Aula 3 Módulo 1- Professor Adail UnB

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Universidade de BrasíÂlia
Departamento de Matemática
Prof. Celius A. Magalhães
Cálculo III
Texto 03/1∗
Funções de Várias Variáveis
Uma vez introduzida a linguagem dos vetores, o próximo passo é o estudo das funções de várias
variáveis, cujos domínios são subconjuntos de R2 ou R3. O objetivo é fazer para essas funções o
mesmo estudo feito anteriormente para funções de uma variável.
Primeiras Definições
Considere o problema de descrever o relevo de uma
determinada região, como ilustra a figura ao lado. O
primeiro passo é introduzir um sistema de eixos Oxyz e
identificar a região com um subconjunto D ⊂ R2. Com
essa identificação, a cada ponto (x,y) ∈ D corresponde
uma única altura z, altura que depende do ponto (x,y).
A dependência de z em relação a (x,y) é dita uma
função, e indicada por z = f (x,y). x y
z
A superfície que descreve o relevo, isto é, a “casquinha” que separa a terra do ar, é dita o
gráfico da função. Matematicamente, o gráfico é o conjunto
x
y
G( f ) = {(x,y,z) ∈R3; (x,y) ∈ D e z = f (x,y)}
Em Cartografia, em que os mapas são planos, é comum indicar
o relevo por meio das curvas de nível. Grosso modo, essas curvas
correspondem a projetar, sobre o plano Oxy, as linha pretas que apa-
recem na figura acima.
Essas linhas pretas indicam os pontos sobre o gráfico que estão
a uma mesma altura. Logo, as curvas de nível correspondem aos
pontos do domínio nos quais a função altura é constante. A figura ao
lado ilustra as curvas de nível da função f .
O interessante é que, olhando apenas para as curvas de nível, percebe-se que existe um “morro”
no terceiro e quarto quadrantes. Matematicamente, a curva de nível no nível k é o conjunto
Ck( f ) = {(x,y) ∈ D; f (x,y) = k}
Em geral, uma função f , definida em D ⊂ R2 e com valores em R, é uma regra que a cada
ponto (x,y) ∈ D associa um único número z = f (x,y) ∈ R. Usa-se o símbolo f : D → R para
indicar a função juntamente com o seu domínio D e o seu contra-domínio R.
Para o caso geral, tanto o gráfico quanto as curvas de nível são definidos da mesma forma que
se fez acima, e cada um tem uma interpretação própria dependendo da interpretação da função f .
Por exemplo, se f é a temperatura de uma chapa D ⊂ R2, isto é, f (x,y) é a temperatura do ponto
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotações de sala
(x,y) ∈ D, então o gráfico da função representa as mudanças da temperatura ao longo da chapa.
Ainda nesse exemplo, uma curva de nível representa os pontos da chapa que estão à uma mesma
temperatura, e é dita uma isoterma da chapa.
� Exemplo 1 Esboce as curvas de nível e o gráfico de f (x,y) = 12 (4− x−3y) com (x,y) ∈ R2. �
Solução. É claro que a curva de nível, no nível k ∈ R, é o conjunto
Ck( f ) = {(x,y) ∈R2; f (x,y) = k}= {(x,y) ∈ R2; x+3y = 4−2k}
que representa um reta no plano Oxy de vetor normal n = (1,3). Como o vetor normal é o mesmo
para todas as retas, segue-se que as curvas de nível são retas paralelas. Em particular, para o nível
k = 0, a reta passa por (4,0) e (0,4/3), como ilustra a figura da esquerda abaixo.
