PINOTTI_PROVA3_MECFLU10_UFMG

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Versão Novembro 2014
MecFlu9_UFMG
Considere estas Notas de Aula como um roteiro para estudo e acompanhamento das aulas de Mecânica 
dos Fluidos. O uso do livro texto é imprescindível para o aprendizado (conceitos, demonstrações e 
exercícios). Lembre-se de que estas Notas de Aula não substituem o livro texto. 
Ao longo do curso, serão valorizados exemplos práticos e os alunos serão estimulados a lerem artigos e 
textos adicionais, além do livro texto recomendado. Serão exploradas diversas aplicações da engenharia. 
Esta versão de 2014 traz um novo método intuitivo de aprendizado de Mecânica dos Fluidos. Os conceitos 
fundamentais serão apresentados e discutidos por meio das Notas de Aula, mas, no entanto, o conteúdo 
programático será estudado para a compreensão de dispositivos e equipamentos selecionados para 
auxiliar na tarefa didática. Procedendo desta forma, evita-se expor um conteúdo teórico aos alunos para 
depois encontrar exemplos práticos onde o conceito e/ou formulação se aplicam. No método intuitivo, que 
vamos trabalhar aqui, será apresentado um objeto, dispositivo ou equipamento e ao apresentar suas 
características e funcionamento, os conceitos e formulações da Mecânica dos Fluidos serão apresentados 
e estudados. Gostaria, assim, de dar chance aos alunos de Mecânica dos Fluidos de primeiro se 
aventurarem a elaborar hipóteses e buscar novos conhecimentos para compreenderem o funcionamento 
dos objetos a serem apresentados para somente depois ter os conceitos pertinentes devidamente 
formalizados. Neste contexto, vamos utilizar o Mapa de Aplicações e as Notas de Aula para este 
propósito. 
As imagens destas Notas de Aulas vieram de duas fontes: 
1. Elaboradas pelo autor e sua equipe (principalmente pela designer Cecília Berger e pela Maria 
Aparecida Fernandes); 
2.Capturadas da Internet.
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Prof. Pinotti
Este arquivo é distribuído aos alunos da disciplina de Mecânica dos Fluidos do Curso de Graduação em 
Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas Gerais e não possui nenhuma finalidade 
comercial. 
O uso das imagens (elaboradas pelo autor e sua equipe) e do texto deste arquivo está autorizado desde 
que seja citada a fonte: 
“Pinotti, M. Notas de Aula de Mecânica dos Fluidos. Universidade Federal de Minas Gerais, 2014. 
MecFlu10_UFMG.pdf (consultado em: data da consulta). 
Em uma recente pesquisa no Google, encontrei versões mais antigas destas Notas de Aulas espalhadas 
em servidores das mais variadas instituições e universidades, de grupos de aerodesign a Petrobras. Isto 
significa que as informações aqui organizadas foram úteis a estudantes e profissionais. Além disso, já 
recebi mais de uma centena de emails de leitores espalhados pelo Brasil elogiando estas páginas. Isto me 
deixa muito feliz e aumenta minha responsabilidade na elaboração da versão 2014. Críticas e sugestões 
são sempre úteis para a contínua melhoria deste texto e devem ser endereçadas para o email do autor: 
pinotti@ufmg.br. Muito obrigado. 
Prof. Marcos Pinotti Barbosa 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Escola de Engenharia - Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
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Prof. Pinotti
Força de Arrasto sobre uma Esfera Lisa
F = f ρ,V ,D,µ( ) n = 5 r = 3
Π1 =
F
ρV 2D2 Π2 =
µ
ρVD
F
ρV 2D2 = f
ρVD
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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Prof. Pinotti
Exemplo 7.4 Fox MacDonald 7a Ed.
O arrasto de um transdutor de sonar deve ser previsto com base em testes em 
túnel de vento. O protótipo, uma esfera de 1 pé de diâmetro, deve ser 
rebocado a 5 nós (milhas náuticas por hora) na água do mar a 40o F. O 
modelo tem 6 polegadas de diâmetro. Determine a velocidade de teste 
requerida no ar. Se a força de arrasto sobre o modelo nas condições de teste 
for 0,6 lbf, estime a força de arrasto sobre o protótipo.
Remod = Re prot
F
ρV 2D2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ mod
=
F
ρV 2D2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ prot
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Análise Dimensional e Semelhança 23 
Semelhança Incompleta 
Disponível no Livro Fox & MacDonald (5ª Ed.). 
 
Semelhança Incompleta entre o Modelo e o Protótipo de uma fragata 
 
Os testes em um modelo de navio, em escala 1:80, indicaram que o 
escoamento apresentou-se laminar (deveria ser turbulento). Isto 
ocorreu porque não foi possível atender a igualdade do número de 
Reynolds (situação do problema 1, discutido anteriormente). O fato 
da não coincidência dos regimes de escoamento faz com que haja 
uma grande discrepância das espessuras das camadas limite e, por 
conseqüência, do coeficiente de arrasto hidrodinâmico. Para que fosse 
possível a estimativa da resistência viscosa, a partir do Modelo, foi 
necessário o uso de um artifício. 
 
