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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Aula 10
1
Roteiro:
1. Gás Ideal de Bósons 
a) Equação de estado
b) Regime de Altas Temperaturas
c) Regime de baixas temperaturas
d) Condensação de Bose-Einstein
2. Aplicação: Gás de Fótons
Bibliografia: Pathria, §7.1; Huang §12.3
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
2
Ga´s de Bo´sons livres
E´ necessa´rio ter cuidado com o termo que diverge quando z = 1 e �p = 0!
Termo importante para o fenoˆmeno da condensac¸a˜o de Bose.
E´ conveniente separa´-lo da soma, i.e.
PV
kT
= −
��
�p
ln(1− ze−βε�p)− ln(1− z)
�N� =
��
�p
ze−βε�p
(1− ze−βε�p) +
z
1− z
para em seguida passar as somato´rias para o limite cont´ınuo, i.e.
PV
kT
= − V
h3
� ∞
0
(4π)p2 ln[1− ze−βp2/2m]dp− ln(1− z)
�N�
V
=
1
h3
� ∞
0
(4π)p2 dp
[1− z−1eβp2/2m] +
1
V
z
1− z
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
2
Ga´s de Bo´sons livres
E´ necessa´rio ter cuidado com o termo que diverge quando z = 1 e �p = 0!
Termo importante para o fenoˆmeno da condensac¸a˜o de Bose.
E´ conveniente separa´-lo da soma, i.e.
PV
kT
= −
��
�p
ln(1− ze−βε�p)− ln(1− z)
�N� =
��
�p
ze−βε�p
(1− ze−βε�p) +
z
1− z
para em seguida passar as somato´rias para o limite cont´ınuo, i.e.
PV
kT
= − V
h3
� ∞
0
(4π)p2 ln[1− ze−βp2/2m]dp− ln(1− z)
�N�
V
=
1
h3
� ∞
0
(4π)p2 dp
[1− z−1eβp2/2m] +
1
V
z
1− z
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
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Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
2
Ga´s de Bo´sons livres
E´ necessa´rio ter cuidado com o termo que diverge quando z = 1 e �p = 0!
Termo importante para o fenoˆmeno da condensac¸a˜o de Bose.
E´ conveniente separa´-lo da soma, i.e.
PV
kT
= −
��
�p
ln(1− ze−βε�p)− ln(1− z)
�N� =
��
�p
ze−βε�p
(1− ze−βε�p) +
z
1− z
para em seguida passar as somato´rias para o limite cont´ınuo, i.e.
PV
kT
= − V
h3
� ∞
0
(4π)p2 ln[1− ze−βp2/2m]dp− ln(1− z)
�N�
V
=
1
h3
� ∞
0
(4π)p2 dp
[1− z−1eβp2/2m] +
1
V
z
1− z
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Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
3
Resumindo
PV
kT
=
V
λ3
g5/2(z)− ln(1− z)
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
1− z
Obs:
As func¸o˜es gs(z) sa˜o ditas func¸o˜es de Bose ou integrais de Bose, correspondendo a
gs(z) = Lis(z) =
1
Γ(s)
� ∞
0
ts−1
etz−1 − 1 dt =
∞�
k=1
zk
ks
.
Em ambos os casos as se´ries convergem para �(s) > 0 e para todo z exceto z real e
z ≤ −1. Pode-se mostrar com facilidade que
f3/2(z) = z
∂
∂z
f5/2(z) =
∞�
l=1
(−1)l+1 z
l
l3/2
, e g3/2(z) = z
∂
∂z
g5/2(z) =
∞�
l=1
zl
l3/2
,
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
3
Resumindo
PV
kT
=
V
λ3
g5/2(z)− ln(1− z)
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
1− z
Obs:
As func¸o˜es gs(z) sa˜o ditas func¸o˜es de Bose ou integrais de Bose, correspondendo a
gs(z) = Lis(z) =
1
Γ(s)
� ∞
0
ts−1
etz−1 − 1 dt =
∞�
k=1
zk
ks
.
Em ambos os casos as se´ries convergem para �(s) > 0 e para todo z exceto z real e
z ≤ −1. Pode-se mostrar com facilidade que
f3/2(z) = z
∂
∂z
f5/2(z) =
∞�
l=1
(−1)l+1 z
l
l3/2
, e g3/2(z) = z
∂
∂z
g5/2(z) =
∞�
l=1
zl
l3/2
,
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Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
3
Resumindo
PV
kT
=
V
λ3
g5/2(z)− ln(1− z)
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
1− z
Obs:
As func¸o˜es gs(z) sa˜o ditas func¸o˜es de Bose ou integrais de Bose, correspondendo a
gs(z) = Lis(z) =
1
Γ(s)
� ∞
0
ts−1
etz−1 − 1 dt =
∞�
k=1
zk
ks
.
Em ambos os casos as se´ries convergem para �(s) > 0 e para todo z exceto z real e
z ≤ −1. Pode-se mostrar com facilidade que
f3/2(z) = z
∂
∂z
f5/2(z) =
∞�
l=1
(−1)l+1 z
l
l3/2
, e g3/2(z) = z
∂
∂z
g5/2(z) =
∞�
l=1
zl
l3/2
,
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Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
4
Ζ�3 �2 �
�1 0.5 1 z
1
2
g3�2�z�
Obs:
a) A extensa˜o da integral ate´ p = 0 na˜o contribui para a a primeira integral porque
lim
p→∞[p
2 ln(1− e−βp2/2m)] ∼ lim
p→∞[p
2 ln p2]→ 0
b) No entanto, para a segunda integral, temos
lim
p→∞[
p2
(e−βp2/2m − 1) = 2mkbT �= 0,
exceto em T = 0.
c) Se o ga´s for bidimensional esse limite na˜o existira´!
d) Comportamento de g3/2(z): como z > 0, z ∈ [0, 1].
g3/2(1) = ζ(3/2) = 2.61238 . . . .
e) µ = kBT ln z → µ ≤ 0.
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Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
4
Ζ�3 �2 �
�1 0.5 1 z
1
2
g3�2�z�
Obs:
a) A extensa˜o da integral ate´ p = 0 na˜o contribui para a a primeira integral porque
lim
p→∞[p
2 ln(1− e−βp2/2m)] ∼ lim
p→∞[p
2 ln p2]→ 0
b) No entanto, para a segunda integral, temos
lim
p→∞[
p2
(e−βp2/2m − 1) = 2mkbT �= 0,
exceto em T = 0.
c) Se o ga´s for bidimensional esse limite na˜o existira´!
d) Comportamento de g3/2(z): como z > 0, z ∈ [0, 1].
g3/2(1) = ζ(3/2) = 2.61238 . . . .
e) µ = kBT ln z → µ ≤ 0.
