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1ª Lista de Exercícios de Economia Matemática Derivadas Parciais e otimização sem restrição A – Derivadas parciais 1- Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de: a) (x,y) = 4x2 – 9xy + 6y3 b) z = 12x2 – 8xy + 3y2 c) (x,y) = xy + exlny d)(x,y,z) = 3x5 + 3xyz 2 – Determine as derivadas parciais nos pontos indicados: a) em (3, 4) b) em (-6, 4) c) em (3, 2, 1) 3 - A função produção do Brasil foi estimada como . Ache as produtividades marginais nos pontos (1, 4) e (1, 1). 4 – Faça o mesmo para 5 – Faça o mesmo para Y(L, K, A) = L1/3 K1/6A1/2. Onde Y é a renda de um país, L é a quantidade de trabalho, K é a quantidade de capital e A é o nível de tecnologia e conhecimento. Lembre que teremos três taxas marginais. O ponto é L = K = A = 1. 6 - ANPEC 1999 Questão 9 Tem-se a seguinte função de produção: Em um ponto em que as Produtividades Marginais de x e de y são 3 e 1 respectivamente, qual deve ser a quantidade de w para que a produção total seja 4? B - Otimização no R2 1 - Se o preço cobrado por uma barra de chocolate é p(x), x milhares de barras serão vendidas em uma determinada cidade, onde p(x) = 100 – x/10. Ache o faturamento total das vendas de barras de chocolate. Ache o valor que maximiza este faturamento e calcule este valor. 2 - Uma livraria tem um custo de 40 reais por exemplar. Sabendo que as vendas são 180 exemplares quando os livros custam 100 reais e que, para cada redução de 5 reais no preço, as vendas aumentam em 30 exemplares, calcule o preço que maximizará o lucro da livraria. 3 - Uma firma que importa computadores quer maximizar sua receita. a) Quando o preço do único modelo de computador é 3000 reais ela vende 1000 unidades deste. Para cada dedução de 100 reais no preço, as vendas são acrescidas em 200 unidades. Obtenha o preço que maximizará a receita obtida pôr esta empresa. b) Devido a oscilações no cambio o dólar passou de 2,5 reais para 3 reais. Sabendo que cada computador custa 1000 dólares, calcule o preço que a maximizava o lucro com o cambio antigo e o preço que maximiza o lucro com o novo cambio. OBS: Calcule tudo em reais e mãos a obra. 4 – Um bar vende 200 porções de picanha quando estas custam 5 reais cada. Para cada redução de 0,5 reais no preço, as vendas aumentam em 50 porções, calcule o preço e a quantidade vendida que maximizará o faturamento do bar. Depois faça o mesmo para o lucro, sabendo que o preço de custo de cada porção é 2 reais. C - Otimização no Rn sem restrição 1 - Ache os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou ponto de sela. a - (x,y) = 6x2 + 6y2 +6xy + 36x - 5 b - (x,y) = 9xy – x3 – y3 – 6 c - z = x3 + y3 + 3xy + 5 d - e - (x,y) = (x2 + y2) (Não precisa fazer as derivadas de segunda orden dessa letra, pois dá muito trabalho)
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