
Y,N
=
TdSdT
���
Y,N
= T
dS
dT
���
Y,N
Em processos onde Y,N sa˜o mantidos constantes e se pode medir T e´ conveniente
usar (T, Y,N) como varia´veis independentes, i.e. S = S(T, Y,N)
dS =
�∂S
∂T
�
Y,N
dT +
� ∂S
∂Y
�
T,N
dY +
� ∂S
∂N
�
T,Y
dN → dS =
�∂S
∂T
�
Y,N
dT
Comparando com a definic¸a˜o de CY,N resulta
CY,N = T
�∂S
∂T
�
Y,N
Outra expressa˜o alternativa para CX,N pode ser escrita em func¸a˜o da entropia, em
processos onde X e N sa˜o mantidos fixos, i.e.
d¯Q = TdS = T
��∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN
�
dT ∴
CX,N =
d¯Q
dT
���
T,X
= T
�∂S
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
10
Processos com {Y,N} constantes: Neste caso, X pode variar, i.e
CY,N =
d¯Q
dT
���
Y,N
=
TdS
dT
���
Y,N
= T
dS
dT
���
Y,N
Em processos onde Y,N sa˜o mantidos constantes e se pode medir T e´ conveniente
usar (T, Y,N) como varia´veis independentes, i.e. S = S(T, Y,N)
dS =
�∂S
∂T
�
Y,N
dT +
� ∂S
∂Y
�
T,N
dY +
� ∂S
∂N
�
T,Y
dN → dS =
�∂S
∂T
�
Y,N
dT
Comparando com a definic¸a˜o de CY,N resulta
CY,N = T
�∂S
∂T
�
Y,N
Outra expressa˜o alternativa para CX,N pode ser escrita em func¸a˜o da entropia, em
processos onde X e N sa˜o mantidos fixos, i.e.
d¯Q = TdS = T
��∂S
∂T
�
X,N
dT +
� ∂S
∂X
�
T,N
dX +
� ∂S
∂N
�
T,X
dN
�
dT ∴
CX,N =
d¯Q
dT
���
T,X
= T
�∂S
∂T
�
X,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
11
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
CX,N e CY,N podem tambe´m ser dados em termos do potenciais termodinaˆmicos
F (T,X,N) e G(T, Y,N),
(a) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por F (T,X,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ por S = −(∂F/∂T )X,N , resulta
CX,N = T
�∂S
∂T
�
X,N
→ CX,N = −T
�∂2F
∂T 2
�
X,N
(b) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por G(T, Y,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ dada por S = −(∂G/∂T )Y,N , resulta
CY,N = T
�∂S
∂T
�
Y,N
→ CY,N = −T
�∂2G
∂T 2
�
Y,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
11
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
CX,N e CY,N podem tambe´m ser dados em termos do potenciais termodinaˆmicos
F (T,X,N) e G(T, Y,N),
(a) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por F (T,X,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ por S = −(∂F/∂T )X,N , resulta
CX,N = T
�∂S
∂T
�
X,N
→ CX,N = −T
�∂2F
∂T 2
�
X,N
(b) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por G(T, Y,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ dada por S = −(∂G/∂T )Y,N , resulta
CY,N = T
�∂S
∂T
�
Y,N
→ CY,N = −T
�∂2G
∂T 2
�
Y,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
11
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
CX,N e CY,N podem tambe´m ser dados em termos do potenciais termodinaˆmicos
F (T,X,N) e G(T, Y,N),
(a) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por F (T,X,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ por S = −(∂F/∂T )X,N , resulta
CX,N = T
�∂S
∂T
�
X,N
→ CX,N = −T
�∂2F
∂T 2
�
X,N
(b) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por G(T, Y,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ dada por S = −(∂G/∂T )Y,N , resulta
CY,N = T
�∂S
∂T
�
Y,N
→ CY,N = −T
�∂2G
∂T 2
�
Y,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Capacidade calorífica - casos especiais
11
Relac¸a˜o entre CY,N e CX,N .