x
y
C2
C0
C−2
4
4/3
x
y4
4/3
2
Em relação ao gráfico, tem-se que
G( f ) = {(x,y,z) ∈ R3; (x,y) ∈ R2 e z = f (x,y)} = {(x,y,z) ∈R3; x+3y+2z−4= 0}
representa o plano em R3 que passa por (4,0,0), (0,4/3,0) e (0,0,2). Este resultado é coerente
com as curvas de nível, como ilustra a figura da direita acima. �
� Exemplo 2 Obtenha a expressão da função f : R2 → R cujo gráfico corresponde à rotação da
parábola z = y2 em torno do eixo Oz. �
x
y y0
y20
x
y y0
y20
Solução. Nas figuras acima, a da esquerda ilustra a parábola juntamente com um ponto y0 > 0 e
sua imagem z0 = y20. Para rotacionar em torno de Oz deve-se ter o seguinte: sempre que o ponto
(x,y) for tal que
√
x2+ y2 = y0, então f (x,y) = y20. Veja mais uma vez a figura. Substituindo o
valor de y0, deve-se ter que f (x,y) = y20 = (
√
x2+ y2)2 = x2+y2, sendo esta a expressão procurada.
Dito de outra maneira, assim como a parábola, a cada ponto (x,y) a função f deve associar
o quadrado de sua distância à origem. Como a distância à origem é
√
x2+ y2, obtém-se que
f (x,y) = (
√
x2+ y2)2 = x2+ y2. Veja a figura da direita acima.
Como verificação, as curvas de nível da função f (x,y) = x2 + y2 são círculos centrados na
origem, o que é uma característica dos gráficos de rotação. Além disso, ao longo do eixo Oy,
tem-se que f (0,y) = y2 é exatamente a parábola original. �
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� Exemplo 3 Esboce as curvas de nível e o gráfico da função f : D → R, onde
D = {(x,y) ∈ R2; x2+ y2 ≤ pi2} e f (x,y) = cos(
√
x2+ y2)+1. �
Solução. Começando com as curvas de nível, tem-se que
Ck( f ) = {(x,y) ∈ D; f (x,y) = k} = {(x,y) ∈D; cos(
√
x2+ y2) = k−1}
= {(x,y) ∈ D;
√
x2+ y2 = arccos(k−1)}
isto é, Ck( f ) é um círculo de centro na origem e raio arccos(k− 1). A figura da esquerda abaixo
ilustra alguns desses círculos. Para k = 0, tem-se arccos(−1) = pi (pois cos(pi) =−1), e portanto
o nível zero corresponde ao círculo de raio pi . Já para k = 2, o maior nível, tem-se arccos(1) = 0
(pois cos(0) = 1), e portanto nesse nível está apenas a origem (0,0).
C0C1C2
2
pi
2
pi
Como as curvas de nível são círculos, o gráfico da função é certamente de rotação, e resta
saber como é o perfil do gráfico ao longo de um dos eixos. Por exemplo, ao longo do eixo Oy
a função é f (0,y) = cos(|y|)+ 1, cujo gráfico está ilustrado na figura do meio acima. Coletando
essas informações, o gráfico da função pode ser ilustrado como na figura da direita. �
� Exemplo 4 Esboce as curvas de nível e o gráfico de f (x,y) = y2− x2 com (x,y) ∈ R2. �
Solução. Este é um exemplo diferente, em que o gráfico não é de rotação. Começando com as
curvas de nível, tem-se que
Ck( f ) = {(x,y) ∈ R2; f (x,y) = k} = {(x,y) ∈R2; y2− x2 = k}
x
y
C1
C2
x
y
C0
x
y
C−1 C−2
de onde segue-se que essas curvas são hipérboles de assíntotas y =±x. Essas hipérboles cortam o
eixo Oy se k > 0, e o eixo Ox se k < 0. Se k = 0, as curvas são exatamente as retas y = ±x. As
figuras acima ilustram esses casos.
Para visualizar o gráfico, pode-se ainda cortá-lo por planos verticais que contêm o eixo Oz.
Por exemplo, a interseção do gráfico com o plano Oyz é a parábola f (0,y) = y2, com concavidade
voltada para cima. Já a interseção com o plano Oxz é a parábola f (x,0) =−x2, com concavidade
voltada para baixo. Veja a figura abaixo. Juntamente com as curvas de nível, essas informações
fornecem um esboço do gráfico, com ilustrado a seguir. Em razão da sua forma esse gráfico é
conhecido como uma “sela”.
