Lista equações lineares de segunda ordem e transformada de Laplace

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DMA - Departamento de Matema´tica
Lista - Equac¸o˜es Lineares de segunda ordem e Transformada de
Laplace - 2013.2
Prof. Alex Victor
Questa˜o 1. Em cada um dos itens abaixo, encontre o wronskiano de duas
soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial dada sem resolver a equac¸a˜o
(a) t2y′′ − t(t+ 2)y′ + (t+ 2)y = 0
(b) (cos t)y′′ + (sent)y′ − ty = 0
(c) x2y′′ + xy′ + (x2 − v2)y = 0
(d) (1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0
Questa˜o 2. Mostre que, se p e´ diferencia´vel e p(t) > 0, enta˜o o wronskiano
W (t) de duas soluc¸o˜es de [p(t)y′]′ + q(t)y = 0 e´ W (t) = cp(t) , onde c e´ uma
constante.
Questa˜o 3. Se y1 e y2 forma um conjunto fundamental de soluc¸o˜es da
equac¸a˜o ty′′ + 2y′ + tety = 0 e se W (y1, y2)(2) = 3, encontre o valor de
W (y1, y2)(5).
Questa˜o 4. Em cada uma das equac¸o˜es abaixo encontre a soluc¸a˜o geral
da equac¸a˜o dada.
(a) y′′ − 2y′ − 2y = 0
(b) y′′ − 2y′ + 6y = 0
(c) y′′ + 2y′ − 8y = 0
(d) 4y′′ + 12y′ + 9y = 0
(e) y′′ − 6y′ + 9y = 0
Questa˜o 5. Em cada item abaixo encontre a soluc¸a˜o do P.V.I. dado.
(a) y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1
(b) y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
(c) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
Questa˜o 6. Uma equac¸a˜o da forma
t2
d2y
dt2
+ αt
dy
dt
+ βy = 0, (1)
onde α e β sa˜o constantes reais e´ chamada de equac¸a˜o de Euler-Cauchy.
Escreva u = et se t > 0 ou u = −et se t < 0. Desta forma, calculando dydt e
d2y
dt2 em termos de
dy
du e
d2y
du2 , enta˜o a equac¸a˜o (1) e´ transformada na equac¸a˜o
d2y
du2
+ (α− 1)dy
du
+ βy = 0. (2)
Observe que a equac¸a˜o (2) tem coeficeintes constantes. Se y1(u) e y2(u)
forma um conjunto fundamental de soluc¸o˜es da equac¸a˜o (2) enta˜o y1(ln t)
e y2(ln t) forma um conjunto fundamental da equac¸a˜o (1). Procedendo
assim, resolva as equac¸o˜es de Euler-Cauchy abaixo para t > 0.
(a) t2y′′ + ty′ + y = 0
(b) t2y′′ + 4ty′ + 2y = 0
(c) t2y′′ + 3ty′ + 1, 25y = 0
(d) t2y′′ − 4ty′ − 6y = 0
(e) t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0
(f) t2y′′ − ty′ + 5y = 0
Questa˜o 7. Em cada um dos problemas abaixo determine se a integral
dada converge ou diverge
(a)
∫∞
0 (t
2 + 1)−1dt
(b)
∫∞
0 te
−tdt
(c)
∫∞
0 t
−2etdt
(d)
∫∞
0 e
−t cos tdt
Questa˜o 8. Em cada um dos itens abaixo calcule a transformada de La-
place das func¸o˜es dadas por:
(a) f(t) = teat, a e´ uma constante.
(b) f(t) = tsen(at), a e´ uma constante.
(c) f(t) = t cosh(at), a e´ uma constante.
(d) f(t) = t2sen(at), a e´ uma constante.
Questa˜o 9. Em cada um dos itens abaixo calcule a transformada de La-
place inversa da func¸a˜o dada por:
(a) F (s) = 2s+2s2+2s+5
(b) F (s) = 2s−3s2−4
(c) F (s) = 8s
2−4s+12
s(s2+4)
Questa˜o 10. Em cada um dos itens abaixo utilize a transformada de La-
place para resolver o P.V.I. dado.
(a) y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −1
2
(b) y′′ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
(c) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1
(d) y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1
(e) y′′ − 2y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
(f) y′′ − 2y′ + 2y = e−t, y(0) = 0, y′(0) = 1
(g) y′′ + 2y′ + y = 4e−t, y(0) = 2, y′(0) = −1
Respostas dos exerc´ıcios:
Questa˜o 1 (a) ct2et
(b) c cos t
(c) cx
(d) c(1−x2)
Questa˜o 3 225
Questa˜o 4
(a) y = c1e
t cos t+ c2e
tsent
(b) y = c1e
t cos
√
5t+ c2e
tsen
√
5t
(c) y = c1e
2t + c2e
−4t
(d) y = c1e
− 3t2 + c2te
−3t
2
(e) y = c1e
3t + c2te
3t
Questa˜o 5
(a) y = 12sen2t
(b) y = e−2t cos t+ 2e−2tsent
(c) y = 2e
2t
3 − 73te
2t
3
Questa˜o 6
(a) y = c1 cos(ln t) + c2sen(ln t)
(b) y = c1t
−1 + c2t−2
(c) y = c1t
−1cos(12 ln t) + c2t
−1sen(12 ln t)
(d) y = c1t
6 + c2t
−1
(e) y = c1t
2 + c2t
−3
Questa˜o 7
(a) Converge
(b) Converge
(c) Diverge
(d) Converge
Questa˜o 8
(a) F (s) = 1(s−a)2 , com s > a
(b) F (s) = 2as(s2+a2)2 com s > 0
3
(c) F (s) = s
2+a2
(s−a)2(s+a)2 , com s > |a|
(d) F (s) = 2a(3s
2−a2)
(s2+a2)3 , com s > 0
Questa˜o 9
(a) f(t) = 2e−t cos 2t
(b) f(t) = 2 cosh 2t− 32senh(n2t)
(c) f(t) = 3− 2sen2t+ 5 cos 2t
Questa˜o 10
(a) y = 15(e
3t + 4e−2t)
(b) y = 2e−t − e−2t
(c) y = etsent
(d) y = e2t − te2t
(e) y = 2et cos
√
3t− ( 2√
3
)etsen
√
3t
(f) y = 15(e
−t − et cos t+ 7etsent)
(g) y = 2e−t + te−t + 2t2e−t
4