Exercícios Mecânica dos Fluídos

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Unidade 1 - Introdução 
 O projeto de meios de transportes, estruturas e sistemas 
hidráulicos, requerem o conhecimento e a aplicação dos 
princípios da Mecânica dos Fluidos, entre outros, abaixo, 
exemplificam-se tais estruturas: 
• Aeronaves, barcos, navios, hover-craft, veículos terrestres; 
• Edifícios, pontes, estádios, chaminés industriais, canais, 
sistemas de tubulações etc. 
Escopo da Mecânica dos Fluidos 
1 
Definição de Fluido 
• É a substância que se deforma de maneira continua ao 
sofrer uma tensão de cisalhamento. 
• Neste caso, encontram-se os líquidos e os gases. 
• A diferença entre um fluido e um sólido fica clara 
quando aplica-se a cada um deles uma tensão de 
cisalhamento. 
2 
Tipos de Fluido 
 
2 
Tipos de Fluido 
• A: Fluido ideal, inviscido, ou seja, a tensão de cisalhamento é 
nula em qualquer ponto. Considerado em modelos simples de 
escoamentos. 
 
B: Dilatante, característico de algumas soluções de açúcar e de 
amidos. A viscosidade aumenta com o aumento da taxa de 
cisalhamento. 
 
• C: Newtoniano, fluidos mais comuns, água, ar, soluções aquosas, 
óleos etc. 
 
D: Pseudo-plásticos, a viscosidade diminui com o aumento da 
taxa de cisalhamento. Exemplos: alguns produtos alimentícios, 
massas de cerâmica e de cimento. 
2 
Tipos de Fluido 
• E: Fluido plástico com características de aumento da 
viscosidade com aumento da taxa de cisalhamento. 
 
F: O plástico de Bingham, fluido newtoniano com uma 
tensão inicial maior que zero. É o comportamento 
aproximado de produtos alimentícios com alto teor de 
gordura (chocolate, manteiga, margarina); pasta de 
dente e massa de modelagem. 
 
• G: Fluido de Casson mostra características plásticas, 
com redução da viscosidade no aumento da taxa de 
cisalhamento. Exemplo: sangue e iogurtes. 
 
 
2 
Propriedades Físicas dos Fluidos 
• Massa especifica e densidade 
 A massa específica é a relação entre massa e o volume 
ocupado por um fluido, 
  = mf/vf (Kg/m
3) 
 d l = l / H2O
 
 d g = g / ar 
• Compressibilidade 
 É a propriedade que tem a matéria de reduzir seu volume sob 
a ação de pressões externas. Os líquidos são pouco 
compressíveis, já os gases são bem mais compressíveis. 
• Elasticidade 
 Líquidos e gases diminuem ou aumentam de volume quando 
experimentam aumentos ou diminuições de pressão. 
3 
Propriedades Físicas dos Fluidos 
• Viscosidade 
 É a propriedade que os fluidos têm em resistir às deformações e, em 
conseqüência, ao escoamento, transformando energia cinética em calor. 
• Coesão e tensão superficial 
 A formação de uma gota d’água deve-se a coesão. 
 A tensão superficial é devida aos líquidos tenderem a adotar formas que 
minimizam sua área superficial. E neste caso, uma menor área com uma 
mesma força de coesão entre as moléculas, dá origem a tensão 
superficial capaz de suportar o peso de certos corpos. 
4 
Propriedades Físicas dos Fluidos 
• Solubilidade 
 Os líquidos dissolvem os gases. Por exemplo, a água dissolve 
o ar, em proporções diferentes entre o oxigênio e o nitrogênio, 
pois o oxigênio é mais solúvel. 
• Tensão de vapor 
 A temperatura de vaporização de um líquido depende da 
pressão, a qual este está submetido. Quanto maior for a 
pressão, maior será a temperatura de vaporização. 
 
5 
Noções Básicas 
 Equações 
• Conservação da Massa; 
• Variação da quantidade de Movimento; 
• Segunda lei de Newton; 
• Equação de estado de gás ideal. 
• Sistema, Volume e Superfície de controle 
• Sistema de controle – certa quantidade fixa e definida de massa fluida. 
• Volume de controle – volume arbitrário do espaço através do qual o 
fluido escoa. 
• Superfície de controle – contorno geométrico do volume de controle. 
 
 
 
 
 Método diferencial X Método integral 
• Detalhamento do problema X Análise Global 
6 
Grandezas, Unidades, Medidas e Sistemas de Unidades 
 
7 
• Denominam-se grandezas básicas as seguintes 
quantidades físicas: 
- Comprimento; 
- Massa; 
- Tempo; 
- Temperatura. 
- As unidades são nomes arbitrários que dão magnitude as 
medidas das grandezas, por exemplo: 
- Um tubo com 20 m de comprimento; 
- É o mesmo tubo com 65,6 pés. 
 
Grandezas, Unidades, Medidas e Sistemas de Unidades 
 
8 
•Sistemas de Unidades 
 SI – Sistema Internacional 
 É o legalmente aceito na maioria dos países. 
 No SI as unidades das grandezas básicas são as seguintes: 
- Massa (Kg); 
- Comprimento (m); 
- Tempo (s); 
- Temperatura (K). 
A força é uma grandeza derivada cuja unidade é o Newton (N), 
 
1 N = 1 Kg.m/s2 
 
Além do SI, ainda existem outros sistemas como: 
- CGS (sistema métrico absoluto) – g, cm, s, K; 
- Sistema Inglês – lbf, lbm, pé, s, Rankine. 
 
