Hidrodinâmica: Conceitos e Equações

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ENG662 – HIDRÁULICA 
 
APOSTILA: 
 
HIDRODINÂMICA 
 
 
CAPÍTULO: HIDRODINÂMICA 
 
1.CONCEITO: 
 
Na hidrodinâmica são estudadas as leis que regem o comportamento dos líquidos em 
movimento. 
 
2.VAZÃO: 
 
A vazão é representada pelo volume de líquido que atravessa uma determinada seção 
transversal na unidade de tempo. O volume de líquido dVol, que num tempo dt 
atravessa uma seção A normal à direção da corrente, é igual ao volume gerado pelo 
deslocamento ds de A, durante o tempo dt (vide figura abaixo). 
 
 
dVol = A.ds 01 
 
Se dividirmos os termos da expressão acima por dt, teremos: 
 
dVol/dt = A.ds/dt 02 
 
 Hidrodinâmica _ 
 2 
Analisando os termos da equação anterior, chegaremos as seguintes conclusões óbvias: 
 
dVol/dt = Q (Q = vazão ou descarga de líquido). 03 
 
ds/dt = V ( V = velocidade de escoamento do líquido ). 04 
 
Substituindo os termos 03 e 04 na equação 02, anterior, teremos: 
 
 Q = A.V 05 
 
Onde: 
Q = Vazão ou descarga do líquido, em m³/s. 
A = Área da seção transversal ao escoamento do líquido, em m². 
V = Velocidade de escoamento do líquido, em m/s. 
 
No SI de medidas, a vazão é expressa em m³/s. Também são utilizadas m³/dia; m³/h; 
l/dia; l/h e l/s. 
 
Quadro 01. Equivalência entre as principais unidades de vazão 
UNIDADE m³/s m³/h m³/dia l/s l/h l/dia 
1 m³/s = 1 3.600 86.400 1.000 3.600.000 86.400.000 
1 m³/h = 1/3.600 1 24 1/3,6 1.000 24.000 
1 m³/dia = 1/86.400 1/24 1 1/86,4 1/ 0,024 1.000 
1 l/s = 0,001 3,6 86,4 1 3.600 86.400 
1 l/h = 1/3.600.000 0.001 0,024 1/3.600 1 24 
1 l/dia = 1/86.400.000 1/24.000 0,001 1/86.400 1/24 1 
 
Para os condutos forçados, no qual se utiliza os tubos de seção circular, teremos: 
 
 Q = _π. D² . V 06 
 4 
 
Onde: 
D = Diâmetro interno do tubo, em m. 
 
Da expressão 06, acima, ainda teremos as expressões que determinam a velocidade de 
escoamento dos líquidos e o diâmetro interno do tubo. Expressões muito utilizadas nos 
dimensionamentos hidráulicos: 
 
 V = 4.Q 07 
 π .D² 
 
 D = 
V
Q
.
.2

 08 
 
EXERCÍCIO 01. Calcular a vazão de água que circula à velocidade de 2,0 m/s por um 
tubo de 50 mm de diâmetro. Responder em todas as unidades de vazão 
 
 Hidrodinâmica _ 
 3 
EXERCÍCIO 02. Um conduto de 100 mm de diâmetro tem descarga de 6,0 l/s. Qual a 
velocidade média de escoamento do líquido? 
 
EXERCÍCIO 03. Encontrar o diâmetro de uma canalização para conduzir uma vazão 
de 100,0 l/s, com velocidade média de escoamento do líquido em seu interior de 2,0 
m/s. 
 
3.EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: 
 
Consideremos o seguinte trecho da tubulação: 
 
 
 
Onde: 
 
V1 = velocidade na seção 1, em m/s. 
V2 = velocidade na seção 2, em m/s. 
A1 = Área da seção 1, em m². 
A2 = Área da seção 2, em m². 
 
Adotando-se o princípio de conservação de massas, a massa de líquido que entra na 
seção 1 será igual à massa de líquido que sai da seção 2, ou seja: 
 
 Qm1 = Qm2 09 
 
Se tivermos um líquido incompressível a vazão em massa (Qm) é igual à vazão 
volumétrica (Q). Assim: 
 
 Q1 = Q2 10 
 
Como: 
 
 Q1 = A1.V1 e Q2 = A2.V2 11 
 
Substituindo na equação 10 acima, teremos: 
 
 A1.V1 = A2.V2 12 
 
Esta é a Equação da Continuidade para líquidos incompressíveis, sendo válida para 
qualquer seção de escoamento. 
Em se tratando de tubos, cuja seção é circular, teremos: 
 
 π.D1
2
.V1 = π.D2
2
.V2 13 
 4 4 
 
Procedendo às devidas simplificações, obteremos: 
 Hidrodinâmica _ 
 4 
 
 D1
2
.V1 = D2
2
.V2 14 
 
Pelas equações acima (12 e 14) nota-se que para uma determinada vazão escoando 
através de uma tubulação, uma redução de área ou de diâmetro, acarretará em um 
aumento de velocidade e vice-versa. 
 
