Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
O meu co-autor e amigo Fausto Saleri faleceu inesperadamente no dia 4 de Junho de 2007, com 41 anos. Fausto foi um grande matemático e uma pessoa maravilhosa. Se gostar deste livro, é ele que merece o mais elevado reconhecimento (A.Q.) Prime pagine 17-09-2007 15:18 Pagina 1 Alfio Quarteroni Fausto Saleri CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave 1 3 Prime pagine 24-07-2007 15:26 Pagina 3 ALFIO QUARTERONI EPFL, Lausanne e MOX, Politecnico di Milano FAUSTO SALERI MOX, Politecnico di Milano As simulações numéricas reproduzidas na capa foram realizadas por Davide Detomi e Nicola Parolini Traduzido do italiano por: Adélia Sequeira Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico - Universidade Técnica de Lisboa Tradução da obra italiana: Introduzione al Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB A. Quarteroni, F. Saleri © Springer-Verlag Italia, Milano 2006 ISBN 978-88-740-0717-8 Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag Itália é membro da Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2007 Esta obra está protegida pela lei dos Direitos de Autor. Todos os direitos estão reservados, em particular os que se relacionam com a reprodução e a representação, tradução, reim- pressão, exposição, reprodução de ilustrações e tabelas, transmissão sonora ou visual, reprodução em microfilme ou conservação em bases de dados, e reprodução parcial ou total de qualquer tipo (impressa ou electrónica). A lei em vigor sobre os Direitos de Autor só em certos casos é que permite a reprodução parcial ou total desta obra, com autorização do Editor e, em princípio, com pagamento de direitos. A violação das normas, nomeada- mente a reprodução, contrafacção ou conservação numa base de dados sob qualquer forma, está sujeita às sanções previstas na lei. O uso nesta obra de designações genéricas ou comerciais, de marcas registadas, etc., mesmo sem especificação particular, não significa que tais designações ou marcas estejam isentas da legislação correspondente e se possam usar livremente. Versão final em camera-ready fornecida pelo tradutor Projecto gráfico da capa: Simona Colombo (Milano) Impresso em Itália: Signum Srl, Bollate (MI) Springer-Verlag Italia Srl, Via Decembrio 28, 20137 Milano Prime pagine 17-09-2007 15:18 Pagina 4 �������� ���� ���� �� ���� ���� ������ �������� � � ��� ������� � �� ����� �� ������� � ���� � � � � � ��� ��� � � � ��� ���� � � ���� � � � ���� � �� ���� � � ������� � ��� �� � ��� ��� �� � � � �� � �� � �� �������� �� � �� � � ����� �� ������� � � � ������ �� !�� � � �� ����"� �� �� ���� �� � ����� �# ��� ���� �� ������ � ���� ���# �� $�� �� �� ���� �� � � � ���%�� � � ��� ���� �� $�� � �� ��� � �� ��������� ��� & � ����� '# � � ���(���� # �$� ����� � ��� "� � � �� � � ��� � � ���� � ��� �� �� �� !�� � � ��� � � � �)��� � �� �� � � ����$ �# ���� ��� � � ���!��� * �� �� � �� � ��� ������� �� � �� � ����� � �� ����# � �� �� �� � �������� �� �� "� � �� ������ � � � ��� ��� +������ ��� �� � �� ��� ��� �� �� ������������ �� �� �� � ��� �� ���� ��� ��� ������ �� � ������ � ���� � � � ���� ������ � ��� ��� � � ���������� "� ���� ����� � � ,&- ������� �� � � � ��� �� &���� ���� # �� ���� ��!�� � �� � �� "� �� � � ������� �� � � �� � � ������� �� ���� � ���"� "��� �� �� "� � �� # ��� ��������� ��������� � � � � � �" ���� � � ������ � � � ������ � � ������ �� ����� ��� ��%��� � � � ��� ����� ��# ������� � � ����$�� ��� .�������� ��� ��� ���� �� ������ � �� ���� � �� � � �� �$������ � � �$���� �# �������������� ��" � � ���� � �� � ����� �� �� � � ���� �����! ��� ���� � ��!�� �$������ /� � �� �� ������01 ����� � ���$� # ������ ���� ��� �������� � � �� � ������� ��� � ��� � �� "� � � �� ������ � ��� ��� 2�!��� �� ��� �� � ������ � ��� �� ���"�� � � �� ������� �� � � �%��" � � � �� � ���"� "��� �� �� "� � �� � & � � �� � � � � �� ��� � � �� � � � ������# ������� ��� �� � � �$���� ��� � �� � � ����� � ����� � ������� 1 ������ � �� � � � ��� � �� ���� ���� �� ����� �� � ��� � � � �� � ����� �� � !"�� ��#$ �� %&�'("�!(!���� ) *$ �� %&�'("�!(!�� +� � �,-��� *� �� ��� ������ � ���� � � "���� � � � � �� � ������ � �� "� ������ � � � �� �������� 3 � ��� ��4 � � � � � � �"��# � � � ���5 ��� �� ���� ��! ��� ������� ��!� � ���� � ����� � � ����� � ������� �� �$������ �# ���� �� ��� ���� � �����! � �� �� �5 � � ����� � ���� � � � �� � �� �� ���� ������ � ������������� �� �� �" ���� � �� �������� � *� �%���� � � ������� � �� ������ � �����(��� �� � �� � ��� � �$ � 2�� ������# ���� � ����� �� �� �� �������� � � ����� � � � ����� �� ��� �� � � � �� �$� �� & �� �� � � � ����� ��� ��� ��� �� ����� �������� ��� ���� ���� ����� � �� � �� � � � � �����6��� � ����� "���� � ��� ���� ����� ���� � �� ���� � � � �5������� � ������� �� 2������������� � !��� �����6��� ���� 78��9:; ��� ������ ��� �� ����� � �� � �� � ����� � � ����� �� ��� � �� � � � ��� �� ��� ���� � � ������ � � ��%��� �� < � �� �������� � �� � ����� �� ������ ������� � 7==9>;� ? � � � �� "� � � ������� � ����� ���� � ��� ��� �$�� �� � � ��"����� ������� � @��1 ������������� � � ���� � �� �������� �� �� ������ �� ��������� �# � � �$����� �� �� ���� ������� � �� ������ � � ���� # � ������� � ����� ��� �� �� �� � ������� �� ������ � � �� ������ � ,� ����� ��� �� �� � � �$���� ��� ����� � ��$� � �� ����� � ��� � ������� ���# ������������ ��� ������� ������ # ���� � ���� � � ���� � � 8����� � ���$ � �$����� � �� "� �������� 2� ����� A � ��� � �����"���.���� ��� �� � � � � �� ��"���� � �������� � �" ����� �� ���� # < � � ���� � � � � ��� �� � �� ���� � �� ���� �# �5���� �5� <���B5 ���# C 5� D� � � � � + ��� A ��� � � � � � ����� ��� � � �����! �� �� ��� ��# � � � �� ����� � �� ���� < ���� � � E� �� < �F���5����� 2 � � �� �� G �� ���� < � ��# ���� ��� � �$������ � �� ��� �5������� *� �� ������� ��� �� ���� ���� � � � ������ ����� ���� # ���� � � ��� � �� � ����� � � � ���� �������� ��"��� ��� G �� ��� � H�� � # C��5 �� I99: *�� 8� ���� ��# 2 ��� � ���� ���� � � ��� ��� � ��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ' '�' &)��� � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ' '�'�' � � �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I '�'�I � � � ���� � � � � �)��� � �� ���"�� J��� ��� K '�I &)��� � � ����$ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L '�M H ���!�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � N '�M�' O��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'M '�K 2��� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '> '�K�' �� !�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'L '�K�I < ���%�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P '�K�M .���"� �� � ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9 '�> ��� � �� �% 5�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II '�>�' 2 � �� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � I> '�L �� �������� H*?G*A � ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I: '�: * ���"� "�� H*?G*A� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IN '�:�' .������ �� �� H*?G*A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9 '�:�I <� "� � �� �� H*?G*A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M' '�:�M �$���� � �� �������� � ����� � ���"� "��� ������ � ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ML '�P � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ML '�N �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M: � ������� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MN I�' � � � � � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K' I�I � � � � �� &�@� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K> I�I�' � � ������ � � ���� � �� �� &�@� � � � � � � � � � � � K: I�I�I � � � � �� &�@� � � � ������ � �� ��� � �� �� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KN I�M .��� � �� �� � �� �$ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >I I�M�' � � ������ � � ���� � �� �� � �� �$ � � � � � � � � >L +��� .����� I�K *����� �� ��� � � � �� *��Q�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >L I�> < ���%�� � �" ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L' I�>�' *�" ���� �� =R���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LI I�>�I � � � � �� &�@� ��=R���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � LK I�L � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LL I�: �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LP � � ��������� �� ������ � �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :' M�' .����� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :K M�'�' .����� � �� � ��� �� � �� G "� �"� � � � � � � � � � � � � :> M�'�I .����� � �� �� �5��F�5�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P9 M�'�M .����� � �� ���" � � ���� � 22? � � � � � � � � � � � � � PI M�I .����� � �� ����� � ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P: M�M *�� $�� �� � � ���� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PP M�K � � � � � � ����� � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NI M�> � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � N: M�L �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NN � ��������� � ���� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9' K�' *�� $�� �� �� ����� � � �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � '9M K�I .���"� �� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9> K�I�' 2%���� � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9L K�I�I 2%���� � �� � !� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9P K�I�M 2%���� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9N K�M 8� �� ��� � �� ��� ������ � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''' K�K 2%���� �� ����� � � �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''> K�> � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''N K�L �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'I9 !� ���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'IM >�' � � � � �� � �� ��! �� G- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'I: >�I * � ���� � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'MK >�M 8� � ������� � � �� ��! �� G-S � � � � � � � � � � � � � � � � � 'ML >�K � � ��� ���� �� ������ ����� " � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K9 >�> ������ � � ����������� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K' >�L � ��� �� ��� ��� ���� � � � �� \ � � � � � � � � � � � � � � � � � 'KM >�: H � � � ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K> >�:�' � � � ������� �� � � � ���� ��� � � � � � � � � � � � � 'KL >�P H � � � �� T��5 ��� � � � "� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � '>' >�N � � � � � "� ������ � ���" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '>M >�'9 8� �� ��� �� ������ � � � �� � � � ���� ��� S � � � � '>L >�'' < � �������1 � � � ������ � ���� ��� S � � � � � � � � � � � � � '>N >�'I � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'LK >�'M �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'L> .����� �/ " #����� �$ ��� � ������� �$ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'LN L�' � � � � � � �6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':M L�'�' *������ � � ����"6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':> L�I ,���� ��! �� � � � � � � �6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � ':L L�M � � � ���� � �� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':P L�K ������ �� � � � � � � ��� ��%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P' L�> � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P> L�L �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PL % ������� ����������� �����&��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PN :�' � �� ���� �� � ��5F � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NI :�I H � � � �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NM :�I�' *������ � � ����"6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NL :�M � � � � �� �� �Q�&�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NN :�K U�� ���� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9' :�> ��� ����� �� �� ������ � � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9M :�>�' T�"�� �� ��� ����� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � I9L :�>�I * ��� ����� �� �� ��� � ��� � � ������� � �� � I9: :�L H � � � �� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I'K :�: H � � � �� ������� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I'P :�P ������ � �� ��� � �� ��������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II' :�N *�"��� �$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II: :�N�' � �6���� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II: :�N�I � �� ���� � � ��6� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM' :�N�M *�"��� �� ���� � ��"�� � 3 � � 4 � � � � � � � � � � � � � � � � IMI :�'9 � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM: :�'' �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM: ' (����� �������� ��� ��)���� �� ������ ������� � �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IK' P�' *�� $�� �� �� �� ���� � �� � � ��� � �� ����� � � � � � � IKK P�'�' *�� $�� �� � � �������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � IK> P�'�I *�� $�� �� � � ������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � IK: P�'�M *�� $�� �� � � �������� � ���� � �� �� ���� � ��������� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>9 P�'�K � �����6��� � � ����"6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>> P�I *�� $�� �� � � �������� � ���� � � ��� �� �� � � � � I>: P�M * ��� �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILI P�M�' *�� $�� �� � � �������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � ILK P�K � ��� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILP P�> �$������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILP / .����� * !������ �� �����+��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:' N�' � ����� ' � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:' N�I � ����� I � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:K N�M � ����� M � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IP9 N�K � ����� K � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IPK N�> � ����� > � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IPP N�L � ����� L � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INM N�: � ����� : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INL N�P � ����� P � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9> ,����-���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9N .����� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M'M ����� � � I�' ���������� ������ �� � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KM I�I � �� � ������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KP I�M � �� ���� ������ �� ������ ���� ���� ��� � ����� � � >9 I�K ���� � ������ �� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >N I�> ��� ��� ����� ��� �� � � �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LM I�L � �� ��� ��� ������ �� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � L> M�' ��������� �� �� �� ��� �� �� �������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � N9 K�' ������ ��� ������� �� ��������� ����� �� �� ����� ��� � '9: K�I ������ �� ������� �� ��������� ����� �� �� ! �� �� � � � � ''9 K�M ���� ���� ������� �� ! �� �� ������� �� � � � � � � � � � � � � � � � ''P >�' ��� ���� ������ "� �� �� #�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'MI >�I ��������� ������ ����� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'KP L�' ����� ��� ������ �� ���$�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':K L�I � ������� ������ �� ���$�� � ���� � ��� ���� �� �� � � � � � � � ':: L�M ������������� �%����� �� #�� &��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':N L�K ��� ���� ������ �� ���� '� () � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PM :�' ������� ������ �� *���� ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NK :�I ������� ������ �� *���� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'N> :�M �� � ��� ������ �� +������ ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I99 :�K �������� ������ �� ���� ��������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � II9 :�> � ������ ��� ���� �� �� ������ �� *���� ������ �� ,��� �����-. �� *���� ����� �� ,��� �����-. �� +������ ��� �� ,� � �����- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II9 :�L � � ��� ������ �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IIL :�: ��� �� ����� �� ��� � ���� � �������� �� �$����� � ��� �� � � IIN :�P ���������� ������ ������ ���� � ���� ��� /���� �� ��$ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IMI P�' ���� ����0 �� �� �� �� �������� �� ������ �� ������ �� �� � ��� ���� ���� ������ �� � ����� � /� �� � � � � � � � � � � IKL /�� � � � � P�I ������ ��� ����0 �� �� �� �������� �� 1� �� ��� ���� �� 2 � �&��� ���� ������ �� � ����� � /� �� ��� � ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>M P�M �� ����� � θ������� ���� � � �� �� �� ����� ��� ���%� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IL9 P�K � � �� ��� ������ �� ������� ���� � � �� �� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IL> N�' ���� ������ �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INN N�I ���� ������ �� )�����3���� �0��%� �� �� ����� 4 � � � � � � � � � M99 N�M ��� � ����0 �� �� �� �� �������� �� ������ �� ������ �� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9P � � ��� �� �� ���� �� �� � &���� ���� # �� ��� � ������ ��� ����� � � �� �� � ������� ������� � ��� ���� � �� ������ � ���# � � ��� � ���� �� ��� �� � �� ����� � � ���� � ����� ��� � � ������� �"�� � ����� �� � ���� ���� �� � � � � ����� � � � ���� � *������ &�� ��� � � ��� ��� � � � �$� �� � � ��� ��"���� � � ������ �� � � ��� �� ������ 3�����$ ��� � � �F4# �� ������� ����"� � �� �� "� � �� � ���� ��! �� �� ������ �������� � -� ��� � � �� � ,&- ��� �� 3 ����� � �����# ��� � ��4 ��� � �� �� �� � � ��� �� � �� ����� � � ������ ������� & � ���� �� '�L � '�: � ��� � �� ���� ���� ������ � ��� ��# ��� � ��������� � � ��� �� �������� ����� ���� � 2 ��� � �"� ������ �����6��� V� ������� �� �������� � ����� � � �� �� "� � � � ����� ��� � � ���� ��� �������� � � � � �� �� 7==9>; � 7� �9I;# � � �� �������� � ����� � � ���"� "��� ������ � ��� ��# ��������� ������ ��� �� �� ������������ �� � � ��� �� ������ ��� ������ "� ��� � � �� � � ���� ������ � ��� ��� � � ��� ���������� "� ���� � ����� � � G����� <)���� ,�� � ,&-� * � �" � ���� # �� ��� � �������������� �$������ /� � �� �� ������01 ����� � ���$� # ������ ������ ��� �������� � � � ������� � ��� �� � � �� "� � ������� � ��� ��� <� ����� � ���"�� � �����! �� � � � �� � �%��" � � �� "� � � ��� ������ � ��� ��� & � � �� � � � � �� ��� ��� �� � � � ������# ���� ��!�� � �� ����� � ������� � �� � ����� � ����� ������� &���� � ����� # ������� � � �� ����� � � �� ����� � � � ���� � �� ������ # W�"��� G��� � � ,� ����� # ��� ���� �� � � � � ���� V �� ���� �� � ������ �������� � ��� ������ �� � ���� �� ��� � ����� R � � �)��� � �� �� ��� � �5���� # � � � � � � ���� � ��� � � ����� � � ���! ��� � � �5���� � + � � 0 1�� �2� �� 3��� � �� ��� � ������ � �6� ������ � ����� � �# �% �� � �� ��������� � �� ���� ����� F �� ������� ���� �� R� �� �)��� � ����� ���� ����� ����"� ���� � � ������ �� ������� ��������� < � ��� � � # � � ��� ��� � � ����� '�'�I# � �� ����� ��� ��� � � �����! � F �� ���������� � � �� R� -� �)��� �� � x "�� ������ ����� � ��� ������ # � �� ��"�� �� � � �)��� 3������ �� ������� ��������4# ��� �� ����"� � � fl(x)# � ��� �� � ������ ������ �� ����� � � �)��� ��"�� � x� �/�/� 0��� � �� �� ����� < � � �5���� � �������� � ����� R � F# ���� � � !�� �"�� � �$����6�� �� � � � ������ ��� ������ � � �� � � � ���� � � 3� � �$���� # �� <�4 �� � � �)��� � �� ��� & ����� ��� �� �� ���� ��� � ��� ��# �� ��! �� ��� ���"� "��# ��� � �� ������ �� � �����6��� � �� ������ � � � � � �� � ������ � �������� ������� �� ����� � ����� � ���� ������ � � ���� � � �# �� ��� � "� �# � ���"� "�� �� �� "� � �� � � �������� � �)��� � �� � �x = 1/7# ��� ��������� �� ����� � 0.142857� ?� � ��� �� �� ��������� �� ������ # �� ��! ��� ��� �� ������ �� �� �" ���� � ����� ��� < � ���� �� ��������� �� � � ���� � � ���� ��!�� � �� ������ � � ��� �� � ������ 3��������� � ��� ���� � �4 � ���� �� � ��� ��� � ��� ��� �� �)��� ��� � � � �� �� �" ���� � ����� ��# �� ��� )���� ��������� � �� �� ��"�� � �)��� ��"�� �� �� � ������ �� � " � 1/3 ���� � 0.3333 �# ���� ��!# �� �� �" ���� ����� � �$ �� � ���� � �� �� ���� ������� � �� �� � �)��� � �� �� ����� ����������� � � ���� � �� .�� ��"���� # �� ������� ��" �# ��� �% �� �� � �� �)��� �$ �� � � � ����� �� � ���# � � ���� # )���� ����� � � ��� �� ��������� �� �� ���� �� ������ ��� ������� ����� � ������! � � � ������ � � �"� � >� * ������� ����� �� � ������ �� � � � � ������ �� �� � ��� � �� ��������� � � �)��� � �� �� ��� � � � �� �� �" ���� � ����� � ��� � � ����� # ��������� �� ������ � �)��� �����! 'L ����� ��# � ��� ��� � � � ��� � �� � � ���� � � �� � � �� � �� �� ������� � ���� �)��� � �� ��������� ���� � � ���������� �$����� �� ������ ���� � ��� �5 � � �� � � < � �$���� # � � �)��� 1/7# �"��� ������� � ������� �� � �� �� 1������ format long �� 0.14285714285714, format short e 0 1.4286e− 01, format long e 0 1.428571428571428e− 01, format short g 0 0.14286, format long g 0 0.142857142857143. � �4�� �� � �� 5 ���� � � �� � � �� � �� � ������� � ��� ��� �# � � ��������� � �� ������ � � �)��� � � � ���� � �� & ���� ��# �� "�� �# �� � ���� � � "� �� �� �)��� �� � � ��"����� � ���� x = (−1)s · (0.a1a2 . . . at) · βe = (−1)s ·m · βe−t, a1 �= 0 3'�'4 �� ��� s 9 � '# β 3�� ������ � ����� � � � � �"� � I4 � � � �� � ��� � ���� � � �������� �� ��� ��� � � �� � �5 �# m �� ������ �5 � � ���� �# ��� � �������� t �)��� ��$�� �� �" ���� � �� !�� � � ai 3� � 0 ≤ ai ≤ β − 14# � e �� �)��� ������ �5 � � ��������� � � �� � �� � � ��� � �� �� �� $�� ���� ��������� �� # � � ����"� �$� ����X � ���� ��"�� �# �������� � � ��� �# ���� � ���� V ������ � � � ���� �� �� �)��� � � � �� 3'�'4 ����"� ���� � � �)��� � �� ���"�� J��� ���# � ���� � ���� � ���"�� �� �$ � �� ��"�� � a1a2 . . . ap 3� � p ≤ t4 �� �������������� �5 � � � � p ������� � �" ���� � ��"���� ��� � �� x� * � ����� a1 �= 0 " � ��� ��� �� �)��� �� � �� ��� �)����� � ��������� � ��� < � �$���� # ��� ��� �������� �)��� 1/10 � ���� �� �% ��� ��������� � 3� ������ ����� �4 � � 0.1 · 100# � � � �� � � � 0.01 · 101# ���� � � ����� F ���� � ����� ����� � � �����! � ��� � �� β# �)��� �� �" ���� � ��"���� ��� � t � ������ � (L,U) 3� � L < 0 � U > 04 �� � �� �� � ������ e# � ����"� ��� � � F(β, t, L, U)� < � �$���� # �� ������ ��� � F = F(2, 53,−1021, 1024) 3� � ����� # 53 �" ���� � ��"���� ��� � � � �� I � ����� ���� � '> �" ���� � ��"���� ��� � �� ������ � � �� '9 � � ������ �� �4� 2���!�����# ���� �� ����������������� �� "�� ������ �������� ������ ��� �� �)��� �� � x �= 0 ���������� ��� ��� ��������� ��� fl(x) �� F# ������ # �� ��! ��� |x− fl(x)| |x| ≤ 1 2 �M 3'�I4 ��� �M = β1−t ����(��� ����� ' � �)��� � �� ��%$�� �� ���"�� J��� ��� � � � ��� '� & ����� ��� �M ������� �� β � t� < � �$���� # �������� �M � �� ������� � � � � �� ���# � ������ ��� �M = 2−52 � 2.22 · 10−16� *���� ����� ��� �� 3'�I4 ����� � ���� ����� �� � ��� x# ��� ��� ��"�� ����� � �� ��"���� � � ��� ���� � ����� |x − fl(x)|� & ���� ��# ���� )���� # � ��� �� ����� ��� ��� ��� # �� ��� �� � �� ���� �� "� ���! �� x� � �)��� 9 �� �������� F# �� ��! ��� ����� � � ���� � � a1 = 0 �� 3'�'41 � � ��� � !� �� � � ��� � � ������ < � ��� � � # L � U ���� ���� �# �� � ������ ��������� � �)��� � ��� � � � �� ��� ��� � 0 1�� �2� �� 3��� � �� ����� �� ����� "� ��� � ����� �� ����� ������ � H �� ������ �����# ��� � � � � � �)��� �� � � ����� �� F �� � � � ��������� ����� � � xmin = βL−1, xmax = βU (1− β−t). �� ������ ����� � � ��� � ������ ���� �� � � � � � � �� � ������ � �������# ��� � ���!�� ������ ������� xmin = 2.225073858507201 · 10−308, xmax = 1.7976931348623158 · 10+308. -� �)��� � ����� ��� � ��� xmin �� ��! �� ���� "�� �� ��� �5 � � �������� � �� � � �� �� � � ������ � � � � �� � ��� ��� 3���# � � �$���� # 78��9:;# � ����� I4� -� �)��� � ����� � � � ��� xmax �� ��! �� ���� "�� �� ��� �5 � � ������� � �� !�� � �� � � ������ � � 3��� ��������� �� �� +∞ � � ���� � �4�� � �� ������� � �� F �� � �� ���� � ��%$�� �� xmin# � ��� � ���� � �� �� �� �� $�� � �� xmax� � � ����� # �)��� �� F � �� ��%$�� �� xmax 3V �� ������� 4 � � �� ��%$�� �� xmin 3V �� ������ 4 �� # ��������� ����� x−max = 1.7976931348623157 · 10+308, x+min = 2.225073858507202 · 10−308. ?