CY,N = CX,N + T
� ∂S
∂X
�
T,N
�∂X
∂T
�
Y,N
CY,N = CX,N +
�� ∂U
∂X
�
T,N
− Y
��∂X
∂T
�
Y,N
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
CX,N e CY,N podem tambe´m ser dados em termos do potenciais termodinaˆmicos
F (T,X,N) e G(T, Y,N),
(a) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por F (T,X,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ por S = −(∂F/∂T )X,N , resulta
CX,N = T
�∂S
∂T
�
X,N
→ CX,N = −T
�∂2F
∂T 2
�
X,N
(b) Para um sistema fechado, descrito convenientemente por G(T, Y,N), cuja
equac¸a˜o te´rmica e´ dada por S = −(∂G/∂T )Y,N , resulta
CY,N = T
�∂S
∂T
�
Y,N
→ CY,N = −T
�∂2G
∂T 2
�
Y,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
Susceptibilidade Adiaba´tica:
χS,N =
�∂X
∂Y
�
S,N
→ χX,N =
�∂2H
∂Y 2
�
S,N
χS,N mede como o deslocamento varia com a forc¸a, pore´m mantida a entropia
constante (processo adiaba´tico) em um sistema fechado.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
Susceptibilidade Adiaba´tica:
χS,N =
�∂X
∂Y
�
S,N
→ χX,N =
�∂2H
∂Y 2
�
S,N
χS,N mede como o deslocamento varia com a forc¸a, pore´m mantida a entropia
constante (processo adiaba´tico) em um sistema fechado.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
Susceptibilidade Adiaba´tica:
χS,N =
�∂X
∂Y
�
S,N
→ χX,N =
�∂2H
∂Y 2
�
S,N
χS,N mede como o deslocamento varia com a forc¸a, pore´m mantida a entropia
constante (processo adiaba´tico) em um sistema fechado.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
Susceptibilidade Adiaba´tica:
χS,N =
�∂X
∂Y
�
S,N
→ χX,N =
�∂2H
∂Y 2
�
S,N
χS,N mede como o deslocamento varia com a forc¸a, pore´m mantida a entropia
constante (processo adiaba´tico) em um sistema fechado.
Para um ga´s as susceptibilidades sa˜o definidas pelos valores relativos e tomam as
denominac¸o˜es de compressibilidade. i.e.
κT,N = − 1
V
�∂V
∂P
�
T,N
→ κT,N = − 1
V
�∂2G
∂P 2
�
T,N
(compressibilidade isote´rmica),κS,N = − 1
V
�∂V
∂P
�
S,N
→ κS,N = − 1
V
�∂2G
∂P 2
�
S,N
(compressibilidade adiaba´tica).
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
Susceptibilidade Adiaba´tica:
χS,N =
�∂X
∂Y
�
S,N
→ χX,N =
�∂2H
∂Y 2
�
S,N
χS,N mede como o deslocamento varia com a forc¸a, pore´m mantida a entropia
constante (processo adiaba´tico) em um sistema fechado.
Para um ga´s as susceptibilidades sa˜o definidas pelos valores relativos e tomam as
denominac¸o˜es de compressibilidade. i.e.
κT,N = − 1
V
�∂V
∂P
�
T,N
→ κT,N = − 1
V
�∂2G
∂P 2
�
T,N
(compressibilidade isote´rmica),
κS,N = − 1
V
�∂V
∂P
�
S,N
→ κS,N = − 1
V
�∂2G
∂P 2
�
S,N
(compressibilidade adiaba´tica).
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
definição
definição
Funções Resposta mecânicas - susceptibilidades e compressibilidades
12
Susceptibilidade Isote´rmica:
χT,N =
�∂X
∂Y
�
T,N
→ χT,N =
�∂2G
∂Y 2
�
T,N
Grandeza descreve como o deslocamento varia com a forc¸a, mantida a temperatura
constante em um sistema fechado.
Susceptibilidade Adiaba´tica:
χS,N =
�∂X
∂Y
�
S,N
→ χX,N =
�∂2H
∂Y 2
�
S,N
χS,N mede como o deslocamento varia com a forc¸a, pore´m mantida a entropia
constante (processo adiaba´tico) em um sistema fechado.