Onde: 
 
D1 = Diâmetro interno do tubo na seção 1, em m. 
D2 = Diâmetro interno do tubo na seção 2, em m. 
 
EXERCÍCIO 04. Uma tubulação que transporta água é composta de dois trechos com 
diâmetros distintos. O primeiro trecho apresenta um diâmetro de 2”, enquanto o 
segundo trecho é composto por tubos de 1” de diâmetro. Qual a velocidade no segundo 
trecho, sabendo-se que no primeiro trecho a velocidade é de 0,5 m/s? 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 05. As tubulações 1 e 2 confluem para o ponto “A”, e deste, através da 
tubulação 3, conflui para o ponto “B”, daí derivando para as tubulações 4, 5 e 6, 
indicando as flexas o sentido de fluxo de cada uma. No ponto “B” a vazão foi fornecida, 
encontrando-se 40,86 l/s. De acordo com os dados fornecidos na figura abaixo, calcular 
as variáveis solicitadas. 
 
 
 
 Hidrodinâmica _ 
 5 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 
O escoamento dos líquidos se classifica em relação ao tempo e ao espaço. 
 
a) Em relação ao tempo e fixando-se uma seção, o movimento dos líquidos se 
classifica em: 
 
a.1) PERMANENTE: 
 Quando os seus parâmetros hidráulicos de velocidade (V), pressão (P) e massa 
(ρ) não se alteram com o tempo. Exemplo: uma tubulação com vazão constante ao 
longo do tempo. 
 
 
a.2) NÃO-PERMANENTE: 
 Caracterizam-se quando, em um determinado ponto, ocorrerem mudanças nestes 
parâmetros, em qualquerum ou em todos, com o tempo. Exemplo: um riacho em 
fase de aumento gradual de vazão. 
 
b) Em relação ao espaço e fixando-se um tempo “t”, tem-se seguinte classificação: 
 
b.1)PERMANENTE UNIFORME: 
 As condições de escoamento não variam com a posição e com o tempo. A 
velocidade e a seção transversal de escoamento permanecem constantes em todas as 
seções da corrente líquida. Exemplo: tome-se um líquido escoando por um conduto 
longo, de seção e vazão constantes. 
 
b.2) PERMANENTE NÃO-UNIFORME: 
 As condições de escoamento mudam espacialmente, mas não com o tempo. A 
velocidade e a área da seção transversal podem variar de seção para seção, mas, para 
uma mesma seção, elas não variam com o tempo. Exemplo: escoamento com vazão 
constante através de uma tubulação com diâmetro crescente ou decrescente. 
 
b.3)NÃO-PERMANENTE UNIFORME: 
 Para um dado instante, a velocidade varia com o tempo, mas é a mesma em 
todos os pontos do conduto. Exemplo: o escoamento através de uma tubulação 
longa, de diâmetro constante, com vazão crescente ou decrescente. 
 
b.4) NÃO-PERMANENTE NÃO-UNIFORME: 
 A velocidade varia no espaço e com o tempo. Exemplo: O escoamento com 
vazão variável em um conduto de seção crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hidrodinâmica _ 
 6 
EXEMPLOS: 
 
b.1) Permanente Uniforme: 
 
Observe que as variáveis hidráulicas em um ponto qualquer do circuito hidráulico não 
se alteram com o tempo (Permanente). O mesmo podemos verificar entre os pontos 1 e 
2, onde os diâmetros e velocidades são iguais (Uniforme). 
 
b.2) Permanente Não-Uniforme: 
 
 
 
Neste caso, as variáveis hidráulicas em um ponto qualquer do circuito não se alteram 
com o tempo (Permanente), porém, quando comparamos dois pontos distintos 
observamos que as seções e velocidades são diferentes (Não-Uniforme). 
 
b.3)Não-Permanente Uniforme: 
 
 Hidrodinâmica _ 
 7 
 
 
 
Como o nível de água no reservatório está constantemente diminuindo com a saída de 
água na tubulação, resultará em variação das variáveis hidráulicas em um ponto, com o 
tempo (Não-Permanente). Por outro lado, como a tubulação tem seção constante, ter-se-
á, no tempo Δt, as mesmas velocidades nos pontos 1 e 2, respectivamente (Uniforme). 
 
