Controle Linear

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DR
AF
T
CONCURSO PETROBRAS
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JR - ELETRÔNICA
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JR - ELÉTRICA
ENGENHEIRO(A) DE AUTOMAÇÃO JR
Questões Resolvidas
Controle Linear
QUESTÕES RETIRADAS DE PROVAS DA BANCA CESGRANRIO
Eng. Roni Gabriel Rigoni
www.concursopetrobraseng.com.br
DR
AF
T
Introdução
Para a utilização deste material é recomendado que o leitor já tenha estudado todo o conteúdo
referente a Controle Linear Contínuo e Discreto, como consta no edital do concurso. Por este motivo,
não é explicado detalhadamente cada método, teorema ou definição utilizados durante as resoluções.
Porém fazemos questão de sempre deixar explícito qual método/teorema/definição está sendo utilizado,
para o leitor poder cunsultá-lo na bibliografia que preferir.
Não será dado nenhum tipo de assistência pós-venda para compradores deste material, ou
seja, qualquer dúvida referente às resoluções deve ser sanada por iniciativa própria do comprador, seja
consultando docentes da área ou a bibliografia. Apenas serão considerados casos em que o leitor
encontrar algum erro (conceitual ou de digitação) e desejar informar ao autor tal erro a fim de ser
corrigido.
O autor deste material não tem nenhum tipo de vínculo com a empresa CESGRANRIO, e as
resoluções aqui apresentadas são de autoria exclusiva de Roni Gabriel Rigoni, formado pela Univer-
sidade Federal de Santa Catarina e atualmente Engenheiro de Automação da Petrobras Transportes -
Transpetro.
quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se
o infrator à resposabilização civil e criminal.
Faça um bom uso do material, e que ele possa ser muito útil na conquista da sua vaga.
Capı´tulo1
Controle Linear
1.1 Controle Linear Contínuo - Básico
Questão 1
(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2008)
11
ENGENHEIRO JÚNIOR - ÁREA: AUTOMAÇÃO
(A)
3s4s
2s14s20
2
2
��
��
(B)
20s14s2
3s4s
2
2
��
��
(C)
3s4s
20s14s2
2
2
��
��
(D)
20s14s2
1s4s3
2
2
��
��
(E)
1s4s3
2s14s20
2
2
��
��
)t(y3
dt
)t(dy
4
dt
)t(yd
)t(u20
dt
)t(du
14
dt
)t(ud
2
2
2
2
2
�����
36
Um determinado sistema físico pode ser modelado através da seguinte equação diferencial ordinária:
onde u(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de saída do sistema. A função de transferência 
)s(U
)s(Y
)s(G �
deste sistema é
37
Um sistema dinâmico em malha fechada pode ser modelado sob a forma de espaço de estado através das seguintes
equações:
As posições dos pólos no plano s da função de transferência deste sistema são
(A) s
1
 = �2 e s
2
 = �3 (B) s
1
 = �1 e s
2
 = �3
(C) s1 = �1 e s2 = �2 (D) s1 = �2 e s2 = �4
(E) s
1
 = �3 e s
2
 = �5
38
Os CLPs da Figura 1 estão conectados numa rede do tipo mestre-escravo. O CLP mestre M realiza uma varredura cíclica a
todos os CLPs escravos Ei (i =1..n) para realizar o intercâmbio de dados. A comunicação por rede permite que os CLPs
compartilhem variáveis. O ciclo de varredura da rede é independente do ciclo de varredura interno dos CLPs, este composto por
três etapas: (i) atualização da memória de entrada e saída local; (ii) atualização da memória de dados referentes à rede; e (iii)
execução do programa de aplicação do usuário. Na etapa (ii), os dados recebidos por uma comunicação de rede são atualizados
na memória interna e os dados referentes aos outros CLPs são repassados para transmissão. O intercâmbio de dados entre
diferentes estações escravas Ei é feito por intermédio do CLP mestre M.
Numa comunicação escravo-escravo, ilustrada na Figura 2, o CLP E1 recebe um estímulo na entrada correspondente ao ponto
X11, que atualiza o ponto C01 do CLP M e que, conseqüentemente, provoca uma modificação no ponto C21 do CLP E2.
Considere que os tempos de varredura dos CLPs M, E1 e E2 sejam todos de 50ms, que o tempo requerido para completar a
transmissão na rede seja de 20ms, e desconsidere o tempo necessário para a percepção de um estímulo na entrada de um
CLP. O tempo mínimo, em milissegundos, em que um sinal conectado à entrada correspondente ao ponto X11 deve permane-
cer num determinado estado para que este seja percebido no ponto C21 é
(A) 320 (B) 340 (C) 370 (D) 390 (E) 420
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
�
�
�
	
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
)t(x
)t(x
02)t(y
)t(u
3
1
)t(x
)t(x
01
65
)t(x
)t(x
2
1
2
1
2
1
código no CLP M:
| C01 C21 |
|---| |---( )---|
| |
....
código no CLP E1:
| X11 C01 |
|---| |---( )---|
| |
....
código no CLP E2:
| C21 |
|---| |--- ... |
| |
....
Figura 2
Instância de comunicação entre
estações Escravo-Escravo
Figura 1
CLPs interconectados em rede
CLP M CLP E1 CLP EnCLP E2
(A)
(C)
(E)
(B)
(D)
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Resolução:
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
2s2U(s) + 14sU(s) + 20U(s) = s2Y (s) + 4sY (s) + 3Y (s)
U(s)
[
2s2 + 14s+ 20
]
= Y (s)
[
s2 + 4s+ 3
]
Y (s)
U(s)
= G(s) =
2s2 + 14s+ 20
s2 + 4s+ 3
�� ��Alternativa (C)
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Questão 2
(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2006)
PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO
8
27
A figura acima mostra uma fonte de tensão contínua alimen-
tando um circuito RC. Com o capacitor descarregado, a chave
fecha-se no instante inicial, isto é, em t=0. A expressão
matemática do tempo total (t), contado a partir do instante
inicial até o capacitor se carregar com 1/5 da tensão da
fonte, é:
(A) RC,20
(B) 





3
5
2
lnRC
(C) ( )20,lnRC
(D) 





5
3
2
lnRC
(E) RC,60
28
Considere a figura abaixo.
A chave S, no circuito, encontrava-se aberta por um longo
tempo, tendo o circuito alcançado o regime permanente.
Imediatamente após fechar a chave S, o valor da corrente I1,
em ampères, será:
(A) 0,75 (B) 1,00
(C) 1,25 (D) 1,50
(E) 2,00
R
E
+
C R
12 V
2 mH
3 mF
S
4 �
5 �
20 �
I1
+
29
Uma planta industrial pode ser modelada através de uma
Função de Transferência G(s) racional e contínua, de terceira
ordem, estritamente própria e estável. Com relação a G(s),
é correto afirmar que:
(A) possui três pólos localizados no semiplano s da direita.
(B) possui pelo menos um zero localizado no infinito.
(C) o seu grau relativo é zero.
(D) possui dois zeros localizados sobre o eixo imaginário no
plano s.
(E) todos os pólos estão localizados sobre o eixo real nega-
tivo.
30
A figura acima mostra um sinal oriundo de uma descarga de
capacitor, cuja expressão é dada por:
( )
( )



<=
≥= α−
00
0
tparatf
tparaAetf t
onde A e α são constantes positivas. A expressão da Trans-
formada de Fourier deste sinal é:
(A) ( )
ω+α
ω
=ω j
AF
(B) ( )
ω+α
=ω j
AF
(C) ( )
ω−α
=ω j
AF
(D) ( ) 22 ω+α=ω
AF
(E) ( )
22 ω+α
=ω
AF
f(t)
0 t
A
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Resolução:
Supondo que a Função de Transferência da planta seja G(s) = N(s)
D(s)
. Da
teoria de controle sabemos que:
• Se grau[D(s)] ≥ grau[N(s)]→ G(s) é uma FT própria.
• Se grau[D(s)] > grau[N(s)]→ G(s) é uma FT estritamente própria.
Como a G(s) em questão é estritamente própria, sabemos que existem mais
pólos do que zeros nesta FT. Consequentemente pelo menos um pólo vai para
infinito na nossa análise de Lugar das Raízes, ou seja, há pelo menos um zero no
infinito.
�� ��Alternativa (B)
Analisando as outras alternativas:
(A) Falso, pois deste modo a planta seria instável.(C) Falso, como grau[D(s)] > grau[N(s)], o grau relativo é no minimo 1.
(D) Falso, pois nesse caso a estabilidade estaria condicionada.
(E) Falso, os pólos podem estar em qualquer parte do semiplano complexo es-
querdo.
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 3
(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2006)
PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO9
31
Num circuito elétrico, o sinal de tensão v(t), causal, é repre-
sentado matematicamente pela expressão no domínio de
Laplace:
( )
204
2010
2 ++
+
=
ss
s
sV
Esta tensão tem a sua expressão no domínio do tempo,
para 0≥t , dada por:
(A) ( ) ( )tcosetv t 410 2−=
(B) ( ) ( )tsenetv t 410 2−=
(C) ( ) 




 π
+= −
4
420 2 tsenetv t
(D) ( ) ( )tcosetv t 2010 4−=
(E) ( ) ( )tsenetv t 2010 4−=
32
Considere a tabela abaixo:
Cinco processos, nomeados A, B, C, D e E, chegam quase
simultaneamente a um processador para serem executados.
Consideram-se desprezíveis as diferenças entre os tempos
de chegada dos processos, porém a ordem de chegada está
indicada na tabela. Os tempos de execução estimados dos
processos são mostrados na tabela e o processador segue
um algoritmo de escalonamento por ordem de chegada e
com fatia de tempo de 1s. O tempo médio de resposta aos
processos, em segundos, é:
(A) 3,0
(B) 9,6
(C) 10,0
(D) 10,2
(E) 12,0
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
5
3
1
2
4
Tempo estimado de
execução (s)
Ordem de ChegadaProcesso
33
Um sistema tem a sua entrada x(t) relacionada com a saída
y(t), através da seguinte equação diferencial:
( )tx
dt
dy
dt
yd 1052
2
=+
Considerando todas as condições iniciais nulas e aplicando,
neste sistema, uma realimentação de saída, com a lei de
controle dada por ( ) ( ) ( )trtKytx +−= , a expressão da
Função de Transferência relacionando a saída Y(s) e a
entrada de referência R(s) é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) ( )
( ) ( )2 5 10
Y s K
R s s K s K
=
+ + +
� �
� � Kss
K
sR
sY
105
2
��
	
