Livro_Introdução à Física Quântica_v_16set2022

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Introdução à 
FÍSICA QUÂNTICA 
Lev Vertchenko 
Larissa Vertchenko 
 
 
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“Uma das alegrias de ser estudante de Física consiste na condição de se apreciar a beleza desta 
teoria e os monumentais avanços que ela nos permite fazer em nossa compreensão das 
propriedades da matéria”. 
Stephen Gasiorowicz 
 
 
Os autores deste livro em frente à entrada do Instituto Niels Bohr, da Universidade de 
Copenhagen, onde Larisa Vertchenko trabalha, e diante da escrivaninha de Niels Bohr, em seu 
escritório (julho de 2022). 
 
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SUMÁRIO pág. 
Capítulo 1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
Capítulo 2 – UM MUNDO DIFERENTE ...................................................................................... 6 
Capítulo 3 - EVOLUÇÃO DAS IDÉIAS: UM RESUMO MUITO BREVE ......................................... 13 
Capítulo 4 - A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ........................................................................... 25 
Capítulo 5 - A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO .............................. 36 
Capítulo 6 - A NOTAÇÃO DE DIRAC ......................................................................................... 55 
Capítulo 7 - SISTEMAS DE DOIS NÍVEIS .................................................................................... 65 
Capítulo 8 - O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO .................................................................................. 80 
Capítulo 9 – SPIN ...................................................................................................................... 86 
Capítulo 10 - DESCRIÇÃO QUÂNTICA DO EXPERIMENTO DE INTERFERÊNCIA ......................... 94 
Apêndice – SOLUÇÕES DAS QUESTÕES .................................................................................. 106 
 
 
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CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 
 
O presente material surgiu da organização das notas de aulas que um dos autores, Lev 
Vertchenko, elaborou para lecionar a disciplina “física quântica” a estudantes de licenciatura em 
física da PUC-Minas, desde a primeira turma do curso. Posteriormente o trabalho foi enriquecido 
com a contribuição da sua filha, Larissa Vertchenko, que se deparou com o desafio de abordar 
conteúdos da teoria quântica com estudantes de áreas tecnológicas na Universidade Técnica da 
Dinamarca (DTU). 
Geralmente, estudantes de licenciatura em física contam em seu currículo com apenas um 
semestre de física quântica, enquanto no bacharelado costumam ser ofertados dois semestres. 
É consenso que, mesmo contemplando essa disciplina com uma carga curricular extensa, a 
assimilação da mesma é lenta e difícil. Quais as razões de ser desejável que estudantes de 
licenciatura em física tenham uma disciplina de física quântica? Podemos afirmar que, sem 
sombra de dúvida, a verdadeira revolução da física no século 20 deu-se com a física quântica e 
seu formalismo, que constitui a mecânica quântica. A teoria da relatividade especial, que 
usualmente também se abriga debaixo do guarda-chuva da física moderna, é na verdade um 
apêndice à teoria eletromagnética de Maxwell. Assim, ignorar a física quântica é viver somente 
com a física até o século 19. Toda a microeletrônica da qual usufruímos é fundamentada pela 
física quântica. É impossível filosofar hoje em dia desconhecendo-se as implicações da física 
quântica para as noções de realidade. Ciências que se ocupam da mente discutem o seu possível 
papel na explicação de fenômenos mentais. Isso tudo justifica a pressão que se faz para que as 
ideias quânticas sejam apresentadas antecipadamente, no ensino médio. Como participar da 
seleção de seus conteúdos desconhecendo-a? 
Acreditamos que o nosso trabalho também possa beneficiar estudantes de áreas técnicas que 
necessitem conteúdos de física quântica, como a engenharia eletrônica ou a ciência dos 
materiais, cujos currículos, dando ênfase, naturalmente, às suas aplicações, não disponibilizam 
carga horária ao entendimento do seu formalismo. 
Em língua portuguesa existem excelentes livros voltados ao tratamento conceitual da física 
quântica, como os “Conceitos de Física Quântica”, volumes 1 e 2, de Osvaldo Pessoa Jr., ricos 
em referências sobre o assunto, e o “Quem tem medo da Física Quântica”, de Ramayana 
Gazzinelli, professor do qual um de nós teve o privilégio de ser aluno na década de 1980. No 
entanto, uma leitura proveitosa dos “Conceitos de Física Quântica” exige algum domínio do 
formalismo da teoria, assim como alguma maturidade filosófica. Concordamos com o Prof. 
Ramayana quando ele afirma no prefácio do seu livro: “Muitos conceitos da mecânica quântica 
só podem ser compreendidos por meio de seu formalismo matemático, que infelizmente não 
pode ser substituído por palavras...” 
Em sua espetacular obra “Lições de Física”, Richard Feynman coloca a seguinte questão: por que 
não podemos apresentar inicialmente todas as leis ou equações fundamentais da física e a seguir 
simplesmente não nos ocuparmos de deduzirmos as suas consequências ou aplicações? A 
resposta é que essas leis ou equações demandam tempo e pré-requisitos ao seu entendimento. 
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Essa é uma das razões da disciplina física quântica ser oferecida ao final da graduação: é 
desejável que o aluno já esteja familiarizado com a física ondulatória, com os números 
complexos e com as álgebras linear e vetorial para ancorar o formalismo da mecânica quântica. 
A outra razão, acreditamos, é o grau de abstração exigido: estranhas ondas associadas ao cálculo 
de probabilidade, grandezas físicas associadas a operadores, a generalização do espaço vetorial 
de forma a abrigar a descrição dos estados quânticos, etc. 
Não é pretensão dessas notas a substituição dos muitos excelentes livros de mecânica quântica, 
mas eles normalmente se destinam a uma carga horária muito superior à das licenciaturas. Além 
disso, temos percebido que o estudante costuma submergir em seus cálculos, sobretudo no 
tratamento dos potenciais quânticos e do átomo de hidrogênio, sem perceber que a teoria 
quântica, na verdade, se resume a umas poucas regras de álgebra linear. A percepção de que a 
essência da mecânica quântica está nessas poucas regras é o objetivo destas notas, onde se 
procura antecipar o uso elegante da notação de Dirac e da expressão de operadores por 
matrizes. Não nos demoraremos aqui com os potenciais quânticos e nem nos deteremos com o 
átomo de hidrogênio, assuntos que se encontram muito bem tratados nos diversos livros de 
mecânica quântica. Apesar do material, obviamente, por seu caráter introdutório, se ocupar da 
mecânica quântica não-relativística, o seu formalismo pode, com os cuidados adequados, ser 
estendido também para a descrição quântica de fenômenos luminosos, como a polarização da 
luz. Os “cuidados adequados” significam que interação do fóton com o material não desce ao 
nível mais fundamental, já que este exige a teoria da eletrodinâmica quântica, que foge aos 
propósitos dessas notas. Assim, a ausência de alguns conteúdos que são tradicionalmente 
abordados em textos introdutórios é compensada, de certa forma, pelo tratamento quântico da 
luz. Filtros polarizadores de luz são encontrados com facilidade, inclusive os de polarização 
elíptica (próxima da circular) como os usados nos óculos do cinema 3D. Estes filtros permitem 
que se façam experiências simples, em sala de aula, que ilustram na prática as previsões 
estatísticas do formalismo da mecânica quântica. Também não nos deteremos em discussões 
acerca das interpretações da mecânica quântica, para as quais remetemos o leitor aos já 
mencionados livros de Osvaldo Pessoa. Ao contrário, procuraremos nos nortear pela filosofia de 
Feynman, quando ele coloca que uma vez conhecidas as “regras do jogo”,vamos ver o quão 
longe podemos chegar com elas na explicação dos fenômenos físicos. A propósito do Feynman, 
faremos aqui adaptações da sua frutífera abordagem de sistemas de dois níveis. Apesar do 
mesmo usar a notação de Dirac, achamos que algumas coisas em seus textos podem ser 
simplificadas com as regras de álgebra linear que acompanham a notação. Assimilados os 
conteúdos expostos nessas notas, acreditamos que o estudante-leitor poderá alçar voos mais 
altos dentro da mecânica quântica não-relativística, podendo ser atraído às maiores altitudes, 
como o interessante livro “Quantum Paradoxes”, de Aharonov e Rohrlich. A exposição dos 
conteúdos dar-se-á em meio a atividades propostas na forma de questões constituídas de 
exercícios e problemas. Usamos esta estratégia como tentativa de se quebrar uma leitura 
passiva do material, em acordo com o que a psicopedagogia tem redescoberto, ou seja, a 
importância de se fazer anotações durante a leitura. É importante frisar que estas atividades 
não são apenas coadjuvantes da leitura, mas fazem parte do corpo principal das notas, e 
frequentemente a solução destas é pré-requisito para a exposição seguinte. Sugerimos ao 
estudante sempre tentar inicialmente resolver as questões por conta própria, sendo que as 
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soluções estão disponibilizadas em material complementar. Disponibilizadas as soluções para os 
problemas mais complexos, as respectivas questões podem ser abordadas como “exemplos 
resolvidos”. 
No capítulo 2 fazemos uma descrição qualitativa do fenômeno de interferência, enfatizando os 
conceitos de “experimento corpuscular” e “experimento ondulatório”, contidos no princípio da 
complementaridade de Bohr. O capítulo termina com a apresentação do chocante experimento 
das bombas de Elitzur-Vaidman, com a intenção de mostrar que o mundo quântico é 
completamente diferente ao mundo com o qual os estudantes estão acostumados. 
No capítulo 3 fazemos uma muito breve apresentação das principais ideias na evolução em 
direção à mecânica quântica com a qual trabalhamos hoje. 
No capítulo 4 nos inspiramos na mecânica ondulatória de Hamilton-Jacobi para mostrar que a 
equação de Schrödinger é natural se procuramos associar ondas a partículas. É desejável que o 
estudante tenha noções da síntese (e análise) de Fourier. 
No capítulo 5 a equação de Schrödinger independente do tempo é obtida e mostramos como 
ela deve ser usada no tratamento dos potenciais quânticos. 
No capítulo 6 introduzimos a notação de Dirac, esforçando-nos em mostrar a semelhança dos 
estados quânticos com os vetores aos quais os estudantes encontram-se familiarizados, e 
mostramos a expressão dos operadores por meio de matrizes. Ali aplicamos essa notação à 
descrição quântica dos fenômenos de polarização da luz. 
No capítulo 7 aplicamos o formalismo já alcançado no tratamento de um sistema de dois níveis, 
exemplificado pelo dipolo elétrico da molécula de amônia. Apesar de claramente baseado no 
texto de Feynman, procuramos simplificar algumas passagens com o uso do formalismo 
desenvolvido no capítulo anterior. A interação dessa molécula com o campo elétrico oscilante 
de uma onda eletromagnética permite entender o processo de emissão estimulada do LASER e 
a regra de transição entre níveis de energia pela absorção de um fóton, postulada por Bohr. 
No capítulo 8 abordamos a equação de Schrödinger em três dimensões para obter propriedades 
do operador momento angular e mostramos, de forma bastante resumida, como essa equação 
leva aos orbitais do elétron no átomo de hidrogênio. 
No capítulo 9 apresentamos o spin do elétron, enfatizamos a sua semelhança com o operador 
momento angular e procuramos justificar a necessidade de se usar as matrizes de Pauli na sua 
descrição. 
Tendo iniciado o nosso trabalho com a discussão dos aspectos quânticos do experimento de 
interferência, a ele retornamos no capítulo 10 para, já munidos do formalismo necessário, 
rediscuti-lo dentro dos quadros da mecânica quântica, concluindo o trabalho. 
 
