Integrais e cálculo de área e volume

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Integral Indefinida
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I se x I, temos F´(x) = f(x).
Exemplo: 
A função F(x) = x2 é uma primitiva de f(x) = 2x x IR, pois F´(x) = (x2)´= 2x x IR
A função Fx) = é uma primitiva de f(x) = x2 x IR, pois F´(x) = .3x2 = x2 = f(x)
A função G(x) = + 4, H(x) = (x3 + 3) são primitivas de f(x) = x2 x IR, pois G´(x) = H´(x) = x2 = f(x)
A função F(x) = cos x é uma primitiva de f(x) = sen x x IR, pois F´(x) = (cos x)´= sen x x IR
Como a derivada de uma constante C é sempre zero, se F(x) é primitiva de f(x) então F(x) + C também é uma primitiva de f(x).
Por exemplo: a função F(x) = X2 + 2 é uma primitiva de f(x) = 2x e a função F(x) = x2 + 5 também é primitiva da mesma função f(x) = 2x x IR
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x), indicada pela notação f(x) dx = F(x) + C
Exemplos:
	Função
	Primitiva
	Integral 
indefinida
	f(x)
	F(x)
	F(x) + C
	K
	Kx
	Kx + C
	X
	
	 + C
	X2
	
	 + C
	Xn
	
	 + C
Propriedades da Integral indefinida
K f(x) dx = K f(x) dx
 (f(x) + g(x))dx = f(x) dx + g(x) dx
Exemplos:
 x2 dx = + C
 (x3 + x4) dx = x3 dx + x4 dx = + C
 (x5 + x2 + 4) dx = x5 dx + x2 dx + 4 dx = + C
 5x3 dx = 5 x3 dx = + C
 (6x2 + 3x) dx = 6x2 dx + 3x dx = 6 x2 dx + 3 x dx = + C
 ( dx = dx + dx + 4x dx = x6 dx + x2 dx + 4 x dx =
 . + . + + C
Exercícios em sala:
 ( dx
 ( dx
 ( dx
 (x3 + x2 + x + 1) dx
 dx
 (dx
Integrais de funções usuais
 = + C
 dx = + C ( n -1)
Exemplos:
 dx = = + C
 dx = dx = + C = + C = + C
 dx = x-2 dx = + C = + C = - + C
 dx = dx = + C = + C = + C = 2 + C
 ex dx = ex + C
 ax dx = + C
Exemplos: 
 2x dx = + C
dx = + C 
 eu(x) u’(x) dx = eu(x) + C
Exemplos:
 2 e2x dx = 2 e2x . 2 dx = e2x + C
 e4x dx = e4x. 4 dx = e4x + C
 e-x dx = e-x . -1 dx = - e-x + C
 dx = dx = 2 + C
 xdx = x dx = + C
 u(x)n u’(x) dx = + C
Exemplos:
 (x2 + 1)4 2x dx = 2x (x2 + 1)4 . 2x dx = + C = + C
 (x3 + 4)3 x2 dx = x2 (x3 + 4)3 . 3x2 dx = + C = (x3+ 4)4 + C
 dx = ln l u(x) l + C
Exemplos:
 dx = ln l x + 1 l + C
 dx 
u(x) = x2 + 4 u’(x) = 2x 
 dx = ln l x2 + 4 l + C
 dx
u(x) = x3 + 5 u’(x) = 3x2
 dx = ln l x3 + 5l + C
 dx
u(x) = 1 – x2 u’(x) = -2x 
 dx = - ln l 1 – x2l + C
 dx
u(x) = x2 – 4x + 1 u’(x) = 2x – 4 = 2(x - 2)
 dx = ln l x2 – 4x + 1l + C
 au(X) u’(x) dx = + C 
Exemplos:
 dx = dx = + C 
 dx = dx = + C 
 dx = = - + C
Exercícios de funções usuais em sala de aula
Integrais do tipo dx
 Integral
 dx
 10 dx
 dx
 (x4 – x-3) dx
 dx
Integrais do tipo ax dx
 5x dx
 4.10x dx
 dx
 - dx
Integrais do tipo eu(x) u’(x) dx
 e10x dx
 e-3x dx
 xdx
 (x + 1) 
 dx
Integrais do tipo u(x)n u’(x) dx
 x3(x4 + 1)5 dx
 (x3 - 1)4 x2dx
 dx
 (4x2 – 4x + 1)5 (4x – 2) dx
 dx
 10(e-x + 5)4 e-xdx
Integrais do tipo dx
 dx
 dx
 dx
 dx
 dx
Integrais do tipo au(X) u’(x) dx
 32x dx
 xdx
 dx
 dx
Tabela de Integrais imediatas
 du = u + c 
 = ln u + c
 du = + c 
au du = + c 
eu du = eu + c
 sen u du = -cos u + c
 cos u du = sen u + c
 sec2 u du = tg u + c
 cosec2 u du = -cotg u + c
 sec u.tg u du = sec u + c
 cosec u.cotg u du = -cosec u + c
 = arc sen u + c
 = arc tg u + c
 = arc sec u + c
 senh u du = cosh u + c
 cosh u du = senh u + c
 sech2 u du = tgh u + c
 cosech2 u du = -cotgh u + c
 sech u.tgh u du = -sech u + c
 cosec u.cotg u du = -cosec u + c
 = arg senh u + c = ln u + + c
 = arg cosh u + c = ln u + + c
 = = 
 = - arg cosech u + c
 = - arg sech u + c
Outros exemplos:
 x5 dx
= 
(4x3 – 3x2 + 1) dx
= x4 – x3 + x + C
 dx
= 
= + c = 2x1/2 + c = 2
= 3x2 dx + 5dx + x1/2 dx
= 3
= x3 +5x + x3/2 + c
(3sec x . tg x + cosec2x) dx
= 3secx . tg x dx + cosec2x dx 
= 3sec x – cotg x + c 
= 
= tg x . sec x dx = sec x + c
= x2/3 + 1/3dx/x
= 
= 
 dx
= dx
= 
= 3 + 4 dx
= 
= 
 