� �
� � KsssR
sY
���
	
105
10
2
� �
� � KsssR
sY
105
10
2
��
	
� �
� � Kss
K
sR
sY
105
10
2
��
	
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PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO9
31
Num circuito elétrico, o sinal de tensão v(t), causal, é repre-
sentado matematicamente pela expressão no domínio de
Laplace:
( )
204
2010
2 ++
+
=
ss
s
sV
Esta tensão tem a sua expressão no domínio do tempo,
para 0≥t , dada por:
(A) ( ) ( )tcosetv t 410 2−=
(B) ( ) ( )tsenetv t 410 2−=
(C) ( ) 




 π
+= −
4
420 2 tsenetv t
(D) ( ) ( )tcosetv t 2010 4−=
(E) ( ) ( )tsenetv t 2010 4−=
32
Considere a tabela abaixo:
Cinco processos, nomeados A, B, C, D e E, chegam quase
simultaneamente a um processador para serem executados.
Consideram-se desprezíveis as diferenças entre os tempos
de chegada dos processos, porém a ordem de chegada está
indicada na tabela. Os tempos de execução estimados dos
processos são mostrados na tabela e o processador segue
um algoritmo de escalonamento por ordem de chegada e
com fatia de tempo de 1s. O tempo médio de resposta aos
processos, em segundos, é:
(A) 3,0
(B) 9,6
(C) 10,0
(D) 10,2
(E) 12,0
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
5
3
1
2
4
Tempo estimado de
execução (s)
Ordem de ChegadaProcesso
33
Um sistema tem a sua entrada x(t) relacionada com a saída
y(t), através da seguinte equação diferencial:
( )tx
dt
dy
dt
yd 1052
2
=+
Considerando todas as condições iniciais nulas e aplicando,
neste sistema, uma realimentação de saída, com a lei de
controle dada por ( ) ( ) ( )trtKytx +−= , a expressão da
Função de Transferência relacionando a saída Y(s) e a
entrada de referência R(s) é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) ( )
( ) ( )2 5 10
Y s K
R s s K s K
=
+ + +
� �
� � Kss
K
sR
sY
105
2
��
	
� �
� � KsssR
sY
���
	
105
10
2
� �
� � KsssR
sY
105
10
2
��
	
� �
� � Kss
K
sR
sY
105
10
2
��
	
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Resolução:
Substituindo a lei de controle x(t) = −Ky(t) + r(t) em d2y
dt2
+ 5dy
dt
= 10x(t)
temos:
d2y
dt2
+ 5
dy
dt
= 10(−Ky(t) + r(t))
d2y
dt2
+ 5
dy
dt
+ 10Ky(t) = 10r(t)
Aplicando a Transformada de Laplace nesta equação encontramos:
s2Y (s) + 5sY (s) + 10KY (s) = 10R(s)
Y (s)[s2 + 5s+ 10K] = 10R(t)
Y (s)
R(s)
=
10
s2 + 5s+ 10K
�� ��Alternativa (C)
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Questão 4
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
7
23
O modelo discreto de um sistema, em malha aberta, é representado pela função de transferência . 
A figura acima mostra o esboço do lugar das raízes, no plano Z, para esse sistema, em malha fechada, com realimentação 
de saída e com o ganho variando no intervalo . O circulo unitário está traçado com linha pontilhada. O valor 
do ganho K, para que o sistema em malha fechada esteja no limiar da instabilidade, é
(A) 5,0 (B) 2,5 (C) 1,0 (D) 0,5 (E) 0,25
24
Um sistema de 2a ordem é dado pela sua função de transferência . Sabe-se que o tempo de subida, 
medido sobre a curva de resposta ao degrau aplicado nesse sistema, é dado por , onde 
• é a razão de amortecimento; e
• ωn é a frequência natural não amortecida.
Para discretizar esse sistema e aplicar um controle digital, o período de amostragem deve ser tal que ocorram 10 amostras 
durante o tempo de subida. O valor aproximado desse período é 
(A) (B) 
(C) (D) 
(E) 
Resolução:
Comparando o sistema em questão com a representação padrão para sis-
temas de segunda ordem:
G(s) =
64
s2 + 8s+ 64
=
Kω2n
s2 + 2ζωn + ω2n
De onde tiramos:
ω2n = 64
ωn = 8
2ζωn = 8
ζ =
8
2× 8
ζ = 0, 5
Então podemos calcular o valor de φ como segue:
φ = arccos(ζ) = arccos(0, 5) =
pi
3
rad
Agora basta substituirmos os valores na equação dada e encontrarmos o valor do
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tempo de subida TR:
TR =
pi − φ
ωn
√
1− ζ2 =
pi − pi
3
8
√
1− 0, 52
TR =
2pi
3
8
√
75
100
=
2pi
24
√
25
100
× 3
TR =
pi
12× 5
10
√
3
=
pi
√
3
18
Para termos 10 amostragem durante o tempo de subita, temos que ter T = TR
10
,
logo:
T =
TR
10
=
1
10
× pi
√
3
18
T =
pi
√
3
180 �� ��Alternativa (B)
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Questão 5
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
8
Considere as informações a seguir para responder às questões de nos 25 e 26.
O controle de atitude de um satélite em órbita consiste em ajustar, automaticamente, o ângulo de seu eixo, de modo 
a direcionar sua antena para a região desejada na superfície da Terra. O modelo simplificado desse sistema consta 
de um sinal de entrada, que é o torque τ(t), e de um sinal de saída, que é o ângulo θ(t). Considerando o vetor de 
estado definido com , posição angular e , a velocidade angular, obtém-se 
o seguinte modelo em espaço de estado.
 e 
25
Aplicando uma realimentação de estado, com a lei de controle dada por , o valor do vetor 
de ganhosK, que conduz os polos em malha fechada para as posições −2 e −3, é
(A) [5 6] (B) [2 3] (C) [6 5] (D) [−5 −6] (E) [−2 −3] 
26
Discretizando este modelo, pelo método ZOH, com o período de amostragem T, obtém-se o modelo discreto dado por:
 e 
A matriz Φ é
(A) (B) (C) (D) (E) 
27
O gráfico da figura acima corresponde à resposta ao degrau unitário aplicado na entrada de um sistema de 2a ordem, cuja 
função de transferência é . Com base nos dados da figura, os polos desse sistema são complexos, 
conjugados e iguais a
(A) (B) (C) (D) (E) 
Resolução:
Primeiramente calculamos o ganho estático do sistema(K), baseando-nos
pelo gráfico, sabendo que a entrada foi um degrau unitário (U(s) = 1
s
):
K =
∆Y
∆X
=
0, 25− 0
1− 0 =
1
4
Agora aplicamos o Teorema do Valor Final (TVF) sobre G(s):
lim
s→0
sG(s)U(s) = K
lim
s→0
(
s× 16
s2 + 8s+ b
× 1
s
)
=
1
4
16
b
=
1
4
b = 64
Portanto a equação característica é s2+8s+64 = 0, e os pólos são as raízes desta
equação:
s1,2 =
−8±√64− 4× 64
2
s1,2 =
−8± 8√1− 4
2
s1,2 = −4± j4
√
3
�� ��Alternativa (D)
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Questão 6
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
9
28
O diagrama em blocos da figura acima mostra um sistema 
em malha fechada, onde U(s) é o sinal de entrada e Y(s), 
o sinal de saída. O valor do ganho K, para que os polos 
da função de transferência sejam complexos, con-
jugados e com parte real igual −6,5, é
(A) 20 (B) 15
(C) 8 (D) 3
(E) 1
29
Nas redes de computadores Ethernet, os servidores 
utilizam um serviço que permite a alocação dinâmica de 
endereços IPs. O servidor seleciona um endereço IP a 
partir do pool de endereços disponíveis, atribuindo um 
endereço ao cliente e acrescentando uma entrada no 
banco de dados dinâmico. Essa situação normalmente 
acontece quando um host muda de uma rede para outra 
ou é conectado e desconectado de uma rede, como 
no caso de um provedor de serviços. Nesse esquema, 
endereços IP são fornecidos de forma temporária por um 
período de tempo limitado. Esse serviço é conhecido pela 
sigla 
(A) DNS 
(B) SSH
(C) NAT
(D) WINS 
(E) DHCP
30
A figura abaixo mostra um conector usado para conectar o 
cabo de fibra óptica aos dispositivos de rede.
Ele utiliza um sistema de travamento de baioneta, mais 
confiável que o sistema conhecido como empurra/puxa. 
Esse conector é conhecido pela sigla 
(A) ST (B) SC
(C) MT-RJ (D) SMA
(E) VF-45
31
Uma sub-rede de computadores foi implementada com 
acesso à Internet, sendo configurada por meio da notação 
CIDR, com o IP 192.227.75.160/28. A máscara que essa 
sub-rede está utilizando e seu endereço de broadcasting 
são, respectivamente,
(A) 255.255.255.224 e 192.227.75.175 
(B) 255.255.255.224 e 192.227.75.191
(C) 255.255.255.240 e 192.227.75.255
(D) 255.255.255.240 e 192.227.75.191 
(E) 255.255.255.240 e 192.227.75.175
32
Observe a figura abaixo. Ela indica dois esquemas de 
codificação digital, utilizados em redes de computadores. 
• Em I, a codificação mantém um pulso de voltagem 
constante pela duração de um tempo de bit. Os dados 
em si são codificados como a presença ou ausência 
de uma transição de sinal no início do tempo de bit. 
Uma transição no início de um tempo de bit denota um 
1 binário, enquanto que nenhuma transição indica um 
0 binário. Essa codificação é utilizada em conexões 
ISDN de baixa velocidade.
• Em II, existe uma transição no meio de cada perío-
do de bit. A transição de meio de bit serve como um 
mecanismo de sincronização e também como dados. 
Uma transição de alto para baixo representa 0, en-
quanto uma transição de baixo para alto representa 1. 
Essa codificação é utilizada em LANs Ethernet. 
As codificações I e II são conhecidas, respectivamente, 
como 
(A) NRZ-I e Manchester Diferencial. 
(B) NRZ-I e Manchester. 
(C) NRZ-I e NRZ-L. 
(D) NRZ-L e Manchester.
(E) NRZ-L e Manchester Diferencial.
Resolução:
Utilizando álgebra de blocos, podemos reescrever o diagrama de blocos
como segue:
+
15,0 +s
K
12,0
11
+
+
s
)(sU )(sY
-
E também podemos reescrever a primeira Função de Transferência:
1 +
1
0, 2s+ 1
=
0, 2s+ 2
0, 2s+ 1
Agora podemos então achar a função de transferência Y (s)
U(s)
:
Y (s)
U(s)
=
0,2s+2
0,2s+1
× K
0,5s+1
1 + 0,2s+2
0,2s+1
× K
0,5s+1
Y (s)
U(s)
=
(0, 2s+ 2)K
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1) + (0, 2s+ 2)K
Agora finalmente podemos identificar a equação característica de Y (s)
U(s)
:
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1) + (0, 2s+ 2)K = 0
s2 + (7 + 2K)s+ (10 + 20K) = 0
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Pelo teorema de báskara, igualamos a parte real dos pólos a −6, 5:
−(7 + 2K)
2
= −6, 5
7 + 2K = 13
2K = 6
K = 3
�� ��Alternativa (D)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 7
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
10
33
A resposta de um sistema linear à aplicação de um im-
pulso δ(t) (delta de Dirac) é dada por h(t) = Aδ(t − t0), 
onde A e t0 são constantes positivas. Admitindo-se que 
este sistema tenha como entrada um sinal senoidal defi-
nido por x(t) = B cos(2 π f 0t ), o espectro do sinal de saída, 
correspondente a essa entrada, é dado pela expressão
(A) (ej2πf t0 + e-j2πf t0)
(B) ABcos(2πf t0)
(C) δ(f )cos(2πf t0)
(D) [δ(f -f0) + δ(f +f0)]e-j2πf t0
(E) δ(f -f0)cos(2πf t0)
34
Deseja-se transmitir, digitalmente, um sinal de vídeo cujo 
espectro é limitado à faixa de 0 a 4 MHz. Na conversão 
A/D desse sinal, utilizam-se um amostrador que opera na 
taxa de Nyquist e um codificador que gera na saída, para 
cada amostra na sua entrada, uma palavra binária de 
comprimento fixo igual a 12 bits. Para que a interferência 
entre símbolos (IES) no receptor seja desprezível, admite-
-se que a largura de banda do canal deve ser, no mínimo, 
igual a , onde Ts é o intervalo de sinalização na saída 
do modulador, ou, em outras palavras, o intervalo entre 
símbolos (sinais) gerados pelo modulador.
Dispondo-se de um canal com largura de banda de 25 MHz, 
o método de modulação que atende à condição para que 
a IES seja desprezível é o 
(A) BPSK
(B) QPSK
(C) FSK-2
(D) PSK-8
(E) QAM-16
35
Considere um sistema de segunda ordem com a seguinte 
função de transferência: 
 
