Aula 4 Matemática Elementar Prof Álvaro

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21/08/2012
1
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 4 - Parte 1
Definição de Razão
Se a e b são dois números reais, a 
razão entre a e b é o quociente
�
�
������������������������������: �
(b ≠ 0)
consequente consequente
antecedente antecedente
Razão
1) Lucas é jogador de basquete. A 
cada 5 arremessos que faz da linha 
dos três pontos consegue converter 3.
5
3
a cada 5 arremessos 
3 são convertidos. 
3
5
para conseguir 3 arremessos 
certeiros é preciso arremessar
5 bolas ao cesto
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Razão
2) Jonas é o batedor oficial de 
penalidades do seu time de futebol. A 
cada 10 penalidades que bate, 
consegue fazer 8 gols.
10
8
Para cada 10 penalidades 
batidas, 8 são convertidas. 
8
10
para fazer 8 gols é preciso 
bater 10 penalidades. 
Razões equivalentes
2
3
=
6
9
X 3
X 3
15
50
=
3
10
são razões equivalentes
÷ 5
÷ 5
são razões equivalentes
Razões inversas
3
4
= �
4
3
3
4
∙
4
3
=
12
12
= 1
são razões inversas
multiplicação de
razões inversas
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Exemplo 1
Qual a razão entre as áreas dos 
dois retângulos?
3m
1m
3m
9m
A1 = 3m2A1
A2 A2 = 27m2
��
��
=
3
27
=
1
9
Exemplo 2
A razão entre o número de médicos 
de uma cidade e o número de 
habitantes é �
����
. Se há 50 médicos 
na cidade, qual a sua população?
1
3500
=
X 50
X 50
50
175.000
Escala
Curitiba
Belo Horizonte
Escala 1:50.000.000
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Escala
50.000.000cm = 500.000m = 500km
1��
500��
=
2��
1000��
Portanto: D = 1000km
X 2
X 2
Exemplo
A escala de um mapa é 
1:1.000.000. Ao medir a distância 
no mapa entre a cidade A e a 
cidade B, João encontrou 43cm. 
Qual a distância real entre as 
cidades?
Resolução
1��
1.000.000��
=
1��
10.000�
=
1��
10��
X 43
X 43
=
43��
430��
Portanto: D = 430km
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Razões escritas na forma 
decimal e na forma percentual
40
100
= 0,4 = 40%
Forma percentual
Forma decimal
Forma fracionária
Porcentagens
Um jogo de xadrez custa a prazo 
R$ 25,00. Se for pago a vista o 
cliente ganha um desconto de R$ 
5,00. De quantos por cento é o 
desconto?
Porcentagens
5
25
=
20
100 Forma
percentual
Forma
decimal
Forma
fracionária
X 4
X 4
= 0,2 = 20%
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Exemplo
Dos 50.000 inscritos no vestibular 
da Uninter, 30.000 eram menores 
de 18 anos. Quantos por cento 
dos alunos tinham idade superior 
a 18 anos?
Raciocínio da resolução:
30000
50000
=
60
100
= 0,6 = 60%
÷500
÷500
60% menores de 18 anos
Logo, 40% são maiores de 18 anos
Exemplo
Ao se aproximar o final do mês,
Roberval percebeu que havia pago
somente 4/5 das suas dívidas.
Qual o percentual que ainda falta
para ele pagar?
4
5
��=
80
100
= 0,8 = 80%
x20
x20 Falta 20% para ser pago
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Proporção
Proporção é uma igualdade entre 
duas razões.
�
�
=
�
�
Propriedade fundamental das 
proporções
O produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos
�
�
=
�
�
�↔ � ∙ � = � ∙ �
Produto 
dos 
meios
Produto 
dos 
extremos
Aplicação
Uma maquete de um prédio foi 
construída na escala 1:50. Qual a 
altura real do prédio se a altura da 
maquete é 60cm?
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Resolução:
1
50
=
60
!