= 2cos x dx + x-1/2 dx 
= 2 sen x + + c
= 2sen x + 2 + c
 
= 2ex dx - secx . tg x dx + 2 x-7 dx
= 2ex – sec x - 
 
Fazendo u = 1 + x2 . Logo, du = 2xdx
 = 
= ln u + c
= ln (1 + x2) + c.
dx
Fazendo u = 3x + 7, temos du = 3dx
dx = 
= = . + C
= + C
 sen2x cos x dx
Fazendo u = sen x, então du = cos x dx
 sen2x cos x dx = u2 du
= + c
= 
 sen (x + 7) dx 
Fazendo u = x + 7, então du = dx. Logo, 
 sen (x + 7) dx = sen u du
= cos u + c = cos (x + 7) + c
 tg x dx = 
Fazendo u = cos x, então du = - sem x dx e sem x dx = du. Assim, 
 tg x dx = 
= -ln u + c
= -ln cos x + c
 
Fazendo u = 3x – 5, então du = 3 dx ou dx = . Assim, 
 = 
= 
= 
= c.
 (x + sec2 3x)dx 
= xdx + sec2 3x dx
= + sec2 3x dx 	(1)
Substituindo 3x = u, tem-se du = 3dx ou dx = 1/3 du. Assim,
 sec2 3x dx = sec2 u. = sec2 u du
= tg u + c = tg 3x + c
Substituindo em (1)
 (x + sec2 3x)dx = + tg 3x + c
Para resolver essa integral devemos completar o quadrado do denominador:
 X2 + 6x + 13 = x2 + 2.3x + 9 – 9 + 13 = (x + 3)2 + 4
 Portanto,
 = 
Fazendo u = x + 3, du = dx
 = = 
= 
 dt
= dt = t dt
Fazendo u = 1 – 2t2, du = - 4t dt, dt = du/-4t
Logo, 
 dt = u1/2. = u1/2 du
= 
= 
 