 
 
b.4) Não-Permanente Não-Uniforme: 
 
 
 
Como o exemplo anterior, o nível de água no reservatório está constantemente 
diminuindo com a saída de água na tubulação, resultando em variação das variáveis 
hidráulicas em um ponto, com o tempo (Não-Permanente). Por outro lado, como a 
tubulação tem seção variável, ter-se-á, no tempo Δt, velocidades diferentes nos pontos 1 
e 2, respectivamente (Não-Uniforme). 
 
 Hidrodinâmica _ 
 8 
5. ENERGIA 
 
5.5. PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 
 
A energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, ou seja, a 
energia total é sempre constante. A energia pode apresentar-se em diversas formas. No 
presente capítulo apresentaremos as de maior importância no campo da hidrodinâmica. 
 
5.1.1. Energia Potencial ou de Posição(Hz): 
 
As energias serão determinadas por unidade de peso. Desta forma terão as dimensões de 
um comprimento (L), fato que torna o seu uso bastante prático na hidráulica. 
 
A energia potencial ou de posição de um ponto de um líquido por unidade de peso é 
definida como a cota desse ponto em relação a um determinado plano de referência. 
 
 
 
 Hz = Z = m 15 
 
A medição da energia potencial, de posição ou geométrica é feita ou obtida diretamente 
com o levantamento topográfico do perfil por onde será ou está instalada a tubulação. 
 
5.1.2. Energia de Pressão (Hp): 
 
A energia de pressão pode ser obtida pela equação de pressão dos líquidos: 
 
 P = γ.h 16 
 
A energia de pressão expressa em altura de coluna de líquido será: 
 
 h = P 17 
 γ 
Assim: 
 
 Hp = P = ( kgf/m
2
) = m 18 
 γ (kgf/m³) 
 
A energia de pressão ou piezométrica é obtida com o uso dos medidores de pressão, tais 
como, piezômetro, manômetro de Bourdon, etc, no ponto desejado. Exemplo: 
 
 Hidrodinâmica _ 
 9 
 
 
 
5.1.3. Energia de Velocidade (Hv): 
 
Para entendermos melhor a representação da energia de velocidade em altura, nos 
reportaremos ao Teorema de Torricelli aplicado à queda livre dos corpos: 
 
 V² = Vo² + 2.g.S 19 
 
Onde: 
 
V = Velocidade final do corpo em queda livre, em m/s. 
Vo = Velocidade inicial do corpo em queda livre, no momento em que passa pelo plano 
 de referência, em m/s. 
g = Aceleração da gravidade (constante e igual a 9,81 m/s²). 
S = Espaço percorrido pelo corpo em queda livre, em m. 
 
Tomemos como exemplo uma gota de água que se condensa em uma nuvem que se 
encontra a uma altura “h”. Se tomarmos o ponto onde a gota d’água se condensa na 
nuvem como referencial, teremos: 
 
Vo = 0 e S = h 
 
Substituindo na expressão do Teorema de Torricelli, teremos: 
 
 V² = 0² + 2.g.h 20 
 
Ou: 
 
 V² = 2.g.h 21 
 
Se quiséssemos conhecer a altura (h) que a gota de água necessitaria para ser animada 
com a velocidade V, teríamos: 
 
 
 h = V² 22 
 2.g 
 
Assim, a energia de velocidade (Hv), expressa em altura de coluna de líquido será: 
 
 Hv = V² = (m/s)² = m²/s² = m 23 
 2.g (m/s²) m/s² 
 
 Hidrodinâmica _ 
 10 
A energia de velocidade ou cinética é obtida com o uso conjugado, no mesmo ponto, do 
medidor de pressão, tais como, piezômetro, manômetro de Bourdon, etc, e do tubo Pitot, 
responsável pela medição da soma da energia de pressão com a energia de velocidade. 
Assim:Tubo Pitot = 

P
g
V

.2
²
 
 
Piezômetro = 

P
 
 
Por diferença de medidas entre o tubo Pitot e o piezômetro, tem-se: 
 

P
g
V

.2
²
 - 

P
 = 
g
V
.2
²
 
 
Exemplo: 
 
 
5.1.4.Outras Formas de Energia: 
 
Além das formas acima indicadas, a energia pode também apresentar-se sob forma de 
calor (como por exemplo, nas perdas de carga por atrito), de ruído, vibrações, etc. 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 
O Teorema de Bernoulli é um dos mais importantes de hidráulica e representa um caso 
particular onde se aplica diretamente o princípio de conservação de energia. Neste 
particular, para fins didáticos, estudaremos o Teorema de Bernoulli para líquidos 
perfeitos e reais. 
 