A partir da análise de estabilidade e de desempenho, 
afirma-se que G(s) é
(A) estável, com a frequência natural amortecida igual a 
6, e o sistema é subamortecido.
(B) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 1, 
e o sistema é criticamente amortecido. 
(C) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 3, 
e o sistema é superamortecido.
(D) instável, com a frequência natural não amortecida 
igual a 3, e o sistema é subamortecido.
(E) instável, com frequência natural não amortecida igual 
a 6, e o sistema é criticamente amortecido.
36
Para análise de estabilidade em sistemas lineares, conside-
re a função de transferência de um sistema em malha fecha-
da, dada por , onde 
a constante . Para garantir a estabilidade desse 
sistema, o intervalo de variação de k deve ser
(A) 0 < k < 2 (B) 1 < k < 2
(C) k > − 2 (D) k > − 1
(E) k > 0
37
Em um determinado processo industrial, sabe-se que a 
temperatura de uma de suasetapas varia entre 10 ºC e 
50 ºC. O instrumento de medição usado para medir 
essa temperatura possui sua faixa de medida de −50 ºC 
a 50 ºC, com uma zona morta de 1%. Diante do exposto, 
afirma-se que o instrumento de medição
(A) não apresentará variações de temperaturas inferiores 
ou iguais a 0,5 ºC.
(B) não apresentará variações de temperaturas inferiores 
ou iguais a 1 ºC.
(C) não é adequado para a medição na qual é empregado, 
visto que pode apresentar distorções na medição da 
temperatura se a mesma estiver entre 49 ºC e 50 ºC.
(D) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tempe-
raturas variando em até 0,5 ºC além de sua faixa de 
medida nominal.
(E) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tem-
peraturas variando em até 1 ºC além de sua faixa de 
medida nominal.
Resolução:
Primeiro calculamos os pólos do sistema, que são as raízes da equação
característica s2 + 6s+ 9 = 0:
s =
−6±√62 − 4× 9
2
Logo s1 = s2 = −3, e como ambos pólos estão no semiplano complexo esquerdo,
o sistema é estável. Agora comparamos a função de transferência dada com a
forma padrão de uma função de transferência de segunda ordem:
G(s) =
9
s2 + 6s+ 9
=
Kω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
De onde tiramos:
ω2n = 9
ωn = 3
2ξωn = 6
ξ =
6
2× 3
ξ = 1
Portanto o sistema é estável, com frequência natural não amortecida igual a 3
(ωn = 3), e criticamente amortecido (ξ = 1).
�� ��Alternativa (B)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 8
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
10
33
A resposta de um sistema linear à aplicação de um im-
pulso δ(t) (delta de Dirac) é dada por h(t) = Aδ(t − t0), 
onde A e t0 são constantes positivas. Admitindo-se que 
este sistema tenha como entrada um sinal senoidal defi-
nido por x(t) = B cos(2 π f 0t ), o espectro do sinal de saída, 
correspondente a essa entrada, é dado pela expressão
(A) (ej2πf t0 + e-j2πf t0)
(B) ABcos(2πf t0)
(C) δ(f )cos(2πf t0)
(D) [δ(f -f0) + δ(f +f0)]e-j2πf t0
(E) δ(f -f0)cos(2πf t0)
34
Deseja-se transmitir, digitalmente, um sinal de vídeo cujo 
espectro é limitado à faixa de 0 a 4 MHz. Na conversão 
A/D desse sinal, utilizam-se um amostrador que opera na 
taxa de Nyquist e um codificador que gera na saída, para 
cada amostra na sua entrada, uma palavra binária de 
comprimento fixo igual a 12 bits. Para que a interferência 
entre símbolos (IES) no receptor seja desprezível, admite-
-se que a largura de banda do canal deve ser, no mínimo, 
igual a , onde Ts é o intervalo de sinalização na saída 
do modulador, ou, em outras palavras, o intervalo entre 
símbolos (sinais) gerados pelo modulador.
Dispondo-se de um canal com largura de banda de 25 MHz, 
o método de modulação que atende à condição para que 
a IES seja desprezível é o 
(A) BPSK
(B) QPSK
(C) FSK-2
(D) PSK-8
(E) QAM-16
35
Considere um sistema de segunda ordem com a seguinte 
função de transferência: 
 
A partir da análise de estabilidade e de desempenho, 
afirma-se que G(s) é
(A) estável, com a frequência natural amortecida igual a 
6, e o sistema é subamortecido.
(B) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 1, 
e o sistema é criticamente amortecido. 
(C) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 3, 
e o sistema é superamortecido.
(D) instável, com a frequência natural não amortecida 
igual a 3, e o sistema é subamortecido.
(E) instável, com frequência natural não amortecida igual 
a 6, e o sistema é criticamente amortecido.
36
Para análise de estabilidade em sistemas lineares, conside-
re a função de transferência de um sistema em malha fecha-
da, dada por , onde 
a constante . Para garantir a estabilidade desse 
sistema, o intervalo de variação de k deve ser
(A) 0 < k < 2 (B) 1 < k < 2
(C) k > − 2 (D) k > − 1
(E) k > 0
37
Em um determinado processo industrial, sabe-se que a 
temperatura de uma de suas etapas varia entre 10 ºC e 
50 ºC. O instrumento de medição usado para medir 
essa temperatura possui sua faixa de medida de −50 ºC 
a 50 ºC, com uma zona morta de 1%. Diante do exposto, 
afirma-se que o instrumento de medição
(A) não apresentará variações de temperaturas inferiores 
ou iguais a 0,5 ºC.
(B) não apresentará variações de temperaturas inferiores 
ou iguais a 1 ºC.
(C) não é adequado para a medição na qual é empregado, 
visto que pode apresentar distorções na medição da 
temperatura se a mesma estiver entre 49 ºC e 50 ºC.
(D) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tempe-
raturas variando em até 0,5 ºC além de sua faixa de 
medida nominal.
(E) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tem-
peraturas variando em até 1 ºC além de sua faixa de 
medida nominal.
Resolução:
Aplicamos o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz na equação carac-
terística s5 + s4 + 4s3 + 2s2 + 3s+ k − 1:
s5 1 4 3
s4 1 2 (k − 1)
s3 2 (4− k) 0
s2 k
2
(k − 1) 0
s1 (−k + 4
k
) 0
s0 (k − 1)
Para não haver mudanças de sinal na primeira coluna, na linha de s2 temos que
ter:
k
2
> 0
k > 0 (1.1)
Na linha de s1 temos que ter:
(−k + 4
k
) > 0
k2 < 4
−2 <k < 2 (1.2)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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E por último, na linha de s0:
k − 1 > 0
k > 1 (1.3)
Portanto, os valores de k que satisfazem 1.1, 1.2 e 1.3 são:
1 < k < 2
�� ��Alternativa (B)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 9
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
15
43
Seja um sistema linear e invariante no tempo definido pelo
seu modelo em espaço de estados:
A função de transferência Y(s)/U(s) é
(A) 2
s 2,5
s 1,5 s 3,5
�
� �
(B) 2
s 3,5
s 1,5 s 2,5
�
� �
(C) 2
s 2,5
s 3,5 s 1,5
�
� �
(D) 2
s 1,5
s 3,5 s 2,5
�
� �
(E) 2
s 1,5
s 3,5 s 1,5
�
� �
44
O diagrama em blocos da figura acima mostra um sistema
linear, de 2a ordem, composto de dois integradores,
somadores e ganhos. A entrada é u(t) e a saída y(t).
A função de transferência deste sistema é:
(A)
� �
� � 2
Y s 5s
U s s 3s 2
�
� �
(B)
� �
� � 2
Y s 5
U s s 3s 2
�
� �
(C)
� �
� � 2
Y s 5s 1
U s s 3s 2
�
�
� �
(D) 
� �
� � 2
Y s 5s 1
U s s 3s 2
�
�
� �
(E)
� �
� � 2
Y s s 5
U s s 3s 2
�
�
� �
� �
�
�
1 1
2 2
1
2
x x3 1 1
u
x x2 1,5 4
x
y 1 0
x
�	 
 	 