Para um ga´s as susceptibilidades sa˜o definidas pelos valores relativos e tomam as
denominac¸o˜es de compressibilidade. i.e.
κT,N = − 1
V
�∂V
∂P
�
T,N
→ κT,N = − 1
V
�∂2G
∂P 2
�
T,N
(compressibilidade isote´rmica),
κS,N = − 1
V
�∂V
∂P
�
S,N
→ κS,N = − 1
V
�∂2G
∂P 2
�
S,N
(compressibilidade adiaba´tica).
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções resposta: expansividade térmica 
13
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
A expansividade te´rmica mede a susceptibilidade das mudanc¸as no deslocamento
com respeito a` temperatura, em um processo onde a correspondente forc¸a per-
manece constante, i.e.
αY,N =
�∂X
∂T
�
Y,N
Para gases e materiais so´lidos e´ mais comum usar a expansividade te´rmica relativa
ou coeficiente de dilatac¸a˜o, i.e
cP,N =
1
V
�∂V
∂T
�
P,N
ou c(j)TL,N =
1
L
�∂L
∂T
�(j)
TL,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções resposta: expansividade térmica 
13
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
A expansividade te´rmica mede a susceptibilidade das mudanc¸as no deslocamento
com respeito a` temperatura, em um processo onde a correspondente forc¸a per-
manece constante, i.e.
αY,N =
�∂X
∂T
�
Y,N
Para gases e materiais so´lidos e´ mais comum usar a expansividade te´rmica relativa
ou coeficiente de dilatac¸a˜o, i.e
cP,N =
1
V
�∂V
∂T
�
P,N
ou c(j)TL,N =
1
L
�∂L
∂T
�(j)
TL,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções resposta: expansividade térmica 
13
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
A expansividade te´rmica mede a susceptibilidade das mudanc¸as no deslocamento
com respeito a` temperatura, em um processo onde a correspondente forc¸a per-
manece constante, i.e.
αY,N =
�∂X
∂T
�
Y,N
Para gases e materiais so´lidos e´ mais comum usar a expansividade te´rmica relativa
ou coeficiente de dilatac¸a˜o, i.e
cP,N =
1
V
�∂V
∂T
�
P,N
ou c(j)TL,N =
1
L
�∂L
∂T
�(j)
TL,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções resposta: expansividade térmica 
13
Gases e sólidos
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
A expansividade te´rmica mede a susceptibilidade das mudanc¸as no deslocamento
com respeito a` temperatura, em um processo onde a correspondente forc¸a per-
manece constante, i.e.
αY,N =
�∂X
∂T
�
Y,N
Para gases e materiais so´lidos e´ mais comum usar a expansividade te´rmica relativa
ou coeficiente de dilatac¸a˜o, i.e
cP,N =
1
V
�∂V
∂T
�
P,N
ou c(j)TL,N =
1
L
�∂L
∂T
�(j)
TL,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções resposta: expansividade térmica 
13
Gases e sólidos
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
A expansividade te´rmica mede a susceptibilidade das mudanc¸as no deslocamento
com respeito a` temperatura, em um processo onde a correspondente forc¸a per-
manece constante, i.e.
αY,N =
�∂X
∂T
�
Y,N
Para gases e materiais so´lidos e´ mais comum usar a expansividade te´rmica relativa
ou coeficiente de dilatac¸a˜o, i.e
cP,N =
1
V
�∂V
∂T
�
P,N
ou c(j)TL,N =
1
L
�∂L
∂T
�(j)
TL,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Funções resposta: expansividade térmica 
13
Gases e sólidos sistemas 1D
Relac¸a˜o entre CX,N e CY,N com potenciais termodinaˆmicos.
A expansividade te´rmica mede a susceptibilidade das mudanc¸as no deslocamento
com respeito a` temperatura, em um processo onde a correspondente forc¸a per-
manece constante, i.e.