6 
 
CAPÍTULO 2 – UM MUNDO DIFERENTE 
 
Neste capítulo pretendemos mostrar, qualitativamente, que a física quântica nos apresenta um 
mundo completamente diferente daquele ao qual estamos acostumados. Para isso é 
conveniente abordarmos o experimento de interferência em uma perspectiva quântica. Bem 
adiante, no capítulo 10, voltaremos a esse assunto, porém já munidos de um instrumental que 
permitirá uma descrição formal, quântica, do experimento. O capítulo 1 do volume 3 das “Lições 
de Física” de Feynman proporciona um excelente texto sobre esse assunto. Nele, Richard 
Feynman, inclusive, afirma que toda a essência da física quântica já está contida nesse 
experimento. Com o objetivo de proporcionar o desapego das ideias clássicas no tratamento 
dos fenômenos quânticos, faremos um “tratamento de choque”, ao concluirmos o presente 
capítulo com o experimento das bombas de Elitzur-Vaidman. 
 
2.1. Um pouco de ótica física 
A ótica geométrica, lidando com o conceito de raio luminoso, é capaz de explicar os fenômenos 
da reflexão e refração. No entanto, ela é incapaz de descrever os fenômenos da interferência e 
difração, que exigem tratar a luz como onda, no que constitui a ótica física. O conceito de raio 
aparece aqui como a direção perpendicular à frente de onda, constituída pelo conjunto de 
pontos da onda que estão em uma mesma fase, como ao longo de uma mesma crista. Por 
exemplo, ondas planas, em que as cristas são paralelas, correspondem a um feixe de raios 
paralelos. 
Antes de partirmos para a abordagem quântica, vamos rever a descrição clássica do 
experimento de interferência de duas fendas, primeiramente realizado por Thomas Young em 
1801. O arranjo experimental utilizado é esquematizado na figura 2.1.a, onde uma fonte de luz 
incandescente ilumina um anteparo com um minúsculo orifício, que tem como objetivo 
proporcionar coerência à luz que atravessa as duas fendas. Dizemos que duas fontes são 
perfeitamente coerentes se as ondas eletromagnéticas provenientes das mesmas mantêm uma 
diferença de fase constante entre si ao longo do tempo. Fontes incandescentes são ditas 
incoerentes por difundirem frentes de ondas aleatórias sem relação entre si. No anteparo que 
serve de tela observamos a distribuição da intensidade luminosa, que é a potência luminosa por 
unidade de área, constituindo um padrão de interferência, contendo franjas claras e escuras. As 
franjas claras resultam de uma interferência construtiva, onde as cristas das ondas se somam, 
enquanto nas franjas escuras ocorre o encontro de cristas com vales, resultando em 
interferência destrutiva. Na abordagem do experimento pela física ondulatória clássica 
primeiramente combinamos (somamos) o campo elétrico da onda eletromagnética proveniente 
de cada fenda para depois calcularmos a intensidade na tela, que é proporcional ao quadrado 
do campo elétrico resultante em cada ponto. Assim, os máximos de intensidade ocorrem 
quando a diferença entre os caminhos das fendas à tela constituir um número inteiro de 
comprimentos de onda, enquanto para os mínimos a diferença entre os caminhos deve ser igual 
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a um número ímpar de meios comprimentos de onda. A figura 2.1.b ilustra o padrão de 
interferência observado. 
 
Figura 2.1. (a) Esquema do arranjo da experiência de fendas duplas de Young com fonte de luz 
incoerente, onde as linhas sólidas marcam o encontro de duas cristas, promovendo interferência 
construtiva. (b) Padrão de interferência observado na tela adiante. 
 
Atualmente é muito fácil dispormos de um LASER (sigla de light amplification 
by stimulated emission of radiation), como os apontadores de apresentações, para 
reproduzirmos esse experimento. LASERs foram disponibilizados a partir da década de 1960. O 
processo de emissão estimulada da radiação proporciona um feixe de luz capaz de iluminar de 
forma coerente fendas situadas dentro da sua área transversal.Dessa forma o anteparo com 
orifício anterior às fendas tornou-se desnecessário, bastando iluminá-las com um feixe de LASER 
para se observar em uma tela adiante a figura de interferência. 
 
2.2. Aspectos quânticos do experimento de interferência 
Experimentos de interferência e difração que usam luz constituem assunto da física ondulatória 
clássica, que será revista ao início do capítulo 10. Assim, o que tais experimentos têm a ver com 
a física quântica? 
Experimentos de interferência e difração também podem ser realizados com partículas 
materiais quânticas como elétrons, nêutrons, etc. A atribuição de características ondulatórias a 
tais partículas, tornando-as “quânticas”, é um dos principais aspectos da física quântica. O 
experimento de interferência de duas fendas pode ser realizado enviando-se um feixe de 
baixíssima intensidade em direção às fendas, constituído de luz ou partículas materiais 
quânticas, de forma que apenas uma partícula passe pelas fendas de cada vez e marque um 
ponto na tela de detecção. Não é possível saber onde cada partícula se posicionará 
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individualmente na tela. Essa aleatoriedade presente na física quântica incomodava Einstein, 
que afirmou “Deus não joga dados.” Para ilustrar tal afirmação, vamos supor que seguramos 
sobre a mesa um lápis em posição vertical, apoiado sobre sua própria ponta, e ao soltá-lo ele cai 
em uma direção aleatória. Poderíamos argumentar que essa aleatoriedade poderia ser 
removida se observássemos os detalhes da ponta do lápis ao microscópio, o que nos permitiria 
prever a direção em que ele cai. Algo semelhante deveria acontecer com os sistemas quânticos. 
Ficou famoso o debate entre Einstein, defendendo que a mecânica quântica é incompleta, e 
Bohr, que defendia sê-la, apesar de seus estranhos aspectos, uma teoria completa, parecendo 
sair vitorioso o ponto de vista de Bohr. À medida que o número de partículas detectadas vai 
aumentando, vemos surgir na tela, gradualmente, o padrão de intensidade previsto pela física 
ondulatória clássica e que caracteriza o experimento de interferência (figura 2.2). Como 
garantimos anteriormente que apenas uma partícula passa pelas fendas, temos que descartar a 
hipótese que as partículas se empurram para formar o padrão de interferência. Além disso, as 
partículas não se esparramam, nem se fragmentam, pois seus fragmentos não são detectados. 
Mas, então, quem interfere com quem? A resposta a essa pergunta é o “estado quântico” da 
partícula que sofre interferência. Enquanto a interpretação do estado quântico é dependente 
da filosofia adotada, como mostram os livros “Conceitos de Física Quântica”, de Osvaldo Pessoa 
Jr., o seu significado prático, para propósito de cálculos de previsão estatística, constitui o cerne 
do presente livro. Veremos que o estado quântico nos possibilita fazer uma operação para 
prever as probabilidades de detecção da partícula na tela. E quando o número de partículas 
enviado à tela for grande, devemos ver estas probabilidades coincidirem com o que se espera 
da física ondulatória clássica. Feynman, no primeiro capítulo do volume 3 de seus “Lições de 
Física”, nos apresenta um excelente texto, que é considerado um clássico, sobre os aspectos 
quânticos do experimento de interferência. Ele enfatiza que, se tentamos descobrir por qual 
fenda a partícula passa, o padrão de intensidade característico da interferência é destruído, 
resultando no padrão que se espera quando são usadas partículas clássicas (figura 2.3). Veremos 
no capítulo 10 que basta a informação da trajetória da partícula estar disponível para que o 
padrão de interferência não ocorra. Isto nos leva a classificar os experimentos em duas 
categorias: experimento “ondulatório”, quando ele não permite saber a trajetória da partícula 
e ocorre o padrão de interferência, e experimento “corpuscular”, no qual a trajetória da 
partícula pode ser inferida e não ocorre o padrão de interferência. Com essas definições, o 
“princípio da complementaridade” de Bohr afirma que um experimento é corpuscular, ou 
ondulatório, mas não os dois ao mesmo tempo. Além disso, veremos a seguir que experimentos 
quânticos devem ser considerados em sua totalidade; analisar as partes do experimento 
separadamente e depois adicionar os resultados da análise não leva a resultados corretos. 
 
9 
 
 
Figura 2.2. Formação gradual do padrão de interferência, quando as partículas são lançadas uma 
a uma sobre as fendas. 
 
 
Figura 2.3. Padrão de distribuição das partículas na tela quando a informação da trajetória pode 
ser obtida pelos detectores de trajetória colocados após as fendas. 
 
 
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2.3. O experimento das bombas de Elitzur-Vaidman 
O arranjo da figura 2.4 retrata o interferômetro de Mach-Zehnder. Ele é constituído de dois 
divisores de feixe, semi-refletores, que refletem 50% dos fótons incidentes e transmitem os 
demais, e de dois espelhos, 100% refletores. Os divisores de feixe fazem com que as ondas 
eletromagnéticas que percorrem os dois braços do interferômetro atinjam o detector 1 com a 
mesma fase, em interferência construtiva, enquanto acrescentam uma diferença de fase de π 
entre as ondas que percorrem os dois braços para atingir o detector 2 em interferência 
destrutiva. Assim, todos os fótons que incidem no interferômetro são detectados no detector 1, 
e nenhum é detectado no detector 2. 
 