Da teoria da Camada Limite, estimou-se a espessura da camada 
limite ao longo do casco do navio (Protótipo). Considerando-se a 
redução da escala, estimou-se a espessura da camada limite no 
Modelo. Como o escoamento no Modelo era laminar, perturbou-se a 
camada limite de forma a atingir a espessura que garantisse 
similaridade geométrica com o Protótipo. Esta perturbação foi 
realizada acrescentando-se protuberâncias ao longo do Modelo. 
Ao assumir que existe semelhança dinâmica quando há semelhança 
geométrica entre a espessura da camada limite do Modelo e do 
Protótipo, foi possível estimar o coeficiente de arrasto hidrodinâmico 
do navio em estudo. 
 
Para se avaliar o impacto do regime de escoamento no coeficiente de 
arrasto hidrodinâmico, observe os dados obtidos a partir do modelo 
com a camada limite não perturbada (à esquerda) e com a camada 
limite perturbada (à direita). 
 
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Análise Dimensional e Semelhança 24 
 
 
Camada limite perturbada 
 
Camada limite não perturbada 
 
 
 
 
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Resistência ao Escoamento em Navios 
 
A partir da análise dimensional e considerando algumas 
simplificações, a resistência ao escoamento de um navio na água é 
dada por: 
 
� �FrfluF Re,... 22�� 
Onde � é a massa específica da água [kg.m-3], é a velocidade de 
deslocamento do navio [m.s
u
-1], é o comprimento do navio na linha 
de água [m], Re é o número de Reynolds e 
l
Fr é o número de 
Froude. 
 
A semelhança das forças viscosas (representadas pelo Re) e a 
semelhança das forças de gravidade (representadas por Fr) não 
podem ser observadas de forma simultânea. Portanto, faz-se a 
suposição de que a resistência ao escoamento de um navio é a soma 
de três parcelas distintas: 
 
a) Resistência devido à geração de ondas; 
b) Arrasto viscoso; 
c) Arrasto devido à formação de turbilhões. 
 
Admite-se que a parcela (a) não é influenciada pela viscosidade 
(independe de Re). A parcela (c) não é simples de se avaliar, mas 
sabe-se que possui pouca influência de Re. Portanto, aglutinam-se as 
parcelas (a) e (c). 
 
Desta forma, é a soma de duas funções, uma dependente de 
Reynolds e outra dependente de Froude: 
F
)((Re) 21 FrffF �� 
Onde é a força de arrasto viscoso e é chamada de 
resistência residual. 
1f 2f
 
Análise Dimensional e Semelhança 25 
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Resistência ao Escoamento em Navios 
 
A partir da análise dimensional e considerando algumas 
simplificações, a resistência ao escoamento de um navio na água é 
dada por: 
 
� �FrfluF Re,... 22�� 
Onde � é a massa específica da água [kg.m-3], é a velocidade de 
deslocamento do navio [m.s
u
-1], é o comprimento do navio na linha 
de água [m], Re é o número de Reynolds e 
l
Fr é o número de 
Froude. 
 
A semelhança das forças viscosas (representadas pelo Re) e a 
semelhança das forças de gravidade (representadas por Fr) não 
podem ser observadas de forma simultânea. Portanto, faz-se a 
suposição de que a resistência ao escoamento de um navio é a soma 
de três parcelas distintas: 
 
a) Resistência devido à geração de ondas; 
b) Arrasto viscoso; 
c) Arrastodevido à formação de turbilhões. 
 
Admite-se que a parcela (a) não é influenciada pela viscosidade 
(independe de Re). A parcela (c) não é simples de se avaliar, mas 
sabe-se que possui pouca influência de Re. Portanto, aglutinam-se as 
parcelas (a) e (c). 
 
Desta forma, é a soma de duas funções, uma dependente de 
Reynolds e outra dependente de Froude: 
F
)((Re) 21 FrffF �� 
Onde é a força de arrasto viscoso e é chamada de 
resistência residual. 
1f 2f
 
Análise Dimensional e Semelhança 25 
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Exercício Proposto
 
Um navio com 125 m de comprimento (na linha de água) e com uma 
área molhada de 3500 m2, vai ser arrastado em água salgada à 
velocidade de 10 m/s. Um modelo em escala de 1:25 vai ser 
ensaiado para determinar a resistência ao movimento. A resistência 
total do Modelo (em água doce) é 54,2 N. Determinar a resistência 
total no protótipo. 
 
Dados: 
 
FV CAuF ...2
1 2��1. Força de Arrasto Viscoso: 
Onde é o coeficiente de arrasto viscoso, definido por: FC
� �210 2Relog
075,0
�
�FC 
 
2. Viscosidade cinemática da água doce: � =1,235x10-6 2 m s-1
-3� Massa Específica da água doce: =1000 kg.m
 
3. Viscosidade cinemática da água salgada: � =1,188x10-6 2 m s-1
 Massa Específica da água salgada: � =1025 kg.m-3
 
 
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