 
Unidade 2 – Estática dos Fluidos 
Estática dos Fluidos 
 
9 
•Equações Básicas – Variação da pressão em fluido incompressível e em 
repouso 
Nessas condições a variação de pressão é proporcional ao peso específico 
do fluido e à altura da coluna fluida, 
 
 
 
p – p0 = -g(z-z0) = g(z0-z), sendo z0-z = h 
p = p0 + gh p - p0 = h (Lei de Stevin) 
g =  peso específico 
g
dz
dp
 
z
z
p
p 00
gdzdp 
Estática dos Fluidos 
 
10 
•Equações Básicas – Variação da pressão em fluido incompressível e em 
repouso 
 
A relação pressão altura é usada para resolver problemas de 
manometria. Nesse caso, as seguintes regras são úteis: 
 
1. Dois pontos quaisquer, situados à mesma cota e no mesmo 
líquido em repouso, estão sujeitos à mesma pressão; 
 
2. A pressão aumenta para baixo e ao longo da coluna líquida 
(pense num mergulho). 
Estática dos Fluidos 
 
11 
•Exercício 1 - No manômetro diferencial da figura, o fluido 
A é água, B é óleo e o fluido manométrico é mercúrio. 
Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm, 
qual é diferença de pressão pB – pA? Dados: ƔH2O = 
10.000N/m³; ƔHg = 136.000N/m³; Ɣóleo = 8.000N/m³. 
 
 
 
 
 
 
 
Estática dos Fluidos 
 
12 
Pressões Absoluta e Manométrica 
Pressões são expressas em relação a um nível de referência. 
 
 Pabsoluta = Pmanométrica +Patmosférica 
•Atmosfera-Padrão 
- Pressão (P) = 101,3 kPa; 
- Temperatura (T) = 288 K (15°C); 
- Massa Específica () = 1,225 kg/m3; 
- Viscosidade () = 1,781 (Pa.s). 
Estática dos Fluidos 
 
13 
• Empuxo Hidrostático 
• Projetos de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos, tais 
como: Comportas, Válvulas, Barragens, Reservatórios, etc. Necessitam da 
determinação do empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície submersa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
Centro de pressão 
Estática dos Fluidos 
 
14 
• Empuxo Hidrostático 
dF = p.dA = .h.dA= .y.sen.dA 
 
 
 é o momento da área em relação à interseção 0. 
 
 
 
F = senA sen = 
 
F =  A 
 
A A
ydAsendAsenydFF 

A
ydA
 
A
yAydA
y h
h
y
Estática dos Fluidos 
 
15 
 
• Determinação do centro de pressão 
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o teorema dos 
momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção 0 deve igualar-se aos 
momentos das forças elementares dF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde I é o momento de inércia em relação a 0. Aplicando o teorema de Huygens, 
I = I0 + A 
2, tem-se que 
 
y
yA
I
yy 0p 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•Exercício 2 – Uma caixa d’água de 800 litros mede 1,0 x 1,0 x 0,8. 
Determinar o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e o seu 
ponto de aplicação. 
 
17 
 Exercício 3 – Uma barragem de terra e enrocamento é projetada para uma 
lâmina d’água máxima de 9 m. Considerando a seção transversal mostrada 
na figura a seguir, com a barragem tendo largura unitária, pede-se 
determinar: 
a) O empuxo hidrostático sobre a barragem; e 
b) A posição do centro de pressão. 
 
 
 
Unidade 3 – Dinâmica dos Fluidos 
• Princípio de Conservação da Massa(kg/s) - fluxo de massa ou vazão mássica 
 
m = Vol m = AL 
 
 
18 
0
dt
dM
sistema




 21 mm
dt
AdL
m



AVm 

• Princípio de Conservação da Massa 
 
 
 
 
Se o fluido é incompressível, o princípio de conservação da 
massa resulta em, 
 
 
 
*Nota – todas as velocidades das expressões acima são 
médias nas seções. 
Dinâmica dos Fluidos 
 
19 

 21 mm 222111 AVAV 
cteAVAVAV 332211 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
20 
• Vazão Volumétrica (Q)  é o produto da velocidade 
média pela área ou quociente entre o volume pelo tempo. 
 
 ou (m3/s) 
 
Onde: 
v– velocidade média (m/s); 
V – volume (m3), 
A – área (m2); 
t – tempo (s). 
 
 
v.AQ 
t
V
Q 
Dinâmica dos Fluidos 
 
21 
Exercício 4 – Considere o movimento permanente da água ( 
= 1000 kg/m3) através do dispositivo da figura. As áreas são: 
A1 = 0,02 m
2, A2 = 0,05 m
2 e A3 = A4 = 0,04 m
2. A massa 
fluida que sai pela seção 3 vale 57 kg/s. O volume que entra 
pela seção 4 é de 0,03 m3/s, e V1= 3 î m/s. Admitindo que as 
propriedades do fluido sejam uniformes em todas as seções, 
determinar a velocidade média do escoamento na seção 2. 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
22 
- Exercício 5 – No tubo redutor da figura há uma vazão de 10 ft3/s. 
Calcule a vazão em m3/s, bem como as velocidades médias nos 
tubos de 300 mm e 200 mm. 
 
 
 
 
 
- Exercício 6 – Um tubo de 0,3 m de diâmetro dividi-se em Y em 
dois ramos de 200 e 150 mm de diâmetro. Se a vazão na linha 
principal for igual a 0,3 m3/s e se a velocidade média no tubo de 200 
mm for igual a 2,5 m/s. Pergunta-se: 
a) Qual a velocidade na linha principal? 
b) Qual a vazão no tubo de 200 mm? 
c) Qual a vazão e a velocidade no tubo de 150 mm? 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
23 
Exercício 7 – Um depósito cilíndrico de diâmetro D = 0,3 m é 
drenado por um orifício no fundo. No instante em que a 
profundidade da água é 0,6 m, a vazão média saindo do 
tanque é de 4 kg/s. Determinar a taxa de variação do nível 
d’água e o tempo necessário para que o tanque esvazie-se. 
 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
24 
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa 
Através do volume de controle diferencial em coordenadas 
retangulares da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
E o princípio de conservação da massa representado pela 
seguinte equação. 
 