Figura 2.4. O interferômetro de Mach-Zehnder, constituído pelos semi-espelhos (ou divisores 
de feixe) BS1 e BS2, pelos espelhos M1 e M2, e pelos detectores D1 e D2. Ocorre interferência 
construtiva em D1 e destrutiva em D2. 
 
QUESTÃO 2.1: 
 (a) O experimento que usa o interferômetro de Mach-Zehnder é corpuscular ou ondulatório? 
 (b) Se o segundo divisor de feixe for removido, o experimento passa a ser corpuscular ou 
ondulatório? 
(c) Na ausência do segundo divisor de feixe, qual é a percentagem de fótons que se espera contar 
em cada detector? 
 
 
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Podemos agora discutir o experimento das bombas de Elitzur-Vaidman, que mostra o quanto é 
estranho o mundo da física quântica. Imagine bombas cujo detonador, muito sensível, é 
constituído por um espelho de modo a ser acionado pela reflexão de um único fóton. O 
fabricante dessas bombas não pode garantir que todas as suas bombas funcionem, e um 
especialista em demolições necessita de um conjunto de bombas que todas, sem exceção 
funcionem. É possível imaginar um experimento que permita a obtenção de uma amostra de 
bombas em bom estado, sem que elas explodam? Pensando em termos clássicos, não é: 
equivaleria a testar palitos de fósforo riscando-os. Mas vamos supor que substituímos um dos 
espelhos do interferômetro de Mach-Zehnder pelo espelho do detonador da bomba, como na 
ilustrado na figura 2.5. 
 
Figura 2.5. O interferômetro de Mach-Zehnder com um dos espelhos substituído pelo espelho 
do detonador de uma bomba. 
 
QUESTÃO 2.2: 
(a) Se a bomba está defeituosa, o experimento é corpuscular ou ondulatório? Nesse caso, 
quantos fótons devem ser detectados em cada um dos detectores? 
(b) Se a bomba funciona, o experimento é corpuscular ou ondulatório? 
(c) Se a bomba não explodir e um único fóton for detectado no detector 2, a bomba funcionará 
ou é defeituosa? 
 
Assim, detectando-se um único fóton no detector 2, desligamos a incidência de fótons sobre o 
interferômetro e removemos a bomba, que sabemos funcionará. Obviamente uma fração das 
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bombas explodirá durante a realização do experimento, mas conseguiremos obter uma amostra 
de bombas que teremos a certeza de que funcionarão. Esse experimento mostra que 
experimentos quânticos possuem um caráter holístico, devendo ser considerados em sua 
totalidade. A presença de uma bomba em funcionamento fornece indicação da trajetória do 
fóton e torna o experimento corpuscular, ainda que, estranhamente, nenhum fóton a atinja. 
 
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CAPÍTULO 3 – EVOLUÇÃO DAS IDÉIAS: UMRESUMO MUITO BREVE 
 
A adjetivação “quântica” à física que estamos abordando deve-se à constatação de que 
grandezas que se supunham contínuas, como os valores da energia da partícula e da carga 
elétrica, aparecem como múltiplos de uma quantidade elementar, o quantum. Isto faz com que 
o espectro de valores destas grandezas contenha partes discretas. Estes valores discretos são 
atributos de elementos como elétrons, átomos, moléculas, etc., que fazem com que a própria 
matéria seja vista como discreta em sua constituição. Uma grandeza é chamada de “discreta” 
quando ela pode ser associada a números inteiros, isto é, pode ser contada. Logo, não somente 
a matéria é discreta, como também podem ser suas propriedades. 
No capítulo que abre a sua espetacular coleção “Lições de Física”, Feynman coloca a seguinte 
questão: “Se, em algum cataclisma, todo o conhecimento científico for destruído e só uma frase 
for passada para a próxima geração, qual seria a afirmação que conteria a maior quantidade de 
informação na menor quantidade de palavras?” Ele responde que seria a hipótese atómica, em 
que todas as coisas são feitas de átomos. 
Hoje já nos acostumamos com a ideia do átomo desde o jardim de infância, mas somente no 
século 20 essa ideia passou a ser aceita. 
Na antiga Grécia a hipótese atômica foi proposta por Leucipo e Demócrito com argumentação 
filosófica, para conciliar o conflito entre a essência das coisas, que deveria ser imutável, com a 
multiplicidade das coisas que observamos. Os átomos seriam imutáveis e a multiplicidade 
observada resultaria de combinações diferentes dos mesmos. 
Modernamente, podemos considerar que a hipótese atômica foi proposta em termos científicos 
por Dalton, em 1803, explicando as reações químicas como um rearranjo de átomos. Na física, 
podemos considerar que a hipótese atômica, discretizando a matéria, começa a se estabelecer 
com os trabalhos de Boltzmann e Maxwell para a explicação de propriedades dos gases, como a 
pressão, fazendo uma estatística sobre as moléculas que os constituem, e com a formulação 
estatística da entropia pelo último. (Em 1866 Boltzmann defendeu a “teoria cinética dos gases” 
como tese de doutorado e a sua formulação estatística para a entropia é de 1877. Em 1873 
Maxwell publicou o artigo intitulado “Moléculas”, em que explica a pressão dos gases em termos 
destes constituintes.) Hoje aceitamos como natural a constituição da matéria por átomos e 
moléculas, mas a hipótese atomista teve que esperar pelos trabalhos de Einstein (1905) e 
Smoluchowski (1906) sobre a explicação do movimento browniano para começar a ser aceita. 
Até então predominava o ponto de vista dos energetistas, de que a matéria, assim como a 
energia, era contínua, e Boltzmann foi duramente atacado, cometendo suicídio em uma crise de 
depressão. 
Mas os átomos também revelaram uma estrutura, constituída por elementos ainda menores, as 
partículas subatômicas como os prótons, elétrons e nêutrons. Experimentos de colisões em altas 
energias mostram que os prótons e nêutrons também apresentam uma estrutura, atualmente 
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explicada fazendo uso da combinação de quarks de vários tipos, caracterizados por “cores” e 
“sabores”. 
Em 1897 Thomson mostrou que os raios emitidos por um eletrodo negativo, o catodo, aquecido 
e submetido a uma diferença de potencial elétrico, chamados “raios catódicos”, são constituídos 
por cargas negativas. Esse experimento marcou a descoberta dos elétrons e em 1904 Thomson 
propôs um modelo atômico em que os elétrons se distribuiriam dentro de uma esfera de carga 
positiva como as passas em um pudim. Em 1909, Millikan mostrou que o elétron possui uma 
carga elementar ao equilibrar com a aplicação de um campo elétrico a força gravitacional de 
gotículas de óleo eletrizadas. Posteriormente, bombardeando finas folhas de ouro com 
partículas α, que são núcleos de átomos de Hélio, portanto, cargas positivas, Rutherford 
observou que algumas partículas sofriam desvios muito superiores aos que poderiam ser 
explicados se a carga positiva estivesse uniformemente distribuída nos átomos de ouro, e em 
1911 mostrou que esses desvios poderiam ser explicados se a carga positiva é encontrada em 
um volume que corresponde a uma minúscula fração do volume atômico, o núcleo do átomo. 
É interessante ver como o desenvolvimento posterior do modelo atômico se encontra com o 
desenvolvimento do estudo da luz. Nos livros de física é comum a introdução à teoria quântica 
pelo estudo do modelo de Planck, de 1900, sobre a radiação do “corpo negro”. Estamos 
acostumados com o fenômeno da incandescência, quando corpos a temperaturas altas emitem 
luz. Em fins do século 19, físicos se voltaram ao estudo de fontes de luz de emissão térmica, 
sendo o corpo negro, que é constituído por uma cavidade em um certo meio, com uma pequena 
abertura para o exterior, considerado um emissor térmico ideal. As paredes da cavidade, 
estando a uma certa temperatura, são constituídas de cargas (prótons e elétrons) em agitação 
térmica. Estas cargas em agitação, umas sem compromisso com as demais, emitem uma 
radiação que é rotulada de térmica e que, após um grande número de espalhamentos pela 
parede da cavidade, acaba saindo pela pequena abertura (figura 3.1). A análise da radiância 
espectral da luz que sai pela abertura do corpo negro, isto é, da potência por área da abertura, 
por intervalo de comprimento de onda, revela um perfil como o apresentado na figura 3.2. 
 
 
Figura 3.1. O “corpo negro”. 
 
15 
 
 
Figura 3.2. Perfis da radiância espectral para três temperaturas do corpo negro. 
 
Duas relações associadas a esta radiação eram bem conhecidas: (a) a lei de deslocamento de 
Wien, relacionando o comprimento de onda na qual a emissão é máxima, λm, à temperatura 
absoluta T do corpo emissor através da expressão 
T
m
-3102,8977685 
= (3.1) 
(para λm em unidade de metro), e (b) a lei de Stefan-Boltzmann, relacionando a potência Pbol (em 
todos os comprimentos de onda, chamada de “potência bolométrica” em astrofísica) por área 
A da abertura do corpo negro à temperatura das suas paredes pela expressão 
4T
A
Pbol = , (3.2) 
onde a constante de Stefan-Boltzmann é 428106697,5 −−−= KWm . 
A primeira foi derivada em 1893, através da análise da redistribuição de energia em uma 
cavidade esférica refletora em contração adiabática. Ela implica que o máximo da emissão 
ocorre em comprimento de onda que vai diminuindo quando se aumenta a temperatura do 
corpo emissor, o que pode ser constatado observando-se a mudança de cor de uma barra de 
ferro incandescente. A segunda lei foi obtida experimentalmente por Stefan, em 1879, e 
deduzida teoricamente por Boltzmann, considerando a cavidade do corpo negro preenchida por 
um gás de radiação e usando 1ª lei da termodinâmica. A radiância espectral está relacionada à 
densidade de energia uλ (por intervalo de comprimento de onda dλ em torno de um 
comprimento de onda λ) da radiação na cavidade através de 
16 
 
4
cu
R  = , (3.3) 
onde c é a velocidade da luz no vácuo. 
 
