Lista de exercícios 2.2 com resolução - EDO Alexsandro

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-A´RIDO
Centro de Cieˆncias Exatas e Naturais - Ensino de Graduac¸a˜o
Equac¸o˜es Diferenciais – Lista 2.2 - Equac¸o˜es Lineares de ordem 2.
Prof. Alexsandro Bele´m – email address: alexsandro.belem@ufersa.edu.br
1. Considere uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea de ordem n
an(x)
d(n)y
dxn
+ · · ·+ a2(x)d
2y
dx2
+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = 0
onde cada coeficiente ai(x), i = 0, . . . , n, e´ cont´ınuo em algun intervalo I e an(x) e´ na˜o
identicamente nulo nesse intervalo.
(a) Prove que o conjunto E de todas as soluc¸o˜es dessa equac¸a˜o e´ um espac¸o vetorial
sobre R.
(b) Qual a dimensa˜o do espac¸o vetorial do item anterior? Justifique.
2. Verifique que y1 = 1 e y2 = lnx sa˜o soluc¸o˜es para e ED na˜o-linear y
′′ + (y′)2 = 0
no intervalo (0,∞). y1 + y2 e´ uma soluc¸a˜o para essa equac¸a˜o? c1y1 + c2y2, c1 e c2
constantes arbitra´rias, e´ uma soluc¸a˜o para essa equac¸a˜o? Isso contradiz o princ´ıpio da
superposic¸a˜o?
3. Verifique que y =
1
x
e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial na˜o-linear y′′ = 2y3
no intervalo (0,∞). Mais ainda, verifique que um mu´ltiplo y = k 1
x
para essa mesma
equac¸a˜o quando k 6= ±1. Isso contradiz o corola´rio do princ´ıpio da superposic¸a˜o?
4. Enuncie e prove o princ´ıpio da superposic¸a˜o para equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de
ordem 2.
5. Cosidere a equac¸a˜o diferencial
x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0.
(a) Verifique que y1 = x
3 e y2 = |x|3 sa˜o soluc¸o˜es L.I. dessa em (−∞,∞).
(b) Mostre que W (y1, y2) = 0 para todo nu´mero real. Isso viola o crite´rio para inde-
pedeˆncia de soluc¸o˜es?
(c) Verifique que Y1 = x
3 e Y2 = x
2 sa˜o tambe´m soluc¸o˜es L.I. para a equac¸a˜o no
mesmo intervalo.
(d) Encontre uma soluc¸a˜o que satizfac¸a y(0) = 0, y′(0) = 0.
(e) Pelo princ´ıpio da superposic¸a˜o ambas as combinac¸o˜es lineares
y = c1y1 + c2y2 e Y = c1Y1 + c2Y2
sa˜o soluc¸o˜es para a equac¸a˜o. Qual delas e´ a soluc¸a˜o geral para essa equac¸a˜o em
(−∞,∞)
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Questão 45 Zill pág 166nullnull
Usuario
Seta
Questão 31 Zill pág 165nullnull
Usuario
Seta
Questão 32 Zill pág 165nullnull
6. Considere a equac¸a˜o diferencial se segunda ordem
a2(x)y
′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0 (1)
em que ai(x), i = 0, 1, 2 e´ cont´ınua me um intervalo I e a2(x) 6= 0 para todo x ∈ I.
Pelo teorema de existeˆncia e unicidade existe uma u´nica soluc¸ao y1 para a equac¸a˜o que
satisfac¸a y(x0) = 1 e y
′(x0) = 0, onde x0 ∈ I. Da mesma forma, existe uma u´nica
soluc¸a˜o y2 dessa equac¸a˜o que satisfac¸a y(x0) = 0 e y
′(x0) = 1. Prove que y1 e y2
formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para essa equac¸a˜o no intervalo I.
7. Sejam y1 e y2 duas soluc¸o˜es para a equac¸a˜o de segunda ordem (1) sujeita as mesma
hipo´teses.
(a) Se W (y1, y2) e´ o Wronskiano de y1 e y2, mostre que
a2(x)
dW
dx
+ a1(x)W = 0.
(b) Deduza a fo´rmula1
W = ke−
∫
(a1(x)/a2(x))dx
onde k e´ uma constante.
(c) Usando a fo´rmula alternativa
W = ke
− ∫ x
x0
(a1(t)/a2(t))dt
para x0 ∈ I, mostre que
W (y1, y2) = W (x0)e
− ∫ x
x0
(a1(t)/a2(t))dt.
(d) Mostre que se W (x0) = 0, enta˜o W = 0 para todo x ∈ I, enquato que W (x0) 6= 0,
implica W 6= 0 para todo x no intervalo.
8. Se y1 e y2 sa˜o duas soluc¸o˜es para (1− x2)y′′− 2xy′+n(n+ 1)y = 0 em (−1, 1), mostre
que W (y1, y2) = k/(1− x2), em que k e´ uma constante.
9. Na unidade 3, veremos que as soluc¸o˜es y1 e y2 de xy
′′+y′+xy = 0 em (0,∞), sa˜o se´ries
infinitas. Suponha que considereadas as condic¸o˜es iniciais y1(x0) = k1, y
′
1(x0) = k2 e
y2(x0) = k3, y
′
2(x0) = k4 para x0 > 0. Mostre que
W (y1, y2) =
(k1k4 − k2k3)x0
x
10. Equac¸o˜es Exatas. A equac¸a˜o de segunda ordem P (x)y′′ + Q(x)y′ + R(x)y = 0 e´
dita exata se puder ser escrita na forma [P (x)y′]′ + [f(x)y]′ = 0, onde f(x) pode ser
determinada em func¸a˜o de P (x), Q(x) e R(x). Essa ultima equac¸a˜o pode ser integrada
uma vez imediatamente, resultando em uma equac¸a˜o de primeira ordem em y que
