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Curso de Verão 2012 - Mecânica Estatística - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 
Aula 4 - Roteiro
1
1. Revisão sobre Teoria de Probabilidades
a) Definições e conceitos básicos
b) Processos estocásticos
c) Função densidade de probabilidades
d) Função distribuição de probabilidades 
e) Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
f) Funções de variável aleatória - covariância e correlação
g) Variáveis aleatórias independentes
h) A Distribuição Binomial
i) Limite Gaussiano da Distribuição Binomial
2. Ensembles estatísticos
Sugestões de leitura:
• Reichl , A Modern Course in Statistical Mechanics, John Wiley, (1998), Cap. 4, (4A-4E)
• Salinas, Introdução à Física Estatística, EdUsp, (1997), Cap.1
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
2
• A mecaˆnica estat´ıstica e´ uma teoria inerentemente probabil´ıstica.
• Busca descrever o comportamento de sistemas macrosco´picos a partir do
conhecimento microsco´pico incompleto dos elementos constituintes e de suas
interac¸o˜es.
• A teoria das probabilidades fornece importantes ferramentas para se ter sucesso
nessa busca.
Definic¸o˜es e conceitos importantes
Varia´veis aleato´rias ou estoca´sticas
Varia´vel cujo valor e´ escolhido ao acaso de um conjunto x ∈ S, dito espac¸o de
amostragem (discreto ou cont´ınuo, limitado ou ilimitado).
Evento
Evento e´ a realizac¸a˜o do processo de escolha de um ou de mais valores de uma
varia´vel aleato´ria, o qual ocorre com certa probabilidade p(x) definida.
Exemplo: O resultado do lanc¸amento de um dado (evento) e´ uma va´ria´vel aleato´ria que
resulta dentre os valores discretos do conjunto S ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A probabilidade que
o resultado do evento seja certo valor e´, por exemplo, p(2) = 1/6.
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
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• A mecaˆnica estat´ıstica e´ uma teoria inerentemente probabil´ıstica.
• Busca descrever o comportamento de sistemas macrosco´picos a partir do
conhecimento microsco´pico incompleto dos elementos constituintes e de suas
interac¸o˜es.
• A teoria das probabilidades fornece importantes ferramentas para se ter sucesso
nessa busca.
Definic¸o˜es e conceitos importantes
Varia´veis aleato´rias ou estoca´sticas
Varia´vel cujo valor e´ escolhido ao acaso de um conjunto x ∈ S, dito espac¸o de
amostragem (discreto ou cont´ınuo, limitado ou ilimitado).
Evento
Evento e´ a realizac¸a˜o do processo de escolha de um ou de mais valores de uma
varia´vel aleato´ria, o qual ocorre com certa probabilidade p(x) definida.
Exemplo: O resultado do lanc¸amento de um dado (evento) e´ uma va´ria´vel aleato´ria que
resulta dentre os valores discretos do conjunto S ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A probabilidade que
o resultado do evento seja certo valor e´, por exemplo, p(2) = 1/6.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
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• A mecaˆnica estat´ıstica e´ uma teoria inerentemente probabil´ıstica.
• Busca descrever o comportamento de sistemas macrosco´picos a partir do
conhecimento microsco´pico incompleto dos elementos constituintes e de suas
interac¸o˜es.
• A teoria das probabilidades fornece importantes ferramentas para se ter sucesso
nessa busca.
Definic¸o˜es e conceitos importantes
Varia´veis aleato´rias ou estoca´sticas
Varia´vel cujo valor e´ escolhido ao acaso de um conjunto x ∈ S, dito espac¸o de
amostragem (discreto ou cont´ınuo, limitado ou ilimitado).
Evento
Evento e´ a realizac¸a˜o do processo de escolha de um ou de mais valores de uma
varia´vel aleato´ria, o qual ocorre com certa probabilidade p(x) definida.
Exemplo: O resultado do lanc¸amento de um dado (evento) e´ uma va´ria´vel aleato´ria que
resulta dentre os valores discretos do conjunto S ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A probabilidade que
o resultado do evento seja certo valor e´, por exemplo, p(2) = 1/6.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
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Probabilidades:
A probabilidade e´ a quantidade que caracteriza a expectativa da ocorreˆncia de certo
evento.
Propriedades:
(a) Positividade: deve ter valor positivo ou nulo, i.e. p(x) ≥ 0.
(b) Aditividade: A probabilidade de ocorreˆncia de um dentre dois poss´ıveis even-
tos descorrelacionados ou independentes e´ a soma das probabilidades de cada
evento separadamente, i.e. p(x1 ou x2) = p(x1) + p(x2)
(c) Normalizac¸a˜o: A probabilidade que o evento resulte em pelo menos um dos
valores poss´ıveis x ∈ S e´ igual a um, i.e. p(S) = 1, ou seja e´ um acontecimento
certo.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
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Probabilidades:
A probabilidade e´ a quantidade que caracteriza a expectativa da ocorreˆncia de certo
evento.
Propriedades:
(a) Positividade: deve ter valor positivo ou nulo, i.e. p(x) ≥ 0.
(b) Aditividade: A probabilidade de ocorreˆncia de um dentre dois poss´ıveis even-
tos descorrelacionados ou independentes e´ a soma das probabilidades de cada
evento separadamente, i.e. p(x1 ou x2) = p(x1) + p(x2)
(c) Normalizac¸a˜o: A probabilidade que o evento resulte em pelo menos um dos
valores poss´ıveis x ∈ S e´ igual a um, i.e. p(S) = 1, ou seja e´ um acontecimento
certo.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
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Probabilidades:
A probabilidade e´ a quantidade que caracteriza a expectativa da ocorreˆncia de certo
evento.
Propriedades:
(a) Positividade: deve ter valor positivo ou nulo, i.e. p(x) ≥ 0.
(b) Aditividade: A probabilidade de ocorreˆncia de um dentre dois poss´ıveis even-
tos descorrelacionados ou independentes e´ a soma das probabilidades de cada
evento separadamente, i.e. p(x1 ou x2) = p(x1) + p(x2)
(c) Normalizac¸a˜o: A probabilidade que o evento resulte em pelo menos um dos
valores poss´ıveis x ∈ S e´ igual a um, i.e. p(S) = 1, ou seja e´ um acontecimento
certo.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
3
Probabilidades:
A probabilidade e´ a quantidade que caracteriza a expectativa da ocorreˆncia de certo
evento.
Propriedades:
(a) Positividade: deve ter valor positivo ou nulo, i.e. p(x) ≥ 0.
(b) Aditividade: A probabilidade de ocorreˆncia de um dentre dois poss´ıveis even-
tos descorrelacionados ou independentes e´ a soma das probabilidades de cada
evento separadamente, i.e. p(x1 ou x2) = p(x1) + p(x2)
(c) Normalizac¸a˜o: A probabilidade que o evento resulte em pelo menos um dos
valores poss´ıveis x ∈ S e´ igual a um, i.e. p(S) = 1, ou seja e´ um acontecimento
certo.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
4
Propriedades (continuac¸a˜o):
(d) Medic¸a˜o da Probabilidade: A probabilidade de que certo evento ocorra com resul-
tado x ∈ S pode ser medida computando-se o nu´mero de vezes NM (x) (frequeˆncia)
que o resultado x ocorra dentre M eventos independentes, no limite em que M se
torna muito grande, i.ep(x) = lim
M→∞
NM (x)
M
(e) Estimativa da Probabilidade: A probabilidade da ocorreˆncia de certo evento
pode ser estimada por argumentos que caracterizem a incerteza acerca do conhec-
imento completo (ou preciso) do resultado do evento.