QUESTÃO 3.1: Considerando que dentro da cavidade a radiação é isotrópica, deduza a equação 
3.3. 
QUESTÃO 3.2. A radiação emitida pela camada da estrela chamada fotosfera é considerada 
“termalizada”, podendo a parte “contínua” do seu espectro ser adequadamente descrita pela 
radiação do corpo negro, como mostra a figura 3.3 (a parte contínua apresenta-se “machucada” 
devido às linhas da absorção da luz pelos elementos presentes na atmosfera da estrela). Nesse 
caso, substituindo-se, na equação 3.2, a área do orifício pelo qual sai a radiação pela área 
esférica da superfície da fotosfera pode-se estimar a temperatura dessa camada, que é chamada 
de “temperatura efetiva” da estrela. O disco do Sol que observamos refere-se à fotosfera. 
(a) O fluxo luminoso (bolométrico) proveniente do Sol que atinge a Terra é chamado de 
“constante solar” e vale1360 W/m2. Considere a distância média da Terra ao Sol de 1,5 x 1011 
m e determine a luminosidade (potência luminosa) bolométrica do Sol. 
(b) Sendo o raio do Sol Rʘ = 6,960 x 108 m, determine a sua temperatura efetiva. 
(c) Use a Lei de Wien, dada pela equação 3.1, para estimar o comprimento de onda no qual é 
máxima a emissão do Sol e compare-o com o observado. 
 
 
 
Figura 3.3. A parte contínua do espectro de uma estrela e o seu espectro real. 
 
17 
 
Tratando as ondas eletromagnéticas dentro da cavidade classicamente, como osciladores 
bidimensionais devido aos dois possíveis estados de polarização das ondas, Rayleigh obteve a 
densidade de energia no interior da cavidade, por intervalo de frequências dν em torno da 
frequência ν da radiação, dada por 
 
2
3
8
u kT
c


= , (3.4) 
onde T é a temperatura da parede da cavidade e k é a constante de Boltzmann. Na derivação 
dessa expressão foi calculado o número de possíveis modos de oscilação para o campo 
eletromagnético confinado à cavidade, por unidade de volume e intervalo de frequências dν em 
torno da frequência ν, que é 
2
3
8
n
c


= , (3.5) 
e associada uma energia média de kT a cada modo de oscilação, de acordo com o que se obtém 
quando o teorema da equipartição da energia da termodinâmica é aplicado a um oscilador 
harmônico. A relação assim obtida concorda com o perfil da radiância observado para o corpo 
negro nos comprimentos de onda altos, mas diverge drasticamente nos comprimentos de onda 
baixos. O problema é que o número de modos de oscilação cresce com a diminuição do 
comprimento de onda, fazendo a densidade de energia “explodir” para os modos de alta 
frequência, o que é chamado de “catástrofe do ultravioleta”. 
Planck, bastante envolvido com o problema de se encontrar um modelo que descrevesse a 
radiância espectral do corpo negro, percebeu que ele se ajustaria ao observado se no cômputo 
da energia média para obter a densidade de energia fosse admitido que a energia associada a 
cada modo de oscilação, de frequência ν, assumisse valores quantizados 
...,2,1, == nnhEn  (3.6) 
onde 
346,63 10h J s−=   passou a ser conhecida como constante de Planck. Observem que a 
constante h possui a mesma dimensão do momento angular. 
 
QUESTÃO 3.3: Calcule o momento angular de uma esfera maciça, homogênea, de massa M = 
1,0 kg e raio R = 0,10 m, girando em torno do seu eixo com um período de rotação de T = 0,1 s, 
e compare o resultado com o valor da constante de Planck. 
 
QUESTÃO 3.4: Considere um oscilador macroscópico, constituído por uma partícula de massa 
M = 0,01 kg presa a uma mola de constante elástica k = 16 N/m e oscilando com a amplitude de 
A = 1,0 cm. Calcule a energia deste oscilador e quantos pacotes de energia hν ela contém. 
 
18 
 
Usando-se essa quantização da energia juntamente com a distribuição de probabilidades de 
Boltzmann, a energia média associada a cada modo de oscilação pode ser calculada da seguinte 
maneira: 
/
00
/
0 0
/
nxnh kT
nn
nh kT nx
n n
x h kT
d
enh e
dx
E h
e e







−−
==
 
− −
= =
=
  
  
  = = −
 
 
 

 
 
 Percebendo-se que os somatórios que aparecem nessa expressão são a expansão em série de 
uma função, isto é, que 
0
1
1
n
n
y
y

=
=
−
 , a energia média pode ser reescrita como 
( )
// /
1 1
1
1 1 1
x
x
x x x
x h kTx h kT x h kT
d e
E h e h h
dx e e e

 
  
−
−
− −
== =
     
= − − = =      − − −       , 
ou seja, 
/ 1h kT
h
E
e
 

=
−
 . (3.7) 
Multiplicando-se essa expressão pelo número de modos de oscilação, por unidade de volume e 
intervalo de frequências dν, dado pela equação 3.5, chega-se à densidade de energia obtida por 
Planck, 
3
3 /
8
1h kT
h
u
c e
 
 
=
− 
(3.8) 
que se mostrou impressionantemente adequada para a descrição da radiância espectral de um 
emissor térmico. 
 
QUESTÃO 3.5: A densidade de energia dada pela equação 3.8 é para a frequência ν, dentro de 
um intervalo de frequências dν das ondas eletromagnéticas. Obtenha a densidade de energia 
associada ao comprimento de onda λ, dentro de um intervalo dλ, da radiação do corpo negro, 
u . 
 
QUESTÃO 3.6: Use o resultado do exercício anterior para obter a lei de Wien. 
QUESTÃO 3.7: Use o resultado do exercício anterior para, juntamente com a equação 3.3, obter 
a lei de Stefan-Boltzmann. 
19 
 
 
A energia quantizada deveria ser a dos elementos osciladores da parede da cavidade do corpo 
negro e, portanto, deveria relacionar-se à radiação eletromagnética por eles emitida. Planck 
publicou essa ideia em 1900 e à época ele era aliado dos energetistas que, como vimos, 
mantinham uma contenda com os atomistas, sendo-lhe difícil admitir que a matéria seria 
composta por osciladores elementares e com valores discretos de energia. Assim, ele enxergou 
a quantização da energia do seu modelo apenas como um artifício para ajustá-lo aos dados 
experimentais e não se preocupou com a atribuição desta energia a alguma entidade. No 
entanto, seguiu-se a aplicação frutífera do seu pacote de energia hν a muitas situações 
importantes para o desenvolvimento da mecânica quântica. 
 
Figura 3.4. Arranjo experimental para a observação do efeito fotoelétrico. 
 
No efeito fotoelétrico, a luz transfere energia para os elétrons de um metal, podendo arrancá-
los e fazer com que circule corrente em um circuito aberto, como ilustrado na figura 3.4. Pode-
se aplicar uma diferença de potencial que favoreça ou iniba a circulação da carga. No entanto, 
foi observado por Hertz em 1887 que luz com o comprimento de onda acima de um determinado 
valor, que depende do tipo de metal sobre o qual ela incide, não é capaz de arrancar os elétrons, 
qualquer que seja a sua intensidade. A explicação para isso foi dada por Einstein em 1905, 
supondo que a luz carrega o pacote de energia proposto por Planck e que a energia cinética 
máxima que os elétrons do metal podem adquirir pela incidência luminosa é dada pela 
expressão 
,maxKE hf= − , (3.9) 
em que φ é a “função trabalho”, isto é, a energia de ligação dos elétrons de condução com a 
rede de íons que constitui o metal (os chamados elétrons “livres” não são completamente livres, 
20 
 
mas interagem com o arranjo coletivo de íons positivos dos quais se desprenderam). Assim, o 
pacote de energia, ao qual o próprio Planck inicialmente não dava importância a qual ente físico 
estava associado, foi atribuído a uma onda eletromagnética. 
 
QUESTÃO 3.8: A função trabalho do alumínio tem o valor de 4,08 eV. Determine o comprimento 
de onda máximo da onda eletromagnética que é capaz de arrancar elétrons de uma placa de 
alumínio. 
 
Ao contrário do espectro contínuo da radiação térmica, o espectro da luz emitida ou absorvida 
pelo hidrogênio apresenta linhas discretas, como mostra a figura 3.5. O comprimento de onda 
dessas linhas espectrais foi descrito por Rydberg em 1888, associando-o aos números inteiros n 
e m através da expressão 
2 2
1 1 1
R
n m
 
= − 
 
, (3.10) 
onde R é a constante de Rydberg. 
 
 
Figura 3.5. O espectro do átomo de hidrogênio. 
 
Para explicar essas linhas, Bohr em 1913 propôs um modelo em que o elétron orbitava em torno 
do núcleo do átomo à semelhança de um planeta em torno do Sol. Tratando-se de uma carga 
que apresenta aceleração centrípeta, de acordo com a teoria eletromagnética o elétron deveria 
emitir ondas eletromagnéticas e, portanto, perder energia e caminhar em direção a um colapso 
com o núcleo. Bohr postulou, então, que sob a atração elétrica do núcleo, o elétron deveria 
descrever órbitas estáveis desde que o seu momento angular orbital fosse quantizado segundo 
, 1, 2,3,...
2
h
l n n

= = (3.11) 
21 
 
ou, introduzindo a notação 
2
h

= , l n= . 
A passagem do elétron de uma órbita a outra se daria pela absorção ou emissão de luz 
carregando o pacote deenergia de Planck, sendo a diferença de energia das órbitas dada por 
E h = . (3.12) 
Assim, além de reforçar a ideia do pacote de energia transportado pela luz, mais uma grandeza 
passa a ser quantizada: o momento angular, apesar do modelo de Bohr prever valores incorretos 
para essa grandeza (pelo modelo de Bohr, a órbita de menor energia do elétron deveria ter 
momento angular , mas posteriormente se verificou que o momento angular orbital dessa 
órbita é nulo). 
 
QUESTÃO 3.9: Use o modelo de Bohr para obter a equação 3.10 e, com isso, a constante de 
Rydberg como 
4
2 3
08
em eR
ch
= , onde me e e são, respectivamente, a massa e o módulo da carga 
do elétron, e ε0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo. Considere, para simplificar, 
que o centro de massa do sistema encontra-se exatamente no núcleo de carga positiva. 
 
A equação 3.12, postulada por Bohr, pode ser estendida para qualquer sistema cuja transição 
de energia ocorra pela absorção ou emissão de um fóton. Assim, análises do espectro 
eletromagnético permitem detectar transições de energia em átomos ou moléculas. Veremos 
no capítulo 7 que essa equação encontrará uma explicação natural dentro do quadro da 
mecânica quântica. 
 
