Buscar

calculoCientificoComMatlabEOctave Portugues

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 327 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 327 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 327 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

O meu co-autor e amigo Fausto Saleri faleceu
inesperadamente no dia 4 de Junho de 2007, com 41 anos.
Fausto foi um grande matemático e uma pessoa maravilhosa.
Se gostar deste livro, é ele que merece
o mais elevado reconhecimento (A.Q.)
Prime pagine 17-09-2007 15:18 Pagina 1
Alfio Quarteroni
Fausto Saleri
CÁLCULO CIENTÍFICO
com MATLAB e Octave
1 3
Prime pagine 24-07-2007 15:26 Pagina 3
ALFIO QUARTERONI
EPFL, Lausanne e
MOX, Politecnico di Milano
FAUSTO SALERI
MOX, Politecnico di Milano
As simulações numéricas reproduzidas na capa foram realizadas por
Davide Detomi e Nicola Parolini
Traduzido do italiano por:
Adélia Sequeira 
Departamento de Matemática 
Instituto Superior Técnico - Universidade Técnica de Lisboa
Tradução da obra italiana:
Introduzione al Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB
A. Quarteroni, F. Saleri 
© Springer-Verlag Italia, Milano 2006 
ISBN 978-88-740-0717-8 Springer Milan Berlin Heidelberg New York
Springer-Verlag Itália é membro da Springer Science+Business Media 
springer.com 
© Springer-Verlag Italia, Milano 2007 
Esta obra está protegida pela lei dos Direitos de Autor. Todos os direitos estão reservados,
em particular os que se relacionam com a reprodução e a representação, tradução, reim-
pressão, exposição, reprodução de ilustrações e tabelas, transmissão sonora ou visual,
reprodução em microfilme ou conservação em bases de dados, e reprodução parcial ou
total de qualquer tipo (impressa ou electrónica). A lei em vigor sobre os Direitos de Autor
só em certos casos é que permite a reprodução parcial ou total desta obra, com autorização
do Editor e, em princípio, com pagamento de direitos. A violação das normas, nomeada-
mente a reprodução, contrafacção ou conservação numa base de dados sob qualquer
forma, está sujeita às sanções previstas na lei.
O uso nesta obra de designações genéricas ou comerciais, de marcas registadas, etc.,
mesmo sem especificação particular, não significa que tais designações ou marcas estejam
isentas da legislação correspondente e se possam usar livremente.
Versão final em camera-ready fornecida pelo tradutor
Projecto gráfico da capa: Simona Colombo (Milano)
Impresso em Itália: Signum Srl, Bollate (MI)
Springer-Verlag Italia Srl, Via Decembrio 28, 20137 Milano
Prime pagine 17-09-2007 15:18 Pagina 4
��������
���� ����	 
 ��
 ����	����	 
	 ������	 ��������	� � ��� 	�������	 �	��
����� �� 
�������
� ����	� �
�	�	� ���
���	� �
�
 ���	���� �	 �	����
�
�	� ����	� ��	����
� �
�������	� ��� ��	 �	��� ��� ��
�
�	� �� �	��
�
�� �������� ��	 
�	��
�
� ����� �� �������
� �	�	 	 ������	 �� !��	�
	� �� ����"�
�� �� ���� �� �	�����
�# 
 ���	����	 �� ������
� ����
���#
 
��	$��
��	 �� ���� �� �	� �	���%��	� � 
 ���	����	 
��	$��
�
 ��
���
� �� ���������
��� &	 �
�����	 '# �	�	 ���(����	# �$� ����� 
� ���
"�
� 
�	��
�
� ���	� �	����
�	��� ��
��	 
��
!��
� � 	���
� �	�
�)���	� ��
�� � �	����$	�# ����	��� � �
���!���
* �� �� �	��
� ���
 
�������
��	 �
�� �	�����
 � 
��
����# 
�	��
��
�� 	� 
�������� �� ��	"�
�
��	 ������
� �
� ���
��� +������ ���
�� �	��
 ��� ���
�� 
 ��
 ������������
��	 �� ��
 �
��� �� ����
��� ��� ������ �� �
������
� ����	� �	� ���� ������	� ���
���	� � 
����������	 "�
����
����� �	� ,&- ������� ��	�
� �
���
�� &���� ����	#
��	 ����	��!��	� �� �	��
 "�
��
� 	� �������
�� �	�
��	� � ������� ��
����
� ���"�
"��� �� ��	"�
�
��	# 	 ��� ��������� ���������
� �	�	� 	�
�"	����	� �	������
�	� � ������
� �
 ������
 ��	�����
��� ��%���
� �	�	
 ���
�����
��# 
 �������	 � 
 �	����$��
��� .�������� 
���
 
 ���	����	
�� ������	� ��	����
� 
��
�
� �� �$������	� � �$����	�# ��������������
��"
�	� 
 
����
� �� �	�����
��
�� �	�	 	 ����	 �����!
��� ����
� ��!�� 
 �$������	 /�	�
��	 ��
������01 ����� �	���$�	# ������ ���� ��� ��������	 �	�	 ��
�
������� ��� 
 �	��� 
	� ��	"�
�
� �� ������ � ���
��� 2�!���
�� ���	��	 �
������
� ���
��	 
���"��
� 
 �	��
�������
�� �	� �%��"	�
�
� ��
� ���"�
"��� �� ��	"�
�
��	� &	� �	��	� �
�	� �� ��� �
� ��	
�	� �	������# 
�������
��� ��
 �	�
 �$����
���
 �	 ��
� �
 �����	 �	�����
�	�������
1
������ � ��	 �	
�	 
�
���	�	 �� ����	����
�� ����� �� �
��� �	
�
�	�� �	����� �� � !"�� ��#$ �� %&�'("�!(!���� )	*$ �� %&�'("�!(!�� 
+� �
�,-���
*�	��
��� ������	� ����	�	� "����	� �
�
 �	��
� 
 ������
 �
��
"�
������ � �	�
��	 �������� 3	� ���
��4 
 �	�	�
�	 �
 �
�"��#
	 �
�	 �
 ���5
 	��� �� ����	��! ���
 �������
 ��!� � ����	�	 �����
�
�
 �����
� 
 �������
 �� �$������	�# ����
��	 ��� 	 ����	�	 
�����!
�	 
 �� �� �5
�
� 
 
�����	 �	 ����	� �
�
 �� �	��	��
����	
������	 	� ������������� �� �� 
�"	����	 	� ��	��������	� *� �%����
�
�
�������
� �� ������
� �����(���
 ��	 �	��
� ���
 �
�$
� 2��
������#
	 ����	�	 �����
 �� ��
��	 ��������	 	� �	�����	� � �	����� �� ���
�� 
�
�
� �� �$�	��
&	 �� �� �
�
 �
�����	 ���	���
��� ��
 �����	 ��������
 ��� 
����
����
 
�����	� ��	 
�	��
�	� � 
� �����6���
� �����	"����
� ��� ����
����� 
	 ����	� 
��	����
� 	� �	�5�������	� 
�������	��
2������������� �
!��� �����6���
 
	 ����	 78��9:; ��� ������	��� 
�� ����� �
�� 
�
��
�	 �����	�
� ����� �� 
��� 
�	��
�
� � 	��� ��	
���	����
�	� ������
�	� ��%���	�� <
�
 ��
 ��������	 �
�� �	�����
 ��
������ �������	� 7==9>;� ?	�	� 	� ��	"�
�
� �������	� ����� ����	
�	��� ��� �$��
��	� �	 ��"����� �������	 �
 @��1
�������������	
�
� ����	� ��	 ��������
 �� ��
������ ��
���������	�# �	� �$�����	 ��
�� ����	 �������
� �� ������	� �	����	# �	 �������	 �
�����	 ���	��
��
�� 	� �������
�� ������
�	� �� ������	 � ,�	�����
 ��� ��	 ��
�	� �$����
���
����� �	 ��$�	� �� 
�����	� ���	� �������
���# ������������ ���
�������
 ������
# 
����
�
���� �	� 	 ����	�	 �
8�����	� ���$
� �$�����	 	 �	��	 
"�
��������	 
 2�
�����
 A	�
���
�
 �����"���.����
 ���
 ��
 �	�
�	�
��	 
��"���� � �������� 
	 �	�"	
����� ��	����	# 
 <
	�
 �
���� �	� �	� ��� ��	�	��	 ����	� ��	����
�#
 �5����	�5� <���B5	���# C	5� D� �
�	� � +
��� A
���
� �	� �	�
����� 
���
�	 �
 �����!
��	 �� ���
��# � 
	 
�	�	 ��
�����	 �	 ��	����	
<	����	� �
 E�	�� <	�F���5����� 2
�
�
�� �� G
��
���� <	� ��# ����
���	� �$������ 	 �	��	 ���	�5�������	 
 *�
��
 �������
 ���
 ��
����	
����
�	�
 � ������
 ����� ����	# 
���� �	�	 ���
� ��
� �����	�
� � ����
�������� ��"��� ���
G
��
��� � H��
�	# C��5	 �� I99: *��	 8�
����	��# 2
���	 �
����
	
����
� � ��� ��� 	� 
��� �
����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '
'�' &)���	� ��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '
'�'�' �	�	 �� ���������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I
'�'�I �	�	 �
����
� �	� 	� �)���	� �� ���"��
 J���
��� K
'�I &)���	� �	����$	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L
'�M H
���!�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � N
'�M�' O���	��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'M
'�K 2��� �� ��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '>
'�K�' �� !��	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'L
'�K�I <	���%��	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P
'�K�M .���"�
��	 � �����
��	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9
'�> ���
� ��	 
 �% 5��
�	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II
'�>�' 2
�
��	 �� ����	� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � I>
'�L �� 
�������� H*?G*A � ���
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:
'�: * ���"�
"�� H*?G*A� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IN
'�:�' .������ �� �� H*?G*A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9
'�:�I <�	"�
�
��	 �� H*?G*A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M'
'�:�M �$����	� �� ��������
� ����� 
� ���"�
"���
������ � ���
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ML
'�P � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ML
'�N �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M:
� �������	 ��� �������	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MN
I�' � �
�	�	 �
 ��������	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K'
I�I � �
�	�	 �� &�@�	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K>
I�I�' �	�	 ������
� 
� ����
� �� �� &�@�	� � � � � � � � � � � K:
I�I�I � �
�	�	 �� &�@�	� �
�
 ������
� �� ���
� ��
��	 ����
��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KN
I�M .���
� �� �� �	��	 �$	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >I
I�M�' �	�	 ������
� 
� ����
� �� �� �	��	 �$	 � � � � � � � � >L
+��� .�����
I�K *�����
��	 ���	 �
�	�	 �� *��Q�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >L
I�> <	���%��	� 
�"
����	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L'
I�>�' *�"	����	 �� =R���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LI
I�>�I � �
�	�	 �� &�@�	��=R���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � LK
I�L � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LL
I�: �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LP
� �
��������� �� ������	 � �� ����	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :'
M�' .�����	�
��	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :K
M�'�' .�����	�
��	 �	���	��
� �� G
"�
�"� � � � � � � � � � � � � :>
M�'�I .�����	�
��	 �� �5��F�5�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P9
M�'�M .�����	�
��	 ���"	�	�
����
 � 22? � � � � � � � � � � � � � PI
M�I .�����	�
��	 �����	�
������ ����
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P:
M�M *��	$��
��	 �	� ���� �� 
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PP
M�K � �
�	�	 �	� �����	� ��
��
�	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NI
M�> � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � N:
M�L �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NN
� ��������� � ����
����� ��������	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9'
K�' *��	$��
��	 �� �����
�
� �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � '9M
K�I .���"�
��	 ���
���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9>
K�I�' 2%����
 �	 �	��	 �
��	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9L
K�I�I 2%����
 �	 ��
�
!�	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9P
K�I�M 2%����
 �� �����	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9N
K�M 8�
��
���
� �� ���	 ������	�
��	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '''
K�K 2%����
 �� �����	� 
�
��
���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''>
K�> � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''N
K�L �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'I9
 !�	����	 �������	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'IM
>�' � �
�	�	 �� �
��	��!
��	 G- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'I:
>�I * �
����
 �	 �
��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'MK
>�M 8�
� 
 
 �������	 �
 �
��	��!
��	 G-S � � � � � � � � � � � � � � � � � 'ML
>�K �	�	 ���	���� �� ������
 �����
"	�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K9
>�> ������
� �	�����������
�	�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K'
>�L � ��� �� ���	��� 
���� �	 �	�
��	 \ � � � � � � � � � � � � � � � � � 'KM
>�: H
�	�	� ����
���	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K>
>�:�' �	�	 �	������� �� �
�	�	 ����
���	 � � � � � � � � � � � � 'KL
>�P H
�	�	� �� T��5
���	� � �	 "�
������ � � � � � � � � � � � � � � � � '>'
>�N � �
�	�	 �	 "�
������ �	���"
�	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '>M
>�'9 8�
��	 
 ��� �� ������ �
�
� �� �
�	�	 ����
���	S � � � � '>L
>�'' <
�
 �������1 �
�	�	 ������	 	� ����
���	S � � � � � � � � � � � � � '>N
>�'I � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'LK
>�'M �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'L>
.����� �/
" #�����	 
�$
���	 � �������	 
�$
���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'LN
L�' � �
�	�	 �
 �	�6���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':M
L�'�' *������ �
 �	����"6���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':>
L�I ,����
��!
��	 �	 �
�	�	 �
 �	�6���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � ':L
L�M �	�	 �
����
� 
 ��
���
��	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':P
L�K ������	 �� �	�	� 	� �
�	��� ��%���	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P'
L�> � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P>
L�L �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PL
% �������	 �����������	 �����&���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PN
:�' � ��	����
 �� �
��5F � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NI
:�I H
�	�	� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NM
:�I�' *������ �
 �	����"6���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NL
:�M � �
�	�	 �� ��
�Q�&��	��	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NN
:�K U��	����
�����
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9'
:�> ���
�����
�� �� ������
�	� ������
�	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9M
:�>�' T�"��	 �� ���
�����
�� 
��	���
 � � � � � � � � � � � � � � � � I9L
:�>�I * ���
�����
�� 
��	���
 �	���	�
 
