Controle_Linear

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Controle Linear
..
Sumário
Definição 1
Controle por Realimentação 2
Sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) 4
Transformada de Laplace 13
Funções de Transferência 15
Diagrama de Blocos 24
Modelos de Estado 27
Relação entre função de transferência emodelo de estado 28
Realimentação de Estados 34
Critério de Routh-Hurwitz 36
2
.. Controle Linear
Definição
Sistemas dinâmicos são sistemas
que tem comportamento descrito de
maneira causal ao longo do tempo.
Abordam-se nesse curso sistemasmo-
delados por equações diferenciais (li-
neares e invariantes no tempo, quase
sempre).
Amodelagem serve para prever com-
portamento e prever a relação entre en-
tradas e saídas a ser imposta para obter
um comportamento. O controle procura
obter um comportamento e para isso
necessita de instrumentação: sensores
e atuadores.
A figura abaixo esquematiza um sistema
de controle de posição no qual não há
realimentação, um esquema de con-
trole emmalha aberta. Nesse exemplo,
uma referência a ser seguida é fornecida
para o controlador, o qual aciona o atu-
ador e gera a entrada que leva o sistema
para a posição desejada.
Figura 1: Diagrama de blocos.
Figura 2: Sistema de posição emmalha aberta.
1
.. Controle Linear
Controle por
Realimentação
A robustez é alcançada pela observa-
ção contínua: o sinal desejado é com-
parado com o obtido. A realimentação
permite corrigir o erro (diferença entre
saídamedida e saída desejada) continu-
amente.
A realimentação configura umamalha
fechada, com a presença de um ramo
direto e um ramo inverso (ramo da reali-
mentação). Nesse esquema de controle
de posição apresentado, o controlador
está posicionado no ramo direto, mas
em outra configuração poderia ser posi-
cionado no ramo inverso.
Figura 3: Exemplo de sistema de controle complexo.
2
.. Controle Linear
Figura 4: Tipos demalhas de controle.
3
.. Controle Linear
Sistemas lineares
invariantes
no tempo (LIT)
Podem ser representados por equações
diferenciais com entrada u(t) e saída
y(t), sendo a ordem n do sistema aquela
da equação.
an
dny(t)
dtn
+ an−1
dn−1y(t)
dtn−1
+ . . .+ a1
dy(t)
dt
+a0y(t) = dm
dmu(t)
dtm
+ dm−1
dm−1u(t)
dtm−1
+
. . .+ b1
du(t)
dt
+ b0u(t)
Os parâmetros dessas equações dife-
renciais são constantes no tempo. A
aplicação de leis da física (por exemplo,
Leis de Newton para o caso de sistemas
mecânicos) permite descrever os siste-
mas LIT pormeio de equações diferenci-
ais na forma apresentada.
Exemplo
Tanques que se comunicam
Em plantas químicas, é necessário manter o nível de líquidos. Ummodelo
simplificado émostrado na figura abaixo, na qual:
q0, q1, q2 = taxas de fluxo do líquido;
A1,A2 = Área de seção dos tanques;
h1, h2 = níveis de líquido;
R1,R2 = resistência de fluxo, controlada por válvulas.
4
.. Controle Linear
Assumindo q1 e q2 proporcionais aos níveis relativos de líquido e inversamente
proporcionais às resistências de fluxo, são governados por:
q1 =
h1 − h2
R1
e q2 =
h2
R2
.
As variações de níveis de líquidos são governadas por:
A1dh1 = (qi − q1)dt
A2dh2 = (q1 − q2)dt
o que implica
A1
dh1
dt
= qi − q1
A2
dh2
dt
= q1 − q2
Estas equações são obtidas por linearização e aproximação. Na realidade,
o fluxo de líquido émuito complexo e isso pode envolver fluxos turbulen-
5
.. Controle Linear
tos, que não podem ser descritos por equações diferenciais lineares. Para
simplificar a análise, fluxo turbulento é desconsiderado no desenvolvimento.
Sejam qi e q2 entrada e saída do sistema. Agora pretendemos desenvolver
uma equação diferencial para descrevê-las. A diferenciação de rendimento
fornece:
dh2
dt
= R2
dq2
dt
dh1
dt
= R1
dq1
dt
+
dh2
dt
= R1
dq1
dt
+R2
dq2
dt
Agora termine o desenvolvimento e obtenha uma equação diferencial de
segunda ordem relacionando entrada e saída do sistema.
Solução:
Igualando-se as duas equações definidas para dh1
dt
temos:
R1
dq1
dt
+R2
dq2
dt
=
qi − q1
A1
=
1
A1
qi −
1
A1
q1
Para escrever uma equação diferencial relacionando a saída q2 com a entrada
qi é necessário eliminar as termos dependentes de q1 na equação diferen-
cial anterior. Para isso, tomam-se as seguintes relações já mostradas:
q1 = q2 + A2
dh2
dt
e h2 = R2q2.
6
.. Controle Linear
Assim é possível isolar q1 e
dq1
dt
:
q1 = q2 + A2R2
dq2
dt
dq1
dt
=
dq2
dt
+ A2R2
d2q2
dt2
Substituição de q1 e
dq1
dt
na primeira equação diferencial:
R1
(
dq2
dt
+ A2R2
d2q2
dt2
)
+R2
dq2
dt
=
1
A1
qi −
1
A1
(
q2 + A2R2
dq2
dt
)
Desenvolvendo essa equação obtém-se:
A1A2R1R2
d2q2
dt2
+(A1R1 + A1R2 + A2R1)
dq2
dt
+ q2 = qi
Essa é a equação diferencial de segunda ordem que relaciona a entrada com
a saída do sistema de dois tanques interligados.
7
.. Controle Linear
Exemplo
Sensor de nível
Identifique o sistema, o controle e a realimentação na figura abaixo:
Solução:
A figuramostra um sistema de controle de nível no qual a variável contro-
lada é o nível de líquido, que é a saída do sistema, e a variável manipulada
é a vazão de água, que é a entrada do sistema. A saída do sistema é realimen-
tada, através da bóia, fornecendo uma nova configuração para a válvula que
regula a vazão de entrada. Assim, o nível de líquido é controlado através da
contínua alteração da vazão de entrada.
8
.. Controle Linear
Exemplo
Posicionamento antena
Identifique o sistema, o controle e a realimentação para omecanismo de po-
sicionamento de antena apresentado na figura abaixo:
Solução:
A figuramostra um sistema de controle de posicionamento de uma antena.
A entrada desse sistema é um torque, fornecido pelomotor, e a saída é a po-
sição angular, medida pelo sensor de posição. Essa posição é então utilizada
pelo controlador para gerar o perfil de torque que fornecerá a posição an-
9
.. Controle Linear
gular selecionada no painel de controle, configurando-se um esquema de