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Gás Ideal Quântico - equação de estado - Bósons
4
Ζ�3 �2 �
�1 0.5 1 z
1
2
g3�2�z�
Obs:
a) A extensa˜o da integral ate´ p = 0 na˜o contribui para a a primeira integral porque
lim
p→∞[p
2 ln(1− e−βp2/2m)] ∼ lim
p→∞[p
2 ln p2]→ 0
b) No entanto, para a segunda integral, temos
lim
p→∞[
p2
(e−βp2/2m − 1) = 2mkbT �= 0,
exceto em T = 0.
c) Se o ga´s for bidimensional esse limite na˜o existira´!
d) Comportamento de g3/2(z): como z > 0, z ∈ [0, 1].
g3/2(1) = ζ(3/2) = 2.61238 . . . .
e) µ = kBT ln z → µ ≤ 0.
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
5
Regime de Altas Temperaturas → λ
3
v
<< 1
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
1− z →
λ3
v
= g3/2(z) +
λ3
V
z
1− z << 1 ou
λ3
V
�
�N� − z
1− z
�
= g3/2(z) → λ
3
V
�
�N� − �n0�
�
= g3/2(z), �n0� = z1− z
Como λ3/v << 1, tambe´m λ3/v0 << 1 ∴ g3/2(z) << 1 → z << 1.
Nesse regime
�n0� = z
1− z � 0
quando comparado com �N�.
No limite z << 1, a func¸a˜o g3/2(z) pode ser escrita em sua se´rie de poteˆncias , i.e
λ3
v
= z +
1
2
√
2
z2 +
1
3
√
3
z3 + . . .
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
5
Regime deAltas Temperaturas → λ
3
v
<< 1
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
1− z →
λ3
v
= g3/2(z) +
λ3
V
z
1− z << 1 ou
λ3
V
�
�N� − z
1− z
�
= g3/2(z) → λ
3
V
�
�N� − �n0�
�
= g3/2(z), �n0� = z1− z
Como λ3/v << 1, tambe´m λ3/v0 << 1 ∴ g3/2(z) << 1 → z << 1.
Nesse regime
�n0� = z
1− z � 0
quando comparado com �N�.
No limite z << 1, a func¸a˜o g3/2(z) pode ser escrita em sua se´rie de poteˆncias , i.e
λ3
v
= z +
1
2
√
2
z2 +
1
3
√
3
z3 + . . .
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Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
5
Regime de Altas Temperaturas → λ
3
v
<< 1
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
1− z →
λ3
v
= g3/2(z) +
λ3
V
z
1− z << 1 ou
λ3
V
�
�N� − z
1− z
�
= g3/2(z) → λ
3
V
�
�N� − �n0�
�
= g3/2(z), �n0� = z1− z
Como λ3/v << 1, tambe´m λ3/v0 << 1 ∴ g3/2(z) << 1 → z << 1.
Nesse regime
�n0� = z
1− z � 0
quando comparado com �N�.
No limite z << 1, a func¸a˜o g3/2(z) pode ser escrita em sua se´rie de poteˆncias , i.e
λ3
v
= z +
1
2
√
2
z2 +
1
3
√
3
z3 + . . .
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Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
5
Regime de Altas Temperaturas → λ
3
v
<< 1
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
1− z →
λ3
v
= g3/2(z) +
λ3
V
z
1− z << 1 ou
λ3
V
�
�N� − z
1− z
�
= g3/2(z) → λ
3
V
�
�N� − �n0�
�
= g3/2(z), �n0� = z1− z
Como λ3/v << 1, tambe´m λ3/v0 << 1 ∴ g3/2(z) << 1 → z << 1.
Nesse regime
�n0� = z
1− z � 0
quando comparado com �N�.
No limite z << 1, a func¸a˜o g3/2(z) pode ser escrita em sua se´rie de poteˆncias , i.e
λ3
v
= z +
1
2
√
2
z2 +
1
3
√
3
z3 + . . .
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Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
6
A se´rie ser invertida recursivamente produzindo uma expressa˜o de z em uma se´rie de
poteˆncias de λ3/v, i.e.
z =
∞�
l=1
al
�
λ3
v
�l
onde os coeficientes al sa˜o os ”coeficientes viriais” quaˆnticos.
Em ordem zero (l = 1) temos para a equac¸a˜o de estado,
PV
kBT
� V
λ3
�
λ3
v
�
→ PV = �N� kBT (ga´s ideal cla´ssico)
Em primeira ordem (ate´ l = 2) teˆm-se
z � λ
3
v
− 1
2
√
2
�
λ3
v
�2
+ . . . → PV
kBT
� �N�
�
1 +
1
4
√
2
�
λ3
v
�
+ . . .
�
∴
e as grandezas termodinaˆmicas pode ser calculadas, por exemplo
CV =
�
∂U
∂T
�
V,N
=
�
∂
∂T
�3
2
PV
��
V,N
=
3
2
�N�kB
�
1 + 0.0883
λ3
v
+ . . .
�
>
3
2
�N�kB !!!!
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Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
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A se´rie ser invertida recursivamente produzindo uma expressa˜o de z em uma se´rie de
poteˆncias de λ3/v, i.e.
z =
∞�
l=1
al
�
λ3
v
�l
onde os coeficientes al sa˜o os ”coeficientes viriais” quaˆnticos.
Em ordem zero (l = 1) temos para a equac¸a˜o de estado,
PV
kBT
� V
λ3
�
λ3
v
�
→ PV = �N� kBT (ga´s ideal cla´ssico)
Em primeira ordem (ate´ l = 2) teˆm-se
z � λ
3
v
− 1
2
√
2
�
λ3
v
�2
+ . . . → PV
kBT
� �N�
�
1 +
1
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√
2
�
λ3
v
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+ . . .
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∴
e as grandezas termodinaˆmicas pode ser calculadas, por exemplo
CV =
�
∂U
∂T
�
V,N
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∂
∂T
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2
PV
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V,N
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3
2
�N�kB
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1 + 0.0883
λ3
v
+ . . .
�
>
3
2
�N�kB !!!!
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Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
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A se´rie ser invertida recursivamente produzindo uma expressa˜o de z em uma se´rie de
poteˆncias de λ3/v, i.e.
z =
∞�
l=1
al
�
λ3
v
�l
onde os coeficientes al sa˜o os ”coeficientes viriais” quaˆnticos.
Em ordem zero (l = 1) temos para a equac¸a˜o de estado,
PV
kBT
� V
λ3
�
λ3
v
�
→ PV = �N� kBT (ga´s ideal cla´ssico)
Em primeira ordem (ate´ l = 2) teˆm-se
z � λ
3
v
− 1
2
√
2
�
λ3
v
�2
+ . . . → PV
kBT
� �N�
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1 +
1
4
√
2
�
λ3
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�
+ . . .