� �������
� �� � I9:
:�L H
�	�	� �� 	���� ����
�
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I'K
:�: H
�	�	� �� �������	��	������	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I'P
:�P ������
� �� ���
� �� ���������
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II'
:�N *�"��� �$����	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II:
:�N�' � �6����	 ���
���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II:
:�N�I � ��	����
 �	� ��6� �	��	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM'
:�N�M *�"��� ��	����
� ��"��	� 3
�
� 4 � � � � � � � � � � � � � � � � IMI
:�'9 � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM:
:�'' �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM:
' (�����	 ��������	 
��� 
��)����	 �� ������	
�������	 � �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IK'
P�' *��	$��
��	 �� ��	����
� �� �
�	��� �
 ��	�����
 � � � � � � IKK
P�'�' *��	$��
��	 �	� ��������
� ����
� � � � � � � � � � � � � � IK>
P�'�I *��	$��
��	 �	� �������	� ����	� � � � � � � � � � � � � � � IK:
P�'�M *��	$��
��	 �	� ��������
� ����
� �� ��	����
�
���������	�
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>9
P�'�K �	�����6���
 � �	����"6���
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>>
P�I *��	$��
��	 �	� ��������
� ����
� �
 ���
��	 ��
�	� � � I>:
P�M * ���
��	 �
� 	��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILI
P�M�' *��	$��
��	 �	� ��������
� ����
� � � � � � � � � � � � � � ILK
P�K � ��� ��	 �	� �	� ���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILP
P�> �$������	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILP
/ .�����
* !������	 ��	 �����+���	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:'
N�' �
�����	 ' � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:'
N�I �
�����	 I � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:K
N�M �
�����	 M � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IP9
N�K �
�����	 K � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IPK
N�> �
�����	 > � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IPP
N�L �
�����	 L � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INM
N�: �
�����	 : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INL
N�P �
�����	 P � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9>
,����-����	 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9N
.����� ����		��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M'M
�����
�
�
I�' ���������� ������ �� �	
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KM
I�I 	�
��	� ������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KP
I�M 	�
��	���� ������ �� ������ ���� 
	
����
 ��� �	�����
 � � >9
I�K 
����	� ������ �� �	���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >N
I�> ���	��� �����	��� �� �	�	
�� 
	����	�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LM
I�L 	�
��	���	��� ������ �� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � L>
M�' ���������	�� 
��	�� ���	�� �� 	��������
�� � � � � � � � � � � � � � � � � N9
K�' ������	��� ������� �� ��������� �����
�� �� ����� ���	� '9:
K�I ������	�� ������� �� ��������� �����
�� �� !	��
�� � � � � ''9
K�M ����
���� ������� �� !	��
�� �������	�� � � � � � � � � � � � � � � � ''P
>�' ���
���� ������	"�
�� �� #��
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'MI
>�I ��������� ������ 	�����	�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'KP
L�' �����
��� ������ �� ���$��	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':K
L�I �	������� ������ �� ���$��	� 	����
� ��� ����
��
�� � � � � � � � '::
L�M ������������� �%�����
 �� #��
&���	� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':N
L�K ���
���� ������ ��
 	����
'�
 () � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PM
:�' ������� ������ �� *���� ������
	�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NK
:�I ������� ������ �� *���� �����
	�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'N>
:�M ��
	�	��� ������ �� +������	���
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I99
:�K �������� ������ �� ����	
���������
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � II9
:�> �	������ ��� 	����
�� ��
 ������
 �� *���� ������
	��
,���
�����-. �� *���� �����
	�� ,���
�����-. ��
+������	���
�� ,�
�
�����- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II9
:�L 	�
�
��� ������ �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IIL
:�: ���	�� ����� �� ���
� ���� � �������� �� �$����� �
���	�� � � IIN
:�P ���������� 
������ ������ ���� � 
	
���� 
	���	/����
��
 ��$
 �����
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IMI
P�' ���� ����0	��
�� �� �� �������� �� ������
 �� ������	��
��	�	���
	���� ���� ������ ��
 �	�����
�
 /�	��
 � � � � � � � � � � IKL
/�� �
�
	�	�
P�I ������	��� ����0	��
�� �� �������� �� 1�	
�� ��� ����
�� 2	�	�&��� ���� ������ ��
 �	�����
�
 /�	��
 ��� �	���
�����
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>M
P�M ��
�����
� ������ ���� � � ��
�� �� ����� ��� ���%�	�
 ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IL9
P�K 	�
�
��
��� ������ �� ������� ���� � � ��
�� ��
����
 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IL>
N�' ���� ������ �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INN
N�I ���� ������ �� )�����3���� �0��%�	�� �� ����� 4 � � � � � � � � � M99
N�M 	���
		� ����0	��
�� �� �� �������� �� ������
 ��
������	�� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9P
�
� ��� 
�� �� ���� ��
��
�
&���� ����	# ��
���	� ������
���
����� �	� �� �� �
�������
 �������
�
��� 	 ����	� �� ������ �
���# �
� ��� �	���� ��	 ���	��
� �� �����
�	�
���� �
�����	 ��� �	�	 	�������	 
�"��
� ����� �� � 
 ����	����	 ��
�	�	� �	�����	� �	 �	����	 �
 *������ &��
���
� �	���
���	� �	� �$�
��	�
� 	 ��� ��"����
�	 � ������
�� �	� 
 
���
 �� ������ 3�����$
���	�
�	�F4# �� 
������� ����"�
�	 �� ��	"�
�
��	 � ����
��!
��	 ��
������	 ��������	� -�
���	� �
��
� ,&- ���
�� 3
�����
�
�����# ���
�
��4 ��� 
 �
 ��
 ��
�� �	�
���
�� �	��
����� �	� 	 ������
�������
&
� ���� �� '�L � '�: �
���	� ��
 ����	����	 
	������ � 
	 ���
��#
���
� ��������� �
�
 	 ��� �� �������� ����� ����	� 2
���	� �"�
������
�����6���
 V� �������
�� ��������
� ����� 	� �	�� ��	"�
�
� � �����
���	�
	� ����	��� ��������
�	� 	� �
��
�� 7==9>; � 7�
�9I;# �
�
 ��
 ��������	
�	�����
 �
� ���"�
"��� ������ � ���
��# ���������
������
���
�� 
 ��
 ������������
��	 �
 �
��� �� ������ ��� ������ 
"�
��� �
�	��
 �	� ���� ������	� ���
���	� � ��� 
 ����������	 "�
����
�
����� �	� 
 G�����
 <)����
 ,��
� ,&-�
*	 �	�"	 �	 ����	# ��
���	� �������������� 
 �$������	 /�	�
��	
�� ������01 ����� �	���$�	# ������ ������ ��� ��������	 �	�	 
�
������� �	��� 
 
��	� 	� ��	"�
�
������� � ���
���
<�	�����	� 
���"��
� 
 �����!
��	 �	� �	��	� �%��"	� � ��	"�
�
�
���	������ � ���
��� &	� �	��	� �
�	� �� ��� ���	 ��	 �	� �	������#
����	��!��	� �� ����� �	�������	 �	 �� �
 �����	 �	�����	�������
&���� �
�����	# 
�������
�	� �� �����	 �	� �� �����
� �	� ����	� ��
������	# W�"���
 G���
� � ,�	�����
# ���	����
��	�
� �	� ����
 V ��
����
��	 �	 ������	 ��������	�
��� ������	 ��
�	
����
��	 ��� 	 �	�����	 R �	� �)���	� ��
�� 
 ��� �	�5����	# 	 �	�	
�	�	 	� �	����
�	��� 	� �
�����
� 
 �
���! ���	� �	�5����	� +
�	
� 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
��� 
� ������
� �6� ������	� �����
�	�# �% �� �	�� ���������
� ��
����	�����	 F �� �������	 ����
 �� R� �� �)���	� ����� ����	�����	
����"�
���� �	� ������
 �� ������� ��������� <	� 	���	 �
�	# �	�	 ���
���	� �
 �����	 '�'�I# 
� ��	�����
��� ��� �
�
�����!
� F ��	 ����������
�
� �� R� -� �)���	 ��
� x 
 "��
������ �����
�	 ���
 ������
# �
��	
	��"�� 
 �� �	�	 �)���	 3������ �� ������� ��������4# ��� �� ����"�
�	� fl(x)# � ��� ��	 �	������ ������
��
����� �	� 	 �)���	 	��"��
� x�
�/�/� 0��� 	� ��
��	�����
<
�
 �	�5���� 
� ��������
� ����� R � F# ����	� �
!�� 
�"��
� �$����6��
��
� �	� 	 ������ ��� ������
� 
 �	��
 �	�	 	 �	����
�	� 3�	�
�$����	# �� <�4 ��
�
 	� �)���	� ��
��� &	����� ��� 	 ��	 �� ����
��� 	� ���
��# �� ��! �� 	���
 ���"�
"��# 
 
���
� ��
 ������	
�� �	�����6���
� �� ������
�	� �	� �	��	� ������	� �������� �������
��
����� �	 �����	�
����	 ������	 �	 �	����
�	� �# �� ���	� "�
�# �
���"�
"�� �� ��	"�
�
��	� �	��������	� 	 �)���	 �
��	�
�x = 1/7#
���
 ���������
��	 �����
� 
 0.142857� ?�
�
��� �� ��
 ���������
��	
������
# ��
 ��! ��� ��� ��
 ������
�� �� 
�"
����	� �����
��� <
�
	���� 
 ��
 ���������
��	 �	 �	����
�	� ����	��!��	� 	 ��	������ �	�
���	�� �	 ������ 3���������
�	 ���	 ����	�	 �4 � 	����	��
� ���
��� �
	
���
��� 
 �� �)���	 
���
� �	� ��
��	 
�"
����	� �����
��# �� ��� 	
)����	 
 ��������� �	 ��
��	 ��"��	 �	 �)���	 	��"��
��
�� �	������
��	� 
"	�
 1/3 	����	� 0.3333 �# ����
 ��!# 	 ��
��	
�"
����	 �����
� 
 �$
��	� ���� �	��	��
����	 ������� 
	 �
��	 ��
	� �)���	� ��
�� ����� �����������
 �	 �	����
�	�� .��	 ��"����
# ��
�������	 ��"
�# ��� �% �� 	��
� �� �)���	 �$	 �� �
�
� �����
�� �
���# 
�
� ����	# 
 )����
 �����
� �	��� �� ���������	 �� ��
 ����
��
������ ��� 
 �������
 �����
� ������!
�
 �	� ������	� 	� �"�
� 
 >�
* �������
 	�����
��	 �	������ �� �	�	�
� 
 ������	 �� �� �	��� 	�
��	 ���������
� 	� �)���	� ��
�� 
���
� �	� ��
��	 
�"
����	� �����
�
��� �	� �����	# 
 ���������
��	 ������
 �	 �)���	 �����!
 'L �����
��#
� 	 ��� ���	� �	� 
���
� �� �	� ����	� �	��
�	� �� �
��
 �� �������
� ����	 �)���	 �	�� ���������
���� �	� ���������� �$����� �� ������
����	 �
 ���	�5
 �	 �	��
�	� <	� �$����	# �
�
 	 �)���	 1/7# 
�"���
�������
 �	������� �� �
��
 ��	1������
format long �� 0.14285714285714,
format short e 0 1.4286e− 01,
format long e 0 1.428571428571428e− 01,
format short g 0 0.14286,
format long g 0 0.142857142857143.
 � �4��
�� 
�	�� 5
����	� �	��
�	� ��	 �
�� �	������� �	 ��� 	���	�# �	� 
 ���������
�
��	 ������
 �	� �)���	� �	 �	����
�	�� &
 ����
��# �� "��
�# ��
�	����
�	� "�
��
 �� �)���	 ��
� �
 ��"����� �
����
x = (−1)s · (0.a1a2 . . . at) · βe = (−1)s ·m · βe−t, a1 �= 0 3'�'4
�� ��� s 
 9 	� '# β 3�� ������	 �	�����	 �
�	� 	� �"�
� 
 I4 
 