 
 
25 
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa 
Pode-se aplicar o balanço de massa em uma das direções 
coordenadas. Toma-se, então, a direção “x” e aplica-se a 
equação anterior, 
 
 
 
 
 
 
x
u
x
)x(u)xx(u
lim
x
)x(u)xx(u
)tzyx()x(tyzu)xx(tyzu
0x








Dinâmica dos Fluidos 
 
26 
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa 
E por analogia nas outras direções, tem-se: 
 
 
 
Resta agora, avaliar, a variação de massa no interior do 
volume de controle, também no tempo t. Neste caso, tem-se: 
 
z
w
 e 
y
v




 
 
 
t
t
)t()tt(
lim
t
)t()tt(
)tzyx()t(zyx)tt(zyx
0t








 
27 
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa 
E assim, somando-se todas as parcelas deduzidas, tem-se a 
equação da conservação da massa ou da continuidade em 
coordenadas cartesianas, 
 
 0
tz
w
 
y
v
 
x
u












 
28 
Exercício 8 – O amortecedor pneumático da suspensão de um automóvel é 
cheio de gás e comporta-se como um conjunto pistão-cilindro. No instante t 
= 0, o pistão está a L = 0,15 m distante da extremidade fechada do cilindro e 
a massa específica do gás é uniforme e igual a  = 18 kg/m3. 
Repentinamente, o pistão começa a distanciar-se da extremidade fechada 
com velocidade V = 12 m/s. O movimento do gás é unidimensional e 
proporcional à distância dessa extremidade. A velocidade varia linearmente 
de 0 (zero) na extremidade a u = V no pistão. Determinar a expressão da 
massa específica em função do tempo e sua variação no instante t = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 
3D à Equação de Bernoulli 1D 
 
 
- Direção X 
Neste caso a segunda lei de Newton pode ser escrita da seguinte 
maneira 
 
 (1) 
 
Onde, pela regra da cadeia, tem-se 
 
 
 
 , , ,u u x y z t ,  , , ,v v x y z t e  , , ,w w x y z t 
x
du
dF dm
dt

u u u u
du dx dy dz dt
x y z t
   
   
   
 
30 
A qual, derivada em relação a t, torna-se 
 
 (2) 
 
Sendo, 
 (3) 
 (4) 
dFmx=xyzg (5) 
 
Então, aplicando-se um balanço de forças de superfície no 
cubo diferencial apresentado a seguir, 
 
x
du
a
dt
 x
u u u u
a u v w
x y z t
   
   
   
dm x y z   
sxx mxdF dF dF
 
31 
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à 
Equação de Bernoulli 1D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (6) 
 
 
 
   
   
   
 
xx xx
s yx yx
zx zx
x x y z x y z
dF y y x z y x z
z z x y z x y
 
 
 
        
 
        
 
       
 
32 
Assim, substituindo (6) e (5) em (4) e depois (4), (3) e (2) em (1) 
e dividindo por xyz, tem-se 
 
 
 
 
 
Fazendo x,y e z 0, tem-se 
 
           yx yxxx xx zx zxy y yx x x z z z
x y z
        
 
  
x
u u u u
g u v w
x y z t
 
    
     
    
yxxx zx
x
u u u u
g u v w
x y z x y z t
 
 
       
       
       
 
33 
E reaplicando-se a metodologia apresentada para as direções y e z, 
respectivamente, tem-se 
 
 
 
 
 
- Equações de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos (Água e Ar) 
 
 
 
 
xy yy zy
y
v v v v
g u v w
x y z x y z t
  
 
       
       
       
yzxz zz
z
w w w w
g u v w
x y z x y z t
 
 
       
       
       
2 2 2
2 2 2x
u u u u p u u u
u v w g
t x y z x x y z
  
         
         
          
2 2 2
2 2 2y
v v v v p v v v
u v w g
t x y z y x y z
  
         
         
          
2 2 2
2 2 2z
w w w w p w w w
u v w g
t x y z z x y z
  
         
         
          
E reaplicando-se a metodologia apresentada para as direções y e z, 
respectivamente, tem-se 
 
 
 
 
 
- Equações de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos (Água e Ar) 
 
 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
34 
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 
3D à Equação de Bernoulli 1D 
- Equação de Euler 
 Considerando-se nas equações de Navier-Stokes: fluido 
incompressível e invíscido (=0), este último também chamado 
de fluido ideal ou perfeito; e regime permanente, tem-se as 
Equações de Euler, que aqui é apresentada somente na direção 
x, 
 
 
 
 
x
u u u p
u v w g
x y z x
 
    
    
    
Dinâmica dos Fluidos 
 
35 
- Equação de Bernoulli 
 
 
 
 
x
u p
u g
x x
 
  
  
  
  x x
u dp
u g dx
x x
 
 
  
  
xudu g dx dp   0 xg dx dp udu     
2
2
x
p u
g x cte

  
2
 ou
2
p v
gz cte

   
Tomando a coordenada vertical z, tem-se: 
Dinâmica dos Fluidos 
 
36 
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à 
Equação de Bernoulli 1D 
- Equação de Bernoulli 
 
 
 
Válida para : 
-Regime permanente; 
-Escoamento de fluido incompressível; 
-Escoamento invíscido; 
-Escoamento ao longo de uma linha de corrente. Tubos se aproximam bem 
disso. 
-Uma das principais aplicações da equação de Bernoulli é sobre dois pontosde uma linha de corrente 
 
