ESTIMADORES TIPO RAZÃO SYSTEMATICA

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 ESTIMADORES TIPO RAZÃO
AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES
Os estimadores de medias e totais foram desenvolvidas para amostragem aleatoria simples e amostragem estratificada a partir dos dados de uma variável de interesse Y e, em amostragem aleatória, vimos também a estimativa de uma razão entre duas variáveis . Em estatística é conhecido, principalmente em delineamentos de experimentos, o termo covariavel, dado a uma variável secundaria correlacionada com a variável de interesse; em amostragem, temos também algo semelhante e que chamamos de variável auxiliar. Se a variável de interesse é Y e, se existe uma variável secundaria X correlacionada com Y, fácil de ser observada e da qual sabemos quanto vale a media da população
, então podemos usá-la para melhorar a estimativa de 
. A informação sobre Y contida em X pode ser explicada com um exemplo, citado no livro de Cochran. Desejava-se estimar a população das maiores 196 cidades americanas em 1930, mediante uma amostra aleatória simples de 49 coidades e, o censo de 1920 fornecia a população das 196 cidades(
), ou seja o objetivo era estimar o total da população em 1930, conhecendo-se a população de 1920. A população de cada cidade da amostra foi obtida em 1930 mas a de 1920 já existia assim, a população de 1920 era uma variável auxiliar X e Y, o número de habitantes de cada cidade, é a variavel de interesse. 
Sejam 
 e 
 as medias da amostra; então o estimador tipo razão do total T da população é dada por 
Como vimos anteriormente, 
 é um estimador viezado de da razão 
 e assim, tambem 
 é um estimador viezado de 
. O viez é pequeno se o tamanho da amostra ;e grande. A variância de 
 é dada por 
Como 
, então
Caso a media de Y fosse de interesse, então
 e 
Um estimador de 
 é dado por 
 e dai podemos estimar a variância em ambos casos,
e
 tambem é um estimador viezado de 
, entretanto, para grandes amostras o viez é pequeno. 
	Lembrar que a variância da estimativa de uma razão foi desenvolvida na primeira apostila, sobre amostragem aleatória simples e que o intervalo de confiança é baseado na distribuição normal 
No exemplo do Cochran, citado anteriormente,
 e 
 e 
 (cifras em milhões). O estimador simples do total da população é 
, com 
2988.
	A estimativa tipo razão do total foi
ErroPadrão
	Nota-se a diferença de precisão entre as duas estimativas, advinda do uso da informação da variável auxiliar X.
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
	Se a amostragem é estratificada e aleatória simples em cada estrato, temos duas forma de estimador tipo razão: Estimador tipo razão separado e estimador tipo razão combinado. Para a primeira forma temos a seguinte representação para a população: 
		
	…	
 Estratos 
		
	…	
		
		
	…	
		 
		
	..	
	 valores conhecidos
E para a amostra
		
	…	
		
	…	
		
		
	…	
		
		
	..	
 		