Exemplo: a probabilidade de ocorreˆncia de algum dos valores do dado e´ 1/6.
OBS: Em geral, esse e´ o procedimento (subjetivo) usual na mecaˆnica estat´ıstica, o
qual precisa ser validado por experimentos posteriores.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
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Propriedades (continuac¸a˜o):
(d) Medic¸a˜o da Probabilidade: A probabilidade de que certo evento ocorra com resul-
tado x ∈ S pode ser medida computando-se o nu´mero de vezes NM (x) (frequeˆncia)
que o resultado x ocorra dentre M eventos independentes, no limite em que M se
torna muito grande, i.e
p(x) = lim
M→∞
NM (x)
M
(e) Estimativa da Probabilidade: A probabilidade da ocorreˆncia de certo evento
pode ser estimada por argumentos que caracterizem a incerteza acerca do conhec-
imento completo (ou preciso) do resultado do evento.
Exemplo: a probabilidade de ocorreˆncia de algum dos valores do dado e´ 1/6.
OBS: Em geral, esse e´ o procedimento (subjetivo) usual na mecaˆnica estat´ıstica, o
qual precisa ser validado por experimentos posteriores.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
4
Propriedades (continuac¸a˜o):
(d) Medic¸a˜o da Probabilidade: A probabilidade de que certo evento ocorra com resul-
tado x ∈ S pode ser medida computando-se o nu´mero de vezes NM (x) (frequeˆncia)
que o resultado x ocorra dentre M eventos independentes, no limite em que M se
torna muito grande, i.e
p(x) = lim
M→∞
NM (x)
M
(e) Estimativa da Probabilidade: A probabilidade da ocorreˆncia de certo evento
pode ser estimada por argumentos que caracterizem a incerteza acerca do conhec-
imento completo (ou preciso) do resultado do evento.
Exemplo: a probabilidade de ocorreˆncia de algum dos valores do dado e´ 1/6.
OBS: Em geral, esse e´ o procedimento (subjetivo) usual na mecaˆnica estat´ıstica, o
qual precisa ser validado por experimentos posteriores.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
5
Processos estoca´sticos
Considerar uma varia´vel estoca´stica X que possui um espac¸o de amostragem S discreto,
conta´vel e infinito, ou seja S = {x1, x2, . . . }.
Cada valor de S pode ser rotulado por um nu´mero inteiro de forma inequ´ıvoca, i.e.
S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )
Definindo pi = p(xi) pelas respectivas probabilidades de ocorreˆncia, temos
pi ≥ 0 e
�
i
pi = 1
Func¸a˜o densidade de probabilidade - f.d.p.:
PX(x) =
∞�
i=1
pi δ(x− xi) (definic¸a˜o)
onde δ(x− xi) e´ a func¸a˜o distribuic¸a˜o δ−Dirac.
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Revisão sobre Teoria de Probabilidades
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Processos estoca´sticos
Considerar uma varia´vel estoca´stica X que possui um espac¸o de amostragem S discreto,
conta´vel e infinito, ou seja S = {x1, x2, . . . }.
Cada valor de S pode ser rotulado por um nu´mero inteiro de forma inequ´ıvoca, i.e.
S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )
Definindo pi = p(xi) pelas respectivas probabilidades de ocorreˆncia, temos
pi ≥ 0 e
�
i
pi = 1
Func¸a˜o densidade de probabilidade - f.d.p.:
PX(x) =
∞�
i=1
pi δ(x− xi) (definic¸a˜o)
onde δ(x− xi) e´ a func¸a˜o distribuic¸a˜o δ−Dirac.
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Processos estoca´sticos
Considerar uma varia´vel estoca´stica X que possui um espac¸o de amostragem S discreto,
conta´vel e infinito, ou seja S = {x1, x2, . . . }.
Cada valor de S pode ser rotulado por um nu´mero inteiro de forma inequ´ıvoca, i.e.
S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )
Definindo pi = p(xi) pelas respectivas probabilidades de ocorreˆncia, temos
pi ≥ 0 e
�
i
pi = 1
Func¸a˜o densidade de probabilidade - f.d.p.:
PX(x) =
∞�
i=1
pi δ(x− xi) (definic¸a˜o)
onde δ(x− xi) e´ a func¸a˜o distribuic¸a˜o δ−Dirac.
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Processos estoca´sticos
Considerar uma varia´vel estoca´stica X que possui um espac¸o de amostragem S discreto,
conta´vel e infinito, ou seja S = {x1, x2, . . . }.
Cada valor de S pode ser rotulado por um nu´mero inteiro de forma inequ´ıvoca, i.e.
S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )
Definindo pi = p(xi) pelas respectivas probabilidades de ocorreˆncia, temos
pi ≥ 0 e
�
i
pi = 1
Func¸a˜o densidade de probabilidade - f.d.p.:
PX(x) =
∞�
i=1
pi δ(x− xi) (definic¸a˜o)
onde δ(x− xi) e´ a func¸a˜o distribuic¸a˜o δ−Dirac.
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Processos estoca´sticos
Considerar uma varia´vel estoca´stica X que possui um espac¸o de amostragem S discreto,
conta´vel e infinito, ou seja S = {x1, x2, . . . }.
Cada valor de S pode ser rotulado por um nu´mero inteiro de forma inequ´ıvoca, i.e.
S = {xi}, (i = 1, 2, . . . )
Definindo pi = p(xi) pelas respectivas probabilidades de ocorreˆncia, temos
pi ≥ 0 e
�
i
pi = 1
Func¸a˜o densidade de probabilidade - f.d.p.:
PX(x) =
∞�
i=1
pi δ(x− xi) (definic¸a˜o)
onde δ(x− xi) e´ a func¸a˜o distribuic¸a˜o δ−Dirac.� ∞
−∞
P (x)dx =
∞�
i=1
pi
� ∞
−∞
δ(x− xi) dx� �� �
=1
=
∞�
i=1
pi = 1,Observação:
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Função Densidade de Probabilidades
6
Propriedades importantes:
1. A func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades mede a probabilidade de que a varia´vel
aleato´ria X tenha seu valor xi no intervalo (−∞, x).
Por isso, tambe´m referida como a func¸a˜o de probabilidades cumulativa (FPC).
2. A func¸a˜o densidade de probabilidades e´ a derivada da func¸a˜o distribuic¸a˜o de prob-
abilidades, i.e.
PX(x) =
dFX(x)
dx
Define-se a func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades ou simplesmente distribuic¸a˜o de
probabilidades, pela integral,
FX(x) =
� x
−∞
PX(x
�)dx�, ou FX(x) =
∞�
i=1
piΘ(x− xi)
onde Θ(x− xi) e´ a func¸a˜o Theta de Heaviside.
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Função Densidade de Probabilidades
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Propriedades importantes:
1. A func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades mede a probabilidade de que a varia´vel
aleato´ria X tenha seu valor xi no intervalo (−∞, x).
Por isso, tambe´m referida como a func¸a˜o de probabilidades cumulativa (FPC).
2. A func¸a˜o densidade de probabilidades e´ a derivada da func¸a˜o distribuic¸a˜o de prob-
abilidades, i.e.
