Estatística - Fórmulas

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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
 
AMILTON BRAIO ARA 
ANA VILLARES MUSETTI 
 
 
 
 
SÃO CAETANO DO SUL 
2005 
 
 
 
 
 1 
 
Estatística descritiva 
 
 
1. Dados não agrupados 
 
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1
 
( ) ( )
11
2
2
2
12
−
−
=
−
−
=
∑
∑∑
=
n
n
x
x
n
xx
s
i
i
n
i
i
 
 
2. Dados agrupados 
 
 
n
fx
x
k
i
ii∑
=
=
1
 
( )








−
−
=
∑
∑
n
fxfx
n
s
ii
ii
2
22
1
1
 
 
3. Coeficiente de variação 
 
x
sCV = 
 
4. Coeficiente de assimetria de Pearson 
 
( )
s
Mdx
s
MoxA −≅−= 3 
 
Probabilidade 
 
 
1. Fórmulas básicas 
 
( )
n
nAP A= 
 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
 
( ) ( )( )AP
BAPABP ∩= 
 
Se A e B são independentes, então: ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ 
 2 
 
Se nAAA K,, 21 é uma partição de S, com 0)( >iAP , para todo i e B um evento de S com 
0)( >BP , então: 
n1,2i ,
)()(
)()()(
1
K=
⋅
⋅
=
∑
−
n
i
ii
ii
i
APABP
APABP
BAP 
 
 
2. Distribuições de Probabilidades 
 
 
 
2.1 Média de uma variável aleatória X: 
 
a) X discreta: ∑==
i
ii xPxXE )()(µ 
b) X contínua: ∫
∞
∞−
== dxxxfXE )()(µ 
 
 
2.2 Variância de uma variável aleatória X: ( ) ( ) 222)( µµ −=−= XEXEXVar 
 
a) X discreta: ∑ −=
i
ii xPxXVar
22 )()( µ 
b) X contínua: 22 )()( µ−= ∫
∞
∞−
dxxfxXVar . 
 
 
2.3 Distribuição Binomial 
 
( ) nkppkXP knknk K2,1,0,)1()( =−== − , onde ( ) ( ) !!
!
, kkn
nC kn
n
k
−
== 
 
 )1()()( pnpXVarnpXE −== , 
 
 
2.4 Distribuição de Poisson 
 
t
k
ekXP
k
λµµ
µ
===
−
,
!
)( µµ == )()( XVarXE 
 
 
 
 3 
 
2.5 Distribuição Exponencial 
 



<
≥
=
−
0,0
0,)(
t
te
tf
tλλ
 , 2
1)(,1)(
λλ
== TVarTE 
 0,)( >=> − kekTP kλ 
 
 
2.6 Distribuição Normal 
 
Se X é uma v.a. com distribuição normal com média µ e desvio padrãoσ , então 
σ
µ−
=
XZ tem distribuição normal padrão. 
 
Intervalos de confiança 
 
 
1. Para a média 
 
n
zx
n
zx
σµσ +≤≤− , ou 
 
n
s
tx
n
s
tx +≤≤− µ ( t com 1−= nφ graus de liberdade) 
 
 
2. Para a proporção 
 
n
pp
zpp
n
pp
zp
)1()1( ′−′
+′≤≤
′
−
′
−
′
 
 
 
3. Para a variância 
 
2
2
1
2
2
2
2
2 )1()1(
αα χ
σ
χ
−
−≤≤− snsn ( 2χ com 1−= nφ graus de liberdade) 
 
 
 
 
 
 4 
Testes de hipóteses 
 
 
1. Para uma média 00 : µµ =H 
 
n
s
x
n
x
z 00 tou 
µ
σ
µ −
=
−
= 
 
 
2. Para uma proporção 00 : ppH = 
 
n
pp
pp
z
)1(
'
00
0
−
−
= 
 
 
3. Para uma variância 20
2
0 : σσ =H 
 
2
0
2
2 )1(
σ
χ sn −= 
 
 
4. Para comparação de duas médias 
 
∆=− 210 : µµH ( 0 teremos, de testeo Para:. 21 =∆= µµObs ) 
 
