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Formulário de RESMAT 1 
Prof. Walnório Graça Ferreira 
 
 
FORMULÁRIO 
 
DE 
 
RESISTÊNCIA 
 
DOS 
 
MATERIAIS I 
 
 
 
 
PROF. WALNÓRIO GRAÇA FERREIRA 
 
 
Formulário de RESMAT 1 
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Sumário : 
 
DUAS HIPÓTESES IMPORTANTES ........................................................3 
TRAÇÃO/COMPRESSÃO/CISALHAMENTO..........................................4 
ESTADO PLANO DE TENSÃO..................................................................7 
TORÇÃO.....................................................................................................10 
FLEXÃO.....................................................................................................12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DUAS HIPÓTESES IMPORTANTES 
 
 
 
 Em Resistência dos Materiais são adotadas duas hipóteses extremamente 
importantes que limitam a aplicação das expressões nelas deduzidas. Elas 
são perfeitamente aceitáveis dentro do domínio das pequenas deformações. 
São elas : 
 
 
1)-HIPÓTESE DE BERNOULLI 
 
“As seções permanecem planas após as deformações.” 
 
 
 
1)-LEI DE HOOKE 
 
 
“Há uma relação linear entre tensões e deformações.”
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRAÇÃO/COMPRESSÃO/CISALHAMENTO 
 
 
Tração/Compressão 
 
 
Tensão: 
 
 
A
P
=σ 
P: força axial 
 
 
Deformação: 
 
 
L
L∆
=ε 
 
∆ L : alongamento axial 
 
 
 
Lei de Hooke : 
 
 
 
 
 
EA
PLL =∆
 
 
 
E: Módulo de Elasticidade 
Longitudinal 
EA: Rigidez Axial 
 
ou 
 
 E ε=σ
 
 
 
 
 
 
 
 
Cisalhamento 
 
 
Tensão: 
 
 
A
V
=τ 
V: força cortante 
 
 
Deformação: 
 
L
δ
=γ 
 
δ : deslizamento de uma face em relação 
à outra ( Fig. 1). 
 
 
Lei de Hooke para o 
Cisalhamento: 
 
 
 
 
GA
VL
 =δ
 
 
 
G: módulo de elasticidade transversal 
 
GA: rigidez ao cisalhamento 
 
ou 
 
 G γ=τ
 
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Alongamento para o Caso Genérico : 
 
∫ ∫
σ
=∆ε=∆
L
0
L
0
x
x dxE
L ou dxL 
 
Deformação Lateral : 
 
 
a
a
t
∆
=ε a: dimensão transversal 
 νε−=ε t ∆a: variação da dimensão transversal 
 
 
Deformação Térmica : 
 
TLL ∆α=∆ 
 α: coeficiente de dilatação 
térmica 
T∆α=ε 
 
 
Material Elástico-Plástico : 
 
ELÁSTICAPLÁSTICATOTAL ε+ε=ε 
 
Tensão Admissível : 
 
 
n
σ
=σ 
n : coeficiente de segurança ou 
 coeficiente de minoração 
 (fornecido pela norma) 
 
Deslocamento Admissível : 
 
 norma) pela (fornecido σ 
 
 
 
 
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Energia de deformação por Unidade de Volume : 
(Ou Densidade de Energia) 
 
 
Esforço Axial : Esforço Cortante : 
 
 
 xx2
1
u εσ= xyxy2
1
u γτ= 
 
 
 
Energia de Deformação 
 
 
Esforço Axial : Esforço Cortante : 
 
 
 
EA
LP
2
1U
2
= 
GA
LV
2
1U
2
= 
 
 
Coeficiente de Flexibilidade (esforço axial): 
 
Deslocamento causado por um valor unitário de carga. 
 
EA
Lf = 
 
 
 
Coeficiente de Rigidez (esforço axial): 
 
 Esforço que provoca um deslocamento unitário. 
 
 
L
EA
s = 
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ESTADO PLANO DE TENSÕES 
 
Convenção de Sinal: 
 
Tensão Normal: Tensão Cisalhante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensões em um Plano com Normal Inclinada de θ : 
 
 Conhecidas as tensões xyyx ,, τσσ serão obtidos : 
 
 θτ+θ




 σ−σ
+
σ+σ
=σθ 2sen2cos22 xy
yxyx
 
 
 
( )
θτ+θ
σ−σ
−=τθ 2cos2sen2 xy
yx
 
 
Planos e Tensões Principais (Tensões Normais Extremas ): 
 
 Tensões principais são tensões que possuem valores extremos (máximos 
e mínimos) e os planos onde elas atuam são chamados de planos principais. 
 