PX(x) =
dFX(x)
dx
Define-se a func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades ou simplesmente distribuic¸a˜o de
probabilidades, pela integral,
FX(x) =
� x
−∞
PX(x
�)dx�, ou FX(x) =
∞�
i=1
piΘ(x− xi)
onde Θ(x− xi) e´ a func¸a˜o Theta de Heaviside.
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Função Densidade de Probabilidades
6
Propriedades importantes:
1. A func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades mede a probabilidade de que a varia´vel
aleato´ria X tenha seu valor xi no intervalo (−∞, x).
Por isso, tambe´m referida como a func¸a˜o de probabilidades cumulativa (FPC).
2. A func¸a˜o densidade de probabilidades e´ a derivada da func¸a˜o distribuic¸a˜o de prob-
abilidades, i.e.
PX(x) =
dFX(x)
dx
Define-se a func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades ou simplesmente distribuic¸a˜o de
probabilidades, pela integral,
FX(x) =
� x
−∞
PX(x
�)dx�, ou FX(x) =
∞�
i=1
piΘ(x− xi)
onde Θ(x− xi) e´ a func¸a˜o Theta de Heaviside.
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Função Densidade de Probabilidades
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Propriedades importantes:
1. A func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades mede a probabilidade de que a varia´vel
aleato´ria X tenha seu valor xi no intervalo (−∞, x).
Por isso, tambe´m referida como a func¸a˜o de probabilidades cumulativa (FPC).
2. A func¸a˜o densidade de probabilidades e´ a derivada da func¸a˜o distribuic¸a˜o de prob-
abilidades, i.e.
PX(x) =
dFX(x)
dx
Define-se a func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades ou simplesmente distribuic¸a˜o de
probabilidades, pela integral,
FX(x) =
� x
−∞
PX(x
�)dx�, ou FX(x) =
∞�
i=1
piΘ(x− xi)
onde Θ(x− xi) e´ a func¸a˜o Theta de Heaviside.
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Função Densidade de Probabilidades
7
Propriedades importantes: continuac¸a˜o
3. Para que a func¸a˜o PX(x) seja sempre ≥ 0 e´ necessa´rio que FX(x) seja uma func¸a˜o
monotonicamente crescente de x, e limitada no intervalo (0, 1) com FX(−∞) = 0
e FX(∞) = 1
4. Varia´veis aleato´rias cont´ınuas:
Considerar uma varia´vel aleato´ria e´ cont´ınua, i.e. x ∈ S = {−∞ ≤ x ≤ ∞}.
A probabilidade que um evento tenha resultado no intervalo {a ≤ x ≤ b} deve ser
calculada pela integral de uma certa func¸a˜o densidade de probabilidades PX(x) no
intervalo [a, b], i.e.
ProbX({a ≤ x ≤ b}) =
� b
a
PX(x
�) dx�
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Propriedades importantes: continuac¸a˜o
3. Para que a func¸a˜o PX(x) seja sempre ≥ 0 e´ necessa´rio que FX(x) seja uma func¸a˜o
monotonicamente crescente de x, e limitada no intervalo (0, 1) com FX(−∞) = 0
e FX(∞) = 1
4. Varia´veis aleato´rias cont´ınuas:
Considerar uma varia´vel aleato´ria e´ cont´ınua, i.e. x ∈ S = {−∞ ≤ x ≤ ∞}.
A probabilidade que um evento tenha resultado no intervalo {a ≤ x ≤ b} deve ser
calculada pela integral de uma certa func¸a˜o densidade de probabilidades PX(x) no
intervalo [a, b], i.e.
ProbX({a ≤ x ≤ b}) =
� b
a
PX(x
�) dx�
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Propriedades importantes: continuac¸a˜o
3. Para que a func¸a˜o PX(x) seja sempre ≥ 0 e´ necessa´rio que FX(x) seja uma func¸a˜o
monotonicamente crescente de x, e limitada no intervalo (0, 1) com FX(−∞) = 0
e FX(∞) = 1
4. Varia´veis aleato´rias cont´ınuas:
Considerar uma varia´vel aleato´ria e´ cont´ınua, i.e. x ∈ S = {−∞ ≤ x ≤ ∞}.
A probabilidade que um evento tenha resultado no intervalo {a ≤ x ≤ b} deve ser
calculada pela integral de uma certa func¸a˜o densidade de probabilidades PX(x) no
intervalo [a, b], i.e.
ProbX({a ≤ x ≤ b}) =
� b
a
PX(x
�) dx�
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Função Densidade de Probabilidades
8
Comenta´rios:
• Se X e´ uma varia´vel estoca´stica, PX(x) e´ a probabilidade que em um evento o
resultado esteja entre x e x+ dx.
• PX(x) satisfaz a todas propriedades da func¸a˜o densidade de probabilidades de uma
varia´vel discreta, i.e. � ∞
−∞
PX(x
�) dx� = 1
e pode definir uma func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades (cumulativa) FX(x), que
atende a`s propriedades (1)-(3) acima mostradas.
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Função Densidade de Probabilidades
8
Comenta´rios:
• Se X e´ uma varia´vel estoca´stica, PX(x) e´ a probabilidade que em um evento o
resultado esteja entre x e x+ dx.
• PX(x) satisfaz a todas propriedades da func¸a˜o densidade de probabilidades de uma
varia´vel discreta, i.e. � ∞
−∞
PX(x
�) dx� = 1
e pode definir uma func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades (cumulativa) FX(x), que
atende a`s propriedades (1)-(3) acima mostradas.
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Função Densidade de Probabilidades
8
Comenta´rios:
• Se X e´ uma varia´vel estoca´stica, PX(x) e´ a probabilidade que em um evento o
resultado esteja entre x e x+ dx.
• PX(x) satisfaz a todas propriedades da func¸a˜o densidade de probabilidades de uma
varia´vel discreta, i.e. � ∞
−∞
PX(x
�) dx� = 1
e pode definir uma func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidades (cumulativa) FX(x), que
atende a`s propriedades (1)-(3) acima mostradas.
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
9
O momento de ordem n de uma f.d.p. e´ definido por
< xn >=
� ∞
−∞
xn PX(x) dx
Primeiro Momento:
O primeiro momento e´ o valor me´dio dos valores do conjunto SX , i.e. a me´dia
ponderada de todos valores com o peso dado pelas respectivas probabilidades.
< x >=
� ∞
−∞
xPX(x) dx (me´dia)
Segundo Momento:
< x2 >=
� ∞
−∞
x2 PX(x) dx
Mede a dispersa˜o, i.e. o quanto a f.d.p esta´ deslocalizada em relac¸a˜o a` me´dia.
Tambe´m e´ chamada de variaˆncia e e´ definida pelo valor me´dio do quadrado do
desvio em relac¸a˜o a` me´dia, i.e.
< (x− < x >)2 >=
� ∞
−∞
(x− < x >)2 PX(x) dx dispersa˜o ou variaˆncia
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
9
O momento de ordem n de uma f.d.p. e´ definido por
< xn >=
� ∞
−∞
xn PX(x) dx
Primeiro Momento:
O primeiro momento e´ o valor me´dio dos valores do conjunto SX , i.e. a me´dia
ponderada de todos valores com o peso dado pelas respectivas probabilidades.
< x >=
� ∞
−∞
xPX(x) dx (me´dia)
Segundo Momento:
< x2 >=
� ∞
−∞
x2 PX(x) dx
Mede a dispersa˜o, i.e. o quanto a f.d.p esta´ deslocalizada em relac¸a˜o a` me´dia.