 	�
�
�	��
�
 ���	 �	����
�	� ��������	 �� ��� ���
�	� 
 ��
�
�5
�# m 
�� ������	 �5
�
�	 ����
�# ���	 �	��������	 t 
 	 �)���	 ��$��	
�� 
�"
����	� 
��
!��
�	� ai 3�	� 0 ≤ ai ≤ β − 14# � e �� �)���	
������	 �5
�
�	 ��������� � �	��
�	 ��
� � 
 	 ��� �
�� �� 
��	$��
����
 ���������
��	# � � ����"�
 	 �$�	����X 	� ���� ��"��	�# ��������	�
�	 ���
�# ����
�
���� V ������
 �	 �
�
���� �� �� �)���	� �
 �	��
 3'�'4
����"�
���� �	� �)���	� �� ���"��
 J���
���# �	���� 
 �	����	 �
���"��
 ��	 
 �$
� �� ��"��	� a1a2 . . . ap 3�	� p ≤ t4 ��	 ��������������
�5
�
�	� 	� p �������	� 
�"
����	� ��"����
���	� �� x�
* �	�����	 a1 �= 0 "
�
��� ��� �� �)���	 ��	 �	�� ��� �)�����
�
���������
� ��� <	� �$����	# ��� ���
 ��������	 	 �)���	 1/10 �	����
��	 �% ��� ���������
�	 3�	 ������
 �����
�4 �	� 0.1 · 100# �
� �
��
�
�	� 0.01 · 101# ����
� �	�����	 F 
 
���� �	�����
����� �
�
�����!
�	 ���
 �
�� β# 	
�)���	 �� 
�"
����	� ��"����
���	� t � 	 ������
�	 (L,U) 3�	� L < 0
� U > 04 �� �
��
��	 �	 ������ e# � ����"�
��� �	� F(β, t, L, U)� <	�
�$����	# �� ������ ���	� F = F(2, 53,−1021, 1024) 3�	� �����	#
53 
�"
����	� ��"����
���	� �
 �
�� I �	�����	���� 
	� '> 
�"
����	�
��"����
���	� �� ������ �
 �
�� '9 �	� 	 ������ ��
�4�
2���!�����# 	 ���� �� ����������������� �� "��
 ������
��������
������ ��� �� �)���	 ��
� x �= 0 
 ����������	 ���	 ��� ���������
���
fl(x) �� F# 
 ������	# ��
 ��! ���
|x− fl(x)|
|x| ≤
1
2
�M 3'�I4
	��� �M = β1−t 
 
 ����(���
 ����� ' � 	 �)���	 �
�� ��%$��	 ��
���"��
 J���
��� �
�	� ��� '� &	����� ��� �M ������� �� β � t� <	�
�$����	# �������� �M �	�� 	������� �	� 	 �	�
��	 ���# � ������ ���
�M = 2−52 � 2.22 · 10−16� *����
����� ��� �� 3'�I4 
 �����
�	 	 ����
�����
�� �	��� x# 	 ��� ��� ��"��
����� �
�� ��"����
�	 �	 ��� 	 ����
�	
����� |x − fl(x)|� &
 ����
��# ���� )����	# �	���
��
����� 
	 ���	
���
���	# ��	 ��� �� �	��
 
 	���� �� "�
���!
 �� x�
� �)���	 9 ��	 �������� 
 F# ��
 ��! ��� ����� �
�	 ����
�	� a1 = 0
�� 3'�'41 �	� ���
 �
!�	 
 ��
�
�	 ���
�
�
������ <	� 	���	 �
�	# L � U
����	 ����	�# ��	 
 �	������ ���������
� �)���	� ���	 �
�	� 
��	���	 ���
� 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
�����
��
����� "�
��� 	� 
�����
��
����� ������	� H
�� ������
�����#
	 ���	� � 	 �
�	� �)���	 ��
� �	�����	 �� F ��	 �
�	� ���������
�����
�	�
xmin = βL−1, xmax = βU (1− β−t).
�� ������ ����� �
�	��� �	������ 	���� 
��
�
� �	� �	�
��	�
������
 � �������# ��� �	���!�� 
������
�������
xmin = 2.225073858507201 · 10−308,
xmax = 1.7976931348623158 · 10+308.
-� �)���	 �	�����	 ���	� ��� xmin ��	��! ��
 ����
"�� �� ���	
�5
�
�
 �������� � 
 ��
�
�	 �� �� �	�	 ������
� 	� �	�	 �� �	���
���	 3���# �	� �$����	# 78��9:;# �
�����	 I4� -� �)���	 �	�����	 �
�	�
��� xmax ��	��! ��
 ����
"�� �� ���	 �5
�
�
 ������� � 
��
!��
�
�� �
 �
������ �
� 3��� 
 
 ���������
��	 �� +∞ �	 �	����
�	�4��
�
�� �������	� �� F ��	 �
�� ����	� ��%$��	 �� xmin# � ���	� ����	�
��
��	 �� 
��	$��
� �� xmax� �	� �����	# 	 �)���	 �� F �
�� ��%$��	
�� xmax 3V ��
 �������
4 � 	 �
�� ��%$��	 �� xmin 3V ��
 ������
4 ��	#
���������
�����
x−max = 1.7976931348623157 · 10+308,
x+min = 2.225073858507202 · 10−308.
?����� ����	 x+min−xmin � 10−323# ����
��	 ��� xmax−x−max � 10292
3Y4� *���
� ����	# 
 ����(���
 ���
���
 
 ������
 �� 
��	� 	� �
�	�# �	�	
�� ����! �� 3'�I4�
�/�/� 0��� �������� ��� �	 �1����	 �� �+�
��� 2�������
+
�	 ��� F 
 �� ����	�����	 ��%���	 �� R# 
� 	���
� �� 
�"
����
�
�������
��� �	� �)���	� �� ���"��
 J���
��� ��	 "	!
� �� �	�
� 
�
��	�����
��� �
� 	���
� �� 
���	"
� �� R� �	�����
�����# 
 �	���
�
�����
�� ������
��� �
�
 
 
����	 3���	 
 fl(x + y) = fl(y + x)4 � �
�
 ���������
��	 3fl(xy) = fl(yx)4# �
� 	���
� ��	�����
��� �
�� �	�	
 
��	��
���
 � 
 �����������
 ��	 �� ������
�� *�
� ����	# 	 9 �� ��	
 )���	� �	� �����	# 
��	����	� V �
������ � 	 �
�	� '# � �$������	� 
�
��"������ ������� ��1
� � � �� ���� ����� ��� �� �� ������ ���
* �
������ � ��������� �	� �	�� �� �
�
 �
��	 ����� ��� 
 �	�
 �� � � �
���
 ��������� 3��4 �� �� �� �!
����	� 
� ����
� 	���
� �� �	� �)���	�
��
��# ���� ��	"�
�
 ����
 ������
��
# ����
��	 ��� �	 �	��	 �
�	# ����
���
 
�%� �� �)���	 ����	 �� ����
� ��# 	�����	��� 	 ��"����� �
�	�
�
�
 �1 ����������= �M/2� <	��
��	# �$���� ���	 ���	� �� �)���	 �
 � �4��
�� 
�	�� &
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5 x 10
−14
������ ���� 6��3�
�	����� ����#	�7
�� �	 ,��82� 9 �5: ��;��� 	 �
�� ��
�	���#	�����
��������� �� 9 �
� ��� ������ .��	 
 �	������ �	���� F 
 �	��������	 �	�
�)���	� ��	�
�	�X ��
��	 �� �	�
� �	�� �)���	� � � � �	� �<� � �
������	� 
 �M # ������
 ������ ��� �"�
� 
 �� �� ������# ������� 
	 ���	� �)���	 �� F �
�	� �	 ��� �� *���� 
 �	�
 ��� �� 	��"�� 
 �#
�
�
 �	�	 � ! ����� �
* 
��	��
�����
�� �������� ������ ��� 	�	��� ��
 ����
��	 �� �����
��� 	� �� ��������� �	��������	�# �	� �$����	# �������"�## ��
�����"�# � ����������"�## � ��������	� 
 �	�
 �	� �	�� ��	����	�
����������� ���
����
a+ (b+ c) = 1.0990e+ 308, (a + b) + c = Inf.
?�
�
��� �� �� �$����	 �
������
� �	 ��� 	�	��� ��
��	 �� �	�
�
�	�� �)���	� �	� ���
�� 	�	��	� �
� ����	 ��%$��	� �� �
�	� 
��	���	�
&���� �
�	 	 ������
�	 �	�� ��� �
��
��� ��������	 � 
 ����
��	 ����"�
�
�� �	� �����# 	� ������������� �� �����
��
 
��
����
��
� <	� �$����	#
�
������	� ((1 + x)− 1)/x 3	 ������
�	 %���	 
 ' �
�
 �	�	 x �= 041
� � � �
� ���� ���� �������
��� � �
��	�
���� ������
�	 
 �
��
��� ��������	# �	� �� ���	 ���
���	 ������	� 
''ZY
����	 �
�	 �� �
����
����	 ���
���	 
�	����� ��
��	 �� �
����
 	
�
�	� �
 �����	
f(x) = x7− 7x6 + 21x5 − 35x4 + 35x3 − 21x2 + 7x− 1 3'�M4
�� K9' �	��	� ��������
���� �� 
�����
� �� [1 − 2 · 10−8, 1 + 2 · 10−8]�
�����	� 	 "����	 �
%���	 ���������
�	 �
 2�"��
 '�' 3	 �	��	��
����	
��
� 
 	 �� (x− 1)7# ��� 
 �������
������ �	���
��� � ��%$��	 �
 �����	
���
 ���
 ������
 ��!��5
��
 �� x = 14� &
 �����	 '�K ����	��!����	�
	� �	�
��	� �� ������ ��� ��������
� �	������� ���� "����	�
" 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
2��
������# ��������
 	�����
� ��� �� F ��	 �$����� �	��
� ��������
���
�
� �
�� �	�	 0/0 	�∞/∞� ��
� ��	��!�� 	 ��� �� �5
�
 �� ���
� ���	�� 3$�$ �� ������ 	� �� ���
��4# 
	 ��
� ��	 �� 
����
� 
�$�$
��"�
� ���
�� �� ������	�
	
���
���� ��� < ;�
�	�� 1�� �� �
�� �� 	
�����	����� �2� 
�
	#�����
3�1����� �	�� 1�	��� 
�3������ �� 	#
�
����� #��
�� � ���3#�*��� 3���� ��
�,����� �	�	��
7=���� ������� ���	
 ���� �*��3#�� ���-;���$ 	 �*3#��2� �� �>���#
�
�	��� 	 � �� ?���� �� @@"� 
�
	�	 3�
 �� �
� �� ������� �� ���3��	��
�� A�
��B � ,
	�	��� �	 ����2� �� �>���# 	��
��	�� �	�
��� ��
	��� 	 C��
	
�� C�#,� �� @@ � ��;��� 	 �� �
� �� 	
�����	����� �� �-#��#� �	 ��	
�
	D���7
�	�
E� �*��3#� ��� �����1�F���	� ����� �	�	��
7=�	� 9�	�� ����� 	�����
���	
	�-;���: � �	�� 3�#	 ������2�
z2 = 2, zn+1 = 2
n−1/2�1−√1− 41−nz2n, n = 2, 3, . . . 9 ��:
1�� ���;�
� 3	
	 π 1�	��� n ����� 3	
	 ��=����� G�	��� �� ��	 �������
3	
	 �	#��#	
 zn� � �
� 
�#	��;� ���
� π � zn ������� �	� 3
����
	� " ���
	8H��
� �� ��
���	 	�����	� ��;��� 	 �
�� �� 	
�����	����� 9���� ����
	 	
)�
�
	 ��:� •
O�� 	� �$������	� '�'�'�I�
��� ������	 
�������	
�� �)���	� �	����$	�# ���	 �	�����	 �� ����"�
 �	� C# ��	 �
 �	��
z = x+ iy# 	��� i =
√−1 
 
 ����
�� ��
"�����
 3���	 
 i2 = −14# � x =
Re(z) � y = Im(z) ��	 
� �
���� ��
� � ��
"�����
 �� z# ���������
������
�� "��
� ���������
���� �	 �	����
�	� �	�	 �
��� �� �)���	� ��
���
* ���	� ��� ���
� ��������
�# 
� �
������� �������� � � % �����
"�
� 
 ����
�� ��
"�����
� <
�
 ������ �� �)���	 �	����$	 �	� �
���
5 10 15 20 25 30
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
������ ���� ��
	
���� �� �
� 
�#	��;� |π − zn|/π �� ,��82� �� n
 �� �4��
�� ���3#�*�� !
 1
 2
 3
 4
 5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
������ ���� I���#�	�� �� ���	��� ��� ��� �� ������
��
� � � �
��� ��
"�����
 &# �	����� �������� ������������ ���'&X ��
�����
���
# �	�� ��
���� 	 �	�
��	 ���������(& � *� ���������
� �� �������
�$�	�����
� 3	� �	�
�4 � ���"	�	�
����
 �� �� �)���	 �	����$	 z# ��	
�����
������ 
��
�
� �
 ������� �� ����
z = ρeiθ = ρ(cos θ + i sin θ); 3'�>4
�� ��� ρ =
√
x2 + y2 
 	 �%���	 �	 �)���	 �	����$	 3	����	 �	� 	
�	�
��	 ����) 4 � θ 
 	 ��� 
�"�����	# 	� ���
 	 (�"��	 ��� 	 ����	�
���
�� �	��	������ (x, y) �	 ��
�	 �	����$	# �
! �	� 	 ��$	 �	� x� � 
��
"�����	 θ 
 	����	 �	� 	 �	�
��	 �
����) � * ���������
��	 3'�>4 
�
���
�
�
 �	�1
abs(z) ∗ (cos(angle(z)) + i ∗ sin(angle(z))).
* ���������
��	 �	�
� "����
 �� �� 	� �
�� �)���	� �	����$	�
�	����� 	���� �	� 	 �	�
��	 ��������) # �� ��� ) 
 �� �% �)���	
�������
�	����$	 	� �� ����	� ���
� �	��	������ ��	 �)���	� �	����$	�� <	�
�$����	# 
	 ��"��
�
� ! � "��#"� ��� ����!��
	��
���� 	 "����	 �
 2�"��
 '�M�
<
�
 �� �
�	 �)���	 �	����$	 )# �	����� �$��
�� 
 ��
 �
��� ��
�
��
��	 	 �	�
��	 �����) � 
 ��
 �
��� ��
"�����
 �	� �����) � 2��
����
����
�
������# 	 �	����$	 �	���"
�	 z¯ = x − iy ��z# 
 	����	 ���������	
������������ ��
%�) �
��
%
�� ������ ������
���� �	�
� 
� 	���
� �� 
�������	 ��������
�
����� ��� �
��	 	� 	���
��	� �	�	 	 ������
�	 ��	 �	����$	�� .��	
�	�� �
� 	��"�� 
 