����� ���� x+min−xmin � 10−323# ���� �� ��� xmax−x−max � 10292 3Y4� *��� � ���� # ����(��� ��� ��� ������ �� �� � � � � �# � � �� ����! �� 3'�I4� �/�/� 0��� �������� ��� � �1���� �� �+� ��� 2������� + � ��� F �� ���� ����� ��%��� �� R# � ��� � �� �" ���� � ������� ��� � � �)��� � �� ���"�� J��� ��� �� " ! � �� � � � � �� ����� ��� � � ��� � �� ��� " � �� R� � ����� �����# � ��� � ����� �� ������ ��� � � ���� 3��� fl(x + y) = fl(y + x)4 � � � ��������� �� 3fl(xy) = fl(yx)4# � � ��� � �� ����� ��� � �� � � �� �� ��� � ����������� �� �� ������ �� *� � ���� # 9 �� �� )��� � � � ����� # �� ���� � V � ������ � � � � '# � �$������ � � ��"������ ������� ��1 � � � �� ���� ����� ��� �� �� ������ ��� * � ������ � ��������� � � � �� �� � � � �� ����� ��� � � �� � � � ��� ��������� 3��4 �� �� �� �! ���� � � ���� � ��� � �� � � �)��� � �� ��# ���� �� "� � ���� ������ �� # ���� �� ��� � � �� � � # ���� ��� �%� �� �)��� ���� �� ���� � ��# ����� ��� ��"����� � � � � � �1 ����������= �M/2� < �� �� # �$���� ��� ��� � �� �)��� � � �4�� �� � �� & −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 x 10 −14 ������ ���� 6��3� � ����� ����# �7 �� � ,��82� 9 �5: ��;��� � �� �� � ���# ����� ��������� �� 9 � � ��� ������ .�� � ������ � ���� F � �������� � � �)��� � �� � � �X �� �� �� � � � � �� �)��� � � � � � � �<� � � ������ � �M # ������ ������ ��� �"� � �� �� ������# ������� ��� � �)��� �� F � � � � ��� �� *���� � � ��� �� ��"�� �# � � � � � ! ����� � * �� �� ����� �� �������� ������ ��� � ��� �� ���� �� �� ����� ��� � �� ��������� � �������� �# � � �$���� # �������"�## �� �����"�# � ����������"�## � �������� � � � � � � �� �� ���� � ����������� ��� ���� a+ (b+ c) = 1.0990e+ 308, (a + b) + c = Inf. ?� � ��� �� �� �$���� � ������ � � ��� � ��� �� �� �� � � � � �� �)��� � � � ��� �� � �� � � � ���� ��%$�� � �� � � � �� ��� � &���� � � ������ � � �� ��� � �� ��� �������� � ���� �� ����"� � �� � � �����# � ������������� �� ����� �� �� ���� �� � < � �$���� # � ������ � ((1 + x)− 1)/x 3 ������ � %��� ' � � � � x �= 041 � � � � � ���� ���� ������� ��� � � �� � ���� ������ � � �� ��� �������� # � � �� ��� ��� ��� ������ � ''ZY ���� � � �� � ���� ���� ��� ��� � ����� �� �� �� � ���� � � � � ����� f(x) = x7− 7x6 + 21x5 − 35x4 + 35x3 − 21x2 + 7x− 1 3'�M4 �� K9' � �� � �������� ���� �� ����� � �� [1 − 2 · 10−8, 1 + 2 · 10−8]� ����� � "���� � %��� ��������� � � 2�"�� '�' 3 � �� �� ���� �� � �� (x− 1)7# ��� ������� ������ � ��� ��� � ��%$�� � ����� ��� ��� ������ ��!��5 �� �� x = 14� & ����� '�K ���� ��!���� � � � � �� � �� ������ ��� �������� � � ������� ���� "���� � " 0 1�� �2� �� 3��� � �� 2�� ������# �������� ����� � ��� �� F �� �$����� � �� � �������� ��� � � � �� � � 0/0 �∞/∞� �� � �� ��!�� ��� �� �5 � �� ��� � ��� �� 3$�$ �� ������ � �� ��� ��4# �� � �� �� ���� � �$�$ ��"� � ��� �� �� ������ � ��� ���� ��� < ;� � �� 1�� �� � �� �� ����� ����� �2� � #����� 3�1����� � �� 1� ��� �3������ �� # � ����� #�� �� � ���3#�*��� 3���� �� �,����� � � �� 7=���� ������� ��� ���� �*��3#�� ���-;���$ �*3#��2� �� �>���# � � ��� � �� ?���� �� @@"� � � 3� �� � � �� ������� �� ���3�� �� �� A� ��B � , � ��� � ����2� �� �>���# �� �� �� � � ��� �� ��� C�� �� C�#,� �� @@ � ��;��� �� � � �� ����� ����� �� �-#��#� � �� � D���7 � � E� �*��3#� ��� �����1�F��� � ����� � � �� 7=� � 9� �� ����� ����� ��� �-;���: � � �� 3�# ������2� z2 = 2, zn+1 = 2 n−1/2�1−√1− 41−nz2n, n = 2, 3, . . . 9 ��: 1�� ���;� � 3 π 1� ��� n ����� 3 ��=����� G� ��� �� �� ������� 3 � #��# zn� � � � �# ��;� ��� � π � zn ������� � � 3 ���� � " ��� 8H�� � �� �� ��� ����� � ��;��� � �� �� ����� ����� 9���� ���� )� � ��:� • O�� � �$������ � '�'�'�I� ��� ������ ������� �� �)��� � � ����$ �# ��� � ����� �� ����"� � � C# �� � � �� z = x+ iy# ��� i = √−1 ���� �� �� "����� 3��� i2 = −14# � x = Re(z) � y = Im(z) �� � � ���� �� � � �� "����� �� z# ��������� ������ �� "�� � ��������� ���� � � ���� � � � � � ��� �� �)��� � �� ��� * ��� � ��� ��� � �������� �# � � ������� �������� � � % ����� "� � ���� �� �� "����� � < � ������ �� �)��� � ����$ � � � ��� 5 10 15 20 25 30 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 ������ ���� �� ���� �� � � �# ��;� |π − zn|/π �� ,��82� �� n �� �4�� �� ���3#�*�� ! 1 2 3 4 5 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 ������ ���� I���#� �� �� ��� ��� ��� ��� �� ������ �� � � � � ��� �� "����� &# � ����� �������� ������������ ���'&X �� ����� ��� # � �� �� ���� � � �� ���������(& � *� ��������� � �� ������� �$� ����� � 3 � � � �4 � ���" � � ���� �� �� �)��� � ����$ z# �� ����� ������ �� � � � ������� �� ���� z = ρeiθ = ρ(cos θ + i sin θ); 3'�>4 �� ��� ρ = √ x2 + y2 �%��� � �)��� � ����$ 3 ���� � � � � �� ����) 4 � θ ��� �"����� # � ��� (�"�� ��� ���� � ��� �� � �� ������ (x, y) � �� � � ����$ # � ! � � ��$ � � x� � �� "����� θ ���� � � � � �� � ����) � * ��������� �� 3'�>4 � ��� � � � �1 abs(z) ∗ (cos(angle(z)) + i ∗ sin(angle(z))). * ��������� �� � � � "���� �� �� � � �� �)��� � � ����$ � � ����� ���� � � � � �� ��������) # �� ��� ) �� �% �)��� ������� � ����$ � �� ���� � ��� � � �� ������ �� �)��� � � ����$ �� < � �$���� # ��"�� � � ! � "��#"� ��� ����!�� �� ���� "���� � 2�"�� '�M� < � �� � � �)��� � ����$ )# � ����� �$�� �� �� � ��� �� � �� �� � � �� �����) � �� � ��� �� "����� � � �����) � 2�� ���� ���� � ������# � ����$ � ���" � z¯ = x − iy ��z# ���� ��������� ������������ �� %�) � �� % �� ������ ������ ���� � � � � ��� � �� ������� �������� � ����� ��� � �� � ��� �� � � � ������ � �� � ����$ �� .�� � �� � � ��"�� �"��� ������ � � � ���������� ��������������� < � ' 0 1�� �2� �� 3��� � �� I�(z) ��(z) z1 z2 z3 π 3 ρ ������ ���� I�3 ����� 82� �� 3# �� ���3#�*� � � � F� >J�� �4A�� � �� �4�� � � # −5 �$���� # �� � ���� �� � � �! �)��� �� −5 � � � � �� ��* +�� " �� ������# �� ��! �� −1.7099 . . . ���� � �)��� � ����$ 0.8550+1.4809i 3���� ��!��� ��� ���� � + � � �$� ���� � � �6��+ �� 4� � � ����� # � �)��� � � � �� ρei(θ+2kπ)# � � k ������ # �� �� � ��� ������"��� �� z = ρeiθ� � ���� �� 3 √ z ���� � 3 √ ρei(θ/3+2kπ/3)# ��� # � ��6� � �!�� ������� � z1 = 3 √ ρeiθ/3, z2 = 3 √ ρei(θ/3+2π/3), z3 = 3 √ ρei(θ/3+4π/3). ������ ������� � �� ������� ��� �� ��� ��� ���� ���� �� � � ����$ � ������ � ������ � � � ����� � � ���%"� # � ����� � ��$ � � �� ��� + � ��� ��������� �� � � � �� z = −5 ρeiθ � � ρ = 5 � θ = −π# � ��6� � �!�� �� 3��� 2�"�� '�K � � �� ��������� �� � �� � �� , ���4 z1 = 3 √ 5(cos(−π/3) + i sin(−π/3)) � 0.8550− 1.4809i, z2 = 3 √ 5(cos(π/3) + i sin(π/3)) � 0.8550 + 1.4809i, z3 = 3 √ 5(cos(−π) + i sin(−π)) � −1.7100. * ��"��� � �! ������� � � ��� ������� 2�� ������# � � 3'�>4 ���� � cos(θ) = 1 2 ( eiθ + e−iθ ) , sin(θ) = 1 2i ( eiθ − e−iθ) . 3'�L4 ������ �/� � � � �� ������� �� ���� ���� ����� �� ��� ��# � � � �� ��� ���� �� � � � ��"����� ����� 1 �5 � � �J�� @ $%��&��� ��� ��� �!� �� � ' � ( � () *� ++ � ' ( � () *� �,,�� � �� � ++ # �-,& ����� ! � �,,�� # !� '&� .,) � ��,&� �� �,��� �!�.���/ �!��� ���,�&� .,�� ,�&%,� � ��� � ����� ��� � n � m ������ � � ����� �� -� � ���! � � m ���5 � � n � ��� � �� � ����� �� m × n ������� � aij # � � i = 1, . . . ,m# j = 1, . . . , n# ��������� � ��� ��"����� � ��� 1 A = ⎡ ⎢⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n � � � � � � � � � am1 am2 . . . amn ⎤ ⎥⎥ ⎥ ⎦ . 3'�:4 +� � �� � �� �� ���������� A = (aij)� �� � ������� � �� * � ��� �)��� � �� ��# ���������� A ∈ Rm×n# � A ∈ Cm×n �� � ��� � ����$ �� *� � ���!�� �� �� � � �� ������� n �� ���� � �� ��� m = n� -� � ���! � � �� �% � ��� �� ������ ������# ���� �� ��� �� � ���! � � �� �% ���5 �� ������ � �!�� < � ������ �� � ���! �� ������ ��� �� �� �������� � ���� ������� � � ������� V )���� ���5 # �����! �� � � ���� , � � ��� � � � ���������� ���5 �� < � �$���� # � � �� � 0 � ' � � "� � � 1) � ���! 0 � � � " � � 1 ��� # �� � ���! 2 × 3 ��� � ������� � �� � ����� � � ��� � * � ���! ��� m × n ���� �� ��� � � � � ������� � (aij) �� ��� �# � � i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , nX � ����� � ������� �� ������ � � � � �� )������( � � � � �� �&���( �� ��"�� �� � ���! )���� �&� � � � � � � ������� � ��� � �$���� � � �� " � � ������� � aii# i = 1, . . . ,min(m,n)# ��� �� �"� �� '� * � ���! ������� �� n×n �� ���� � � � � �� �&�� 1 � ���� ������� � �� δij = 1 �� i = j# � 9 � � � � ������ # � � i, j = 1, . . . , n� 2�� ������# � � � � �� -�. / . / �������� �� � ���! � !� � T�� �� � � � ��"������ ��� � �� � ����� ��1 � 0 1�� �2� �� 3��� � �� '� �� A = (aij) � B = (bij) �� � ���!�� m × n# ��� �� * � A � ���! A+ B = (aij + bij)X I� ������� �� �� � ���! * � � �� �)��� �� � � � ����$ λ � ���! λA = (λaij)X M� ������� �� �� � � ���!