		
	…	
Em cada estrato i obtemos o estimador tipo razão	
. O estimador tipo razão separado da media da população é dado por:
com
Sendo 
Uma estimativa de 
 é dada por
O estimador combinado é construido a partir das estimativas das medias 
 e 
e, conhecendo-se a media da população 
, o estimador é dado por:
A 
 é dada por 
 e 
 as variancias de Y e X da população no estrato i e 
 a correlação de Pearson entre Y e X no estrato i. O estimador para do total da população é
 e sua variancia é dada por
 O desenvolvimento destes resultado estão em Cochran. 
Em ambos casos 
 é estimado por 
, i=1,2, … L e assim temos uma estimativa para a variancia .
EXEMPLO
	Para aplicar estes resultados vamos usar os dados de KISH( ), onde X é o numero de casas de um bloco residencial e Y é o numero de casas alugadas. O objetivo da amostragem é estimar o total de casas alugadas .
	Um programa SAS foi aplicado para a obtenção das estimativas e foi enviado para o APRENDER.
1)Estimativa simples com amostragem aleatória 
; erro padrão=984;
2)Amostragen estratificada
; erro padrão=245;
3)Amostragem aleatória e estimador tipo razão
; erro padrão=268;
4)Amostragem estratificada – tipo razão separado
; erro padrão=137;
5)Amostragem estratificada – tipo razão combinadao
; ero padrão=153;
	O estimador tipo razão separado usa a informação de 
e de 
para se obter o estimador final 
, enquanto que o estimador combinado usa somente a media da população 
 e da razão 
, portanto, espera-se que o primeiro tenha variância menor do que o segundo. Se a variabilidade entre os 
 é pequena , então os dois resultados são próximos. 
Fica para o leitor comparar os resultados.
OBS: A amostra que foi usada no caso 1), foi diferente da amostra estratificada, entretanto, o programa evidencia uma forma em que o SAS pode ser utilizado.
REFERENCIAS
Cochran,W. G. (1997). Sampling Techniques . Third edition. Wiley. 
 SAS. (2003). Statistical Analysis System Institute Inc. Cary. North Carolina: SAS
Institute. Inc. Version 9.3.
Kish, L. (1965) Survey sampling. Wiley.
 AMOSTRAGEM SISTEMATICA
	Amostragem aleatoria simples é irrestrita: Se N é o tamanho da população, uma das possíveis amostras, de um total de 
, é selecionada com probabilidade uniforme; sobre os elementos da população não existe nenhuma restrição. Na amostragem sistemática, começamos por caracterizar a população da seguinte forma:
1)
, 
, …, 
, (população)
2) Faça N=nk,
onde n é o tamanho da amostra e k um numero inteiro.
A forma de seleção da amostra é a seguinte. Ordene a população de 1 a N; escolha aleatoriamente um numero entre 1 e k; seja este numero 
, então os elementos da amostra são: 
, 
, 
, …., 
.
Assim, o numero de possiveis amostras é apenas k e um elemento da população pertence a apenas uma amostra, isto é, as amostras são mutuamente excludentes em relação aos seus elementos, diferente da amostragem aleatória simples. Para melhor representar o processo, construiremos a seguinte tabela:
 Amostras
1	 2 ....... i .... k
 
 …. 
 .... 
	
 …. 
 .... 
.................................................
	
 …. 
 .... 
…………………………………
	
 …. 
 ..... 
Onde a ordem 
, 
, …, 
, foi transformada em uma ordem com dois índices. Para representar os valores de uma variável de interesse Y, temos a seguinte tabela
 Amostras
1	 2 ....... i .... k
	
 …. 
 .... 
	
 …. 
 .... 
.................................................
	
 …. 
 .... 
…………………………………
	
 …. 
 ..... 
----------------------------------------
	
 …. 
 ..... 
 Possiveis Medias
Usamos duplo índice para facilitar o entendimento: i representa a amostra e j o elemento de cada amostra. Neste caso, como um elemento de uma amostra não aparece em outra, podemos usar letras minúsculas para a amostra ou maiúsculas. Por exemplo, se N=20 e n=5, então 20=(5)(4) e temos 4 amostras. Seja 
, então os valores de Y da amostra são 
, 
, 
, 
, 
, que pela tabela acima ficaria
, 
, 
, 
, 
.
entretanto, de uma forma mais simples, os valores da variável Y na amostra podem ser representados por 
, 
, 
, 
, 
. Para uma amostra de tamanho n, o estimador da media da população 
 é 
, onde o indice s significa sistemática,
um estimador não viesado. 
�� EMBED Equation.3 =
=
A variancia de 
 pode ser deduzida usando a técnica de analise da variância; examinando a tabela anterior com as possíveis amostras e medias podemos imaginar um modelo de analise de variância com uma classificação,sendo o fator classe as amostras. A tabela da ANOVA é a seguinte : 
FV		GL	 SQ		 QM
Amostras	k-1 
=SQA 
Erro 	k(n-1)	 
=SQE 
=
Total 		nk-1	 
 =SQT 
=
FV= fontes de variação
GL=grau de liberdade
SQ=soma de quadrados
QM=quadrado médio
A soma de quadrados entre amostras(SQA) reflete a variabilidade entre suas medias enquanto que a soma de quadrados do erro(SQE) reflete a variabilidade dentro de cada amostra.
Observamos que 
, a variancia da população, usando a ordenação natural e considerando que as amostras são mutuamente excludentes. Por sua vez, 
 é o quadrado medio do erro. Como sabemos da analise da variância, SQT=SQA+SQE; assim,
 