	 
 	 
� �� � � �� � � �
�
 � 
 �
 � 
 �
	 
� � �
 �
+ +
u(t)
�3
5
y(t)
�2
��
45
Considere o pulso p(t) mostrado na figura acima. A Trans-
formada de Fourier deste pulso é dada pela seguinte ex-
pressão:
� 
�
�
�
� �
� �
� �
� �
� �
� �
�
2
K sen
2
P
O valor da constante K é:
(A) 4
(B) – j4
(C) j4
(D) 2
(E) j2
46
Considere o sinal periódico v(t) mostrado na figura acima.
Os pulsos têm amplitude A, largura � e se repetem com
período T em segundos.
Com base nesses dados, analise as afirmativas a seguir.
I - O valor médio de v(t) é zero.
II - Os coeficientes da série complexa de Fourier são
grandezas reais.
III - Os harmônicos de ordem par serão nulos se 2T
�
� .
É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s)
(A) I, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
p(t)
1
�1
t�11
T
v(t)
A
-� 0 �
-A
t
T
Resolução:
Para simplificar, primeiramente chamaremos o sinal entre os dois inte-
gradores de x(t), logo fica fácil achar uma expressão para x(t):
x(t) =
∫
[u(t)− 3x(t)− 2
∫
x(t)]
x˙(t) = u(t)− 3x(t)− 2
∫
x(t)
x¨(t) = u˙(t)− 3x˙(t)− 2x(t)
Aplicando a Transformada de Laplace temos:
s2X(s) + 3sX(s) + 2X(s) = sU(s)
X(s)[s2 + 3s+ 2] = sU(s) (1.4)
Agora, analisando o diagrama novamente, podemos encontrar uma expressão
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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para y(t), em função de x(t):
y(t) = 5x(t) +
∫
x(t)
y˙(t) = 5x˙(t) + x(t)
Aplicando a Transformada de Laplace:
sY (s) = 5sX(s) +X(s)
X(s) =
s
5s+ 1
Y (s) (1.5)
Agora basta substituirmos a equação 1.5 na equação 1.4:
Y (s)
s
5s+ 1
[s2 + 3s+ 2] = sU(s)
Y (s)
U(s)
=
5s+ 1
s2 + 3s+ 2 �� ��Alternativa (D)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 10
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
16
47
Um sinal discreto e causal é representado por uma
sequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-
tada pela função:
� �
2
2
5z 7z
X z
z 3z 2
�
�
� �
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),
x(1) e x(2), respectivamente, são
(A) 0, 5 e 8
(B) 0, 8 e 14
(C) 5, 7 e 14
(D) 5, 8 e 14
(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtro
digital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência � �
� �
� �
Y z
H z
X z
� é
(A) � �
2
2
z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(B) � �
2
2
z 3z 8
H z
5z 3z 2
� �
�
� �
(C) � �
2
2
2z 3z 5
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(D) � �
2
2
3z 2z 5
H z
z 8z 3
� �
�
� �
(E) � �
2
2
5z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
X(z)
5
3
2
z
-1
Y(z)
-8
-3
z
-1
z
-1
z
-1
++
+
49
Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio de
um cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,
é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e o
receptor tem sensibilidade de recepção de 100 �W, ou seja,
abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Com
base nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,
medida em km, em que o receptor deve ser instalado para
que ocorra a recepção do sinal?
(A) 5,0
(B) 6,5
(C) 9,0
(D) 12,5
(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-
tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração em
malha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, o
sinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)�
50
Considerando que � = 4 rad/s, o valor do ganho K é:
(A) 85
(B) 50
(C) 45
(D) 41
(E) 25
51
O valor da constante M na expressão da resposta y(t) em
função do ganho K é:
(A) 1
(B)
K
K 25�
(C)
K
K 25�
(D) K
(E)
1
K
R(s) K Y(s)
s(s+10)
Resolução:
A resolução desta questão é bem direta. Do diagrama de blocos tiramos
que:
Y (z) = [−3z−1Y (z)− 8z−2Y (z)] + [5X(z) + 3z−1X(z) + 2z−2X(z)]
Y (z)(1 + 3z−1 + 8z−2) = X(z)(5 + 3z−1 + 2z−2)
Y (z)
X(z)
=
5 + 3z−1 + 2z−2
1 + 3z−1 + 8z−2
× z
2
z2
Y (z)
X(z)
= H(z) =
5z2 + 3z + 2
z2 + 3z + 8
�� ��Alternativa (E)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 11
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
16
47
Um sinal discreto e causal é representado por uma
sequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-
tada pela função:
� �
2
2
5z 7z
X z
z 3z 2
�
�
� �
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),
x(1) e x(2), respectivamente, são
(A) 0, 5 e 8
(B) 0, 8 e 14
(C) 5, 7 e 14
(D) 5, 8 e 14
(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtro
digital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência � �
� �
� �
Y z
H z
X z
� é
(A) � �
2
2
z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(B) � �
2
2
z 3z 8
H z
5z 3z 2
� �
�
� �
(C) � �
2
2
2z 3z 5
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(D) � �
2
2
3z 2z 5
H z
z 8z 3
� �
�
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(E) � �
2
2
5z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
X(z)
5
3
2
z
-1
Y(z)
-8
-3
z
-1
z
-1
z
-1
++
+
49
Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio de
um cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,
é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e o
receptor tem sensibilidade de recepção de 100 �W, ou seja,
abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Com
base nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,
medida em km, em que o receptor deve ser instalado para
que ocorra a recepção do sinal?
(A) 5,0
(B) 6,5
(C) 9,0
(D) 12,5
(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-
tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração em
malha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, o
sinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)�
50
Considerando que � = 4 rad/s, o valor do ganho K é:
(A) 85
(B) 50
(C) 45
(D) 41
(E) 25
51
O valor da constante M na expressão da resposta y(t) em
função do ganho K é:
(A) 1
(B)
K
K 25�
(C)
K
K 25�
(D) K
(E)
1
K
R(s) K Y(s)
s(s+10)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
16
47
Um sinal discreto e causal é representado por uma
sequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-
tada pela função:
� �
2
2
5z 7z
X z
z 3z 2
�
�
� �
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),
x(1) e x(2), respectivamente, são
(A) 0, 5 e 8
(B) 0, 8 e 14
(C) 5, 7 e 14
(D) 5, 8 e 14
(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtro
digital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência � �
� �
� �
Y z
H z
X z
� é
(A) � �
2
2
z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(B) � �
2
2
z 3z 8
H z
5z 3z 2
� �
�
� �
(C) � �
2
2
2z 3z 5
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(D) � �
2
2
3z 2z 5
H z
z 8z 3
� �
�
� �
(E) � �
2
2
5z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
X(z)
5
3
2
z
-1
Y(z)
-8
-3
z
-1
z
-1
z
-1
++
+
49
Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio de
um cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,
é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e o
receptor tem sensibilidade de recepção de 100 �W, ou seja,
abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Com
base nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,
medida em km, em que o receptor deve ser instalado para
que ocorra a recepção do sinal?
(A) 5,0
(B) 6,5
(C) 9,0
(D) 12,5
(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-
tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração em
malha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, o
sinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)�
50
Considerando que � = 4 rad/s, o valor do ganho K é:
(A) 85
(B) 50
(C) 45
(D) 41
(E) 25
51
O valor da constante M na expressão da resposta y(t) em
função do ganho K é:
(A) 1
(B)
K
K 25�
(C)
K
K 25�
(D) K
(E)
1K
R(s) K Y(s)
s(s+10)
Resolução:
Primeiramente achamos a equação de Malha Fechada do sistema (Y (s)
R(s)
), ou
seja:
Y (s)
R(s)
=
K
s(s+ 10) +K
=
K
s2 + 10s+K
(1.6)
Porém sabemos que a resposta de um sistema a uma entrada impulsiva é igual à
anti-transformada de Laplace da função de transferência. Ou seja, se aplicarmos a
Transformada de Laplace à saída apresentada (devido a uma entrada impulsiva),
o resultado deve ser igual à função de transferência 1.6. Então, sabendo que a
Transformada de Laplace da saída é dada por:
Me−σt sin(ωt) L=⇒M ω
(s+ σ)2 + ω2
(1.7)
Agora devemos deixar a equação 1.6 na mesma forma da equação 1.7, para isso
precisamos de um pequeno trabalho algébrico:
K
s2 + 10s+K
=
K
(s+ 5)2 + (K − 25)︸ ︷︷ ︸
ω2
(1.8)
Logo, se ω2 = K − 25, então ω = √(K − 25). Então podemos finalmente reorgani-
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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zar a FT 1.8 para ficar igual à equação 1.6, como segue:
K
(s+ 5)2 + (K − 25) =
[
K√
K − 25
]
︸ ︷︷ ︸
M
×
ω︷ ︸︸ ︷√
K − 25
(s+ 5)2 + (K − 25)︸ ︷︷ ︸
ω2
(1.9)
Como foi dado que ω = 4rad/s, podemos calcular o valor de K como segue:
ω2 = K − 25
42 = K − 25
K = 16 + 25 = 41
�� ��Alternativa (D)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
16
47
Um sinal discreto e causal é representado por uma
sequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-
tada pela função:
� �
2
2
5z 7z
X z
z 3z 2
�
�
� �
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),
x(1) e x(2), respectivamente, são
(A) 0, 5 e 8
(B) 0, 8 e 14
(C) 5, 7 e 14
(D) 5, 8 e 14
(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtro
digital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência � �
� �
� �
Y z
H z
X z
� é
(A) � �
2
2
z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(B) � �
2
2
z 3z 8
H z
5z 3z 2
� �
�
� �
(C) � �
2
2
2z 3z 5
H z
z 3z 8
� �
�
� �
(D) � �
2
2
3z 2z 5
H z
z 8z 3
� �
�
� �
(E) � �
2
2
5z 3z 2
H z
z 3z 8
� �
�
� �
X(z)
5
3
2
z
-1
Y(z)
-8
-3
z
-1
z
-1
z
-1
++
+
49
Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio de
um cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,
é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e o
receptor tem sensibilidade de recepção de 100 �W, ou seja,
abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Com
base nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,
medida em km, em que o receptor deve ser instalado para
que ocorra a recepção do sinal?
(A) 5,0
(B) 6,5
(C) 9,0
(D) 12,5
(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-
tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração em
malha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, o
sinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)�
50
Considerando que � = 4 rad/s, o valor do ganho K é:
(A) 85
(B) 50
(C) 45
(D) 41
(E) 25
51
O valor da constante M na expressão da resposta y(t) em
função do ganho K é:
(A) 1
(B)
K
K 25�
(C)
K
K 25�
(D) K
(E)
1
K
R(s) K Y(s)
s(s+10)
Resolução:
Como indicado na equação 1.9, tiramos diretamente que:
M =
K√
K − 25 �� ��Alternativa (C)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 12
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
18
56
Um sistema linear com função de transferência
� � 2