αY,N =
�∂X
∂T
�
Y,N
Para gases e materiais so´lidos e´ mais comum usar a expansividade te´rmica relativa
ou coeficiente de dilatac¸a˜o, i.e
cP,N =
1
V
�∂V
∂T
�
P,N
ou c(j)TL,N =
1
L
�∂L
∂T
�(j)
TL,N
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Substaˆncia 10−6 (ma´x.) 10−6 (min.) Faixa de temperaturas ◦ C
Chumbo e suas ligas 29,0 26,0 100-390
Alumı´nio e suas ligas 25,0 21,0 100-390
Prata 20,0 100-390
Ac¸o inoxida´vel 19,0 11,0 540-980
Cobre 18,0 14,0 100-390
Nı´quel e suas ligas 17,0 12,0 540-980
Ac¸o 14,0 10,0 540-980
Ouro 14,0 100-390
Platina 9,0 100- 390
Tungsteˆnio 4,5 Temp. ambiente
Vidro Pyrex 3,2 20-300
Carbono e Grafite 3,0 2,0 100-390
Sil´ıcio 2,6 Temp. ambiente
Quartzo fundido 0,6 Temp. ambiente
Table 1: Valores t´ıpicos de α em unidades S.I. e Kelvin−1 para alguns materiais, nos intervalos
de temperatura indicados.
Funções resposta: expansividade térmica - exemplos 
14
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Aplicação - tira elástica
15
Obs: não confundir a notação. Neste problema, F e não a energia livre de Helmholtz.
A(X) é apenas um fator que não depende de T. 
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Aplicação - tira elástica 
16
Obs: não confundir a notação. Neste problema, A é a energia livre de Helmholtz.. 
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Aplicação - tira elástica
17
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Aplicação - tira elástica
18
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Aplicação - tira elástica
19
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Aplicação - tira elástica
20
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre
21
Dada uma func¸a˜o qualquer y = f(x) e´ poss´ıvel obter uma func¸a˜o equivalente
w = k(p) onde p = df/dx atrave´s de uma transformac¸a˜o de Legendre.
Se f(x) e´ uma curva cont´ınua e diferencia´vel, e possui convexidade bem definida,
pode ser representada por
w = k(p) = f(x)− p x, p = df/dx
onde a varia´vel x e´ eliminada pela equac¸a˜o p = df/dx, em cada ponto.
Em outras palavras, a curva y = f(x) ao inve´s de ser representada pelo conjunto de
pares {x, y} e´ representada pelo conjunto de pares {p, w}, ou seja e´ representada
por uma fam´ılia de retas tangentes em cada ponto da curva y = f(x).
Para cada ponto (x, y) sobre a curva y, p e´ a tangente do aˆngulo que a tangente
geome´trica faz com o eixo x e w e´ a coordenada do ponto de intersec¸a˜o com o eixo
y. A func¸a˜o k(p) e´ dita ser a transformada de Legendre da func¸a˜o f(x).
(1)
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre22
w
Α
p � df
dx
� tan Α
x
y�f �x�
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre
23
(2)
O problema inverso tambe´m pode ser resolvido, i.e. obter y = f(x) a partir do
conhecimento da func¸a˜o w = k(p). Tomando a diferencial da equac¸a˜o (1) temos
dw = −p dx− x dp+ dy to dw = −x dp ∴ −x = dk
dp
−x = dk
dp
Se as duas varia´veis (p, w) forem eliminadas da equac¸a˜o w = k(p) e das equac¸o˜es
(1) e (2) reobtemos a curva y = f(x).
y = f(x) w = k(p)
p =
df
dx
−x = dk
dp
w = −p x+ y y = x p+ w
Eliminando x e y → w = k(p) Eliminando p e w → y = f(x)
Table 1: Esquema para a transformac¸a˜o de Legendre de uma func¸a˜o de uma varia´vel.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre
23
(2)
O problema inverso tambe´m pode ser resolvido, i.e. obter y = f(x) a partir do
conhecimento da func¸a˜o w = k(p). Tomando a diferencial da equac¸a˜o (1) temos
dw = −p dx− x dp+ dy to dw = −x dp ∴ −x = dk
dp
−x = dk
dp
Se as duas varia´veis (p, w) forem eliminadas da equac¸a˜o w = k(p) e das equac¸o˜es
(1) e (2) reobtemos a curva y = f(x).
