Lista 1 2018

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1ª Lista de Exercícios de Economia Matemática
Derivadas Parciais e otimização sem restrição
A – Derivadas parciais
1- Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:
a) (x,y) = 4x2 – 9xy + 6y3
b) z = 12x2 – 8xy + 3y2
c) (x,y) = xy + exlny
d)(x,y,z) = 3x5 + 3xyz 
2 – Determine as derivadas parciais nos pontos indicados:
a) em (3, 4)
b) em (-6, 4)
c) em (3, 2, 1)
3 - A função produção do Brasil foi estimada como . Ache as produtividades marginais nos pontos (1, 4) e (1, 1). 
4 – Faça o mesmo para 
5 – Faça o mesmo para Y(L, K, A) = L1/3 K1/6A1/2. Onde Y é a renda de um país, L é a quantidade de trabalho, K é a quantidade de capital e A é o nível de tecnologia e conhecimento. Lembre que teremos três taxas marginais. O ponto é L = K = A = 1. 
6 - ANPEC 1999 Questão 9
Tem-se a seguinte função de produção: 
Em um ponto em que as Produtividades Marginais de x e de y são 3 e 1 respectivamente, qual deve ser a quantidade de w para que a produção total seja 4?
B - Otimização no R2
1 - Se o preço cobrado por uma barra de chocolate é p(x), x milhares de barras serão vendidas em uma determinada cidade, onde p(x) = 100 – x/10. Ache o faturamento total das vendas de barras de chocolate. Ache o valor que maximiza este faturamento e calcule este valor.
2 - Uma livraria tem um custo de 40 reais por exemplar. Sabendo que as vendas são 180 exemplares quando os livros custam 100 reais e que, para cada redução de 5 reais no preço, as vendas aumentam em 30 exemplares, calcule o preço que maximizará o lucro da livraria.
3 - Uma firma que importa computadores quer maximizar sua receita. 
a) Quando o preço do único modelo de computador é 3000 reais ela vende 1000 unidades deste. Para cada dedução de 100 reais no preço, as vendas são acrescidas em 200 unidades. Obtenha o preço que maximizará a receita obtida pôr esta empresa.
b) Devido a oscilações no cambio o dólar passou de 2,5 reais para 3 reais. Sabendo que cada computador custa 1000 dólares, calcule o preço que a maximizava o lucro com o cambio antigo e o preço que maximiza o lucro com o novo cambio. 
OBS: Calcule tudo em reais e mãos a obra.
4 – Um bar vende 200 porções de picanha quando estas custam 5 reais cada. Para cada redução de 0,5 reais no preço, as vendas aumentam em 50 porções, calcule o preço e a quantidade vendida que maximizará o faturamento do bar. Depois faça o mesmo para o lucro, sabendo que o preço de custo de cada porção é 2 reais.
C - Otimização no Rn sem restrição
1 - Ache os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou ponto de sela.
a - (x,y) = 6x2 + 6y2 +6xy + 36x - 5
b - (x,y) = 9xy – x3 – y3 – 6 
c - z = x3 + y3 + 3xy + 5
d - 
e - (x,y) = (x2 + y2) 	(Não precisa fazer as derivadas de segunda orden dessa letra, pois dá muito trabalho)