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x
y
�
Lembrando: Abertos e Fechados da Reta
O próximo passo é distinguir entre domínios abertos e fechados do plano e, para isso, vale lembrar
como são os abertos e fechados da reta.
A importância de um intervalo I ⊂ R ser aberto ou fechado é que essas características têm
reflexos importantes no comportamento das funções nele definidas.
Por exemplo, g : (0,∞)→ R, dada por g(x) = ln(x), é tal que limx→0+ g(x) =−∞. Diz-se que
a função se torna ilimitada em vizinhança do ponto x0 = 0. Isso ocorre em razão do intervalo
I = (0,∞) ser aberto, e a função não estar definida no ponto x0 = 0.
x
y
g(x) = ln(x)
x
y
g(x) =
√
x
Situação diferente ocorre com a função g : [0,∞) → R, dada porg(x) = √x. Nesse caso,
limx→0+ g(x) = 0. Isso porque o intervalo I = [0,∞) é fechado, e a função está definida em x0 = 0.
Diz-se então que a função é limitada em vizinhança de x0 = 0. Assim, ser limitada ou não em
vizinhança de um ponto está relacionado com o domínio ser fechado ou aberto.
Para entender melhor essas questões, o próximo passo é introduzir a noção de ponto interior.
Um ponto x0 é dito interior a um intervalo I se existe δ > 0 tal que (x0−δ ,x0+δ )⊂ I. O intervalo
I(x0,δ ) =(x0−δ ,x0+δ ) é dito uma vizinhança de x0 e, com essa notação, o ponto x0 é interior
se existe uma vizinhança de x0 toda contida no intervalo.
Com essa notação é fácil caracterizar os intervalos abertos: são aqueles em que todos os
pontos são interiores! Por exemplo, I = (0,∞) é um intervalo aberto, pois todos os seus pontos
são interiores; também são abertos os intervalos da forma I = (a,b), com a < b.
x0x0−δ x0+δ
Vizinhança I(x0,δ )
a
Ponto interior
a
Ponto de fronteira
A fronteira do intervalo I = (a,b) é o conjunto ∂ I = {a,b}, constituído dos pontos extremos do
intervalo. Em termos de vizinhanças, os pontos de fronteira podem ser caracterizados da seguinte
maneira: x0 ∈ ∂ I se, e somente se, qualquer vizinhança I(x0,δ ) de x0 inclui pontos de I e de fora
de I. Observe que, sendo I aberto, os seus pontos são todos interiores, e portanto I∩∂ I = /0.
Um intervalo I é fechado se ele inclui a sua fronteira, isto é, se ∂ I ⊂ I. Por exemplo, I = [0,∞)
é fechado, pois a sua fronteira é apenas o ponto ∂ I = {0} que está contido no intervalo. Também
são fechados os conjuntos da forma I = [a,b].
Cálculo III Texto 03/1 4/6
Finalmente, observe que um intervalo não é, necessariamente, aberto ou fechado. Por exemplo,
I = [a,b) não é aberto, pois inclui o ponto a que não é interior, e não é fechado, pois não inclui o
ponto de fronteira b.
Abertos e Fechados do Plano
As mesmas observações feitas acima se aplicam no caso dos aberto e fechados do plano.
Por exemplo, considere a função f (x,y) = ln(y2− x2) definida no domínio
D = {(x,y) ∈ R2; 0< y2− x2}= {(x,y) ∈ R2; |x|< |y|}
que não inclui as retas y = ±x. Veja a figura abaixo. Como limt→0+ ln(t) = −∞, segue-se que a
função f (x,y) se torna ilimitada quando o ponto (x,y) ∈ D se aproxima de uma dessas reta.
A situação é diferente com a função g(x,y) =
√
y2− x2
definida no domínio {(x,y) ∈ R2; |x| ≤ |y|}, que agora inclui as
retas y = ±x. Nesse caso, a função g permanece limitada quando
o ponto (x,y) ∈D se aproxima de uma dessas reta.