�"��� ������
�	� 
�
���������� ��������������� <	�
' 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
I�(z)
��(z)
z1
z2
z3
π
3
ρ
������ ���� I�3
�����	82� �� 3#	�� ���3#�*� �	� �
F� 
	>J�� �4A��	� ��
�4��
� 
�	# −5
�$����	# �� �
����
��	� 
 �
�! �)���
 �� −5 �	� 	 �	�
��	 ��* +��	" 
�� ������# �� ��! �� −1.7099 . . . 	����	� 	 �)���	 �	����$	
0.8550+1.4809i 3����	��!��� 
��� 	 ����	�	 + �
�
 	 �$�	���� �
 �	�6��+
��
4� �	� �����	# 	� �)���	� �
 �	��
 ρei(θ+2kπ)# �	� k ������	# ��	 ��
�	��� ������"��� �� z = ρeiθ� �
����
��	 3
√
z 	����	� 3
√
ρei(θ/3+2kπ/3)#
���	 
# 
� ��6� �
�!�� �������
�
z1 = 3
√
ρeiθ/3, z2 = 3
√
ρei(θ/3+2π/3), z3 = 3
√
ρei(θ/3+4π/3).
������ �������	�
�� 
 �������
 ��� �� ���	���
 
	 ����	���� 	 ��
�	
�	����$	 �	 ������	 �	������	 
	 �	� �	�����	� �	 ���%"�	# �
�����	 �	
��$	 �	� ��
��� +
�	 ��� 
 ���������
��	 �	�
� �� z = −5 
 ρeiθ �	�
ρ = 5 � θ = −π# 
� ��6� �
�!�� ��	 3��� 2�"��
 '�K �
�
 
 ��
 ���������
��	
�	 ��
�	 �� ,
���4
z1 =
3
√
5(cos(−π/3) + i sin(−π/3)) � 0.8550− 1.4809i,
z2 =
3
√
5(cos(π/3) + i sin(π/3)) � 0.8550 + 1.4809i,
z3 =
3
√
5(cos(−π) + i sin(−π)) � −1.7100.
* ��"���
 �
�! 
 
 �������	�
�
 ���	 �������
2��
������# �	� 3'�>4 	����	�
cos(θ) =
1
2
(
eiθ + e−iθ
)
, sin(θ) =
1
2i
(
eiθ − e−iθ) . 3'�L4
������ �/� � �	�
��	 ������� ��	 ���� ����	����� �� ���
��# �
�
�	�� ��� 	����	 
��
�
� �
 ��"����� �����	1
 �5 �	�
�J�� @
$%��&��� ��� ��� �!�
�� � '	 � 
( � 
()
 *�
++ � '	 	 
	( 	 �
	()
*�
�,,�� � �� � ++
# �-,& �����
! � �,,�� # !�
'&� .,) � ��,&� �� �,��� �!�.���/ �!���
 ���,�&� .,��
,�&%,� �
��� �
�����	
���
� n � m ������	� �	�����	�� -�
 �
���! �	� m ���5
� � n �	���
�
 �� �	�����	 �� m × n �������	� aij # �	� i = 1, . . . ,m# j = 1, . . . , n#
���������
�	 ���
 ��"����� �
���
1
A =
⎡
⎢⎢
⎢
⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
am1 am2 . . . amn
⎤
⎥⎥
⎥
⎦
. 3'�:4
+� �	��
 �	��
��
 ���������� A = (aij)� �� 	� �������	� �� * �	���
�)���	� ��
��# ���������� A ∈ Rm×n# � A ∈ Cm×n �� �	��� �	����$	��
*� �
���!�� ��
��
�
� �� �������	 n ��	 
����
� �� ��� m = n�
-�
 �
���! �	� ��
 �% �	���
 
 �� ������ ������# ����
��	 ��� ��
�
���! �	� ��
 �% ���5
 
 �� ������ �
�!��
<
�
 ������ ��
 �
���! �� ������ ��� �� �� �������� 	� ����
�������	� �
 �������
 V )����
 ���5
# �����!
��	 	 �
�
���� , �
�
 ���
�
�
� ���������� ���5
�� <	� �$����	# 	 �	�
��	
� 0 � ' � � "� � � 1)
�	���! 
0 �
� � "
� � 1
���	 
# ��
 �
���! 2 × 3 ���	� �������	� ��	 	� �����
�	� 
���
� *
�
���! ���
 m × n 
 
����
 �� ��� �	�	� 	� �������	� (aij) ��	 ���	�#
�
�
 i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , nX �	����� �	������� �� ������ �	� 	
�	�
��	 )������(
 � � �	�
��	 �&���(
 �� 	��"�� 
 ��
 �
���!
)����
�&�
�	� �	�	� 	� �������	� ���	� �$����	 	� �
 ��
"	�
� �������
� aii# i =
1, . . . ,min(m,n)# ��� ��	 �"�
�� 
 '� * �
���! �������
�� n×n 	��
����
�	� 	 �	�
��	 �&��
 1 	� ���� �������	� ��	 δij = 1 �� i = j# � 9 �	
�
�	 �	������	# �
�
 i, j = 1, . . . , n� 2��
������# �	� 	 �	�
��	 -�. / . /
�������� ��
 �
���! �
!�
�
T��	��
�	� 
� ��"������ 	���
� �� �
�����
��1
 � 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
'� �� A = (aij) � B = (bij) ��	 �
���!�� m × n# 
 
��� �� * � A 
 
�
���! A+ B = (aij + bij)X
I� 	 ������� �� ��
 �
���! * �	� �� �)���	 ��
� 	� �	����$	 λ 
 
�
���! λA = (λaij)X
M� 	 ������� �� ��
� �
���!�� �% 
 �	������ �� 
� ��
� ������ �� �	���
�	��
������# ���	 
# �� 	 �)���	 �� �	���
� �
 �������
 �	� �"�
� 
	
�)���	 �� ���5
� �
 ��"���
X �
�� ������
�����# �� * 
 m× p � A
 p× n# �
�
 
�"�� ������	 �	�����	 p# ����	 C = AB 
 ��
 �
���!
m× n �� �������	�
cij =
p∑
k=1
aikbkj , �
�
 i = 1, . . . ,m,j = 1, . . . , n.
��"����� �� �$����	 �� �	�
 � �� ��	���	 �� ��
� �
���!��1
� 0�'� � "� � � 1)�
� 2�'� ( 
� �	 �� ��)�
� 3�'�" ��� �� �1� �� �()�
� 0�2
��� �
( �	 ��
�� �1 �(
� 0#3
��� �
� �		
��
 ���
&	����� ��� 	 ������ �� ��
 ����
"�� �� ���	 ��
��	 �� ����
�$����
� 	���
� �� �	� �
���!�� �� ������ �� ���	��
������� <	� �$���
��	1
� 0�'� � "� � � 1)�
� 2�'� ( 
� �	 �� ��)�
� 3�'�" ��� �� �1� �� �()�
� 0�3
444 5,,�, %���/ ��6 �
7�&,�� ���������� �%�& �/,��
� 0#2
444 5,,�, %���/ ��6 #
8���, ��&,�� ���������� �%�& �/,��
�� * �	� ��
 �
���! ��
��
�
 �� �������	 n# 
 ��
 
����
� 3�� �$���
���4 
 ��
 �
���! ��
��
�
 �� �������	 n# ��� �� ����"�
 �	� A−1# � ���
�
����
! 
 ���
��	 �
�����
� AA−1 = A−1A = I� * �
���! A−1 �	�����
	���� �	� 	 �	�
��	 �
0�- � * ������
 �� * �$���� �� � �% �� 	 �������
0
�
����� �� *# �� �)���	 ��� �� ����"�
 �	� ���3*4# �	� ��	 ���	� ���
)����
 �	�����	 ������
��� ��� 	� ����	��� �	���
� �� * �	��� ����
��
����� ������������� 3��� �����	 '�M�'4� � ��������
��� �� ��
 �
���!
 �5 �	�
�J�� 
��
��
�
 �������� ���
 ��"����� �%����
 ��������
 3����� �� �������41
det(A) =
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
a11 if n = 1,
n∑
j=1
Δijaij , for n > 1, ∀i = 1, . . . , n,
3'�P4
�� ��� Δij = (−1)i+j���3*ij) � Aij 
 
 �
���! ��� �� 	��
� �	� ����
���
��	 �
 i�
���
 ���5
 � j�
���
 �	���
 �
 �
���! * 3	 ������
�	 
������������ �	 ������ �� ���5
 	� �� �	���
4�
�� �
������
�# �� A ∈ R2×2 ������
det(A) = a11a22 − a12a21,
� �� A ∈ R3×3
det(A) = a11a22a33 + a31a12a23 + a21a13a32
−a11a23a32 − a21a12a33 − a31a13a22.
<
�
 �� ��	���	 �� �
���!�� ������
��� 
 ��"����� ��	�����
��1 ��
A = BC# ����	 det(A) = det(B)det(C)�
<
�
 �������� ��
 �
���! 2×2 � �
����
� 	 ��� ��������
��� ��	�����
�� �	 ��"����� �	�	1
� 0�'� �� " �)�
� ��9�0�
��� �
��
				 �
				
�
�			 �	
�			
� ��&�0�
��� �
��
�� ��
 �
���! �	� ���"��
�# 	 ������
������ �
�� ��
 ����
"��
�� ���	# ��"���
 �� ��
 �
���! ���	� �������	� ��	 �	�	� �"�
�� 
 �
�#
�	�	 �� ������
 �	 �$����	 ��"�����1
� 0�'� �� 	 	)�
� ��9�0�
:�,���/ ; 7�&,�� �� ���/%��, &� ��,<��/ ,������� 
��� �
8�$ 8�$
8�$ 8�$
<
�
 ����	� ���	� �� �
���!�� ��
��
�
�# 	 ������	 �
� ������
� � �	�
��������
���� 
 �
��
��� �������� �� * �	� ��
 ����
" �
������# ���	 
#
��
 �
���! �� ��� 
���
� 	� �������	� �
 ��
"	�
� akk# k = 1, . . . , n#
��	 ��	 ���	�# 	 ��� ��������
��� 
 �
�	 �	� det(A) = a11a22 · · ·ann�
 � 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
�� �
������
�# * 
 ��	 ���"��
� ��� akk �= 0 �
�
 �	�	 	 k� &���� �
�	#
 ������
 �� * 
 
���
 ��
 �
���! ��
"	�
� �	� �������	� a−1kk �
���
 0 �� ����	� �� �������	 
� � �	�
��	 1����0 �� ������1���
��	��! ��
 �
���! ��
"	�
� ���	� �������	� ��	 
� �	��	������ �	
����	� 0� � �	�
��	 �
�� "��
� 1����0(� �� ��
 �
���! ��
��
�
������ ���
 m�
���
 ��
"	�
� ������	� 3���	 
# 
 ��
"	�
� �	��������
���	� �������	� �� ������� i, i+m4 �	��
� 
� �	��	������ �� 0# � �	�
	� ����
���� �������	� ���	�� &	����� ��� ���
 �$�����	 �
��
� 
 �����
�
�
 �
�	��� ��"
���	� �� �1 ����� �
�	 �% ��	 
����
�	� 	� �������	� �
�
��
"	�
�� ������	����
<	� �$����	# �� 0 � .� � "/ ����	1
� 0����/�9.���
0 �
	 	 	 	
� 	 	 	
	 � 	 	
	 	 " 	
����
� �
���!�� �
������
��� ���	��
���� ��	 
� ��
��������
 
����
�
���
 � 
� ��
��������
 
����
���
� -�
 �
���! ��
��
�
 �� �������	 n
 ��
������� 
����
�� 3���������
�����# 
����
��4 �� �	�	� 	� �������	�
����
�	� 
���
 3���������
�����# 
�
�$	4 �
 ��
"	�
� �������
� �	���
���	�� � ��� ��������
��� ���� ����	 ������������ 	 ��	���	 �	� ����	�
��
"	�
���
�� �	�
��	� �����- � ���2�- # �������� �$��
�� 
� �
���� ��������
���2 
�"��
��� ������	� � ������	� �� ��
 �
���! - �� �������	 
� *� ��
�
�$���� �� �����-(� 	� ���2�-(� # �	� � �	���������	 ����� �
 � 
#
�������� �$��
�� 
� �
���� ���
�"��
��� 
�����
�
� 	� ��������
� �
�
m ��
"	�
�� ���������
��
<	� �$����	# �
�
 