1 ∙ ! = 50 ∙ 60
! = 3000�� = 30�
altura real do prédio
Outras propriedades das proporções
1ª propriedade:
A soma ou a diferença dos dois
primeiros termos de qualquer
proporção está para o primeiro
termo (ou para o segundo), assim
como a soma ou a diferença dos
dois últimos termos está para o
terceiro (ou para o quarto)
Outras propriedades das proporções
�
�
=
�
�
�→ �
� + �
�
=
� + �
�
� + �
�
=
� + �
�
ou 
�
�
=
�
�
�→ �
� − �
�
=
� − �
�
� − �
�
=
� − �
�
ou
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Outras propriedades das proporções
2ª propriedade:
A soma (ou a diferença) dos
antecedentes está para a soma
(ou para a diferença) dos
consequentes, da mesma forma
que cada antecedente está para o
seu consequente.
Outras propriedades das proporções
�
�
=
�
�
�→ �
� + �
� + �
=
�
�
� + �
� + �
=
�
�
ou
�
�
=
�
�
�→ �
� − �
� − �
=
�
�
� − �
� − �
=
�
�
ou
Aplicação
A fim de pintar uma parede, um
pintor precisa misturar tinta
branca com tinta azul na razão de
5 para 4. Caso necessite de 27
litros dessa mistura, quantos
litros de cada cor ele utilizará?
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Raciocínio da resolução
x = quantidade de tinta branca
y = quantidade de tinta azul
x + y = 27
Raciocínio da resolução
x + y = 27
9 ∙ ! = 5 ∙ 27 ! =
135
9
15 + y = 27 y = 27 – 15 = 12
!
%
=
5
4
! + %
!
=
5 + 4
5
27
!
=
9
5
= 15
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 4 - Parte 2
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Números e grandezas diretamente 
proporcionais
João possui um carrinho de
pipocas. Em determinado dia ele
começou a marcar quantos sacos
de pipocas vendia a partir de um
certo instante de tempo. O
resultado foi o seguinte:
Tempo (em min) sacos 
vendidos
T/S
15 5
30 10
45 15
60 20
75 25
15
5
= 3
30
10
= 3
45
15
= 3
60
20
= 3
75
25
= 3
��
�
=
��
��
=
&�
��
=
'�
��
=
(�
��
Exemplo de aplicação
Um barbante de 320cm de
comprimento é dividido em partes
diretamente proporcionais aos
números 2, 5 e 9. Qual o
comprimento de cada pedaço?
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Raciocínio da resolução
�
2
= !
�
5
= !
�
9
= !
� = 2! � = 5! � = 9!
)
�
=
*
�
=
+
,
= !
� + � + � = 320
2! + 5! + 9! = 320
16! = 320 ! =
320
16
= 20
Raciocínio da resolução:
Logo, as partes procuradas são:
� = 2! = 2 ∙ 20 = 40��
� = 5! = 5 ∙ 20 = 100��
� = 9! = 9 ∙ 20 = 180��
Números inversamente proporcionais
Teobaldo deseja se deslocar da
cidade A até a cidade B. O tempo
que levará para executar o trajeto
é inversamente proporcional à
velocidade média com que irá
pilotar sua moto.
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Velocidade 
(km/h)
Tempo (em 
horas)
- ∙ .
5 16
10 8
20 4
40 2
80 1
5 ∙ 16 = 80
10 ∙ 8 = 80
20 ∙ 4 = 80
40 ∙ 2 = 80
80 ∙ 1 = 80
5 ∙ 16 = 10 ∙ 8 = 20 ∙ 4 = 40 ∙ 2 = 80 ∙ 1
Exemplo de aplicação
Uma empresa sorteou entre seus
colaboradores um prêmio de R$
6.200,00. Houve 3 ganhadores e a
empresa resolveu repartir o prêmio em
partes inversamente proporcionais aos
seus salários. O funcionário A recebe 2
salário mínimo, o funcionário B, 3
salários mínimos e o funcionário C
recebe 5 salários mínimos. Quantos
reais cada colaborador recebeu?
� ∙ 2 = ! / ∙ 3 = ! 0 ∙ 5 = !