2
2
p v
gz cte

  
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p V p V
gz gz
 
    
Dinâmica dos Fluidos 
 
37 
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação 
Exercício 9 – Um tubo em U funciona como sifão. A curva 
deste tubo está a 1 m acima da superfície da água e a saída 
situa-se a 7 m abaixo da mesma superfície. Se o escoamento, 
em primeira aproximação, processa-se com atrito nulo, e o 
jato de saída é livre à pressão atmosférica, determinar a 
velocidade do jato livre e a pressão absoluta do fluido ao 
escoar pela curva. 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
38 
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação 
Exercício 10 – Água flui sob uma comporta instalada à entrada de um 
canal de leito horizontal. Na face a montante, o nível d’água está a 1,5 ft de 
altura e a velocidade é desprezível. Na seção contraída, sob a comporta, as 
linhas de corrente são retas e a profundidade d’água mede 2 in. A pressão 
distribui-se hidrostaticamente e o escoamento pode ser considerado 
uniforme em cada seção. O atrito é desprezível. Determinar a velocidade do 
escoamento a jusante da comporta e a vazão por unidade de largura. 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
39 
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação 
Exercício 11 – Um tubo de Pitot é utilizado para medir a 
velocidade do fluxo de ar (em CNTP) em uma tubulação. A 
inserção do tubo é feita de modo que fique apontado para 
montante, medindo, portanto, a pressão de estagnação. A 
pressão estática é medida na mesma seção de escoamento por 
meio de uma tomada na parede. Se a diferença dessas 
pressões for de 30 mm de mercúrio, determinar a velocidade 
do escoamento. 
Dinâmica dos Fluidos 
 
40 
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação 
Exercício 12 – Em movimento permanente água escoa 
verticalmente por um tubo de 0,1 m de diâmetro e sai por 
um bocal com 0,05 m de diâmetro descarregando na 
atmosfera. A velocidade da corrente à saída do bocal deve 
ser de 20 m/s. Calcular a pressão manométrica necessária 
na seção 1, supondo que os efeitos do atrito possam ser 
desprezados. 
 
Unidade 4 – Escoamento em Condutos 
Forçados 
 
• Número de Reynolds 
Na década de 1880, Osborne Reynolds, engenheiro britânico, estudou a 
transição entre o escoamento laminar e o turbulento em um tubo. Ele 
descobriu a seguinte relação chamada de Número de Reynolds, 
 
Re = VD/ = VD/, sendo  = / 
 
onde: 
Re – número de Reynolds (-); 
 - viscosidade dinâmica (N.s /m2); 
- viscosidade cinemática (m2/s); 
 
De maneira geral, 
 
Re = VL/ 
Sendo L, o comprimento característico descritivo do campo do escoamento. 
O número de Reynolds é a razão entre as forças de inércia e as forças 
viscosas. 
Grandes números de Reynolds caracterizam escoamentos turbulentos. 
Pequenos números de Reynolds caracterizam escoamentos laminares. 
 
41 
Escoamentos em Condutos Forçados 
 
42 
• Escoamento laminar – é aquele em que o fluido escoa em lâminas ou 
camadas; não ocorre mistura macroscópica de camadas adjacentes de 
fluido. 
• Escoamento Turbulento – é aquele em que as partículas do fluido têm 
trajetórias irregulares, causando uma transferência de quantidade de 
movimento entre as camadas fluidas, fazendo com que estas desapareçam. 
 
A diferença qualitativa entre os dois escoamentos supracitados, pode ser 
observada através da experiência de Reynolds mostrada esquematicamente 
a seguir, 
 
 
 
 
 
• Perda de carga em dutos circulares 
Um fluido, ao escoar, transforma parte de sua energia em 
calor. Essa energia não é mais recuperada na forma de 
energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se 
perda de carga, expressa por unidade de massa de fluido 
escoante (J/kg) ou por (m). 
• Cálculo da perda de carga 
A perda de carga total, ht, é a soma das perdas de carga 
contínuas, hc, devidas ao atrito, mais as perdas de carga 
localizadas, hl, devidas a acessórios e mudanças de 
seção. 
Perda de Carga 
43 
•Perdas de carga contínuas 
 - Escoamento laminar 
 
 (J/kg) ou (m) 
 
- Escoamento Turbulento – Equação Universal 
 
 (J/kg) ou (m) 
 
Perda de Carga 
44 
D2Re
VL64
h
2
c
gD2Re
VL64
h
2
c
D2
VL
fh
2
c
gD2
VL
fh
2
c
Re
64
f arminla 
• Determinação do fator de atrito - Diagrama de Moody 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
• Determinação do fator de atrito 
- Fórmula de Swamee e Jain 
 
 
Perda de Carga 
46 
• Determinação do fator de atrito - Rugosidade dos materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
• Determinação do fator de atrito - Rugosidade dos materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
• Determinação do fator de atrito 
• Natureza das paredes dos tubos 
Analisando-se a natureza ou rugosidade das paredes dos tubos, 
devem ser considerados: 
a) O material empregado na fabricação dos tubos; 
b) O processo de fabricação, rebitado ou soldado; 
c) O estado e conservação das paredes dos tubos; 
d) A existência de revestimentos especiais; 
• Alterações na superfície interna do tubo 
Perda de Carga 
49 
• Determinação do fator de atrito 
• Influência do envelhecimento dos tubos 
Com o decorrer do tempo e em consequência dos fatores já 
apontados, a capacidade de transporte de água das tubulações de 
ferro fundido e aço (sem revestimentos especiais) vai diminuindo. 
 
 
 
 
 
 
Os tubos não metálicos costumam apresentar capacidade 
constante ao longo do tempo, a menos que ocorra algum 
fenômeno de incrustação específica, o mesmo ocorrendo com os 
tubos de cobre. 
Perda de Carga 
50 
• Perdas de carga localizadas 
Adicionalmente às perdas de carga contínuas, que ocorrem ao 
longo das tubulações, têm-se perturbações localizadas, 
denominadas perdas de carga localizadas, causadas por curvas, 
junções, válvulas, reduções, medidores, etc. 
Nas instalações hidráulicas prediais, a perda de carga localizada é 
mais importante do que a perda de carga contínua, devido ao 
grande número de conexões e aparelhos, relativamente ao 
comprimento da tubulação. Entretanto, no caso de tubulações 
muito longas, com vários quilômetros de extensão, como nas 
adutoras, a perda carga localizada pode ser desprezada. As 
perdas de carga localizadas podem ser expressas por: 
 
 (J/kg) ou (m) 
 
Perda de Carga 
51 
2
V
Kh
2
l 
g2
V
Kh
2
l 
• Perdas de carga localizadas 
O coeficiente K é dado para cada tipo de acidente. As 
perdas localizadas podem também ser expressas por: 
 
 (J/kg) ou (m) 
Perda de Carga 
52 
D2
VL
fh
2
e
l 
gD2
VL
fh
2
e
l 
•Perdas de carga localizadas com valores de K e Le 
 
53 
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le 
 
Perda de Carga 
54 
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le 
 
Perda de Carga 
55 
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le 
 
56 
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le 
 
57 
• Cálculo da perda de carga em tubulações 
• Balanço de energia via equação de Bernoulli 
 
 
 
Onde: 
ht – perda de carga total (m) - ht = hc + hl. 
 