 �
���! - �." � �, �� " 3, �� �� "/# �	� 	 �	�
�
��	 4�������- 	��
����
=� �
" 	 	
�� " 	
�� �� "
����
��	 ��� �	� 4�������-(� # �� 	��
�
=� �
" � 	
�� " �
�� �� "
T��	����	� ��� �� A ∈ Rm×n 
 ��
 ��
���	��
 AT ∈ Rn×m 
 
�
���! ��� �� 	��
� ��	�
��	 
� ���5
� �	� 
� �	���
� �� *� 8�
��	
n = m � A = AT 
 �
���! * ��!��� 
�#��
��� 2��
������# -5 
 	 �	�-5
�
��	 �� ������ ��� ����"�
 
 ��
���	��
 �� - �� - �	� ��
�# 	� 
��
 ��
���	��
 �	���"
�
 3���	 
# AH4 �� - �	� �	����$
� -�
 �
���!
 �5 �	�
�J�� 5
��
��
�
 �	����$
 ��� �	������ �	� 
 ��
 ��
���	��
 �	���"
�
 *
H
��!��� !���
�
����
* ����
 �	�
��	# 05# 
 �����!
�
 �
�
 	 ��
���	��	 �	���"
�	 vH
05
�	 ����	� 0� +���"�
��	 �	� vi 
� �	��	������ �� v# 	 ����	� 
�����	
vH 
 �� ����	� ���5
 ���
� �	��	������ ��	 	� �	����$	� �	���"
�	�
v¯i �� vi�
������ �/� ���
�� �� �
��
� ��
 ����
"�� �� ���	 ��
��	 ��
����
 ������
� 	���
� �� �	� �
���!�� �� ������ �� ���	��
������� T��
�	�
��	 	� �$����	� 
�����	��� �� ������ 	��
����1
��&�9�;�6 0�'� � "� � � 1)�
��&�9�;�6 2�'� ( 
� �	 �� ��)�
��&�9�;"6 3�'�" ��� �� �1� �� �()�
��&�9�;�6 0�3
�,,�,; � �,�&�, �; ������$�,���& �,/%���&� �� � ��
��" . � � �� "���
�,,�,; �9��%�&��/ ����,+ � �,�&�, >�* ���, ���� �.
���%�� �
��&�9�;�6 0#2
�,,�,; � �,�&�, #; ������$�,���& �,/%���&� �� � ��
��" . � � �� ��"�
�,,�,; �9��%�&��/ ����,+ � �,�&�, >#* ���, ���� �.
���%�� �
�� * �	� ���"��
� � �� ����������	� ������6��
# ���
�� �� ��
 ����
"��
�� ���	 ��"���
 �
 �
���! 
 ��������# �	�	 �� ������
 �	 �$����	 ��"�����1
��&�9�;�6 0�'� �� 	 	)�
��&�9�;�6 ��9�0�
��,���/ ; ��9�,��; ��&,�� ���/%��, &� �������
 ,������� . ,���� � 	
��� �
� �
	 	 �
�/�/� #������	
&���� ����	# 	� ����	��� ����	 �����
�	� 
 ��"���	X �
�� ������
�����# �
����"�
�� �� ����	� �	���
 ���
 i�
���
 �	��	����� 
 vi� 8�
��	 �	�
�
� �	��	������ �	��� ��
�� ������������� v ∈ Rn�
�� ������# 	� ����	��� ��	 �	������
�	� �	�	 �
���!�� �
������
�
���� <
�
 ������ �� ����	� �	���
 
 ������	 �����
� 
� ��
� �	��	������
����� �
�6������ ����	� ���
�
�
� �	� �� �	��	 � ���"��
# ����
��	 ���
�
�
 �� ����	� ���5
 �
��
�� �������� 
� ��
� �	��	������# ���
�
�
�
�	� ���
�	� 	� �	� ���"��
�� <	� �$����	# 
� ������� �� 0 � .�,�,"/ � 6
� .� � "/ ������ 	 ����	� �	���
 � � 	 ����	� ���5
3# 
��	� �� ������
��	 M� � �	�
��	 )�����
(� 3���������
�����# )������(
 4 ����� ��
)����
 � 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
����	� �	���
 3���������
�����# ���5
4 �� �������	 
 �	� �������	� ���
�	�# ��� �� ����"�
�� �	� 4� *�
�	"
�����# 	 �	�
��	 �
���
(� "��
 	�
��
����	� �	���
# ��� �� ����"�
 �	� �# ���
� �	��	������ ��	 �	�
� �"�
��
 '�
-� ������
 �� ����	��� {y1, . . . ,ym} 
 �
��������� 
����������� ��
 ���
��	
α1y1 + . . .+ αmym = 0
������
� ��� �	�	� 	� �	��������� α1, . . . , αm ���
� ���	�� -� ������
B = {y1, . . . ,yn} �� n ����	��� ����
������ ������������� �� Rn 3	�
C
n
4 ��!��� ��
 	�
� �� R
n
3	� C
n
4# ���	 
# ��
����� ����	� 3 �� R
n
�	����� �������� �	�	 �	����
��	 ����
� �	� �������	� �� B#
w =
n∑
k=1
wkyk,
� 	� �	��������� {wk} ��	 )���	�� ����� )����	� ��!����� 
� ����������
�� 3 �
 �
�� B� <	� �$����	# 
 �
�� �
�%���
 �� Rn 
 	 �	�����	 ��
����	��� {e1, . . . , en}# �� ��� ei ��� 
 ��
 i�
���
 �	��	����� �"�
� 
'# � �	�
� 
� 	���
� ���
�� ���
 
 
 �
�� �� R
n
��� �	��
������ �� ���
� ������� �
����� �� �	�� ����	��� v,w ∈ Rn �������� �	�
(v,w) = wTv =
n∑
k=1
vkwk,
	��� {vk} � {wk} ��	 
� �	��	������ �� � 
�� 3# ���������
������ �
�	�
��	 �������� �	�����	������ 
 65'0# 	��� 	 
�%���	�� ����"�
 ��
���	����	 �� �� ����	�# 	� 
���
 1���0(6 � � �	��������	 3	�1��
�%���	4 �� �� ����	� � 
 �
�	 ���
 ��
 �	��
 �������
�
‖v‖ =
√
(v,v) =
√√√
√
n∑
k=1
v2k
� �	����� �
����
� �	� 	 �	�
��	 
����0 �
���
� ��	���	 ����	��
� �� �	�� ����	��� v,w ∈ Rn# n ≥ 3# ��� �� ����"�
�	� v×w 	� v∧w# 
 	 ����	� u ∈ Rn 	��	"	�
� 
 v � w ���	 �%���	 
|u| = |v| |w| sin(α)# 	��� α 
 	 (�"��	 �	��
�	 �	� � � 3� <	����� 	����
�	� 	 �	�
��	 ������0(6 ������
�� ������# �	����� ����
��!
� �� ����	� ��
��	 	 �	�
��	
2�0�� �� R
2
� 
2�0��" �� R
3
�
2�0��
2�0��" �� �	�
��	� �������� ��'& 	� ��+� �����
� ��� 
� 	���
� ��
�'
� ˆ
��	 ������
�
� �	��	����� 
 �	��	������ <	� �$����	# �������	 	�
����	���
� 9 � '�� �� ")� � � '�� �� 1)�
 �� )��8H�� 
�	�� &
 ��������	
� �*#9
��� �
"�
�� 	 ��� ��	���	 ���
�
�# ����
��	 ���
� �
#9
��� �
�
�	
�(
�� �� ����	� ���
 i�
���
 �	��	����� 
 �"�
� 
 xiyi�
<	� ��# ���	����	� ��� �� ����	� v ∈ Cn# v �= 0# 
 �� ������
�����
� �� ��
 �
���! A ∈ Cn×n 
��	��
�	 
	 �)���	 �	����$	 λ ��
Av = λv.
� �)���	 �	����$	 λ ��!��� ����� �����
� �� *� �� "��
�# 	 ������	 �	�
�
�	��� ��%���	� 
 �
��
��� �������� �$�����
���� 	� �
�	� �
� �
���!��
��
"	�
�� � ���
�"��
���# ���	� �
�	��� ��%���	� ��	 ������������ 	� ����
����	� ��
"	�
���
O�� 	� �$������	� '�M�'�L�
��� ������	 ��
�	
���
 �����	 	���
��� �� ���� �� ��
�� ������
� �	 ������
�	 (a, b)� �
�	�
��	 �������2
(���� ��
�
 	 "����	 �
 �����	 �2
 3������
 �	�
�����
��
 �
���
 �� �
�
������4 �	 ������
�	 3������ #������ 4� <	� �$����	#
�
�
 ���������
� f(x) = 1/(1+x2) �	 ������
�	 (−5, 5)# �	���	� ��������
� $%� �*������
?�� *� ���� �'��.�)� $ ��&�$%� .���� ��
	�# �
�� ������
�����#
� $ ��&�*������
?�� * .'�� �)��
�������� 	 "����	 	��
���� 
 �
���� �� ��
 
�	���
 �
 �����	
��� �	�����	 �� �	��	� ��	 ��������
���� � ����	��! 	 "����	 ��
� �� f
�	� ��
 �	���(���
 �� 9�IZ� <
�
 ���5	�
� 
 �������	 �	����
�	� ��
�
	 �	�
��	
� $ ��&�$%� .���� .&�� .�.*=���@ �� *.A� .A� .
�
	��� ��� �����
 
 �	���(���
 �����
�
 � 	 �
�(����	 
3≥ 14 
���"��
��� 
 �����	 ���� ��
�
�
 �	� �� �����	 �� n + 1 �	��	�� 4�
�7���
 ��
 �
���
 �� �
�
������ ��� ��������
 	 ���	 �� ���5
 	� 
 �	� �
���5
 ��
�
 �
�
 ��
�
� 	 "����	� <	� �$����	# 4�
�7����585 �����
 " 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
��
 ���5
 
 ��
���
�	# 4�
�7����5���5 ��
 ���5
 ������5
 �� ��
�	�
� �	��	�# ���� <
�
 �����!
� �
�	��� �	� ������	 �
�
 ���# 
 	� 4�
�7���
�	��� ����	��!����� �
���!�� �
!�
� 3. /4�
� �
�	� �� ��
 �����	 �2
 ��� �	��	 � ��������
��� ���������	
&��0����2
 # ���	�� �� �����
� �� � �
�	� �	�����	������ 
 "�
��
�	 ���0��
&� &	�
� ��� �# � �	��
��	 &# �	��� ��� ����	���� *	 ��
� ���� �	�
��	#
 ��������	 
 ��� 	 
�"�����	 �
 �����	 �2
 ������ ��� �� �� 	 
�"�����	
�� �2
 ����� �� �	�� ��������� 3	 ��� 
�	����� �������������� ��
��	
���� 
�"�����	 
 "��
�	 �	 ������	� �� �� ��	"�
�
4 	 �	�
��	 �0��
������ ������������� �	� ��0�� 3��� ������
��	 '�M4�
*����
���	� �	� �� ��� �� ���������	� ���1 �
 ���	�� �	 �	�
��	���1
�����# �	���	� 	���� ��
 "���5
 �� ����	 �	�	 
 �
 2�"��
 '�'�
������ �/� 8�
��	 �� �����!
 	 �	�
��	 �������2
(����(
 �� ���
�
��# 	 "����	 	��
���� 
 �
���� �� ��
 
�	���
 �
 �����	 ������
 �	�
�2
 3���� 
 	 �	�� �� ��
 ���$%� 	� �� ��
 �$������	 ��� �	����5
 �4
�	��� �� �	�����	 �� �	��	� ��	 ��������
����� � �
�(����	 	���	�
� 
3≥ 14 "
�
��� ��� 
 �����	 ���� ��
�
�
 �	� �� �����	 �� 
+1 �	��
�	�� <	� �$����	# 	� �	�
��	� ��"������ �������� ��
�
� 	 "����	 ��
f(x) = 1/(1 + x2)1
� $%� �*�
�����
?�� *� ���� �'��.�)�
� $ ��&�$%� .���� � �
�/�/� �	 5���	
T��	������ ��� �� f(α) = 0# α ��!��� "��� �� f 	� ��
" �
 ���
��	
f(x) = 0� -� !��	 
 
����
 �� f ′(α) �= 0# � ����
��� �	 �
�	 �	������	�
<	���	� ��������
� 	� !��	� ��
�� �� ��
 �����	 
 �
���� �	 ���
"����	 3�	� ��
 ����
 �	���(���
4� � ������	 ������	 �� �	�	� 	� !��	�
�� ��
 �
�
 �����	 ��� ������ 
 �	������� <
�
 
� ���� �� �	���	��
��
�� "�
� n �	� �	��������� ��
��# ���	 
# �
 �	��
pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn =
n∑
k=0
akx
k, ak ∈ R, an �= 0,
�	���	� 	���� 	 )���	 !��	 α = −a0/a1# ��
��	 n = 1 3	 "����	 �� p1
 ��
 ���5
 ����
4 	� �� �$�������# 	� �	�� !��	� α+ � α−# ��
��	 n = 2
3	 "����	 �� p2 
 ��
 �
���	�
4
α± =
−a1 ±
√
a21 − 4a0a2
2a2
.
�	����	# ��	 �$����� �%����
� �$������
� �
�
 ��������
� 	� !��	�
�� �� �	���%��	 
��������	 pn ��
��	 n ≥ 5�
 �� )��8H�� 
�	�� !
&	 ��� �� ��"�� ����	� ����"�
� �	� Pn 	 ���
�	 �	� �	���%��	� ��
"�
� ���	� 	� �"�
� 
 n#
pn(x) =
n∑
k=0
akx
k
3'�N4
	��� ak ��	 �	��������� �
�	�# ��
�� 	� �	����$	��
�� "��
�# 	 �)���	 �� !��	� �� ��
 �����	 ��	 �	�� ��� ��������
�	
� ��
��
� �$�����
��� 	 �
�	 �
������
� �
� ���� �� �	���	��
��# �
�
 