controle por realimentação.
Exemplo
Sistemamecânico de segunda ordem
Considere o sistemamassa-mola-amortecedor, commassam em [kg], cons-
tante demola k em [N/m] coeficiente de amortecimento c em [N.s]. Sendo
x(t) a saída e f(t) a entrada, obtenha ummodelo para esse sistema.
Solução:
Três forças atuam sobre o corpo livre demassam, a força Fk proveniente
damola, a força Fc proveniente do amortecedor e a força F de entrada. Aplicando-
10
.. Controle Linear
se a segunda lei de Newton e considerando-se o deslocamento x(t) na di-
reção e no sentido apresentados n figura, obtém-se:
∑
forças = F − Fk − Fc = mẍ(t)
As leis constitutivas damola e do amortecedor dizem que Fk = kx(t) e Fc =
cẋ(t). Portanto, a seguinte equação diferencial é obtida:
mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = F
Essa equação diferencial representa ummodelo para o sistema.
Exemplo
Circuito elétrico de segunda ordem
Obtenha uma equação diferencial quemodele o circuito RLC abaixo.
11
.. Controle Linear
Solução:
Adota-se vR(t) a tensão no resistor, vL(t) a tensão no indutor e vC(t) a ten-
são no capacitor. Portanto, segundo a lei de Kirchoff:
v(t) = vR(t) + vL(t) + vC(t)
Segundo as leis constitutivas de cada um dos componentes,
vR(t) = Ri(t)
vL(t) = L
di(t)
dt
i(t) = C
dvC(t)
dt
Portanto:
v(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
+ vC(t)
Derivando os dois membros da equação emanipulando-a de forma a obter
uma relação entre a tensão de entrada V e corrente i(t), considerada a saída
do sistema, temos:
dv(t)
dt
= R.
di(t)
dt
+ L
d2i(t)
dt2
+
dvC(t)
dt
dv(t)
dt
= L
d2i(t)
dt2
+R.
di(t)
dt
+
1
C
i(t)
d2i(t)
dt2
+
R
L
.
di(t)
dt
+
1
LC
i(t) =
1
L
dv(t)
dt
12
.. Controle Linear
Caso a saída fosse a tensão no capacitor teríamos:
v(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
+ vC(t)
v(t) = RC
dvC(t)
dt
+ LC
d2vC(t)
dt2
+ vC(t)
LC
d2vC(t)
dt2
+RC
dvC(t)
dt
+ vC(t) = v(t)
Transformada de
Laplace
Ferramenta essencial para o desenvolvi-
mento conceitual de funções de trans-
ferência. A transformada de Laplace
permite resolver equações diferenciais
lineares através de operações algébri-
cas com variáveiscomplexas. Para uma
função f(t) t ≥ 0, a transformada de
Laplace é definida como:
L[f(t)] = F (s) =
∫ ∞
0
f(t)e−stdt
sendo s = σ+jω uma variável complexa.
Algumas propriedades:
• Linearidade: a transformada de
Laplace da soma de duas funções é
igual à soma das transformadas de
Laplace dessas duas funções.
L[αf1(t)+βf2(t)] = αF1(s)+βF2(s)
• Diferenciação (condições iniciais
nulas): derivar uma função n vezes
no tempo implica emmultiplicar n
vezes por s no domínio de Laplace.
L[d
nf(t)
dt
n
] = snF (s)
• Integração (condições iniciais nu-
las): integrar no tempo implica
13
.. Controle Linear
em dividir por s no domínio de La-
place.
L[
∫
f(t)dt] =
F (s)
s
• Translação: a transformada de La-
place de uma função deslocada
no tempo é igual à transformada
de Laplace da função sem o des-
locamentomultiplicada por uma
exponencial dependente do deslo-
camento.
L[f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s)
Onde u(t) é uma função degrau
usada para garantir f(t − a) nula
antes do tempo a.
• Convolução: a transformada de
Laplace da convolução entre dois
sinais é igual ao produto da trans-
formada de Laplace de cada um
desses dois sinais.
L[f(t) ∗ g(t)] = F (s)H(s)
• Teorema do valor final: o valor em
regime permanente de uma fun-
ção pode ser obtido a partir da
transformada de Laplace dessa
função avaliada em s = 0.
lim
t⇝∞
f(t) = lim
s⇝0
sF (s)
A seguir é apresentada uma tabela com
a transformada de Laplace de algumas
funções selecionadas, todasmultiplica-
das por um degrau unitário, ou seja, são
nulas para t < 0. Note que u(t) é o de-
grau unitário e δ(t) o impulso.
f(t) L[f(t)]
u(t) 1
s
t 1
s2
tn n!
sn+1
eat 1
s−a
cos(ωt) s
s2+ω2
sen(ωt) ω
s2+ω2
eatcos(bt) s−a
(s−a)2+b2
eatsen(bt) b
(s−a)2+b2
δ(t) 1
14
.. Controle Linear
Funções de
Transferência
Na formamais simples de sinais de en-
trada x(t) e saída y(t) de tempo contí-
nuo, a função de transferência é oma-
peamento linear da transformada de
LaplaceX(s) da entrada para a trans-
formada Y (s) da saída:
Y (s) = H(s)X(s)
ou
H(s) =
Y (s)
X(s)
=
L[y(t)]
L[x(t)]
ondeH(s) é a função de transferência
do sistema LIT. A função de transfe-
rência é uma relação algébrica no plano
complexo para representar um sistema
LIT.
Seja um sistema descrito pela seguinte
equação diferencial:
an
dny
dtn
+ an−1
dn−1y
dtn−1
+ · · ·+ a1
dy
dt
+ a0y
= bm
dmx
dtm
+bm−1
dm−1x
dtm−1
+ · · ·+b1
dx
dt
+b0x
Aplicando a transformada de Laplace
(para condições iniciais nulas):
G(s) =
Y (s)
X(s)
=
bms
m + bm−1s
m−1 + · · ·+ b1s+ b0
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0
G(s) =
∑m
i=0 bis
i∑n
i=0 ais
i
A função de transferência é:
G(s) =
bms
m + bm−1s
m−1 + · · ·+ b1s+ b0
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0
ou em formato de polos e zeros
G(s) =
bm
an
(s− z1)(s− z2) . . . (s− zm)
(s− p1)(s− p2) . . . (s− pn)
.
Polos: raízes do polinômio caracterís-
tico (denominador). Zeros: raízes do po-
linômio no numerador.
15
.. Controle Linear
Exemplo
Equação de terceira ordem
Obtenha uma representação em função de transferência para o sistema:
...
y + 6ÿ + 11ẏ + 6y = 6u
Solução:
Aplicando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas:
(s3 + 6s2 + 11s+ 6)Y (s) = 6U(s)
Y (s)
U(s)
=
6
s3 + 6s2 + 11s+ 6
Ou, em formato de polos e zeros:
Y (s)
U(s)
=
6
(s+ 3)(s+ 2)(s+ 1)
Exemplo
Sistemamecânico de segunda ordem
Obtenha a função de transferência domassa-mola-amortecedor sendo x(t)
a saída e f(t) a entrada.
16
.. Controle Linear
Solução:
A equação diferencial do sistema é:
mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = f(t)
Aplicando-se a transformada de Laplace sob condições iniciais nulas:
ms2X(s) + csX(s) + kX(s) = F (s)