Tambe´m e´ chamada de variaˆncia e e´ definida pelo valor me´dio do quadrado do
desvio em relac¸a˜o a` me´dia, i.e.
< (x− < x >)2 >=
� ∞
−∞
(x− < x >)2 PX(x) dx dispersa˜o ou variaˆncia
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Curso de Verão 2012 - Mecânica Estatística - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 
Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
9
O momento de ordem n de uma f.d.p. e´ definido por
< xn >=
� ∞
−∞
xn PX(x) dx
Primeiro Momento:
O primeiro momento e´ o valor me´dio dos valores do conjunto SX , i.e. a me´dia
ponderada de todos valores com o peso dado pelas respectivas probabilidades.
< x >=
� ∞
−∞
xPX(x) dx (me´dia)Segundo Momento:
< x2 >=
� ∞
−∞
x2 PX(x) dx
Mede a dispersa˜o, i.e. o quanto a f.d.p esta´ deslocalizada em relac¸a˜o a` me´dia.
Tambe´m e´ chamada de variaˆncia e e´ definida pelo valor me´dio do quadrado do
desvio em relac¸a˜o a` me´dia, i.e.
< (x− < x >)2 >=
� ∞
−∞
(x− < x >)2 PX(x) dx dispersa˜o ou variaˆncia
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
9
O momento de ordem n de uma f.d.p. e´ definido por
< xn >=
� ∞
−∞
xn PX(x) dx
Primeiro Momento:
O primeiro momento e´ o valor me´dio dos valores do conjunto SX , i.e. a me´dia
ponderada de todos valores com o peso dado pelas respectivas probabilidades.
< x >=
� ∞
−∞
xPX(x) dx (me´dia)
Segundo Momento:
< x2 >=
� ∞
−∞
x2 PX(x) dx
Mede a dispersa˜o, i.e. o quanto a f.d.p esta´ deslocalizada em relac¸a˜o a` me´dia.
Tambe´m e´ chamada de variaˆncia e e´ definida pelo valor me´dio do quadrado do
desvio em relac¸a˜o a` me´dia, i.e.
< (x− < x >)2 >=
� ∞
−∞
(x− < x >)2 PX(x) dx dispersa˜o ou variaˆncia
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
10
<x>
x-<x>
x
Σ 2
x
PX!x"
A variaˆncia e´ denotada por σ2.
σ e´ chamado de desvio padra˜o ou
raiz do desvio quadra´tico me´dio.
σ2 e´ um estimador para a largura
da distribuic¸a˜o, como indicado na
figura ao lado:
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
11
Terceiro Momento:
< x3 >=
� ∞
−∞
x3 PX(x) dx
O terceiro momento esta´ relacionado com a assimetria da f.d.p. ou obliquidade (skewness
em ingleˆs ) definida por
γ =
��x− < x >
σ
�3�
→ γ = < x
3 > −3 < x2 >< x > +2 < x >3
σ3
Γ>0
x
PX!x"
Γ<0
x
PX!x"
Γ<0 Γ>0
x
PX!x"
A obliquidade mede o quanto a f.d.p esta´ esta´ destorcida em relac¸a˜o a` sua simetria em
torno da me´dia.
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
12
Quarto Momento:
< x4 >=
� ∞
−∞
x4 PX(x) dx
O quarto momento esta´ relacionado com a Kurtosis ou Curtose, ou ainda com o excesso
de kurtosis da f.d.p. definida por
κ =
< x4 >
< x2 >2
− 3
A curtose fornece uma medida do achatamento ou agudeza da func¸a˜o em relac¸a˜o a`
distribuic¸a˜o normal.
(a) Mesocu´rticas: κ = 0. O exemplo mais proeminente e´ a distribuic¸a˜o normal ou
Gaussiana, vista a mais adiante.
(b) Leptocu´rticas: κ > 0. Possuem pico agudo e caudas cheias ou gordas. Exemplos:
as distribuic¸o˜es de Cauchy, Student-t, Rayleigh, Laplace (κ = 3), Exponencial,
Poisson e a Log´ıstica (κ = 1.2), tambe´m denominadas de super Gaussianas.
(c) Platicu´rticas: κ < 0. Possuem um pico mais arredondado e caudas finas ou magras.
O caso mais famoso e´ o da distribuic¸a˜o de Bernoulli com probabilidade p = 1/2
para cada um dos dois eventos, i.e cara ou coroa.
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
12
Quarto Momento:
< x4 >=
� ∞
−∞
x4 PX(x) dx
O quarto momento esta´ relacionado com a Kurtosis ou Curtose, ou ainda com o excesso
de kurtosis da f.d.p. definida por
κ =
< x4 >
< x2 >2
− 3
A curtose fornece uma medida do achatamento ou agudeza da func¸a˜o em relac¸a˜o a`
distribuic¸a˜o normal.
(a) Mesocu´rticas: κ = 0. O exemplo mais proeminente e´ a distribuic¸a˜o normal ou
Gaussiana, vista a mais adiante.
(b) Leptocu´rticas: κ > 0. Possuem pico agudo e caudas cheias ou gordas. Exemplos:
as distribuic¸o˜es de Cauchy, Student-t, Rayleigh, Laplace (κ = 3), Exponencial,
Poisson e a Log´ıstica (κ = 1.2), tambe´m denominadas de super Gaussianas.
(c) Platicu´rticas: κ < 0. Possuem um pico mais arredondado e caudas finas ou magras.
O caso mais famoso e´ o da distribuic¸a˜o de Bernoulli com probabilidade p = 1/2
para cada um dos dois eventos, i.e cara ou coroa.
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
12
Quarto Momento:
< x4 >=
� ∞
−∞
x4 PX(x) dx
O quarto momento esta´ relacionado com a Kurtosis ou Curtose, ou ainda com o excesso
de kurtosis da f.d.p. definida por
κ =
< x4 >
< x2 >2
− 3
A curtose fornece uma medida do achatamento ou agudeza da func¸a˜o em relac¸a˜o a`
distribuic¸a˜o normal.
(a) Mesocu´rticas: κ = 0. O exemplo mais proeminente e´ a distribuic¸a˜o normal ou
Gaussiana, vista a mais adiante.
(b) Leptocu´rticas: κ > 0. Possuem pico agudo e caudas cheias ou gordas. Exemplos:
as distribuic¸o˜es de Cauchy, Student-t, Rayleigh, Laplace (κ = 3), Exponencial,
Poisson e a Log´ıstica (κ = 1.2), tambe´m denominadas de super Gaussianas.
(c) Platicu´rticas: κ < 0. Possuem um pico mais arredondado e caudas finas ou magras.
O caso mais famoso e´ o da distribuic¸a˜o de Bernoulli com probabilidade p = 1/2
para cada um dos dois eventos, i.e cara ou coroa.
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
12
Quarto Momento:
< x4 >=
� ∞
−∞
x4 PX(x) dx
O quarto momento esta´ relacionado com a Kurtosis ou Curtose, ou ainda com o excesso
de kurtosis da f.d.p. definida por
κ =
< x4 >
< x2 >2
− 3
A curtose fornece uma medida do achatamento ou agudeza da func¸a˜o em relac¸a˜o a`
distribuic¸a˜o normal.
(a) Mesocu´rticas: κ = 0. O exemplo mais proeminente e´ a distribuic¸a˜o normal ou
Gaussiana, vista a mais adiante.
