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Lista de exercícios – cap. 2 – 
Nos problemas de 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de 
adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são 
espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os 
axiomas que não se verificam. 
1) ܫܴ³, (ݔ,ݕ, ݖ) 	+ 	(ݔᇱ ,ݕᇱ, ݖᇱ) 	= 	 (ݔ + ݔᇱ ,ݕ + ݕᇱ, ݖ + ݖᇱ) 
݇(ݔ,ݕ, ݖ) 	= 	 (0,0,0) 
2) {(ݔ, 2ݔ, 3ݔ); 	ݔ	Є	ܫܴ} com as operações usuais 
3) ܫܴ²	, (ܽ, ܾ) 	+ 	 (ܿ,݀) 	= 	 (ܽ, ܾ)	݁	ߙ(ܽ, ܾ) 	= 	 (ߙܽ,ߙܾ) 
4) ܫܴ², (ݔ,ݕ) 	+ 	(ݔᇱ ,ݕᇱ) 	= 	 (ݔ + ݔᇱ ,ݕ + ݕᇱ)	݁	ߙ(ݔ,ݕ) 	= 	 (ߙ²ݔ,ߙ²ݕ) 
5) ܫܴ², (ݔ,ݕ) 	+ 	(ݔᇱ ,ݕᇱ) 	= 	 (ݔ + ݔᇱ ,ݕ + ݕᇱ)	݁	ߙ(ݔ,ݕ) 	= 	 (ߙݔ, 0) 
6) ܣ = 	 {(ݔ,ݕ)	Є	ܫܴ²/ݕ = 5ݔ}	 com as operações usuais 
7) ܣ = ቄቀ0 ܽ
ܾ 0ቁЄ	ܯ(2,2)/	ܽ, ܾ	Є	ܫܴቅ com as operações usuais 
Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjuntos de IR². Verificar 
quais deles são subespaços vetoriais do IR² relativamente às operações de 
adição e multiplicação por escalar usuais. 
8) ܵ = 	 {(ݔ,ݕ)/ݕ = 	 −ݔ} 
9) ܵ = 	 {(ݔ, ݔ²); 	ݔ	Є	ܫܴ} 
10) ܵ = 	 {(ݔ,ݕ)/	ݔ + 3ݕ = 0} 
11) ܵ = {(ݕ,ݕ); 	ݕ	Є	ܫܴ} 
12) ܵ = 	 {(ݔ,ݕ)/	ݕ = ݔ + 1} 
13) ܵ = 	 {(ݔ,ݕ)/ݔ ≥ 0} 
Nos problemas 14 a 25 são apresentados subconjuntos de IR³. Verificar 
quais são seus subespaços em relação às operações de adição e 
multiplicação por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que 
as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-
exemplo. 
14) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/ݔ = 4ݕ	݁	ݖ = 0} 
15) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/ݖ = 2ݔ − ݕ} 
16) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/ݔ = ݖ²} 
17) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/ݕ = ݔ + 2	݁	ݖ = 0} 
18) ܵ = {(ݔ, ݔ, ݔ); 	ݔ	Є	ܫܴ} 
19) ܵ = {(ݔ, ݔ, 0)/ݔ	Є	ܫܴ} 
20) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/ݔݕ = 0} 
21) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/ݔ = 0	݁	ݕ = |ݖ|} 
22) ܵ = {(ݔ,−3ݔ, 4ݔ); 	ݔ	Є	ܫܴ	} 
23) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/ݔ ≥ 0} 
24) ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ)/	ݔ + ݕ + ݖ = 0} 
25) ܵ = {(4ݐ, 2ݐ,−ݐ); 	ݐ	Є	ܫܴ} 
26) Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2): 
a) ܵ = ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	ܿ = 	ܽ + ܾ	݁	݀ = 0		ቅ 
b) ܵ = 	 ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	ܽ, ܾ, ܿ		Є	ܫܴ	ቅ(matrizes triangulares superiores) 
c) ܵ = ቄቀܽ ܾ
ܾ ܿ
ቁ ; 	ܽ, ܾ, ܿ		Є	ܫܴቅ(matrizes simétricas) 
d) ܵ = ቄቀ ܽ ܽ + ܾ
ܽ − ܾ ܾ
ቁ ; 	a, b		Є	IR	ቅ 
e) ܵ = ቄቀܽ 1
ܽ ܾ
ቁ ; 	a, b		Є	IRቅ 
f) ܵ = 	 ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	ad	– 	bc	 ≠ 0ቅ(conjunto de matrizes inversíveis) 
27) Sejam os vetores ݑ = (2,−3,2) eݒ = (−1,2,4) em IR³. 
a) Escrever o vetor ݓ = (7,−11,2) como combinação linear de ݑ e ݒ. 
b) Para que o valor de ݇ o vetor (−8,14,݇) é combinação linear de ݑ e ݒ? 
c) Determinar uma condição entre a,b e c para que o vetor (ܽ, ܾ, ܿ) seja uma 
combinação linear de ݑ e ݒ. 