Caso 1 – L, Q e D dados e P ? 
Exercício 13 - Água flui de uma bomba através de um tubo 
comercial de aço de 0,25 m de diâmetro, por uma distância de 5 
km a partir da descarga de uma bomba, para um reservatório 
aberto à atmosfera. O nível da água no reservatório está a 7 m 
acima da descarga da bomba e a velocidade média da água no 
tubo é de 3 m/s. Calcular a pressão na descarga da bomba. 
Perda de Carga 
58 
t2
2
22
1
2
11 hZ
g2
VP
Z
g2
VP




















• Caso 2 – P, Q e D dados e L ?. 
Exercício 14 – Petróleo escoa através de um oleoduto de 
ferro galvanizado numa vazão de 1,6 milhão de barris/dia 
(1 barril = 42 galões).O diâmetro interno do duto é de 48 
pol. A pressão máxima permissível é de 1200 lbf/pol2 e a 
pressão mínima requerida é de 50 lbf/pol2. O petróleo cru 
tem  = 930 Kg/m3 e µ = 3,5 x 10-4 N.s/m2. Determine a 
distância máxima até a próxima estação de 
bombeamento. Considere: 1 galão = 3,8 L, 1 pol = 25,4 
mm, 1 lbf/pol2 = 6.895 Pa e 1 m3 = 1000 L. 
Perda de Carga 
59 
Caso 3 – L, P e D dados e Q?. 
Exercício 15 – Calcular a vazão de água num conduto de 
ferro fundido, sendo dado D = 10 cm,  = 0,7x10-3 e 
sabendo-se que dois manômetros instalados a uma 
distância de 10 m indicam respectivamente, 0,15 Mpa e 
0,145 Mpa. 
 
 
Perda de Carga 
60 
Caso 4 – P, L, Q dados e D?. 
Exercício 16 – Certa indústria nova requer a vazão 
d’água de 5,7 m3/min. A pressão manométrica na 
tubulação principal, situada na rua, a 50 m da indústria, é 
de 800 kPa. A linha de suprimento exigirá a instalação de 
4 cotovelos (Le/D = 120). A pressão manométrica exigida 
na indústria é de 500 kPa. Determinar o menor diâmetro 
comercial dos tubos lisos e novos a serem instalados? 
Perda de Carga 
61 
• Fórmulas empíricas 
• Fórmula de Darcy 
 
 J = hc = KQ
2 (m/m) 
 
Válida para tubos de ferro e aço, transportando água fria. 
Perda de Carga 
62 
 Fórmula de Hazen-Williams 
 
Onde, 
J – Perda de carga contínua (m/m); 
C – Coeficiente de perda de carga (-); 
Q – Vazão (m3/s); 
D – Diâmetro (m). 
Essa fórmula tem sido largamente empregada. Seus 
limites de aplicação vão de diâmetros de 50 a 3 500 mm 
e velocidades de até 3 m/s, cobrindo, em geral, os casos 
comumente encontrados no dia a dia. 
 
Perda de Carga 
63 
87,485,1
85,1
DC
Q64,10
J 
 
Perda de Carga 
64 
• Fórmulas empíricas de cálculo 
• Exercício 17 – A população de uma cidade é igual a 6 
700 habitantes. A cidade já conta com um serviço de 
abastecimento de água, localizando-se o manancial na 
encosta de uma serra. O diâmetro da linha adutora 
existente é de 150 mm, sendo os tubos de ferro fundido 
com bastante uso. A diferença de cotas entre o 
manancial e o reservatório de distribuição de água é igual 
a 36 m e o comprimento da linha adutora é igual a 4 240 
m. Verificar se a vazão atual do sistema é adequada para 
o abastecimento da cidade, admitindo um consumo 
individual médio igual a 200 litros por habitante por dia e 
que nos dias de maior calor a demanda é cerca de 25% 
maior que a média. 
Perda de Carga 
65 
 
Unidade 5 – Orifícios, Bocais 
 e Vertedores 
• Escoamento em orifícios 
 Orifícios são perfurações, geralmente de forma geométrica 
definida, feitos abaixo da superfície livre do líquido em 
paredes de reservatórios, tanques, canais ou tubulações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orifícios 
66 
• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema de 
Torricelli 
 São considerados pequenos os orifícios cujas dimensões são muito 
menores que as profundidades em que se encontram: dimensão 
vertical igual ou inferior a um terço da profundidade. 
 Se o orifício for circular – d  h/3. 
- Paredes delgadas 
 
 
 
 
 
Orifícios 
67 
• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema 
de Torricelli 
Nesse caso, aplicando-se a equação de Bernoulli às 
seções 1 e 2 da primeira figura do slide anterior, tem-se, 
 
 
Onde Vt é a velocidade teórica calculada a partir do 
teorema de Torricelli. Entretanto, esta velocidade não leva 
em conta as perdas por atrito e na realidade, 
 
V2 = Cv. Vt 
 
Orifícios 
68 
gh2v t 
• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema 
de Torricelli 
 
Onde Cv = 0,985, é um coeficiente de correção da 
velocidade. 
Seguindo as correções devido as perdas, o cálculo da 
vazão dá-se por, 
 