(b) Leptocu´rticas: κ > 0. Possuem pico agudo e caudas cheias ou gordas. Exemplos:
as distribuic¸o˜es de Cauchy, Student-t, Rayleigh, Laplace (κ = 3), Exponencial,
Poisson e a Log´ıstica (κ = 1.2), tambe´m denominadas de super Gaussianas.
(c) Platicu´rticas: κ < 0. Possuem um pico mais arredondado e caudas finas ou magras.
O caso mais famoso e´ o da distribuic¸a˜o de Bernoulli com probabilidade p = 1/2
para cada um dos dois eventos, i.e cara ou coroa.
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
13
Gra´fico comparativo das distribuic¸o˜es de Laplace (D), Secante Hiperbo´lica (S), Log´ıstica (L), Normal ou
Gaussiana (N), Coseno Elevado (C), Semic´ırculo de Wigner (W) e Uniforme (U), com suas respectivas curtoses
indicadas na legenda. Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
14
Func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria:
Considerar GX(x) func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria X.
A func¸a˜o GX(x) sera´, tambe´m, uma varia´vel aleato´ria associada com uma func¸a˜o densi-
dade de probabilidade PGX tal que
PGXdG = ProbG(GX ∈ [GX , GX + dGX ])
PGX satisfaz a todas as propriedades de uma f.d.p. acima descritas. O valor esperado
(ou valor me´dio) para essa func¸a˜o e´ definido por
< GX >=
� ∞
−∞
GX(x)PX(x) dx
Para o caso de mais de uma varia´vel, i.e. GXY (x, y), teˆm-se
< GXY >=
� ∞−∞
dx
� ∞
−∞
GXY (x, y)PXY (x, y)dy
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
14
Func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria:
Considerar GX(x) func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria X.
A func¸a˜o GX(x) sera´, tambe´m, uma varia´vel aleato´ria associada com uma func¸a˜o densi-
dade de probabilidade PGX tal que
PGXdG = ProbG(GX ∈ [GX , GX + dGX ])
PGX satisfaz a todas as propriedades de uma f.d.p. acima descritas. O valor esperado
(ou valor me´dio) para essa func¸a˜o e´ definido por
< GX >=
� ∞
−∞
GX(x)PX(x) dx
Para o caso de mais de uma varia´vel, i.e. GXY (x, y), teˆm-se
< GXY >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
GXY (x, y)PXY (x, y)dy
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
14
Func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria:
Considerar GX(x) func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria X.
A func¸a˜o GX(x) sera´, tambe´m, uma varia´vel aleato´ria associada com uma func¸a˜o densi-
dade de probabilidade PGX tal que
PGXdG = ProbG(GX ∈ [GX , GX + dGX ])
PGX satisfaz a todas as propriedades de uma f.d.p. acima descritas. O valor esperado
(ou valor me´dio) para essa func¸a˜o e´ definido por
< GX >=
� ∞
−∞
GX(x)PX(x) dx
Para o caso de mais de uma varia´vel, i.e. GXY (x, y), teˆm-se
< GXY >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
GXY (x, y)PXY (x, y)dy
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
14
Func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria:
Considerar GX(x) func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria X.
A func¸a˜o GX(x) sera´, tambe´m, uma varia´vel aleato´ria associada com uma func¸a˜o densi-
dade de probabilidade PGX tal que
PGXdG = ProbG(GX ∈ [GX , GX + dGX ])
PGX satisfaz a todas as propriedades de uma f.d.p. acima descritas. O valor esperado
(ou valor me´dio) para essa func¸a˜o e´ definido por
< GX >=
� ∞
−∞
GX(x)PX(x) dx
Para o caso de mais de uma varia´vel, i.e. GXY (x, y), teˆm-se
< GXY >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
GXY (x, y)PXY (x, y)dy
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos
15
Exemplos:
1) Supor GXY (x, y) = xn, logo
< xn >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
dy xnPXY (x, y)
2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo
< xnym >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
∞
dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)
Correlac¸a˜o ou func¸a˜o de correlac¸a˜o
Cor(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σxσy
=
< xy > − < x >< y >√
< x2 > − < x >2�< y2 > − < y >2
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos
15
Exemplos:
1) Supor GXY (x, y) = xn, logo
< xn >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
dy xnPXY (x, y)
2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo
< xnym >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
∞
dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)
Correlac¸a˜o ou func¸a˜o de correlac¸a˜o
Cor(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σxσy
=
< xy > − < x >< y >√
< x2 > − < x >2�< y2 > − < y >2
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos
15
Exemplos:
1) Supor GXY (x, y) = xn, logo
< xn >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
dy xnPXY (x, y)
2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo
< xnym >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
∞
dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)
Correlac¸a˜o ou func¸a˜o de correlac¸a˜o
Cor(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σxσy
=
< xy > − < x >< y >√
< x2 > − < x >2�< y2 > − < y >2
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos
15
Covariaˆncia
Cov(X,Y ) =< (x− < x >)(y− < y >) > → Cov(X,Y ) =< xy > − < x >< y >
Exemplos:
1) Supor GXY (x, y) = xn, logo
< xn >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
dy xnPXY (x, y)
2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo
< xnym >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
∞
dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)
Correlac¸a˜o ou func¸a˜o de correlac¸a˜o
Cor(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σxσy
=
< xy > − < x >< y >√
< x2 > − < x >2�< y2 > − < y >2
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos
15
Covariaˆncia
Cov(X,Y ) =< (x− < x >)(y− < y >) > → Cov(X,Y ) =< xy > − < x >< y >
Exemplos:
1) Supor GXY (x, y) = xn, logo
< xn >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
dy xnPXY (x, y)
2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo
< xnym >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
∞
dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)
Correlac¸a˜o ou func¸a˜o de correlac¸a˜o
Cor(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σxσy
=
< xy > − < x >< y >√
< x2 > − < x >2�< y2 > − < y >2
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos
15
Covariaˆncia
Cov(X,Y ) =< (x− < x >)(y− < y >) > → Cov(X,Y ) =< xy > − < x >< y >
Exemplos:
1) Supor GXY (x, y) = xn, logo
< xn >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
dy xnPXY (x, y)
2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo
< xnym >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
∞
dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)
Correlac¸a˜o ou func¸a˜o de correlac¸a˜o
Cor(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σxσy
=
< xy > − < x >< y >√
< x2 > − < x >2�< y2 > − < y >2
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades - exemplos
15
Covariaˆncia
Cov(X,Y ) =< (x− < x >)(y− < y >) > → Cov(X,Y ) =< xy > − < x >< y >
Exemplos:
1) Supor GXY (x, y) = xn, logo
< xn >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
−∞
dy xnPXY (x, y)
2) Supor GXY (x, y) = xnym, logo
< xnym >=
� ∞
−∞
dx
� ∞
∞
dy xnymPXY (x, y) (momento conjugado)
Correlac¸a˜o ou func¸a˜o de correlac¸a˜o
Cor(X,Y ) =
Cov(X,Y )
σxσy
=
< xy > − < x >< y >√
< x2 > − < x >2�< y2 > − < y >2
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Momentos de uma Função Densidade de Probabilidades
16
Propriedades:
1. Cor(X,Y ) e´ adimendional.
2. Cor(X,Y ) mede o grau dependeˆncia entre as varia´veis X e Y .
3. Cor(X,Y )=Cor(Y,X)
4. −1 ≤ Cor(X,Y ) ≤ 1
5. Cor(X,X) = 1 e Cor(X,−X) = −1
6. Cor(aX + b, c Y + d) = Cor(X,Y ) = 1, se a, c �= 0
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Variáveis Aleatórias Independentes
17
Varia´veis Aleato´rias Independentes:
PXY (x, y) = PX(x)PY (y)
• < X Y >=< X >< Y >
• Cov(X,Y ) = 0 → Cor(X,Y ) = 0.