QUESTÃO 3.10: De acordo com a eletrodinâmica, uma espira conduzindo corrente comporta-se 
como um magneto, possuindo um dipolo magnético  que, na presença de um campo 
magnético B , apresenta uma energia de interação com o campo U B= −  . Esse dipolo 
magnético está orientado perpendicularmente à superfície limitada pela espira e, sendo A a área 
dessa superfície e i a corrente na espira, tem o módulo iA = . Considere que no modelo de 
Bohr o elétron se comporte como uma espira conduzindo uma corrente 
e
i
T
= , onde T é o 
período orbital do elétron. Mostre que as órbitas do elétron têm um dipolo magnético de 
módulo 
2 e
e
n
m
 = . A quantidade 
2 e
e
m
é chamada de “magneto de Bohr”. 
Anteriormente vimos que uma onda eletromagnética carrega o pacote de energia de Planck. 
Além disso, ela pode também se comportar como uma partícula material em colisões 
22 
 
semelhantes às das bolas de bilhar. Em 1923 Compton observou que ao incidir raios-X sobre 
elétrons que estão praticamente livres (elétrons das camadas externas de átomos pesados) o 
comprimento de onda da radiação espalhada depende do seu ângulo em relação à direção da 
radiação incidente. A descrição desse espalhamento pode ser obtida tratando-o como uma 
colisão elástica dos fótons com os elétrons, porém considerando a energia relativística, 
resultando em 
1 0 (1 cos )
e
h
m c
  − = − , (3.13) 
onde λ0 é o comprimento de onda da radiação incidente, λ1 é o comprimento de onda da 
radiação espalhada, ϴ é o ângulo entre as direções das radiações incidente e espalhada, e h/mec 
é chamado de “comprimento de onda Compton” (λC) do elétron. Veremos adiante que λC 
representa o limite inferior para a escala em que a mecânica quântica não-relativista pode ser 
aplicada. 
 
QUESTÃO 3.11: Obtenha a relação da equação 3.13 tratando o espalhamento Compton como 
uma colisão elástica entre um fóton e um elétron, usando a expressão relativística para a energia 
do elétron. 
 
Assim, o que é considerado onda, a luz, carrega um pacote de energia e pode se comportar como 
bolas de bilhar em colisões, reforçando a ideia de seu caráter também corpuscular. Pode-se 
então perguntar, será que as partículas materiais não terão também características 
ondulatórias? 
A ótica geométrica lida com o conceito de raio luminoso, abordando os fenômenos da reflexão 
e difração, enquanto a ótica física trata a luz como onda para explicar os fenômenos da 
interferência e difração. Sabemos que a ótica geométrica é o caso particular da ótica física 
quando o comprimento de onda da luz tende a zero, isto é, é muito menor que as outras 
dimensões envolvidas. Procurando fazer analogia com o que acontece na ótica, no século 19 foi 
elaborada a teoria de Hamilton-Jacobi, em que deveria haver também uma mecânica 
ondulatória da qual a mecânica newtoniana emergiria como caso limite: as trajetórias das 
partículas estariam relacionadas às suas ondas de forma análoga à que os raios luminosos se 
relacionam às ondas luminosas. Chegaram, inclusive, muito próximo da equação de Schrödinger, 
com a qual trabalhamos hoje, para a qual faltou um ingrediente indispensável, que foi 
proporcionado por de Broglie. 
Conhecendo a teoria de Hamilton-Jacobi, em 1924, em sua tese de doutorado, Louis de Broglie 
propôs que partículas materiais possuem um comprimento de onda dado por 
DB
h
p
 = , (3.14) 
23 
 
sendo p = mv o (módulo do) momento linear da partícula. Esse caráter ondulatório foi verificado 
em 1927 pelo experimento de difração de elétrons pelo níquel cristalino de Davisson e Germer. 
 
QUESTÃO 3.12. Pela equação 3.13 também devemos ter um comprimento de onda. Por que não 
difratamos ao atravessar uma porta? 
QUESTÃO 3.13. Qual deve ser a diferença de potencial elétrico que deve ser aplicada para 
acelerar um elétron a partir do repouso de modo que ele apresente um comprimento de onda 
de 1 angstron, que é a ordem de grandeza da dimensão atômica e dos espaçamentos inter-
atômicos em sólidos? 
QUESTÃO 3.14. Mostre que usando-se as equações 3.11 e 3.14 as órbitas do elétron no modelo 
de Bohr podem ser interpretadas como ondas estacionárias sobre o seu perímetro. 
 
Muito bem, partículas materiais apresentam um comprimento de onda, mas que ondas são 
essas? Qual é a propriedade que se propaga com essas ondas? A resposta a essas perguntas 
começa a ser respondida por Schrödinger, que havia inicialmente desprezado a proposta de de 
Broglie, mas que em seguida a usou na elaboração da sua equação, publicada em 1926, que 
deveria descrever a onda associada a uma partícula material. Para uma partícula de massa m 
localizada sobre o eixo x, a equação de Schrödinger escreve-se como 
2 2
2
( , ) ( , ) ( , )
2
x t V x t i x t
m x t
 
−  +  = 
 
, (3.15) 
onde i é o número imaginário (i2 = -1), V é a energia potencial à qual a partícula está submetida 
e Ψ é chamada de “função de onda”. 
Apesar da equação de Schrödinger parecer muito estranha em um primeiro contato com ela, no 
próximo capítulo veremos que essa equação é natural se pretendemos associar uma onda a uma 
partícula, de forma que essa onda resulte no pacote de energia de Planck e obedeça à relação 
dada pela equação 3.14. 
Inicialmente Schrödinger tentou interpretar a onda da sua equação como se a partícula se 
espalhasse pelo volume da onda, o que não era razoável, pois se assim o fosse, seria possível 
cortar um pedaço da onda do elétron e obter um pedaço do mesmo. Foi Max Born que elaborou 
a interpretação estatística para a mecânica quântica, onde a função de onda é um instrumento 
de cálculo para probabilidades, ficando a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo 
dx em torno de uma posição x dada por 
dP dx=   , (3.16) 
o asterisco (*) indicando o complexo conjugado da função de onda. 
24 
 
É importante mencionarmos que, paralelamente, Heisenberg apresentou a sua mecânica 
quântica na forma matricial e que Schrödinger e Dirac mostraram fazer as mesmas previsões da 
mecânica quântica ondulatória de Schrödinger. Foi Dirac, inclusive, que tornou elegante o 
formalismo da mecânica quântica, colocando-o no formato que hoje estudamos. Apesar da 
função de onda representar uma estranha onda, envolvendo números complexos e estando 
associada a probabilidades, ainda assim o seu estudo pode ser ancorado nas ideias que temos 
das ondas. Logo, começaremos o estudo da mecânica quântica pela equação de Schrödinger. 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
CAPÍTULO 4: A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 
 
Seja 𝑦 uma propriedade que se propaga com um pulso ao longo da direção x. Este pulso 
apresenta a sua forma constante, não dependendo do tempo, no referencial S’, que se propagajunto com ele. Usando as transformadas de Galileu, que relacionam as coordenadas do sistema 
em que o pulso é observado propagando-se com uma velocidade 𝑣 às coordenadas do sistema 
que se propaga junto com o pulso, ele pode ser descrito pela expressão 
 𝑦 = 𝑓(𝑥′) = 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡), (4.1) 
em que o sinal “+” está associado à propagação no sentido negativo e o sinal “-“ à propagação 
no sentido positivo. Desejando expressar um trem de ondas periódico propagando-se, podemos 
usar a mesma expressão, 
𝑦 = 𝑓𝑃(𝑥 ± 𝑣𝑡), (4.2) 
em que na função acrescentamos o índice “P” para indicar tratar-se de função periódica. O 
argumento da função na equação 4.2 possui a dimensão de comprimento. No entanto, é usual 
escrevermos o argumento de funções periódicas na forma adimensional. Para isso fazemos uso 
da frequência angular, 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 e do número de onda 𝑘 =
2𝜋
𝜆
 , onde T e λ são, respectivamente, 
o período e o comprimento de onda do trem de ondas. A velocidade de sua propagação escreve-
se como 𝑣 =
𝜔
𝑘
 e a expressão que o descreve fica 
𝑦 = 𝑓𝑃(𝑥 ±
𝜔
𝑘
𝑥), (4.3) 
ou 
𝑦 = 𝑓𝑃 [
1
𝑘
(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡)] , (4.4) 
onde notamos que os termos entre parêntesis são adimensionais. Fazendo a conversão de 
notação que acompanha a mudança de variável, ( )F f
k


 
=  
 
 , ficamos com 
𝑦 = 𝐹𝑃(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡). (4.5) 
No entanto, em física ondulatória trabalhamos com o vetor número de onda, �⃗� , orientado na 
direção de propagação da onda e contribuindo para a sua fase por meio do produto escalar com 
o vetor posição, �⃗� ∙ 𝑟 . Para mantermos coerência com essa descrição, se desejamos usar a letra 
“𝑘” para o módulo do número de onda (𝑘 > 0), a propagação de uma onda na direção negativa 
do eixo x deverá conter em sua fase o termo – 𝑘𝑥. Dessa forma devemos usar o sinal “-“ em 
frente ao termo 𝜔𝑡 na expressão acima, ficando um trem de ondas propagando-se na direção 
negativa do eixo x descrito por 
𝑦 = 𝐹𝑃(−𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) . (4.6) 
26 
 
Essa alteração de sinal é justificada através da conversão de notação F( ) ( )F = − , da qual 
obtemos a expressão 
 𝑦 = F (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡), (4.7) 
que é compatível com a escolha do sinal “+” em frente ao termo 𝜔𝑡 na equação 4.5 para 
indicarmos a propagação das ondas na direção negativa do eixo x. Olhando para as equações 
4.5 e 4.6 e seus significados, vemos que fica cômodo mantermos o sinal “-“ diante do termo 𝜔𝑡 
para ambos os sentidos de propagação da onda, mas considerando a natureza vetorial do 
número de onda (usando 𝑘 < 0 para a propagação no sentido negativo). Resumindo, qualquer 
que seja o sentido de propagação do trem de ondas ao longo do eixo x, podemos expressá-lo 
por 
𝑦 = 𝐹𝑃(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), (4.8) 
ficando o sentido determinado pelo valor positivo ou negativo de 𝑘. 
Toda esta discussão parece ser supérflua e poderia até mesmo ser evitada se levássemos em 
consideração a descrição tridimensional das ondas, que faz uso do vetor �⃗� . Porém, é usual 
iniciarmos o estudo da equação de Schrödinger com o caso unidimensional, em que a partícula 
está localizada ao longo do eixo x. Sendo necessária uma descrição que contemple ondas 
propagando-se em qualquer direção, o desenvolvimento a seguir fará uso da expressão da 
equação 4.8 pelas razões já expostas. Além disso, como veremos adiante, o sentido de 
propagação do fluxo de probabilidade dependerá também de 𝑘 e prestar atenção à natureza 
vetorial deste será útil. 
 