3
H s =
s + 4s 5�
 está submetido a uma malha de con-
trole, conforme indicado no diagrama de blocos acima, em
que K1 e K2 são ganhos (constantes reais). As
especificações para o sistema em malha fechada são:
- frequência natural não amortecida de 2 rad/s;
- erro de estado estacionário nulo para a resposta ao de-
grau em r(t).
Os valores de K1 e K2 que atendem às especificações são,
respectivamente,
(A)
5 3
e
3 2
(B)
7 3
e
3 5
(C)
3 2
e
5 3
(D) 
2 7
e
3 3
(E)
3 3
e
2 5
r(s)
K1
u(s)
H(s)
y(s)
K2
+
+
_
57
O Grafcet da figura acima é tipicamente utilizado no con-
trole de sistemas de fabricação sequenciais. As entradas
são os sinais binários P e L. A notação X indica a detecção
da borda de subida do sinal binário X, isto é, a passagem
do nível lógico 0 para o nível lógico 1. Considerando que
em t = 0 apenas a etapa 1 estava ativa e que as entradas
se comportaram de 0 a 13 s, conforme indicado nos gráfi-
cos, as etapas ativas em t = 13 s são:
(A) 1 e 4
(B) 1, 3 e 4
(C) 2 e 3
(D) 2, 3 e 4
(E) 2, 3 e 5
( P).L
PL
1
2 3
4
5
P
P
0 1 3 6 8 9 11 12 13
0
1
L
0 2 3 4 5 7 10 13
0
1
P
8 Tempo [s]
Tempo [s]
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
18
56
Um sistema linear com função de transferência
� � 2
3
H s =
s + 4s 5�
 está submetido a uma malha de con-
trole, conforme indicado no diagrama de blocos acima, em
que K1 e K2 são ganhos (constantes reais). As
especificações para o sistema em malha fechada são:
- frequência natural não amortecida de 2 rad/s;
- erro de estado estacionário nulo para a resposta ao de-
grau em r(t).
Os valores de K1 e K2 que atendem às especificações são,
respectivamente,
(A)
5 3
e
3 2
(B)
7 3
e
3 5
(C)
3 2
e
5 3
(D) 
2 7
e
3 3
(E)
3 3
e
2 5
r(s)
K1
u(s)
H(s)
y(s)
K2
+
+
_
57
O Grafcet da figura acima é tipicamente utilizado no con-
trole de sistemas de fabricação sequenciais. As entradas
são os sinais binários P e L. A notação X indica a detecção
da borda de subida do sinal binário X, isto é, a passagem
do nível lógico 0 para o nível lógico 1. Considerando que
em t = 0 apenas a etapa 1 estava ativa e que as entradas
se comportaram de 0 a 13 s, conforme indicado nos gráfi-
cos, as etapas ativas em t = 13 s são:
(A) 1 e 4
(B) 1, 3 e 4
(C) 2 e 3
(D) 2, 3 e 4
(E) 2, 3 e 5
( P).L
PL
1
2 3
4
5
P
P
0 1 3 6 8 9 11 12 13
0
1
L
0 2 3 4 5 7 10 13
0
1
P
8 Tempo [s]
Tempo [s]
Resolução:
Primeiramente achamos a FTMF:
Y (s)
R(s)
=
K1H(s)
1 +K2H(s)
Y (s)
R(s)
=
K1
3
s2+4s−5
1 +K2
3
s2+4s−5
Y (s)
R(s)
=
3K1
s2 + 4s+ (3K2 − 5)
Agora comparamos esta FT com uma FT padrão de segunda ordem:
Y (s)
R(s)
=
3K1
s2 + 4s+ (3K2 − 5) =
Kω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
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De onde tiramos que:
ω2n = 3K2 − 5
(
√
2)2 = 3K2 − 5
K2 =
7
3
Para um erro estacionário nulo a uma entrada degrau temos que ter Y (s)
R(s)
= 1
quando U(s) = 1
s
e s→ 0. Ou seja, pelo Teorema do Valor Final:
lim
s→0
(
s
Y (s)
R(s)
× 1
s
)
=
3K1
3K2 − 5 = 1
3K1 = 3K2 − 5
3K1 = 3
7
3
− 5
K1 =
2
3 �� ��Alternativa (D)
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Questão 13
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Termoaçu 2008/1)
7
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A) )DC(ABY �� (B) )DC()BA(Y ���
(C) )BA(CDY �� (D) CD)BA(Y ��
(E) )DC(ABY ��
26
Um 7485, cuja pinagem está indicada na figura acima, é
usado para comparar 2 números de 4 bits sem sinal (0 a 15).
Para usá-lo como comparador de2 números com sinal
(�8 a +7), onde os números negativos são representados
em complemento 2, três opções são apresentadas:
I � trocar os bits mais significativos A3 por B3 e vice-versa
de cada um dos números de 4 bits antes de ligá-los ao
comparador;
II � passar por um inversor o bit mais significativo de cada
número de 4 bits antes de ligá-los ao comparador;
III � passar por um inversor as saídas A>B e A<B.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) opção(ões)
(A) I (B) II
(C) III (D) I e II
(E) II e III
27
No circuito da figura acima, considera-se que o capacitor e o
indutor estão inicialmente descarregados. A chave é fechada
no tempo t=0s e, neste instante, uma medida de corrente ( I0 )
é feita no amperímetro (AMP). Com a chave fechada até o
circuito atingir o regime permanente, outra medida de cor-
rente ( Iss ) é feita. Os valores, em A, das medidas I0 e Iss ,
respectivamente, são
(A) 0,0 e 1,2
(B) 0,0 e 1,5
(C) 0,3 e 0,0
(D) 0,4 e 1,2
(E) 2,0 e 3,0
28
O circuito CMOS da figura acima implementa a função lógica
Para responder às questões 29 e 30, considere o sistema
em Malha Fechada, com realimentação unitária de
saída, mostrado na figura.
Para um determinado valor de K positivo, dois dos pólos
estarão sobre o eixo imaginário e o sistema entra em
oscilação.
29
Com base nos dados apresentados, a oscilação ocorre para
o valor de K igual a
(A) 2500 (B) 1850 (C) 1200 (D) 500 (E) 100
30
Com base nos dados apresentados, a freqüência angular de
oscilação, em rad/s, é
(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 50 (E) 100
50 �
50 �0,05 F
AMP
120 V
+
+
-
-
10 �
0,2 h
10
12
13
15
9
11
14
1
2
3
4
A<B
A=B
A>B
A0
A1
A2
A3
B0
B1
B2
B3
A<Bi
A=Bi
A>Bi
7485
7
6
5
+VDD +VDD
QPB
QPA
QNB
QNA
QND
QNC
QPC QPD
BC D
C
Y
D
B A
A
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7
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A) )DC(ABY �� (B) )DC()BA(Y ���
(C) )BA(CDY �� (D) CD)BA(Y ��
(E) )DC(ABY ��
26
Um 7485, cuja pinagem está indicada na figura acima, é
usado para comparar 2 números de 4 bits sem sinal (0 a 15).
Para usá-lo como comparador de 2 números com sinal
(�8 a +7), onde os números negativos são representados
em complemento 2, três opções são apresentadas:
I � trocar os bits mais significativos A3 por B3 e vice-versa
de cada um dos números de 4 bits antes de ligá-los ao
comparador;
II � passar por um inversor o bit mais significativo de cada
número de 4 bits antes de ligá-los ao comparador;
III � passar por um inversor as saídas A>B e A<B.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) opção(ões)
(A) I (B) II
(C) III (D) I e II
(E) II e III
27
No circuito da figura acima, considera-se que o capacitor e o
indutor estão inicialmente descarregados. A chave é fechada
no tempo t=0s e, neste instante, uma medida de corrente ( I0 )
é feita no amperímetro (AMP). Com a chave fechada até o
circuito atingir o regime permanente, outra medida de cor-
rente ( Iss ) é feita. Os valores, em A, das medidas I0 e Iss ,
respectivamente, são
(A) 0,0 e 1,2
(B) 0,0 e 1,5
(C) 0,3 e 0,0
(D) 0,4 e 1,2
(E) 2,0 e 3,0
28
O circuito CMOS da figura acima implementa a função lógica
Para responder às questões 29 e 30, considere o sistema
em Malha Fechada, com realimentação unitária de
saída, mostrado na figura.
Para um determinado valor de K positivo, dois dos pólos
estarão sobre o eixo imaginário e o sistema entra em
oscilação.
29
Com base nos dados apresentados, a oscilação ocorre para
o valor de K igual a
(A) 2500 (B) 1850 (C) 1200 (D) 500 (E) 100
30
Com base nos dados apresentados, a freqüência angular de
oscilação, em rad/s, é
(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 50 (E) 100
50 �
50 �0,05 F
AMP
120 V
+
+
-
-
10 �
0,2 h
10
12
13
15
9
11
14
1
2
3
4
A<B
A=B
A>B
A0
A1
A2
A3
B0
B1
B2
B3
A<Bi
A=Bi
A>Bi
7485
7
6
5
+VDD +VDD
QPB
QPA
QNB
QNA
QND
QNC
QPC QPD
BC D
C
Y
D
B A
A
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Resolução:
Encontrar o valor de K que provoca oscilação é o mesmo que achar o lim-
ite de instabilidade do sistema. Para isso podemos utilizar o método de Routh-
Hurwitz, ou podemos utilizar o fato dos pólos estarem robre o eixo imaginário e
igualar os pólos do sistema a pólos puramente complexos. Para diversificar, nesta
questão escolheremos o segundo método. Logo, ter os dois pólos sobre o eixo
imaginário implica em s = ±jω, logo:
s(s+ 5)(s+ 20) +K = 0
s3 + 25s2 + 100s+K = 0
(jω)3 + 25(jω)2 + 100(jω) +K = 0
−jω3 − 25ω2 + 100jω +K = 0 (1.10)
Para a equação 1.10 ser igual a zero, tanto a parte real como a imaginária devem
ser zero. Igualando a parte imaginária da equação 1.10 a zero temos:
(100ω − ω3)j = 0
ω(100− ω2) = 0
ω = 0 ou ω = ±10
Como o valor de ω deve positivo e não nulo, temos ω = 10.
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Igualando a parte real da equação 1.10 a zero temos:
K − 25ω2 = 0
K = 25ω2
K = 25× 102
K = 2500
�� ��Alternativa (A)
7
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A) )DC(ABY �� (B) )DC()BA(Y ���
(C) )BA(CDY �� (D) CD)BA(Y ��
(E) )DC(ABY ��
26
Um 7485, cuja pinagem está indicada na figura acima, é
usado para comparar 2 números de 4 bits sem sinal (0 a 15).
Para usá-lo como comparador de 2 números com sinal
(�8 a +7), onde os números negativos são representados
em complemento 2, três opções são apresentadas:
I � trocar os bits mais significativos A3 por B3 e vice-versa
de cada um dos números de 4 bits antes de ligá-los ao
comparador;
II � passar por um inversor o bit mais significativo de cada
número de 4 bits antes de ligá-los ao comparador;
III � passar por um inversor as saídas A>B e A<B.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) opção(ões)
(A) I (B) II
(C) III (D) I e II
(E) II e III
27
No circuito da figura acima, considera-se que o capacitor e o
indutor estão inicialmente descarregados. A chave é fechada
no tempo t=0s e, neste instante, uma medida de corrente ( I0 )
é feita no amperímetro (AMP). Com a chave fechada até o
circuito atingir o regime permanente, outra medida de cor-
rente ( Iss ) é feita. Os valores, em A, das medidas I0 e Iss ,
respectivamente, são
(A) 0,0 e 1,2
(B) 0,0 e 1,5
(C) 0,3 e 0,0
(D) 0,4 e 1,2
(E) 2,0 e 3,0
28
O circuito CMOS da figura acima implementa a função lógica
Para responder às questões 29 e 30, considere o sistema
em Malha Fechada, com realimentação unitária de
saída, mostrado na figura.
Para um determinado valor de K positivo, dois dos pólos
estarão sobre o eixo imaginário e o sistema entra em
oscilação.
29
Com base nos dados apresentados, a oscilação ocorre para
o valor de K igual a
(A) 2500 (B) 1850 (C) 1200 (D) 500 (E) 100
30
Com base nos dados apresentados, a freqüência angular de
oscilação, em rad/s, é
(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 50 (E) 100
50 �
50 �0,05 F
AMP
120 V
+
+
-
-
10 �
0,2 h
10
12
13
15
9
11
14
1
2
3
4
A<B
A=B
A>B
A0
A1
A2
A3
B0
B1
B2
B3
A<Bi
A=Bi
A>Bi
7485
7
6
5
+VDD +VDD
QPB
QPA
QNB
QNA
QND
QNC
QPC QPD
BC D
C
Y
D
B A
A
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Resolução:
O valor da frequência angular de oscilação já foi encontrado no cálculo da
questão anterior, sendo ω = 10rad/s.
�� ��Alternativa (B)
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Questão 14
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Refap 2007)
8
Engenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica
(A)
�
�
�
�
	