O reverso na˜o e´ necessariamente verdadeiro.
• Composic¸a˜o
σ2X+Y = < (X + Y )
2 > − < (X + Y ) >2=
= < (X)2 > − < (X) >2 + < (y)2 > − < (Y ) >2=
= σ2X + σ
2
Y
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Variáveis Aleatórias Independentes17
Varia´veis Aleato´rias Independentes:
PXY (x, y) = PX(x)PY (y)
• < X Y >=< X >< Y >
• Cov(X,Y ) = 0 → Cor(X,Y ) = 0.
O reverso na˜o e´ necessariamente verdadeiro.
• Composic¸a˜o
σ2X+Y = < (X + Y )
2 > − < (X + Y ) >2=
= < (X)2 > − < (X) >2 + < (y)2 > − < (Y ) >2=
= σ2X + σ
2
Y
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Variáveis Aleatórias Independentes
17
Varia´veis Aleato´rias Independentes:
PXY (x, y) = PX(x)PY (y)
• < X Y >=< X >< Y >
• Cov(X,Y ) = 0 → Cor(X,Y ) = 0.
O reverso na˜o e´ necessariamente verdadeiro.
• Composic¸a˜o
σ2X+Y = < (X + Y )
2 > − < (X + Y ) >2=
= < (X)2 > − < (X) >2 + < (y)2 > − < (Y ) >2=
= σ2X + σ
2
Y
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A Distribuição Binomial
18
Seja a varia´vel aleato´ria X(x) onde x ∈ S = {0,+1}.
Definir p(0) = q e p(+1) = p donde p = 1− q.
Considerar uma sequeˆncia de N eventos independentes em que ocorrem n0 vezes o
resultado 0 e n1 vezes o resultado +1, onde N = n0 + n1.
A probabilidade de ocorrer uma certa sequeˆncia com n0 resultados 0, sera´ qn0 pn1 .
Como o nu´mero de maneiras de se dispor n0 resultados 0 e n1 resultados +1 em uma
sequeˆncia e´ N !/n0!n1!, todas equiprova´veis, a probabilidade de se obter qualquer
sequeˆncia com n0 resultados 0 e n1 do tipo +1 sera´
PN (n1) =
N !
n0!n1!
qn0 pn1
Usando o teorema binomial e´ imediato verificar que
N�
n1=0
PN (n1) =
N�
n1=0
N !
(N − n1)!n1! q
N−n1 pn1 = (p+ q)N = 1
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A Distribuição Binomial
18
Seja a varia´vel aleato´ria X(x) onde x ∈ S = {0,+1}.
Definir p(0) = q e p(+1) = p donde p = 1− q.
Considerar uma sequeˆncia de N eventos independentes em que ocorrem n0 vezes o
resultado 0 e n1 vezes o resultado +1, onde N = n0 + n1.
A probabilidade de ocorrer uma certa sequeˆncia com n0 resultados 0, sera´ qn0 pn1 .
Como o nu´mero de maneiras de se dispor n0 resultados 0 e n1 resultados +1 em uma
sequeˆncia e´ N !/n0!n1!, todas equiprova´veis, a probabilidade de se obter qualquer
sequeˆncia com n0 resultados 0 e n1 do tipo +1 sera´
PN (n1) =
N !
n0!n1!
qn0 pn1
Usando o teorema binomial e´ imediato verificar que
N�
n1=0
PN (n1) =
N�
n1=0
N !
(N − n1)!n1! q
N−n1 pn1 = (p+ q)N = 1
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A Distribuição Binomial
18
Seja a varia´vel aleato´ria X(x) onde x ∈ S = {0,+1}.
Definir p(0) = q e p(+1) = p donde p = 1− q.
Considerar uma sequeˆncia de N eventos independentes em que ocorrem n0 vezes o
resultado 0 e n1 vezes o resultado +1, onde N = n0 + n1.
A probabilidade de ocorrer uma certa sequeˆncia com n0 resultados 0, sera´ qn0 pn1 .
Como o nu´mero de maneiras de se dispor n0 resultados 0 e n1 resultados +1 em uma
sequeˆncia e´ N !/n0!n1!, todas equiprova´veis, a probabilidade de se obter qualquer
sequeˆncia com n0 resultados 0 e n1 do tipo +1 sera´
PN (n1) =
N !
n0!n1!
qn0 pn1
Usando o teorema binomial e´ imediato verificar que
N�
n1=0
PN (n1) =
N�
n1=0
N !
(N − n1)!n1! q
N−n1 pn1 = (p+ q)N = 1
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A Distribuição Binomial
18
Seja a varia´vel aleato´ria X(x) onde x ∈ S = {0,+1}.
Definir p(0) = q e p(+1) = p donde p = 1− q.
Considerar uma sequeˆncia de N eventos independentes em que ocorrem n0 vezes o
resultado 0 e n1 vezes o resultado +1, onde N = n0 + n1.
A probabilidade de ocorrer uma certa sequeˆncia com n0 resultados 0, sera´ qn0 pn1 .
Como o nu´mero de maneiras de se dispor n0 resultados 0 e n1 resultados +1 em uma
sequeˆncia e´ N !/n0!n1!, todas equiprova´veis, a probabilidade de se obter qualquer
sequeˆncia com n0 resultados 0 e n1 do tipo +1 sera´
PN (n1) =
N !
n0!n1!
qn0 pn1
Usando o teorema binomial e´ imediato verificar que
N�
n1=0
PN (n1) =
N�
n1=0
N !
(N − n1)!n1! q
N−n1 pn1 = (p+ q)N = 1
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A Distribuição Binomial
19
De outra maneira, considerar Xi e´ uma varia´vel estoca´stica que fornece o resul-
tado da ie´sima tentativa e que Xi pode resultar em apenas dois valores, 0 com
probabilidade q e +1 com probabilidade p.
A func¸a˜o densidade de probabilidade para a ie´sima tentativa sera´
PXi(x) = q δ(x) + p δ(x− 1)
Valor Me´dio de n1 eventos com resultado +1 em N tentativas.
< n1 >=
N�
n1=0
n1 PN (n1) =
N�
n1=0
n1
N !
n1!n0!
pn1 qn0
onde n0 = N − n1 e no final faremos q = 1− p.
< n1 >= p
∂
∂p
N�
n1=0
N !
n1!n0!
pn1 qn0 = p
∂
∂p
(p+ q)N = pN(p+ q)N−1 = pN
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
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A Distribuição Binomial
19
De outra maneira, considerar Xi e´ uma varia´vel estoca´stica que fornece o resul-
tado da ie´sima tentativa e que Xi pode resultar em apenas dois valores, 0 com
probabilidade q e +1 com probabilidade p.
A func¸a˜o densidade de probabilidade para a ie´sima tentativa sera´
PXi(x) = q δ(x) + p δ(x− 1)
Valor Me´dio de n1 eventos com resultado +1 em N tentativas.
< n1 >=
N�
n1=0
n1 PN (n1) =
N�
n1=0
n1
N !
n1!n0!
pn1 qn0
onde n0 = N − n1 e no final faremos q = 1− p.