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∴
e as grandezas termodinaˆmicas pode ser calculadas, por exemplo
CV =
�
∂U
∂T
�
V,N
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2
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V,N
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v
+ . . .
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3
2
�N�kB !!!!
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A se´rie ser invertida recursivamente produzindo uma expressa˜o de z em uma se´rie de
poteˆncias de λ3/v, i.e.
z =
∞�
l=1
al
�
λ3
v
�l
onde os coeficientes al sa˜o os ”coeficientes viriais” quaˆnticos.
Em ordem zero (l = 1) temos para a equac¸a˜o de estado,
PV
kBT
� V
λ3
�
λ3
v
�
→ PV = �N� kBT (ga´s ideal cla´ssico)
Em primeira ordem (ate´ l = 2) teˆm-se
z � λ
3
v
− 1
2
√
2
�
λ3
v
�2
+ . . . → PV
kBT
� �N�
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1 +
1
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√
2
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λ3
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+ . . .
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∴
e as grandezas termodinaˆmicas pode ser calculadas, por exemplo
CV =
�
∂U
∂T
�
V,N
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V,N
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v
+ . . .
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Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
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A se´rie ser invertida recursivamente produzindo uma expressa˜o de z em uma se´rie de
poteˆncias de λ3/v, i.e.
z =
∞�
l=1
al
�
λ3
v
�l
onde os coeficientes al sa˜o os ”coeficientes viriais” quaˆnticos.
Em ordem zero (l = 1) temos para a equac¸a˜o de estado,
PV
kBT
� V
λ3
�
λ3
v
�
→ PV = �N� kBT (ga´s ideal cla´ssico)
Em primeira ordem (ate´ l = 2) teˆm-se
z � λ
3
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− 1
2
√
2
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+ . . . → PV
kBT
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λ3
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+ . . .
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∴
e as grandezas termodinaˆmicas pode ser calculadas, por exemplo
CV =
�
∂U
∂T
�
V,N
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∂
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2
PV
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V,N
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3
2
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1 + 0.0883
λ3
v
+ . . .
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A se´rie ser invertida recursivamente produzindo uma expressa˜o de z em uma se´rie de
poteˆncias de λ3/v, i.e.
z =
∞�
l=1
al
�
λ3
v
�l
onde os coeficientes al sa˜o os ”coeficientes viriais” quaˆnticos.
Em ordem zero (l = 1) temos para a equac¸a˜o de estado,
PV
kBT
� V
λ3
�
λ3
v
�
→ PV = �N� kBT (ga´s ideal cla´ssico)
Em primeira ordem (ate´ l = 2) teˆm-se
z � λ
3
v
− 1
2
√
2
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λ3
v
�2
+ . . . → PV
kBT
� �N�
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1 +
1
4
√
2
�
λ3
v
�
+ . . .
�
∴
e as grandezas termodinaˆmicas pode ser calculadas, por exemplo
CV =
�
∂U
∂T
�
V,N
=
�
∂
∂T
�3
2
PV
��
V,N
=
3
2
�N�kB
�
1 + 0.0883
λ3
v
+ . . .
�
>
3
2
�N�kB !!!!
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística- Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de altas temperaturas
6
A se´rie ser invertida recursivamente produzindo uma expressa˜o de z em uma se´rie de
poteˆncias de λ3/v, i.e.
z =
∞�
l=1
al
�
λ3
v
�l
onde os coeficientes al sa˜o os ”coeficientes viriais” quaˆnticos.
Em ordem zero (l = 1) temos para a equac¸a˜o de estado,
PV
kBT
� V
λ3
�
λ3
v
�
→ PV = �N� kBT (ga´s ideal cla´ssico)
Em primeira ordem (ate´ l = 2) teˆm-se
z � λ
3
v
− 1
2
√
2
�
λ3
v
�2
+ . . . → PV
kBT
� �N�
�
1 +
1
4
√
2
�
λ3
v
�
+ . . .
�
∴
e as grandezas termodinaˆmicas pode ser calculadas, por exemplo
CV =
�
∂U
∂T
�
V,N
=
�
∂
∂T
�3
2
PV
��
V,N
=
3
2
�N�kB
�
1 + 0.0883
λ3
v
+ . . .
�
>
3
2
�N�kB !!!!
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de baixas temperaturas
7
Regime de baixas temperaturas → λ
3
v
>> 1, λ =
�
2π �2
mkBT
�1/2
Ana´lise qualitativa:
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
�n0�
V
,
�n0� = z
1− z = nu´mero me´dio de part´ıculas no estado �p = 0
∴ λ
3
V
�n0� = λ
3
v
− g3/2(z), se λ3/v > g3/2(z) → λ
3
V
�n0� ≥ 0
ou seja, havera´ uma frac¸a˜o finita de part´ıculas no estado fundamental.
A condic¸a˜o
λ3/v > g3/2(z) → �N�V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de baixas temperaturas
7
Regime de baixas temperaturas → λ
3
v
>> 1, λ =
�
2π �2
mkBT
�1/2
Ana´lise qualitativa:
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
�n0�
V
,
�n0� = z
1− z = nu´mero me´dio de part´ıculas no estado �p = 0
∴ λ
3
V
�n0� = λ
3
v
− g3/2(z), se λ3/v > g3/2(z) → λ
3
V
�n0� ≥ 0
ou seja, havera´ uma frac¸a˜o finita de part´ıculas no estado fundamental.
A condic¸a˜o
λ3/v > g3/2(z) → �N�V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de baixas temperaturas
7
Regime de baixas temperaturas → λ
3
v
>> 1, λ =
�
2π �2
mkBT
�1/2
Ana´lise qualitativa:
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
�n0�
V
,
�n0� = z
1− z = nu´mero me´dio de part´ıculas no estado �p = 0
∴ λ
3
V
�n0� = λ
3
v
− g3/2(z), se λ3/v > g3/2(z) → λ
3
V
�n0� ≥ 0
ou seja, havera´ uma frac¸a˜o finita de part´ıculas no estado fundamental.
A condic¸a˜o
λ3/v > g3/2(z) → �N�V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de baixas temperaturas
7
Regime de baixas temperaturas → λ
3
v
>> 1, λ =
�
2π �2
mkBT
�1/2
Ana´lise qualitativa:
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
�n0�
V
,
�n0� = z
1− z = nu´mero me´dio de part´ıculas no estado �p = 0
∴ λ
3
V
�n0� = λ
3
v
− g3/2(z), se λ3/v > g3/2(z) → λ
3
V
�n0� ≥ 0
ou seja, havera´ uma frac¸a˜o finita de part´ıculas no estado fundamental.