�
�
 2
V
V
K
E
D4 2
(B)
V
V
E
K
D4 2
�
(C)
121
V
V
K
E
4
D �
�
�
�
�
	
�
�
(D)
1
2 2
V
V
K
E
D
�
�
�
�
�
	
�
�
(E)
V
V
K
E
4
D2 �
+
+
STRAIN GAUGE
ATIVO
Resistência R + R�
SAÍDA
V�
Alimentação
V
F
F
D
R
R
STRAIN GAUGE
DE COMPENSAÇÃO
Resistência R
27
Dois strain gauges, conectados em um circuito em ponte,
são utilizados para a medida da força longitudinal de tração
sobre uma barra de aço cilíndrica, conforme indicado na figu-
ra. O circuito em ponte é ajustado de tal forma que, quando
não há esforço longitudinal na barra, a tensão de saída é nula.
Considerando que o diâmetro da barra é D, o Módulo de Young
do aço é E, os strain gauges possuem fator gauge K, a ten-
são de alimentação é V e a tensão de saída é ∆V, a expres-
são para a força de tração na barra será:
28
Uma linguagem descritiva de hardware é hoje uma ferramenta
importante para o desenvolvimento de circuitos integrados.
Dentre as mais populares, destaca-se a VHDL. Assinale a
afirmativa INCORRETA relacionada com essa linguagem de
programação.
(A) A linguagem VHDL possui interface de alto nível com a
eletrônica.
(B) A linguagem VHDL possui portabilidade na indústria.
(C) O processamento em VHDL é descrito de forma
seqüencial.
(D) Um componente é descrito em VHDL, baseado em sua
arquitetura estrutural ou comportamental.
(E) Um código escrito em VHDL pode ser testado em circui-
tos FPGA durante a fase de desenvolvimento.
24
A figura acima apresenta um circuito elétrico operando em
regime permanente com a chave S1 fechada. Em determina-
do instante, a chave S1 é aberta. Imediatamente após esse
instante, a corrente IC, em ampères, que atravessa o capacitor
de 1 mF no circuito, aproximadamente, será:
(A) 0,01 (B) 0,02
(C) 0,05 (D) 0,08
(E) 0,10
25
Considere um sistema, com entrada u(t) e saída y(t), cuja
função de transferência é dada por:
� �
� �
� � � �� �
4 10
Y s K
G s
U s s s s
� �
� �
Fecha-se a malha, com realimentação de saída do tipo
u(t) = -y(t) + r(t), onde r(t) é uma entrada de referência. Com
base nesses dados, qual o valor de K para que dois dos pólos
do sistema, em malha fechada, sejam imaginários puros?
(A) 40 (B) 100
(C) 340 (D) 560
(E) 820
26
Para implementar o diagrama de estados da figura acima,
com 2 flip-flops tipo D, a lógica de menor hardware da entrada
DB do flip-flop mais significativo é:
(A) V3.QB + QA (B) V3.QB.QA+QA
(C) V3 + QA (D) V1. QB. QA + V2.QA
(E) V1. QB+ QB .QA
�10
�10
+
�40
�20
-
5V
S1
�40mF1
mF2
mH5cI �
00
V1
V2
V1
V2
V3
V3
01
11 10
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Resolução:
Primeiramente devemos encontrar a Função de Transferência de Malha
Fechada (FTMF) do sistema:
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
K
s(s+4)(s+10)
1 + K
s(s+4)(s+10)
=
K
s(s+ 4)(s+ 10) +K
=
K
s3 + 14s2 + 40s+K
Para que dois pólos do sistema sejam imaginários puros, estes devem ser do tipo
s = jω e devem satisfazer a equação característica, logo:
s3 + 14s2 + 40s+K = 0
(jω)3 + 14(jω)2 + 40(jω) +K = 0
−ω3j − 14ω2 + 40ωj +K = 0
(40ω − ω3)j + (K − 14ω2) = 0
Igualando a parte imaginária a zero temos:
40ω − ω3 = 0
ω(40− ω2) = 0
ω2 = 40 ou ω = 0
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Agora igualamos a parte real a zero, e utilizamos o valor não nulo de ω:
K − 14ω2 = 0
K − 14× 40 = 0
K = 560
�� ��Alternativa (D)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 15
(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Refap 2007)
10
Engenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica
V1 B(K)
X(K) V1/A(K,K)
�
�
�
�
�
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
� �
�
�
� �
�
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
� �
�
�
� �
�
V1 B(K)
X(K-1) A(K+1,K+1)/V1
�
�
�
�
�
V1 B(K 1)
X(K) A(K,K)/V1
� �
�
�
�
�
36
Para calcular a solução de um sistema de equações linea-
res, um programador escreveu um algoritmo. Os coeficien-
tes numéricos das variáveis x1, x2, ... xn encontram-se arma-
zenados na matriz A e os termos independentes, no vetor B,
de acordo com:
Considera-se que a matriz A esteja triangularizada e que seus
elementos na diagonal sejam diferentes de zero. No algoritmo,
o vetor X armazena os valores calculados para x1, x2, ..., xn e
a variável N contém o número inteiro n de equações. A seguir,
apresenta-se parte do algoritmo escrito pelo programador.
Recebe A, B, N
X(N)
Para K de N - 1 até 1 (variando -1)
 1
 Para L de K+1 até N (variando +1)
Fim do para
 2
 Fim do para
As linhas que preenchem corretamente as lacunas 1 e 2 do
algoritmo acima, respectivamente, são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
11 12 1 1 1
22 2 2 20
0 0
n
n
nn n n
Matriz A Vetor B
a a a x b
a a x b
a x b
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
�
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
�
�
� � � � � �
�
����������� ���
B(N)/A(N,N)�
V1 V1 (A(K,L) * X(L))� �
37
Considere as afirmativas a seguir, a respeito do significado
das letras, segundo a norma ISA S5.1, quando estas apare-
cem como indicadoras da função na identificação de um ins-
trumento (2º grupo de letras).
I – A, I e T representam funções passivas ou de informação.
II – C, Y e Z representam funções ativas ou de saída.
III – M, L e H são letras modificadoras.
IV – S representa um elemento primário ou sensor.
V – K representa uma estação de controle.
As afirmativas corretas são apenas:
(A) I, II e III
(B) I, III e IV
(C) II, III e IV
(D) II, III e V
(E) II, IV e V
38
A figura acima apresenta a resposta ao degrau unitário para
um determinado processo. A função de transferência que re-
presenta o processo é:
(A)
� �
� �
2
0,1 s + 0,5
G s =
s + 0,6s + 0,05
(B)
� �
� �
2
0,5 s 0,5
G s =
s + 0,6s + 0,05
�
(C)
� �
� �
2
0,5 s + 0,5
G s =
s + 0,6s + 0,05
(D)
� �
� �
2
0,5 s 0,5
G s =
s + 0,2s + 0,05
� �
(E)
� �
� �
2
0,1 s 0,5
G s =
s + 0,2s + 0,05
� �
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0 10 20 30 40 50 60
Tempo [s]
S
aí
da
y
(t
)
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10
Engenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica
V1 B(K)
X(K) V1/A(K,K)
�
�
�
�
�
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
� �
�
�
� �
�
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
� �
�
�
� �
�
V1 B(K)
X(K-1) A(K+1,K+1)/V1
�
�
�
�
�
V1 B(K 1)
X(K) A(K,K)/V1
� �
�
�
�
�
36
Para calcular a solução de um sistema de equações linea-
res, um programador escreveu um algoritmo. Os coeficien-
tes numéricos das variáveis x1, x2, ... xn encontram-se arma-
zenados na matriz A e os termos independentes, no vetor B,
de acordo com:
Considera-se que a matriz A esteja triangularizada e que seus
elementos na diagonal sejam diferentes de zero. No algoritmo,
o vetor X armazena os valores calculados para x1, x2, ..., xn e
a variável N contém o número inteiro n de equações. A seguir,
apresenta-se parte do algoritmo escrito pelo programador.
Recebe A, B, N
X(N)
Para K de N - 1 até 1 (variando -1)
 1
 Para L de K+1 até N (variando +1)
Fim do para
 2
 Fim do para
As linhas que preenchem corretamente as lacunas 1 e 2 do