Método de integração por partes
Em geral usamos integração por partes para integrar produto de funções quando o método de integração por substituição simples não se aplica.
Pela regra de derivação do produto de duas funções, u = u(x) e v = v(x), temos:
(uv)’ = u’v + uv’ ou
Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
u(x).v(x)= u’(x).v(x) dx + u(x).v’(x)dx ou ainda
 u.v’ = uv - v.u’	
A escolha de u e dv deve ser feita de forma conveniente. Não escolha para u o argumento de uma função, expoentes, denominadores, etc.
Exemplos:
 xex dx
u = x; dv = ex 
du = dx; v = ex
x.ex dx = xex - exdx
= xex – ex + C = ex(x – 1) + C.
x cos x dx
u = x; dv = cos x dx
du = dx; v = cos dx = sen x
x cos x dx = x.sen x - sen x dx
= x sen x + cos x + C
 ln x dx
u = ln x; dv = dx
du = ; v = x
 ln x dx = x. ln x - = xln x – x + C
 x2 sen x dx
u = x2 ; dv = sen x dx
du = 2x; v = -cos x
 x2 sen x dx = x2. (-cos x) - (-cos x) 2x dx = -x2.cos x + 2 x cos x dx 
A integral 2 x cos x dx deve ser também ser resolvida por partes e o seu resultado pode ser observado no exemplo b. Logo:
 x2 sen x dx = -x2.cos x + 2 [x sen x + cos x] + C
= -x2.cos x + 2x sen x + 2cos x + C
 e2x sen x dx
u = e2x; dv = senx dx
du = 2e2x; v = -cos x 
 e2x sen x dx = e2x (-cos x) - (-cos x).2e2x dx = -e2xcos x + 2 e2x cos x. dx
Integrando e2x cos x. dx por partes
u = e2x 	dv = cosx dx
du = 2e2x v = sen x 
 e2x cos x. dx = e2x sen x - 2e2x sen x dx. 
Logo,
 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2e2x cos x - 4e2x sen x dx		(1)
Observamos que a integral do 2º membro é exatamente igual a integral a ser calculada. Somando 4e2x sen x dx a ambos os lados da equação (1), vem:
5 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2e2x cos x. Assim
 e2x sen x dx = (-e2x cos x + 2e2x cos x) + C.
 sen3 x dx
u = sen2 x		du = 2senx cosx dx
dv = senx dx	v = senx dx = - cosx
logo:
 senx dx = sen2 x. (-cosx) - -cosx. 2senx cosx dx
= -sen2 x cosx + 2 cos2 x senx dx
= -sen2x cosx - 2
Exercícios
 10 dx
 dx
 4/9 dx
 x dx
 x (1 + x3 )dx
 (1 – x ) dx
 (x4 – x3 + 1) dx
 dx
 dx
 dx
 dx
 dx
 dx
 (2/x + 3ex)dx
 (x2/3 - 4x-1/3+ 4)dx
 dx
 dx
 dx
 dx
 dx
 e-10x dx
 dx
 dx
 ( ) dx
 ( ) dx
 dx 
 tg x dx
 dx 
 x dx
 dx
 ( ) dx
 dx
 dx
 5xdx
 dx
 dx
 dx
 tg4x dx
 dx
 dx
 x dx
 x dx
 (x10 – x5 + 4)3 (2x9 – x4) dx 
 2x (1 + 3x)6 dx
3cos(3x + 1) dx
 