A condic¸a˜o
λ3/v > g3/2(z) → �N�V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - regimes de baixas temperaturas
7
Regime de baixas temperaturas → λ
3
v
>> 1, λ =
�
2π �2
mkBT
�1/2
Ana´lise qualitativa:
�N�
V
=
1
λ3
g3/2(z) +
�n0�
V
,
�n0� = z
1− z = nu´mero me´dio de part´ıculas no estado �p = 0
∴ λ
3
V
�n0� = λ
3
v
− g3/2(z), se λ3/v > g3/2(z) → λ
3
V
�n0� ≥ 0
ou seja, havera´ uma frac¸a˜o finita de part´ıculas no estado fundamental.
A condic¸a˜o
λ3/v > g3/2(z) → �N�V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
8
Em um diagrama P − v − T , a condic¸a˜o
�N�
V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
corresponde a uma regia˜o onde havera´ coexisteˆncia de duas ”fases” termodinaˆmicas dis-
tintas do ga´s:
”fase condensada” composta de part´ıculas
no estado fundamental (com �p = 0)
”fase na˜o-condensada” composta
de part´ıculas com �p �= 0.
Fora dessa regia˜o havera´ apenas ga´s no estado na˜o condensado.
A fronteira que delimita a regia˜o de condensac¸a˜o e´ uma superf´ıcie dada por:
�N�
V
�
2π�2
mkBTc
�3/2
= g3/2(1) → kBTc = 2π�
2/m
[v g3/2(1)]2/3
Tc: temperatura para a qual o comprimento de onda te´rmico e´ da mesma ordem de
grandeza da separac¸a˜o interpart´ıcula me´dia.
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
8
Em um diagrama P − v − T , a condic¸a˜o
�N�
V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
corresponde a uma regia˜o onde havera´ coexisteˆncia de duas ”fases” termodinaˆmicas dis-
tintas do ga´s:
”fase condensada” composta de part´ıculas
no estado fundamental (com �p = 0)
”fase na˜o-condensada” composta
de part´ıculas com �p �= 0.
Fora dessa regia˜o havera´ apenas ga´s no estado na˜o condensado.
A fronteira que delimita a regia˜o de condensac¸a˜o e´ uma superf´ıcie dada por:
�N�
V
�
2π�2
mkBTc
�3/2
= g3/2(1) → kBTc = 2π�
2/m
[v g3/2(1)]2/3
Tc: temperatura para a qual o comprimento de onda te´rmico e´ da mesma ordem de
grandeza da separac¸a˜o interpart´ıcula me´dia.
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
8
Em um diagrama P − v − T , a condic¸a˜o
�N�
V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
corresponde a uma regia˜o onde havera´ coexisteˆncia de duas ”fases” termodinaˆmicas dis-
tintas do ga´s:
”fase condensada” composta de part´ıculas
no estado fundamental (com �p = 0)
”fase na˜o-condensada” composta
de part´ıculas com �p �= 0.
Fora dessa regia˜o havera´ apenas ga´s no estado na˜o condensado.
A fronteira que delimita a regia˜o de condensac¸a˜o e´ uma superf´ıcie dada por:
�N�
V
�
2π�2
mkBTc
�3/2
= g3/2(1) → kBTc = 2π�
2/m
[v g3/2(1)]2/3
Tc: temperatura para a qual o comprimento de onda te´rmico e´ da mesma ordem de
grandeza da separac¸a˜o interpart´ıcula me´dia.
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
8
Em um diagrama P − v − T , a condic¸a˜o
�N�
V
�
2π�2
mkBT
�3/2
≥ g3/2(z)
corresponde a uma regia˜o onde havera´ coexisteˆncia de duas ”fases” termodinaˆmicas dis-
tintas do ga´s:
”fase condensada” composta de part´ıculas
no estado fundamental (com �p = 0)
”fase na˜o-condensada” composta
de part´ıculas com �p �= 0.
Fora dessa regia˜o havera´ apenas ga´s no estado na˜o condensado.
A fronteira que delimita a regia˜o de condensac¸a˜o e´ uma superf´ıcie dada por:
�N�
V
�
2π�2
mkBTc
�3/2
= g3/2(1) → kBTc = 2π�
2/m
[v g3/2(1)]2/3
Tc: temperatura para a qual o comprimento de onda te´rmico e´ da mesma ordem de
grandeza da separac¸a˜o interpart´ıcula me´dia.
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa dePós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
9
Vista de outra maneira, para uma dada temperatura T fixa, teˆm-se o volume espec´ıfico
cr´ıtico vc dado por
vc =
λ3
g3/2(1)
=
1
g3/2(1)
�
2π �2
mKBT
�3/2
A regia˜o de condensac¸a˜o corresponde a T < Tc ou v < vc.
Outro ponto-de-vista:
Escrever
�N� − �n0� = V
λ3
g3/2(z) ≤ Vλ3 g3/2(1)
desde que g3/2(1) = ζ(3/2) e´ o ma´ximo valor de g3/2(z) no interlalo [0, 1].
Definido
Nmax(T, V ) =
V
λ3
g3/2(1), → (�N� −Nmax) ≤ �n0� ∴
�N� ≥ Nmax → �n0� ≥ 0, ∴ �N� = Nmax → �n0� = 0
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
9
Vista de outra maneira, para uma dada temperatura T fixa, teˆm-se o volume espec´ıfico
cr´ıtico vc dado por
vc =
λ3
g3/2(1)
=
1
g3/2(1)
�
2π �2
mKBT
�3/2
A regia˜o de condensac¸a˜o corresponde a T < Tc ou v < vc.
Outro ponto-de-vista:
Escrever
�N� − �n0� = V
λ3
g3/2(z) ≤ Vλ3 g3/2(1)
desde que g3/2(1) = ζ(3/2) e´ o ma´ximo valor de g3/2(z) no interlalo [0, 1].
Definido
Nmax(T, V ) =
V
λ3
g3/2(1), → (�N� −Nmax) ≤ �n0� ∴
�N� ≥ Nmax → �n0� ≥ 0, ∴ �N� = Nmax → �n0� = 0
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
9
Vista de outra maneira, para uma dada temperatura T fixa, teˆm-se o volume espec´ıfico
cr´ıtico vc dado por
vc =
λ3
g3/2(1)
=
1
g3/2(1)
�
2π �2
mKBT
�3/2
A regia˜o de condensac¸a˜o corresponde a T < Tc ou v < vc.
Outro ponto-de-vista:
Escrever
�N� − �n0� = V
λ3
g3/2(z) ≤ Vλ3 g3/2(1)
desde que g3/2(1) = ζ(3/2) e´ o ma´ximo valor de g3/2(z) no interlalo [0, 1].