QUESTÃO 4.1: Mostre que a expressão dada pela equação 4.8 é solução da “equação da onda” 
2 2
2 2 2
1y y
x v t
 
=
 
, onde v
k

= é a velocidade de propagação da onda. 
 
Vamos supor que desejamos associar, de alguma forma, uma onda a uma partícula. Uma onda 
perfeitamente monocromática, isto é, com um único número de onda k bem definido não serve 
se desejarmos que a partícula seja razoavelmente localizada, pois essa onda monocromática 
oscila por igual sobre todo o eixo das posições, como mostra a figura 4.1.a. Se a onda associada 
à partícula permitir a localização da mesma, com uma incerteza δx, devemos ter algo como o 
“pacote de onda” da figura 4.1.b. 
27 
 
 
Figura 4.1. (a) Uma onda perfeitamente monocromática e (b) um pacote de onda, com a 
incerteza δx de localização da partícula. 
 
Tal pacote de onda pode ser descrito por um somatório de ondas senoidais e cossenoidais de 
diferentes números de onda e, portanto, de diferentes comprimentos de onda, que é conhecido 
por “síntese de Fourier”, representada por 
( , ) [ sen( ) cos( )]k k k k
k
Y x t A kx t B kx t = − + − , (4.9) 
onde, em um processo inverso, dado o pacote, os coeficientes Ak e Bk são determinados por 
meio do método conhecido como “análise de Fourier”. 
A figura 4.2 ilustra graficamente como gradativamente pacotes de onda vão surgindo à medida 
que são adicionadas ondas de k’s diferentes. 
 
Figura 4.2. Adição de duas senóides com comprimentos de onda diferentes. 
28 
 
As equações diferenciais relacionam derivadas. Vamos, então, obter derivadas espaciais e 
temporais da função dada pela equação 4.9, para depois compará-las: 
( , )
[ cos( ) sen( )]k k k k
k
Y x t
k A kx t B kx t
x
 

= − − −

 (4.10) 
2
2
2
( , )
[ sen( ) cos( )]k k k k
k
Y x t
k A kx t B kx t
x
 

= − − + −

 (4.11) 
( , )
[ cos( ) sen( )]k k k k k
k
Y x t
A kx t B kx t
t
  

= − − − −

 (4.12) 
e assim por diante. A relação entre ωk e k é conhecida como relação de dispersão. Observando 
as equações acima, notamos que se usarmos uma relação de dispersão e adequarmos os 
coeficientes Ak e Bk talvez consigamos obter uma relação linear entre essas derivadas. 
No capítulo anterior vimos que o pacote de energia de Planck é escrito como 
2
2
h
E h  

= = = , (4.13) 
enquanto a relação de de Broglie implica em um momento linear da partícula dado por 
2
2
h h
p k

  
= = = . (4.14) 
 A energia de uma partícula livre é a sua energia cinética, 
2
21
2 2
K
p
E E mv
m
= = = . (4.15) 
Se usarmos as equações 4.13 e 4.14 na equação 4.15, obtemos a relação de dispersão 
2
2
k
k
m
 = (4.16) 
correspondente a uma partícula livre com características ondulatórias. Se usarmos essa 
expressão para ωk na equação 4.12 teremos 
2( , ) { [ cos( ) sen( )]}
2
k k k k
k
Y x t
k A kx t B kx t
t m
 

= − − − −

 (4.16) 
e, observando a equação 4.11, ficamos tentados a substituir o que está dentro das chaves na 
equação 4.16 pela derivada espacial segunda da equação 4.11, na esperança que os coeficientes 
Ak e Bk possam ser ajustados. Mas a comparação dos termos que contém os senos e cossenos 
nas equações 4.16 e 4.11 implica em Ak = Bk e Ak = -Bk, condição que não pode ser satisfeita para 
coeficientes não nulos. Não querendo descartar completamente a ideia de relacionar a equação 
29 
 
4.16 com a derivada espacial segunda da equação 4.11, vamos tentar fazê-lo acrescentando um 
fator C, ficando 
2
2
( , ) ( , )
2
Y x t Y x t
C
t m x
 
=
 
 (4.17). 
Agora a comparação dos termos com senos e cossenos implica em Ak = CBk e Bk = -CAk, condição 
que pode ser satisfeita se o fator C é o número imaginário i (i2 = -1). Fazendo C = i na equação 
4.17 e multiplicando os dois lados da equação por iħ, chegamos em 
2 2
2
( , ) ( , )
2
i Y x y Y x t
t m x
 
= −
 
, (4.18) 
e fazendo a identificação Y = Ψ, chegamos na equação de Schrödinger para a partícula livre, que 
é a equação 3.14 do capítulo anterior com a energia potencial da partícula V = 0. 
Vemos, portanto, que as relações de Planck e de Broglie das equações 4.3 e 4.4 são ingredientes 
indispensáveis para a obtenção da equação de Schrödinger usando considerações da mecânica 
ondulatória. Se essas relações estivessem disponíveis à época da formulação da mecânica 
ondulatória da teoria de Hamilton-Jacobi, muito provavelmente se teria chegado à equação de 
Schrödinger ainda no século 19 (e, obviamente, ela nãoreceberia esse nome). 
A mecânica quântica permite fazer previsões estatísticas sobre medições de grandezas físicas. 
Nessa teoria, as grandezas físicas passíveis de medição são associadas a operadores. Operadores 
são entes matemáticos que atuam sobre uma função, transformando-a em outra função. 
Alguns exemplos de operadores: 
2. ( ) 2 ( )
3 . ( ) 3 ( )
. ( ) ( )
A Af x f x
B x Bf x x f x
d d
C Cf x f x
dx dx
= = 
= = 
= =
 
A previsão da mecânica quântica para o valor médio que um conjunto de medidas deve 
apresentar é obtida fazendo-se um “sanduíche” com o operador correspondente à grandeza 
física medida e a função de onda, na forma 
( ) ( , ) ( , )A t dx x t A x t
+

−
=   (4.19) 
Cabe aqui uma importante observação. Se x refere-se à posição de uma partícula, nessa 
representação x não varia com o tempo; x refere-se à numeração do eixo das posições e não 
muda. O que varia com o tempo é o valor médio do operador x, cuja evolução temporal é 
governada pela evolução temporal da função de onda 
30 
 
( ) ( , ) ( , )x t dx x t x x t
+

−
=   . (4.20) 
Essa evolução temporal do valor médio, governada pela evolução temporal da função de onda, 
ocorre na representação de Schrödinger. Na representação de Heisenberg é o operador que 
evolui com o tempo. 
De alguma forma, as grandezas da mecânica clássica devem emergir da mecânica quântica, em 
acordo com o chamado “princípio da correspondência”. Desse modo, ao momento linear de 
uma partícula é adequado associar um operador com valor médio dado por 
d
p m x
dt
= , (4.21) 
ou, fazendo uso da equação 4.20, 
p m dx x x
t t
+ 

−
  
=  + 
  
 . (4.22) 
Por enquanto estamos considerando a partícula livre. A equação de Schrödinger para a partícula 
livre, 
2 2
2
( , ) ( , )
2
x t i x t
m x t
 
−  = 
 
 (4.23) 
 permite obter 
2
22
i
t m x
  
=
 
 (4.24) 
e, consequentemente, 
2
22
i
t m x
   
= −
 
. (4.25). 
Inserindo as derivadas temporais, dadas pelas equações 4.24 e 4.25, na equação 4.22, temos 
2 2
2 22
p dx x x
i x x
+ 

−
    
=  − 
  
 . (4.26) 
 
QUESTÃO 4.2: (a) Mostre que uma integração por partes da equação 4.26, juntamente com a 
condição 0
x=
 = (se a partícula encontra-se em uma região finita do eixo x, ela não está no 
infinito) resulta em .p dx
i x
+

−

=  

 
31 
 
(b) Lembrando que p dx p
+

−
=   , qual deve ser a expressão do operador momento linear? 
 
Na mecânica clássica o hamiltoniano de uma partícula livre é simplesmente a sua energia 
cinética, 
2
2
livre
p
H
m
= . Sendo o operador momento linear p
i x

=

, se aplicarmos o princípio 
da correspondência devemos ter 
2 2 2
2
1 1
2 2 2 2
livre
p
H pp
m m m i x i x m x
  
= = = = −
  
 
e notamos que a equação 4.23 assume a forma 
( , ) ( , )livreH x t i x t
t

 = 

. (4.27) 
Se a partícula não está livre, isto é, se está submetida a uma energia potencial V, é natural 
acrescentarmos ao hamiltoniano da partícula livre a energia potencial, ficando o operador 
hamiltoniano dado por 
2 2
22
livreH H V V
m x

= + = − +

. (4.28) 
OBSERVAÇÃO: Em física, e em particular na mecânica quântica, trabalha-se também no espaço 
do momento linear. Porém, no espaço das posições x, operadores que são função de x apenas, 
como a energia potencial, atuam sobre as funções apenas multiplicando-as: 
( ) ( ) ( )Vf x V x f x=  . Como estamos operando no espaço das posições, pudemos fazer 
simplesmente V V= na equação 4.28. 
Substituindo, então, na equação 4.27 o operador hamiltoniano da partícula livre pelo 
hamiltoniano dado pela equação 4.28, ficamos com 
2 2
22
H V i
m x t
  
 = − +  =  
  
, (4.29) 
que é a equação de Schrödinger completa (equação 3.14 do capítulo anterior), adequada para 
o caso unidimensional que descreve uma partícula sobre o eixo x: 
2 2
2
( , ) ( , ) ( , )
2
x t V x t i x t
m x t
 
−  +  = 
 
. 
 
32 
 
QUESTÃO 4.3: Mostre que mesmo se usarmos a equação de Schrödinger completa para 
obtermos as derivadas temporais da função de onda e de sua conjugada, presentes na equação 
4.22, juntamente com a condição da energia potencial ter valores reais (V*=V), como deve ser, 
chegamos à mesma expressão para o operador momento linear, p
i x

=

. 
 