algoritmo acima, respectivamente, são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
11 12 1 1 1
22 2 2 20
0 0
n
n
nn n n
Matriz A Vetor B
a a a x ba a x b
a x b
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
�
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
�
�
� � � � � �
�
����������� ���
B(N)/A(N,N)�
V1 V1 (A(K,L) * X(L))� �
37
Considere as afirmativas a seguir, a respeito do significado
das letras, segundo a norma ISA S5.1, quando estas apare-
cem como indicadoras da função na identificação de um ins-
trumento (2º grupo de letras).
I – A, I e T representam funções passivas ou de informação.
II – C, Y e Z representam funções ativas ou de saída.
III – M, L e H são letras modificadoras.
IV – S representa um elemento primário ou sensor.
V – K representa uma estação de controle.
As afirmativas corretas são apenas:
(A) I, II e III
(B) I, III e IV
(C) II, III e IV
(D) II, III e V
(E) II, IV e V
38
A figura acima apresenta a resposta ao degrau unitário para
um determinado processo. A função de transferência que re-
presenta o processo é:
(A)
� �
� �
2
0,1 s + 0,5
G s =
s + 0,6s + 0,05
(B)
� �
� �
2
0,5 s 0,5
G s =
s + 0,6s + 0,05
�
(C)
� �
� �
2
0,5 s + 0,5
G s =
s + 0,6s + 0,05
(D)
� �
� �
2
0,5 s 0,5
G s =
s + 0,2s + 0,05
� �
(E)
� �
� �
2
0,1 s 0,5
G s =
s + 0,2s + 0,05
� �
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0 10 20 30 40 50 60
Tempo [s]
S
aí
da
y
(t
)
www.pciconcursos.com.brResolução:
Para quem está treinado, esta questão é extremamente fácil de ser re-
solvida. Primeiramente observamos o ganho estático do sistema, pelo gráfico:
K =
∆y(t)
∆u(t)
K =
yf − yi
uf − ui =
5− 0
1− 0 = 5
Agora observamos qual das alternativas possuem ganho estático igual a 5. Rapi-
damente obeservamos que só nos restam as alternativas (C) e (D). Conferindo:
Alternativa (C) lim
s→0
(
s× 0, 5(s+ 0, 5)
s2 + 0, 6s+ 0, 05
× 1
s
)
= 5
Alternativa (D) lim
s→0
(
s× −0, 5(s− 0, 5)
s2 + 0, 2s+ 0, 05
× 1
s
)
= 5
Do mesmo modo, vemos que o ganho estático da alternativa (A) é igual a 1, da (B)
é -5 e da (E) é 1.
Agora, para decidirmos entre as alternativas (C) ou (D), observamos novamente
o gráfico. Como em t = 0 a derivada da saída é negativa (há aquela pequena
"voltinha"com concavidade para cima), sabemos que o sistema é de fase não-
mínima, ou seja, possui um zero no semiplano complexo direito. Logo, a alternativa
correta é a (D), pois possui ganho estático igual a 5 e um zero em s = 0, 5.
�� ��Alternativa (D)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 16
(Eng. de Equipamentos Jr Elétrica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELÉTRICA
15
59
A figura acima mostra um diagrama em blocos, no domínio de Laplace, contendo um bloco de retardo, um somador e um 
integrador. Aplicando um impulso unitário δ(t) na entrada, a forma de onda da saída h(t) é 
(A) (B)
(C) (D)
(E)
60
Um sistema linear, causal e de segunda ordem é representado pela seguinte função de Transferência:
Esse sistema opera com razão de amortecimento 0,7 e frequência natural não amortecida de 15 rad/s. Quando alimentado 
por um degrau unitário em sua entrada, a saída, em regime permanente, atinge o valor 0,4. Os valores de a e K, 
respectivamente, são
(A) 42 e 180
(B) 21 e 90 
(C) 21 e 15
(D) 10,5 e 90
(E) 10,5 e 45
Resolução:
A expressão no domínio de Laplace do diagrama de blocos dado é facil-
mente deduzida:
H(s) = U(s)[
1
s
− e
−τs
s
]
Porém, sabemos que a entrada é um impulso unitário, ou seja, u(t) = δ(t), logo
U(s) é 1.
H(s) = 1× [1
s
− e
−τs
s
] =
1
s
− 1
s
× e−τs
Sabemos que uma translação no tempo igual a τ segundos equivale a uma
multiplicação por e−τs no domínio de Laplace, ou seja: e−τs → δ(t − τ). Logo,
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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sabendo que 1
s
no domínio de Laplace equivale a um degrau (D(t)) no domínio do
tempo, a expressão:
H(s) =
1
s
− 1
s
× e−τs
No domínio do tempo fica:
h(t) = D(t)−D(t)δ(t− τ)
h(t) = D(t)−D(t− τ)
Ou seja, h(t) será um degrau unitário de t = 0 até t = τ , quando então
subtrai-se um degrau também unitário, zerando a saída. A alternativa que mostra
este comportamento da saída é a alternativa (A).
�� ��Alternativa (A)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 17
(Eng. de Equipamentos Jr Elétrica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELÉTRICA
15
59
A figura acima mostra um diagrama em blocos, no domínio de Laplace, contendo um bloco de retardo, um somador e um 
integrador. Aplicando um impulso unitário δ(t) na entrada, a forma de onda da saída h(t) é 
(A) (B)
(C) (D)
(E)
60
Um sistema linear, causal e de segunda ordem é representado pela seguinte função de Transferência:
Esse sistema opera com razão de amortecimento 0,7 e frequência natural não amortecida de 15 rad/s. Quando alimentado 
por um degrau unitário em sua entrada, a saída, em regime permanente, atinge o valor 0,4. Os valores de a e K, 
respectivamente, são
(A) 42 e 180
(B) 21 e 90 
(C) 21 e 15
(D) 10,5 e 90
(E) 10,5 e 45
Resolução:
Primeiramente comparamos a função de transferência dada com uma FT
de segunda ordem padrão:
G(s) =
K
s2 + as+ b
=
K2ω
2
n
s2 + 2ξωns+ ω2n
O enunciado nos informa que a frequência natural não amortecida é: ωn = 15rad/s,
então podemos encontrar b diretamente da comparação acima:
b = ω2n = 15
2 = 225
Também nos foi dado que ξ = 0, 7, então podemos achar o valor de a:
a = 2ξωn = 2× 0, 7× 15 = 21
Em regime permanente, o valor da saída para um degrau unitário deve ser igual a
0,4, então aplicamos o Teorema do Valor Final para achar o valor de K:
lim
s→0
(
s× K
s2 + as+ b
× 1
s
)
=
K
b
= 0, 4
K = 0, 4× b
K = 0, 4× 225 = 90
Portanto a = 21 e K = 90.
�� ��Alternativa (B)
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Questão 18
(Eng. de Equipamentos Jr Elétrica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELÉTRICA
4
7
Considere a seguinte equação diferencial ordinária
2
2
d y(t) dy(t)
+2 +10 y(t)=10
dtdt
com as condições iniciais y(0) = 0 e 
t=0
dy(t)
=0
dt
.
A solução dessa equação para t 0 é
(A) -3t
1
y(t)=1- e [sen(3t)+ cos(3t)]
8
(B) -3t
1
y(t)=1- e [sen(t)+ cos(t)]
6
(C) -2t
1
y(t)=1- e [ sen(3t)+cos(3t)]
3
(D) -t
1
y(t)=1- e [ sen(4t)+cos(4t)]
2
(E) -t
1
y(t)=1- e [sen(3t)+ cos(3t)]
3
8
Um engenheiro, após equacionar um determinado proble-
ma, organizou as equações sob a forma matricial e reali-
zou operações elementares com as linhas e colunas das
matrizes, o que levou ao seguinte sistema:
1
2
3
4
5
x6 2 4 2 1 6
x0 4 5 1 1 1
x0 0 2 1 3 13
x0 0 0 1 1 1
x0 0 0 1 2 3
� � �� � � �
� �� � � �� � � �� �� � � �
� �� � � ��
� �� � � �
� �� �� � � �
� �� � � �� �� 	 � 	� 	
O valor da variável x3 é
(A) - 2
(B) 1
(C) 3
(D) 4
(E) 5
9
Considere a seguinte matriz:
� 
� �
� �
�
� �
� �
� �
� �
x 1 2 4
0 1 3 9
M
1 1 5 25
0 1 8 64
Sabendo-se que o determinante de M é 120, o valor de x é
(A) 12 (B) 8 (C) 5 (D) 3 (E) 1
10
Considere os espaços vetoriais assim representados:
� 
� �
�
� �
� �
� �
1
2
3
xX x