Definido
Nmax(T, V ) =
V
λ3
g3/2(1), → (�N� −Nmax) ≤ �n0� ∴
�N� ≥ Nmax → �n0� ≥ 0, ∴ �N� = Nmax → �n0� = 0
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
9
Vista de outra maneira, para uma dada temperatura T fixa, teˆm-se o volume espec´ıfico
cr´ıtico vc dado por
vc =
λ3
g3/2(1)
=
1
g3/2(1)
�
2π �2
mKBT
�3/2
A regia˜o de condensac¸a˜o corresponde a T < Tc ou v < vc.
Outro ponto-de-vista:
Escrever
�N� − �n0� = V
λ3
g3/2(z) ≤ Vλ3 g3/2(1)
desde que g3/2(1) = ζ(3/2) e´ o ma´ximo valor de g3/2(z) no interlalo [0, 1].
Definido
Nmax(T, V ) =
V
λ3
g3/2(1), → (�N� −Nmax) ≤ �n0� ∴
�N� ≥ Nmax → �n0� ≥ 0, ∴ �N� = Nmax → �n0� = 0
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
9
Vista de outra maneira, para uma dada temperatura T fixa, teˆm-se o volume espec´ıfico
cr´ıtico vc dado por
vc =
λ3
g3/2(1)
=
1
g3/2(1)
�
2π �2
mKBT
�3/2
A regia˜o de condensac¸a˜o corresponde a T < Tc ou v < vc.
Outro ponto-de-vista:
Escrever
�N� − �n0� = V
λ3
g3/2(z) ≤ Vλ3 g3/2(1)
desde que g3/2(1) = ζ(3/2) e´ o ma´ximo valor de g3/2(z) no interlalo [0, 1].
Definido
Nmax(T, V ) =
V
λ3
g3/2(1), → (�N� −Nmax) ≤ �n0� ∴
�N� ≥ Nmax → �n0� ≥ 0, ∴ �N� = Nmax → �n0� = 0
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
10
Reescrevendo
�N� − �n0� ≤ V
λ3
g3/2(1), → �n0�V ≥ 1−
Nmax
�N� ou
�n0�
V
≥ 1− V g3/2(1)�
2π�2
mKBT
�3/2 ∴ �n0�V ≥ 1−
�
T
Tc
�3/2
= 1−
�
v
vc
�3/2
a fronteira sendo definida pela igualdade.
Em resumo:
Quando T < Tc, o sistema esta´ na fase de coexisteˆncia de ”fases” onde havera´:
• uma frac¸a˜o (T/Tc)3/2 das part´ıculas na fase excitada (�p �= 0)
• uma frac¸a˜o 1− (T/Tc)3/2 das part´ıculas na fase condensada (�p = 0)
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
10
Reescrevendo
�N� − �n0� ≤ V
λ3
g3/2(1), → �n0�V ≥ 1−
Nmax
�N� ou
�n0�
V
≥ 1− V g3/2(1)�
2π�2
mKBT
�3/2 ∴ �n0�V ≥ 1−
�
T
Tc
�3/2
= 1−
�
v
vc
�3/2
a fronteira sendo definida pela igualdade.
Em resumo:
Quando T < Tc, o sistema esta´ na fase de coexisteˆncia de ”fases” onde havera´:
• uma frac¸a˜o (T/Tc)3/2 das part´ıculas na fase excitada (�p �= 0)
• uma frac¸a˜o 1− (T/Tc)3/2 das part´ıculas na fase condensada (�p = 0)
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
10
Reescrevendo
�N� − �n0� ≤ V
λ3
g3/2(1), → �n0�V ≥ 1−
Nmax
�N� ou
�n0�
V
≥ 1− V g3/2(1)�
2π�2
mKBT
�3/2 ∴ �n0�V ≥ 1−
�
T
Tc
�3/2
= 1−
�
v
vc
�3/2
a fronteira sendo definida pela igualdade.
Em resumo:
Quando T < Tc, o sistema esta´ na fase de coexisteˆncia de ”fases” onde havera´:
• uma frac¸a˜o (T/Tc)3/2 das part´ıculas na fase excitada (�p �= 0)
• uma frac¸a˜o 1− (T/Tc)3/2 das part´ıculas na fase condensada (�p = 0)
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
11
0 0.5 1 T�Tc0
0.5
1
n0
N
ou ainda
�n0�
�N� =
0 se T > Tc
1− (T/Tc)3/2 se T ≤ Tc.
Obs: Quando T = 0,
�n0�
�N� = 1
todas as part´ıculas estara˜o no estado fundamen-
tal.
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
11
0 0.5 1 T�Tc0
0.5
1
n0
N
ou ainda
�n0�
�N� =
0 se T > Tc
1− (T/Tc)3/2 se T ≤ Tc.
Obs: Quando T = 0,
�n0�
�N� = 1
todas as part´ıculas estara˜o no estado fundamen-
tal.
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
11
0 0.5 1 T�Tc0
0.5
1
n0
N
ou ainda
�n0�
�N� =
0 se T > Tc
1− (T/Tc)3/2 se T ≤ Tc.
Obs: Quando T = 0,
�n0�
�N� = 1
todas as part´ıculas estara˜o no estado fundamen-
tal.
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás de Fótons
12
Considerar um ga´s ideal de fo´tons em equil´ıbrio termodinaˆmico a` temperatura T , confi-
nado em uma cavidade de volume V .
Na cavidade, a energia total da onda eletromagne´tica composta por n�k,εˆ fo´tons com
momentum �k e polarizac¸a˜o εˆ pode ser escrita como:
E{n�k,εˆ} =
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
onde ε�k,�ˆ e´ a energia de um fo´ton com momentum
�k e polarizac¸a˜o �ˆ i.e.
ε�k,�ˆ = �ωk, onde ωk = c |�k|.
Obs: lembrar que �ˆ e´ transversal a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o, i.e �k · �ˆ = 0.
Func¸a˜o de partic¸a˜o:
Z(T, V ) =
�
{n�k,εˆ}
exp
�
− β
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
�
=
�
{n�k,εˆ}
�
�k,εˆ
exp[−βn�k,εˆ εk,�ˆ]
O nu´mero de fo´tons em cada estado e´ ilimitado (o potencial qu´ımico e´ nulo), i.e.
n�k,εˆ = 0, 1, 2. . . . .
terça-feira, 14 de fevereiro de 2012
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Gás de Fótons
12
Considerar um ga´s ideal de fo´tons em equil´ıbrio termodinaˆmico a` temperatura T , confi-nado em uma cavidade de volume V .