(ms2 + cs+ k)X(s) = F (s)
X(s)
F (s)
=
1
(ms2 + cs+ k)
X(s)
F (s)
=
1/m
s2 + cs/m+ k/m
17
.. Controle Linear
Exemplo
Circuito elétrico de segunda ordem
Obtenha a função de transferência do circuito RLC abaixo considerando en-
trada a tensão v(t) e saída a tensão no capacitor vC(t).
Solução:
A equação diferencial do circuito é:
LC
d2vC(t)
dt2
+RC
dvC(t)
dt
+ vC(t) = v(t)
Aplicando-se a transformada de Laplace sob condições iniciais nulas:
(LCs2 +RCs+ 1)VC(s) = V (s)
VC(s)
V (s)
=
1
LCs2 +RCs+ 1
18
.. Controle Linear
VC(s)
V (s)
=
1/(LC)
s2 +Rs/L+ 1/(LC)
Exemplo
Transpetro – 2006 – Engenheiro de Automação - 33
Um sistema tem a sua entrada x(t) relacionada com a saída y(t), através da
seguinte equação diferencial:
d2y
dt2
+ 5
dy
dt
= 10x(t)
Considerando todas as condições iniciais nulas e aplicando, neste sistema,
uma realimentação de saída, com lei de controle dada por x(t) = −Ky(t)+
r(t), a expressão da função de transferência relacionando a saída Y(s) e a en-
trada de referênciaR(s) é:
(A)
Y (s)
R(s)
=
K
s2 + 5s+ 10K
(B)
Y (s)
R(s)
=
10
s2 + 5s+ 10 +K
(C)
Y (s)
R(s)
=
10
s2 + 5s+ 10K
(D)
Y (s)
R(s)
=
10K
s2 + 5s+ 10K
(E)
Y (s)
R(s)
=
K
s2 + (5 +K)s+ 10K
19
.. Controle Linear
Solução:
A transformada de Laplace da equação é Y(s)(s2 + 5s) = 10X(s). Com a
lei de controleX(s) = −KY (s) +R(s)
Y (s)(s2 + 5s) = 10(−KY (s) +R(s))
Y (s)(s2 + 5s+ 10K) = 10R(s)
Oque resulta na função de transferência da entrada R(s) para a saída Y(s)
Y (s)
R(s)
=
10
s2 + 5s+ 10K
Resposta: C
Exemplo
Transpetro – 2008 – Engenheiro de Automação - 36
Umdeterminado sistema físico pode ser modelado através da seguinte equa-
ção diferencial ordinária:
2
d2u(t)
dt2
+ 14
du(t)
dt
+ 20u(t)
=
d2y(t)
dt2
+ 4
dy(t)
dt
+ 3y(t)
Onde u(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de
saída do sistema. A função de transferência deste sistema é:
(A)
20s2 + 14s+ 2
s2 + 4s+ 3
20
.. Controle Linear
(B)
s2 + 4s+ 3
s2 + 14s+ 20
(C)
2s2 + 14s+ 20
s2 + 4s+ 3
(D)
3s2 + 4s+ 1
2s2 + 14s+ 20
(E)
20s2 + 14s+ 2
3s2 + 4s+ 1
Solução:
A função de transferência é a razão entre as transformadas de Laplace da
saída e da entrada. Aplicando a transformada à equação diferencial,
2s2U + 14sU + 20U = s2Y + 4sY + 3Y
(2s2 + 14s+ 20)U = (s2 + 4s+ 3)Y
Y
U
=
2s2 + 14s+ 20
s2 + 4s+ 3
Resposta: C
Exemplo
Petrobras – 2010 – Engenheiro Júnior - Elétrica - 10
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada, no
domínio de Laplace.
21
.. Controle Linear
No domínio do tempo, aplicando um degrau unitário na entrada deste sis-
tema, a saída y(t), em regime permanente, tende para
(A) 1
(B)K
(C) 1/K
(D) 10
(E) 1/10
Solução:
O sistema emmalha fechada (P (s)) (da entradaR para a saída Y ) pode ser
encontrado pela relação demalha
P (s) =
G(s)
1 +G(s)
22
.. Controle Linear
ComG(s) =
K
s(s+ 10)
P (s) =
K
s(s+ 10)
(1 +
K
s(s+ 10)
)
=
K
s(s+ 10) +K
P (s) =
K
s2 + 10s+K
=
Y (s)
R(s)
A saída em regime permanente pode ser encontrada pelo teorema do va-
lor final
y∞ = lim
s⇝0
sY (s)
Como a entrada é um degrau, a atransformada de Laplace éR(s) = 1/s,
Y (s) = P (s)R(s) =
K
(s2 + 10s+K)
.
1
s
Logo,
y∞ = lim
s⇝0
sK
(s2 + 10s+K)
.
1
s
y∞ =
K
(0 + 10.0 +K)
=
K
K
= 1
Resposta: A
23
.. Controle Linear
Diagrama de
Blocos
Usados para representar as relações de
entrada, saída, realimentação e conexão
entre sistemasmenores para construir
ummaior. A seguir está representado
o diagrama de blocos de um sistema re-
alimentado com controlador no ramo
direto.
Um exemplo de diagrama para um caso
de sistema de controle de nível:
Outro caso no qual há uma realimenta-
çãomas não émostrado explicitamente
um controlador, que pode estar incluído
no bloco "sistema":
Note que a função de transferência de
malha fechada de um sistema com re-
alimentação negativa pode sempre ser
definida como
T =
RD
1 +RI.RD
ondeRD representa o RamoDireto e
RI representa o Ramo Inverso da reali-
mentação.
24
.. Controle Linear
Exemplo
Diagrama de blocos emalha fechada
Esse diagrama representa amesma relação de entradas e saídas que o se-
guinte:
7
Mostre a equivalência:
Solução:
Odiagrama original pode ser redesenhado da seguinte forma
25
.. Controle Linear
ExemploDiagrama de blocos emalha fechada
Obtenha a função de transferência de entrada para saída agrupando os blo-
cos do diagrama.
Solução:
A resposta pode ser obtida utilizando-se a regra de que a função de trans-
ferência emmalha fechada é dada por:
T =
RD
1 +RI.RD
26
.. Controle Linear
comRD representando o RamoDireto eRI representando o Ramo Inverso
da realimentação. Dessemodo obtém-se:
θo(s)
θi(s)
=
G1(s)G2(s)
1 +H(s)G1(s)G2(s)
sendoRD = G1(s)G2(s) eRI = H(s).
Tipicamente, os sistemas sãomodelados
de duas formas: função de trasnferência
emodelos de estados. As duas formas
são obtidas a partir de equações dife-
renciais lineares.
Modelos de Estado
A representaçãomais geral de espaço
de estados de um sistema linear com en-
trada p, saída q e n estados é escrita da
seguinte forma:
ẋ(t) = Ax(t) +Bu(t);
y(t) = Cx(t) +Du(t).
onde: x(t) é a variável de estados; u(t)
é a entrada de controle; y(t) é o sinal de
saída.
Dessa forma é possível colocar um
sistema de equações diferenciais em
um formato padrãomatricial. Antes,
convertem-se todas as equações em
conjuntos de equações de primeira or-
dem.
Considere o seguinte sistema genérico
de uma entrada e uma saída:
y(n) + a1y
(n−1) + · · ·+ an−1ẏ + any = u
As variáveis de estado são definidas
como: x1 = y
x2 = ẏ
...
xn = y
(n−1)
Assim, o seguinte acoplamento acon-
tece, sendo a última equação uma equa-
ção dinâmica:
27
.. Controle Linear
ẋ1 = x2
ẋ2 = x3
ẋn−1 = xn
...
ẋn = −anx1 − · · · − a1xn + u
A última equação é obtida isolando-se o
termo com derivada demais alta ordem
na equação diferencial de ordem n.
Esse conjunto de equações de primeira
ordem pode ser colocado na formama-
tricial:
ẋ = Ax+Bu
Onde:
x =