pode ser resolvida por me´todos ja´ conhecidos. Igualando os coeficientes das equac¸o˜es
precedentes e eliminando f(x), mostre que uma condic¸a˜o necessa´ria para que a equac¸a˜o
seja exata e´ que P ′′(x)−Q′(x)+R(x) = 0. Pode-se mostrar que essa condic¸a˜o e´ tambe´m
suficiente.
1Esse resultado foi obtido por Niels Henrik Abel (1802-1829) em 1827 e e´ conhecido como fo´rmula de
Abel. Abel foi um brilhante matema´tico noruegueˆs cuja morte tra´gica aos 26 anos, devida a tuberculose,
representou uma perda inestima´vel para a matema´tica. Um de seus grandes feitos foi a soluc¸a˜o para um
problema que confundiu os matema´ticos por se´culos: ele provou que uma equac¸a˜o polinomial geral de grau 5
na˜o pode ser resolvida algebricamente - ou seja, por meio de radicais. Suas maiores contribuic¸o˜es, no entanto,
foram em ana´lise, particulamente no estudo de func¸o˜es el´ıpticas. Infelizmente, seu trabalho permaneceu pouco
conhecido ate´ apo´s sua morte. Legendre, importante matema´tico franceˆs, disse que sua contribuic¸a˜o era “um
monumento mais dourado que o bronze”. Ainda sobre equac¸o˜es polinomiais, contemporaˆneo de Abel, o
tambe´m franceˆs Evarist Galois, enta˜o generalizou esse fato e provou que uma equac¸a˜o polinomial de grau
n, com n > 4, na˜o pode ser resolvida algebricamente. Galois e´, pois, outra figura tra´gica na histo´ria da
matema´tica; ativista polit´ıco, foi morto aos 22 anos de idade em um duelo.
2
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Questão 46 Zill pág 166nullnull
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Questão 47 Zill pág 166nullnull
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Questão 48 Zill pág 166nullnull
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Questão 49 Zill pág 166nullnull
11. Verifique, usando o exerc´ıcio anterior, se a equac¸a˜o dada e´ exata. Se for, resolva-a.
(a) y′′ + xy′ + y = 0.
(b) y′′ + 3x2y′ + xy = 0.
(c) xy′′ − (cosx)y′ + (sinx)y = 0, x > 0.
(d) x2y′′ + xy′ − y = 0, x > 0.
12. A Equac¸a˜o Adjunta. Se uma equac¸a˜o linear homogeˆnea de segunda ordem na˜o
e´ exata, ela pode ser tornada exata multiplicando-se multiplicando por um fator in-
tegrante apropriado µ(x). Precisamos, enta˜o, que µ(x) seja tal que µ(x)P (x)y′′ +
µ(x)Q(x)y′ + µ(x)R(x)y = 0 pode ser escrita na forma [µ(x)P (x)y′]′ + [f(x)y]′ = 0.
Igualando os coeficientes nessas duas equac¸o˜es e eliminando f(x), mostre que a func¸a˜o
µ precisa satisfazer
Pµ′′ + (2P ′ −Q)µ′ + (P ′′ −Q′ +R)µ = 0.
Essa equac¸a˜o e´ conhecida como a adjunta da equac¸a˜o original e e´ importante na teoria
avancada das equac¸o˜es diferenciais. Em geral, o problema de resolver a equac¸a˜o dife-
rencial adjunta e´ ta˜o dif´ıcil quanto o de resolver a equac¸a˜o original, de modo que so´ e´
poss´ıvel encontrar um fator integrante para uma equac¸a˜o de segunda ordem ocasional-
mente.
13. Encontre a adjunta da equac¸a˜o diferencial dada.
(a) x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y = 0, (Equac¸a˜o de Bessel).
(b) (1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0, (Equac¸a˜o de Legendre).
(c) y′′ − xy = 0, (Equac¸a˜o de Airy).
Essa equac¸o˜es sa˜o resolvidas por meio de se´ries de poteˆncias e sera˜o estudadas na
unidade III.
14. Para a equac¸a˜o linear de segunda ordem P (x)y′′ + Q(x)y′ + R(x)y = 0, prove que a
adjunta da equac¸a˜o adjunta e´ equac¸a˜o original.
15. Uma equac¸a˜o linear de segunda ordem P (x)y′′+Q(x)y′+R(x)y = 0 e´ dita auto-adjunta
se sua adjunta e´ igual a equac¸a˜o original. Prove que uma condic¸a˜o necessa´ria para essa
equac¸a˜o ser auto-adjunta e´ que P ′(x) = Q(x). Determine se cada uma das equac¸o˜es
dadas no problema 13 e´ auto-adjunta.
16. Enuncie o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o para equac¸o˜es homogeˆneas de ordem n. Mais
ainda, prove esse princ´ıpio no caso n = k = 2.
17. Resolva alguns exerc´ıcios das sec¸a˜o 4.1 do Livro do Zill, subsec¸a˜o 4.1.3., itens 33 a 44.
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Zill pág 153
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
EQUAÇÕES DIFERENCIÁVEISORDINÁRIAS – EDO 
LISTA 2.2 – RESOLUÇÃO 
MATHEUS MEDEIROS GRANGEIRO 
 