Enquanto na mecânica quântica relativística partículas podem ser criadas do vácuo ou 
aniquiladas, uma característica importante da mecânica quântica não-relativística, aqui tratada, 
é que nela não ocorre o surgimento, nem o desaparecimento, da partícula. Portanto, a 
probabilidade total de se encontrar a partícula é sempre 100%, cuja expressão para o caso 
unidimensional da partícula poder ser encontrada somente sobre o eixo x, 
∫𝑑𝑃 =∫ 𝑑𝑥𝛹∗𝛹
+∞
−∞
= 1 (4.30) 
é chamada de “condição de normalização da função de onda”. O produto Ψ*Ψ é chamado de 
“densidade de probabilidade”. 
Na teoria eletromagnética existe uma “equação da continuidade” associada à conservação da 
carga. Somente podemos alterar a carga total dentro de um volume limitado por uma superfície 
fechada introduzindo ou retirando cargas desse volume. O processo de transportar carga pela 
superfície fechada é descrito pelo fluxo do vetor densidade de corrente ( j ) pela superfície 
fechada. Assim a variação da carga total Q dentro de um volume V limitado por uma superfície 
fechada S se expressa como 
V
S
dQ
dV j da
dt t

= = − 
 
 (4.31) 
onde ρ é a densidade volumétrica de carga, da é o elemento de área, perpendicular à superfície 
S e apontando para fora dela, e o sinal “menos” leva em conta que um fluxo de j para fora da 
superfície diminui a carga dentro dela. Aplicando o teorema da divergência no último termo, 
fazendo ( )
S V
j da j dV =    , chegamos à expressão 
j
t

  = −

, (4.32) 
que é conhecida como “equação da continuidade” para a carga elétrica. De forma análoga, já 
que a probabilidade também se conserva, deve também existir uma equação da continuidade 
na mecânica quântica, relacionando a densidade de corrente de probabilidade j à densidade 
de probabilidade Ψ*Ψ. Isto é, se a probabilidade de encontrar a partícula varia dentro de uma 
região fechada, isso se deve ao fluxo de j para dentro ou fora dessa região. 
 
33 
 
QUESTÃO 4.4: (a) Para o caso unidimensional, a equação da continuidade, dada pela equação 
4.32, escreve-se como 
j
x t
 
= −
 
. Sendo a densidade de probabilidade  =   , use a 
equação de Schrödinger para a partícula livre, relacionando as derivadas espacial e temporal da 
função de onda, para mostrar que a densidade de corrente de probabilidade é 
*
*
2
j
im x x
  
=  − 
  
. (4.33) 
(b) Mostre que mesmo para o caso da partícula submetida a uma energia potencial V, a 
expressão para a densidade de corrente de probabilidade acima mencionada continua sendo 
compatível com a equação da continuidade, contanto que a energia potencial seja real, isto é, 
V = V* (como deve ser mesmo). 
 
Uma importante consequência da definição acima para a densidade de corrente de 
probabilidade é que a função de onda deve ser necessariamente espacialmente contínua. Como 
a expressão para j, dada pela equação 4.33, envolve uma derivada espacial da função de onda e 
de seu complexo conjugado, se houver uma descontinuidade da função de onda em alguma 
posição, aparecerá uma derivada de módulo tendendo a infinito naquele ponto, implicando em 
uma densidade de corrente de probabilidade infinita naquela posição, o que não é razoável. 
 
Além da previsão do valor médio para um conjunto de medições de uma grandeza física, a 
mecânica quântica permite também a previsão da sua incerteza. De forma semelhante ao que 
se faz na estatística clássica, a incerteza ΔA prevista para a grandeza A (associada ao operador 
Ã) está relacionada à sua variância através da expressão( ) ( )
22
A A A = − . (4.34) 
OBSERVAÇÃO: Na estatística a variância é o quadrado do desvio padrão. 
 
QUESTÃO 4.5: Mostre que a variância também pode ser escrita como ( )
2 22A A A = − . 
 
Na mecânica quântica a comutação de operadores (ou operador comutação), definida por 
,A B AB BA  = −  , tem grande importância. Usando-se a álgebra de operadores, pode-se 
mostrar que o produto das variâncias de dois operadores com valores médios dados por 
números reais obedece à desigualdade 
34 
 
( ) ( )
22 2 1
,
4
A B i A B      . (4.35) 
 
QUESTÃO 4.6: Mostre que  ,p x
i
= . 
QUESTÃO 4.7: Mostre que com a relação de comutação  ,p x
i
= , a desigualdade 4.35 implica 
na relação de incerteza de Heisenberg 
2
p x   . 
QUESTÃO 4.8: Vimos que a álgebra de operadores prevê uma relação entre a incerteza da 
posição e a incerteza do momento linear dada por 
2

 px . Na presente sequência de 
exercícios mostraremos que o mínimo desta relação, 
2

, ocorre para uma função de onda 
gaussiana. Serão necessárias as integrais: 




−
− =dxe x
2
 
3
2
2
122






−
−

−
− =


−= dxedxex xx 
0
2


−
− =dxex x . 
(a) Considere uma função de onda gaussiana 
2xeC  −= , em que as constantes C e α são reais. 
Obtenha o valor da constante C para que esta função fique normalizada, em acordo com a 
condição expressa pela equação 4.30. 
(b) Calcule x , 2x e determine a incerteza x . 
(c) Sendo o operador 
xi
p


=

, calcule p , 2p e determine a incerteza p . 
(d) Faça o produto px  e analise o resultado perante a relação de Heinsenberg acima 
mencionada. 
 
 
35 
 
 Uma importante consequência da relação expressa pela equação 4.35 é que as medições de 
grandezas físicas associadas a operadores que não comutam estarão sujeitas a relações de 
incerteza semelhantes à de Heisenberg e trarão consigo necessariamente incertezas de valor 
mínimo determinadas por essas relações. 
 
QUESTÃO 4.9: Grosso modo, a extensão x de um pacote de onda como o da figura 4.1(b) está 
relacionada à faixa de números de onda k que são usados para construí-lo através de 
1x k  . Mostre que essa relação leva à relação de incerteza de Heisenberg quando se faz uso 
da relação de de Broglie, expressa pela equação 4.14. 
 
 
36 
 
CAPÍTULO 5 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO 
 
Para que a equação de Schrödinger possa prever as energias acessíveis à partícula é conveniente 
descrevê-la em uma forma em que a parte com dependência espacial fica separada da parte 
com dependência temporal. Se a energia potencial da partícula é apenas uma função da posição, 
V = V(x), vamos tentar obter uma função de onda que possa ser fatorada em uma parte espacial 
e outra temporal, isto é, ( , ) ( ) ( )x t x t  = . Com isso, a equação de Schrödinger é escrita 
como 
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x t V x x t i x t
m x t
     
 
− + =
 
 (5.1) 
que, com a atuação da derivada espacial na parte espacial e da derivada temporal na parte 
temporal, fica 
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
d d
t x V x x t i x t
m dx dt
     − + = . (5.2) 
Dividindo-se todos os termos pelo produto ( ) ( )x t  ficamos com o lado esquerdo como 
função apenas da variável espacial e o lado direito como função apenas da variável temporal: 
2 2
2
1 1
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
d d
x V x i t
m x dx t dt
 
 
− + = . (5.3) 
Se uma função que depende apenas da coordenada espacial é igual a outra função que depende 
apenas da coordenada temporal, isto é, se F(x) = G(t), ambas as funções não podem depender 
nem de x, nem de t, ou seja, têm que ser iguais a uma constante. Para a equação 5.3 vamos 
chamar intencionalmente essa constante de E. Assim, a parte temporal fica 
1
( )
( )
d
i t E
t dt


= , 
ou 
( ) ( )
d iE
t t
dt
 = − , (5.4) 
cuja solução é simplesmente 
/( ) ( 0) iEtt t e  −= = , (5.5) 
como pode ser facilmente verificado. 
Já a parte espacial fica 
37 
 
2 2
2
1
( ) ( )
2 ( )
d
x V x E
m x dx


− + = , 
ou 
2 2
2
( ) ( ) ( )
2
d
V x x E x
m dx
 
 
− + = 
 
, (5.6) 
onde no termo entre parêntesis reconhecemos o operador hamiltoniano dado pela equação 
4.28 do capítulo anterior, isto é, 
( ) ( )H x E x = . (5.7) 
Quando um operador atuando em uma função resulta em um número que multiplica a função, 
a função é chamada de autofunção desse operador, e o número é o autovalor desse operador, 
correspondente à sua autofunção. Vemos que a equação 5.7 representa justamente esse caso 
para o operador hamiltoniano, e a interpretação que é dada para os seus autovalores é que eles 
constituem as possíveis energias da partícula. 
 
QUESTÃO 5.1: Mostre que a função /( ) ipxx e = é autofunção do operador momento linear. 
Qual é o auto-valor correspondente? 
QUESTÃO 5.2: Mostre que a função /( ) ipxx e = é autofunção do operador hamiltoniano da 
partícula livre (V = 0). Qual é o auto-valor correspondente? 
 
Enquanto não mostramos como se calculam as autofunções do hamiltoniano para uma partícula 
que não está livre, por estar submetida a uma energia potencial, vamos discorrer sobre alguns 
aspectos gerais envolvendo tais funções. Antes de medirmos a energia da partícula, ela pode 
estar em uma superposição de estados descritos por autofunções correspondentes a diferentes 
energias, de forma análoga à de uma partícula em um experimento ondulatório, no qual parece 
haver uma superposição de “algo” passando por diferentes trajetórias e depois interferindo. 
Sendo Ψi(x) a autofunção do hamiltoniano correspondente à energia Ei, isto é, 
( ) ( )i i iH x E x = , essa superposição escreve-se, para um certo tempo ta, como 
1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )a a a i a i
i
x t c t x c t x c t x   = + + = . (5.8) 
Uma regra da maior importância: a probabilidade de uma medição nesse tempo ta resultar em 
uma das energias, por exemplo Ej, é dada por 
*( ) ( ) ( )j a j a j aP t c t c t= , (5.9) 
38 
 
e, logo após a medição, a superposição “colapsa”, ficando a função de onda dada pela 
autofunção correspondente à energia encontrada Ej: 
medição
i i j
i
c  = → 
Do mesmo jeito que a função de onda anterior à medição obedece à condição de normalização 
descrita pela equação 4.30 do capítulo anterior, as autofunções do hamiltoniano também 
devem, cada uma, obedecer a essa mesma condição, já que a partícula será encontrada em uma 
delas após a medição: 
* 1i idx 
+
−
= . (5.10) 
Mostraremos adiante que, como as energias são números reais e, portanto, o operador 
hamiltoniano pertence à categoria dos operadores “hemitianos”, as autofunções 
correspondentes a energias diferentes obedecem à “condição de ortogonalidade”: 
* 0i jdx 
+
−
= (se i jE E ). (5.11) 
 Assim, as autofunções do hamiltoniano são chamadas de “ortonormais”, isto é, obedecem à 
condição de normalização dada pela equação 5.10 e à condição de ortogonalidade, dada pela 
equação 5.11. Essas duas condições podem ser escritas em uma mesma expressão como 
*
,i j i jdx  
+
−
= , (5.12) 
onde o símbolo ,i j é chamado de “delta de Kronecker”, valendo 1 quando i = j e sendo nulo 
quando i j . 
 