�� �% � ������ �� � �� � ������ �� � ��� � �� ������# ��� # �� �)��� �� � ��� � � ������� � � �"� � �)��� �� ���5 � � ��"��� X � �� ������ �����# �� * m× p � A p× n# � � �"�� ������ � ����� p# ���� C = AB �� � ���! m× n �� ������� � cij = p∑ k=1 aikbkj , � � i = 1, . . . ,m,j = 1, . . . , n. ��"����� �� �$���� �� � � � �� �� ��� �� �� � � ���!��1 � 0�'� � "� � � 1)� � 2�'� ( � � �� ��)� � 3�'�" ��� �� �1� �� �()� � 0�2 ��� � ( � �� �� �1 �( � 0#3 ��� � � � �� ��� & ����� ��� ������ �� �� ���� "�� �� ��� �� �� �� ���� �$���� � ��� � �� � � � ���!�� �� ������ �� ��� �� ������� < � �$��� �� 1 � 0�'� � "� � � 1)� � 2�'� ( � � �� ��)� � 3�'�" ��� �� �1� �� �()� � 0�3 444 5,,�, %���/ ��6 � 7�&,�� ���������� �%�& �/,�� � 0#2 444 5,,�, %���/ ��6 # 8���, ��&,�� ���������� �%�& �/,�� �� * � � �� � ���! �� �� � �� ������� n# �� ���� � 3�� �$��� ���4 �� � ���! �� �� � �� ������� n# ��� �� ����"� � � A−1# � ��� � ���� ! ��� �� � ����� � AA−1 = A−1A = I� * � ���! A−1 � ����� ���� � � � � �� � 0�- � * ������ �� * �$���� �� � �% �� ������� 0 � ����� �� *# �� �)��� ��� �� ����"� � � ���3*4# � � �� ��� � ��� )���� � ����� ������ ��� ��� � ���� ��� � ��� � �� * � ��� ���� �� ����� ������������� 3��� ����� '�M�'4� � �������� ��� �� �� � ���! �5 � � �J�� �� �� � �������� ��� ��"����� �%���� �������� 3����� �� �������41 det(A) = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ a11 if n = 1, n∑ j=1 Δijaij , for n > 1, ∀i = 1, . . . , n, 3'�P4 �� ��� Δij = (−1)i+j���3*ij) � Aij � ���! ��� �� �� � � � ���� ��� �� � i� ��� ���5 � j� ��� � ��� � � ���! * 3 ������ � ������������ � ������ �� ���5 � �� � ��� 4� �� � ������ �# �� A ∈ R2×2 ������ det(A) = a11a22 − a12a21, � �� A ∈ R3×3 det(A) = a11a22a33 + a31a12a23 + a21a13a32 −a11a23a32 − a21a12a33 − a31a13a22. < � �� �� ��� �� � ���!�� ������ ��� ��"����� �� ����� ��1 �� A = BC# ���� det(A) = det(B)det(C)� < � �������� �� � ���! 2×2 � � ���� � ��� �������� ��� �� ����� �� � ��"����� � � 1 � 0�'� �� " �)� � ��9�0� ��� � �� � � � � � � ��&�0� ��� � �� �� �� � ���! � � ���"�� �# ������ ������ � �� �� ���� "�� �� ��� # ��"��� �� �� � ���! ��� � ������� � �� � � � �"� �� � �# � � �� ������ � �$���� ��"�����1 � 0�'� �� )� � ��9�0� :�,���/ ; 7�&,�� �� ���/%��, &� ��,<��/ ,������� ��� � 8�$ 8�$ 8�$ 8�$ < � ���� � ��� � �� � ���!�� �� �� � �# ������ � � ������ � � � � �������� ���� � �� ��� �������� �� * � � �� ���� " � ������# ��� # �� � ���! �� ��� ��� � � ������� � � �� " � � akk# k = 1, . . . , n# �� �� ��� �# ��� �������� ��� � � � � det(A) = a11a22 · · ·ann� � 0 1�� �2� �� 3��� � �� �� � ������ �# * �� ���"�� � ��� akk �= 0 � � � � k� &���� � � # ������ �� * ��� �� � ���! �� " � � � � ������� � a−1kk � ��� 0 �� ���� � �� ������� � � � � �� 1����0 �� ������1��� �� ��! �� � ���! �� " � � ��� � ������� � �� � � �� ������ � ���� � 0� � � � �� � �� "�� � 1����0(� �� �� � ���! �� �� � ������ ��� m� ��� �� " � � ������ � 3��� # �� " � � � �������� ��� � ������� � �� ������� i, i+m4 � �� � � � �� ������ �� 0# � � � � ���� ���� ������� � ��� �� & ����� ��� ��� �$����� � �� � ����� � � � � ��� ��" ��� � �� �1 ����� � � �% �� ���� � � � ������� � � � �� " � �� ������ ���� < � �$���� # �� 0 � .� � "/ ���� 1 � 0����/�9.��� 0 � � � " ���� � � ���!�� � ������ ��� ��� �� ���� �� � �� �������� ���� � ��� � � �� �������� ���� ��� � -� � ���! �� �� � �� ������� n �� ������� ���� �� 3��������� �����# ���� ��4 �� � � � � ������� � ���� � � ��� 3��������� �����# � �$ 4 � �� " � � ������� � � ��� ��� �� � ��� �������� ��� ���� ���� ������������ �� ��� � � ���� � �� " � ��� �� � � �� � �����- � ���2�- # �������� �$�� �� � � ���� �������� ���2 �"�� ��� ������ � � ������ � �� �� � ���! - �� ������� � *� �� � �$���� �� �����-(� � ���2�-(� # � � � � ��������� ����� � � # �������� �$�� �� � � ���� ��� �"�� ��� ����� � � � �������� � � � m �� " � �� ��������� �� < � �$���� # � � � ���! - �." � �, �� " 3, �� �� "/# � � � � � �� 4�������- �� ���� =� � " �� " �� �� " ���� �� ��� � � 4�������-(� # �� �� � =� � " � �� " � �� �� " T�� ���� � ��� �� A ∈ Rm×n �� �� ��� �� AT ∈ Rn×m � ���! ��� �� �� � �� � �� � ���5 � � � � � ��� � �� *� 8� �� n = m � A = AT � ���! * ��!��� �#�� ��� 2�� ������# -5 � �-5 � �� �� ������ ��� ����"� �� ��� �� �� - �� - � � �� �# � �� �� ��� �� � ���" � 3��� # AH4 �� - � � � ����$ � -� � ���! �5 � � �J�� 5 �� �� � � ����$ ��� � ������ � � �� �� ��� �� � ���" � * H ��!��� !��� � ���� * ���� � � �� # 05# �����! � � � �� ��� �� � ���" � vH 05 � ���� � 0� +���"� �� � � vi � � �� ������ �� v# ���� � ����� vH �� ���� � ���5 ��� � � �� ������ �� � � ����$ � � ���" � � v¯i �� vi� ������ �/� ��� �� �� � �� � �� ���� "�� �� ��� �� �� �� ���� ������ � ��� � �� � � � ���!�� �� ������ �� ��� �� ������� T�� � � �� � �$���� � ����� ��� �� ������ �� ����1 ��&�9�;�6 0�'� � "� � � 1)� ��&�9�;�6 2�'� ( � � �� ��)� ��&�9�;"6 3�'�" ��� �� �1� �� �()� ��&�9�;�6 0�3 �,,�,; � �,�&�, �; ������$�,���& �,/%���&� �� � �� ��" . � � �� "��� �,,�,; �9��%�&��/ ����,+ � �,�&�, >�* ���, ���� �. ���%�� � ��&�9�;�6 0#2 �,,�,; � �,�&�, #; ������$�,���& �,/%���&� �� � �� ��" . � � �� ��"� �,,�,; �9��%�&��/ ����,+ � �,�&�, >#* ���, ���� �. ���%�� � �� * � � ���"�� � � �� ���������� � ������6�� # ��� �� �� �� ���� "�� �� ��� ��"��� � � ���! ��������# � � �� ������ � �$���� ��"�����1 ��&�9�;�6 0�'� �� )� ��&�9�;�6 ��9�0� ��,���/ ; ��9�,��; ��&,�� ���/%��, &� ������� ,������� . ,���� � ��� � � � � �/�/� #������ &���� ���� # � ���� ��� ���� ����� � � ��"��� X � �� ������ �����# � ����"� �� �� ���� � � ��� ��� i� ��� � �� ����� vi� 8� �� � � � � � �� ������ � ��� �� �� ������������� v ∈ Rn� �� ������# � ���� ��� �� � ������ � � � � � ���!�� � ������ � ���� < � ������ �� ���� � � ��� ������ ����� � � �� � � �� ������ ����� � �6������ ���� � ��� � � � � � �� � �� � ���"�� # ���� �� ��� � � �� ���� � ���5 � �� �� �������� � �� � � �� ������# ��� � � � � � ��� � � � � � ���"�� �� < � �$���� # � ������� �� 0 � .�,�,"/ � 6 � .� � "/ ������ ���� � � ��� � � ���� � ���5 3# �� � �� ������ �� M� � � � �� )����� (� 3��������� �����# )������( 4 ����� �� )���� � 0 1�� �2� �� 3��� � �� ���� � � ��� 3��������� �����# ���5 4 �� ������� � � ������� � ��� � �# ��� �� ����"� �� � � 4� *� � " �����# � � �� � ��� (� "�� � �� ���� � � ��� # ��� �� ����"� � � �# ��� � � �� ������ �� � � � �"� �� '� -� ������ �� ���� ��� {y1, . . . ,ym} � ��������� ����������� �� ��� �� α1y1 + . . .+ αmym = 0 ������ � ��� � � � � � ��������� α1, . . . , αm ��� � ��� �� -� ������ B = {y1, . . . ,yn} �� n ���� ��� ���� ������ ������������� �� Rn 3 � C n 4 ��!��� �� � � �� R n 3 � C n 4# ��� # �� ����� ���� � 3 �� R n � ����� �������� � � � ���� �� ���� � � � ������� � �� B# w = n∑ k=1 wkyk, � � � ��������� {wk} �� )��� �� ����� )���� � ��!����� � ���������� �� 3 � � �� B� < � �$���� # � �� � �%��� �� Rn � ����� �� ���� ��� {e1, . . . , en}# �� ��� ei ��� �� i� ��� � �� ����� �"� � '# � � � � � ��� � ��� �� ��� � �� �� R n ��� � �� ������ �� ��� � ������� � ����� �� � �� ���� ��� v,w ∈ Rn �������� � � (v,w) = wTv = n∑ k=1 vkwk, ��� {vk} � {wk} �� � � �� ������ �� � �� 3# ��������� ������ � � � �� �������� � ����� ������ 65'0# ��� �%��� �� ����"� �� ��� ���� �� �� ���� �# � ��� 1���0(6 � � � �������� 3 �1�� �%��� 4 �� �� ���� � � � � ��� �� � �� ������� � ‖v‖ = √ (v,v) = √√√ √ n∑ k=1 v2k � � ����� � ���� � � � � � �� ����0 � ��� � �� ��� ���� �� � �� � �� ���� ��� v,w ∈ Rn# n ≥ 3# ��� �� ����"� � � v×w � v∧w# ���� � u ∈ Rn �� " � � v � w ��� �%��� |u| = |v| |w| sin(α)# ��� α (�"�� � �� � � � � � 3� < ����� ���� � � � � �� ������0(6 ������ �� ������# � ����� ���� ��! � �� ���� � �� �� � � �� 2�0�� �� R 2 � 2�0��" �� R 3 � 2�0�� 2�0��" �� � � �� � �������� ��'& � ��+� ����� � ��� � ��� � �� �' � ˆ �� ������ � � � �� ����� � �� ������ < � �$���� # ������� � ���� ��� � 9 � '�� �� ")� � � '�� �� 1)� �� )��8H�� � �� & �������� � �*#9 ��� � "� �� ��� �� ��� ��� � �# ���� �� ��� � � #9 ��� � � � �( �� �� ���� � ��� i� ��� � �� ����� �"� � xiyi� < � ��# ��� ���� � ��� �� ���� � v ∈ Cn# v �= 0# �� ������ ����� � �� �� � ���! A ∈ Cn×n �� �� � �)��� � ����$ λ �� Av = λv. � �)��� � ����$ λ ��!��� ����� ����� � �� *� �� "�� �# ������ � � � � ��� ��%��� � � �� ��� �������� �$����� ���� � � � � � � � ���!�� �� " � �� � ��� �"�� ���# ��� � � � ��� ��%��� � �� ������������ � ���� ���� � �� " � ��� O�� � �$������ � '�M�'�L� ��� ������ �� � ��� ����� ��� ��� �� ���� �� �� �� ������ � � ������ � (a, b)� � � � �� �������2 (���� �� � "���� � ����� �2 3������ � � ����� �� � ��� �� � � ������4 � ������ � 3������ #������ 4� < � �$���� # � � ��������� � f(x) = 1/(1+x2) � ������ � (−5, 5)# � ��� � �������� � $%� �*������ ?