x
, � 
�
� �
� �
1
2
y
Y
y
e 
� 
� �
�
� �
� �
� �
1
2
3
z
Z z
z
• A matriz M opera a transformação linear de X em Y, ou
seja, Y = TL [X]
• A matriz N opera a transformação linear de Y em Z, ou
seja, Z = TL [Y]
• TL - indica uma transformação linear.
Supondo a existência de uma matriz P que opera a trans-
formação linear de Z em X, ou seja, X = TL [Z], esta matriz
é calculada por
(A) P = M N (B) P = N M
(C) P = M-1 N-1 (D) P = [N M]-1
(E) P = [M N]-1
11
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração em
malha fechada, no domínio de Laplace.
( )10+ss
KR(s) Y(s)
+
_
No domínio do tempo, aplicando um degrau unitário na en-
trada deste sistema, a saída y(t), em regime permanente,
tende para
(A) 1 (B) K
(C)
1
K
(D) 10
(E)
1
10
Resolução:
Primeiramente achamos a FTMF:
Y (s)
R(s)
=
K
s(s+10)
1 + K
s(s+10)
Y (s)
R(s)
=
K
s(s+ 10) +K
Agora aplicamos o Teorema do Valor Final, considerando a entrada como sendo
um degrau unitário:
lim
s→0
(
s× K
s(s+ 10) +K
× 1
s
)
= 1
Ou seja, a resposta em regime permanente será um degrau unitário.
Observe que esta resposta já era esperada, não precisaria fazer nenhuma conta
nesta questão. Pois, como a planta já é integradora, ela seguirá degraus de entrada
com erro nulo.
�� ��Alternativa (A)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 19
(Eng. Eletrônica Eletrobrás - Eletronuclear 2010)
ENGENHEIRO(A)
ELETRÔNICA
16
E L E T R O N U C L E A R
53
A figura acima mostra a resposta a um degrau de amplitude 2, aplicado em t=0s, à entrada de um sistema de primeira
ordem com atraso. A função de transferência desse sistema é
(A) 
1,5s2e
s 0,4
�
�
(B) 
0,67s1,2e
s 2,5
�
�
(C) 
1,5s1,2e
s 0,4
�
�
(D) 
0,67s3e
s 2,5
�
�
(E) 
1,5s3e
s 1
�
�
54
Um atuador mecânico gera uma força [N], função de uma corrente elétrica [A]. A corrente elétrica é limitada entre 0 e 2A,
e a força, entre −5 e +5 N. Um ensaio em laboratório levantou a curva não linear dada pela expressão
f = 4i3− 10i2 + 5
Linearizando a curva para pequenas variações no entorno do ponto de corrente io = 1 A, obtém-se a seguinte relação linear:
(A) f = − 10i + 4
(B) f = − 10i + 7
(C) f = − 8i + 5
(D) f = − 8i + 7
(E) f = 8i + 7
55
Um sistema linear de 2a ordem é dado pela função de transferência, que liga a saída Y(s) à entrada U(s), dada pela
seguinte expressão:
� �
� �
2
Y s 60
U s s 18s 225
�
� �
Aplicando-se um impulso na entrada, o sinal senoidal de saída oscilará de forma amortecida exponencialmente e com
frequência angular, em rad/s, de
(A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 18
6
5
4
3
2
1
10
S
a
íd
a
Tempo [s]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16
Resolução:
O atraso de um sistema aparece na forma e−Ls na função de transferência,
onde L é o atraso. Ou seja, o tempo que o sistema demora para responder após
a mudança da entrada, é chamado de atraso. Observando o gráfico, como a
mudança na entrada ocorreu em t = 0 (já que a entrada é um degrau), percebe-
mos que o sistema apresenta um atraso de resposta de 1,5 segundos, logo o
termo que deve aparecer multiplicando a FT do sistema é e−1,5s. Isso exclui as
alternativas (B) e (D).
Agora analisamos o ganho estático do sistema. Segundo o gráfico, encontramos:
K =
∆y(t)
∆u(t)
=
yf − yi
uf − ui =
6− 0
2− 0 = 3
Logo, percebemos que a alternativa (A) também está excluída, pois esta
apresenta ganho estático igual a 5. Sobrando na nossa análise apenas as
alternativas (C) e (E).
Para decidirmos entre essas duas alternativas, estimamos o valor do pólo do
sistema. Sabemos que em um sistema de primeira ordem o pólo será s = −1
τ
,
onde τ é a constante de tempo do sistema. Como a saída apresenta 0,63% do
seu valor máximo no tempo t = 4s, temos:
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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τ = 4− 1, 5 = 2, 5s
Logo o pólo do sistema será:
s =
−1
τ
=
−1
2, 5
= −0, 4
Agora que já sabemos que L = 1, 5, K = 3 e o pólo é s = −0, 4, a única
alternativa possível é a letra (C).
�� ��Alternativa (C)
reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 20
(Eng. Eletrônica Eletrobrás - Eletronuclear 2010)
ENGENHEIRO(A)
ELETRÔNICA
16
E L E T R O N U C L E A R
53
A figura acima mostra a resposta a um degrau de amplitude 2, aplicado em t=0s, à entrada de um sistema de primeira
ordem com atraso. A função de transferência desse sistema é
(A) 
1,5s2e
s 0,4
�
�
(B) 
0,67s1,2e
s 2,5
�
�
(C) 
1,5s1,2e
s 0,4
�
�
(D) 
0,67s3e
s 2,5
�
�
(E) 
1,5s3e
s 1
�
�
54
Um atuador mecânico gera uma força [N], função de uma corrente elétrica [A]. A corrente elétrica é limitada entre 0 e 2A,
e a força, entre 5 e +5 N. Um ensaio em laboratório levantou a curva não linear dada pela expressão
f = 4i3 10i2 + 5
Linearizando a curva para pequenas variações no entorno do ponto de corrente io = 1 A, obtém-se a seguinte relação linear:
(A) f =  10i + 4
(B) f =  10i + 7
(C) f =  8i + 5
(D) f =  8i + 7
(E) f = 8i + 7
55
Um sistema linear de 2a ordem é dado pela função de transferência, que liga a saída Y(s) à entrada U(s), dada pela
seguinte expressão:
� �
� �
2
Y s 60
U s s 18s 225
�
� �
Aplicando-se um impulso na entrada, o sinal senoidal de saída oscilará de forma amortecida exponencialmente e com
frequência angular, em rad/s, de
(A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 18
6
5
4
3
2
1
10
S
a
íd
a
Tempo [s]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16
Resolução:
A frequência natural amortecida ωd é dada em função da frequência natural
não amortecida ωn, e do coeficiente de amortecimento ξ, segundo a expressão:
ωd = ωn
√
1− ξ2
Então basta encontrarmos ωn e ξ. Para isso comparamos a FT dada com uma FT
de um sistema de segunda ordem padrão:
60
s2 + 18s+ 225
=
Kω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
De onde tiramos:
ω2n = 225 → ωn = 15
E também:
2ξωn = 18 → ξ = 9
15
= 0, 6
Agora podemos calculdar diretamente ωd:
ωd = ωn
√
1− ξ2
ωd = 15
√
1− 0, 62
ωd = 15
√
1− 0, 36
ωd = 15
√
0, 64
ωd = 15× 0, 8 = 12
�� ��Alternativa (C)
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Questão 21
(Profissional Jr Eng. Eletrônica - Petrobras Distr. 2008)
11
PROFISSIONAL JÚNIOR
FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA
37
A dinâmica de um atuador robótico do tipo moto-redutor
admite a seguinte aproximação linear:
Onde: J é o momento de inércia do sistema, C é o coefici-
ente de atrito,T
m
 é o torque e � é a posição angular, função
do tempo
� =
d
dt
� e � =
d
dt
2
�
2
Aplica-se uma lei de controle com realimentação do tipo:
T =K ( ) Km p r d� �� � �
onde
�r é a posição angular de referência, Kp e Kd são
ganhos constantes.
Para atender às exigências do projeto, o sistema em malha
fechada deve posicionar pólos complexos com razão de
amortecimento � = 0,8 e freqüência natural não amor-
tecida �n = 10 rad/s. As expressões de Kp e Kd são:
(A)
p d
100J
K e K 100J 1,8C
C
� � �
(B)
p dK 100C e K 18C J� � �
(C)
p dK 120J e K 180C� �
(D) p dK 100J e K 16J C� � �
(E) p d
100
K e K 18J C
J
� � �
38
Uma determinada planta