28) Consideremos no espaço ܲ2 = 	 {ܽݐ²	 + ܾݐ	 + 	ܿ/	ܽ, ܾ, ܿ	Є	ܫܴ} os vetores 
݌ଵ = 	ݐ²	 − 	2ݐ	 + 	1, ݌ଶ = 	ݐ + 2	e ݌ଷ = 	2ݐ²	 − ݐ. 
a) Escrever o vetor ݌ = 	5ݐ²	 − 	5ݐ	 + 	7como combinação linear de ݌ଵ, ݌ଶ e ݌ଷ. 
b) Escrever o vetor ݌ = 	5ݐ²	 − 	5ݐ	 + 7	como combinação linear de ݌ଵ e݌ଶ. 
c) Determinar uma condição para a, b e c de modo que o vetor ܽݐ²	+ 	ܾݐ	 + 	ܿ 
seja combinação linear de ݌ଶ e ݌ଷ. 
d) É possível escrever ݌ଵ como combinação linear de ݌ଶ e ݌ଷ? 
29) Seja o espaço vetorial M(2,2) e os vetores: 
ݒଵ = 	 ቀ1 01 1ቁ, ݒ2 = ቀ−1 20 1ቁe ݒଷ = ቀ0 −12 1 ቁ 
escrever o vetor: 
ݒ = ቀ1 80 5ቁ,como combinação linear dos vetores ݒଵ,ݒଶ e ݒଷ. 
30) Escrever o vetor 0 Є IR² como combinação linear dos vetores 
a) ݒଵ = (1,3) e ݒଶ = (2,6) 
b) ݒଵ = (1,3) e ݒଶ = (2,5) 
31) Sejam os vetores ݒଵ = (−1,2,1),ݒଶ = (1,0,2) e ݒଷ = (−2,−1,0). Expressar 
cada um dos vetores ݑ = (−8,4,1),ݒ = (0,2,3) e ݓ = (0,0,0) como combinação 
linear de ݒଵ, ݒଶ e ݒଷ. 
32) Expressar o vetor ݑ = (−1,4,−4,6) Є IR4 como combinação linear dos 
vetores ݒଵ = (3,−3,1,0), ݒଶ = (0,1,−1,2) e ݒଷ = (1,−1,0,0). 
33) Seja S o subespaço do IR4 definido por: 
ܵ = {(ݔ,ݕ, ݖ, ݐ)	Є	ܫܴ4	/	ݔ + 2ݕ − ݖ = 0	݁	ݐ = 0} 
Pergunta-se: 
a)(−1,2,3,0)	Є	ܵ? 
b)(3,1,4,0)	Є	ܵ	? 
c)(−1,1,1,1)Є S? 
34) Seja S o subespaço de M(2,2): 
ܵ = ቄቀܽ − ܾ 2ܽ
ܽ + ܾ −ܾቁቅ 
a)ቀ5 61 2ቁ Є	ܵ? 
b)Qual deve ser o valor de k para que o vetor ቀ−4 ݇2 −3ቁ pertença 
a S? 
35) Determinar os subespaços do IR³ gerados pelos seguintes conjuntos: 
a) ܣ = {(2,−1,3)} 
b) ܣ = {(−1,3,2), (2,−2,1)} 
c) ܣ = {(1,0,1), (0,1,1), (−1,1,0)} 
d) ܣ = {(−1,1,0), (0,1,−2), (−2,3,1)} 
e) ܣ = {(1,2,−1), (−1,1,0), (−3,0,1), (−2,−1,1)} 
f) ܣ = {(1,2,−1), (−1,1,0), (0,0,2), (−2,1,0)} 
36)Seja o conjunto ܣ = {ݒଵ,ݒଶ}, sendo ݒଵ = (−1,3,−1) e ݒଶ = (1,−2,4). 