1- 
2- 𝒚𝟏
′ = 𝟎 𝒆 𝒚𝟏
′′ = 𝟎. 𝒚𝟐
′ =
𝟏
𝒙
 𝒆 𝒚𝟐
′′ = −
𝟏
𝒙𝟐
. Substituindo as derivadas de 𝒚𝟏 
na E.D, obtemos 𝟎 = 𝟎. Fazendo o mesmo para as derivadas de 𝒚𝟐, 
também obtemos 𝟎 = 𝟎. Com isso, conclui-se que 𝒚𝟏 = 𝟏 𝒆 𝒚𝟐 = 𝐥𝐧 𝒙 
são soluções para a E.D. 
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟏 + 𝐥𝐧 𝒙 → (𝒚𝟏 + 𝒚𝟐)
′ =
𝟏
𝒙
 → (𝒚𝟏 + 𝒚𝟐)
′′ = −
𝟏
𝒙𝟐
. Então 
𝟏
𝒙𝟐
+ (
𝟏
𝒙
)
𝟐
= 𝟎. Com isso, também se conclui que 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟏 + 𝐥𝐧 𝒙 é 
também solução da E.D. 
𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐 = 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝐥𝐧 𝒙 → (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝐥𝐧 𝒙)′ =
𝒄𝟐
𝒙
 → (𝒄𝟏 +
𝒄𝟐 𝐥𝐧 𝒙)′′ = −
𝒄𝟐
𝒙𝟐
. Então −
𝒄𝟐
𝒙𝟐
+ (
𝒄𝟐
𝒙
)
𝟐
= −
𝒄𝟐
𝒙𝟐
+
𝒄𝟐
𝟐
𝒙𝟐
= 𝒄𝟐
𝟐 − 𝒄𝟐 → 𝒄𝟐
𝟐 −
𝒄𝟐 = 𝟎 → 𝒄𝟐(𝒄𝟐 − 𝟏) = 𝟎. 𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐 só será solução da E.D quando 
𝒄𝟐 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒄𝟐 = 𝟏. 
 