�� *� ���� �'��.�)� $ ��&�$%� .���� �� �# � �� ������ �����# � $ ��&�*������ ?�� * .'�� �)�� �������� "���� �� ���� � ���� �� �� � ��� � ����� ��� � ����� �� � �� � �� �������� ���� � ���� ��! "���� �� � �� f � � �� � ���(��� �� 9�IZ� < � ���5 � � ������� � ���� � � �� � � � �� � $ ��&�$%� .���� .&�� .�.*=���@ �� *.A� .A� . � ��� ��� ����� � ���(��� ����� � � � �(���� 3≥ 14 ���"�� ��� ����� ���� �� � � � � �� ����� �� n + 1 � �� �� 4� �7��� �� � ��� �� � � ������ ��� �������� ��� �� ���5 � � � � ���5 �� � � � �� � � "���� � < � �$���� # 4� �7����585 ����� " 0 1�� �2� �� 3��� � �� �� ���5 �� ��� � # 4� �7����5���5 �� ���5 ������5 �� �� � � � � �� �# ���� < � �����! � � � ��� � � ������ � � ���# � 4� �7��� � ��� ���� ��!����� � ���!�� � !� � 3. /4� � � � � �� �� ����� �2 ��� � �� � �������� ��� ��������� &��0����2 # ��� �� �� ����� � �� � � � � � ����� ������ "� �� � ���0�� &� & � � ��� �# � � �� �� &# � ��� ��� ���� ���� * �� � ���� � � �� # �������� ��� �"����� � ����� �2 ������ ��� �� �� �"����� �� �2 ����� �� � �� ��������� 3 ��� � ����� �������������� �� �� ���� �"����� "�� � � ������ � �� �� �� "� � 4 � � �� �0�� ������ ������������� � � ��0�� 3��� ������ �� '�M4� *���� ��� � � � �� ��� �� ��������� � ���1 � ��� �� � � � �� ���1 �����# � ��� � ���� �� "���5 �� ���� � � � 2�"�� '�'� ������ �/� 8� �� �� �����! � � �� �������2 (����( �� ��� � ��# "���� �� ���� � ���� �� �� � ��� � ����� ������ � � �2 3���� � �� �� �� ���$%� � �� �� �$������ ��� � ����5 �4 � ��� �� � ����� �� � �� � �� �������� ����� � � �(���� ��� � � 3≥ 14 " � ��� ��� ����� ���� �� � � � � �� ����� �� +1 � �� � �� < � �$���� # � � � �� � ��"������ �������� �� � � "���� �� f(x) = 1/(1 + x2)1 � $%� �*� ����� ?�� *� ���� �'��.�)� � $ ��&�$%� .���� � � �/�/� � 5��� T�� ������ ��� �� f(α) = 0# α ��!��� "��� �� f � �� " � ��� �� f(x) = 0� -� !�� ���� �� f ′(α) �= 0# � ���� ��� � � � � ������ � < ��� � �������� � � !�� � �� �� �� �� ����� � ���� � ��� "���� 3� � �� ���� � ���(��� 4� � ������ ������ �� � � � � !�� � �� �� � � ����� ��� ������ � ������� < � � ���� �� � ��� �� �� �� "� � n � � � ��������� �� ��# ��� # � � �� pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn = n∑ k=0 akx k, ak ∈ R, an �= 0, � ��� � ���� )��� !�� α = −a0/a1# �� �� n = 1 3 "���� �� p1 �� ���5 ���� 4 � �� �$�������# � � �� !�� � α+ � α−# �� �� n = 2 3 "���� �� p2 �� � ��� � 4 α± = −a1 ± √ a21 − 4a0a2 2a2 . � ���� # �� �$����� �%���� � �$������ � � � �������� � � !�� � �� �� � ���%�� �������� pn �� �� n ≥ 5� �� )��8H�� � �� ! & ��� �� ��"�� ���� � ����"� � � � Pn ��� � � � � ���%�� � �� "� � ��� � � �"� � n# pn(x) = n∑ k=0 akx k 3'�N4 ��� ak �� � ��������� � � �# �� �� � � ����$ �� �� "�� �# �)��� �� !�� � �� �� ����� �� � �� ��� �������� � � �� �� � �$����� ��� � � � ������ � � � ���� �� � ��� �� ��# � � � �� �� �)��� �� !�� � 3�� �� � � ����$ �4 � ������ � � "� � � � ���%�� � *� � ���� # �� � ����$ α = x + iy � � y �= 0 � � �� !�� �� �� � ���%�� � � � ��������� �� ��# ��� � ���" � α¯ = x− iy � �� � �� !�� � �� ������ � ��� � �����! � � � �� �)�����2 (�� � � �)��� � ���� � �� !�� �� �� ����� �2 # � ��!��5 �� �� �� � � � � � ��# �� � � � ����$ � � ������ � �� � � � �� $�� � ����� !�� # � � �� � ������ � ��� �� ������ � �� ������� � � � � � �� �)�����2 (.�� ��/ # �� ��� ��� �� !�� �� �2 � ������ � ��� � �$� ���� � �� ��(��# ����� ��� f ���� �� ��� � ����� �� � ��� � �������� �# � � �$���� # ����� f(x) = x2−1+ex� ������ �� ��� "���� # ������ ��� ��� ��� � �� !�� � �� (−1, 1)� < � � � ���� �# ������ � � �� �$���� � � ��"������ � � �� �1 � $%���������*�?� � � � �� ���*.*�*�� � $!�,��$%� .�� ��� � � ����� ��( � $!�,��$%� .��� ��� � � ���1 �� ����� ��� # ��� �� �� � ��� � � ��� ����� ���� ��� �$���� �� !�� � ������ � [−1,−0.2] � ��� �� [−0.2, 1]# � ���� ������ ������ 1 � $!�,��$%� .' � � �)� ��� � �� �1 � ��� � $!�,��$%� .'�� � �)� ��� � � ���1 � ������ � ���� � � ������� !�� ��"��� ����� ��������� � ������ �����# ����� V ��������� ����� �� � �" ���� ��������� � �� �)���� & � ����� I# ���� ���� ��!�� � � ����� � � ���� � � � � � � � ������ �� $�� � � � !�� � �� �� ����� �������� � ' 0 1�� �2� �� 3��� � �� ������ �/� ����� ��# �)��� �% ���� ���� �� ������ � � � � � �� �5 �� �2 ���� � * ���� $� � ����� ������ ��"�����1 $%��&��� + � $%���� + � � ?� � � � �� ���� ��� � $!�,��B$%�B. �� ��� � � "�1����� � $!�,��B$%� B.��� ��� � � ����1 � �/�/� 6����$��� �� � ���%�� � �� ���� �� ���� � ������ ��� �� � � � �� ������ �� � �� ������ � � � �� ���� �� � ���&�2 � � � � �� ���&0�� �������&0�� ���� �������� � � � � �� �� � ���%�� �� �� � ���� � � �� �� �� ���� �"����� � �� ���� � �� �� ���� � � � �� ���� � �# �� ��� � � �� ������ �� � �� � � ��������� � � ���%�� "� �� � � � � ���� �����������# �� an a0# � � � �� ������ �� � �� � � �� � ��� � � � � � ���%�� ���� �������� � � � ������ � � �� ��� "� �� � ��� ���� � &# ��������� � + � ��+9�� � .�� < � �$���� # � � � ��� �� p(x) = x7 +3x2−1#� � � �� � �������� ���� xk = −1+k/4 � � k = 0, . . . , 8# � ������ ���� �� ������ � ��"����� � ���� 1 � � '� " ��)� � � ' ��; ��;�)� � + � ��+9�� � .�� + � 3��%��� � &�,�%/� �; � ��� � � ���(� � (���1 �� 3��%��� 1 &�,�%/� ; � (���� � ���� (� ( " �� ����� ��� # � ���� �� ���� � � �� ��0��� � ���� # ����� � � ���� ��������� � ������ �$������ � ����� � ����� � � ���%�� ��� � ��� �� � � ������# � �� ��� � � ���� � ���������� � �� "� � ����� �� �� �� $�� �� � � !�� � �� �� � ���%�� ����� � ������ ��� � ���� � � ���� � �� < � �$���� # � � � ���� � � !�� � �� p(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6# ����������1 1 E� ���� � � �� ��#��82� �� ,��8H�� �� ������ ����� � � �� 3#�� 82� 3 ����# �� )��8H�� � �� @ � � '� �1 �� �1)� $�,��& ���/ � � ,��&�� � ��� � " � � .�����!����� ������ � ��� ������ ������ � < � �$���� # � � � � � ���%�� p(x) = (x + 1)7# ��� )��� !�� α = −1 � � ����������� � �� :# ���� � 3������������������41 � � '� � �� "� "� �� � �)� � ,��&�� � ��� � �� � � �� 1" � � � �� 1" � � � � �� � � � �� � � � � ��� � � ��� � � ����� # � � � � � ��� ��� � � � ������ � � � �!�� �� �� � ���%�� �� � ������ ������ ��������� ��� � �� ���� �� ���� # �� � � �!�� � ��� �� ����������� �� � � � ��� ' 3��� ����� I�>�I4� *������������ ��� � � � � �� ���� 0���(�� �� �� � � � �� �� 0 �������� � � ���%�� ������ ��� � �� ��� �� � �� � ���%�� � ��� � � ��������� ���� � ���� � � � ���� ��� �� � ��� + ���� � � # � � �� . (�/�1��� 0���(�� �� � � ��������� � �� ������ � � 1��� 0 ���� � � ������ �� �� � � ��# ��� # �� � �� 0���( � �� � �������� � � � �$���� �� ��� � �� ������ �� � �� � ���%�� � p1(x) = x4 − 1 � p2(x) = x3 − 1 1 � � � '� ��)� � � � '� ��)� � ����9� � . �� � � �� �� � � '-.,)� �����9� � . �� - � � , � � �� ��� ��� � � ���� � � ���%�� � p(x) = p1(x)p2(x) = x7 − x4− x3 +1# q(x) = x � r(x) = x− 1 � �� ��� p1(x) = q(x)p2(x) + r(x)� �� � � �� � ���&� ��� � ���&1���� � ������# ��������� �����# ���&� � ���&1�� � � ��������� � �������� 3��� �� ��� �� x = 04 � � ����� � � � ���%�� ��� � � ��������� �� � � � ��� � � �� ������ � ���� � �� �� 0 1�� �2� �� 3��� � �� �� � � � �� ���� � �� ����� � � �� � 3��������� �����# �1 � �24 � � �� ���� � ��� � �� � � � ��������� �� �� � ���%�� p 3��������� �����# p1 � p24# � � � �� � ����������� ���������� � ? ��� '�'� ��� ���� ���#� ��� +� ��+9��� .�� y = ; #� �� �� p(x) !�,��&�� � z = >J�� �� p � �� 1�� p(z) = 0 ����9� 1� 2� p = ���=������� �� 3�#��7��� p1p2 '-.,)������9� 1 � 2� q = ���=������� �� q� r = ���=������� �� r � �� 1�� p1 = qp2 + r +� ��+��,� � y = ���=������� �� p′(x) +� ��+��&� � y = ���=������� �� x � 0 p(t) dt �� ��� ���� 6�� ���� �� ������ 3 �3� 8H�� ��� 3�#��7���� -� ��� � � �� # ���&���# ������� � ���� � � n + 1 � ��������� � ���&��� � ���%�� p �� "� � n# ����� ��� �� ���� �5 � � � � ��� �� p �� n+ 1 � �� � ������� � 3��� ����� M�'�'4� ������ �/ �� � � �� � ���&1���0 � ���&� ��� �6� � ���� ����&1���0 ����� � ��� ��� ��� ���&1�� � ���&� �# ��������� ������ & � � ������&� ��� ���&1�� ���� �"� ������ ���� ����� �� ��� ��# ��� ����� '�L� � �/�/� 7��� ����� � ��������� &���� ���� ���� �������������� ��� � � � � ��"������ ������ � �1 '� ������� ����������� �� ������$%�1 �� f � � �� ����� � ����� �� [a, b)# ���� F (x) = x∫ a f(t) dt ∀x ∈ [a, b), �� ����� ���������# �5 � � �� � � �� �� f # ��� � ���� !