 dx
 
 dx
 sen4x cos x dx
 tg x sec2 x dx
 t cos t2 dt
 sec2 (5x + 3) dx
 dx
 
 x e-x dx
 x 2-x dx
 x sen5xdx
 dx
 x2 e3x dx
 x2 ln x dx
 x ln3x dx
 e2x senx dx 
 x5 dx
 cos3x dx
 xcosec2x dx
e3x cos4x dx
Respostas
10x + C
x + C
4x2/18 + C
+ C
x2/2 + x5/5+ C
x – x2/2 + C
x5/5 + x4/4 + x + C
x4/12 – 2x3/15 + 2x2 + x + C
8x5/8/5 + C
5x6/5/6 + C 
 + C
 + C
) + C
 + C
 - 3x+ C
 + C
 + C
3arc sen x + C
 + C
 + C
+ C
 + C
+ C
 + C
 + C
 + C
 + C
+ C
 + C
10arc tg x + C
x + tgx + C
-2cosecx + C
 + C
 + C
 + C
 tgx + C
 2arc tg + C
 + C
 + C
 + C
 + C
-+ C
 + C
sen(3x + 1) + C
 + C
 + C
 + C
 + C
 + C
 + C
 + C
+ C
 + C
 + C
 + C
 + C
2 + C
 + C
+ C
 + C
 + C
 + C
 + C
–xcotgx + ln + C
 + C
Área
Para definir a área de uma figura plana dividimos a figura em polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos métodos da geometria elementar.
Por exemplo: definir a área S da região plana na figura a seguir: 
		 Y
		
				 y =f(x)
S
		 a		 b		X
Dividimos o intervalo [a, b] em n sub intervalos, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
O comprimento de cada retângulo é x = xi – xi-1 e sua altura igual a f(ci)
		 Y
		
				 					y =f(x)
		 x0 = a c1 x1 c2 x2 c3 x3 c4 x4 c5 x5 c6 x6 ...	xn = b		X
A soma das áreas dos n retângulos é dada por Sn = f(c1)1 + f(c2)2 + ... + f(cn)n = 
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).
Podemos observar que conforme n cresce a soma das áreas retangulares aproxima-se da área de S. 
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área sob a curva y = f(x) de a até b é definida por:
	A = 
Integral definida
Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f de a até b, denotada por é dada por
 = 
Quando a função é contínua e não negativa em [a, b], a definição de integral coincide com a definição da área. Portanto, nesse caso a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de a até b.
Propriedades da integral definida
 = k 
 = 
Se a < c < b e f é integrável em [a, c] e em [c, b] então f é integrável e [a, b] e
 = 
Teorema fundamental do cálculo integral
O teorema fundamental do Cálculo permite relacionar as operações de derivação e integração. Isto é, conhecendo uma primitiva de uma função contínua f:[a, b] => IR, podemos calcular sua integral definida . 
Se P é uma partição definida pelos pontos a = x0 < x 1< x2 <...< xn = b, podemos escrever a diferença F(b) – F(a) = [F(b = xn) - F(xn-1)] + [F(xn-1) - F(xn-2)]+ ... + [F(x1) - F(x0=a)], uma vez que os termos intermediários se anulam.
Como F é contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, o mesmo acontece em cada um dos intervalos parciais definidos pela repartição. O Teorema do Valor Médio do cálculo diferencial assegura-nos, nessas condições, que em cada um desses intervalos parciais existe um ponto , tal que:
F(xi) – F(xi-1) = F’(ci).xi ou F(b) – F(a) = i, pois F é a primitiva de f.
Podemos escrever, então que F(xi) – F(xi-1) = f().xi .
Se o limite dessa soma quando n e max xi for um número real, ele será a integral definida de f sobre [a, b] e podemos concluir que:
			 F(a) – F(b),
onde F é a primitiva qualquer de f em [a, b].
Exemplos:
Calcular as integrais definidas:
Devemos procurar uma primitiva de y = x no intervalo [1, 3].
 = + C e podemos escolher a primitiva F(x) = .
Para x = 3, F(3) = 
Para x = 1, F(1) = 
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos escrever:
 =F(3) – F(1), ou seja
 = = 
=4.
 
Devemos procurar uma primitiva de y = cos t no intervalo [0, ].
 e podemos escolher a primitiva F(x) = sen t .
Para x = , F() = 
Para x = 0, F(1) = 
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos escrever:
= F() – F(0) = 1 – 0 = 1
 = 1
= 
= + 
= +(1 – 0) = -1/12.
 sendo f(x) = 
Temos x = 
	 	
 Y
					X
	 -1		 2 3
Logo,
 = + 
 + + 
+
 sendo f(x) = 
 Y 
 	 
	 -1	 1	 2 3	X
 = + 
 
Cálculo de áreas
Caso 1: Cálculo de área delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x) ≥ 0, x[a, b].
		 Y
		
				 y =f(x)
		 a		 b		X
						
A = 
Exemplo: 
Qual a área limitada pela curva y = 4 – x2 e o eixo dos x.
A curva y = 4 – x2 intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissa -2 e 2
		 	 Y
		