3- a) 𝒚′ = −
𝟏
𝒙𝟐
 𝒆 𝒚′′ =
𝟐
𝒙𝟑
. Substituindo as derivadas de 𝒚 na E.D, obtemos 
𝟐
𝒙𝟑
=
𝟐
𝒙𝟑
. Com isso, conclui-se que 𝒚 =
𝟏
𝒙
 é solução para essa E.D. 
b) 𝒚′ = −
𝒌
𝒙𝟐
 𝒆 𝒚′′ = −
𝟐𝒌
𝒙𝟑
. Substituindo na E.D, temos: −
𝟐𝒌
𝒙𝟑
= 𝟐 (
𝒌
𝒙
)
𝟑
 →
 𝒌 = 𝒌𝟑 
 
4- 
5- a) 𝒚𝟏 = 𝒙
𝟑, 𝒚𝟏
 ′ = 𝟑𝒙𝟐, 𝒚𝟏
′′ = 𝟔𝒙. Substituindo na E.D, obtemos 𝟎 = 𝟎. 
Para 𝒚𝟐 < 𝟎, 𝒚𝟐 = −𝒙
𝟑, 𝒚𝟐
′ = −𝟑𝒙𝟐, 𝒚𝟐
′′ = −𝟔𝒙. Novamente 
substituindo na E.D, obtemos também 𝟎 = 𝟎. Já para 𝒚𝟐 > 𝟎, 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏 =
𝒙𝟑, e da mesma forma obteremos 𝟎 = 𝟎. Com isso, 𝒚𝟏 𝒆 𝒚𝟐 realmente são 
soluções para a E.D. 
Analisando os gráficos, observa-se que não tem como uma função ser 
múltipla da outra e, com isso, conclui-se que as mesmas são L.I. 
 
b) 𝑾(𝒙𝟑, −𝒙𝟑) = | 𝒙³ −𝒙³
𝟑𝒙² −𝟑𝒙²
| = 𝟎 onde 𝒚𝟐 < 𝟎 e 𝑾(𝒙
𝟑, 𝒙𝟑) =
| 𝒙³ 𝒙³
𝟑𝒙² 𝟑𝒙²
| = 𝟎 onde 𝒚𝟐 > 𝟎, 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏. Portanto, para todo número 
real 𝑾(𝒚𝟏, 𝒚𝟐) = 𝟎. Isso não viola o critério para independência de 
soluções pois o fato de que 𝑾(𝒚𝟏, 𝒚𝟐) = 𝟎 não implica que as soluções 
sejam linearmente dependentes. 
 
c) 𝒚𝟏 = 𝒙³ já foi verificado que é solução. Verificando 𝒚𝟐 = 𝒙
𝟐, temos que 
𝒚𝟐
′ = 𝟐𝒙, 𝒚𝟐
′′ = 𝟐. Substituindo na E.D, obtemos 𝟎 = 𝟎. Com isso, 𝒚𝟐 
também é solução. Fazendo 𝑾(𝒀𝟏, 𝒀𝟐) = 𝑾(𝒙
𝟑, 𝒙²) = | 𝒙³ 𝒙²
𝟑𝒙² 𝟐𝒙
| =
−𝒙𝟒 ≠ 𝟎. Portanto, (𝒀𝟏, 𝒀𝟐) são soluções L.I para a E.D. 
 
d) Ambas as soluções do item anterior satisfazem 𝒚(𝟎) = 𝟎 𝒆 𝒚′(𝟎) = 𝟎. 
 
e) Para que uma solução 𝑦 seja solução geral de uma E.D, as soluções que 
compõem a solução geral devem ser L.I em todo o intervalo, ou seja, o 
Wronskiano não pode ser nulo para nenhum valor de 𝑥. Nos itens 
anteriores, vimos que 𝑾(𝒚𝟏, 𝒚𝟐) = 𝟎 para todos números reais. Já 
𝑾(𝒀𝟏, 𝒀𝟐) = 𝟎 quando 𝒙 = 𝟎. Então, nenhuma das combinações 
lineares citadas na questão é solução geral para a E.D. 
 