Determinar: 
a) O subespaço G(A). 
b) O valor de ݇ para que o vetor ݒ = (5,݇, 11) pertença a G(A). 
37)Sejam os vetores ݒଵ = (1,1,1), ݒଶ = (1,2,0) e ݒଷ = (1,3,−1). Se (3,−1,݇)	Є	[ݒଵ, ݒଶ,ݒଷ], qual o valor de ݇? 
38)Determinar os subespaços de P2 (espaço vetorial dos polinômios de grau 
≤2) gerados pelos seguintes vetores: 
a) ݌ଵ = 	2ݔ	 + 	2,݌ଶ = 	 −ݔ²	 + ݔ	 + 	3, ݌ଷ = ݔ²	 + 2ݔ 
b)݌ଵ = 	ݔ², ݌ଶ = ݔ² + ݔ 
c)݌ଵ = 	1, ݌ଶ = ݔ, ݌ଷ = ݔ² 
39)Determinar o subespaço G(A) para ܣ = {(1,−2), (−2,4)}. O que representa 
geometricamente esse subespaço? 
40) Mostra que os vetores ݒଵ = (2,1) eݒଶ = (1,1) geram o IR². 
41) Mostrar que os vetores ݒଵ = (1,1,1),ݒଶ = (0,1,1) e ݒଷ = (0,0,1) geram o IR³. 
42) Seja o espaço vetorial M(2,2). Determinar seus subespaços gerados 
pelos vetores: 
a) ݒଵ = 	 ቀ−1 21 0ቁe ݒଶ = 	 ቀ 2 1−1 −1ቁ 
b)ݒଵ = 	 ቀ−1 00 1ቁ,ݒଶ = 	 ቀ1 −10 0 ቁe ݒଷ = 	 ቀ0 11 0ቁ 
43) Determinar o subespaço de P3 (espaço dos polinômios de grau ≤3) 
gerado pelos vetores ݌ଵ = 	ݔ³ + 2ݔ² − ݔ + 3 e݌ଶ = −2ݔ³ − ݔ + 3ݔ + 2. 
44) Determinar o subespaço de IR4 gerado pelos vetores ݑ = (2,−1,1,4),ݒ =(3,3,−3,6) e ݓ = (0,4,−4,0). 
45) Verificar se o vetor ݒ = (−1,−3,2,0) pertence ao subespaço do IR4 gerado 
pelos vetores ݒଵ = (2,−1,3,0), ݒଶ = (1,0,1,0) e ݒଷ = (0,1,−1,0). 
46) Classificar os seguintes subconjuntos do IR² em Li ou LD: 
a) {(1,3)} 
b){(1,3), (2,6)} 
c) {(2,−1), (3,5)} 
d) {(1,0), (−1,1), (3,5)} 
47) Classificar os seguintes subconjuntos do IR³ em LI ou LD: 
a) {(2,−1,3)} 
b) {(1,−1,1), (−1,1,1)} 
c) {(2,−1,0), (−1,3,0), (3,5,0)} 
d) {(2,1,3), (0,0,0), (1,5,2)} 
e) {(1,2,−1), (2,4,−2), (1,3,0)} 
f) {(1,-1,-2), (2,1,1), (-1,0,3)} 
g) {(1,2,−1), (1,0,0), (0,1,2), (3,−1,2)} 
48) Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 são LD? 
a) 2	 + 	ݔ	– 	ݔ², −4	– 	ݔ	 + 4ݔ², ݔ	 + 	2ݔ² 
b) 1	– 	ݔ	 + 	2ݔ², ݔ	– 	ݔ², ݔ² 
c) 1	 + 	3ݔ	 + 	ݔ², 2	– 	ݔ	– 	ݔ², 1	 + 	2ݔ	– 	3ݔ², −2	 + 	ݔ	 + 	3ݔ² 
d) ݔ²	 − 	ݔ	 + 1, ݔ²	 + 	2ݔ 
49) Quais dos seguintes conjuntos de vetores do IR4 são LD? 
a) (2,1,0,0), (1,0,2,1), (−1,2,0,−1) 
b) (0,1,0,−1), (1,1,1,1), (−1,2,0,1), (1,2,1,0) 
c) (1,−1,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,−1), (1,2,1,−2) 
d) (1,1,2,4), (1,−1,−4,2), (0,−1,−3,1), (2,1,1,5) 
50) Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 x 3, verificar se {A,B,C} é LI 
ou LD, sendo 
ܣ = 	 ቀ−1 2 13 −2 4ቁ, ܤ = 	 ቀ 0 −1 2−2 1 0ቁeܥ = 	 ቀ−1 0 5−1 0 3ቁ 
51) Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto {(−1,0,2), (1,1,1), (݇,−2,0)} 
52) Determinar k para que 
ቀ1 01 0ቁ , ቀ1 10 0ቁ , ቀ2 −1݇ 0 ቁ 
 
seja LD. 