# F ′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b); I� �� �� �� ������� �� ����� �#� � ���� ������ 1 �� f � � �� ����� � ����� �� [a, b) � x1# x2 ∈ [a, b) � � x1 < x2# ���� ∃ξ ∈ (x1, x2) � � ��� f(ξ) = 1 x2 − x1 x2∫ x1 f(t) dt. �� )��8H�� � �� � H��� �� �� �$����# �� �������� � �� ��� ������� � ���� ��� � ������ �� �������� �� < � �$���� # ��)��� � ��� ��� ln |x| �� �������� �� 1/x �� �� �� � ���� � ���� � � � " ���� � �� � � ��� ������� & � ����� K ���� � ���� ��!�� ���� � � � � � � � � ���� �# � � �� � � ������� # ����"� � �� �� ����� � ����� �������� # ��� � �5������� � �� �������� � T�� ���� � ��� �� ����� f ������ ��� ������ � [a, b] ��������� ��� � �� x¯ ∈ (a, b) �� �$����� � � � ���� ��"����� ������ f ′(x¯) = lim h→0 1 h (f(x¯ + h)− f(x¯)). 3'�'94 � � � � �� f ′(x¯) �� ������� � ���� � �"���� "���� �� f � � �� x¯� +�!�� � ��� �� ����� � ����� � � � ����� � � ����� �� � � � � � �� � �� [a, b] �������� ��� � C1([a, b])� H �� "�� ������# �� ����� � � ����� � � � ����� � � V ���� p 3�� ������ � ����� 4 ��!� �� ��� �������� Cp([a, b])� �� � ������ �# C0([a, b]) ����"� ��� � � � ���� �� � ����� � �� [a, b]� -� ������ � ��� ���� ���� � ��!�� �� � ������� �� ����� �#� �1 �� f ∈ C1([a, b])# �$���� ξ ∈ (a, b) � � ��� f ′(ξ) = (f(b)− f(a))/(b− a). T�� ���� �# �� ������# ��� �� ����� ���# ��� ��!��5 �� �� x0# � ����� � ����� ����� � � � ����� � � V ���� n# � �� ��� �� $�� � ���� ��!��5 � ��� �5 � � ��� ��� � �� &�'��� �� ���� � � � �� x01 Tn(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) + . . . + 1 n! (x − x0)nf (n)(x0) = n∑ k=0 (x− x0)k k! f (k)(x0). * ���� �� �&������ �� ������ � �� � � � � �� � 1���# � � � 1��� � � ��&��� ��� � ������# ��������� �����# �$������ � ����� � ����� � # ��&��� ����"� � �������� 3��� # �� �������� 4 � � ���%�� �� ? F� �# �� �� � � ����� � �� � ������ �# ���� ������ �� ����� � � � ��� �� � � ������ �# ����� 1�����( �� �� ����� � �� ���� # � ��� ��� ����"� � �������� # � ��&�����(�( �� ��� � ���%�� �� ? F� � �� "� � ��� ��!��5 �� �� x0 = 0� * � ������ � ���� ��� ���� � � � � � �� �� �� �� � � �� �&�� �� .�� ��������� �&�� �� � ����� �� �" ���� ��� �������� � ��� � � �� < � ���� � V ����� f(x) = (x2 + 2x + 2)/(x2 − 1)# �� ������� � ��"����� � � 1 �� 0 1�� �2� �� 3��� � �� ������ ���� ���� , �� -=� �� ��� ��� $%�&��� � $ � *��?���#�������?����*� � �+�� � � ��$$ �$� ��#�������?� ��� ��#��?���#�������?� ���?�# � � ��&�$� �����#��/�� ��� ����# ��/ ����� � &�+��,�$.� .1� ����#��"#�?���#�?"�"#�?���#�?� �������� � ��� � � �� ������ ������� ����!�� � �$����� �� "�� ������� � � � � 1���# � � � ��&��� �� � � � ����� � �� ������� �� �� � �� ������ � � � �� �2 ���� ������� �� ������� � ����� �� ����%��� �2 ���� �� ���� �� �������� �# �� �� ������ �� "���� ������ � � 2�"�� '�>� ������ �/" � ������ ����%��� ��� �� ���� ���� ����� �� ��� ��# � � ������ ������� ���� ����� � ��� �� ����� �� �� � �5 � �� ���� � � � O�� � �$������ � '�:�'�P� ��� ��� � ��� � � �� �� T�� ���� �� �� �� �� � ��� ������ !������ � �# � ���� � � ���� ��!�� ��� �� ������ ��� ��� ��� � ���� ����������� 2 �&& ;����� ��&�9� �,/ �& K �2� � �7 ��� �� �5 ? � � � ��� �# ������� � �� �� �� � �� � ���� � � � � ��� ������� � �)��� � �� �� ���� ��! ��� �� < � � ���"�����# � �� � ��� ��� �� ���� � � ������ � ��� �# ��� ��� �� �� ��� � � ��� � � � ���� ����� �� �� "�� �#� ������ �������� � ���� � ������ �� ��� � ��� � ���� � �� $�� �� � ��� ���� �� �� �� ���� ����� 3��� 2�"�� '�L4� & ����� ������ �# ��� ��� ��� ��� em ��� ������ �� � �� � �� ��� � �� ����� 3PF ����"� �� ���� ����� � xf �� � ���� 4 � ���� !�� �"�� � ��� � ������� 3MM # ��� � ���� x4� ? �� ��� � ����� �� ���� ����� �� � � ��� � ������� ���� � ���� � �� � � �� � � ���� � ������ �������� � -� � ��� � ������� 3�$����� � � �� ����"� �# � � � �$��� �� � 2�"�� '�L# � � �� ��� �� �" ���� � ��������� �# � � � �� ������ ���� � � �� ���� �4 "�� ������ �� �� � �� ��� ���� �� � �� �$������ � * �� ��� ���� � � �" ���� � ��� ��� � ��� ����� ������ �� � ����� ��� ��� � � �������� � �� � " �� �� ��� � �� ���� �� � ���� � �5 ��� � ea ����� ��� �� < � ��� � � # ���� � ��!�� ��������� ���� ��!�� ��� � ���� � ��# �� ��! ��� ������ � � ���� � � �� � ��� �� �� � ��� � � ������� � �# ��� ��� �� � �� �)��� ������ �� ��� � �� ���� ��� �# �% �� ������ �� � � �� $�� � � < � �$���� # � � �� �� � ��� ���� ������ �� ����� � ���� � �� � � �� $�� � # �� ������ �� ����� � ��� � ���������� ? �� ��� � � ��� ��������� ������ �� �� ���� ��� ��� # PN # ��� � ���� xn ������ �� x � � �� ��� et ��� �� �5 � ���� �� ����������� ����� ��� � �� � ���� ��� � � � � ��� � � ������� � �� ������ � �� ������� ���� 3� � �$���� # �� �� �� ��� ��� �� ������ ���� �4� xn = � k φ(tk)αk x = T � 0 φ(t)dt �x MM PF PN xf em et ea ec ������ ���� L�;� ��� ��3�� �� � � ��� 3 ������ �� �-#��#� �� 0 1�� �2� �� 3��� � �� * � � � � ��� � ea � et � ������� ���� �������� ���� ec# ��� �� ���� �� ��� � � �������� � � ��� � ���� �� � � � ����� �������� ����� x# � ���� �$ � �� � � ��� � ������� # � x̂# � ���� ���� � �� � � �� ���� ��� ��� # eabsc = |x− x̂|, ���� �� ��� 3�� x �= 04 ��� � ���� �� � � ����� �� erelc = |x− x̂|/|x|, ��� | · | ����"� �%��� # � �� ����� ��� ����� 3� � � �� ��� # � �� 4 ��������� � ��"���� � �� x� � ������ ��� ��� � ������ "�� ������ �� �� $�� � � ��� � ������� � !��� �������� �� � �(���� �� ��������! �� # ��� ����� "� ��� � � � h � ��� �� ��� � � ����� � ��# �� �� h ������ � � 9# � ���� �� $�� � � � ��� � ������� ������ � � �� � ���� �$ �� # ����� � ��� � � � ��� ��� ������������ *� � ���� # �� ��� 3 �� ��� � ��� ��� 4 � � � � � � � � �� ����� �� h � ��"����� � ���� ec ≤ Chp 3'�''4 �� ��� C �� �)��� � ����� ������������ �� h � p # ����� � ��� � � � ����������� �� ����� p� 8� �� # � � � � �� �� � � � � ��� 3'�''4# �� ��� � �� � �� ��� � ��� C′hp ≤ ec 3C′ �� ��� � ��� ��� ������������ �� h � p4 � ����� ���������� ���� � ≤ � � �� ������� ��� M�3��� ��� 1�� �� 3 �*�� �� �; � �� �� ,��82� f �� 3���� x¯ 3�# J2� ��� ����� # 1�� 3 ��� �� 9 � �:� 0A;� ������ �� f ,� �� �;-;�# �� x¯� � � � �������� 1� ��� �� ��A������ f ′ 3�# J2� ��� ����� # ����� 3 � 1� ��� h → 0� 6������� ���� ;� ���� � M��82� �� � � � � �7 �� ���3� � ���� Ch �� f ∈ C2 ��� ;�J��� �8 �� x¯� � * ����� � � �� ����� ��� �� � ����"6��� �� �� � � � ��� ��� ��� ������ �������������� "���� � ��� ��������� � ��� �� ����� �� h ��� ��� � � " ������ ��� # � � log(h) � ��$ � � ����� � � log(ec) � ��$ � � ���� � �� � ������� ���� ��������� �� �� � 1 �� ec = Chp ���� log ec = logC+p logh� < �� �� # �� ��� � � " ������ p ��������� ������� � ���5 ���� log ec �# ����� � � # �� ���������� � � �� � � � �� � � � �# ���� �� � � � ������� � ����� ��� � � � �� ���� � �� ���� � � �� "���� � � ��� � � " ������ ��6���� � ���� ����� �� ������# � �� �� � � ��� ��"�� � ��������(& # ���� ������ � � & � ���� ��� ��� � ��6� � ����� � � � ���� � � � � � � � ��������� �� < � �$���� # � 2�"�� '�: � ���5 � ���� � ��������� � � �� �� � ���� � ��� �� � �� � � � � ����������� * ���5 � ����� � ����� ��� �& K �2� � �7 ��� �� �& 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 1 1 1 2 ������ ���� C -=�� �� ��� # #� >���� �� �� $�� �� �� ������� ����# ���� �� ��� ���5 �� ��� � � ����� ��� �� �� $�� �� �� ��"��� ����� =� �� ����� ��� �� ���� "���� � � �������� � ���� �� �� � � � �� �� �� � �5��� � ��� � ei ��� ��� � � � �"��� � � ��� hi � � �(���� �� ��������! �� # i = 1, . . . , N 1 � ������ �� ��� � ��� ei �"� � Ch p i # ��� C �� ������� �� i� < ��� � ���� �� $�� � p ��� � � � ��� pi = log(ei/ei−1)/ log(hi/hi−1), i = 2, . . . , N. 3'�'I4 � � ����� # ��� �� �� � �� � ���� � ������ ����� �� ��! ��� ��� ����� � � ���� ���� �5���� � ? �� ��� � � ��� ��������� ���� ��!�� � � ��� � ���������# � �5 � � � � � ��� �� �� ����# ��� ������ � ��� ��� � ��%��� ��� � O���� � �"��� �$���� � � � ���� �� I�I�'# I�M � K�K� �/ /� 8������ �� �� �� �� "�� �# ��� ������ �� �� ���� � � ���� � � �� �� �� �" ���� # ��� �� �������� ������ �� � �� �� ��$� # �������� �� �$����� �� �� ����6��� ���� �� ��� � �� ������� ���� � �� �� �������� ���� �� �� �" ���� �)��� �� ��� � �� � � ���"�� J��� ��� �������� � � � �� �$����� � H��� � ��!��# ��� ��� � �� �� �� � ���� � � ������� ��� �)��� ��$�� �� ��� � �� � � ���"�� J��� ��� ��� � �� �$���� � ��� ��"��� 3��� 4� �� � ������ � �# � ��� �� � � ��"������ � � � �� ����� � �1 H�" �J �� �"� � 106 flops# ,�" �J �� �"� � 109 flops# ?