		
		 
						X
		 -2		 2
 No intervalo [-2, 2], y = 4 – x2 ≥ 0. Assim, a área procurada é a área sob o gráfico de y = 4 – x2 de -2 até 2.
A = 
= [(8 – 8/3) - 
Caso 2: Cálculo de área delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x) ≤ 0, x[a, b].
		 	Y
		 a		 b
				 	X
	 y =f(x)	
A = 
Exemplos:
Qual a área limitada pela curva y = -4 + x2 e o eixo dos x.
A curva y = x2 - 4 intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissa -2 e 2
		 	 Y
		
		-2		 2		
		 			 X
						
			 -4
No intervalo [-2, 2], y = 4 – x2 ≤ 0. 
Assim, a área procurada é a área sob o gráfico de y = x2 - 4 de -2 até 2.
A = 
= 
Encontre a área marcada na figura a seguir, limitada pela curva y = sen x e pelo eixo dos x de 0 até 2.
Dividimos a área em duas sub-regiões, S1 e S2
		 Y
		S1
		
		 
 0 2		X 
S2
No intervalo [0, ], y = sen x ≥ 0 e no intervalo [, 2], y = sen x ≤ 0. Logo, se A1 é a área de S1 e A2 a área de S2, temos:
A = A1 + A2
A = 
= + -cosx 
= -cos + cos0 + -cos2 + cos 
= -(-1) + 1 + -1 + (-1)
= 4
Caso 3: Cálculo de área delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x) ≥ 0, x[a, b].
Nesse caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos para todo x [a, b].
		 Y
		
				 y =f(x)
				 y = g(x)
		 a		 b		X
A área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g:
A = = 
O mesmo resultado pode ocorrer deslocando as curvas para baixo:
 		 Y		
 				 y =f(x)
				 
		 a		 b		X
 y = g(x)
Exemplos:
Encontre a área limitada por y = x2 e y = x + 2.
As curvas interceptam-se nos pontos de abcissa -1 e 2. Nesse intervalo temos x + 2 ≥ x2.
Logo:
A = 
= 
= 9/2.	
	 
Y
						
4		 
			
X 						
 -1	 1	2	
		
Encontre a área limitada pelas curvas y = x3 e y = x
As curvas intercepam-se nos pontos de abcissa -1, 0 e 1. No intervalo [-1, 0], x < x3 e, no intervalo [0, 1], x> x3.
Logo:
			 Y
	 -1				1
					 X
			 -1
A = 
= 
= ½.
Encontre a área delimitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x + 1.
As curvas interceptam-se nos pontos de abcissa -1 e 2.
		 	 Y
						
		 
 -1 		2	 X 
No intervalo [-1, 2], x + 1 ≥ x2 -1. Logo:
A = 
= 
= 
= 9/2.
Encontre a área da região sombreada, limitada pelas curvas y – x = 6, y – x3 = 0 e 2y + x = 0 
Devemos dividir a região em duas sub-regiões: 1 e 2
 Y 
		 	 	 Y = 6 + x
						
		 2I 1
I 1
 -4 	 2	 X 
				 Y = - x/2
Caso 4: Cálculo de área de região que se estende indefinidamente para direita ou esquerda (Integrais impróprias com limite de integração infinitos).
Em várias aplicações devemos considerar a área de uma região que se estende indefinidamente para direita ou para esquerda do eixo dos x. Se o limite existir, a integral imprópria é dita convergente, caso contrário é dita divergente.
Calcular a área da curva y = à direita de x = ½.
 Y
 
 4
		 X
		0,5
I = 
I = 
I = 
I = 2
Logo, a integral I converge e a área procurada é dada por A = 2 u.a.
Calcule, se convergir, a integral I =
 = 
 