 
Sendo, 
h – altura da superfície livre até o centro do orifício (m); 
A – área do orifício (m2); 
Cd – coeficiente de descarga (Cd = 0,61). 
Orifícios 
69 
gh2ACQ d
• Orifícios afogados pequenos em paredes 
delgadas 
Neste caso, a expressão de Torricelli pode, ainda ser 
aplicada, mas sendo que a altura h = (h1-h2), 
conforme figura abaixo, 
 
 
 
 
 
Orifícios 
70 
•Perda de carga em orifícios, adufas e comportas 
Nesses casos, a perda de carga corresponde à diferença de 
energia cinética, 
 
 
Orifícios 
71 http://www.saneamento10.hpg.ig.com.br/CompAduf.htm 
• Escoamento com nível variável: cálculo do tempo de 
esvaziamento através de orifícios 
Nos casos já considerados, a altura da superfície livre do líquido foi considerada 
constante. Porém, a altura varia, devido ao escoamento pelo orifício. O problema 
que se apresenta na prática consiste em determinar o tempo necessário para o 
esvaziamento de um tanque ou recipiente. 
Sendo, 
A – área do orifício (m2); 
AR – área da superfície do reservatório (m
2); 
O tempo de esvaziamento aproximado, t (s), é dado pela seguinte fórmula, 
 
 
 
Exercício 18 – Em uma estação de tratamento de água, existem dois 
decantadores de 5,50 x 16,50 e 3,50 m de profundidade. Para limpeza e reparos, 
qualquer uma dessas unidades pode ser esvaziada por meio de uma comporta 
quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo do decantador. A espessura 
da parede é de 0,25 m. Calcular a vazão inicial na comporta e determinar o tempo 
aproximado necessário para o esvaziamento do decantador. 
Orifícios 
72 
h
g2AC
A2
t
d
R
São constituídos por peças tubulares adaptadas aos orifícios, servindo para dirigir 
o jato e com perdas de carga menores que as dos orifícios. 
Análise dos bocais em parede espessa, segue a mesma linha dos orifícios. 
Os bocais costumam ser classificados em: 
Cilíndricos – Interiores ou reentrantes e 
 Exteriores 
E 
Cônicos – Convergentes ou divergentes 
 
 
 
 
 
• Velocidade, vazão e perda de carga nos bocais 
 
Bocais 
73 
gh2ACQ dV2 = Cv. Vt 
. 
 
 
 
 
 
 
74 
• Definição e aplicações 
 Pode-se definir vertedores como simplesmente, orifícios 
sem a borda superior. São usados como medidores de 
vazão em pequenos cursos d’água, condutos livres, 
galerias e canais. E também, como estruturas que dão 
vazão ao excesso de água em pequenas barragens. 
 
 
 
 
 
 
Vertedores 
75 
 
Terminologia 
 A borda horizontal denomina-se crista, ou soleira; 
 As bordas verticais denominam-se faces do vertedor; 
 A carga do vertedor, H, é a altura atingida pelas águas a 
contar da soleira. 
Vertedores 
76 
• Classificação quanto a: 
 - Forma 
 a) Simples (retangulares, trapezoidais, triangulares, etc.); 
 b) Compostos (seções combinadas). 
 - Altura relativa da soleira 
 a) Completos ou livres (p>p’); 
 b) Incompletos ou afogados (p<p’). 
 - Natureza da parede 
 a) Delgada (chapas ou madeira chanfrada); 
 b) Espessa (e > 0,66H). 
77 
• Classificação quanto a: 
 - Largura relativa 
 a) sem contrações laterais (L = B); 
 b) contraídos (L < B). 
 Vertedor contraído é aquele cuja largura é menor que a 
do canal de acesso. 
78 
• Contraídos e sem contrações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vertedores 
79 
• Vertedores Retangulares de paredes delgadas e sem 
contrações 
• Determinação da vazão 
 - Fórmula de Francis 
 Q = 1,838 LH
3/2
 
 - Influência das contrações 
 Francis, após muitas experiências, concluiu que a largura é 
reduzida pelas contrações e esta redução é proporcional a carga 
H do vertedor. Assim, 
 Para uma contração, L’ = L –0,1H 
 Para duas contrações, L’ = L – 0,2H 
 Logo, a fórmula de Francis para duas contrações torna-se, 
 Q = 1,838 (L-0,2H)H
3/2 
 
A fórmula anterior válida com as seguintes restrições H/p < 0,5 e 
que H/L < 0,5.
 
Vertedores 
80 
• Vertedor Triangular 
 Os vertedores triangulares são indicados para medidas de 
pequenas vazões, pois possibilitam maior precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
Na prática, os mais utilizados são os isósceles a 90
o
. 
 
 
 
 
 
Vertedores 
81 
• De parede Espessa retangulares sem contrações 
• Determinação da vazão 
 Q = 1,71LH
3/2Vertedores 
82 
• Vertedores extravasores de barragens 
 No projeto desses vertedores, é privilegiada a forma que 
dê passagem a vazão máxima, mais que também 
impeça efeitos prejudiciais à estrutura, tais como o 
vácuo parcial, as pulsações da veia que podem provocar 
vibrações, etc. 
• Determinação da vazão 
 Q = 2,2LH
3/2 
 