6- Como estamos tratando de uma E.D de 2º grau homogênea, inicialmente 
supomos que 𝒚𝟏 𝑒 𝒚𝟐 são L.D. Isso implica dizer que 𝒚𝟏 = 𝒄𝒚𝟐, 𝒚𝟏′ =
𝒄𝒚𝟐′, onde 𝑐 é uma constante arbitrária não nula. Para que as condições 
sejam satisfeitas, 𝒚𝟏(𝒙𝟎) = 𝒄𝒚𝟐(𝒙𝟎) → 𝟏 = 𝒄. 𝟎. Que é contraditório. 
Então 𝒚𝟏 𝒆 𝒚𝟐 só podem ser L.I, e sendo L.I formam um conjunto 
fundamental de soluções. 
 
7- 
 
8- Neste caso, usaremos a fórmula 𝑾 = 𝒌𝒆
− ∫
𝒂𝟏(𝒙)
𝒂𝟐(𝒙)
𝒅𝒙
, onde 𝒂𝟏(𝒙) =
−𝟐𝒙 𝒆 𝒂𝟐(𝒙) = (𝟏 − 𝒙
𝟐). Então, ficamos com 𝑾 = 𝒌𝒆
− ∫
−𝟐𝒙
(𝟏−𝒙𝟐)
𝒅𝒙
 onde 
𝒖 = (𝟏 − 𝒙𝟐) 𝒆 𝒅𝒖 = −𝟐𝒙 𝒅𝒙. Substituindo, 𝑾 = 𝒌𝒆− ∫
𝒅𝒖
𝒖
𝒅𝒖 =
− 𝐥𝐧|𝒖| = − 𝐥𝐧(𝟏 − 𝒙𝟐). Prosseguindo, 𝑾 = 𝒌𝒆−𝐥𝐧 (𝟏−𝒙
𝟐), onde − 𝐥𝐧(𝟏 −
𝒙𝟐) = 𝐥𝐧(𝟏 − 𝒙𝟐)−𝟏. Então 𝑾 = 𝒌𝒆𝐥𝐧(𝟏−𝒙
𝟐)
−𝟏
=
𝒌
(𝟏−𝒙𝟐)
. 
9- 
10- 
11- 
12- 
13- 
14- 
15- 
16- Sejam 𝒚𝟏 𝒆 𝒚𝟐 soluções para a E.D 𝒂𝟐(𝒙)𝒚
′′ + 𝒂𝟏(𝒙)𝒚
′ + 𝒂𝟎(𝒙)𝒚 = 𝟎. 
Então a combinação linear 𝒚 = 𝒄𝟏𝒚𝟏(𝒙) + 𝒄𝟐𝒚𝟐(𝒙) onde 𝒄 são constantes 
arbitrárias, é também uma solução para a E.D. 
Definindo 𝒚 = 𝒄𝟏𝒚𝟏(𝒙) + 𝒄𝟐𝒚𝟐(𝒙), 𝒚′ = 𝒄𝟏𝒚𝟏′(𝒙) + 𝒄𝟐𝒚𝟐′(𝒙), 𝒚′′ =
𝒄𝟏𝒚𝟏′′(𝒙) + 𝒄𝟐𝒚𝟐′′(𝒙), substitui os 𝑦 na E.D. Substituindo, obtemos: 
𝒂𝟐(𝒙)[𝒄𝟏𝒚𝟏
′′ + 𝒄𝟐𝒚𝟐
′′] + 𝒂𝟏(𝒙)[𝒄𝟏𝒚𝟏
′ + 𝒄𝟐𝒚𝟐
′ ] + 𝒂𝟎(𝒙)[𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐]. 
Colocando 𝑐1 𝑒 𝑐2 em evidência, temos: 𝒄𝟏[𝒂𝟐(𝒙)𝒚𝟏
′′ + 𝒂𝟏(𝒙)𝒚𝟏
′ +
𝒂𝟎(𝒙)𝒚𝟏] + 𝒄𝟐[𝒂𝟐(𝒙)𝒚𝟐
′′ + 𝒂𝟏(𝒙)𝒚𝟐
′ + 𝒂𝟎(𝒙)𝒚𝟐]. Neste ponto, vemos 
que os termos que multiplicam as constantes são iguais a zero. Ou seja, 
𝒄𝟏 × 𝟎 + 𝒄𝟐 × 𝟎 = 𝟎. Foi confirmado que as soluções são L.D, portanto 
um múltiplo 𝒚 = 𝒄𝟏𝒚𝟏(𝒙) de uma solução 𝒚𝟏(𝒙) é também uma solução.