6.1.TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS 
 
Nestas condições, admite-se como hipótese um escoamento em regime permanente, sem 
receber ou fornecer energia e sem troca de calor 
 
 Hidrodinâmica _ 
 11 
 
 
 
A energia total, ou carga dinâmica (H), é representada pela soma de todas as formas de 
energia em um ponto qualquer do circuito hidráulico (energia potencial + energia de 
pressão + energia de velocidade), sendo absolutamente constante ao longo deste 
conduto, ou seja: 
 
 H = Z + P + V² 24 
 γ 2.g 
 
Onde: 
 
H = Energia Total ou constante de Bernoulli, em m 
 
Comparando-se a soma das formas de energia em um ponto (1) com a soma das formas 
de energia em outro ponto (2) no circuito hidráulico, teremos: 
 
 Z1 + P1 + V1² = Z2 + P2 + V2² 25 
 γ 2.g γ 2.g 
 
6.1.1.INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DE BERNOULLI 
 
 
 
 
 Hidrodinâmica _ 
 12 
 
 
 
 
O Teorema de Bernoulli, quando expresso em termos de energia por unidade de peso 
admite uma interpretação geométrica muito simples. De fato, cada um dos termos desta 
equação tem dimensão linear. Essas grandezas lineares recebem o nome de carga ou 
altura, e a sua soma é denominada de carga, altura total ou constante de Bernoulli (H) 
que, representa a altura entra o plano de referencia e o plano de energia total (vide 
figuras anteriores). 
Termo P/γ 
 
Este termo recebe a denominação de altura ou carga piezométrica, pois corresponde a 
altura de uma coluna de líquido, água, por exemplo, que pode ser medida por um 
piezômetro. 
Estando o registro fechado (sistema estático), ter-se-á apenas energia de pressão nos três 
trechos e o líquido no piezômetro alcançará o nível de água no reservatório, obedecendo 
ao princípio dos vasos comunicantes. 
Com o registro aberto (sistema dinâmico), o líquido circulará pela tubulação e os 
piezômetros indicarão cargas decrescentes, em decorrência do aumento das energias de 
velocidade. 
Fechando-se gradualmente o registro tem-se a diminuição gradual da vazão e, 
consequentemente, da velocidade, implicando numa diminuição também gradual da 
energia de velocidade, aumentando, consequentemente, a energia de pressão, já que a 
soma das energias é constante. 
 
Termo V²/2g 
 
É denominado de altura ou carga cinética ou de velocidade. O líquido em movimento 
apresenta certa quantidade de energia devido a sua velocidade. Esta energia também 
pode ser relacionada a uma coluna líquida através de um tubo Pitot. 
Em condutos sob pressão, a carga de velocidade é sempre o menor dos três 
componentes de carga total. Normalmente, a velocidade da água em tubulações situa-se 
entre 0,60 e 3,00 m/s. Para um valor médio de 1,50 m/s, ter-se-á uma carga cinética de 
aproximadamente 0,11 mca. 
Comparada com a carga piezométrica e de posição, a carga de velocidade chega a ser 
insignificante, razão pela qual ela normalmente é desconsiderada. 
Em tubulações despejando água livremente na atmosfera, não existe carga piezométrica 
na sua extremidade de saída, pois a pressão ali reinante é atmosférica, mas, mesmo 
assim, a água continua escoando, graças à energia cinética da água. 
 Hidrodinâmica _ 
 13 
Observe que a diminuição da seção do tubo implica no aumento da velocidade, 
resultando numa maior energia de velocidade nesta seção, em detrimento da diminuição 
da energia de pressão. 
 
Termo Z 
 
Corresponde à carga de posição do líquido, tomada em relação a um plano de 
referência, como mostrado na figura a seguir. 
A linha piezométrica ou linha de pressão (LP) é determinada pela soma dos termos (Z + 
P/γ) em cada seção do conduto. 
 