 
Vertedores 
83 
• Importantes práticas para medidas de vazão com uso de 
vertedores 
• A lâmina de água deve ser livre; 
• A soleira deve ser bem talhada e ficar na posição horizontal; 
• Não deve ocorrer passagem de liquido pelas laterais do vertedor; 
• Deve ser instalado num trecho o mais retilíneo possível; 
• A carga H deve ser medida a montante (antes) do vertedor, a uma 
distância compreendida entre 5H e 10H, porém nunca inferior a 
2,5H; sobre uma estaca nivelada com a soleira ou com o vértice 
do vertedor; 
• Não deve ocorrer represamento da água a jusante (depois do 
vertedor); 
• Não deve ocorrer turbilhonamento da água próximo ao ponto de 
medição. 
Vertedores 
84 
• Exercício 19 
 Está sendo projetado o serviço de abastecimento de 
água para uma pequena cidade de 5.600 habitantes. O 
volume médio de água por habitante é de 200 l/dia, 
sendo 25% o aumento de consumo previsto para os dias 
em que este é maior. Pensou-se em captar as águas de 
um igarapé que passava às proximidades da cidade e, 
para isso, procurou-se determinar a sua vazão numa 
época desfavorável do ano, tendo sido empregado um 
vertedor retangular com duas restrições, executado em 
madeira chanfrada e com 0,80 m de largura. A água 
elevou-se a 0,12 m acima do nível da soleira. Verificar 
se esse manancial é suficiente; adote um coeficiente de 
segurança igual a 3, pelo fato de se ter apenas uma 
medida de vazão. 
85 
 
Unidade 6 – Semelhança ou Similaridade 
e Análise Dimensional 
O uso e a confiança nos modelos têm crescido continuamente: 
- O engenheiro aeronáutico obtém dados a partir de modelos testados em túneis 
de vento; 
- O engenheiro naval testa modelos de navios em tanques; 
- O engenheiro mecânico testa modelos de turbinas e bombas e prevê o 
desempenho das máquinas; 
- O engenheiro civil trabalha com modelos de estruturas hidráulicas, rios, 
estuários e até prédios. 
A similaridade entre fenômenos de escoamentos existe não só entre um modelo e 
seu protótipo, como também entre diversos fenômenos desde que certas leis de 
semelhança sejam satisfeitas. 
Existem três tipos básicos de similaridade, sendo que os três devem existir para 
que se tenha similaridade completa em fenômenos envolvendo fluidos. 
- Similaridade geométrica; 
- Similaridade cinemática; 
- Similaridade dinâmica. 
Para a solução de alguns problemas práticos em engenharia, o uso da 
similaridade dinâmica é suficiente. Nesse caso, com base na história da mecânica 
dos fluidos, existe um conjunto de números adimensionais usados na descrição 
da similaridade dinâmica. Estes números são os seguintes: 
Similaridade 
87 
Na relação de semelhança, quando predominar a força da 
gravidade, deve-se utilizar o Número de Froude. 
 
 
Na relação de semelhança, quando predominarem as 
forças de inércia e pressão, deve-se utilizar o Número de 
Euler. 
 
 
Na relação de semelhança, quando predominarem as 
forças de inércia e viscosidade, deve-se utilizar o Número 
de Reynolds. 
 
 
Similaridade 
88 
lg
V
Fr 
P2
VEu






vl
Re
Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de 
inércia e elasticidade, deve-se utilizar o Número de Cauchy. 
 
 
 
Onde E é a elasticidade. 
Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de 
inércia e de tensão superficial, deve-se utilizar o Número de Weber. 
 
 
 
Onde sigma é a tensão superficial. 
Similaridade 
89 
E
v
Ca
2




2lv
We
Problemas Ilustrativos 
Exercício 20 – Água a 0°C escoa numa tubulação horizontal de 75 mm de 
diâmetro a uma velocidade média de 3 m/s. A queda de pressão através de 10 m 
da tubulação é de 14,0 kPa. Calcule a velocidade de escoamento do querosene a 
20°C através de uma tubulação geometricamente similar de 25 mm de diâmetro 
para que os escoamentos sejam dinamicamente similares. Qual a queda de 
pressão estimada através de uma distância de 3 m do tubo de diâmetro 25 mm. 
Despreze o atrito. 
 
Exercício 21 – Um navio de 120 m de comprimento deve ser testado por meio de 
um modelo de 3 m de comprimento. Se o navio move-se a 56 km/h, calcule a 
velocidade com que o modelo deve mover-se para que haja similaridade dinâmica 
entre o modelo e o protótipo. 
 
Exercício 22 – Sobre um vertedor hidráulico liso, ocorre um transbordamento 
com vazão igual a 600 m3/s. Calcule a vazão necessária para se fazer um modelo 
quadrado desta estrutura na escala 1:15 afim de que haja similaridade dinâmica 
entre os dois, desprezando-se o efeito da viscosidade. 
Similaridade 
91 
Outra ferramenta útil na Mecânica dos Fluidos, que está 
intimamente ligada ao princípio da similaridade, é a 
chamada análise dimensional – que é a análise 
matemática das dimensões das grandezas físicas e das 
equações. 
Os métodos da análise dimensional baseiam-se no 
princípio da homogeneidade dimensional, formulado por 
Fourier em 1822, segundo o qual toda equação que 
exprime um fenômeno físico deve ser dimensionalmente 
homogênea, isto é, as dimensões em todos os membros 
de uma equação devem ser as mesmas. 
Afim de ilustrar as etapas matemáticas num problema 
dimensional simples, considere a equação familiar da 
estática dos fluidos, 
 p =h 
Análise Dimensional 
90 
Suponha que as dimensões de  e h sejam conhecidas e as de p 
desconhecidas. As dimensões de p só podem ser uma combinação 
de M, L, T, e esta combinação pode ser descoberta escrevendo-se 
a equação dimensionalmente como, 
(Dimensões de p) = (Dimensões de ) x (Dimensões de h) ou 
 
 
Onde a, b e c são incógnitas. Aplicando-se o princípio da 
homogeneidade dimensional, conclui-se que o expoente em cada 
dimensão fundamental deve ser igual em ambos os membros da 
equação, donde resulta 
a = 1, b = -2 + 1 e c = -2 
Portanto, 
 (Dimensões de p) = 
Análise Dimensional 
91 
L
TL
M
TLM
22
cba 
2
21
LT
M
TML 
92 
 
Unidade 7 – Introdução à Transferência 
de Calor e Massa 
• Conceito 
A transferência de calor (ou calor) é o trânsito de energia provocado 
por uma diferença de temperatura. 
• Mecanismos 
 
 
 
 
 
 
Transferência de Calor 
94 
• Equação geral da transferência de calor 
 
 
 
Sendo que cada um dos termos acima pode ser expresso através 
de suas equações apresentadas a seguir. 
 