�
��
�� 	 �)���	 �� !��	� 3��
�� 	� �	����$	�4 �	������ �	� 	 "�
� �	
�	���%��	� *�
� ����	# �� 	 �	����$	 α = x + iy �	� y �= 0 �	� ��
!��	 �� �� �	���%��	 �	� �	��������� ��
��# 	 ��� �	���"
�	 α¯ = x− iy
�
��
� 
 �� !��	�
�� ������ �	���	� �����!
� 	 �	�
��	 �)�����2
(�� �
�
�)���
�
����
� �� !��	 �� ��
 �����	 �2
# �
 ��!��5
��
 �� �� �
�	 �
�	�
��# ��
� 	� �	����$	� � ������
�	 
 �� �
�	� 
��	$��
�	 ����� !��	# �
�
��
� 	 ������
�	 	��� �� ������	� 
 ��
 �������
� �	� 	 �	�
��	
�)�����2
(.�� ��/ # ��	���
��� �� !��	 �� �2
 �	 ������
�	 ���	� �$�
����	� ��	 ��(��# ����� ��� f ���� �� ���
� ����� �� � ���
�	��������	�# �	� �$����	# 
 �����	 f(x) = x2−1+ex� ������
��	
	 ��� "����	# ������
��� ��� ��� �	�� !��	� �� (−1, 1)� <
�
 	� �
����
�#
������
�	� �� �$����
� 	� ��"������ �	�
��	�1
� $%���������*�?� � � � �� ���*.*�*��
� $!�,��$%� .��
��� �
�
����� ��(
� $!�,��$%� .���
��� �
�	
���1
�� 
�����
���
# ���	�� �� �	���
�
� ���
 �����	 ���� ��� �$���� ��
!��	 �	 ������
�	 [−1,−0.2] � 	���	 �� [−0.2, 1]# �	����
 ������ ������	1
� $!�,��$%� .' �	
� �)�
��� �
��
�1	
� ���
� $!�,��$%� .'�� �	
�)�
��� �
�	
���1
� ������
�	 	����	 �
�
 	 �������	 !��	 
 ��"���
����� ��������� �	 ������
�����# �����	 V ��������� �����
��	 �	 
�"	����	 ���������
�	 �� �)����
&	 �
�����	 I# ����	 ����	��!��	� � �����
�	� ����	� �
�	�	� �
�
 	
������	 
��	$��
�	 �	� !��	� �� ��
 �����	 
��������
�
 ' 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
������ �/� �����
��# �)��� �% 
����
 ���� �� ������
� �	� 
 �
�
��
�5
�� �2
����
� * ����
$� �	�����	������ 
 
 ��"�����1
$%��&��� + � $%����
+ � �
?� � � � �� ����
���
� $!�,��B$%�B. ��
��� � �
"�1�����
� $!�,��B$%� B.���
��� � �	
����1 �
�/�/� 6����$���	
�� �	���%��	� ��	 ���� �� ����	 �
������
��� ��
�
�
� �� ������
�� �	��
 ������
� �	� ��
 ����	��
�
���&�2
� � �	�
��	 ���&0�� �������&0��
���� ��������
� 	 �
�	� �� �� �	���%��	 �� �� 	� ����	� �	��	�� ��
���� 
�"�����	� �� ����
�
 ��	 �� ����	� � � �� ����	� �# �� ��� 
�
�	��	������ �� � ��	 	� �	��������� �	 �	���%��	 "�
��
�	� �	� 	����
�����������# �� an 
 a0# � 
� �	��	������ �� � ��	 	� �	��	� 	��� 	
�
�	� �	 �	���%��	 ���� ��������
�	� � ������
�	 �	�� ��� "�
��
�	
��� ����	� &# ���������	
� + � ��+9�� � .��
<	� �$����	# 	� �
�	��� �� p(x) = x7 +3x2−1#�	� �	��	� ��������
����
xk = −1+k/4 �
�
 k = 0, . . . , 8# �	������ 	���� ��	������	 �
 ��"�����
�
����
1
� � '� 	 	 	 	 " 	 ��)� � � ' ��;	
��;�)�
� + � ��+9�� � .��
+ �
3��%��� � &�,�%/� �;
�
					 	
���	� �	
���(� �	
(���1 ��
					
3��%��� 1 &�,�%/� 
;
�	
(���� �	
����
 	
(�	
( "
					
�� 
�����
���
# �	���� ��
���� 	 �	�
��	 ��0��� �	����	# �����
�
�	 ����
 ���������	 �	������ 
 �$������	 
�
�����
 �	�����
 �	 �	���%��	
���
 �
���
 �� �
�
������# � ��	 
���
� 	� ���� �	����������
� ��	"�
�
 ����� �� ��
 
��	$��
��	 �	� !��	� �� �� �	���%��	�����
� ������ 
���
� 
 ����
�
 �	 ����	� ��
<	� �$����	# �
�
 �
����
� 	� !��	� �� p(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6#
����������1
1
E�	 ����	�
 � ��	 ��#��82� �� ,��8H�� �� ������ 	�����	�	� 	 ��	
	3#��	82� 3	
����#	
 �� )��8H�� 
�	�� @
� � '� �1 �� �1)� $�,��& ���/ �
� ,��&�� �
��� �
"
														
�
														
�
														
.�����!����� 	 ������
�	 ��� ������ 
 ������	� <	� �$����	# �	 �
�	
�	 �	���%��	 p(x) = (x + 1)7# ���	 )���	 !��	 
 α = −1 �	� �����������
�
�� :# 	����	� 3������������������41
� � '� � �� "� "� �� � �)�
� ,��&�� �
��� �
��
	�	�
��
		1" � 	
		�
�
��
		1" � 	
		�
�
�	
�� � 	
		
�
�	
�� � 	
		
�
�	
	
 � 	
		���
�	
	
 � 	
		���
�	� �����	# 	� �
�	�	� ���
���	� �
�
 	 ������	 �
� �
�!�� �� ��
�	���%��	 ��	 �
������
������ ��������� 
 ���	� �� 
����	��
����	# ��
� �
�!�� �	��� �� �����������
�� �
�	� ��� ' 3��� �����	 I�>�I4�
*������������ ��� �	� 	 �	�
��	 ����
0���(�� �� 	��
� 	� �	��
��
0
�������� �	 �	���%��	 ������
��� �	 ��	���	 �� �	�� �	���%��	� ���	�
�	��������� ����	 �	����	� �	� ����	��� �� � ��� +	 ����	 �	�	# 	
�	�
��	 .
(�/�1���
0���(�� �� 	� �	��������� �	 ��	������ 
 � �	
1���
0
����	 � �
 ������	 �� �� �	� ��# ���	 
# �� � ��
0���(
 � ��
�	��������	� �	� �$����	 	 ��	���	 � 	 ��	������ �� �	�� �	���%��	�
p1(x) = x4 − 1 � p2(x) = x3 − 1 1
� � � '� 	 	 	 ��)�
� � � '� 	 	 ��)�
� ����9� � . ��
 �
� 	 	 �� �� 	 	 �
� '-.,)� �����9� � . ��
- �
� 	
, �
	 	 	 � ��
���	���
�	� 
���� 	� �	���%��	� p(x) = p1(x)p2(x) = x7 − x4− x3 +1#
q(x) = x � r(x) = x− 1 �
�� ��� p1(x) = q(x)p2(x) + r(x)�
�� �	�
��	� ���&�
��� � ���&1���� �	������# ���������
�����#
���&�
�
���&1��
	� �	��������� �
 ��������
 3��� �� 
���
 �� x = 04 � �
 �����
�
 �	
�	���%��	 ���	� �	��������� ��	 �
�	� ���
� �	��	������ �	 ����	� ��
�� 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
�� � �	� �� ����	� �� 
�����
� � �� � 3���������
�����# �1 � �24 �	� ��
����	� ��� �	��
� 	� �	��������� �� �� �	���%��	 p 3���������
�����#
p1 � p24# 	� �	�
��	� ����������� ���������� �
 ?
���
 '�'�
���	���� 
���#�	���
+� ��+9��� .�� y = ;	#�
�� �� p(x)
!�,��&�� � z = 
	>J�� �� p �	�� 1�� p(z) = 0
 ����9� 1� 2� p = ���=������� �� 3�#��7��� p1p2
'-.,)������9� 1 � 2� q = ���=������� �� q� r = ���=������� �� r
�	�� 1�� p1 = qp2 + r
+� ��+��,� � y = ���=������� �� p′(x)
+� ��+��&� � y = ���=������� ��
x
�
0
p(t) dt
��
��� ���� 6��	���� �� ������ 3	
	 �3�
	8H�� ��� 3�#��7����
-� 	���	 �	�
��	# ���&���# ������� �
����
� 	� n + 1 �	��������� �	���&���
�	���%��	 p �� "�
� n# ����� ��� �� ����	�5
 �	� �
�	��� �� p �� n+ 1
�	��	� �������	� 3��� �����	 M�'�'4�
������ �/ �� �	�
��	� ���&1���0 � ���&�
��� �6� 
� ����
����&1���0
�����	�
���
��� ��� ���&1�� � ���&�
�# ���������
������ &	�
� ������&�
���
���&1�� ���� �"�
������ ����	����� �� ���
��# ��� �����	 '�L� �
�/�/� 7���
����� � ���������
&���� ����	 ����	 �������������� ���	�
�	� 	� ��"������ ������
�	�1
'� ������� ����������� �� 
������$%�1 �� f �	� ��
 �����	 �	�����
�� [a, b)# ����	
F (x) =
x∫
a
f(t) dt ∀x ∈ [a, b),
 ��
 �����	 ���������# �5
�
�
 
 ��
�
�
�� �� f # ��� �
����
!#
F ′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b);
I� ��
��
�� ������� �� ����� �#�
� ���� 
������
 1 �� f �	� ��
 �����	
�	�����
 �� [a, b) � x1# x2 ∈ [a, b) �	� x1 < x2# ����	 ∃ξ ∈ (x1, x2)
�
� ���
f(ξ) =
1
x2 − x1
x2∫
x1
f(t) dt.
 �� )��8H�� 
�	�� � 
H���	 ��
��	 �$����# ��
 ��������
 �	�� ��� ������� 	� ����	 ���
�	������ �� ��������
�� <	� �$����	# 
 ��)��� �
��� ��� ln |x| 
 ��
��������
 �� 1/x �� ��	 �� �	���� �
����
� 	� �	"
����	� �� �	�	 ���
������� &	 �
�����	 K ����	� ����	��!�� ����	� �
�	�	� �
�
 �
����
�#
�	� ��
 �
�
 �������	# 	 ����"�
� �� ��
 �����	 �	�����
 
��������
#
��� 	 �	�5�������	 �
 ��
 ��������
�
T��	����	� ��� ��
 �����	 f ������
 ��� ������
�	 [a, b] 
 ���������
��� �	��	 x¯ ∈ (a, b) �� �$����� � �	� ����	 	 ��"����� ������
f ′(x¯) = lim
h→0
1
h
(f(x¯ + h)− f(x¯)). 3'�'94
� �
�	� �� f ′(x¯) �� 	 ������� �
 ����
 �
�"���� 
	 "����	 �� f �	
�	��	 x¯�
+�!��	� ��� ��
 �����	 �	�����
 � �	� �����
�
 �	�����
 �� �	�	�
	� �	��	� �� [a, b] �������� 
	 ���
�	 C1([a, b])� H
�� "��
������# ��
�����	 �	� �����
�
� �	�����
� 
�
 V 	���� p 3�� ������	 �	�����	4 ��!�
�� ��� �������� 
 Cp([a, b])� �� �
������
�# C0([a, b]) ����"�
 	 ���
�	
�
� ���� �� �	�����
� �� [a, b]�
-� ������
�	 ��� ���� ����
� ��!�� ��
�	 
 	 ������� �� ����� �#�
�1
�� f ∈ C1([a, b])# �$���� ξ ∈ (a, b) �
� ���
f ′(ξ) = (f(b)− f(a))/(b− a).
T��	����	�# ��
������# ��� ��
 �����	 ���# ���
 ��!��5
��
 ��
x0# 
 �	�����
 � 
����� �����
�
� �	�����
� 
�
 V 	���� n# �	�� ���
��	$��
�
 ����
 ��!��5
�
 ���	 �5
�
�	 ���
���
� �� &�'��� �� ����
� �	 �	��	 x01
Tn(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) + . . . + 1
n!
(x − x0)nf (n)(x0)
=
n∑
k=0
(x− x0)k
k!
f (k)(x0).
* ����	�� �&������ �� ������ �	��
� 	� �	�
��	� 1���# �
� �
1���
�
�
��&��� ��� �	������# ���������
�����# 
 �$������	 
�
�����
 �
 �����
�
#
��&���
	 ����"�
� ��������	 3���	 
# ��
 ��������
4 � 	 �	���%��	 �� ?
F�	�#
�� ��
 �
�
 �����	� �� �
������
�# ����	 ������	 ��
 �����	 �	� 
�
���
 �� �
�
������ �# 
 �����	 1�����(
 �� 
 ��
 �����
�
 �� 	����
# �
��� 	 ��� ����"�
� ��������	# � ��&�����(�(
�� 	 ��� �	���%��	
�� ?
F�	� �� "�
� 
 ���
 ��!��5
��
 �� x0 = 0� * �
������ � ���� ���
����
�
�
 �	�	 
�	��
�� ��
��	 	 �	�
��	 �&�� �� .��	 ��������� 
�&��
��
 �
�����
��	 
�"
����
 ��� ��������
� 	 ��� �
�	��
<
�
 