 
4.1 dados emparelhados: 
 
n
s
x
t
∆−
= 
 
 
4.2 Amostras independentes com desvios padrões conhecidos 
 
 
2
2
2
1
2
1
21
nn
)xx(
z
σσ
+
∆−−
=
 
 
 5 
 
4.3 Amostras independentes com desvios padrões desconhecidos, mas supostos iguais: 
 
 
2nn
s)1n(s)1n(
s
21
2
22
2
112
p
−+
−+−
=
 
21
p
21
n
1
n
1
s
)xx(
t
+
∆−−
=
 
 
4.4 Amostras independentes com desvios padrões desconhecidos e diferentes 
 
 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
)xx(
t
+
∆−−
=
 
 
 
5. Para comparação de duas proporções: 
 
θ=− 210 : ppH ( 0 teremos, de testeo Para:. 21 == θppObs ) 
 
 
2
22
1
11
21
n
)p(1p
n
)p(1p
θ)pp(
′
−
′
+
′
−
′
−
′
−
′
=z 
 
ou, no caso de 210 : ppH = : 
21
2211
nn
pnpn
'
+
′+′
=p e 
)
n
1
n
1)(p(1p
pp
21
21
+′−′
′
−
′
=z 
 
6. Para comparação de duas variâncias: 
 
)s,mín(s
)s,máx(s
2
2
2
1
2
2
2
1
=F 
 
 
7. Para comparação de k variâncias, k>2: 
 
 
∑∑
∑
∑
=





−
−
−−
+=








−−
−
−
−=
i
i
2
ii
2
ii2
nn e 
kn
1
1n
1
1)3(k
11C
onde 1)lns(n
kn
1)s(n
k)ln(n
C
1χ
 
 
 6 
8. Para comparação de k médias, k>2: 
 
 
n
x
xSQT
k
i
n
j
ijk
i
n
j
ij
i
i
2
1 1
1 1
2








−=
∑∑
∑∑
= =
= =
 
n
x
n
x
SQE
k
i
n
j
ijk
i i
n
j
ij
ii
2
1 1
1
2
1








−








=
∑∑
∑
∑
= =
=
=
, 
 
onde n = Σni 
 
 
 
Tabela de Análise de Variância (ANOVA) 
 
Fonte de 
variação 
FV 
Graus de 
liberdade 
GL 
Soma de 
quadrados 
SQ 
Quadrados 
médios 
QM 
Valor de F 
Fcal 
Probabilidade 
P 
Entre 
amostras 
k − 1 SQE QME=
1k
SQE
−
 
Residual 
 
n − k SQR QMR=
kn
SQR
−
 
 
Fcal= QMR
QME
 
 
P=P(F>Fcal) 
Total 
 
n − 1 SQT 
 
 
 
 
9. Testes não paramétricos 
 
 
9.1 Teste de aderência: 
 
∑
−
=
i
ii
E
EO 22 )(χ
 
com (k-1-m) graus de liberdade, onde 
 
k = número de valores considerados no cálculo da estatística 2χ 
m = número de parâmetros do modelo de Ho que precisam ser estimados a partir da amostra 
ii npE = 
 
 
 
 
 
 7 
9.2 Teste de independência: 
 
∑∑
−
=
ij
ijij
E
EO 22 )(χ
 
 
com (r-1)(s-1) graus de liberdade, onde 
r = número de linhas da tabela 
s = número de colunas da tabela 
 
n
jcolunadatotalilinhadatotal
npE ijij
)()( ×
== 
 
 
 
10. Correlação e regressão linear 
 
10.1 Coeficiente de correlação linear de Pearson 
 
yyxx
xy
SS
S
r = ,onde: 
 ( ) ( )
n
yx
yxyyxxS
n
i
i
n
i
in
i
ii
n
i
iixy












−=−−=
∑∑
∑∑ −=
==
11
11
 
 
 ( )
n
x
xxxS
n
i
in
i
i
n
i
ixx
2
1
1
2
1
2






−=−=
∑
∑∑ =
==
 
 
 ( )
n
y
yyyS
n
i
in
i
i
n
i
iyy
2
1
1
2
1
2






−=−=
∑
∑∑ =
==
 
 
 
10.2 Teste para o coeficiente de correlação linear de Pearson 
 
H0: 0=ρ 
2
1 2
2
−
−
=
−
n
r
r
tn 
 
 8 
10.3 Regressão linear simples: Estimação do modelo. 
 