Na cavidade, a energia total da onda eletromagne´tica composta por n�k,εˆ fo´tons com
momentum �k e polarizac¸a˜o εˆ pode ser escrita como:
E{n�k,εˆ} =
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
onde ε�k,�ˆ e´ a energia de um fo´ton com momentum
�k e polarizac¸a˜o �ˆ i.e.
ε�k,�ˆ = �ωk, onde ωk = c |�k|.
Obs: lembrar que �ˆ e´ transversal a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o, i.e �k · �ˆ = 0.
Func¸a˜o de partic¸a˜o:
Z(T, V ) =
�
{n�k,εˆ}
exp
�
− β
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
�
=
�
{n�k,εˆ}
�
�k,εˆ
exp[−βn�k,εˆ εk,�ˆ]
O nu´mero de fo´tons em cada estado e´ ilimitado (o potencial qu´ımico e´ nulo), i.e.
n�k,εˆ = 0, 1, 2. . . . .
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Gás de Fótons
12
Considerar um ga´s ideal de fo´tons em equil´ıbrio termodinaˆmico a` temperatura T , confi-
nado em uma cavidade de volume V .
Na cavidade, a energia total da onda eletromagne´tica composta por n�k,εˆ fo´tons com
momentum �k e polarizac¸a˜o εˆ pode ser escrita como:
E{n�k,εˆ} =
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
onde ε�k,�ˆ e´ a energia de um fo´ton com momentum
�k e polarizac¸a˜o �ˆ i.e.
ε�k,�ˆ = �ωk, onde ωk = c |�k|.
Obs: lembrar que �ˆ e´ transversal a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o, i.e �k · �ˆ = 0.
Func¸a˜o de partic¸a˜o:
Z(T, V ) =
�
{n�k,εˆ}
exp
�
− β
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
�
=
�
{n�k,εˆ}
�
�k,εˆ
exp[−βn�k,εˆ εk,�ˆ]
O nu´mero de fo´tons em cada estado e´ ilimitado (o potencial qu´ımico e´ nulo), i.e.
n�k,εˆ = 0, 1, 2. . . . .
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Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 - Programa de Pós-graduação em Física da UFPE\ Aula 10
Gás de Fótons
12
Considerar um ga´s ideal de fo´tons em equil´ıbrio termodinaˆmico a` temperatura T , confi-
nado em uma cavidade de volume V .
Na cavidade, a energia total da onda eletromagne´tica composta por n�k,εˆ fo´tons com
momentum �k e polarizac¸a˜o εˆ pode ser escrita como:
E{n�k,εˆ} =
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
onde ε�k,�ˆ e´ a energia de um fo´ton com momentum
�k e polarizac¸a˜o �ˆ i.e.
ε�k,�ˆ = �ωk, onde ωk = c |�k|.
Obs: lembrar que �ˆ e´ transversal a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o, i.e �k · �ˆ = 0.
Func¸a˜o de partic¸a˜o:
Z(T, V ) =
�
{n�k,εˆ}
exp
�
− β
�
�k,εˆ
n�k,εˆ εk,�ˆ
�
=
�
{n�k,εˆ}
�
�k,εˆ
exp[−βn�k,εˆ εk,�ˆ]
O nu´mero de fo´tons em cada estado e´ ilimitado (o potencial qu´ımico e´ nulo), i.e.
n�k,εˆ = 0, 1, 2. . . . .
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
13
0 1
Ζ� 32 � 1 2 3 4
v
Λ3
0
0.5
1
z
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
1
v
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
z − 1
para se obter z em func¸a˜o de λ3/v pode ser feita
numericamente ou gra´ficamente. O resultado e´ uma
func¸a˜o na forma mostrada ao lado:
No limite termodinaˆmico V � 1, pore´m fixo, obte´m-se:
z =
�
1 se λ3/v ≥ g3/2(1),
soluc¸a˜o de λ3/v = g3/2(z) se λ
3/v ≤ g3/2(1), .
Na regia˜o de condensac¸a˜o, todas as expresso˜es para as func¸o˜es termodinaˆmicas para o
ga´s ideal de Bose sa˜o dadas por expresso˜es anal´ıticas simples quando se faz z = 1.
Exemplo: Equac¸a˜o de estado
P
kBT
=
1
λ3
g5/2(1), lim
V→∞
1
V
ln(1−z)→ 0, 1−z = z/�n0� � 1/�n0� = 1/(αnV )
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
13
0 1
Ζ� 32 � 1 2 3 4
v
Λ3
0
0.5
1
z
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
1
v
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
z − 1
para se obter z em func¸a˜o de λ3/v pode ser feita
numericamente ou gra´ficamente. O resultado e´ uma
func¸a˜o na forma mostrada ao lado:
No limite termodinaˆmico V � 1, pore´m fixo, obte´m-se:
z =
�
1 se λ3/v ≥ g3/2(1),
soluc¸a˜o de λ3/v = g3/2(z) se λ
3/v ≤ g3/2(1), .
Na regia˜o de condensac¸a˜o, todas as expresso˜es para as func¸o˜es termodinaˆmicas para o
ga´s ideal de Bose sa˜o dadas por expresso˜es anal´ıticas simples quando se faz z = 1.
Exemplo: Equac¸a˜o de estado
P
kBT
=
1
λ3
g5/2(1), lim
V→∞
1
V
ln(1−z)→ 0, 1−z = z/�n0� � 1/�n0� = 1/(αnV )
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
13
0 1
Ζ� 32 � 1 2 3 4
v
Λ3
0
0.5
1
z
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
1
v
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
z − 1
para se obter z em func¸a˜o de λ3/v pode ser feita
numericamente ou gra´ficamente. O resultado e´ uma
func¸a˜o na forma mostrada ao lado:
No limite termodinaˆmico V � 1, pore´m fixo, obte´m-se:
z =
�
1 se λ3/v ≥ g3/2(1),
soluc¸a˜o de λ3/v = g3/2(z) se λ
3/v ≤ g3/2(1), .
Na regia˜o de condensac¸a˜o, todas as expresso˜es para as func¸o˜es termodinaˆmicas para o
ga´s ideal de Bose sa˜o dadas por expresso˜es anal´ıticas simples quando se faz z = 1.
Exemplo: Equac¸a˜o de estado
P
kBT
=
1
λ3
g5/2(1), lim
V→∞
1
V
ln(1−z)→ 0, 1−z = z/�n0� � 1/�n0� = 1/(αnV )
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Gás Ideal de Bósons - condensação de Bose-Einstein
13
0 1
Ζ� 32 � 1 2 3 4
v
Λ3
0
0.5
1
z
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
1
v
=
1
λ3
g3/2(z) +
1
V
z
z − 1
para se obter z em func¸a˜o de λ3/v pode ser feita
numericamente ou gra´ficamente. O resultado e´ uma
func¸a˜o na forma mostrada ao lado:
No limite termodinaˆmico V � 1, pore´m fixo, obte´m-se:
z =
�
1 se λ3/v ≥ g3/2(1),
soluc¸a˜o de λ3/v = g3/2(z) se λ
3/v ≤ g3/2(1), .