����
� V �����	 f(x) = (x2 + 2x + 2)/(x2 − 1)# ��	������� �	
��"����� �	�	1
�� 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
������ ���� ����
,	�� 
-=�	 �� ���	��� $%�&���
� $ � *��?���#�������?����*�
� �+�� �
� ��$$ �$�
��#�������?� ��� ��#��?���#�������?� ���?�# �
� ��&�$�
�����#��/�� ��� ����# ��/ �����
� &�+��,�$.� .1�
����#��"#�?���#�?"�"#�?���#�?�
��������	� ��� 	 �	�
��	 ������ ������� ����!�� 
� �$����� �� "��
�������
�
� �	� 1���# �
� � ��&��� �� �	�	 
 �	�����
� ��	 ������� ��
��	 �	��
������ � �	�
��	 �2
���� ������� ��
 ������� �
�����
��	 ����%���
�2
����
�� ���� �� 
��������
�# ��
��	 
 ������
�� "����
 ������
�
 �
 2�"��
 '�>�
������ �/" � ������	 ����%���	 
���
 ��	 ���� ����	����� �� ���
��#
�
� 	 ������	�������	 ����
 �����	�
���
�� 
 	�����	 �� ��
�
�5	� ��
����	�
� �
O�� 	� �$������	� '�:�'�P�
��� ���
� ��� � 	� ��
��
T��	����
��	 
 ��
�� �� �
��� ������ !������ �
�# �	����
�	� ����	
��!�� ��� �� ������	 ���
���	 ���
� 
 ����	 �����������
2
�&& ;�����
��&�9�
�,/
 �& K
	
 �2� � �7 ���	�� �5
?
� �	�	 ���	�# 	 ������� �
��	 �� ��
� �� �	����
�	� �
�
 ���
�������
� �)���	� ��
�� ����	��! ���	�� <	� �	���"�����# �
�� �	 ���
���	��
���� �	� ������
� ���	�# 	 ��� ���	��
 
 ��	���
� �	���	�
� 	�
���� �����	��
�� "��
�#�	������ ��������
� ����	� ������ �� ���	� ��� 	�	���� �
��	$��
��	 � ���	����	 �� �� ��	����
 �����	 3��� 2�"��
 '�L4�
&	 ����� ������	�# ���	���
��� 	 ���	 em ��� ������
 �� �	��
� 
 ��
���
�
�� �����
 3PF ����"�
 	 ��	����
 �����	 � xf 
 ��
 �	����	4 
 �
����
!��
�"�� �	���	 �
�������	 3MM # ���
 �	����	 
 x4� ?
�� ���	� �����
��	
 
����
�����
�� �	 �	���	 �
�������	 
 ����
� ����
� �� � �
�� �	
�	����	 �	 ������	 ��������	�
-� �	���	 �
�������	 3�$�����	 �	� �� ����"�
�# �	�	 �	 �$���
��	 �
 2�"��
 '�L# �	� ��
 ���
��	 
�"
����
 	� ���������
�# 	� �	� ��
������
 ����
� 	� ��	 ����
�4 "��
������ ��	 �� �	�� ���	���� �� �	��
�$������
� * ��
 ���	����	 �	� 
�"	����	� ���
���	� ���	����� ������
��
�
����� ���	 ���	� 	 
�
��������	 � ��	�
"
��	 �� ���	� �� 
����	��
�
����	� �5
���	� ea 
 ����� ���	��
<	� 	���	 �
�	# 
 ����
� ��!�� ���������	 ����	��!�� ���	� 
����	�
��#
��
 ��! ��� 	 ������	 �	 �	����
�	� �� �	��� �� �� �	���	� �
�������
�	�# ��� ���	��
� �� �)���	 ������	 �� 	���
� �� 
����
���
�# �% ��
������
 �� �	�	 
��	$��
�	� <	� �$����	# 
 �	�
 �� ��
 �
��� ����
������
��
����� �
����
�
 �� �	�	 
��	$��
�	# ��	������	 
 ��
 �����
�
���
 �	����������
?	��
��� �	� ���	 ���������	 ������ �� ��	����
 ���
���	# PN # ���
�	����	 xn ������ �� x �	� �� ���	 et ��� �� �5
�
 ���� �� �����������
����� ���	� ��	 	�	���� 
���
� �	� �	���	� �
�������	� �� ������	�
�� �������	 ����
 3�	� �$����	# ��
��	 �� ���	��� �� ������
 ����
�4�
xn =
�
k
φ(tk)αk
x =
T
�
0
φ(t)dt
�x
MM
PF
PN
xf
em
et ea
ec
������ ���� L�;�
��� ��3�� �� �
� ��� 3
������ �� �-#��#�
�� 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
* �	�
 �	� ���	� ea � et �	������� 	 ���� ��������
���� ec# ��� 
 
��
����
�� ��� �	� ��������
�
� ���	 �	����
��	�
� �	
����� 
 
 ��������
 ����� x# 
 �	����	 �$
�
��
 �	 �	���	 �
�������	# � x̂# 
 �	����	 	����
 �	 ��
� �	 ��	����	
���
���	#
eabsc = |x− x̂|,
����
��	 ��� 3�� x �= 04 	 ���	 �	����
��	�
� �����
�� 
erelc = |x− x̂|/|x|,
	��� | · | ����"�
 	 �%���	# 	� ��
����� 	���
 �����
 3�
�	� 
��	���	#
�	��
4 ���������	 �	 ��"����
�	 �� x�
� ������	 ���
���	 �	������ "��
������ �� 
��	$��
� 	 �	���	
�
�������	 �
!���	 �������� �� �
�(����	 �� ��������!
��	# ��� �����
"�
���	� �	� h � ��� �� ��� � �	�����	� ��# ��
��	 h ������ �
�
 9#
 �	����	 
��	$��
�
 �	 �	���	 �
�������	 ������ �
�
 
 ��
 �	����	
�$
��
# �����	� ��� 	 �
�	�	 ���
���	 
 ������������ *�
� ����	# �� 	
���	 3
��	���	 	� ���
���	4 �	� �
�	�
�	 �	� ��
 �����	 �� h �
 ��"�����
�
����
ec ≤ Chp 3'�''4
�� ��� C 
 �� �)���	 �	�����	 ������������ �� h � p # �����	� ���
	 �
�	�	 
 ����������� �� ����� p� 8�
��	# �
�
 
�
� �� �� �
�	�
�
��� 3'�''4# �� ��� �
��
� �� ���	�
��� C′hp ≤ ec 3C′ 
 ��
 	���
�	���
��� ������������ �� h � p4 �	����� ���������� 	 ����	�	 ≤ �	� ��
������� ��� M�3���	��� 1�� �� 	3
�*��	 	 ��
�;	�	 �� ��	 ,��82� f ��
3���� x¯ 3�#	 
	J2� ���
�����	# 1�� 	3	
��� �� 9 � �:� 0A;�	������ �� f ,�
��
�;-;�# �� x¯� � �
� �������� 1�	��� �� ��A������ f ′ 3�#	 
	J2� ���
�����	#
����� 3	
	 � 1�	��� h → 0� 6������� ���� ;�
���� �	 M��82� �� � � �
� �7
�� ���3�
�	 ���� Ch �� f ∈ C2 ���	 ;�J���	�8	 �� x¯� �
*	 �����
� 
� ��	�����
��� �� �	����"6���
 �� �� �
�	�	 ���
���	
���	������ �������������� 
 "����	� ��� ���������
� 	 ���	 �� �����	
�� h ���
 ���
�
 �	"
������
 ���	 
# �	� log(h) �	 ��$	 �
� 
�����
� �
log(ec) �	 ��$	 �
� 	����
�
�� � 	�������	 ����
 ���������
��	 
 ��
�	1 ��
ec = Chp ����	 log ec = logC+p logh� <	��
��	# �� ���
�
 �	"
������
 p
���������
 	 ������� �
 ���5
 ����
 log ec �# ����� �	�	# �� ����������	�
�	��
�
� �	�� �
�	�	�# 
 ����
 �� �
�	� ������� �	�����	��� 
	 �
�	�	
�� 	���� �
�� ����
�
� �� "����	� �
 ���
�
 �	"
������
 	��6���� �
����
����� �� ������# �
��
��	 �
�
 ���	 ��"��
� ��������(& # ����	������
� � & 	� ����	��� ��� �	��6� 
� 
�����
� � 
� 	����
�
� �	� �
�	� 
���������
��
<	� �$����	# �
 2�"��
 '�: 
� ���5
� ����
� ���������
� 	 �	��	��
�
����	 �	 ���	 �� �	�� �
�	�	� ����������� * ���5
 �	�����
 �	�����	���
 �& K
	
 �2� � �7 ���	�� �&
10−6 10−5 10−4 10−3 10−2
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
1
1
1
2
������ ���� C
-=�� �� ���	#	 #�
	
>����	
 ��
 
��	$��
��	 �� �������
 	����# ����
��	 ��� 
 ���5
 
 ��
���
�	
�	�����	��� 
 ��
 
��	$��
��	 �� ��"���
 	�����
=� ��
 
�����
���
 
	 ��	����	 "����	 �
�
 ��������
� 
 	���� ��
�� �
�	�	 ��
��	 �� �	�5��� 	� ���	� ei ���
���	� �
�
 
�"��� �
�	���
hi �	 �
�(����	 �� ��������!
��	# i = 1, . . . , N 1 �	������ �� ���	� ���
ei 
 �"�
� 
 Ch
p
i # 	��� C ��	 ������� �� i� <	���	� ����	 
��	$��
� p
���	� �
�	���
pi = log(ei/ei−1)/ log(hi/hi−1), i = 2, . . . , N. 3'�'I4
�	� �����	# 	 ���	 ��	 �� �	�� �
����
� ������
����� ��
 ��! ��� ���
����� �
 �	����	 ����	�5����
� ?	��
��� �	� ���	 ���������	 ����	��!��
�
�	��� �
���������# 
� �5
�
�
� �
�
���
��
 �� ����# ��� ������
� ���
���
� 	 ��%���	 ���	� O����	� 
�"��� �$����	� �
� ���� �� I�I�'# I�M �
K�K�
�/ /� 8������ �� ��	��	
�� "��
�# ���	������ �� ��	����
 �	 �	����
�	� ��
��	 �� 
�"	����	#
��� 
 ��
 ��������	 ������
 �� �	��
 �� ��$�	# ��������
��	 
 �$�����	
�� ��
 ����6���
 ����
 �� 	���
� �� �������
����
� ��
�� ��������
���� �� �� 
�"	����	 
 	 �)���	 �� 	���
� �� �	�
���"��
 J���
��� ��������
� �
�
 