53) Mostrar que são LD os vetores ݒଵ,ݒଶe ݒଷ com ݒଵ e ݒଶ vetores arbitrários 
de um espaço vetorial V e ݒଷ = 	2ݒଵ	– 	ݒଷ. 
54) Mostrar que se ݑ,ݒ e ݓ são LI, então ݑ	 + 	ݒ, ݑ	 + 	ݓ e ݒ + 	ݓ são também 
LI. 
55) Sendoݒଵ = (1,2) Є IR², determinar ݒଶ Є IR² tal que {ݒଵ, ݒଶ} seja base do 
IR². 
56) Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam a base do 
IR²: 
a) {(1,2), (−1,3)} 
b) {(3,−6), (−4,8)} 
c) {(0,0), (2,3)} 
d) {(3,−1), (2,3)} 
57) Para que valores de ݇ o conjunto ܤ = {(1,݇), (݇, 4)} é base do IR²? 
58) O conjunto ܤ = {(2,−1), (−3,2)} é uma base do IR². Escrever o vetor 
genérico do IR² como combinação linear de ܤ. 
59) Quais dos seguintes conjuntos formam uma base do IR³? 
a) (1,1,−1), (2,−1,0), (3,2,0) 
b) (1,0,1), (0,−1,2), (−2,1,−4) 
c) (2,1,−1), (−1,0,1), (0,0,1) 
d) (1,2,3), (4,1,2) 
e) (0,−1,2), (2,1,3), (−1,0,1), (4,−1,−2) 
60) Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base de P2? 
a) 2ݐ²	 + 	ݐ	– 	4, ݐ²	 − 	3ݐ	 + 1 
b) 1, ݐ, ݐ² 
c) 2, 1	–ݔ, 1	 + 	ݔ² 
d) 1	 + 	ݔ	 + 	ݔ², ݔ	 + 	ݔ², ݔ² 
e) 1	 + 	ݔ, ݔ	– 	ݔ², 1	 + 	2ݔ	– 	ݔ² 
61) Mostrar que o conjunto 
ቀ 2 3
−1 0ቁ , ቀ1 −10 −2ቁ , ቀ−3 −21 −1ቁ , ቀ 3 −7−2 5 ቁ 
É uma base de M(2,2). 
62) Mostrar que o conjunto {(1,1,0,0), (0,0,1,1), (1,0,0,3), (0,0,0,5)}é base do IR4. 
63) O conjunto 
ܣ = 	 {ݐ³, 2ݐ²	 − 	ݐ	 + 	3, ݐ³	 − 	3ݐ²	 + 	4ݐ	 − 1}é base de P3? Justificar. 
64) Mostrar que os vetores ݒଵ = (1,1,1),ݒଶ = (1,2,3), ݒଷ = (3,0,2) e 
ݒସ = (2,−,1,1) geram o IR³ e encontrar uma base dentre os vetores ݒଵ, ݒଶ, ݒଷ 
e ݒସ. 
65) Mostrar que os polinômios ݌ଵ = 	1 + 2ݔ	 − 3ݔ²,݌ଶ = 1 − 3ݔ + 2ݔ²e 
݌ଷ = 2 − ݔ + 5ݔ² formam uma base do espaço dos polinômios de grau ≤2 e 
calcular o vetorcoordenada de ݌ = −2 − 9ݔ − 13ݔ² na base ܤ = {݌ଵ,݌ଶ,݌ଷ}. 
66) Determinar uma base do subespaço do IR4 gerado pelos vetores 
ݒଵ = (1,−1,0,0),ݒଶ = (−2,2,2,1), ݒଷ = (−1,1,2,1) e ݒସ = (0,0,4,2). 
67)Seja ܸ = 	ܫܴ³ e o conjunto 
ܤ = {(0,1,1), (1,1,0), (1,2,1)}	ܥ	ܫܴ³ 
a)Mostrar que ܤ não é base do ܫܴ³. 
b)Determinar uma base do ܫܴ³ que possua dois elementos de ܤ. 