Na regia˜o de condensac¸a˜o, todas as expresso˜es para as func¸o˜es termodinaˆmicas para o
ga´s ideal de Bose sa˜o dadas por expresso˜es anal´ıticas simples quando se faz z = 1.
Exemplo: Equac¸a˜o de estado
P
kBT
=
1
λ3
g5/2(1), lim
V→∞
1
V
ln(1−z)→ 0, 1−z = z/�n0� � 1/�n0� = 1/(αnV )
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Condensado de Bose-Einstein
14
• O Condensado de Bose-Einstein é uma fase da matéria formada por bósons a 
uma temperatura muito próxima do zero absoluto. 
• Uma grande fração de átomos atinge o mais baixo estado quântico
• Os efeitos quânticos podem ser observados à escala macroscópica. 
• A existência deste estado da matéria como consequência da mecânica 
quântica foi inicialmente prevista por Albert Einstein em 1925, dando 
sequência ao trabalho de Satyendra Nath Bose sobre a mecânica estatística 
dos fótons (sem massa) para átomos (com massa).
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Condensado de Bose-Einstein
15
• O primeiro condensado deste tipo foi produzido 70 mais tarde por Eric Cornell e 
Carl Wieman em 1995, na Universidade de Colorado em Boulder, usando um gás de 
átomos de rubídio arrefecido a 170 nanokelvins (nK).
• A técnica de produção do condensado valeu aos seus inventores Steven Chu, 
Claude Cohen-Tannoudji e William D. Phillips, o Prêmio Nobel da Física em 1997.
As cores representam o número de átomos em 
cada velocidade: 
 - vermelho menos átomos
 - branco mais átomos. 
 - nas áreas em branco e azul claro 
 as velocidades menores. 
Esquerda: antes do aparecimento do 
condensado de Bose-Einstein. 
Centro: aparecimento do condensado.Direita: após a rápida evaporação, deixando 
amostras puras do condensado. 
Obs: O pico não é infinitamente estreito devido 
ao Princípio da Incerteza de Heisenberg: quando 
um átomo é retido numa região específica do 
espaço a sua distribuição de velocidade possui 
necessariamente uma certa largura mínima.
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Condensado de Bose-Einstein
16
• Quatro meses depois, em um projeto independente, Wolfgang Ketterle no MIT criou um 
condensado formado por sódio-23. O condensado de Ketterle era constituído por 
trezentas vezes mais átomos, permitindo obter vários resultados importantes como a 
observação de interferência quanto-mecânica entre dois condensados diferentes. 
Cornell, Wieman e Ketterle ganharam o Prémio Nobel em 2001 pelo seu trabalho.
• A condensação de Bose-Einstein também se aplica a quasipartículas em sólidos. Um 
mágnon num antiferromagneto possui spin 1 e portanto obedece à estatística de Bose-
Einstein. A densidade de mágnons é controlada por um campo magnético externo, que 
desempenha o papel de "potencial químico" do mágnon. Em 1999, a condensação de Bose 
para mágnons foi obtida no composto TICuCl3.
• Sérgio. M. Rezende, Wave function of a microwave-driven Bose-Einstein magnon 
condensate. Physical Review. B, v. 81, p. 0204141, 2010.
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Gás de Fótons
17
A soma (trac¸o) em {n�k,εˆ} sera´ portanto irrestrita, uma vez que o nu´mero de fo´tons na˜o
e´ fixo. Logo,
Z(T, V ) =
∞�
n �k1,εˆ1
=0
exp[−βn�1,εˆ1 εk1,�ˆ1 ]×
∞�
n �k2,εˆ2
=0
exp[−βn�2,εˆ2 εk2,�ˆ2 ]× · · · =
Z(T, V ) =
�
�k,εˆ
1
1− exp[−β εk,�ˆ] → Z(V, T ) =
�
�k
�
1
1− exp[−β �ωk]
�2
Obs:
• cada fator e´ uma progressa˜o geome´trica infinita de raza˜o < 1.
• Ha´ dois estados de polarizac¸a˜o independentes a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o.
O nu´mero me´dio de fo´tons em um dado estado �k, com qualquer polarizac¸a˜o, e´
�n�k� =
1
Z
�
{n�k�,εˆ}
n�k,εˆ exp
�
− β
�
�k�,εˆ
n�k�,εˆ �ωk�ß
�
= − 1
β
∂
∂�ωk
ln Z(T, V ) =
= − 1
β
∂
∂�ωk
�
k�
ln(1−e−β�ωk� )−2 = 2
β
∂
∂�ωk
ln[1−exp(−β �ωk)] ∴ �n�k� =
2
exp[β �ωk]− 1
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Gás de Fótons
17
A soma (trac¸o) em {n�k,εˆ} sera´ portanto irrestrita, uma vez que o nu´mero de fo´tons na˜o
e´ fixo. Logo,
Z(T, V ) =
∞�
n �k1,εˆ1
=0
exp[−βn�1,εˆ1 εk1,�ˆ1 ]×
∞�
n �k2,εˆ2
=0
exp[−βn�2,εˆ2 εk2,�ˆ2 ]× · · · =
Z(T, V ) =
�
�k,εˆ
1
1− exp[−β εk,�ˆ] → Z(V, T ) =
�
�k
�
1
1− exp[−β �ωk]
�2
Obs:
• cada fator e´ uma progressa˜o geome´trica infinita de raza˜o < 1.
• Ha´ dois estados de polarizac¸a˜o independentes a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o.
O nu´mero me´dio de fo´tons em um dado estado �k, com qualquer polarizac¸a˜o, e´
�n�k� =
1
Z
�
{n�k�,εˆ}
n�k,εˆ exp
�
− β
�
�k�,εˆ
n�k�,εˆ �ωk�ß
�
= − 1
β
∂
∂�ωk
ln Z(T, V ) =
= − 1
β
∂
∂�ωk
�
k�
ln(1−e−β�ωk� )−2 = 2
β
∂
∂�ωk
ln[1−exp(−β �ωk)] ∴ �n�k� =
2
exp[β �ωk]− 1
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Gás de Fótons
17
A soma (trac¸o) em {n�k,εˆ} sera´ portanto irrestrita, uma vez que o nu´mero de fo´tons na˜o
e´ fixo. Logo,
Z(T, V ) =
∞�
n �k1,εˆ1
=0
exp[−βn�1,εˆ1 εk1,�ˆ1 ]×
∞�
n �k2,εˆ2
=0
exp[−βn�2,εˆ2 εk2,�ˆ2 ]× · · · =
Z(T, V ) =
�
�k,εˆ
1
1− exp[−β εk,�ˆ] → Z(V, T ) =
�
�k
�
1
1− exp[−β �ωk]
�2
Obs:
• cada fator e´ uma progressa˜o geome´trica infinita de raza˜o < 1.