 ��
 �$�����	� H���
� ��!��# 
 ���	���
�
�� �� �� �	����
�	� ������� ���	 �)���	 ��$��	 �� 	���
� �� �	�
���"��
 J���
��� ��� �	�� �$����
� ��� ��"���	 3���
4� �� �
������
�
�# 
 �	��� ��
� 
� ��"������ �	�
� �� 
�����
�
�1 H�"
�J	�� �"�
� 
106 flops# ,�"
�J	�� �"�
� 
 109 flops# ?��
�J	�� �"�
� 
 1012 flops�
=	�� �� ��
# 	� �	����
�	��� �
�� �����	� 
���"�� ����
 �� K9 ?��
�
J	���
�" 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
+� �� �	�	 "��
�# 	 �	�5�������	 �	 �)���	 �$
��	 �� 	���
� ��
������
�
� �	� �� ����	 
�"	����	 ��	 
 �������
�� A
��
��# �� ��! ����	#
��������
� 
 ��
 	���� �� "�
���!
 �� �����	 �� �� �
�(����	 d 
��
�	��
�	 V �������	 �	 ��	����
� *����# ��!��	� ��� �� 
�"	����	 ���
�	����$��
�� ���
����� �� ��
� �� �)���	 �� 	���
� �� ������������
�� d# ���	 
 O(d) 	���
� ��X ��� �	����$��
�� �
���� �� �������� O(d)
	���
� ��# 	�# �
�� "��
������# �	����$��
�� ���
���
�� �� ��
� O(dm)
	���
� ��# �� ��� m 
 �� ������	 �	�����	� ����	� 
�"	����	� �	��� ���
�	����$��
�� ��������
�� 3O(cd) 	���
� ��4 	� ����	 ������
�� 3O(d!)
	���
� ��4� T��	����	� ��� 	 ����	�	 O(dm) ��"����
 /�	��	��
���#
�
�
 "�
���� �
�	��� �� d# �	�	 ��
 �	���
��� ��!�� dm0�
������� ��� �������� ����� !
�"���# M�D	 � ��	 �	�
�J 1�	�
	�	 ��
�
��� n � ��D	 
 �� ;����
 �� Rn� � j(����	 ���3������ �� 3
����� Av �
�	�	 3�
aj1v1 + aj2v2 + . . . + ajnvn,
� 1�� 
�1��
 n 3
������ � n−1 	��8H��� ������ � ������-
�� �,����	
 n(2n−1)
�3�
	8H�� 3	
	 �	#��#	
 ���	� 	� ���3�������� L���� ����� � 	#
�
���� ��(
;�#;� O(n2) �3�
	8H��� � ��� 3�
 ���� ��	 ���3#�*��	�� 1�	�
-���	 
�#	��;	(
����� 	� 3	
N���
� n� 0 ����� 	#
�
���� ��������	
�	 �� O(n3) �3�
	8H��
3	
	 �	#��#	
 � 3
����� �� ��	� �	�
�J�� �� �
��� n� 6������� �*���� ��
	#
�
���� ��;��� 	 M�
	����� 1�� 
�1��
 O	3��	�P O(nlog2 7) �3�
	8H�� � ��
���
�� ��;��� 	 ����
	� � 6�33�
������ 1�� 
�1��
 	 �*���82� �� O(n2.376)
�3�
	8H��� �
������� ��� �"$�"��� �� �������%�%�� �� ��� ����� # �	# ���� ,��
	���
��
����� �������	��� � ����
���	��� �� ��	 �	�
�J 1�	�
	�	 �� �
���n 3��� ��
 �	#��#	�� ��	��� 	 ,7
��#	 
���
��;	 9 �':� 0 	#
�
���� ��
��3��(
����� ��� ��	 ���3#�*��	�� ,	���
�	# �� n � �7 ��
�	 	3#��-;�# 	 �	�
�J�� ��
3�1���	 ������2�� ��
 �*��3#�� �� n = 24� �� ���3��	��
 �	3	J �� 
�	#�J	
 ���	(Q�3� 9���� �� 1015 �3�
	8H�� ��� ;>
�#	 Q���	��� 3�
 ��
����: ��(
������	
�	 �� �� 	��� 3	
	 �*����	
 ���� �-#��#�� ��
�	(�� 3�
 ���� ������-
��
���
�
 	 	#
�
����� �	�� �=�	J��� �	 ;�
�	��� �*���� �� 	#
�
���� 1�� 3�
(
���� � �-#��#� �� ����
���	���� R ����	 �� 3
������ �	�
�J(�	�
�J ��� ��	
���3#�*��	�� �� O(nlog2 7) �3�
	8H�� 	3#��	��� � 	#
�
���� �� M�
	���� ���(
����	�� 9;�
 S��@"T:� �
� �)���	 �� 	���
� �� ��	 
 	 )���	 �
�(����	 
 ��� �� �	��
 �
������ �� �� 
�"	����	� -� 	���	 �
��	� ���	��
��� 
 	 ����	 �� 
����	
V ���%��
 �	 �	����
�	� 3��� ������� �
 �
����
 �	�	 	 
�"	����	 �	�
��	"�
�
�	4� -� �����
�	� �	 ��������5	 �� �� 
�"	����	 
 �	� ���	 	
����	 �<- 3�<- ��"����
 ������� �����
�� ��
�4# ���� ��!�� 	 ����	
�� ������	� �� ������ �	�� ��� 	����	 �	� 	 �	�
��	 ��2����� ���2����
����	 �	�
� ��� ���	��� ����� 
� �
��� �� ������� � 
���� �	����� 	����
�	� 	 �	�
��	 �����������
 �" 0� 	�A������ ������ � 0��	;� �!
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
������ ��&� �
����� �	�
�J(;����
$ � ���3� 6�E 9�� ��
�����: �� ,��82�
�	 ������2� n �	 �	�
�J 9��� �6 	 ��&5 CUJ:
������� ��� �	
	 �	#��#	
 � ���3� ������-
�� 3	
	 �*����	
 �� 3
�����
�	�
�J(;����
� �������
	(�� � ��
����� 3
�
	�	$
� � � �			� �&� � �	� 0 � ,��� ��.��� 9 � ,��� ���� C�')�
� ��!�0 � ' )� ��%�& � ��
� $�, < � �	; �&� ;�
00 � 0��;< .�;<�� 99 � 9��;<�*�
& � � %&��� � � � 00#99� && � � %&��� � &�
C � 'C. &&)� ��!�0 � '��!�0 .<)�
���
� ����
�82� �;�&� ;� 1�� 	3	
��� �� ���#� $�, 
�
	 ����� �� �4��
�� �	 ,�
�	
�9����9�
���&� #<� ���� < � �� �����
� 1�� ;	
�	 �� 	 	 <���� ����� <��� � �	��
�����
� �	# 1�� ���&� #<��� � ����
 1�� � 9�� �	�� �������
	��� ���	� ���			
� �&� ��	:� 0 ���	��� ,�����.�� ��=�� ��	 �	�
�J �� ��D�� �#�������
��
1
�2� 	#�	�7
���� ��
 =�� C � � ;����
 ��D	� ���3������� ����F� � ���3� 6�E
������-
�� 3	
	 �*����	
 �	�	 3
����� �	�
�J(;����
� ��1�	��� 1�� � %&���
�- � ���3� 6�E 9�� ��
�����: ���#�J	�� 3�#� 3
������ �������� ����� �
��� ��>���� 0 ���3� ������-
�� R �*���82� �� �� 4���� 3
�
	�	 �� 3�
�	����
	 ��,�
��8	 ���
� � ���3� 6�E �,����;� � � �	#��#	�� 	���� �	 �*���82� ��
3
�
	�	 �� ��
��� 
�	
�	�� �	 ;	
�-;�# &� 0 
-=�� �	 )�
�
	 �'� �A����
��� � ���	��� ��&���!�0.C.*�*�� ����
	 1�� � ���3� 6�E 	�����	 ����
� 1�	�
	�� �	 �
��� �	 �	�
�J �� �
��! "	 
�#�����	 �$%&$' � "
�
(�
�� ��	"�
�
� �� ������ � ���
�� ��	 
�������� ����"�
�	� �� ����
���	 ��������	 � ����
��!
��	� ����	 ������	� �
� ���"�
"��� � � �[[�
������ 
 ����������	 �	� ?5� H
�5D	�Q� 3��� 	 �������	 �
 @��
666����:6��;�����4� � ��� �	�� ��� �� ()&�
� �)*������' �	����
�	� �����
������ ������	����	 �
�
 	 ������	 �
�����
��
���
��# �
��
� �	�5����	 �	� ,&- ���
�� 3��� 	 �������	 �
 @��
666�����0�����4# 
 �� 
������� ��� �� ��������� ����������� E �	������
�' 0 1�� �2� �� 3��� �
��
	
�������������	 �\	� �	�������	 �	� ����	� �
 ������
 ,&- ������� ��	�
�
�
���
� 3,<G4 ������
�
 ���
 +��� ,������� +������
���
?
� �	�	 �����	���	� �	 �����	 ����� �
�����	# �$����� ��������
�
����� 	� 
��������# 
� ���"�
"��� � 
� ����	���
 �� ������ � ���
�
��� �	����	# 	 ��� ����� �� �	��
�������
�� ������� �$����
� 
 �
�	�
�
��� �	� ��	"�
�
� ����� ����	# �
��	 �� ������ �	�	 �� ���
���
8�
��	 �
� ��	 �	� �	������# �	���� 	� �	�
��	� ��	 �6� 
 ����
 ����
�
$�# 	� �	���� �����	�
� �� �	�	 ���������# 	� 
���
� �	���� ��	
�$�����# ������������� ��
 �	�
 �	 �� �� �
�
 �����	 ��� �	����� ��
�$����
��	 � �����
 	 ��� ������ ��� ����	�
*���� �	�	������ ��� 
� ��
� ����	���
# ���
�� �	���� �� �
��	
�	�����	 �� ���� �� ����	������ 
��
�
� �	 ��	����	 �5
�
�	 ���
���
�	�"� 3��� 	 ����	 �
 @�� ����0����2���������
��4� ���� ���	���%��	 ��
���� �� ��	 ����
 �� �� ���������� �� ����
� ���
� ����������# �
�� �	�	
��"���
 ����
�# �
���!�� ���
��
�# 	�����!
��	# �
�
 �����	�
� 
���
�
�"��
�� <
�
 �$����
� �	�����
����� �	�	� 	� ��	"�
�
� � �$����	�
����� ����	 �� ���
��# 
 ������������� ����
�
� ���
����	�"��
+��	�� �� ����
�
������� 	� ���
��# �	���	� 
����� 
 �� 
����
���� �� ��
�
�5	 �
�
�����!
�	 ���	 ������ � �������� � ����0�9�<�
����0�9�<
�� ���
��# ���������
������ <	� �$����	# ��
��	 �$����
�	� 	����
��� �	 �	��	 �	����
�	� ����	
� ���	�
D 7 0 C = 0 2 6
3� +,�/�& �
(���		� C�� 7�&�:�,<�. 8��
E�,���� �
	
	
�
	� �F���
7�+ 	1. �		�
C� /�& �&�,&��. �����& 70C=02 G�� �, H���� $,�� &�� G�� ���%
V
<	� 	���	 �
�	# ��
��	 �$����
�	� ���
�� ���	�
IJK L�&�9�. 9�,���� �
�
�� ��(1M1�� �����%��/�%�
3� +,�/�& �3� �		� N��� :
 5�&��
C��� �� $,�� ��$&��,�� ��� &�� ��%,�� ���� $�, �� +��/ �����&����
C��,� �� 02@L=KC5=O JL :0FF0JCO� ��& �9�� $�, 75F3G0JC828=8CO �,
P8CJ5@@ PLF 0 A0FC83K=0F AKFAL@5
 P�, ��&����. &+ � >��,,��&+*
0���&����� ��$�,��&��� ���%& L�&�9� �� �9������� �&
�&& ;�����
��&�9�
�,/
A����� ���&,��%&� �$ +�% $��� &��� ��$&��,� %��$%�
P�, ��,� ��$�,��&���. 9���&
�&& ;�����
��&�9�
�,/���� ����&��
�&��
F� �,& �%/� &� D�%/Q��&�9�
�,/6 ��%& $�,�&. ����� ,���
�&& ;�����
��&�9�
�,/��%/�
�&�� &� ���,� ��� &� �,�&� � ��� $%�
,� �,&�
��&�9�;�6
 �! � #��
�	
�� ������ �@
��) $ ���*�
*�� �$%&$'
+��	�� �
� 	�����
� �� ����	���%��
� �
 �����	 
�����	�# ���
�	� ��
�	���� �� �� ��
�
�5
� �	� 
�������� ������ 	� ���
��� * �
����
�� 
"	�
 H*?G*A ����"�
�� �� ����	�����	 �� �	�
��	� �	���� 
������ � ���
���
+��	�� �� ��"��
� ������� 3	� 
����4# ���	 	 ��� �� �������� ���	��
�	 ������ ���� ���������
�	�
�
H
�� ������
�����# ������ ������
�������	 �� 	 ��� �	� ������	 �	�����	��� 
 �
������� �� ������
� 	� 
	
�	�� �� �� �	� ��	"�
�
� 	� �	�
��	� ������	� �� ������� ��
���
� ������
� �� �
�5
���# ������ �� ��
 ����
"�� �� ���	� �
�	
�	������	# 	 �	�
��	 
 �$����
�	 � ��� �	����������� ����
��!
���� ��
����� �� �	�	� 	� �
�	�# 	 ������
 �	��
 �� �	�	 
	 ������ �
�
 �
���
����
� ��� ���� ��	��	 
 ������� �	�	� �	�
��	�� <
�
 ������
� ��
�����	 �������� �����	� �������� 	 �	�
��	 
2�� 3	� ����4 � ��"�
2��
����
��
� ������ * �
���� �� 
"	�
 ���$
���	� �� �����
� ��� �
�
 
 �$�����	
�� ��
����� ��	"�
�
 	� �	�
��	 �� �	��
 ���������	 ��"��
� ������
*�
� ����	# �����!
���	� ���������������� 	� ����	� ��	"�
�
# �����	
	� �	�
��	� 8�
��	 	 �	��	 �	�
��	 �� �����
� 
 ��
 �
� ��������
�
�������
��� �� ������ 3�	� �$����	# �� �)���	 	� ��
 �
���
 ��
�
�
������ ����� 
��
�4 ���
 ��������
 	��
���� �����
�
����� �� 
����
�
 �
������ �	� ����
�� �
� 3
�����
���
 �	 ��"�6� ��
���4� <	� �$����	1
�
�
� *���� *
��� �
����
�� ���������	� �� ��"���
 ��
 �	�
 �
���
 3	� �)���	4 �� �
�
��
�����# �
� �	�
�� ���� �	�	 �
�	��
<	���	� ���
����
� 
 
�������
��	 
��	�����
 �
 
���� ���������	
�� �	��	 � ���"��
 ���	�� �
 �
���
 �� �
�
������� *����# �� ���������
�	� 5����5,������ ��� ������������ ���	���� 	 ������ 3
��	��
��	
�	����	 	 �
�	� 5����5 V �
������ �
�4�
H
�� "��
������# 	 �	�
��	 � ������� 
������� �� �
�	� 3	� ��
�
�
���
 �� �
�
������4 
 ��
 �
�
 �
������� <	� �$����	# �
�
 
����
� 
�
���
 5=�
0�
1� � 4�����5 V �
������ �# �	���	� ��������
� ��*2��9���� � =�����

Continue navegando