A integralconverge.
		 Y
	-2 -1	 1	2	 X
Calcule, se convergir, I = 
I = =
I = arc tg + arc tg 
I = ( 0 - arc tg + ( arc tg b – 0)
I = (-( . 
I = 
A integral converge.
Verificar se a integral imprópria I = dx converge ou diverge.
 I = 
I = 
I = 
I = + 
A integral imprópria diverge. Logo, não será possível encontrar um número finito que represente a área da região representada pela curva y = x ≥ 1.
Volume de um sólido de revolução
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido que é chamado sólido de revolução.
Por exemplo, fazendo a região limitada pela curva y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone.
 Y 			
 
 4
 y=x
	 4	 x
 
 Y 
	 y=x
			 x
Obtemos um cilindro, se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y.
 Y								y
 3								
 
	 1	X						 1	 X
 
Seja y = f(x) uma função não negativa em [a, b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x, é definido por V = dx (1).
		 Y
		
				 y =f(x)
R
		 a		 b		X
A soma que aparece em (1) é uma soma de Riemann da função [f(x)]2. Como f é contínua e o limite existe, então pela definição de integral definida, temos:
		V = dx
Fórmula generalizada para outras situações:
Rotação em torno do eixo dos x de uma figura entre duas funções:
		 V = 
		
 		 Y
				 y =f(x)
			y = g(x)
		 
 a		 b	X
Rotação em torno do eixo dos y de uma região R:V = 
		 Y
				 y =f(x)
			y = g(x)
		 
 	 a 		 b	X
Rotação ao redor de uma reta paralela ao eixo dos x.V = 
		 Y
				 y =f(x)
			y = g(x)		 L
		 
 a		 b	X
Rotação ao redor de uma reta paralela ao eixo dos y.
V = 
		 Y M
				 y =f(x)
			y = g(x)
		 
 a		 b	X
Rotação ao redor dos eixos dos x de uma função negativa em alguns pontos de [a, b]V = 
		 Y
				 y =f(x)
	 a 		 b	 X
Exemplos
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela curva y = , o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4 em torno do eixo dos x.
 y
	y = 
 1 		 4	 X
 y
	
 			 X
V = 
V = dx = . 
= = unidades de volume (u.v)
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola y = e pela reta y = 
Os pontos de intersecção da reta com a curva pode ser encontrados igualando as respectivas equações, resultando em x’ = 1 e x’’ = -3
V = 
V = 
V = 
V = 
V = 
V = 
V = = 24,05 u.v.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico da função x = sen x e o eixo dos x, de até 
 y
	 -/2		 3/2
 0	 			x
V = 
V = 
V = 
V = 
V = 
V = 
V = u.v.
A região limitada pela parábola cúbica = x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
 Y						y
 8
			x = 
 
		 2	 x		 					x
V = 
V = 
V = 
V = 
V = u.v.
Determinar o volume do sólido de revolução delimitado pela parábola x = 
e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 em torno da reta x = -1.
	Y
Y = 4				 L
	 y = 
 1/4	 4		 X
		 
V = 
V = 
V = 
V = 
V = u.v.
Uma região delimitada pela parábola x = e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em torno da reta x = - 1. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
Y
 x = -1
			 X
 		-2
 x = -1	Y
V = 
V = 
V = 
V = 
V = 
V = u.v.
Exercícios
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
y = x + 1, x = 0, x = 2 e y = 0 ao redor do eixo dos x.
y = ln x, y = -1, y = 2 e x = 0 em torno do eixo dos y.
y = x2 e y = x3 ao redor do eixo dos x.
x = y2 + 1, x = , y = -2 e y = 2 ao redor do eixo dos y.
y = 2x2, x = 1, x = 2 e y = 2 ao redor do eixo y = 2.
Y = e y = 4 ao redor dos eixos x = -9, y = 0 e x = 0.
Y2 = 16x e y = 4x ao redor do eixo dos x.
Y = cos x, y = sem x, x = 0 e x = ao redor do eixo dos x.
Y = , x = 0, y = e y = 4 ao redor do eixo dos y.
Y = cos x, y = -2, x = 0 e x = 2 ao redor da reta y = -2.