x1
x2
x3
...
xn
,B =

0
0
0
...
1
 x =

0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1
−an −an−1 −an−2 · · · −a1

Para a variável de saída também é possí-
vel colocar em formamatricial:
y = Cx+Du
y =
[
1 0 0 · · · 0
]

x1
x2
x3
...
xn
+
[
0
]
u
Amatriz D será nula namaioria dos ca-
sos.
Omodelo de estados de um sistema
pode ser definido de infinitas formas
diferentes, dependendo de como são
atribuídas as variáveis de estado.
Os polos de um sistema descrito no es-
paço de estados são iguais aos autovalo-
res damatriz de estados A.
Relação entre
função de
transferência e
modelo de estado
A aplicação da transformada de Laplace
nas equações domodelo de estados for-
nece:
sX(s) = AX(s) +BU(s)
Y (s) = CX(s) +DU(s)
28
.. Controle Linear
Manipulando a primeira equação:
sX(s)− AX(s) = BU(s)
(sI − A)X(s) = BU(s)
X(s) = (sI − A)−1BU(s)
onde I é umamatriz identidade de di-
mensões iguais àquelas damatriz A.
Substitui-se agora esse resultado obtido
na equação de saída:
Y (s) = C(sI − A)−1BU(s) +DU(s)
Y (s)
U(s)
= C(sI − A)−1B +D
Essa função de transferência dada em
função dasmatrizes de estado do sis-
tema.
A equação característica de um sistema
também pode ser obtida a partir domo-
delo de estados fazendo -se:
det[sI − A] = 0
Exemplo
Tanques que se comunicam -Modelo de estado
Em plantas químicas, é necessário manter o nível de líquidos. Ummodelo
simplificado émostrado na figura abaixo, na qual:
q0, q1, q2 = taxas de fluxo do líquido;
A1,A2 = Área de seção dos tanques;
h1, h2 = níveis de líquido;
R1,R2 = resistência de fluxo, controlada por válvulas.
29
.. Controle Linear
Assumindo q1 e q2 proporcionais aos níveis relativos de líquido e inversamente
proporcionais às resistências de fluxo, são governados por:
q1 =
h1 − h2
R1
e q2 =
h2
R2
.
As variações de níveis de líquidos são governadas por:
A1dh1 = (qi − q1)dt
A2dh2 = (q1 − q2)dt
o que implica
A1
dh1
dt
= qi − q1
A2
dh2
dt
= q1 − q2
30
.. Controle Linear
Estas equações são obtidas por linearização e aproximação. Na realidade,
o fluxo de líquido émuito complexo e isso pode envolver fluxos turbulen-
tos, que não podem ser descritos por equações diferenciais lineares. Para
simplificar a análise, fluxo turbulento é desconsiderado no desenvolvimento.
Sejam qi e q2 entrada e saída do sistema. Agora pretendemos desenvolver
uma equação diferencial para descrevê-las. A diferenciação de rendimento
fornece:
dh2
dt
= R2
dq2
dt
dh1
dt
= R1
dq1
dt
+
dh2
dt
= R1
dq1
dt
+R2
dq2
dt
Agora termine o desenvolvimento e obtenha uma representação em espaço
de estados.
Solução:
A equação diferencial do sistema considerando a entrada qi = u e a saída
q2 = y é:
ÿ + a1ẏ + a2y = b0u
Com os parâmetros dados por:
a1 =
A1R1 + A1R2 + A2R2
A1A2R1R2
a2 =
1
A1A2R1R2
b0 =
1
A1A2R1R2
As variáveis de estado são escritas como:
x1 = y
x2 = ẏ
31
.. Controle Linear
Portanto, as equações de estado podem ser escritas como:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −a2x1 − a1x2 + b0u
Essas equações de estado podem ser colocadas em formamatricial:
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
0 1
−a2 −a1
][
x1
x2
]
+Bu
y =
[
1 0
] [x1
x2
]
Com
A =
[
0 1
−a2 −a1
]
B =
[
0 1
−a2 −a1
]
e
C =
[
1 0
]
Exemplo
Tanques que se comunicam -Modelo de estado
Obtenha uma representação em espaço de estados para:
...
y + 6ÿ + 11ẏ + 6y = 6u
32
.. Controle Linear
Solução:
As variáveis de estado podem ser definidas como:
x1 = y
x2 = ẏ
x3 = ÿ
Portanto:
ẋ3 = −6x1 − 11x2 − 6x3 + 6u
Em formamatricial:
ẋ1ẋ2
ẋ3
 =
 0 1 00 0 1
−6 −11 −6