�� �J �� �"� � 1012 flops� = �� �� �� # � � ���� � ��� � �� ����� � ���"�� ���� �� K9 ?�� � J ��� �" 0 1�� �2� �� 3��� � �� +� �� � � "�� �# � �5������� � �)��� �$ �� �� ��� � �� ������ � � � � �� ���� �" ���� �� ������� �� A �� ��# �� ��! ���� # �������� � �� ���� �� "� ���! �� ����� �� �� � �(���� d �� � �� � V ������� � �� ���� � *����# ��!�� � ��� �� �" ���� ��� � ����$�� �� ��� ����� �� �� � �� �)��� �� ��� � �� ������������ �� d# ��� O(d) ��� � ��X ��� � ����$�� �� � ���� �� �������� O(d) ��� � ��# �# � �� "�� ������# � ����$�� �� ��� ��� �� �� �� � O(dm) ��� � ��# �� ��� m �� ������ � ����� � ���� � �" ���� � � ��� ��� � ����$�� �� �������� �� 3O(cd) ��� � ��4 � ���� ������ �� 3O(d!) ��� � ��4� T�� ���� � ��� ���� � O(dm) ��"���� /� �� �� ���# � � "� ���� � � ��� �� d# � � �� � ��� ��� ��!�� dm0� ������� ��� �������� ����� ! �"���# M�D � �� � � �J 1� � � �� � ��� n � ��D �� ;���� �� Rn� � j(���� ���3������ �� 3 ����� Av � � � 3� aj1v1 + aj2v2 + . . . + ajnvn, � 1�� �1�� n 3 ������ � n−1 ��8H��� ������ � ������- �� �,���� n(2n−1) �3� 8H�� 3 � #��# ��� � � ���3�������� L���� ����� � # � ���� ��( ;�#;� O(n2) �3� 8H��� � ��� 3� ���� �� ���3#�*�� �� 1� � -��� �# ��; ( ����� � 3 N��� � n� 0 ����� # � ���� �������� � �� O(n3) �3� 8H�� 3 � #��# � 3 ����� �� �� � � � �J�� �� � ��� n� 6������� �*���� �� # � ���� ��;��� M� ����� 1�� �1�� O 3�� �P O(nlog2 7) �3� 8H�� � �� ��� �� ��;��� ���� � � 6�33� ������ 1�� �1�� �*���82� �� O(n2.376) �3� 8H��� � ������� ��� �"$�"��� �� �������%�%�� �� ��� ����� # � # ���� ,�� ��� �� ����� ������� ��� � ���� ��� ��� �� �� � � �J 1� � � �� � ���n 3��� �� � #��# �� �� ��� ,7 ��# ��� ��; 9 �':� 0 # � ���� �� ��3��( ����� ��� �� ���3#�*�� �� , ��� � # �� n � �7 �� � 3#��-;�# � � �J�� �� 3�1��� ������2�� �� �*��3#�� �� n = 24� �� ���3�� �� � 3 J �� � #�J ��� (Q�3� 9���� �� 1015 �3� 8H�� ��� ;> �# Q��� ��� 3� �� ����: ��( ������ � �� �� ��� 3 �*���� ���� �-#��#�� �� � (�� 3� ���� ������- �� ��� � # � ����� � �� �=� J��� � ;� � ��� �*���� �� # � ���� 1�� 3� ( ���� � �-#��#� �� ���� ��� ���� R ���� �� 3 ������ � � �J(� � �J ��� �� ���3#�*�� �� �� O(nlog2 7) �3� 8H�� 3#�� ��� � # � ���� �� M� ���� ���( ���� �� 9;� S��@"T:� � � �)��� �� ��� � �� �� )��� � �(���� ��� �� � �� � ������ �� �� �" ���� � -� ��� � �� � ��� �� ��� ���� �� ���� V ���%�� � � ���� � � 3��� ������� � � ���� � � �" ���� � � �� "� � � 4� -� ����� � � � ��������5 �� �� �" ���� � � ��� ���� �<- 3�<- ��"���� ������� ����� �� �� �4# ���� ��!�� ���� �� ������ � �� ������ � �� ��� ���� � � � � �� ��2����� ���2���� ���� � � � ��� ��� ��� ����� � � ��� �� ������� � ���� � ����� ���� � � � � �� ����������� �" 0� �A������ ������ � 0�� ;� �! 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ������ ��&� � ����� � � �J(;���� $ � ���3� 6�E 9�� �� �����: �� ,��82� � ������2� n � � � �J 9��� �6 ��&5 CUJ: ������� ��� � � #��# � ���3� ������- �� 3 �*���� �� 3 ����� � � �J(;���� � ������� (�� � �� ����� 3 � � $ � � � � � �&� � � � 0 � ,��� ��.��� 9 � ,��� ���� C�')� � ��!�0 � ' )� ��%�& � �� � $�, < � � ; �&� ;� 00 � 0��;< .�;<�� 99 � 9��;<�*� & � � %&��� � � � 00#99� && � � %&��� � &� C � 'C. &&)� ��!�0 � '��!�0 .<)� ��� � ���� �82� �;�&� ;� 1�� 3 ��� �� ���#� $�, � ����� �� �4�� �� � ,� � �9����9� ���&� #<� ���� < � �� ����� � 1�� ; � �� <���� ����� <��� � � �� ����� � � # 1�� ���&� #<��� � ���� 1�� � 9�� � �� ������� ��� ��� � ��� � �&� �� :� 0 ��� ��� ,�����.�� ��=�� �� � � �J �×� ��D�� �#������� �� 1 �2� #� �7 ���� �� =�� C � � ;���� ��D � ���3������� ����F� � ���3� 6�E ������- �� 3 �*���� � � 3 ����� � � �J(;���� � ��1� ��� 1�� � %&��� �- � ���3� 6�E 9�� �� �����: ���#�J �� 3�#� 3 ������ �������� ����� � ��� ��>���� 0 ���3� ������- �� R �*���82� �� �� 4���� 3 � � �� 3� � ���� ��,� ��8 ��� � � ���3� 6�E �,����;� � � � #��# �� ���� � �*���82� �� 3 � � �� �� ��� � � �� � ; �-;�# &� 0 -=�� � )� � �'� �A���� ��� � ��� ��� ��&���!�0.C.*�*�� ���� 1�� � ���3� 6�E ����� ���� � 1� � �� � � ��� � � � �J �� � ��! " �#����� �$%&$' � " � (� �� �� "� � � �� ������ � ��� �� �� �������� ����"� � � �� ���� ��� �������� � ���� ��! �� � ���� ������ � � � ���"� "��� � � �[[� ������ ���������� � � ?5� H �5D �Q� 3��� ������� � @�� 666����:6��;�����4� � ��� � �� ��� �� ()&� � �)*������' � ���� � � ����� ������ ������ ���� � � ������ � ����� �� ��� ��# � �� � � �5���� � � ,&- ��� �� 3��� ������� � @�� 666�����0�����4# �� ������� ��� �� ��������� ����������� E � ������ �' 0 1�� �2� �� 3��� � �� ������������� �\ � � ������� � � ���� � � ������ ,&- ������� �� � � � ��� � 3,<G4 ������ � ��� +��� ,������� +������ ��� ? � � � ����� ��� � � ����� ����� � ����� # �$����� �������� � ����� � ��������# � ���"� "��� � � ���� ��� �� ������ � ��� � ��� � ���� # ��� ����� �� � �� ������� �� ������� �$���� � � � � � ��� � � �� "� � � ����� ���� # � �� �� ������ � � �� ��� ��� 8� �� � � �� � � � ������# � ���� � � � �� � �� �6� ���� ���� � $�# � � ���� ����� � � �� � � ���������# � ��� � � ���� �� �$�����# ������������� �� � � � �� �� � � ����� ��� � ����� �� �$���� �� � ����� ��� ������ ��� ���� � *���� � � ������ ��� � �� � ���� ��� # ��� �� � ���� �� � �� � ����� �� ���� �� ���� ������ �� � � � �� ���� �5 � � ��� ��� � �"� 3��� ���� � @�� ����0����2��������� ��4� ���� ��� ���%�� �� ���� �� �� ���� �� �� ���������� �� ���� � ��� � ����������# � �� � � ��"��� ���� �# � ���!�� ��� �� �# �����! �� # � � ����� � � ��� � �"�� �� < � �$���� � � ����� ����� � � � � �� "� � � � �$���� � ����� ���� �� ��� ��# ������������� ���� � � ��� ���� �"�� +�� �� �� ���� � ������� � ��� ��# � ��� � ����� �� ���� ���� �� �� � �5 � � �����! � ��� ������ � �������� � ����0�9�<� ����0�9�< �� ��� ��# ��������� ������ < � �$���� # �� �� �$���� � � ���� ��� � � �� � ���� � � ���� � ��� � D 7 0 C = 0 2 6 3� +,�/�& � (��� � C�� 7�&�:�,<�. 8�� E�,���� � � � �F��� 7�+ 1. � � C� /�& �&�,&��. �����& 70C=02 G�� �, H���� $,�� &�� G�� ���% V < � ��� � � # �� �� �$���� � � ��� �� ��� � IJK L�&�9�. 9�,���� � � �� ��(1M1�� �����%��/�%� 3� +,�/�& �3� � � N��� : 5�&�� C��� �� $,�� ��$&��,�� ��� &�� ��%,�� ���� $�, �� +��/ �����&���� C��,� �� 02@L=KC5=O JL :0FF0JCO� ��& �9�� $�, 75F3G0JC828=8CO �, P8CJ5@@ PLF 0 A0FC83K=0F AKFAL@5 P�, ��&����. &+ � >��,,��&+* 0���&����� ��$�,��&��� ���%& L�&�9� �� �9������� �& �&& ;����� ��&�9� �,/ A����� ���&,��%&� �$ +�% $��� &��� ��$&��,� %��$%� P�, ��,� ��$�,��&���. 9���& �&& ;����� ��&�9� �,/���� ����&�� �&�� F� �,& �%/� &� D�%/Q��&�9� �,/6 ��%& $�,�&. ����� ,��� �&& ;����� ��&�9� �,/��%/� �&�� &� ���,� ��� &� �,�&� � ��� $%� ,� �,&� ��&�9�;�6 �! � #�� � �� ������ �@ ��) $ ���*� *�� �$%&$' +�� �� � � ����� � �� ���� ���%�� � � ����� ����� �# ��� � � �� � ���� �� �� �� � �5 � � � �������� ������ � ��� ��� * � ���� �� " � H*?G*A ����"� �� �� ���� ����� �� � � �� � � ���� ������ � ��� ��� +�� �� �� ��"�� � ������� 3 � ����4# ��� ��� �� �������� ��� �� � ������ ���� ��������� � � � H �� ������ �����# ������ ������ ������� �� ��� � � ������ � ����� ��� � ������� �� ������ � � � �� �� �� � � �� "� � � � � � �� � ������ � �� ������� �� ��� � ������ � �� � �5 ���# ������ �� �� ���� "�� �� ��� � � � � ������ # � � �� �$���� � � ��� � ����������� ���� ��! ���� �� ����� �� � � � � � � �# ������ � �� �� � � ������ � � � ��� ���� � ��� ���� �� �� ������� � � � � � �� �� < � ������ � �� ����� �������� ����� � �������� � � �� 2�� 3 � ����4 � ��"� 2�� ���� �� � ������ * � ���� �� " � ���$ ��� � �� ����� � ��� � � �$����� �� �� ����� �� "� � � � � �� �� � �� ��������� ��"�� � ������ *� � ���� # �����! ��� � ���������������� � ���� � �� "� � # ����� � � � �� � 8� �� � �� � � �� �� ����� � �� � � �������� � ������� ��� �� ������ 3� � �$���� # �� �)��� � �� � ��� �� � � ������ ����� �� �4 ��� �������� �� ���� ����� � ����� �� ���� � � ������ � � ���� �� � � 3 ����� ��� � ��"�6� �� ���4� < � �$���� 1 � � � *���� * ��� � ���� �� ��������� � �� ��"��� �� � � � ��� 3 � �)��� 4 �� � � �� �����# � � � � �� ���� � � � � �� < ��� � ��� ���� � ������� �� �� ����� � ���� ��������� �� � �� � ���"�� ��� �� � � ��� �� � � ������� *����# �� ��������� � � 5����5,������ ��� ������������ ��� ���� ������ 3 �� �� �� � ���� � � � 5����5 V � ������ � �4� H �� "�� ������# � � �� � ������� ������� �� � � � 3 � �� � � ��� �� � � ������4 �� � � � ������� < � �$���� # � � ���� � � ��� 5=� 0� 1� � 4�����5 V � ������ �# � ��� � �������� � ��*2��9���� � =�����
Compartilhar