< n1 >= p
∂
∂p
N�
n1=0
N !
n1!n0!
pn1 qn0 = p
∂
∂p
(p+ q)N = pN(p+ q)N−1 = pN
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
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A Distribuição Binomial
20
por outro lado, < n0 >=< N −n1 >= N− < n1 >= N −pN = N(1−p) = q N ,
ou seja
< n1 >= pN, < n0 >= q N, ∴ < n0 > + < n1 >= N
Dispersa˜o em relac¸a˜o a` me´dia: σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2
< n21 >=
N�
n1=0
n21
N !
n!!n0!
pn!qn0 = p
∂
∂p
× p ∂
∂p
�
N�
n1=0
N !
n!!n0!
pn!qn0
�
=
= p
∂
∂p
�
pN(p+ q)N−1
�
= pN + p2N(N − 1)
Logo,
σ21 =< n
2
1 > − < n1 >2= pN + p2N(N − 1)− (pN)2 = N p q
Portanto
σ1 = (p q)
1/2
√
N ∴ σ1
< n1 >
=
�
q
p
�1/2 1√
N
A distribuição se torna 
muito fina e centrada em 
torno da média no limite 
quando N é grande.
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Limite Gaussiano da Distribuição Binomial
21
No limite N →∞, tanto PN (0) = qN →∞ quanto PN (N) = pN → 0.
Logo PN (n1) deve ter um ma´ximo!
Considerar que pro´ximo ao ma´ximo lnPN (n1) seja quase cont´ınua e diferencia´vel.
Seja
f(n1) = lnPN (n1) = lnN !− lnn! − ln(N − n1)! + n1 ln p+ (N − n1) ln q �
Usando a fo´rmula de Stirling,
lnN ! � N lnN −N +O(lnN)
f(n1) � N lnN−N−n1 lnn1+n1−(N−n1) ln(N−n1)−(N−n1)+n1 ln p+(N−n1) ln q
Ca´lculo do ma´ximo,
∂f
∂n1
= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0
No limite N →∞, fica
ln n¯1 + ln(N − n¯1) + ln p− ln q = 0 ∴ n¯1 = N p =< n1 >
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Limite Gaussiano da Distribuição Binomial
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No limite N →∞, tanto PN (0) = qN →∞ quanto PN (N) = pN → 0.
Logo PN (n1) deve ter um ma´ximo!
Considerar que pro´ximo ao ma´ximo lnPN (n1) seja quase cont´ınua e diferencia´vel.
Seja
f(n1) = lnPN (n1) = lnN !− lnn! − ln(N − n1)! + n1 ln p+ (N − n1) ln q �
Usando a fo´rmula de Stirling,
lnN ! � N lnN −N +O(lnN)
f(n1) � N lnN−N−n1 lnn1+n1−(N−n1) ln(N−n1)−(N−n1)+n1 ln p+(N−n1) ln q
Ca´lculo do ma´ximo,
∂f
∂n1
= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0
No limite N →∞, fica
ln n¯1 + ln(N − n¯1) + ln p− ln q = 0 ∴ n¯1 = N p =< n1 >
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Limite Gaussiano da Distribuição Binomial
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No limite N →∞, tanto PN (0) = qN →∞ quanto PN (N) = pN → 0.
Logo PN (n1) deve ter um ma´ximo!
Considerar que pro´ximo ao ma´ximo lnPN (n1) seja quase cont´ınua e diferencia´vel.Seja
f(n1) = lnPN (n1) = lnN !− lnn! − ln(N − n1)! + n1 ln p+ (N − n1) ln q �
Usando a fo´rmula de Stirling,
lnN ! � N lnN −N +O(lnN)
f(n1) � N lnN−N−n1 lnn1+n1−(N−n1) ln(N−n1)−(N−n1)+n1 ln p+(N−n1) ln q
Ca´lculo do ma´ximo,
∂f
∂n1
= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0
No limite N →∞, fica
ln n¯1 + ln(N − n¯1) + ln p− ln q = 0 ∴ n¯1 = N p =< n1 >
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No limite N →∞, tanto PN (0) = qN →∞ quanto PN (N) = pN → 0.
Logo PN (n1) deve ter um ma´ximo!
Considerar que pro´ximo ao ma´ximo lnPN (n1) seja quase cont´ınua e diferencia´vel.
Seja
f(n1) = lnPN (n1) = lnN !− lnn! − ln(N − n1)! + n1 ln p+ (N − n1) ln q �
Usando a fo´rmula de Stirling,
lnN ! � N lnN −N +O(lnN)
f(n1) � N lnN−N−n1 lnn1+n1−(N−n1) ln(N−n1)−(N−n1)+n1 ln p+(N−n1) ln q
Ca´lculo do ma´ximo,
∂f
∂n1
= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0
No limite N →∞, fica
ln n¯1 + ln(N − n¯1) + ln p− ln q = 0 ∴ n¯1 = N p =< n1 >
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No limite N →∞, tanto PN (0) = qN →∞ quanto PN (N) = pN → 0.
Logo PN (n1) deve ter um ma´ximo!
Considerar que pro´ximo ao ma´ximo lnPN (n1) seja quase cont´ınua e diferencia´vel.
Seja
f(n1) = lnPN (n1) = lnN !− lnn! − ln(N − n1)! + n1 ln p+ (N − n1) ln q �
Usando a fo´rmula de Stirling,
lnN ! � N lnN −N +O(lnN)
f(n1) � N lnN−N−n1 lnn1+n1−(N−n1) ln(N−n1)−(N−n1)+n1 ln p+(N−n1) ln q
Ca´lculo do ma´ximo,
∂f
∂n1
= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0
No limite N →∞, fica
ln n¯1 + ln(N − n¯1) + ln p− ln q = 0 ∴ n¯1 = N p =< n1 >
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No limite N →∞, tanto PN (0) = qN →∞ quanto PN (N) = pN → 0.
Logo PN (n1) deve ter um ma´ximo!
Considerar que pro´ximo ao ma´ximo lnPN (n1) seja quase cont´ınua e diferencia´vel.
Seja
f(n1) = lnPN (n1) = lnN !− lnn! − ln(N − n1)! + n1 ln p+ (N − n1) ln q �
Usando a fo´rmula de Stirling,
lnN ! � N lnN −N +O(lnN)
f(n1) � N lnN−N−n1 lnn1+n1−(N−n1) ln(N−n1)−(N−n1)+n1 ln p+(N−n1) ln q
Ca´lculo do ma´ximo,
∂f
∂n1
= − lnn1 + ln(N − n!) + ln p− ln q = 0
No limite N →∞, fica
ln n¯1 + ln(N − n¯1) + ln p− ln q = 0 ∴ n¯1 = N p =< n1 >
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Limite Gaussiano da Distribuição Binomial
22
Para a segunda derivada,
∂2f
∂n21
= − 1
n1
− 1
N − n1 , →
∂2f
∂n21
���
n¯1
= − 1
N p q
< 0
verifica-se o ma´ximo em n1 = n¯1.
Expandindo-se em se´rie de Taylor em torno do ma´ximo,
f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n¯1)− 1
2Npq
(n1 − n¯1)2 + . . .