68) Determinar o vetor coordenada de ݒ = (6,2) em relação às seguintes 
bases: 
ߙ = {(3,0), (0,2)} 
ߚ = {(1,2), (2,1)} 
ߛ = {(1,0), (0,1)} 
ߜ = {(0,1), (1,0)} 
69) No espaço vetorial IR³, consideremos a seguinte 
base:	ܤ = {(1,0,0), (0,1,0), (1,−1,1)}. Determinar o vetor coordenada de v Є IR³ 
em relação à base B se: 
a) ݒ = (2,−3,4)b) ݒ = (3,5,6) c)ݒ = (1,−1,1) 
70) Seja ܣ = {3, 2ݔ,−ݔ²} uma base de P2. Determinar o vetor coordenada de 
ݒ = 	6 − 4ݔ + 3ݔ² em relação à base A. 
71) Sejam os vetores ݒଵ = (1,0,−1), ݒଶ = (1,2,1)	݁	ݒଷ = (0,−1,0) do IR³. 
a) Mostrar que ܤ = {ݒଵ,ݒଶ, ݒଷ} é base do IR³. 
b) Escrever ݁ଵ = (1,0,0), ݁ଶ = (0,1,0), ݁ଷ = (0,0,1) como combinação linear dos 
vetores da base B. 
72) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes 
espaços vetoriais: 
a) {(ݔ,ݕ, ݖ)	Є	ܫܴ³/	ݕ = 3ݔ} 
b) {(ݔ,ݕ, ݖ)	Є	ܫܴ³/	ݕ = 5ݔ	݁	ݖ = 0} 
c) {(ݔ,ݕ)	Є	ܫܴ²/	ݔ + ݕ = 0} 
d) {(ݔ,ݕ, ݖ)	Є	ܫܴ³/	ݔ = 3ݕ	݁	ݖ = −ݕ} 
e) {(ݔ,ݕ, ݖ)	Є	ܫܴ³/	2ݔ − ݕ + 3ݔ = 0} 
f) {(ݔ,ݕ, ݖ)	Є	ܫܴ³/	ݖ = 0} 
73) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes 
subespaços vetoriais de M(2,2): 
a)ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	 ; 	b = a + c				e	d = c	ቅ 
b)ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 		 ; 	b = a + cቅ 
c) ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	 ; 	c = a − 3b		e	d = 0ቅ 
d) ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	a + d = 	b + cቅ 
74) Seja o subespaço ܵ de M(2,2): 
ܵ = 		 ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ /	ܿ = ܽ + ܾ		݁	݀ = ܽቅ 
a)Qual a dimensão de ܵ? 
b)O conjunto: 
ቄቀ1 −10 1 ቁ , ቀ2 13 4ቁቅ 
É uma base de S? Justificar. 
75) Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas: 
a)൝
ݔ + 2ݕ − 2ݖ − ݐ = 02ݔ + 4ݕ + ݖ + ݐ = 0
ݔ + 2ݕ + 3ݖ + 2ݐ = 0 
b)൝
ݔ + 2ݕ − ݖ + 3ݐ = 02ݔ − ݕ + ݖ − ݐ = 04ݔ + 3ݕ − ݖ + 5ݐ = 0 
c) ൝
ݔ − 2ݕ − ݖ = 02ݔ + ݕ + 3ݖ = 0
ݔ + 3ݕ + 4ݖ = 0 
d) ൝
2ݔ + 2ݕ − 3ݖ = 0
ݔ − ݕ − ݖ = 03ݔ + 2ݕ + ݖ = 0 
e) ൜ ݔ + ݕ − 2ݖ + ݐ = 02ݔ + 2ݕ − 4ݖ + 2ݐ = 0 
 
Respostas dos problemas propostos 
1. Não é espaço vetorial. Falha o axioma M4 
2. O conjunto é um espaço vetorial 
3. Não é espaço vetorial. Falham os axiomas A2, A3 e A4 
4. Não é espaço vetorial. Falha o axioma M2 
5. Não é espaço vetorial falha o axioma M4 
6. O conjunto é um espaço vetorial 
7. O conjunto é um espaço vetorial 
8. S é subespaço 
9. S não é subespaço 
10. É 
