solucaoProva2Eletrica-2014.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CCT-Unidade Acadeˆmica de F´ısica
Soluc¸a˜o da 2a Prova de Eletricidade e Magnetismo
Disciplina:1108083 (Turma da manha˜) 08/08/2014
Prof. Adriano de A. Batista
1)(2.0) Na figura abaixo temos uma bateria de 12V e dois capacitores descarregados de ca-
pacitaˆncias C1 = 8, 0µF e C2 = 3, 0µF. Inicialmente a chave e´ ligada a` bateria ate´ o capacitor
C1 ser carregado completamente. Em seguida a chave e´ deslocada para direita. (a) Qual a ddp
final nos capacitores? (b) Qual carga final do capacitor C1? (c) Qual a carga final do capacitor
C2? (d) Qual a energia final acumulada nos dois capacitores?
Soluc¸a˜o:
A carga inicial no capacitor C1 e´ q
i
1 = C1V1 = 9, 6×10−5C. A tensa˜o final no capacitor sera´
V f1 = q
f
1 /C1 = q
f
2 /C2. Tambe´m sabemos, por conservac¸a˜o de cargas, que q
i
1 = q
f
1 + q
f
2 .
b)Logo, a carga final no capacitor C1 e´
qf1 =
qi1
1 + C2/C1
=
C21V1
C1 + C2
=
8
11
qi1 ≈ 6, 98× 10−5C ≈ 7, 0× 10−5C.
a) Obtemos enta˜o a ddp final nos capacitores,
V f1 = q
f
1 /C1 =
C1V1
C1 + C2
=
8, 0× 12
8, 0 + 3, 0
≈ 8, 7V.
c) A carga final no capacitor C2 e´
qf2 = C2V
f
1 =
C1C2V1
C1 + C2
≈ 3, 0× 8, 7µC ≈ 2, 6× 10−5C
d) A energia potencial eletrosta´tica final acumulada nos capacitores e´
Uf =
(C1 + C2)V
f2
1
2
=
11× 8, 72
2
µJ = 4, 2× 10−4J
2) (2.0) (a) Determine a corrente em um fio condutor oˆhmico de raio b e comprimento ` ao
qual se aplica uma diferenc¸a de potencial E = 12V entre suas extremidades. O fio e´ composto
de dois metais: no miolo alumı´nio (r < a) e na casca cobre (a < r < b). Considere a = 0, 20mm,
b = 0, 40mm, ` = 10m. A condutividade do alumı´nio a` temperatura ambiente e´ aproximada-
mente σA = 3, 52× 107S/m e a do cobre e´ σC = 5, 80× 107S/m. Despreze efeitos de borda nas
extremidades do fio. (b) Qual a poteˆncia dissipada no fio?
Soluc¸a˜o:
(a) A corrente total no fio e´ dada por i = iA + iC = JApia
2 + JCpi(b
2 − a2), em que as
densidades de corrente sa˜o dadas por JA = σAE e JC = σCE. O campo ele´trico e´ o mesmo
nos dois materiais pois ele e´ paralelo ao eixo do fio, e´ dado por ~E = −∇V e na˜o ha´ cargas
acumuladas no fio =⇒ E = E /`. Portanto, obtemos
i =
[
σApia
2 + σCpi(b
2 − a2)] E
`
≈ (4, 42 + 21, 9)1, 2A = 31, 5A.
(b) a poteˆncia dissipada no fio e´ Pdiss =
E 2
Req
, onde
Req =
`
[σApia2 + σCpi(b2 − a2)] = 0, 38Ω.
Assim obtemos Pdiss = 12
2/0, 38 = 378W
3) (2.0) Na figura abaixo considere que a fonte seja ideal e que as resisteˆncias sejam dadas por
R1 = R2 = R3 = R e R4 = 4R. Despreze a resisteˆncia interna do amper´ımetro A. Qual a
corrente que passa pelo amper´ımetro? Indique o sentido da corrente.