• Ha´ dois estados de polarizac¸a˜o independentes a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o.
O nu´mero me´dio de fo´tons em um dado estado �k, com qualquer polarizac¸a˜o, e´
�n�k� =
1
Z
�
{n�k�,εˆ}
n�k,εˆ exp
�
− β
�
�k�,εˆ
n�k�,εˆ �ωk�ß
�
= − 1
β
∂
∂�ωk
ln Z(T, V ) =
= − 1
β
∂
∂�ωk
�
k�
ln(1−e−β�ωk� )−2 = 2
β
∂
∂�ωk
ln[1−exp(−β �ωk)] ∴ �n�k� =
2
exp[β �ωk]− 1
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Gás de Fótons
18
Energia interna U
U = − ∂
∂β
lnZ =
�
�k
�ωk�n�k� =
V
(2π)3
� ∞
0
4π
2k2 �ωk
exp[β �ωk]− 1dk =
8πV �
(2π)3c3
� ∞
0
ω3
eβ�ω − 1dω
onde identifica-se a densidade espectral u(ω) definida por
u =
U
V
=
� ω
0
u(ω)dω → u(ω) = �
π2c3
ω3
eβ�ω − 1
Resolvendo a integral fazendo a transf. de varia´veis β�ω = x resulta
U =
V
π2�3c3 (kT )
4
� ∞
0
x3
ex − 1dx ∴ U ∼ T
4
uma vez que a integral definida e´ finita, i.e� ∞
0
x3
ex − 1dx =Γ (4)Li4(1)
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Gás de Fótons
18
Energia interna U
U = − ∂
∂β
lnZ =
�
�k
�ωk�n�k� =
V
(2π)3
� ∞
0
4π
2k2 �ωk
exp[β �ωk]− 1dk =
8πV �
(2π)3c3
� ∞
0
ω3
eβ�ω − 1dω
onde identifica-se a densidade espectral u(ω) definida por
u =
U
V
=
� ω
0
u(ω)dω → u(ω) = �
π2c3
ω3
eβ�ω − 1
Resolvendo a integral fazendo a transf. de varia´veis β�ω = x resulta
U =
V
π2�3c3 (kT )
4
� ∞
0
x3
ex − 1dx ∴ U ∼ T
4
uma vez que a integral definida e´ finita, i.e� ∞
0
x3
ex − 1dx =Γ (4)Li4(1)
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Gás de Fótons
18
Energia interna U
U = − ∂
∂β
lnZ =
�
�k
�ωk�n�k� =
V
(2π)3
� ∞
0
4π
2k2 �ωk
exp[β �ωk]− 1dk =
8πV �
(2π)3c3
� ∞
0
ω3
eβ�ω − 1dω
onde identifica-se a densidade espectral u(ω) definida por
u =
U
V
=
� ω
0
u(ω)dω → u(ω) = �
π2c3
ω3
eβ�ω − 1
Resolvendo a integral fazendo a transf. de varia´veis β�ω = x resulta
U =
V
π2�3c3 (kT )
4
� ∞
0
x3
ex − 1dx ∴ U ∼ T
4
uma vez que a integral definida e´ finita, i.e� ∞
0
x3
ex − 1dx =Γ (4)Li4(1)
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Gás de Fótons
19
Pressa˜o
P =
∂
∂V
[kT lnZ] = −kT ∂
∂V
�
�k,�ˆ
ln(1− e−βεk,�ˆ) =
= −2kT ∂
∂V
�
�k
ln(1− e−β�ωk)
 =
P = −2kT ∂
∂V
�
V
(2π)3
� ∞
0
ln(1− e−β�ωk) 4πk2 dk
�
=
= −8πkT
(2π)3
� ∞
0
ln(1− e−β�ωk) k2 dk
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Gás de Fótons
19
Pressa˜o
P =
∂
∂V
[kT lnZ] = −kT ∂
∂V
�
�k,�ˆ
ln(1− e−βεk,�ˆ) =
= −2kT ∂
∂V
�
�k
ln(1− e−β�ωk)
 =
P = −2kT ∂
∂V
�
V
(2π)3
� ∞
0
ln(1− e−β�ωk) 4πk2 dk
�
=
= −8πkT
(2π)3
� ∞
0
ln(1− e−β�ωk) k2 dk
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Gás de Fótons
20
Fazendo a mudanc¸a de varia´veis β�ωk = β� c k = x, e integrando por partes, resulta
P = −8πkT
(2π)3
�kT
�c
�3 � ∞
0
ln(1− e−x)x2 dx =
= − (kT )
4
π2(�c)3
1
3
�
x3 ln(1− e−x)
���∞
0
−
� ∞
0
x3
ex − 1
�
∴
P =
(kT )4
π2(�c)3
1
3
� ∞
0
x3
ex − 1 → P =
1
3
1
π2(�c)3 (kT )
4 Γ(4)Li4(1)Comparando com o resultado obtido acima, verifica-se imediatamente que
PV =
1
3
U
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Gás de Fótons
20
Fazendo a mudanc¸a de varia´veis β�ωk = β� c k = x, e integrando por partes, resulta
P = −8πkT
(2π)3
�kT
�c
�3 � ∞
0
ln(1− e−x)x2 dx =
= − (kT )
4
π2(�c)3
1
3
�
x3 ln(1− e−x)
���∞
0
−
� ∞
0
x3
ex − 1
�
∴
P =
(kT )4
π2(�c)3
1
3
� ∞
0
x3
ex − 1 → P =
1
3
1
π2(�c)3 (kT )
4 Γ(4)Li4(1)
Comparando com o resultado obtido acima, verifica-se imediatamente que
PV =
1
3
U
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Gás de Fótons
20
Fazendo a mudanc¸a de varia´veis β�ωk = β� c k = x, e integrando por partes, resulta
P = −8πkT
(2π)3
�kT
�c
�3 � ∞
0
ln(1− e−x)x2 dx =
= − (kT )
4
π2(�c)3
1
3
�
x3 ln(1− e−x)
���∞
0
−
� ∞
0
x3
ex − 1
�
∴
P =
(kT )4
π2(�c)3
1
3
� ∞
0
x3
ex − 1 → P =
1
3
1
π2(�c)3 (kT )
4 Γ(4)Li4(1)
Comparando com o resultado obtido acima, verifica-se imediatamente que
PV =
1
3
U
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