Na condução do calor, a equação do fluxo de calor é conhecida 
como lei de Fourier aplicada a uma parede plana unidimensional, 
com distribuição de temperatura T(x), conforme a seguir: 
Transferência de Calor 
95 
0qqq "rad
"
conv
"
cond 
• Condução 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é então, 
 
Ou finalmente, 
 
Onde k é a condutividade térmica do material (W/m.K). 
O fluxo de calor (W/m2) é a taxa de transferência de calor por 
unidade de área. A taxa, no caso, de condução de calor, qx (W) 
através de uma parede plana de área A (m2), é então o produto do 
fluxo de calor pela área, 
Transferência de Calor 
96 
Sendo 
 
com 
 
dx
dT
kq"x 
L
TT
dx
dT 12 
L
TT
kq 12"x


L
T
k
L
TT
kq 21"x




Aqq "xx 
• Convecção 
Ocorre entre um fluido em movimento e uma superfície limitante, 
quando os dois estão em temperaturas diferentes. 
 
 
 
 
 
 
A convecção pode ser classificada de acordo com a natureza do 
escoamento em convecção forçada ou natural. 
Transferência de Calor 
97 
• Convecção 
A convecção forçada existe quando o escoamento é gerado por 
forças externas oriundas, por exemplo, de ventiladores, bombas ou 
por ventos na atmosfera. 
A convecção natural (ou livre) dá-se quando o escoamento é 
provocado pelas forças do empuxo, que se originam das diferençasde densidade devidas às variações de temperatura no fluido. 
Transferência de Calor 
98 
• Convecção 
Independente do tipo de convecção, a equação do fluxo de calor 
devido a este mecanismo, possui a seguinte forma: 
 q” = h (Ts - T) 
ou 
 q” = h (T -Ts) 
onde: 
q” – fluxo de calor convectivo (W/m2); 
Ts – temperatura da superfície; 
T - temperatura do fluido; 
h – coeficiente de convecção de calor (W/m2 .K). 
A expressão anterior é conhecida como a lei de Newton do 
resfriamento. 
Transferência de Calor 
99 
Transferência de Calor 
100 
• Radiação 
Ocorre pela transferência de calor entre superfícies sólidas, líquidas 
e gasosas através de ondas eletromagnéticas associadas a 
temperatura dos corpos. Enquanto a condução e convecção 
precisam de meio material para se transferirem, a radiação não. Na 
realidade a transferência por radiação ocorre com maior eficiência 
no vácuo. 
A determinação da taxa líquida na qual a radiação é trocada entre 
superfícies, é, em geral, bem complicada. Um caso particular, no 
entanto, que ocorre frequentemente em casos práticos, envolve a 
troca líquida de radiação entre uma pequena superfície e uma outra 
superfície maior, que envolve completamente a superfície menor 
(figura a seguir). 
Transferência de Calor 
101 
• Radiação 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o fluxo de calor por radiação entre a superfície e as suas 
vizinhanças é expressa abaixo: 
 
 
onde: 
 - emissividade da superfície (-); 
 - constante de Stefan-Boltzman ( = 5,67.10-8 W/m.K4) 
Transferência de Calor 
102 
)TT(q 4viz
4
s
" 
Exercício 23 
Os gases quentes da combustão, numa fornalha, 
estão separados da atmosfera ambiente e das 
vizinhanças, ambas a 25°C, por uma parede de 
tijolos de 0,15 m de espessura. O tijolo tem 
condutividade térmica de 1,2 W/m.K e 
emissividade superficial de 0,8. Nas condições de 
regime permanente, a temperatura da superfície 
externa é de 100°C. A convecção de calor para o 
ar adjacente é caracterizada por um coeficiente h = 
20 W/m2.K. Qual é a temperatura da superfície 
interna do tijolo? 
 
Transferência de Calor 
103 
É massa em trânsito como resultado da diferença de concentração 
de uma espécie em uma mistura. 
 
• Transferência de massa por difusão 
Considere um recipiente em que duas espécies de gás à mesma 
temperatura e pressão encontram-se separadas por uma parede. 
Se a parede for removida, as espécies se difundirão em direções 
contrárias. 
 
 
104 
Transferência de Massa 
Uma mistura consiste em dois ou mais constituintes 
químicos (espécies) e a quantidade de qualquer espécie i 
pode ser quantificada em função de sua massa 
específica, que neste caso representa, concentração 
mássica no volume da mistura i (kg/m
3) ou sua 
concentração molar Ci (kmol/ m
3). 
• A concentração mássica e a concentração molar são 
relacionadas pela massa molecular Mi (kg/kmol) tal que: 
 ρ = MiCi 
• A massa específica da mistura é: 
 ρ =Σρi 
• Analogamente, o número total de moles por unidade de 
volume da mistura é: 
 C = Σci 
 
Composição de uma mistura 
105 
A quantidade da espécie i em uma mistura, também pode ser 
quantificada em função de sua fração mássica: 
 
 
 
• Ou sua fração molar: 
 
 
 
• Das equações anteriores segue que: 
 
 Σmi=1 e Σxi=1 
Composição de uma mistura 
106 


 iim
C
C
x ii 
• Lei de Fick 
O fluxo associado à transferência de massa por difusão 
da espécie A em uma mistura binária de A em B tem a 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Composição de uma mistura 
107 
Exercício 28 - Hidrogênio gasoso está armazenado a 
uma pressão elevada num recipiente retangular com 
paredes de aço de 10mm de espessura. A concentração 
molar de hidrogênio no aço na face interna do recipiente é 
de 1 kmol/m3, e a concentração molar do hidrogênio no 
aço, na face externa é desprezível. O coeficiente de 
difusão do hidrogênio no aço é 0,26 x 10-12 m2/s. Qual é o 
fluxo de Difusão, em base molar, do hidrogênio através do 
aço? 
108