� =
!
2
/ =
!
3
0 =
!
5
� ∙ 2 = / ∙ 3 = C ∙ 5 = !
Raciocínio da resolução:
� + / + 0 = 6200
!
2
+
!
3
+
!
5
= 6200
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Raciocínio da resolução:
!
2
+
!
3
+
!
5
= 6200
15!
30
+
10!
30
+
6!
30
= 6200
31!
30
= 6200
31! = 30 ∙ 6200
! =
186000
31
= 6000
Raciocínio da resolução:
� =
!
2
=
6000
2
= 3000
0 =
!
5
=
6000
5
= 1200
/ =
!
3
=
6000
3
= 2000
Regra de três
É um processo prático para
resolver problemas que envolvem
duas ou mais grandezas
diretamente ou inversamente
proporcionais.
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máquinas peças 
2 30
5 75
8 120
13 x
30
2
=
75
5
=
120
8
=
!
13
30
2
=
!
13
195 = !
Diretamente proporcionais
30 ∙ 13
2
= !
velocidade (km/h)Tempo (h)
30 4
40 3
60 2
100 x
30 ∙ 4 = 40 ∙ 3 = 60 ∙ 2 = 100 ∙ !
30 ∙ 4 = 100 ∙ ! 30 ∙ 4
100
= !
Inversamente proporcional
1,2 = !
máquinas peças 
2 30
13 x
2
13
=
30
!
! = 195
Diretamente proporcionais
2! = 13 ∙ 30
! =
13 ∙ 30
2
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velocidade (km/h) Tempo (h)
30 4
100 x
Inversamente proporcionais
30
100
=
!
4
! = 1,2
100! = 30 ∙ 4
! =
30 ∙ 4
100
Exercício
Um painel de absorção solar tem
área igual a 1,5m2 e produz 500J
(Joule) de energia por hora. Se
aumentarmos a área de absorção
para 2,1 m2, qual a quantidade de
energia que será produzida por
hora?
área (m2) Energia (J) 
1,5 500
2,1 x
1,5
2,1
=
500
!
! = 700
Diretamente proporcionais
1,5! = 2,1 ∙ 500
! =
2,1 ∙ 500
1,5
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Exercício
Oscar vai fazer uma reforma em
sua casa e está calculando
quantos pedreiros deve contratar
para que a obra fique pronta em 7
dias. Ele sabe que 3 pedreiros
terminariam todo o trabalho em
28 dias. Vamos ajudar Oscar?
Pedreiros Dias
3 28
x 7
Inversamente proporcionais
3
!
=
7
28
! = 12
7! = 3 ∙ 28
! =
3 ∙ 28
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Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 4 - Parte 3
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Exercício
Uma máquina produz 40 peças
trabalhando durante 50 minutos.
Quantas peças essa máquina
produzirá se trabalhar durante
duas horas ?
Tempo (min) Peças 
50 40
120 x
50
120
=
40
!
! = 96
Diretamente proporcionais
50! = 120 ∙ 40
! =
120 ∙ 40
50
Regra de três composta é um
processo de relacionamento de
grandezas diretamente
proporcionais, inversamente
proporcionais ou uma mistura
dessas situações.
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Regra de três composta - Exercício
Dois operários produzem em
5 dias 320 peças de certo produto.
Quantas peças desse produto
produzirão 5 operários em 8 dias?
Operários Dias Peças
2 5 320
5 8 X
8
5
5
2320
⋅=
x 40
10320
=
x 4
1320
=
x
32041 ⋅=⋅x 1280=x peças
Três pedreiros constroem um
muro de 20 m de comprimento em
10 dias. Quantos dias levarão 5
pedreiros para construir 30 m de
muro do mesmo tipo?
Regra de três composta - Exercício
Pedreiros Comprimento Dias
3 20 m 10
5 30 m X
30
20
3
510
⋅=
x 3
2
3
510
⋅=
x 9
1010
=
x
10910 ⋅=⋅x 9=x dias9
10
90
==x
Regra de três composta - Exercício