eXY ++= βα 
 
bxay +=) , 
 
xbya −= 
e 
 
 
xx
xy
n
i
in
i
i
n
i
i
n
i
in
i
ii
S
S
n
x
x
n
yx
yx
b =






−












−
=
∑
∑
∑∑
∑
=
=
==
=
2
1
1
2
11
1
 
 
onde 
n
y
y
n
x
x
n
i
i
n
i
i ∑∑
==
==
11
 e 
 
yy
xy
S
bS
SQT
SQE
r ==
2
 
 
 
10.4 Teste para o parâmetro 00 :: βββ =H 
 
xx
R
S
s
b
t
2
0β−
= 
 
 
10.5 Teste para o parâmetro 00 :: ααα =H 
 
xx
R
nS
xs
a
t∑
−
=
22
0α
 
 
 
 
 9 
10.6 Intervalos de confiança 
 
a) para o valor esperado: 
 
xx
Rn S
xx
n
stxy
2
0
;20
)(1)(ˆ
2
−
+±
−
α 
onde: 
 
 00 )(ˆ bxaxy += 
2
Rs é a estimativa da variância residual dada por 2
2
−
−
=
n
bSS
s
xyyy
R , Rs é o respectivo 
desvio padrão. 
 
b) para o valor individual: 
 
xx
Rn S
xx
n
stxy
2
0
;20
)(11)(ˆ
2
−
++±
−
α 
 
 
10.7 Análise de variância 
 
Fonte de 
variação 
Graus de 
liberdade 
Somas de 
quadrados 
Quadrados 
médios 
Estatística F 
Regressão 1 
xybSSQE = xybS 
2
R
xy
s
bS
F = 
Resíduo 2−n 
xyyy bSSSQR −=
 
2
2
−
−
=
n
bSS
s
xyyy
R 
 
Total 1−n yySSQT = 
 
 
 
10.8 Regressão linear múltipla: Estimação do modelo. 
 
eXXXY kk ++++= βββα K2211 
 
 kk xbxbxbay L+++= 2211ˆ 
 
kk xbxbxbya L−−−= 2211 
 
 10







++=
++=
++=
kkkkkky
kky
kky
SbSbSbS
SbSbSbS
SbSbSbS
L
M
L
L
2211
22222112
11221111
 
 
onde 
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ki
n
yx
yxyyxxSS
jikji
n
xx
xxxxxxSS
ki
n
x
xxxSS
i
iiiyxiy
ji
jijjiixxij
i
iiixxii
i
ji
ii
L
L
L
2,1
,2,1,
2,1
2
22
=−=−−==
≠=−=−−==
=−=−==
∑
∑∑
∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑
 
 
onde os somatórios indicam os totais dos n valores de cada uma das variáveis. 
 
 
10.9 Análise de variância 
 
Fonte de 
variação 
Graus de 
liberdade 
Somas dos quadrados Quadrados médios Estatística F 
Regressão k ∑= iyi SbSQE kSQEsE =2 
2
2
R
E
s
s
F = 
Resíduo 1−− kn ∑−= iyiyy SbSSQR )1(2 −−= knSQRsR
 
 
Total n-1 yySSQT = 
 
 
 
10.10 Análise de melhoria 
 
'
1
'
1
'
1
'
)1( eXXY kkk +++= −− ββα K 
 
eXXXY kkkkk ++++= −− βββα 1111)( K 
 
 
 
 
 
 11
Fonte de variação Graus de 
liberdade 
Soma de 
quadrados 
Quadrados 
médios 
Estatística F 
Devida à melhoria 
de ajuste 
1 SQM SQM 
2
ks
SQMF = 
Residual para o 
modelo com k 
variáveis 
1−− kn SQR(k) 
1
)(2
−−
=
kn
kSQR
sk 
 
Residual para o 
modelo com (k-1) 
variáveis 
kn − )1( −kSQR 
 
 
Observemos que: 
 
 
)1()1(
)()(
)1(
'
12
'
21
'
1
2211
−−=−−−−=−
−=−−−−=
−−
kSQESSbSbSbSkSQR
kSQESSbSbSbSkSQR
yyykkyyyy
yykykyyyy
K
K
 
logo: 
 
 )1()()()1( −−=−−= kSQEkSQEkSQRkSQRSQM .