QUESTÃO 5.3: Seja a função de onda  constituída por uma superposição de autofunções i 
do hamiltoniano, i i
i
c = . (a) Mostre que a condição de normalização de  implica em 
* 1i i
i
c c = e interprete o resultado. (b) Mostre que *i ic dx
+
−
=  . 
 
QUESTÃO 5.4: Seja a mesma função de onda i i
i
c = da questão anterior descrevendo o 
estado da partícula. Calcule o valor médio do operador hamiltoniano para esse estado e 
interprete o resultado. 
39 
 
 
 
Vamos supor que a função de onda está em um estado de superposição descrito pela equação 
5.8 e, para simplificar, consideraremos o tempo ta = 0, ficando 
1 1 2 2( ,0) (0) ( ) (0) ( ) ... (0) ( )i i
i
xc x c x c x   = + + = . (5.13) 
Como cada uma das autofunções do hamiltoniano tem a evolução temporal na forma da 
equação 5.5, em um tempo t > 0 a função de onda evolui de acordo com 
 1 2
// /
1 1 2 2( , ) (0) ( ) (0) ( ) ... (0) ( )
iiE tiE t iE t
i i
i
x t c e x c e x c e x  −− − = + + = , (5.14) 
ou seja, os coeficientes da expansão da função de onda em termos das autofunções do 
hamiltoniano ficam dados por 
/
( ) (0) i
iE t
i ic t c e
−
= . (5.15) 
Ora, a regra para cálculo da probabilidade de encontrar uma das energias, dada pela equação 
5.9, deve valer para qualquer tempo, pois as leis da física não podem depender do instante em 
que se resolveu começar a cronometrar o tempo. Assim, a probabilidade de encontrar a energia 
Ei em um tempo t > 0 é 
( )
*
/ /* *( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) (0)i i
iE t iE t
i i i i i i i iP t c t c t c e c e c c P
− −
= = = = , 
que mostra que essa probabilidade não muda com o tempo e, por isso, as autofunções do 
hamiltoniano são chamadas “estados estacionários”. 
O cálculo mais simples, porém muito importante, de autofunções e respectivos autovalores do 
hamiltoniano para uma partícula não-livre é o do chamado “poço quadrado infinito”, no qual a 
partícula está confinada por paredes impenetráveis em uma certa região, sendo que dentro 
dessa região a sua energia potencial é nula. O nome “infinito” deve-se ao fato, como 
examinaremos adiante no tratamento do “potencial degrau”, de uma barreira ser 
completamente impenetrável por uma partícula de energia finita quando a sua energia 
potencial for infinita. Vamos considerar o poço infinito da figura 5.1, em que a partícula está 
confinada na região 0 < x < L. 
40 
 
 
Figura 5.1. Poço quadrado infinito, de extensão L. 
 
Como as paredes do poço são completamente impenetráveis, não existe probabilidade alguma 
de encontrar a partícula na região anterior ou posterior ao poço. Assim, ( ) 0x = para 0x  e 
para x L . 
Dentro do poço a equação de Schrödinger independente do tempo escreve-se como 
 
2 2
2
( ) ( )
2
d
x E x
m dx
 − = , 
ou 
2
2 2
2
( ) ( )
d m
x E x
dx
 = − . (5.16) 
Para indicar que do lado direito da equação 5.16 temos um número negativo multiplicando Ψ(x), 
vamos escrevê-lo como –k2, sendo 
2
2
2mE
k = , (5.17) 
e a equação 5.16 torna-se 
2
2
2
( ) ( )
d
x k x
dx
 = − , (5.18) 
cuja solução geral é 
41 
 
( ) sen( ) cos( )x A kx B kx = + . (5.19) 
No capítulo anterior vimos que a função de onda deve ser necessariamente contínua, para evitar 
o aparecimento de uma densidade de corrente de probabilidade infinita. 
Sabendo que a função de onda é nula para 0x  , a continuidade da função de onda em x = 0 
implica em ( 0) 0x B = = = . Como também a função de onda é nula para x L , devemos 
ter, assim, ( ) sen( ) 0x L A kL = = = , o que implica em 
, 1, 2,3,...nk n n
L

= = (5.20) 
onde acrescentamos o índice “n” ao parâmetro k para mostrar que este está associado a um 
número inteiro n. Uma observação: n é inteiro, mas não pode ser nulo, pois para n = 0 teríamos 
k = 0 e, já sendo B = 0, a função de onda seria nula em qualquer posição, não havendo, 
consequentemente, partícula alguma. 
A equação 5.17 pode ser reescrita como 
2 2
2
k
E
m
= , (5.21) 
e assim, como o parâmetro k está relacionado a um número inteiro n pela equação 5.20, a 
energia também o está, ficando 
2 2 2
2
, 1,2,3,...
2
n
n
E n
mL

= = (5.22) 
Ou seja, uma partícula confinada tem a sua energia assumindo valores discretos e ficando, desse 
modo, quantizada. Além disso, o confinamento impede um estado fundamental de energia nula. 
É importante dizer que se simplesmente identificarmos o parâmetro k com o número de onda e 
usarmos a relação de de Broglie p k= (equação 4.14 do capítulo anterior) na expressão da 
energia cinética, 
2
2
p
m
, obtemos a expressão 5.21 para a energia da partícula, mas para 
chegarmos nos valores dados pela equação 5.22 é necessário o emprego da equação de 
Schrödinger. 
 
QUESTÃO 5.5: Mostre que uma estimativa da energia do estado fundamental de uma partícula 
confinada em um poço infinito pode ser obtida pela relação de incerteza de Heisenberg, 
x p   , usando-se p p  e x L  . 
 
42 
 
QUESTÃO 5.6: Mostre que se uma partícula está confinada em uma região inferior ao seu 
comprimento de onda Compton, dado por C
h
mc
 = , as suas possíveis energias tornam-se 
relativísticas. A energia de uma partícula é considerada relativística se ela não pode ser 
desprezada perante a sua energia de repouso, mc2. Isso mostra que o comprimento de onda 
Compton fornece o limite inferior para a escala de aplicação da mecânica quântica não-
relativística. 
 
QUESTÃO 5.7: Sendo as autofunções do hamiltoniano do poço infinito, de extensão L, dadas por 
sen( )n nA k x = , onde , 1, 2,3,...nk n n
L

= = : 
(a) obtenha o valor da constante A para que essas funções fiquem normalizadas; 
(b) verifique que as autofunções correspondentes a energias diferentes são, como já foi 
mencionado, ortogonais entre si, isto é, 
*( ) ( ) 0n mdx x x 
+
−
= para os números inteiros n e m, 
com n m . 
 
QUESTÃO 5.8: Resolva o problema de encontrar as autofunções do hamiltoniano e os 
correspondentes autovalores, isto é, as energias permitidas à partícula, para o chamado “poço 
infinito simétrico”, que se estende de 
2
L
x = − até 
2
L
x = + , e compare-os com os resultados 
anteriormente obtidos para o poço que se estende de x = 0 até x = L. Pode haver alguma 
diferença física entre os dois casos? 
 
Acabamos de constatar, pela questão 5.7, que autofunções do poço infinito, correspondentes a 
um espectro discreto de autovalores são ortonormais, isto é, obedecem à condição de 
ortonormalidade ditada pela equação 5.12. Mas como ficaria essa condição para as autofunções 
do momento linear, do tipo que apareceu nas questões 5.1 e 5.2, correspondentes a autovalores 
diferentes, se não existir restrição para esses autovalores de modo que eles possam constituir 
um espectro contínuo? Isto é, sendo 
/( ) ipxp x Ae = e 
/( ) iqxq x Ae = autofunções do 
operador 
d
p
i dx
= correspondentes aos autovalores p e q, como fica a condição 
* ( ) ( )p qdx x x 
+
−
 se p e q podem assumir quaisquer valores reais? Para respondermos a essa 
pergunta, devemos travar conhecimento com a função “delta de Dirac”. Existe uma categoria 
de funções, chamadas de “delta de Dirac” e representadas como δ(x), que possuem as seguintes 
propriedades: 
43 
 
(a) ( ) 0x a − = para x a , isto é, são nulas quando o seu argumento não é nulo; 
(b) ( ) 1dx x a
+
−
− = , logo, não são nulas em x = a, onde, na verdade, ocorre uma singularidade; 
(c) ( ) ( ) ( )dx f x x a f a
+
−
− = . 
QUESTÃO 5.9: Mostre que a função 
0
0 para e
( ) lim 1
para
2
x x
x
x
 

 

→
=  − 

= 
= −  


 
obedece às propriedades acima e é, portanto, uma função delta de Dirac. 
 
Da teoria das transformadas de Fourier sabe-se que 
( ) 2 ( )ik a bdk e a b 
+
−
−
= − . Logo, 
2 2 2* ( ) / ( )( ) ( ) 2 ( )i q p x i q p up qdx x x A dxe A du e A q p  
+ + +
− −
− − −
= = = −   . 
Se fizermos 
1
2
A

= , teremos 
 
* ( ) ( ) ( )p qdx x x q p  
+
−
= − , (5.23) 
uma expressão semelhante à da condição de ortonormalidade para autofunções de espectro 
discreto de autovalores, ditada pela equação 5.12, apenas fazendo a troca do “delta de 
Kronecker” pelo “delta de Dirac”. A expressão da equação 5.23 é, portanto, a condição de 
ortonormalidade para autofunções de espectro contínuo de autovalores. 
Como a equação de Schrödinger é de segunda ordem quanto à derivação espacial, para o 
tratamento das demais formas de energia potencial necessitamos, além de considerar que a 
função de onda deve ser contínua, examinar o que acontece com a sua derivada espacial 
primeira. 
Vamos considerar um ponto x e comparar