Lista de Exercícios de FEMEC 42060

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LISTA DE EXERCI´CIOS I - FEMEC 42060
Prof. Pedro Augusto
August 20, 2018
1 Informac¸o˜es gerais
• A resoluc¸a˜o da lista deve ser entregue no dia da prova 1.
• Atrasos sera˜o descontados −0,2 por dia de atrasado saturando em −1.
• Os resultados de questo˜es que envolverem simulac¸o˜es devem ser impressos e anexados a` lista
com a devida identificac¸a˜o do exerc´ıcio correspondente.
2 Exerc´ıcios
1. Teste se os sistemas mostrados abaixo sa˜o lineares.
A y(t) =
du(t)
dt
B y(t) =
1
u(t)
C Controlador industrial do tipo proporcional-integral-derivativo (PID)
u(t) = kpe(t) + ki
∫
e(t)dt + kd
de(t)
dt
em que kp, ki e kd sa˜o constantes conhecidas.
2. Desenhe o diagrama de simulac¸a˜o da equac¸a˜o abaixo:
mx¨(t) + 2c(x2(t)− 1)x˙(t) + kx(t) = 0
em que m, c e k sa˜o constantes positivas.
3. Com aux´ılio do Simulink ou outro de software de similar, simule o comportamento
do sistema apresentado no Exerc´ıcio 2 para m = 1, c = 2 e k = 10. Realize testes com as
condic¸o˜es iniciais: x(0) = 0 e x(0) = 5 mantendo x˙(0) = 0. Qual comportamento verificado
(a posic¸a˜o x converge, oscila ou diverge)? Mostre um gra´fico de x˙(t) por x(t) (Dica:
Utilize o bloco XY Graph do Simulink ou similar).
4. Resolva a seguir
A Determine a corrente de equil´ıbrio i¯ para o sistema abaixo se a tensa˜o de equil´ıbrio for v(t) =
v¯ = 0.
L
di(t)
dt
+ 10 ln (0,5i(t))− 20 = v(t) (1)
B Linearize a equac¸a˜o (1) utilizando a se´rie de Taylor em torno do ponto de equil´ıbrio (0, i¯) sendo
i¯ o valor de corrente obtido no item anterior.
1
C Compare, por meio de simulac¸o˜es, o comportamento dos sistemas na˜o linear e linearizado para
duas condic¸o˜es iniciais em torno do ponto de equil´ıbrio.
5. Considere o sistema de levitac¸a˜o magne´tica mostrado na Figura abaixo. Um mod-
elo matema´tico que descreve o comportamento desse sistema e´ apresentado na equac¸a˜o
(2).
x¨(t) = g − 1
2m
Km
i2(t)
x2(t)
(2)
sendo x a distaˆncia da esfera em relac¸a˜o a bobina e i a corrente na bobina. Os paraˆmetros
m, g e Km indicam a massa da esfera, a acelerac¸a˜o da gravidade e uma constante de forc¸a
eletromagne´tica, respectivamente.
Resolva os itens a seguir.
A Determine a relac¸a˜o entre x¯ e i¯ para que esses formem um ponto de equil´ıbrio.
B Linearize o modelo em torno do ponto de equil´ıbrio x¯ e i¯.
6. Obtenha a Transformada Inversa de Laplace para as equac¸o˜es abaixo. Sugesta˜o:
Confira seus resultados utilizando a func¸a˜o residue do Matlab ou func¸o˜es similares de
outros pacotes computacionais.
A G(s) =
5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
B F (s) =
1
(s + 1)(s + 2)
C H(s) =
5s + 2
(s + 1)(s2 + 2)
7. Resolva as equac¸o˜es diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a
respectiva inversa. Sugesta˜o: Neste exerc´ıcio atente-se para a relac¸a˜o entre a localizac¸a˜o
dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
A y¨(t) = −4y˙(t)− 3y(t) + 2r(t), para y(0) = 1, y˙(0) = 0 e r(t) = 1, t ≥ 0.
B v˙c(t) =
1
RC
(V (t)− vc(t)), supondo condic¸o˜es iniciais nulas e para V (t) = A, t ≥ 0.
C 2x¨(t) + 7x˙(t) + 3x(t) = 0, com x(0) = 3 e x˙ = 0
D x¨(t) + 3x˙(t) + 6x(t) = 0, com x(0) = 0 e x˙(0) = 3.
8. Quando adequado, aplique o Teorema do Valor Final nas Transformadas obtidas
ao longo da resoluc¸a˜o do item anterior e compare com o valor da func¸a˜o em regime
estaciona´rio (t→∞).
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