x1x2
x3
+
00
6
u
y =
[
1 0 0
]x1x2
x3

Com
A =
 0 1 00 0 1
−6 −11 −6

B =
00
6

e
C =
[
1 0 0
]
33
.. Controle Linear
Realimentação de
Estados
É possível projetar controladores tam-
bém no espaço de estados. Nesse con-
texto, a técnicamais comum é a aloca-
ção de pólos através de uma realimenta-
ção de estados. Alocar polos significa
atribuir ao sistema de controle polos
convenientemente escolhidos. Reali-
mentar estados significa usar o vetor de
estados do sistema em uma realimenta-
ção tal que a lei de controle seja:
u(t) = r(t)−Kx(t)
sendoK =
[
k1 k2 · · · kn
]
o vetor de
ganhos da realimentação de estados da
planta com n estados.
Seja a planta no espaço de estados dada
por:
ẋ(t) = Ax(t) +Bu(t)
y(t) = Cx(t) +Du(t)
Substituindo-se a lei de controle nesse
modelo de estados tem-se:
ẋ(t) = Ax(t) +B(r(t)−Kx(t))
y(t) = Cx(t) +D(r(t)−Kx(t))
Consequentemente o sistema emmalha
fechada será representado por:
ẋ(t) = (A−BK)x(t) +Br(t)
y(t) = (C −DK)x(t) +Dr(t)
Os autovalores de (A − BK) definem
os polos do sistema emmalha fechada.
Dessemodo é possível alocar os polos
do sistema selecionando adequada-
mente K.
34
.. Controle Linear
Exemplo
Realimentação de estados
Um sistema descrito no espaço de estados por:
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
0 1
−2 −3
][
x1
x2
]
+
[
0
1
]
u
Os polos desse sistema sem controle são s = −1 e s = −2. Use uma re-
alimentação de estados para alocar os polos desse sistema em s = −1 e
s = −5.
Solução:
A equação característica desejada é s2+6s+5 = 0. A equação caracterís-
tica do sistema com a realimentação de estados e um vetor de ganhosK =[
k1 k2
]
é dada por:
det[sI − (A−BK)] = 0
det[s
[
1 0
0 1
]
− (
[
0 1
−2 −3
]
−
[
0
1
][
k1
k2
]
)] = 0
det[
[
s −1
2 + k1 s+ 3 + k2
]
= 0
s2 + (3 + k2)s+ (2 + k1) = 0
35
.. Controle Linear
Igualando-se o polinômio característico desejado com aquele proveniente
da realimentação de estados é possível determinar K:
s2 + (3 + k2)s+ (2 + k1) = s
2 + 6s+ 5
3 + k2 = 6
2 + k1 = 5
Portanto: K =
[
3 3
]
Critério de
Routh-Hurwitz
A estabilidade de um sistema nem sem-
pre é facilmente analisada e para isso
existe algunsmétodos para classificá-
las, sendo um deles o critério de Routh-
Hurwitz. Ométodo permite determi-
nar a estabilidade de um sistema linear
contínuo. Considerando-se a seguinte
equação característica de um sistema:
Q(s) = ans
n + an−1s
n−1 + · · ·+ a1s+ a0
Pode-se entãomontar a seguinte tabela
com os coeficientes:
sn an an−2 an−4 · · ·
sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
sn−2bn−1 bn−3 bn−5 · · ·
...
...
...
...
...
s0 hn−1
No caso da linha sn−2 :
bn−1 = −
1
an−1
∣∣∣∣∣ an an−2an−1 an−3
∣∣∣∣∣
bn−2 = −
1
an−1
∣∣∣∣∣ an an−4an−1 an−5
∣∣∣∣∣
E no caso da linhas sn−3:
cn−1 = −
1
bn−1
∣∣∣∣∣ an−1 an−3bn−1 bn−3
∣∣∣∣∣
36
.. Controle Linear
cn−2 = −
1
bn−1
∣∣∣∣∣ an−1 an−5bn−1 bn−5
∣∣∣∣∣
Quando a tabela de Routh-Hurwitz é
então determinada, é feita uma análise
da primeira coluna. Se todos os termos
tiverem omesmo sinal, o sistema é es-
tável. Contudo, se houver algumamu-
dança de sinal, pode-se afirmar que o
sistema possui aomenos um pólo no
semi plano direito e o sistema é instável.
Exemplo
Petrobras – 2014 – Engenharia de Equipamentos Júnior Eletrônica - 32
O critério de estabilidade de Routh é determinado em função das raízes da
equação característica da equação diferencial que reage o sistema e que re-
presenta os polos da função de transferência. Assim, dada a equação carac-
terística, representada pelo polinômio p(s) = 2s3+2s2+3s+6, verifica-se
que, pelo critério da estabilidade, o sistema é :
(A) estável, pois todas as raízes da equação característica estão no semiplano
da direita.
(B) estável, pois existe apenas uma transição de sinal na primeira coluna da
tabela de Routh.
(C) estável, pois não existe transição de sinal na primeira coluna da tabela
de Routh.
(D) instável, pois existem duas transições de sinal na primeira coluna da ta-
bela de Routh.
37
.. Controle Linear
(E) instável, pois existem polos complexos conjugados no semiplano da es-
querda.
Solução:
Analisando-se a equação característica é possível obter a seguinte tabela
de Routh:
s3 2 3
s2 2 6
s1 −3 0
s0 6
Assim é possível notar que existem duas transições de sinal na primeira co-
luna, e assim, pode-se afirmar que aomenos um pólo está no semiplano di-
reito e o sistema é instável.
Resposta: D
Caiu no concurso!
Transpetro – 2006 – Engenheiro de Automação - 29
Uma planta industrial pode ser modelada através de uma Função de Trans-
ferência G(s) racional e contínua, de terceira ordem, estritamente própria
e estável. Com relação a G(s), é correto afirmar que:
(A) possui três pólos localizados no semiplano s da direita.
(B) possui pelomenos um zero localizado no infinito.
(C) o seu grau relativo é zero.
38
.. Controle Linear
(D) possui dois zeros localizados sobre o eixo imaginário no plano s.
(E) todos os pólos estão localizados sobre o eixo real negativo.
Resposta: B
Caiu no concurso!
Transpetro – 2006 – Engenheiro de Automação - 31
Num circuito elétrico, o sinal de tensão v(t), causal, é representadomate-
maticamente pela expressão no domínio de Laplace:
V (s) =
10s+ 20
s2 + 4s+ 20
Esta tensão tem a sua expressão no domínio do tempo, para t ≥ 0 , dada
por:
(A) v(t) = 10e−2t cos(4t)
(B) v(t) = 10e−2t sin(4t)
(C) v(t) = 20e−2t sin(4t+ π
4
)
(D) v(t) = 10e−2t cos(
√
20t)
(E) v(t) = 10e−2t sin(
√
20t)
Resposta: A
Caiu no concurso!
39
.. Controle Linear
Transpetro – 2008 – Engenheiro de Automação - 31
A figura acima apresenta o diagrama de um sistema de controle cujas equa-
ções sob a forma de espaço de estado são:
{
Ẋ(t) = AX(t) +Bu(t)
y(t) = CX(t)
com a lei de controle u(t) = −KX(t) +Mr(t)
Onde
A =
[
0 1
−8 −6
]
,B =
[
0
1
]
,C =
[
10 0
]
eK =
[
6 3
]
Quando uma entrada r(t) do tipo degrau for aplicada, qual o valor do ganho
Mpara que o erro de estado estacionário seja NULO?
(A) 5,00
(B) 3,65
(C) 2,48
(D) 1,40
40
.. Controle Linear
(E) 0,80
Resposta: D
Caiu no concurso!
Transpetro – 2008 – Engenheiro de Automação - 37
Um sistema dinâmico emmalha fechada pode ser modelado sob a forma de
espaço de estado através das seguintes equações:

[
ẋ1(t)
ẋ2(t)
]
=
[
−5 6
−1 0
][
x1(t)
x2(t)
]
+
[
1
3
]
u(t)
y(t) =
[
2 0
] [x1(t)
x2(t)
]
As posições dos pólos no plano s da função de transferência deste sistema
são
(A) s1 = -2 e s2 = -3
(B) s1 = -1 e s2 = -3
(C) s1 = -1 e s2 = -2
(D) s1 = -2 e s2 = -4
(E) s1 = -3 e s2 = -5
Resposta: A
41
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Termoceará – 2009 – Engenheiro de Termelétrica - 32
Considere omodelo de um sistema linear dado pela seguinte representa-
ção em espaço de estado:

Ẋ(t) =
[
−11 −60
1 5
]
X(t) +
[
1
0
]
u(t)
y(t) =
[
1 15
]
X(t)
Os polos deste sistema são:
(A) 5,0 e 1,0
(B) 2,0 e 4,0
(C) - 2,0 e - 4,0
(D) - 5,0 e -1,0
(E) -11,0 e 5,0
Resposta: D
42
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 43
Seja um sistema linear e invariante no tempo definido pelo seumodelo em
espaço de estados:

[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
−3 1
−2 1, 5
][
x1
x2
]
+
[
1
4
]
u
y =
[
1 0
] [x1
x2
]
A função de transferência Y (s)/U(s) é
(A)
s+ 2, 5
s2 + 1, 5s+ 3, 5
(B)
s+ 3, 5
s2 + 1, 5s− 2, 5
(C)
s+ 2, 5
s2 + 3, 5s+ 1, 5
(D)
s+ 1, 5)
s2 + 3, 5s− 2, 5
(E)
s+ 1, 5
s2 + 3, 5s+ 1, 5
Resposta: D
43
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 44
Odiagrama em blocos da figura acimamostra um sistema linear, de 2ª or-
dem, composto de dois integradores, somadores e ganhos. A entrada é u(t)
e a saída y(t). A função de transferência deste sistema é:
(A)
Y (s)
U(s)
=
5s
s2 − 3s+ 2
(B)
Y (s)
U(s)
=
5
s2 + 3s+ 2
(C)
Y (s)
U(s)
=
5s+ 1
s2 − 3s− 2
(D)
Y (s)
U(s)
=
5s+ 1
s2 + 3s+ 2
44
.. Controle Linear
(E)
Y (s)
U(s)
=
s+ 5
s2 + 3s+ 2
Resposta: D
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 48
Odiagrama em blocos da figura acimamostra um filtro digital, tendoX(z)
como entrada e Y (z) como saída. A expressão da função de transferência
H(z) = Y (z)
X(z)
é
(A)H(z) =
z2 + 3z + 2
z2 + 3z + 8
(B)H(z) =
z2 + 3z + 8
5z2 + 3z + 2
(C)H(z) =
2z2 + 3z + 5
z2 + 3z + 8
45
.. Controle Linear
(D)H(z) =
3z2 + 2z + 5
z2 + 8z + 3
(E)H(z) =
5z2 + 3z + 2
z2 + 3z + 8
Resposta: E
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 50
Considere os dados a seguir, para responder às questões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, o sinal y(t) de saída
será da forma:
y(t) = Me−σt sin(ωt)
Considerando que ω = 4 rad/s, o valor do ganho K é:
(A) 85
46
.. Controle Linear
(B) 50
(C) 45
(D) 41
(E) 25
Resposta: D
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Equipamentos – Elétrica - 60
Um sistema linear, causal e de segunda ordem é representado pela seguinte
função de Transferência:
G(s) =
K
s2 + as+ b
Esse sistema opera com razão de amortecimento 0,7 e frequência natural
não amortecida de 15 rad/s. Quando alimentado por um degrau unitário em
sua entrada, a saída, em regime permanente, atinge o valor 0,4. Os valores
de a e K, respectivamente, são
(A) 42 e 180
(B) 21 e 90
(C) 21 e 15
(D) 10,5 e 90
(E) 10,5 e 45
47
.. Controle Linear
Resposta: B
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 25
Considere as informações a seguir para responder às questões de nos 25
e 26.
O controle de atitude de um satélite em órbita consiste em ajustar, auto-
maticamente, o ângulo de seu eixo, demodo a direcionar sua antena para
a região desejada na superfície da Terra. Omodelo simplificado desse sis-
tema consta de um sinal de entrada, que é o torque τ(t), e de um sinal de saída,
que é o ângulo θ(t). Considerando o vetor de estadoX(t) =
[
x1(t)
x2(t)
]
de-
finido com x1(t) = θ(t), posição angular e x2(t) = θ̇(t) =
dθ
dt
, a velocidade
angular, obtém-se o seguintemodelo em espaço de estado.