Desprezando-se termos superiores (aproximac¸a˜o gaussiana), resulta
PN (n1) � C0 exp
�
− (n1 − n¯1)
2
2Npq
�
= C0 exp
�
− (n1− < n1 >)
2
2(σ21)
�
onde o coeficiente C0 e´ determinado pela condic¸a˜o de normalizac¸a˜o e resulta
C0 =
�
2πσ21
�1/2 → PN (n1) � �2πσ21�1/2 exp �− (n1− < n1 >)22(σ21)
�
que e´ distribuic¸a˜o normal ou gaussiana centrada em < n1 > com variaˆncia σ21 .
quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012
Curso de Verão 2012 - Mecânica Estatística - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 
Limite Gaussiano da Distribuição Binomial
22
Para a segunda derivada,
∂2f
∂n21
= − 1
n1
− 1
N − n1 , →
∂2f
∂n21
���
n¯1
= − 1
N p q
< 0
verifica-se o ma´ximo em n1 = n¯1.
Expandindo-se em se´rie de Taylor em torno do ma´ximo,
f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n¯1)− 1
2Npq
(n1 − n¯1)2 + . . .
Desprezando-se termos superiores (aproximac¸a˜o gaussiana), resulta
PN (n1) � C0 exp
�
− (n1 − n¯1)
2
2Npq
�
= C0 exp
�
− (n1− < n1 >)
2
2(σ21)
�
onde o coeficiente C0 e´ determinado pela condic¸a˜o de normalizac¸a˜o e resulta
C0 =
�
2πσ21
�1/2 → PN (n1) � �2πσ21�1/2 exp �− (n1− < n1 >)22(σ21)
�
que e´ distribuic¸a˜o normal ou gaussiana centrada em < n1 > com variaˆncia σ21 .
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Para a segunda derivada,
∂2f
∂n21
= − 1
n1
− 1
N − n1 , →
∂2f
∂n21
���
n¯1
= − 1
N p q
< 0
verifica-se o ma´ximo em n1 = n¯1.
Expandindo-se em se´rie de Taylor em torno do ma´ximo,
f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n¯1)− 1
2Npq
(n1 − n¯1)2 + . . .
Desprezando-se termos superiores (aproximac¸a˜o gaussiana), resulta
PN (n1) � C0 exp
�
− (n1 − n¯1)
2
2Npq
�
= C0 exp
�
− (n1− < n1 >)
2
2(σ21)
�
onde o coeficiente C0 e´ determinado pela condic¸a˜o de normalizac¸a˜o e resulta
C0 =
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2πσ21
�1/2 → PN (n1) � �2πσ21�1/2 exp �− (n1− < n1 >)22(σ21)
�
que e´ distribuic¸a˜o normal ou gaussiana centrada em < n1 > com variaˆncia σ21 .
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Para a segunda derivada,
∂2f
∂n21
= − 1
n1
− 1
N − n1 , →
∂2f
∂n21
���
n¯1
= − 1
N p q
< 0
verifica-se o ma´ximo em n1 = n¯1.
Expandindo-se em se´rie de Taylor em torno do ma´ximo,
f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n¯1)− 1
2Npq
(n1 − n¯1)2 + . . .
Desprezando-se termos superiores (aproximac¸a˜o gaussiana), resulta
PN (n1) � C0 exp
�
− (n1 − n¯1)
2
2Npq
�
= C0 exp
�
− (n1− < n1 >)
2
2(σ21)
�
onde o coeficiente C0 e´ determinado pela condic¸a˜o de normalizac¸a˜o e resulta
C0 =
�
2πσ21
�1/2 → PN (n1) � �2πσ21�1/2 exp �− (n1− < n1 >)22(σ21)
�
que e´ distribuic¸a˜o normal ou gaussiana centrada em < n1 > com variaˆncia σ21 .
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Para a segunda derivada,
∂2f
∂n21
= − 1
n1
− 1
N − n1 , →
∂2f
∂n21
���
n¯1
= − 1
N p q
< 0
verifica-se o ma´ximo em n1 = n¯1.
Expandindo-se em se´rie de Taylor em torno do ma´ximo,
f(n1) = lnPN (n1) = lnPN (n¯1)− 1
2Npq
(n1 − n¯1)2 + . . .
Desprezando-se termos superiores (aproximac¸a˜o gaussiana), resulta
PN (n1) � C0 exp
�
− (n1 − n¯1)
2
2Npq
�
= C0 exp
�
− (n1− < n1 >)
2
2(σ21)
�
onde o coeficiente C0 e´ determinado pela condic¸a˜o de normalizac¸a˜o e resulta
C0 =
�
2πσ21
�1/2 → PN (n1) � �2πσ21�1/2 exp �− (n1− < n1 >)22(σ21)
�
que e´ distribuic¸a˜o normal ou gaussiana centrada em < n1 > com variaˆncia σ21 .
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Ensembles estatísticos
23
O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjuntode equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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O objetivo da Mecaˆnica Estat´ıstica e´ descrever o comportamento macrosco´pico
de sistemas f´ısicos a partir do comportamento microsco´pico (do grande nu´mero) das
part´ıculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexa˜o entre a
dinaˆmica microsco´pica e a dinaˆmica macrosco´pica.
A dinaˆmica microsco´pica, dependendo da natureza do sistema, pode ser bem
descrita pela dinaˆmica cla´ssica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecaˆnica
quaˆntica.
Para isso, e´ necessa´rio possuir toda informac¸a˜o sobre um certo estado mi-
crosco´pico e, mesmo assim, ser poss´ıvel resolver o enorme conjunto de equac¸o˜es
acopladas que descrevem de evoluc¸a˜o temporal.
A descric¸a˜o cla´ssica e´ feita pela resoluc¸a˜o das equac¸o˜es do movimento de Hamil-
ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-
cial) permite a determinac¸a˜o precisa de todos os estados passados e futuros.
A descric¸a˜o quaˆntica e´ feita pela resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger. Com o
conhecimento da func¸a˜o de onda do estado inicial e´ poss´ıvel determinar a evoluc¸a˜o
temporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.
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Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´picaque
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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Ambas as descric¸o˜es sa˜o baseadas em equac¸o˜es revers´ıveis no tempo e resultam
num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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num conjunto completo (enorme) de informac¸o˜es microsco´picas, as quais, quando
adequadamente reunidas, sa˜o capazes de descrever a leis que governam o compor-
tamento macrosco´pico. Ha´ pore´m, certo aspectos da dinaˆmica macrosco´pica que
na˜o emergem diretamente do comportamento microsco´pico como:
◦ A existeˆncia dos estados de equil´ıbrio.
◦ A evoluc¸a˜o (na˜o-revers´ıvel) para tais estados de equil´ıbrio.
A mecaˆnica estat´ıstica, por outro lado, tem por objetivo proporcionar a descric¸a˜o
macrosco´pica a partir de um conjunto reduzido das informac¸o˜es microsco´picas e de
postulados razoa´veis que possibilitem a estimativa dos valores me´dios das grandezas
macrosco´picas mensura´veis.
A mecaˆnica estat´ıstica prescinde do ca´lculo microsco´pico detalhado, pore´m
rete´m caracter´ısticas microsco´picas essenciais como as propriedades de simetria
para descrever o comportamento macrosco´pico.
Para realizar este objetivo, lanc¸a ma˜o de um conjunto me´todos estat´ısticos e da
teoria de probabilidades, ale´m das leis da dinaˆmica – cla´ssica ou quaˆntica – e leis de
conservac¸a˜o. Por fim, deve prover uma justificativa teo´rica para a Termodinaˆmica.
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