Planos Principais: 
 
 
yx
xy
i
2
2tan
σ−σ
τ
=θ 
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Tensões Principais : 
 
 
( ) 2
xy
2
yxyx
2,1 22
τ+
σ−σ
±
σ+σ
=σ 
 
 
Chamando 
2
yx
m
σ+σ
=σ e 
( )
2
xy
2
yx
max 2
τ+
σ−σ
=τ 
 
é obtida outra expressão para as tensões principais: 
 
 maxM2,1 τ±σ=σ 
 
 
Planos e Tensões Cisalhantes Extremas: 
 
 
0
is
0
is
yx
xy
s 45ou 9022ou 
2
2tan +θ=θ+θ=θ
σ−σ
τ
−=θ 
 
 
2
21
m
σ−σ
=τ ou 
( ) 2
xy
2
yx
max 2
τ+
σ−σ
=τ 
 
 
Tensão normal neste plano : 
2
yx
S
σ+σ
=σθ 
 
Propriedades de Planos Perpendiculares : 
 
yx' σ+σ=σ+σ θθ 
 
 θθ τ−=τ ' , para 0' 90+θ=θ 
 
 
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Círculo de Mohr para Tensões (ver convenção da Fig.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2 Círculo de Mohr para tensões. 
 
 
Reservatório de paredes finas: 
 
 Cilíndricos : 
e
pr
=σ 
 
 Esféricos: 
e2
pr
=σFormulário de RESMAT 1 Prof. 
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TORÇÃO 
 
 
Seção Circular : 
 
Tensão Cisalhante : Ângulo de Torção: 
 
J
Tρ
=τ 
GJ
TL
=φ 
 
 GJ:Rigidez à torção 
 
 
Seção Retangular : 
 
Tensão Cisalhante : Ângulo de Torção: 
 
 2
1
max
abc
T2
=τ 
Gabc
TL
3
2
=φ 
 
 a : maior lado 
 b : menor lado 
 ci : tabelado. Quando 3/1cc ba 21 ==⇒∞= 
 
 
Seção Elíptica : 
 
 2
1
max
abc
T 2
=τ 
tGJ
TL
=φ 22
33
t ba
baJ
+
pi
= 
 
 
Seção Triangular : 
 
 3max a
T 20
=τ 
tGJ
TL
=φ 
80
a3J
4
t = 
 
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a: comprimento do lado do triângulo equilátero 
 
 
Seção Vazada de Parede Fina : 
 
iitf τ= 
MA2
Tf = 
iM
i tA2
T
=τ 
 f= fluxo cisalhante 
 ti= espessura de parede 
 AM=área cercada pela linha média 
 
 ∫=φ
Lm
0 i
2
M
ds
t
1
GA4
TL
 
 
 
Transmissão de Potência : 
 
 TwP = 
 
 f2w pi= 
 
 w: velocidade angular 
 
 f:frequência 
 
Assim 
 f2TP pi= ou 
f2
PT
pi
= 
 
Molas Helicoidais de Espiras Compactas : 
 
 
3max d
PR16
pi
=τ 4
3
Gd
ND8P=δ 
 
 
D: diâmetro da espira 
D: diâmetro da barra 
N: número de espiras 
 
 
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FLEXÃO 
 
Esforços : 
 
q
dx
dV
−= V
dx
dM
= q
dx
Md
2
2
−= 
 
 
Tensão e Deformação Normais : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação 
 
 
ky−=ε
 
 
 
Tensão : 
 
 
Eky−=σ
 ou y
I
M
z
−=σ
 
 
onde 
 
 k= curvatura 
ρ
=
1k 
 ρ= raio de curvatura 
 Iz= momento de inércia em relação a z 
 
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Perfis Metálicos : 
 
W
M
=σ 
c
IW z= 
 
 W: módulo de rigidez 
 C: distância entre o CG e fibras extremas 
 
Tensão Cisalhante : 
 
It
VQ
xy =τ tf xyτ= I
VQf = 
(Formula de Jourawski) 
 
onde 
 
 V: força cortante 
 Q: momento estático da área compreendida entre a fibra onde está sendo 
 calculada a tensão e a fibra mais distante da linha neutra 
 t: largura da fibra onde está sendo calculada a tensão 
 
 
Perfil I : 
alma
max A
V
≅τ 
 
 Visto que a alma absorve praticamente todo cortante . Percebe-se isto 
facilmente observando-se a distribuição das tensões cisalhantes na seção sua 
transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Centro de Cisalhamento : 
 
 
 
 
b3
h2
b
e
+
= 
 
 
 
 
 
Deformações de flexão : 
 
Flexa (ver Fig. 3): 
 
 
)1(kv =′′ ou 
EI
M
v =′′
 
 
onde 
 k: curvatura 
 EI: Rigidez à flexão 
 
Rotação : 
 
 
v′=θ
 
(2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1) Valor aproximado da curvatura, válido para pequenas deformações. Para grandes 
deformações 
( )[ ] 232v1
vk
′+
′′
= . 
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(2) Também válida somente para pequenas deformaçõe . Para grandes deformações 
θ=′ tanv . 
 
 
Método dos Momentos Estáticos : 
 
 
Desvio Tangencial : 
 
 
EI
Ag
=δ 
onde 
 A: Área do diagrama de momentos 
 g: distância do centróide 
 
 
Rotação : 
 
 
EI
A
=θ
 
(1)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(1) Valores válidos para pequenas deformações.