Ẋ(t) =
[
0 1
0 0
]
X(t) +
[
0
1
]
u(t)
y(t) =
[
2 0
]
X(t)
Aplicando uma realimentação de estado, com a lei de controle dada por τ(t) =
−Kx(t) = −
[
k1 k2
]
X(t), o valor do vetor de ganhos K, que conduz os
polos emmalha fechada para as posições -2 e -3, é
(A) [5 6]
(B) [2 3]
48
.. Controle Linear
(C) [6 5]
(D) [-5 -6]
(E) [-2 -3]
Resposta:C
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 27
Ográfico da figura acima corresponde à resposta ao degrau unitário apli-
cado na entrada de um sistema de 2a ordem, cuja função de transferência
éG(s) =
16
s2 + 8s+ b
. Com base nos dados da figura, os polos desse sis-
tema são complexos, conjugados e iguais a
49
.. Controle Linear
(A)−4± j8
(B)−4± j4
(C)−4± j8
√
3
(D)−4± j4
√
3
(E)−4± j3
Resposta: D
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 28
Odiagrama em blocos da figura acimamostra um sistema emmalha fechada,
ondeU(s) é o sinal de entrada e Y (s), o sinal de saída. O valor do ganhoK ,
para que os polos da função de transferência Y (s)
U(s)
sejam complexos, conju-
gados e com parte real igual -6,5, é
(A) 20
50
.. Controle Linear
(B) 15
(C) 8
(D) 3
(E) 1
Resposta: D
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Processamento - 63
51
.. Controle Linear
A figura acima representa a resposta da variável de saída y(t) a uma pertur-
bação degrau demagnitude de 2 unidades na variável de entrada de um pro-
cesso, a partir de um instante em que o processo estava em regime perma-
nente. Com base nessas informações, a função de transferência desse pro-
cesso é
(A) 2, 5/(2s+ 1)
(B) 2, 5/(5s+ 1)
(C) 2, 5/(30s+ 1)
(D) 3, 0/(5s+ 1)
(E) 3, 0/(30s+ 1)
Resposta: B
52
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Processamento - 64
A figura acima representa a resposta da variável de saída a uma perturba-
ção degrau demagnitude de 2 unidades na variável de entrada de um sis-
tema de segunda ordem, a partir de um instante em que o processo estava
em regime permanente. Com base nessas informações, conclui-se que
(A) o sistema I tem fator de amortecimento (ξ) maior que o do sistema II.
(B) o tempo de subida (ou ascensão) do sistema I é de 10min.
(C) os dois sistemas têm fator de amortecimento ((ξ)) maiores do que 1.
53
.. Controle Linear
(D) os ganhos dos sistemas são iguais a uma unidade.
(E) a sobrelevação do sistema II é de 0,8.
Resposta: E
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Processamento - 65
A figura a seguir representa, em diagrama de blocos, um sistema com 3 fun-
ções de transferênciaG1(s),G2(s) eG3(s).
A função de transferência global entre Y (s) eX(s) é dada por
(A)G1(s)−G2(s) +G3(s)
(B) [G1(s)−G2(s)]/G3(s)
(C) [G1(s)−G2(s)]G3(s)
(D)G1(s)G3(s)/[1−G2(s)G3(s)]
54
.. Controle Linear
(E)G1(s)G3(s)/[1 +G2(s)G3(s)]
Resposta: C
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Processamento - 66
Considere que o controlador usado no sistema representado no diagrama
de blocos seja do tipo PI (proporcional + integral), cuja equação descritiva
é dada por
p(t) = p+Kce(t) +
Kc
τi
∫ t
0
e(t)dt
Para respostas do sistema à variação degrau, tanto na variável perturbadora
como no valor de referência (set-point), com esse tipo de controlador, conclui-
se que o(a)
(A) desvio permanente da variável controlada em relação ao valor de refe-
rência será igual a zero, para valores adequados do ganho e da ação integral
do controlador.
(B) resposta da variável controlada será estável para qualquer valor da ação
integral.
(C) resposta da variável controlada será estável para qualquer valor do ga-
nho.
55
.. Controle Linear
(D) resposta do sistema ficamais rápida para um dado valor da ação inte-
gral, quando se diminui o ganho.
(E) resposta do sistema tende a ser mais rápida para um dado valor do ga-
nho, quando se aumenta o valor da ação integral.
Resposta: A
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Processamento - 67
Considere a figura e os dados abaixo para responder às questões de nos 67
a 69.
Odiagrama de blocos acima representa um sistema de controle por reali-
mentação de um determinado processo, cuja variável perturbadora é de-
signada por u(t) e sua transformada de Laplace éU(s), em termos de variável-
56
.. Controle Linear
desvio. As funções de transferência do controlador, da válvula de controle
e do sensor-transmissor estão representadas, respectivamente, porGc(s),
Gv(s) eGm(s).
De acordo com as funções de transferência representadas no diagrama de
blocos, analise as afirmativas a seguir.
I - O sensor-transmissor émuito rápido se comparado ao processo e, por isso,
a sua função de transferência é representada apenas por um ganho.
II - A válvula de controle é do tipo ar-abre (ou falha fechada), porque o seu
ganho é positivo.
III - SeGc(s) = 5(2s + 1)/2s, o controlador é do tipo PI, e a sua ação é re-
versa.
Está correto o que se afirma em
(A) I, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Resposta: E
57
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Processamento - 68
A função de transferência emmalha fechada entre a variável controlada y
e a variável perturbadora u é definida por
(A)
2(0, 2s+ 1)
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1) + 0, 25Kc
(B)
2(0, 5s+ 1)
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1) + 0, 25Kc
(C)
2(0, 5s+ 1)
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1) + (0, 5s+ 1)
(D)
2(0, 2s+ 1)
1 + 0, 25Kc(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1)
(E)
2(0, 2s+ 1)
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1)− 0, 25Kc
Resposta: A
Caiu no concurso!
Petrobras - 2011 - Engenheiro de Processamento - 69
Considere que o controlador é proporcional puro e de ação reversa. Na hi-
pótese de ocorrer uma perturbação degrau de 2 unidades em u, analise as
decorrências abaixo.
I - A resposta da variável controlada será estável para qualquer valor deKc.
II - Não haverá desvio permanente da variável controlada em relação ao va-
lor desejado.
58
.. Controle Linear
III - O desvio permanente da variável controlada em relação ao valor dese-
jado será de 2 unidades, se o valor deKc for igual a 4.
IV - O desvio permanente na variável controlada em relação ao valor dese-
jado serámaior quantomenor for o valor do ganho do controlador.
São corretasAPENAS a(s) decorrência(s)
(A) II.
(B) I e II.
(C) I e III.
(D) III e IV.
(E) I, III e IV.
Resposta: D
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Processamento - 07
Constatou-se que uma variável de processo emmalha fechada apresentava
elevadas sobrelevações (ou overshoots) em resposta a distúrbios oumu-
danças no seu set-point. Diagnosticou-se que a causa desse comportamento
era sintonia inadequada do controlador, que era um PI, com função de trans-
ferência dada por
Gc(s) = kc(1 +
1
τls
)
59
.. Controle Linear
, tal queKc é o ganho do controlador (adimensional) e τl é o tempo integral
(com unidade de tempo). Dentre as alterações de sintonia apresentadas abaixo,
a resposta emmalha fechada com o PI se tornarámenos oscilatória devido
a:
(A) diminuição deKc e de τl. (B) diminuição deKc e aumento de τl. (C) au-
mento deKc, mantendo-se τl fixo. (D) aumento deKc e de τl. (E) aumento
deKc e diminuição de τl.
Resposta: B
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Processamento - 08
Seja um sistema emmalha fechada com um controlador P, cuja função de
transferência emmalha fechada é
Y (s)
L(s)
=
−4
s2 + 2s+ 2
, em variáveis-desvio.
SeL(s) =
3
5
e se o set-point for mantido constante, o offset, definido como
o erro permanente entre o set-point e o valor final da variável controlada,
será
(A) 0
(B) 3
(C) 6
(D) 12
(E)∞
60
.. Controle Linear
Resposta: C
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Processamento - 19
Umdado sistema emmalha fechada apresenta a seguinte equação carac-
terística (EC):
4s3 + 8s2 + 5s+ 5 = 0.
OArranjo de Routh abaixo foi construído para analisar a estabilidade desse
sistema.
Mesmo sem o cálculo explícito das raízes, o Critério de Estabilidade de Routh
leva a afirmar que, para esse sistema, há
(A) um par de raízes no semiplano direito e uma raiz no semiplano esquerdo
de s.
61
.. Controle Linear
(B) uma raiz no semiplano esquerdo e um par de raízes sobre o eixo imagi-
nário.
(C) uma raiz no semiplano direito e um par de raízes no semiplano esquerdo
de s.
(D) trêsraízes no semiplano direito de s.
(E) três raízes no semiplano esquerdo de s.
Resposta: E
62
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Processamento - 20
Seja o diagrama de blocos para um processo emmalha fechada com um con-
trolador P exibido a seguir.
Para degraus emL(t), afirma-se que, emmalha fechada com o controlador
P (Kc > 0), a resposta Y (t) será
(A) mais rápida emenos sensível ao distúrbio que emmalha aberta.
(B) mais rápida emais sensível ao distúrbio que emmalha aberta.
(C) mais lenta emais sensível ao distúrbio que emmalha aberta.
(D) mais lenta emenos sensível ao distúrbio que emmalha aberta.
(E) tão rápida e tão sensível quanto emmalha aberta.
Resposta: A
63
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras - 2010 - Engenheiro de Processamento - 30
G1(s) =
1
s+ 1
eG2(s) =
2
5s+ 1
foram conectados conformemostrado
abaixo.
A função de transferênciaG(s) =
Y (s)
U(s)
, representada no diagrama de blo-
cos acima, apresenta polinômios em s, no numerador e no denominador, de
ordens, respectivamente,
(A) 0 e 1
(B) 0 e 2
(C) 1 e 1
(D) 1 e 2
(E) 2 e 2
Resposta: D
64
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras Biocombustível - 2010 - Engenheiro de Processamento - 39
Funções de transferência de 1a ordem com tempomorto são frequentemente
empregadas namodelagem de processos para controle. Apresenta-se, ao
lado, a simulação da resposta y(t) de um sistema representado por uma fun-
ção desse tipo para um degrau demagnitude 0,5, aplicado na variável de en-
trada no tempo t = 0.
65
.. Controle Linear
Em função da resposta exibida para o degrau implementado, os parâmetros
ganho estático, constante de tempo e tempomorto são, respectivamente,
(A) 2, 5 e 0
(B) 2, 5 e 5
(C) 4, 10 e 0
(D) 4, 10 e 5
(E) 4, 25 e 0
Resposta: B
Caiu no concurso!
Petrobras Biocombustível - 2010 - Engenheiro de Processamento - 40
Dispõe-se das informações abaixo sobre os elementos de umamalha de con-
trole.
- Válvula em série com o processo: GfGp = Kτs+1 , com parâmetros cons-
tantes.
- Controlador: proporcional (Kc > 0).
- Elemento demedida - em função da localização do sensor, duas funções
de transferência são possíveis: Gm1 = Km (“Caso 1”) eGm2 = Kmexp(−θs)
(“Caso 2”), com parâmetros constantes.
Com base na descrição dos elementos acima, conclui-se que amalha fechada
(A) será ESTÁVEL para qualquer valor deKc > 0, tanto para o “Caso 1” quanto
para o “Caso 2”.
66
.. Controle Linear
(B) será ESTÁVEL para qualquer valor deKc > 0 para o “Caso 1”, e pode
se tornar INSTÁVEL àmedida que se aumentaKc para o “Caso 2”.
(C) pode tornar-se INSTÁVEL àmedida que se aumentaKc para o “Caso 1”,
e será ESTÁVEL para qualquer valor deKc > 0 para o “Caso 2”.
(D) pode tornar-se INSTÁVEL àmedida que se aumentaKc, tanto para o “Caso
1” quanto para o “Caso 2”.
(E) será INSTÁVEL para qualquer valor deKc > 0, tanto para o “Caso 1”
quanto para o “Caso 2”.
Resposta: B
Caiu no concurso!
Petrobras - 2008 - Engenheiro de Equipamentos – Terminais e Dutos - 33
Os pólos de uma função de transferência só NÃO estão associados ao(à)
(A) tempo de resposta do sistema.
(B) comportamento oscilatório do sistema.
(C) estabilidade do sistema.
(D) influência das derivadas do sinal de entrada.
(E) influência das integrais do sinal de entrada.
Resposta: D
67
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petrobras - 2008 - Engenheiro de Equipamentos – Terminais e Dutos - 34
Em um sistema de controle, zeros demalha aberta positivos indicam
(A) instabilidade damalha aberta.
(B) sistema demalha aberta oscilatório.
(C) possibilidade demalha fechada instável.
(D) não-existência de zeros demalha fechada positivos.
(E) não-existência de pólos demalha fechada positivos.
Resposta: C
68
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petroquímica Suape - 2010 - Engenheiro de Equipamentos Pleno – Ênfase
em Eletricidade - 33
Um circuito RLC série apresenta seus componentes resistor (R), capacitor
(C) e indutor (L), associados em série. A corrente elétrica que circula neste
circuito émodelada por uma equação diferencial ordinária, linear, de 2ª or-
dem e cuja equação característica, no domínio de Laplace, é,na forma pa-
ramétrica, representada por
s2 + 2ξωns+ ω
2
n
Sendo os parâmetros: ξ a razão de amortecimento e ωn a frequência natu-
ral não amortecida.
A expressão da razão de amortecimento desse circuito em função dos com-
ponentes R, L e C, é
(A) ξ = R
2
√
C
L
(B) ξ = R
√
C
L
(C) ξ = R
2
√
L
C
(D) ξ = 1
2R
√
C
L
(E) ξ = R
2
√
LC
Resposta: A
69
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petroquímica Suape - 2010 - Engenheiro de Equipamentos Pleno – Ênfase
em Eletricidade - 36
Omodelo em espaço de estados de um sistema linear é representado pela
equação