y = f(x) w = k(p)
p =
df
dx
−x = dk
dp
w = −p x+ y y = x p+ w
Eliminando x e y → w = k(p) Eliminando p e w → y = f(x)
Table 1: Esquema para a transformac¸a˜o de Legendre de uma func¸a˜o de uma varia´vel.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre
23
(2)
O problema inverso tambe´m pode ser resolvido, i.e. obter y = f(x) a partir do
conhecimento da func¸a˜o w = k(p). Tomando a diferencial da equac¸a˜o (1) temos
dw = −p dx− x dp+ dy to dw = −x dp ∴ −x = dk
dp
−x = dk
dp
Se as duas varia´veis (p, w) forem eliminadas da equac¸a˜o w = k(p) e das equac¸o˜es
(1) e (2) reobtemos a curva y = f(x).
y = f(x) w = k(p)
p =
df
dx
−x = dk
dp
w = −p x+ y y = x p+ w
Eliminando x e y → w = k(p) Eliminando p e w → y = f(x)
Table 1: Esquema para a transformac¸a˜o de Legendre de uma func¸a˜o de uma varia´vel.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre e os potenciais termodinâmicos
24
As transformac¸o˜es de Legendre podem ser generalizadas para func¸o˜es de mais de
uma varia´vel e podem ser aplicadas aos potenciais termodinaˆmicos.
Por exemplo: a energia livre de Helmholtz e´ transformada parcial de Legendre da
energia U , onde a entropia S e´ substitu´ıda pela temperatura T , como varia´vel
independente, como esquematizado na tabela abaixo:
U = U(S,X,N) A = A(T,X,N)
T =
∂U
∂S
−S = ∂A
∂T
A = U − TS U = A+ TS
Eliminando U e S → A = A(T,X,N) Eliminando A e T → U = U(S,X,N)
Table 1: Esquema para a transformac¸a˜o de Legendre parcial entre a energia interna U e
a energia livre de Helmholtz A.
Obs: não confundir a notação. Nessa tabela, A é a energia livre de Helmholtz.. 
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre e os potenciais termodinâmicos
25
U = U(S,X,N) H = H(S, Y,N)
Y =
∂U
∂X
−X = ∂H
∂Y
H = U − Y X U = H + Y X
Eliminando U e X → H = H(S, Y,N) Eliminando H e Y → U = U(S,X,N)
Table 1: Esquema para a transformac¸a˜o de Legendre parcial entre a energia interna U e
a entalpia H.
Entalpia
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre e os potenciais termodinâmicos
26
Para a energia livre de Gibbs G e o gra˜o-potencial Ω, duas varia´veis sa˜o sub-
stitu´ıdas por transformac¸o˜es de Legendre parciais, (S,X) → (T, Y ) e (S,N) →
(T, µ), respectivamente como esquematizado nas Tabelas abaixo.
U = U(S,X,N) G = G(T, Y,N)
T =
∂U
∂S
−S = ∂G
∂T
Y =
∂U
∂X
−X = ∂G
∂Y
G = U − TS − Y X U = G+ TS + Y X
Eliminando U ,S e X → G = G(T, Y,N) Eliminando G, Y e T → U = U(S,X,N)
Table 1: Esquema para as transformac¸o˜es de Legendre parciais entre a energia interna U
e a energia livre de Gibbs G.
Energia Livre de Gibbs
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Transformações de Legendre e os potenciais termodinâmicos
27
U = U(S,X,N) Ω = Ω (T,X, µ)
T =
∂U
∂S
−S = ∂Ω
∂T
µ =
∂U
∂N
−N = ∂Ω
∂µ
G = U − TS − Y X U = G+ TS + Y X
Eliminando U ,S e N → Ω = Ω (T,X, µ) Eliminando Ω, µ e T → U = U(S,X,N)
Table 1: Esquema para as transformac¸o˜es de Legendre parciais entre a energia interna U
e o gra˜o-potencial Ω.
Grão-potencial
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012