=
.
A variancia de 
 é dada por
 e, substituindo na expressão anterior,
=
, e 
=
. Simplificando, temos que
Esta forma da variancia da media de uma amostra sistematica evidencia que quanto maior 
, menor é a variância ou, quanto maior a variabilidade dentro das amostras, menor a variância da media. A forma de ordenar a população influencia a variabilidade dentro das amostras. Como exemplo, vamos supor que uma empresa tem 2000 funcionarios e que esta sendo discutido a implantação de um novo plano de saúde, o qual será pago, em parte, pelos empregados. Deseja-se fazer uma pesquisa por amostragem com o objetivo de avaliar a preferência por este plano. Se ordenarmos a população pelo salário dos funcionários, uma amostragem sistemática pode apresentar uma variabilidade grande entre os elementos das amostras, que conterá funcionários com os mais variados salários. Um resultado derivado desta característica as amostragem sistemática é o seguinte:
A variância da media de uma amostra sistematica , 
, é menor do que a variância de uma amostra aleatória simples se e somente se 
. 
Para provar este resultado, compare 
 com 
.
	Existe outra forma de evidenciar esta propriedade da amostragem sistemática e para chegar a ela precisamos definir correlação intra classe. A correlação intraclasse 
é dada por :
 .
Este coeficiente reflete a heterogeneidade dos elementos das amostras, isto é, quanto maior a variabilidade entre eles, menor é 
. Vamos dar dois exemplos.
	Exemplo1. Suponha que para a variável de interesse(Y), a ordem de uma população com N=10 é:
1,6,2,7,3,8,4,9,5,10(valores de Y)
Com n=5, as duas possíveis amostras são
1,2,3,4,5 e 6,7,8,9,10.(valores de Y)
Qual o valor de 
?. Como esta no livro de Lohr(,..), baseado na analise de variância que vimos anteriormente, 
 é dado pela formula
, 
 A analise de variância dos dados é a seguinte:
 FV GL SQ QM
Amostras 1 62.50 62.50 
 Error 8 20.00 2.50
 Total 9 82.50
No nosso caso :
Como sabemos, a variabilidade entre os elementos das amostras é baixa.
Exemplo 2. Suponha que para a variável de interesse(Y), a ordem da mesma população com N=10 é:
1,8,10,4,2,7,9,5,3,6(valores de Y)
As possíveis amostras com n=5 são:
1,10,2,9,3 e 8,4,7,5,6(valores de Y).
A ANOVA forneceu os seguintes dados:
 FV GL SQ QM
 Amostras 1 2.50 2.50 
 Erro 8 80.00 10.00
 Total 9 82.50 9.17
Este resultado evidencia a grande variabilidade entre os elementos das amostras.
	Com este conhecimento, temos o seguinte resultado:
 Em amostragem sistematica, 
Este resultado esta provado no livro de Cochran.
Quanto menor 
, menor a 
, isto é, quanto maior a variabilidade entre os elementos das amostras, menor será 
. No exemplo 2, 
, 
. No exemplo 1, 
, 
. Se a amostra fosse aleatoria simples, 
.
	O que vimos ate aqui sobre amostragem sistemática, permite tirar as seguintes conclusões:
1)Pode ser mais fácil e rápida do que AAS
2)Sua eficiência depende da ordenação da população.
	O ponto negativo que falta é a estimativa da 
. Não há um estimador para 
. Entretanto, na maior parte dos casos, a amostragem sistemática da resultado comparavel ao da amostragem aleatória simples e os metodos associados à AAS podem ser usados em amostragem sistemática(Lohr-1999). O livro de Cochran contem um estudo mais amplo de amostragem sistemática.
REFERENCIAS
Cochran,W. G. (1997). Sampling Techniques . Third edition. Wiley. 
Sharon, L. L.(1999). Sampling: Design and Analysis. Duxbury Press. .
	
LUCIO JOSE VIVALDI. TECNICAS DE AMOSTRAGEM. DEPART. EST. UnB
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