Ẋ(t) =
[
0 1
−12 −7
]
X(t) +
[
0
1
]
u(t)
y(t) =
[
4 1
]
X(t)
Ẋ(t) é a derivada em relação ao tempo do vetorX(t). Tal sistema pode se
caracterizar por ser
I - controlável.
II - observável.
III - estável.
Corresponde(m) ao sistemamodelado acima a(s) característica(s)
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Resposta: C
70
.. Controle Linear
Caiu no concurso!
Petroquímica Suape - 2010 - Engenheiro de Equipamentos Pleno – Ênfase
em Eletricidade - 41
Analise as seguintes propriedades da Transformada de Laplace:
1) Aplicada sobre uma função exponencial:
L[ke−αt] =
k
s+ α
2) Aplicada sobre a convolução de duas funções temporais, é igual ao pro-
duto das correspondentes transformadas dessas funções, no domínio de La-
place, ou seja,
L[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
Considerando dois sinais no domínio do tempo, apenas para t ≥ 0, dados
pelas funções x(t) = e−3t e y(t) = 2e−2t e sendow(t) = x(t) ∗ y(t), a ex-
pressão dew(t), para t ≥ 0, é
(A)w(t) = 2e−3t + 2e−2t
(B)w(t) = 2e−2t − 2e−3t
(C)w(t) = 2e−3t − 2e−2t
(D)w(t) = e−3t − 2e−2t
71
.. Controle Linear
(E)w(t) = 2e−3t − e−2t
Resposta: B
72