11. É 
12. Não é 
13. Não é 
14. É 
15. É 
16. Não é 
17. Não é 
18. É 
19. É 
20. Não é 
21. Não é 
22. É 
23. Não é 
24. É 
25. É 
26.São subespaços a), b), c), d) 
27. a) w = 3u –v 
b) k = 12 
c) 16a + 10b – c = 0 
28. a) p = 3p¹ + 2p² + p³ 
b) impossível 
c) a + 2b – c = 0 
d) não é possível 
29. v = 4v¹ + 3v² - 2v³ 
30. a) 0= -2v¹ + v² 
b) 0 = 0v¹ + 0v² 
31.u = 3v¹ - v² +2v³ 
v= v¹ + v² 
w = 0v¹ + 0v² + 0v³ 
32. v = -v¹+3v²+2v³ 
33. a) sim 
b) não 
c) não 
34. a) sim 
b) k = -2 
35. a) {(x, y, z) € IR³/ x= -2y e z= -3y} 
b) {(x, y, z) € IR³/ 7x + 5y – 4z = 0} 
c) {(x, y, z) € IR³/ x + y – z = 0} 
d) IR³ 
e) {(x, y, z) € IR³/ x + y + 3z = 0} 
f) IR³ 
36. a) G(A) = {(x, y, z) € IR³/ 10x + 3y –z = 0} 
b) k = -13 
37. k =7 
38. a) {ax² + bx + c / b= 2a + c} 
b) {ax² + bx / a, b € IR} 
c) P2 
39. {(x, y) € IR²/ y= -2x} 
Representa uma reta que passa pela origem. 
40. (x, y) = (x – y)(2,1) + (-x +2y)(1,1) 
41. (x, y, z) = xv¹ + (y - x)v² + (z – y)v³ 
42. a) ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	ܾ = 	 −2ܽ − 5݀	݁	ܿ = 	−ܽ − ݀ቅ 
b) ܵ = ቄቀܽ ܾ
ܿ ݀
ቁ ; 	ܽ + ܾ − ܿ + ݀ = 0ቅ 
43. {ax³ + bx² + cx +d / b= 5a + 3c e d = 11a + 8c} 
44. {(x, y, z, t) / 2x – t = 0 e y + z = 0} 
45. Pertence 
46. a) LI 
b) LD 
c) LI 
d) LD 
47. a) LI 
b) LI 
c) LD 
d) LD 
e)LD 
f)LI 
g)LD 
48.a,c 
49. b,d 
50. LI 
51. k ≠ -3 
52. k = 3 
55. v² ≠ kv¹ , Vk € IR 
56. a, d 
57. k ≠ +-2 
58. (x, y) = (2x + 3y)(2,-1) + (x+2y)(-3,2) 
59. a) , c) 
60. b) , c), d) 
63. Não. G(A) ≠IR³ 
64. Base: { v¹, v², v³} 
65. pβ = (1, 5, -4) 
66. Uma base: (v¹, v²} 
67. Uma base: {(0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)} 
68. vߙ = (2,1) 
ݒߚ	 = (−23 , 103 ) 
ݒߛ = (6,2) 
ݒߜ = (2,6) 
69. a) vb = ( -2,1,4) 
b) vb = (-3,11,6) 
c)vb = (0,0,1) 
70. va = (2,-2,-3) 
71. a) B é LI e V(x,y,z) € IR³ (ݔ,ݕ, ݖ) = 	 ݔ − ݖ2 ݒ¹ + 	ݔ + ݖ2 ݒ² + (ݔ − ݕ + ݖ)ݒ³ 
b) ݁¹ = 	 ଵ
ଶ
ݒ¹ + ଵ
ଶ
ݒ² + ݒ³ 
݁² = 	−ݒ³ 
݁³ = 	− 12 ݒଵ + 	12 ݒଶ + ݒ³ 
72. a) dim:2 
b) dim:1 
c) dim: 1 
d) dim: 1 
e) dim: 2 
f) dim:2 
As bases ficarão a cargo do leitor. 
73. a) dim: 2 
b) dim: 3 
c) dim: 2 
d) dim: 3 
74. a) 2 
b) Não, porque 
ቀ2 13 4ቁ	∄	ܵ 
75. a) dim: 2 
uma base: {(1,0,3,-5), (0,1,6,-10)} 
b) dim: 2 
uma base: {(0,-2,-1,1),(1,-3,-5,0)} 
c) dim: 1 
uma base: {(1,1,-1)} 
d) dim: zero 
não existe base 
e) dim: 3 
uma base: {(-1,0,0,1), (-1,1,0,0), (2,0,1,0)}