De acordo com as definições a seguir, o domínio da função
f é um conjunto aberto, enquanto o da função g é fechado. Essa
diferença no domínio explica em parte a diferença de comporta-
mento entre as duas funções.
x
y
Definição 1 A bola de centro em P0 ∈ R2 e raio δ > 0 é o conjunto
B(P0,δ ) = {P ∈ R2; ‖P−P0‖< δ}
Escolhendo δ > 0 pequeno, a bola B(P0,δ ) inclui os pontos próximos de P0, isto é, pontos que
estão a uma distância de P0 menor do que δ . É comum referir-se a essas bolas como vizinhanças do
ponto P0. A próxima definição usa bolas para definir ponto interior, uma noção que será importante
ao longo de todo o livro. Observe a analogia com o caso da reta.
Definição 2 P0 é ponto interior a um conjunto D⊂ R2 se existe δ > 0 tal que B(P0,δ )⊂ D.
x0
y0 δ
A bola B(P0,δ )
x0
y0
Ponto interior
x0
y0
Ponto de fronteira
Por exemplo, se P0 = (x0,y0) é um ponto tal que 0 < x0 < y0, então P0 é ponto interior ao
conjunto D = {(x,y) ∈ R2; |x|< |y|}. De fato, indicando por d > 0 a distância de P0 à reta y = x,
basta escolher δ = d/2 para se ter que B(P0,δ ) ⊂ D. Veja a figura do meio acima. Em geral,
conjuntos definidos por desigualdades estritas são conjuntos abertos.
Definição 3 P0 é ponto de fronteira de um conjunto D⊂R2 se, para todo δ > 0, a bola B(P0,δ )
contém pontos do conjunto e de fora do conjunto.
Por exemplo, se P0 = (x0,y0) é um ponto tal que 0 < x0 = y0, então P0 é ponto de fronteira
do conjunto D = {(x,y) ∈ R2; |x| < |y|}. Com efeito, nesse caso não importa quão pequeno seja
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δ > 0, a bola B(P0,δ ) sempre terá pontos P = (x,y) do conjunto (com x < y) e pontos de fora do
conjunto (com x > y). Veja a figura da direita acima.
Definição 4 A fronteira, ou bordo, de D⊂ R2 é o conjunto
∂D = {P ∈ R2; P é ponto de fronteira de D}
No exemplo em estudo, do conjunto D = {(x,y) ∈ R2; |x| < |y|}, é claro que a fronteira é
o conjunto das duas retas y = ±x, isto é, ∂D = {(x,y) ∈ R2; y = x ou y = −x}. Observe que
D∩ ∂D = /0, e portanto os pontos de fronteira não estão no conjunto. De acordo com a próxima
definição, essa propriedade caracteriza os conjuntos abertos.
Definição 5 Um conjunto D⊂ R2 é aberto se todos os seus pontos são interiores.
É claro que, se todos os pontos são interiores, o conjunto não contém ponto de fronteira, e
portanto D∩ ∂D = /0. A situação oposta, em que ∂D ⊂ D, caracteriza os conjuntos fechados, de
acordo com a definição a seguir.
Definição 6 Um conjunto D⊂ R2 é fechado se inclui a sua fronteira.
É o caso do conjunto D = {(x,y) ∈ R2; |x| ≤ |y|}, cuja fronteira são as duas retas y = ±x. É
claro então que ∂D⊂ D.
Um conjunto não é, necessariamente, aberto ou fechado. Entre ser aberto (D∩∂D = /0) e ser
fechado (∂D⊂ D), existe a situação intermediária em que uma parte da fronteira está no conjunto
e a outra parte não. Nesse caso, o conjunto nem é aberto e nem é fechado.
1 2
Por exemplo, considere o anel D ilustrado ao lado, onde
D = {P ∈ R2; 1≤ ‖P‖< 2}
É claro que a fronteira é a união dos dois círculos ∂D = C1 ∪C2,
onde C1 = {P ∈ R2; ‖P‖= 1} e C2 = {P ∈ R2;‖P‖= 2}.
Assim, D não é aberto, pois inclui os pontos de fronteira que
estão em C1; e também não é fechado, pois não inclui os pontos da
fronteira que estão em C2.
Cálculo III Texto 03/1 6/6