 
 
A representação gráfica do Teorema de Bernoulli para um líquido perfeito (figura 
acima) permite visualizar estas três formas de energia. A linha de energia, também 
designada de LE deve estar situada acima da linha piezométrica (LP). Como o líquido é 
considerado perfeito, não ocorrendo, portanto, perda de energia no sistema, a LE 
permanecerá constantemente no plano horizontal. 
Outro ponto a ser destacado é que a carga de velocidade é maior na seção de menor 
diâmetro (D2<D1), pois este fato implica em uma velocidade maior (V2>V1). 
Por seu lado, a equação do Teorema de Bernoulli mostra que as diferentes formas de 
energias expressas são intercambiáveis, como se resume a seguir: 
-aumentando-se a energia cinética (pela diminuição da seção de escoamento) a energia 
de pressão diminui e vice-versa. 
-diminuindo-se a energia de posição, ocorre aumento da energia de pressão e vice-versa. 
 
Além dessas conclusões, três fatos importantes devem ser considerados: 
1º) os manômetros registram a soma da carga piezométrica e de posição; não 
registrando, porém, a carga de velocidade, o que é feito pelo tubo Pitot; 
2º) não existe carga cinética ou de velocidade em sistemas estáticos, somente em 
sistemas onde existe fluxo de líquido; 
3º) em sistemas onde o diâmetro da tubulação permanece constante, a carga de 
velocidade é a mesma para todos os seus pontos. Para uma mesma vazão, ela somente 
se altera quando ocorrem mudanças no diâmetro da tubulação. Isto decorre da equação 
da continuidade (Q = Ai.Vi). 
 
 Hidrodinâmica _ 
 14 
6.2.TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS 
 
No item anterior consideramos a hipótese simplificadora de líquido perfeito, não se 
levando em conta, portanto, o efeito das perdas de energia por atrito do líquido com as 
paredes do conduto e entre as partículas do próprio líquido (viscosidade ou atrito 
interno), causas principais da dissipação dessa energia sob a forma irreversível de calor. 
Em hidráulica, esta perda de energia é denominada de perda de carga (hf), sendo uma 
variável importante no dimensionamento de circuitos hidráulicos. 
Considerando agora líquidos reais, faz-se necessária a adaptação do Teorema de 
Bernoulli, introduzindo-se a variável perda de carga (hf), resultando em:Z1 + P1 + V1² = Z2 + P2 + V2² + hf(1-2) 26 
 γ 2.g γ 2.g 
 
Onde: 
 
hf(1-2) = Perda de carga , em mca, quando o líquido transportado flui do ponto 1 para o 
 ponto 2 no circuito hidráulico. 
 
Analogamente ao item anterior, resulta a seguinte representação geométrica: 
 
 
 
 
 A figura anterior mostra que a energia total em 1 é maior do que em 2 de uma 
quantidade hf denominada de perda de carga. Esta corresponde à energia dissipada 
irreversivelmente na forma de calor durante o escoamento do líquido de 1 para 2. 
Outra conclusão importante é a relação da perda de carga com a energia de pressão, ou 
seja, aumentando-se a perda de carga diminui-se a energia de pressão e vice-versa. 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
 Hidrodinâmica _ 
 15 
Em sistemas de abastecimento, onde o fluxo de líquido se dá por gravidade, pode-se 
utilizar toda a diferença de nível (h) como perda de carga (hf). Senão, vejamos: 
 
 
Aplicando-se o teorema de Bernoulli para líquidos reais entre os pontos 1 e 2, situados 
nas superfícies livres da água nos reservatórios 1 e 2, respectivamente, ter-se-á: 
 
 1
1
2
1
.2
Z
P
g
V
 g
V
.2
2
2
+ 

2P
 + Z2 + hf1-2 
 
Nas condições do problema, teremos: 
 
g
V
.2
2
1
 = 0; 
 

1P
 = 0; 
 
Z1 = h (Diferença de nível de água entre os reservatórios 1 e 2, em m); 
 
g
V
.2
2
2
 = 0; 
 

2P
= 0; 
 
Z2 = 0; 
 
hf1-2 = (Perda de carga na tubulação que liga os reservatórios 1 e 2, em m.c.a.). 
 
Substituindo na equação de Bernoulli, teremos: 
 
0 + 0 + h = 0 + 0 + 0 + hf1-2 
 
Assim: 
 
hf1-2 = h