Soluc¸a˜o:
A corrente que passa pela fonte e´ dada por i = V0Req , onde Req = R/2 +
4R
5 =
13R
10 e´
a resisteˆncia equivalente. Assim i = 10V013R . A ddp no resistor R1 e´ a mesma no resistor
R2, logo i1 = i2. Da mesma forma a ddp em R3 e´ a mesma que no resistor R4, logo
Ri3 = 4Ri4. Pela lei dos no´s sabemos tambe´m que i = i1 + i2 = i3 + i4 = 5i4, assim i2 = i/2
e i4 = i/5. Finalmente aplicando a lei dos no´s ao no´s a` direita do amper´ımetro obtemos
iA = i2 − i4 = i/2− i/5 = 3i/10 = 3V013R .
4) (2.0) No circuito abaixo a chave S1 e´ fechada com o capacitor completamente descarregado em
t = 0. (a) Obtenha as correntes iniciais em R1, R2, e R3. (b) Obtenha as correntes estaciona´rias
em R1, R2, e R3. (c) Qual a carga final acumulada no capacitor? (d) Se depois de muito tempo
a chave S1 for aberta novamente, qual a energia total dissipada nos resitores R2 e R3 ate´ o
capacitor se descarregar completamente?
Soluc¸a˜o:
(a) A corrente inicial em R1 e´ i1(0) =
V1
R1+R2R3/(R2+R3)
= (R2+R3)V1R1(R2+R3)+R2R3 , pois em t = 0
na˜o ha´ ddp no capacitor ja´ que ele esta´ descarregado. Portanto, a ddp em R2 e´ igual a ddp
em R3, assim R2i2(0) = R3i3(0). Pela lei dos no´s i1 = i2 + i3, logo i2(0) =
i1(0)
1+R2/R3
=
R3i1(0)
R2+R3
= R3V1R1(R2+R3)+R2R3 . Assim a corrente inicial em R3 e´ i3(0) =
R2V1
R1(R2+R3)+R2R3
.
(b) Depois de transcorrido um longo tempo, o capacitor se torna completamente carregado
(i3(∞) = 0) e as correntes se tornam estaciona´rias (isto e´ constantes no tempo) i1(∞) =
i2(∞) = V1R1+R2 .
(c) A tensa˜o no capacitor sera´ enta˜o V∞ = R2V1R1+R2 , q∞ = C1V∞.
(d) Depois de se abrir novamente a chave S1, a energia total dissipada nos resistores e´
igual a energia acumulada no capacitor no momento em que a chave e´ aberta. Udiss =∫∞
0
(R2 +R3)i(t)
2 dt = C1V
2
∞/2 =
C1R
2
2V
2
1
(R1+R2)2
.
5) (2.0)Na figura abaixo, todas as baterias teˆm a mesma forc¸a eletromotriz V1 = V2 = V3 = 12V
e resisteˆncias internas R1 = R2 = R3 = 0, 3Ω. (a) Obtenha a poteˆncia dissipada em R4 e desenhe
o gra´fico dessa func¸a˜o. (b) Qual a poteˆncia total fornecida pelas baterias no valor de pico da
poteˆncia fornecida para R4?
Soluc¸a˜o: (a) A func¸a˜o a ser plotada e´ Pdiss = R4i
2
4, com i4 =
V1
R1/3+R4
. Assim temos a
func¸a˜o Pdiss(R4) =
R4V
2
1
(Req+R4)2
=
V 21(
Req√
R4
−√R4
)2
+4Req
, cujo valor ma´ximo e´ dado em R4 =
Req = R1/3 = 0, 1Ω.
Pdiss(W)
R4(Ω)0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
360.0
(b) Nesse ponto R4 = Req e o valor da poteˆncia dissipada e´ Pdiss =
V 21
4Req
= 1444×0,1W =
360W , que e´ o mesmo valor de poteˆncia dissipada nas resisteˆncias iternas. Como a poteˆncia
total fornecida pelas baterias e´ dissipada nas resisteˆncias, logo Ptot = 720w.